ACQA - Calculo Diferencial e Integral IV

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ACQA - Resolução 
Mostre que a equação diferencial (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑦𝑑𝑦 = 0 é homogênea e a seguir, 
resolva-a. 
Resolução: 
 1° Passo: Vamos rescrever a equação em função de 
Teremos : 
 2𝑥 𝑑𝑦 = −(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−(𝒙𝟒 + 𝒚𝟒)
𝟐𝒙𝟑𝒚
 
Observa-se que agora temos uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) 
2° Passo: Vamos multiplicar todas as variáveis da equação por (T); 
𝑓(𝑡𝑥, 𝑡𝑦) =
( ) ( )
( )
−→
( )
−→
( )
( )
−→
( )
 
Isolando o 𝑡 ficamos com a função principal 
– 𝒙𝟒 𝒚𝟒
𝟐𝒙𝟑𝒚
 o que nos prova que a função e 
homogênea, logo 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒕𝒙, 𝒕𝒚) 
 
Vamos resolver a EDO. 
1° Passo. Organizar a substituição de variáveis 
Temos que: 
𝒚 = 𝒖𝒙 𝒅𝒚 = 𝒖𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒖 
2° Passo vamos reorganizar a equação (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑦𝑑𝑦 = 0 
 
temos que: 
(𝑥 + 𝑢 𝑥 )𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑢𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 
 organizando, isolando e simplificando as variaveis 
 
𝑥 (+𝑢 𝑥 )𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑢𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 ---> 𝑥 (+𝑢 𝑥 )𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑢(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 
(𝑢 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑢(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 ---> (𝑢 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑢 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑢𝑑𝑢) = 0 
(𝑢 + 2𝑢 + 1)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑢𝑑𝑢) = 0 ---> 𝒖𝟐 + 𝟏
𝟐
𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒖𝒅𝒖) = 𝟎 
 
 
3° Passo: Organizando em função da separação das variáveis e dividindo o meio pelos extremos. 
 
𝒖𝟐 + 𝟏
𝟐
𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒖𝒅𝒖) = 𝟎 
1
x
𝑑𝑥 +
2𝑢𝑑𝑢
(𝑢2 + 1)2
= 0 
 
4° Passo: Podemos integrar de ambos os lados 
1
x
𝑑𝑥 +
2𝑢𝑑𝑢
(𝑢2 + 1)2
= 𝐶 
𝐥𝐧 𝒙 −
𝟏
𝟏 + 𝒖𝟐
= 𝑪 
 
5° Passo: Precisamos trazer a variável y que havíamos isolado. 
Temos que: 𝑦 = 𝑢𝑥 portanto 𝒖 =
𝒚
𝒙
 
Substituindo temos como resultado: 
𝐥𝐧 𝒙 −
𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝒖𝟐
= 𝑪 
ln 𝑥 − = C 
𝐥𝐧 𝒙 −
𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
= 𝑪 
 Organizando e isolando C 
 
𝑪 = 𝐥𝐧 𝒙 −
𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
Guedes...