ANALISE MATEMATICA PARA ENG I Aula 9 1

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MATERIAL DE APOIO 
Aula 9: Análise Matemática Para Engenharia 
 
Exemplo 1 
 ∫ sin3x ∙ dx 
Solução 
∫sin3x ∙ dx = ∫sin2x ∙ sin x ∙ dx = ∫(1 − cos2 x) ∙ sin x ∙ dx
= ∫sin x ∙ dx − ∫cos2x sin x ∙ dx 
Seja cos x = u ∴ −sin x ∙ dx = du 
−∫du + ∫u2 du = −u +
u3
3
+ C ∴ ∫sin3x ∙ dx = − cos x +
cos3x
3
+ C 
Exemplo 2 
 ∫ sin4x ∙ cos5x ∙ dx 
Solução 
∫sin4x ∙ cos5x ∙ dx = ∫sin4x ∙ cos4x ∙ cos x ∙ dx
= ∫sin4x ∙ (cos2x)2 ∙ cos x ∙ dx 
∫sin4x ∙ (1 − sin2x)2 ∙ cos x ∙ dx 
Faça u = sin x ∴ du = cos x ∙ dx 
∫sin4x ∙ (1 − sin2x)2 ∙ cos x ∙ dx = ∫𝑢4 ∙ (1 − 𝑢2)2 ∙ 𝑑𝑢
= ∫(𝑢4 − 2𝑢6 + 𝑢8)𝑑𝑢 =
𝑢5
5
− 2
𝑢7
7
+
𝑢9
9
+ 𝐶 
Logo: 
 
 
∫sin4x ∙ cos5x ∙ dx =
sin5x
5
−
2
7
∙ sin7x +
sin9x
9
+ C 
 
Exemplo 3: 
Encontre a integral indefinida dada por ∫ ex ∙ tg2(x) ∙ dx 
Solução 
Faça u = ex ∴ du = ex ∙ dx 
∫ex ∙ tg2(𝑒𝑥) ∙ dx = ∫ tg2(u) ∙ du = ∫(sec2(u) − 1) ∙ du = ∫ sec2(u) ∙ du − ∫du
= 
tg u − u + C ∴∫ex ∙ tg2(x) ∙ dx = tg(ex) − ex + C 
 
Exemplo 4 
Encontre a integral indefinida dada por ∫ sec4(x) ∙ dx 
Solução 
∫sec4(x) ∙ dx =
sec3(x) ∙ sin(x)
3
+
2
3
∙ ∫ sec2(x) ∙ dx
=
tg(x) ∙ (1 + tg2(x))
3
+
2
3
∙ tg(x) + C 
∫sec4(x) ∙ dx = tg(x) +
1
3
∙ tg3(x) + C 
Exemplo 5 
Calcule ∫
√9 − 𝑥2
𝑥2
∙ 𝑑𝑥 
Solução 
 
 
Seja x = 3 ∙ sin θ, onde 0 < θ ≤ π 2⁄ se x > 0; e, 
−π
2⁄ ≤ θ < 0 se x < 0. Então, 
dx = 3 ∙ cos θ ∙ dθ e 
√9 − x2 = √9 − 9 ∙ sin2θ = 3√cos2θ = 3 ∙ cos θ 
Logo, 
∫
√9 − x2
x2
dx = ∫
3 ∙ cos θ
9 ∙ sin2θ
∙ 3 ∙ cos θ ∙ dθ = ∫cotg2θ ∙ dθ = ∫(cosec2 θ − 1) ∙ dθ = 
−cotg θ − θ + C1 
 
 
 
 
 
Figura 1: Análise do ângulo  para o exemplo 05. Fonte: Google Imagens. 
Como sin θ = x 3⁄ e 
−π
2⁄ ≤ θ ≤
π
2⁄ , θ = sin
−1(x 3⁄ ). Para encontrar cotg θ, 
consulte a Figura 1 para x > 0 e para x < 0. 
Observe que, em ambos os casos, cotg θ =
√9 − x2
x
 
Assim: 
∫
√9 − 𝑥2
𝑥2
= −
√9 − 𝑥2
𝑥
− sin−1(𝑥 3⁄ ) + 𝐶 
Exemplo 6 
Calcule ∫√𝑥2 + 5 ∙ 𝑑𝑥 
Solução 
 
 
Substituímos x = √5 ∙ tg θ, onde 0 ≤ θ < π 2⁄ se x ≥ 0 e 
−π
2⁄ < θ < 0 se x < 0. 
Então, dx = √5 ∙ sec2θ ∙ dθ e 
√x2 + 5 = √5 ∙ tg2 θ + 5 = √5 ∙ √sec2 θ = √5 ∙ sec θ 
Logo: 
∫√x2 + 5 ∙ dx = ∫√5 ∙ sec θ (√5 ∙ sec2 θ ∙ dθ) = 5∫ sec3 θ ∙ dθ 
∫√x2 + 5 ∙ dx =
5
2
∙ sec θ ∙ tg θ +
5
2
∙ ln|sec θ + tg θ| + C 
Determinamos sec θ da Figura 2 para x ≥ 0 e para x < 0, onde tg θ = x
√5
⁄ . 
Em ambos os casos, vemos que sec θ = √x
2 + 5
√5
⁄ . Logo: 
∫√x2 + 5 ∙ dx =
5
2
∙
√x2 + 5
√5
∙
x
√5
+
5
2
∙ ln |
√x2 + 5
√5
+
x
√5
| + C1 
∫√x2 + 5 ∙ dx =
1
2
x√x2 + 5 +
5
2
∙ ln (√x2 + 5 + x) +C 
 
 
 
 
 
Figura 2: Análise do ângulo  para o exemplo 06. Fonte: Google Imagens. 
 
Exemplo 7 
Calcule ∫
𝑑𝑥
√𝑥2−25
 
 
 
Solução 
Seja x = 5 ∙ sec θ, onde 0 < θ < π 2⁄ se x > 5 e π < θ <
3π
2⁄ se x < −5. Então, 
dx = 5 ∙ sec θ ∙ tg θ ∙ dθ e 
 √x2 − 25 = √(5 ∙ sec θ)2 − 25 = 5 ∙ √tg2 θ = 5 ∙ tg θ 
Logo: 
∫
dx
√x2 − 25
= ∫
5 ∙ sec θ ∙ tg θ ∙ dθ
5 ∙ tg θ
= ∫ sec θ ∙ dθ = ln|sec θ + tg θ| + C 
Para encontrar tg θ, observe a Figura 3 para x > 5 e x < −5. 
Em ambos os casos, sec θ = x 5⁄ e tg θ =
√x2 − 25
5
⁄ . 
Temos, então, 
∫
dx
√x2 − 25
= ln |
𝑥
5
+
√𝑥2 − 25
5
| + 𝐶1 = ln |𝑥 + √𝑥2 − 25| + 𝐶 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Análise do ângulo  para o exemplo 07. Fonte: Google Imagens. 
 
Exemplo 8 
Calcule ∫
𝑥4 + 3𝑥2 − 5
𝑥 + 1
𝑑𝑥 
 
 
Solução: Dividindo o numerador pelo denominador 
(x4 + 3x2 − 5) = (x + 1) ∙ (x3 − x2 + 4x − 4) − 1 
∫
x4 + 3x2 − 5
x + 1
dx = ∫[(x3 − x2 + 4x − 4) −
1
x + 1
] dx 
=
x4
4
−
x3
3
+ 2x2 − 4x − ln|x + 1| + C 
 
Exemplo 9 
Encontre ∫
dx
x2 − 4
 
Solução 
(𝑥2 − 4) = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 2) 
1
(𝑥2 − 4)
≡
𝐴
(𝑥 + 2)
+
𝐵
(𝑥 − 2)
 
1
(𝑥2 − 4)
≡
𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 + 2)
(𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 2)
 
1 ≡ 𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 + 2) ∴ {
𝐴 + 𝐵 = 0
−2𝐴 + 2𝐵 = 1
∴ 𝐵 = 1 4⁄ 𝑒 𝐴 = −
1
4⁄ 
∫
dx
x2 − 4
≡ ∫ [−
1
4(x + 2)
+
1
4(x − 2)
] dx = −
1
4
∙ ln|x + 2| +
1
4
∙ ln|x − 2| + C 
∫
dx
x2 − 4
=
1
4
∙ ln |
𝑥 − 2
𝑥 + 2
| + 𝐶 
 
 
Exemplo 10 
Encontre ∫
6𝑥2− 2𝑥 − 1
4𝑥3 − 𝑥
∙ 𝑑𝑥 
 
 
Solução 
 4x3 − x = x ∙ (4x2 − 1) = x ∙ (x + 1 2⁄ ) ∙ (x −
1
2⁄ ) 
6x2 − 2x − 1
4x3 − x
≡
A
x
+
B
(x + 1 2⁄ )
+
C
(x − 1 2⁄ )
≡ 
A(x + 1 2⁄ )(x −
1
2⁄ ) + B(x)(x −
1
2⁄ ) + C(x)(x +
1
2⁄ )
x ∙ (x + 1 2⁄ ) ∙ (x −
1
2⁄ )
 
{
 
 
 
 
A + B + C = 6
−
B
2
+
C
2
= −2
−
A
4
= −1
∴ A = 4, B = 3, C = −1 
∫
6x2 − 2x − 1
4x3 − x
∙ dx ≡ ∫[
4
x
+
3
(x + 1 2⁄ )
−
1
(x − 1 2⁄ )
] dx 
= 4 ∙ ln|x| + 3 ∙ ln|x + 1 2⁄ | − ln|x −
1
2⁄ | + C 
 
Exemplo 11 
Encontre a integral indefinida dada por ∫
𝑑𝑥
𝑥3 − 𝑥2
 
Solução 
𝑥3 + 3𝑥2 = 𝑥2 ∙ (𝑥 + 3) 
1
𝑥3 + 3𝑥2
≡
𝐴
𝑥2
+
𝐵
𝑥
+
𝐶
𝑥 + 3
=
𝐴 ∙ (𝑥 + 3) + 𝐵 ∙ (𝑥) ∙ (𝑥 + 3) + 𝐶 ∙ (𝑥2)
𝑥2 ∙ (𝑥 + 3)
 
{
𝐵 + 𝐶 = 0
𝐴 + 3𝐵 = 0
3𝐴 = 1
∴ 𝐴 = 1 3⁄ , 𝐵 =
−1
9⁄ , 𝐶 =
1
9⁄ 
∫
𝑑𝑥
𝑥3 − 𝑥2
≡ ∫[
1
3⁄
𝑥2
−
1
9⁄
𝑥
+
1
9⁄
𝑥 + 3
] ∙ 𝑑𝑥 = −
1
3
∙ 𝑥−1 −
1
9
∙ ln|𝑥| +
1
9
∙ ln|𝑥 + 3| + 𝐶 
 
 
 
Exemplo 12 
Calcule ∫
𝑥2 − 2𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
𝑑𝑥 
Solução 
A fração no integrando pode ser escrita como a seguinte soma de frações 
parciais: 
𝑥2 − 2𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
≡
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑥2 + 2𝑥 + 2
+
𝐶
𝑥 − 1
 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = (𝐴𝑥 + 𝐵) ∙ (𝑥 − 1) + 𝐶 ∙ (𝑥2 + 2𝑥 + 2) 
{
𝐴 + 𝐶 = 1
−𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 = −2
−𝐵 + 2𝐶 = −3
∴ 𝐶 = −4 5⁄ , 𝐵 =
7
5⁄ , 𝐴 =
9
5⁄ 
𝑥2 − 2𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
≡
9
5
𝑥 +
7
5
𝑥2 + 2𝑥 + 2
+
−
4
5
𝑥 − 1
 
∫
𝑥2 − 2𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
𝑑𝑥
=
9
5
∫
𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 +
7
5
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
−
4
5
∫
𝑑𝑥
𝑥 − 1
 
9
5
∫
𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
𝑑𝑥
=
9
5
∫ [
𝑥 + 1 − 1
𝑥2 + 2𝑥 + 2
] 𝑑𝑥
=
9
5
[∫
𝑥 + 1
𝑥2 + 2𝑥 + 2
𝑑𝑥 − ∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
] 
𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 𝑢 ∴ (2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 ∴ 2(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 
𝑥2 + 2𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)2 + 1 
∫
x + 1
x2 + 2x + 2
dx = ∫
du
2⁄
u
=
1
2
∫
du
u
=
1
2
∙ ln|u| =
1
2
∙ ln|𝑥2 + 2𝑥 + 2| 
 
 
∫
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 2
= ∫
𝑑𝑥
(𝑥 + 1)2 + 1
= tg−1(𝑥 + 1) 
∫
𝑥2 − 2𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
𝑑𝑥
=
9
5
[
1
2
∙ ln|𝑥2 + 2𝑥 + 2| − tg−1(𝑥 + 1)] +
7
5
tg−1(𝑥 + 1) −
4
5
ln|𝑥 − 1|
+ 𝐶 
∫
𝑥2 − 2𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)
𝑑𝑥
=
9
10
ln|𝑥2 + 2𝑥 + 2| −
2
5
tg−1(𝑥 + 1) −
4
5
ln|𝑥 − 1| + 𝐶 
Exemplo 13 
Calcule ∫
(𝑥 − 2)
𝑥 ∙ (𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 
Solução 
(x − 2)
x ∙ (x2 − 4x + 5)2
≡
A
x
+
B(2x − 4) + C
(x2 − 4x + 5)2
+
D(2x − 4) + E
x2 − 4x + 5
 
 
Observação: Você pode evitar algumas passagens na resolução se, em vez 
da expressão convencional 𝐴𝑥 + 𝐵, escrever 𝐵(2𝑥 − 4) + 𝐶, pois 
2𝑥 − 4 = 𝐷𝑥(𝑥
2 − 4𝑥 + 5) 
≡
𝐴 ∙ (x2 − 4x + 5)2
𝑥 ∙ (x2 − 4x + 5)2
+
[𝐵(2𝑥 − 4) + 𝐶] ∙ 𝑥
𝑥 ∙ (x2 − 4x + 5)2
+
[𝐷(2𝑥 − 4) + 𝐸] ∙ 𝑥 ∙ (x2 − 4x + 5)
𝑥 ∙ (𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
 
 
 
{
 
 
 
 
A + 2D = 0
−8A − 12D + E = 0
26A + 2B + 26D − 4E = 0
−40A − 4B + C − 20D + 5E = 1
25A = −2
∴
{
 
 
 
 
 
 A =
−2
25⁄
B = 1 5⁄
C = 1 5⁄
D = 1 25⁄
E = −4 25⁄
 
≡ −
2
25
∫
𝑑𝑥
𝑥
+
1
5
∫
(2𝑥 − 4)
(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 +
1
5
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
+
1
25
∫
(2𝑥 − 4)
𝑥2 − 4𝑥 + 5
𝑑𝑥 −
4
25
∫
𝑑𝑥
𝑥2 − 4𝑥 + 5
 
∫
𝑑𝑥
𝑥
= ln|𝑥| + 𝐶1 
∫
(2𝑥 − 4)
(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢2
=
𝑢−2+1
−2 + 1
= 𝑢−1 + 𝐶2 =
1
𝑥2 − 4𝑥 + 5
+ 𝐶2 
∫
(2𝑥 − 4)
𝑥2 − 4𝑥 + 5
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝐶3 = ln|𝑥
2 − 4𝑥 + 5| + 𝐶3 
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 − 4𝑥 + 5)2
= ∫
𝑑𝑥
[(𝑥 − 2)2 + 1]2
 
Seja x − 2 = tg θ, onde 0 ≤ θ ≤ π 2⁄ se x ≥ 2; e, 
−π
2⁄ < θ < 0 se x < 2. Então, 
dx = sec2θ ∙ dθ e (x − 2)2 + 1 = tg2θ + 1. Logo, 
∫
dx
[(x − 2)2 + 1]2
= ∫
sec2θ
(tg2θ + 1)2
∙ dθ = ∫
sec2θ
sec4θ
∙ dθ
= ∫
dθ
sec2θ
= ∫cos2θ ∙ dθ = ∫
1 + cos 2θ
2
∙ dθ 
=
θ
2
+
1
4
∙ sin2θ + C4 =
θ
2
+
1
2
∙ sinθ ∙ cosθ + C4 
Como tg θ = x − 2 e −π 2⁄ < θ <
π
2⁄ , θ = tg
−1(x − 2). Encontramos sin θ e cos θ da 
Figura 4, se x ≥ 2 e x < 2. 
Em ambos os casos: 
sinθ =
x − 2
√x2 − 4x+ 5
 cos θ =
1
√x2 − 4x + 5
 
 
 
Logo, 
∫
dx
[(x − 2)2 + 1]2
=
1
2
∙ tg−1(x − 2) +
x − 2
2(x2 − 4x + 5)
+ C4 
 
Figura 4: Análise do ângulo  para o exemplo 13. Fonte: Google Imagens. 
Considerando agora a última integral: 
∫
dx
x2 − 4x + 5
= ∫
dx
(x − 2)2 + 1
= tg−1(x − 2) + C5 
Finalmente, após a manipulação algébrica: 
∫
(x − 2)
x ∙ (x2 − 4x + 5)2
dx =
1
25
∙ ln |
x2 − 4x + 5
x2
| −
3
50
∙ tg−1(x − 2) +
(x − 4)
10 ∙ (x2 − 4x + 5)
+ C 
 
Exemplo 14 
Calcule ∫
dx
1 − sinx + cosx
 
Solução 
Seja z = tg
x
2
. Então: 
∫
𝑑𝑥
1 − sin 𝑥 + cos 𝑥
= ∫
2
1 + 𝑧2
1 −
2𝑧
1 + 𝑧2
+
1 − 𝑧2
1 + 𝑧2
∙ 𝑑𝑧 = 2∫
𝑑𝑧
(1 + 𝑧2) − 2𝑧 + (1 − 𝑧2)
 
 
 
2∫
𝑑𝑧
2 − 2𝑧
= ∫
𝑑𝑧
1 − 𝑧
= − ln|1 − 𝑧| + 𝐶 = − ln |1 − tg
𝑥
2
| + 𝐶 
 
Exemplo 15 
Calcule ∫
dx
√x2 − 6x + 13
12
8
 
Solução 
∫
dx
√x2 − 6x + 13
= ∫
dx
√(x − 3)2 + 4
= sinh−1 (
x − 3
2
) + C
= ln |(x − 3) + √x2 − 6x + 13| + C 
∫
dx
√x2 − 6x + 13
12
8
= ln |(x − 3) + √x2 − 6x + 13||
8
12
= ln |
9 + √85
5 + √29
| ≅ 0,56 
 
Exemplo 16 
Calcule a integral, se ela convergir ∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
2
−∞
 
Solução 
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
2
−∞
= lim
𝑎 → −∞
∫
𝑑𝑥
(4 − 𝑥)2
2
𝑎
= lim
𝑎 → −∞
(
1
4 − 𝑥
)|
𝑎
2
= lim
𝑎 → −∞
[
1
2
−
1
4 − 𝑎
] =
1
2
− 0 =
1
2
 
Exemplo 17 
Calcule a integral, se ela convergir ∫ 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 ∙ 𝑑𝑥
+∞
0
 
Solução 
∫ 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 ∙ 𝑑𝑥
+∞
0
= lim
𝑏 → +∞
∫ 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 ∙ 𝑑𝑥
𝑏
0
 
 
 
Para calcular a integral, usaremos a integração por partes com 𝑢 = 𝑥, 𝑑𝑣 =
𝑒−𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 e 𝑣 = −𝑒−𝑥. Assim, 
∫ x ∙ e−x ∙ dx
+∞
0
= lim
b → +∞
[−xe−x − e−x]0
b = lim
b → +∞
(−be−b − e−b + 1) 
= − lim
𝑏 → +∞
(
𝑏
𝑒𝑏
− 0 + 1) 
Para calcular o lim
𝑏 → +∞
𝑏
𝑒𝑏
, aplicamos a regra de l’Hôpital, pois lim
𝑏 → +∞
𝑏 = +∞ e 
lim
𝑏 → +∞
𝑒𝑏 = +∞. 
Teremos, então: 
lim
b → +∞
b
eb
= lim
b → +∞
1
eb
= 0 
Finalmente, temos: 
∫ x ∙ e−x ∙ dx
+∞
0
= 1 
 
Exemplo 18 
Mostre que a integral imprópria ∫
𝑥
(1 + 𝑥2)
+∞
−∞
𝑑𝑥 é divergente. 
Solução 
Seja 𝑢 = 1 + 𝑥2 ∴ 𝑑𝑢 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 
∫
𝑥
(1 + 𝑥2)
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
2 ∙ 𝑢
=
1
2
∙ ∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
2
∙ ln|𝑢| + 𝐶 =
1
2
ln|1 + 𝑥2| + 𝐶 
∫
𝑥
(1 + 𝑥2)
+∞
−∞
𝑑𝑥 = lim
𝑎 → −∞
[
1
2
∙ ln|1 + 𝑥2|]
𝑎
0
+ lim
𝑏 → +∞
[
1
2
∙ ln|1 + 𝑥2|]
0
𝑏
 
= lim
𝑎 → −∞
[
1
2
∙ (ln|1| − ln|1 + 𝑎2|)] + lim
𝑏 → +∞
[
1
2
∙ (ln|1 + 𝑏2| − ln|1|)] 
 
 
Como nenhum dos dois limites existe, a integral imprópria diverge. 
 
Exemplo 19 
Calcule a integral, se ela for convergente: ∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)2
2
0
 
Solução 
Observe que o integrando possui uma descontinuidade infinita em 1. Desta 
maneira, aplicando a definição: 
∫
dx
(x − 1)2
2
0
= lim
t → 1−
∫
dx
(x − 1)2
+
t
0
lim
s → 1+
∫
dx
(x − 1)2
2
s
 
= lim
t → 1−
[−
1
x − 1
]
0
t
+ lim
s → 1+
[−
1
x − 1
]
s
2
 
= lim
t → 1−
[−
1
t − 1
− 1] + lim
s → 1+
[−1 +
1
s − 1
] 
Como nenhum desses limites existe, a integral imprópria é divergente. 
 
Exemplo 20 
Calcule a integral imprópria, se ela for convergente, ∫
𝑥
√𝑥2−9
𝑑𝑥
−3
−5
 
Solução 
Existe uma descontinuidade infinita no ponto superior do intervalo de integração, 
então, a existência da integral imprópria será determinada a partir da definição a 
seguir: 
∫ f(x)dx = lim
t → b−
∫ f(x)dx
t
a
b
a
 
 
 
∫
x
√x2 − 9
dx = ∫
du
2√u
=
1
2
∫u−
1
2⁄ du = √u + C = √x2 − 9 + C 
∫
𝑥
√𝑥2 − 9
𝑑𝑥
−3
−5
= lim
𝑡 → −3−
∫
𝑥
√𝑥2 − 9
𝑑𝑥
𝑡
−5
= lim
𝑡 → −3−
[√𝑥2 − 9]
−5
𝑡
= lim
𝑡 → −3−
[√𝑡2 − 9 − √(−5)2 − 9] 
= 0 − 4 = −4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5: Esboço do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥
√𝑥2 − 9
⁄ . Observe que há 
descontinuidades (linhas tracejadas em azul) nos pontos 𝑥 = −3 e 𝑥 = 3. 
 
− − − − − − −        
−
−
−
−
−
−
−







x
y