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ESCOLA DO ESAMO DE METAng
11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. CURSOS: NOTURNO-DIURNO.
Disciplina: Matemática.
Unidade Temática: Introdução à lógica matemática.
Tema: Apresentação do professor aos alunos e breves considerações sobre a disciplina.
-Noção de lógica e definição de proposições.
Objectivos: 
1. Identificar proposições.
1. Atribuir valor lógico correcto a uma proposição.
1. Aplicar as propriedades de negação, disjunção e conjunção. 
1. Demonstrar as propriedades através de tabelas de verdade (tabela de Bett). 
Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro.
Duração de cada aula: 90 minutos 
Metodologia: Elaboração conjunta e método independente.
Professor: João Matangue Arone.
Xai-Xai, 01 de Março de 2018.
Bibliografia:FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.
NOÇÃO DE LÓGICA
A lógica matemática é um ramo da ciência que se dedica ao estudo do raciocínio matemático.
Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar corrente, sendo, portanto, instrumento do pensar.
A palavra “lógica” deriva da palavra grega logiké, que significa “ciência do raciocínio”.
Proposições
Chama-se Proposição a toda a expressão a respeito da qual faz sentido dizer que é verdadeira ou falsa.Ou seja, é uma expressão à qual é possível atribuir um valor lógico (verdadeiro ou falso). Também pode se usar a notação 1 (equivalente a verdadeiro) e 0 (equivalente a falso).
Exemplos:
· Xai-Xai é capital da Província de Maputo (F ou 0).
· (V ou 1).
· (F ou 0).
· (V ou 1).
· (depende do valor de ).
Princípio de não contradição:Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.
Princípio do terceiro excluido: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, não existe terceira possibilidade.
Duas proposições são equivalentes se, e só se, tiverem o mesmo valor lógico. 
Chama-se condição ou expressão proposicional a toda a expressão com variáveis que se pode transformar numa proposição, quando são substituidas as variáveis por valores, nos respectivos domínios. Exemplo: A expressão , para algum valor de é verdadeira, mas para outros é falsa. Por isso, não é uma proposição.
Outro exemplo: é um número par.
TEMA: OPERAÇÕES LÓGICAS.
As operações lógicas estão sujeitas às regras do cálculo proposicional, que são: Negação(~, que lê-se: não); conjunção(, que lê-se: e); disjunção(, que lê-se: ou); implicação(, que lê-se: se…então…) e dupla implicação ou simplesmente equivalência(, que lê-se: se, e só se).
	P
	~P
	1
	0
	0
	1
Negação de proposições.
Se uma proposição P é verdadeira, a sua negação (~P) é falsa e vice-versa.
Exemplo: Seja a proposição P: 2 é um número primo. A sua negação (~P), seria: 2 não é um número primo.
Conjunção de proposições.
A conjunção representa-se pelo símbolo ^, que lê-se “e”.
A conjunção de duas proposições P e Q é uma nova proposição (P^Q) que só é verdadeira quando as duas proposições forem verdadeiras.
	P
	Q
	P^Q
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	0
Propridades da conjunção
A conjunção goza das propriedades: Comutativa(A^B=B^A), associativa[(A^B)^C=A^(B^C)] e a idempotência (A^A=A).
Observa:
A^1=A: o valor lógico 1(verdadeiro) é o elemento neutro na conjunção.
A^0 = 0: o valor lógico 0( falso) é o elemento absorvente na conjunção.
Disjunção de proposições.
Adisjunção representa-se pelo símbolo , que lê-se “ou”.
A disjunção de duas proposições P e Q é uma nova proposição (PQ) que só é falsa quando as duas proposições forem falsas.
	P
	Q
	PQ
	1
	1
	1
	1
	0
	1
	0
	1
	1
	0
	0
	0
Propridades da disjunção.
A disjunção goza das propriedades: Comutativa(AB=BA), associativa[(AB)C=A(BC)] e a idempotência (AA=A).
Observa:
A0 = A: o valor lógico 0(falso) é o elemento neutro na disjunção.
A1 = 1: o valor lógico 1( verdadeiro) é o elemento absorvente na disjunção.
Implicação de proposições.
Aproposição “se P então Q”chama-se implicação. Simbolicamente representa-se por PQ, onde o P é antecedente e o Q é consequente.
	P
	Q
	PQ
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	0
	1
A implicação de duas proposições, P e Q, é uma nova proposição PQ, que só é falsa se a antecedente for verdadeira e a consequente for falsa.
Observando o quadro a seguir, podemos ver que a implicação pode ser transformada numa disjunção, sendo que: PQ = ~PQ.
	P
	Q
	~P
	PQ
	~PQ
	1
	1
	0
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	1
	1
	1
E observando agora a tabela seguinte:
	P
	Q
	~Q
	PQ
	~ (PQ)
	P^~Q
	1
	1
	0
	1
	0
	0
	1
	0
	1
	0
	1
	1
	0
	1
	0
	1
	0
	0
	0
	0
	1
	1
	0
	0
Conclui-se que: ~( PQ) = P^~Q, isto é: a negação da implicação equivale à conjunção da antecedente com a negação da consequente.
Equivalência de proposições.
Aoperação lógica da dupla implicação é traduzida por ou, simplesmente, que se lê “se e só se”.
A equivalência de duas proposições só é verdadeira se ambas as proposições tiverem o mesmo valor lógico.
	
	
	
	1
	1
	1
	1
	0
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	1
As primeiras leis de De Morgan.
DeMorgan estabeleceu a seguinte lei de negação da conjunção: negar a conjunção equivale a uma disjunção com proposições negadas..
A negação de uma disjunção equivale a uma conjunção com proposições negadas.. 
NB:As tabelas de Bett e as demonstrações das propriedades serão dadas como tarefas de casa.
ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO
11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. NOITE-TARDE.
Disciplina: Matemática.
Unidade Temática: Introdução à lógica matemática.
Tema: QUANTIFICADORES.
- Segundas leis de De Morgan.
Objectivos: 
1. Aplicar quantificadores na tradução de expressões correntes em expressões quantificadas e vice-versa;
1. Aplicar as Leis de De Morgan na resolução deproblemas.
Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro.
Duração de cada aula: 90 minutos 
Metodologia: Elaboração conjunta e método independente.
Professor: João Matangue Arone.
Xai-Xai, 03 de Março de 2018.
Bibliografia:FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.
Expressões proposicionais (condições).
Uma expressão algébrica ou com variável é uma expressão que tem pelo menos uma variável.
Expressões algébricas podem ser designatórias ou condições.
Chama-se condição ou expressão proposicional a toda a expressão com variáveis que se pode transformar numa proposição, quando são substituidas as variáveis por valores, nos respectivos domínios. Em geral, as equações e as inequações são condições.
Expressões designatórias, quando se concretiza a variável ou as variáveis obtém-se uma designação.Exemplo:.
Classificação de condições.
Condição possível é aquela que pode acontecer (pode ser verdadeira) no domínio dado. Exemplo: é uma condição possível em .
Condição impossívelé aquela que nunca ocorre (é sempre falsa) no domínio considerado. Exemplo: é uma condição impossível em .
Condição universal é aquela que acontece sempre (é sempre verdadeira) no domínio considerado. Exemplo: é uma condição universal em .
É evidente que toda a condição universal é possível.
Quantificadores.
Além das operações lógicas já estudadas, podemos ainda considerar mais duas, as quais se aplicam apenas nas expressões com variáveis: quantificador universal e quantificador existencial. Os quantificadores transformam condições em proposições.
Quantificador universal.
Consideremos, em , a condição universal: .
Para dizer em linguagem corrente que esta proposição é universal escreve-se: “ Todo o número natural é maior ou igual que zero”.
Em linguagem simbólica, e com o mesmo significado, escreve-se: .
Ao símbolo denomina-se quantificador universal, que lê-se: qualquer que seja ou para todo o … ou para qualquer … ou para cada ….
Exemplo: Sendo , dizer que: é ímpar é ímpar é ímpar, é o mesmo que dizer: “ todo o elemento de é ímpar” ou, simbolicamente, é ímpar.
Quantificador existencial.
Aosímbolo dá-seo nome de quantificador existencial. lê-se “ existe pelo menos um”.
O quantificador existencial transforma uma condição possível numa proposição verdadeira.
O quantificador existencial transforma uma condição impossível numa proposição falsa.
Exemplo: A partir da condição possível em pode afirmar-se: “ Existe pelo menos um número real que verifica a condição”.
Em linguagem simbólica, escrever-se-ia com o mesmo significado: . 
, condição possível em .
, proposição verdadeira.
, condição impossível em .
, proposição falsa.
Quantificação múltipla.
Consideremos, em , a condição: .
Para obtermos uma proposição a partir desta condição, temos de utilizar dois quantificadores (quantificação múltipla).
· Utilizando duas vezes o quantificador universal: ou
. Em linguagem corrente: quaisquer dois números reais são iguais (proposição falsa).
· Utilizando duas vezes o quantificador existencial: ou
. Em linguagem corrente: existem pelo menos dois números reais que são iguais (proposição verdadeira).
· Utilizando quantificadores diferentes:
1. 
 Em linguagem corrente: Para todo número real existe pelo menos um número realigual a ele. (proposição verdadeira).
2. .
Em linguagem corrente: existe pelo menos um número real que éigual a todos os outros números reais (proposição falsa).
Quando se utilizam quantificadores diferentes e se troca a sua ordem, obtêm-se proposições diferentes que podem ter ou não o mesmo valor lógico.
TAREFAS.
1. Traduza em linguagem simbólica, utilizando quantificadores, as seguintes proposições:
a) “Dado um número inteiro qualquer, existe pelo menos outro número inteiro menor do que ele”.
b) “ Há pelo menos um número inteiro que é menor que todos os outros inteiros”. 
2. Indique o valor lógico das proposições:
	a)
	b).
Tema: Negação de um quantificador (segundas leis de De Morgan).
Negação de um quantificador (segundas leis de De Morgan).
Negar que uma condição é universal equivale a afirmar que nem todos os elementos a verificam, isto é, que há pelo menos um que não a verifica.
Exemplo:
Proposição: Todo losango é um quadrado.
Negação da proposição: Existe pelo menos um losango que não é quadrado. 
Em geral:
1. A negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial seguido de negação. .
2. A negação transforma o quantificador existencial em quantificador universal seguido de negação. .
Estes dois enunciados são conhecidos por segundas leis de De Morgan.
Exemplos:
Consideremos, no conjunto T dos alunos da turma B05, as proposições:
1. , estuda Matemática
2. , é inteligente.
Em linguagem corrente traduzem-se, respectivamente, por:
1. Todos os alunos estudam Matemática.
2. Há pelo menos um aluno que é inteligente.
A negação destas proposições em linguagem corrente é: 
1. Nem todos os alunos da turma B05 estudam Matemática.
2. Nenhum aluno da turma B05 é inteligente.
Traduzindo em linguagem simbólica:
1. , não estuda Matemática
2. , não é inteligente.
Isto é, (, estuda Matemática) = , não estuda Matemática
(, é inteligente) = , não é inteligente.
	Operação
	Negação
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Exercícios: 
3. Negue as seguintes proposições e diga o seu valor lógico:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO
11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. CURSOS: NOTURNO-DIURNO.
Disciplina: Matemática
Unidade Temática: ÁLGEBRA
Tema: Expressões algébricas racionais.
Objectivos: 
1. Determinar o domínio de expressões algébricas racionais.
1. Operar com fracções racionais. 
Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro.
Duração de cada aula: 90 minutos.
Metodologia: Elaboração conjunta e método independente.
Xai-Xai, 22 de Março de 2018.
Professor: João Matangue Arone.
Bibliografia:FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.
Expressão algébricaéaquela em que a variável está sujeita apenas a operações de adição, subtracção, multiplicação, divisão ou extracção da raiz.
Exemplos: ; ; .
Classificação de expressões algébricas.
Uma expressão algébrica pode ser Racional inteira; Racional fraccionária ou Irracional.
Uma expressão diz-se expressão algébrica racional inteira quando não se indica uma divisão, em que a variável fica no divisor e não aparece sob sinal de radical.
Exemplos:; .
Uma expressão diz-se expressão algébrica racional fraccionária quando no divisor figura a variável.Exemplos:.
Uma expressão diz-se expressão algébrica irracional quando, sob sinal de radical, figura a variável.Exemplos: .
Transformações idênticas.
Duas transformações ou expressões são idênticas se e só se os coeficientes dos termos do mesmo grau da incógnita são iguais. 
Exemplo: .
Quais são os valores para que as expressões sejam iguais?
Frações Racionais.
Frações Racionais são expressões algébricas racionais fraccionárias, já definidas anteriormente.
Domínio de existência.
No domínio de existência de uma fração, olhamos para o denominador, o qual não pode ser nulo.
Exemplos:
Simplificações de frações racionais.
Exemplos: Simplifique as seguintes expressões.
a) 
b) 
c) 
	TO
Resolver exercícios da ficha.
ESCOLA SECUNDÁRIA JOAQUIM CHISSANO
11ᵃ CLASSE. TURMAS: B01N-B05T. TRIMESTRE I. CURSOS: NOTURNO-DIURNO.
UNIDADE TEMÁTICA: ÁLGEBRA
TEMA: OPERAÇõES COM POLINÓMIOS.
Objectivos:
· Operar com expressões racionais.
Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro.
Duração da aula: 90 minutos.	
Metodologia: Elaboração conjunta e método independente.
ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO.
Dados dois polinómios , calcula-se :
1o. Ordena-se o polinómio se está desordenado.
2o. Associa-se os coeficientes dos termos do mesmo grau.
Exemplo: 
.
MULTIPLICAÇÃO.
O produto de dois polinómios é o polinómio que se obtém multiplicando cada termo do 1o por cada termo do 2o polinómio e adicionando-se os monómios obtidos. 
Exemplo: 
DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS.
A divisão de polinómios procede-se da mesma forma como se efectua a divisão de dois números naturais. .Se o resto for zero, diz-se que a divisão é exata.
Exemplo:Calcular o quociente e o resto da divisão..
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Regra de Briot-Ruffini.
A regra de Ruffini consiste na divisão de um polinómio por um binómio do tipo .
Exemplo: Calcular o quociente e o resto da divisão inteira de por .
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Resposta: e 
Teorema do resto.
O teorema do resto diz que o resto da divisão de um polinómio por um binómio do tipo é igual a . Consequentemente, se então é divisivel por . 
Exemplo:Calcular o resto da divisão de por .
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Resposta: e , agora vamos usar o teorema do resto para depois comparar os resultados., e sem dúvida são iguais.
Exercícios: Resolver exercícios da ficha.
Beira, 16 de Março de 2016.
ESCOLA JOÃO XXIII
11ᵃ CLASSE. TURMA: 113. TRIMESTRE I. CURSO-DIURNO-MANHÃ
OITAVA SEMANA DE AULAS (28.03.2016 - 01.04.2016)
Disciplina: Matemática
Unidade Temática: ÁLGEBRA
Tema: EQUAÇõES DO 3O GRAU E EQUAÇõES QUE SE REDUZEM A EQUAÇõES QUADRÁTICAS.
Objectivos: 
1. Identificar e encontrar a solução de uma equação do 3o grau.
1. Identificar e resolver as equações que se reduzem a equações quadráticas.
Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro.
Duração da aula: 90 minutos 	
Metodologia: Elaboração conjunta e método independente.
Bibliografia:FAGILDE, Safira Magide, M11: Matemática 11ª classe, Textos editoras, Maputo, 2011. VUMA; José Pedro, CHERINDA; Marcos, Pré - Universitária Matemática 11; Longman Moçambique; 1ª edição; Maputo, 2009.
Professor: João Matangue Arone.
Beira, 29 de Março de 2016.
Uma equação do 3o grau (equação cúbica) é do tipo .
Uma equação do terceiro grau se tem raizes reais, então pelo menos uma das raizes é divisor (divide) o termo independente (d). 
Exemplos:Resolver as seguintes equações:
1) 
2) ; é visivel aqui que é uma solução desta equação. Vamos aplicar a regra de Ruffini e depois o teorema do resto.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
; esta é uma equaçãodo segundo grau, a qual sabemos bem como resolver. 
.
; logo a equação quadrática não tem raizes reais. Portanto a equação cúbica tem apenas uma solução. .
3) . .
Equações biquadráticas
As equações biquadráticas são as equações do tipo . Fazendo , a equação transforma-seem .
Exemplo1:; Seja: , então: 
 e para encontrar o valor de , substitui-se na equação . Assim: .
.
Exemplo2:; Seja: , então: 
 e para encontrar o valor de , substitui-se na equação . Assim: . .
Equações com radicais.
Uma equação diz-se irracional quando a incógnita está sujeita a um sinal de raiz ou a um expoente fraccionário.
Resolução de uma equação irracional.
1) Se entãocom .
Exemplo: com 
.
2) Se então .
Exemplo: com 
.
3) Se então . 
com 
; .
EXERCÍCIOS ESTÃO NA FICHA.
Tema: Sistemas de equações lineares
Sistemas de equações lineares a 2 incógnitas (revisão). 
SEGUNDO TRIMESTRE
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
	Chamamos de equação exponencial toda equação na qual a incógnita aparece noexpoente.
Exemplos de equações exponenciais:
1. 3x =81 (a solução é x=4)
1. 2x-5=16 (a solução é x=9)
1. 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)
1. 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade: 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1. 3x=81
Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34
E daí, x=4.
1. 9x = 1
Resolução: 9x = 1 9x = 90 ; logo x=0.
1. 23x-1 = 322x
Resolução:23x-1 = 322x 23x-1 = (25)2x 23x-1 = 210x ; daí 
de onde x=-1/7.
1. Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.
Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:
32x–6.3x–27=0 (3x)2-6.3x–27=0
Fazendo 3x=y, obtemos:
y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y’=-3 e y’’=9
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:
y’=-3 3x’ = -3 não existe x’, pois potência de base positiva é positiva
y’’=9 3x’’ = 9 3x’’ = 32 x’’=2
Portanto a solução é x=2
FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.
	A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a IR+ e a1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Temos 2 casos a considerar:
	 quando a>1;
	 quando 0<a<1.
	
	Acompanhe os exemplos seguintes:
1. y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
	X
	-2
	-1
	0
	1
	2
	y
	¼
	1/2
	1
	2
	4
1. y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
	X
	-2
	-1
	0
	1
	2
	Y
	4
	2
	1
	1/2
	1/4
Nos dois exemplos, podemos observar que
1. o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;
1. o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
1. os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
	a>1
	0<a<1
	
f(x) é crescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)
	
f(x) é decrescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
	Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece noexpoente.
Exemplos de inequações exponenciais:
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
2º) aplicação da propriedade: 
	a>1
	0<a<1
	am> an m>n
(as desigualdades têm mesmo sentido)
	am> an m<n
(as desigualdades têm sentidos diferentes)
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
ESCOLA JOÃO XXIII
SEXTA SEMANA DE AULAS (22.06.2015-26.06.2015)
UNIDADE TEMÁTICA: EQUAÇÕES E ENEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
TEMA: NOÇÃO DE LOGARITMO
-COLOGARITMO E ANTILOGARITMO
Noção de logaritmo
Para , a função logarítmica com base representa-se por: , sendo .
Existem logaritmos de bases especiais, que são logaritmos de base dez () e logaritmos de base natural (), com 
Propriedades de logaritmos
1) 
2) Logaritmo de uma potência (o logaritmo de uma potência, é igual ao produto dessa potência pelo logaritmo).
3) Logaritmo de um produto ( o produto de um logaritmo é igual a soma de seus logaritmos); 
4) Logaritmo de um quociente ( o logaritmo de um quociente é igual a diferença dos logaritmos). 
5) 
6) 
COLOGARITMO
Oestudo do cologaritmo tem sua principal “raiz” o estudo dos logaritmos e suas propriedades operacionais.
Define-se cologaritmo de um número real pelo oposto de seu logaritmo. A sua definição algébrica, é: , desde que: .
Exemplos: calcule a); b) ; c) 
Resolução:
a) 
b) . C.a: 
c) . C.a:ou então:
Antilogaritmo 
A função antilogarítmica é a função inversa da função logarítmica. Por exemplo, o logaritmo de na base é e o antilogaritmo de na base é . A sua definição algébrica, é: , com . Ou seja: .
· 
· 
Exemplo1: Calcule o valor de 
Resolução: 
Prova: .
 é logaritmando de um logaritmo de base e deve ser igual a , que é o logaritmando do antilogaritmo.
Exemplo2: Calcule o valor de 
Resolução:C.a: ; dai:
Exemplo3: Defina o conjunto solução da expressão: .
C.a: ; portanto: 
.
EXERCÍCIOS
1. Resolve as seguintes equações:
a) 
b) 
c) 
d) 
ESCOLA JOÃO XXIII
11ᵃ Classe. Turma: 115. Trimestre II. Curso-diurno-manhã
Disciplina: Matemática
Unidade Temática: Geometria analítica no plano
Tema: Conceitos gerais sobre vectores
Objectivos: 
1. Determinar a norma de um vector no plano.
1. Escrever as coordenadas e as componentes de um vector no plano.
Meios de ensino: Giz, Apagador, Quadro e papel quadriculado.
Duração da aula: 90 minutos 
Professor: João Matangue Arone
Beira, 14 de Julho de 2015
Geometria analítica
A geometria analítica tem por objectivo a tradução da linguagem geométrica para a linguagem analítica ou algébrica e vice-versa, isto é, estuda as propriedades das figuras geométricas com a ajuda de cálculos ou de métodos analíticos. 
Conceitos gerais sobre vectores 
O conceito de vector é muitas vezes usado nas ciências físicas e matemáticas.
Na física, os vectores podem representar grandezas, tais como força, velocidade, aceleração, etc. Estas grandezas dizem-se grandezas vectoriais.Na matemática, os vectores são caracterizados por: 
1. Uma origem
1. Uma extremidade
1. Uma direcção 
1. Um sentido 
1. Um comprimento
Em geral, os vectores são representados por letras minúsculas com uma seta por cima.
Exemplo: 
O vector definido pelo segmento de recta orientado [A, B] representa-se por e pode escrever-se: .
O ponto A é geralmente denominado por ponto deaplicação ou origem e o ponto B por extremidade ou ponto final. 
 O vector nulo, é um vector que tem direcção e sentidos indeterminados e comprimento zero. Este vector representa-se por .
A medida do comprimento de um vector é designada por comprimento ou normaou tamanho ou módulo do vector. A norma de um vector representa-se por e lê-se norma do vector .
Exemplo:
Indique o sentido e a direcção e determine o comprimento de cada um dos vectores representados na figura:
Resolução: 
Pela observação da figura.
Pela aplicação do teorema de pitagoras.
Pela aplicação do teorema de pitagoras. 
TPC 
Determine o comprimento de cada um dos vectores representados na figura, e indicar as coordenadas dos pontos da origem e da extremidade de cada vector.
Elaborado por: dr. ARONE, João Matangue; Matemática 11a Classe; Trimestre I; Ano de 2018; Página 4
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