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Calculo III Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r Nenhuma das respostas anteriores x(t) = r sen t y(t) = r cos t x(t) = r cos t y(t) = r sen t x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t x(t) = a cos t y(t) = b sen t 2. Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) f (t) = (t, t -4) f (t) = (t, t2 -4) f (t) = (t, t3 -4) f (t) = (t, t3 - 5) f (t) = (t, t2) 3. Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. 3y + 2x2 -10 = 0 Não representa nenhuma curva. Nenhuma das respostas anteriores 3y + 2x - 10 = 0 4xy - 34x = 0 4. Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t \(\in\) R x= y2 - 2y - 3 x - 1 x + 1 y = 1 – x y =x + 4 Explicação: Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t \(\in\) R t = 1 - y x= (1-y)2 - 4 = 1 - 2y + y2 - 4 = -2y + y2 - 3 x=y2 - 2y - 3 5. Seja F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 1 ( -sent, cos t) ( - sen t, - cos t) ( sen t, - cos t) 0 6. Seja a função \(\sigma (t)\) contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor \(\sigma (t) = (x(t), y(t),z(t))\) descreve a cuva C no R3 para cada t \(\in\) I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) \(\in\) C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva é única. Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva não é única. Explicação: Podemos afirmar que a parametrizacao não é única 7. Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9. (t) = (t ,t+9). Nenhuma das respostas anteriores (t) = (t ,t). (t) = (2t ,6t+9). (t) = (t ,6t+9). 8. Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do movimento em P = (0,0,0). (t) = (r/q sen , r/q sen , b) , \(\in\) . (t) = (r sen , r cos , b) , \(\in\) . (t) = (cos , sen , b) , \(\in\) . (t) = (r cos , r sen , b) , \(\in\) . (t) = (r cos , cos ,sen b) , \(\in\) . Seja a função F = t i + (t2 +3)j. calcule o limite de F quando t tendendo a zero. (10,9) Nenhuma das respostas anteriores (9,4) (4,4) (0,3) 2. Determine a parametrização para a função f(x) = x 2 , utilizando a parametrização natural. ( t,t) (t, t 2) (a sent , a cos t) Nenhuma das respostas anteriores (t, log t) 3. (h tendendo a zero) Nenhuma das respostas anteriores (- sen t, cos t , 1) (sen t, cos t , 1) (- cos t, sen t , 1) (- sen t, cos t , t) 4. Determine a parametrização da ciclóide (t) = ( sen , r cos ) , . Nenhuma das respostas anteriores (t) = (r ( - sen ), r ( cos )) , . (t) = (r ( -cos ), r (1 -sen )) , . (t) = (r ( - sen ), r (1 - cos )) , . 5. Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) f (t) = (t, t3 - 5) f (t) = (t, t2 -4) f (t) = (t, t2) f (t) = (t, t -4) f (t) = (t, t3 -4) 6. Seja a função \(\sigma (t)\) contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor \(\sigma (t) = (x(t), y(t),z(t))\) descreve a cuva C no R3 para cada t \(\in\) I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) \(\in\) C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva não é única. A parametrização de uma curva é única. Explicação: Podemos afirmar que a parametrizacao não é única 7. Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9. Nenhuma das respostas anteriores (t) = (t ,t+9). (t) = (t ,6t+9). (t) = (t ,t). (t) = (2t ,6t+9). 8. Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do movimento em P = (0,0,0). (t) = (r cos , cos ,sen b) , \(\in\) . (t) = (cos , sen , b) , \(\in\) . (t) = (r cos , r sen , b) , \(\in\) . (t) = (r sen , r cos , b) , \(\in\) . (t) = (r/q sen , r/q sen , b) , \(\in\) . Seja x = 3t - 4 e y = 6 -2t Determine a equação cartesiana da curva. Nenhuma das respostas anteriores 3y + 2x2 -10 = 0 3y + 2x - 10 = 0 Não representa nenhuma curva. 4xy - 34x = 0 2. Seja F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 0 1 ( sen t, - cos t) ( -sent, cos t) ( - sen t, - cos t) 3. Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r x(t) = r sen t y(t) = r cos t Nenhuma das respostas anteriores x(t) = a cos t y(t) = b sen t x(t) = r cos t y(t) = r sen t x(t) = r cos t +1 y(t) = r sen t 4. Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t \(\in\) R x= y2 - 2y - 3 y = 1 - x x + 1 y =x + 4 x - 1 Explicação: Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; t \(\in\) R t = 1 - y x= (1-y)2 - 4 = 1 - 2y + y2 - 4 = -2y + y2 - 3 x=y2 - 2y - 3 5. Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9. (t) = (t ,t). Nenhuma das respostas anteriores (t) = (t ,t+9). (t) = (t ,6t+9). (t) = (2t ,6t+9). 6. Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do movimento em = (0,0,0). (t) = (r cos , r sen , b) , \(\in\) . (t) = (r sen , r cos , b) , \(\in\) . (t) = (r/q sen , r/q sen , b) , \(\in\) . (t) = (r cos , cos ,sen b) , \(\in\) . (t) = (cos , sen , b) , \(\in\) . Explicação: (t) = (r cos , r sen , b) , \(\in\) . A componentex = r cos q e y = r sen q representa a componente da circunferência e a componente z = bq representa a altura da hélice circular. q representa o ângulo de rotação 7. Determine a parametrização da ciclóide (t) = ( sen , r cos ) , . Nenhuma das respostas anteriores (t) = (r ( -cos ), r (1 -sen )) , . (t) = (r ( - sen ), r (1 - cos )) , . (t) = (r ( - sen ), r ( cos )) , . 8. Seja a função \(\sigma (t)\) contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor \(\sigma (t) = (x(t), y(t),z(t))\) descreve a cuva C no R3 para cada t \(\in\) I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) \(\in\) C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva é única. Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva não é única. Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. Seja a função vetorial F = t i + (t2 +3)j. calcule o limite de F quando t tendendo a zero. (4,4) (10,9) Nenhuma das respostas anteriores (0,3) (9,4) 2. Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) f (t) = (t, t2) f (t) = (t, t -4) f (t) = (t, t3 - 5) f (t) = (t, t2 -4) f (t) = (t, t3 -4) 3. (h tendendo a zero) (- sen t, cos t , t) (- cos t, sen t , 1) Nenhuma das respostas anteriores (sen t, cos t , 1) (- sen t, cos t , 1) 4. Determine a parametrização para a função f(x) = x 2 , utilizando a parametrização natural. Nenhuma das respostas anteriores (a sent , a cos t) (t, log t) (t, t 2) ( t,t) 5. Determine a parametrização da ciclóide Nenhuma das respostas anteriores (t) = ( sen , r cos ) , . (t) = (r ( - sen ), r ( cos )) , . (t) = (r ( - sen ), r (1 - cos )) , . (t) = (r ( -cos ), r (1 -sen )) , . 6. Seja a função \(\sigma (t)\) contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor \(\sigma (t) = (x(t), y(t),z(t))\) descreve a cuva C no R3 para cada t \(\in\) I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) \(\in\) C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. Temos n - 2 maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva não é única. A parametrização de uma curva é única. Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. Explicação: Podemos afirmar que a parametrizacao não é única 7. Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9. (t) = (2t ,6t+9). (t) = (t ,6t+9). (t) = (t ,t). (t) = (t ,t+9). Nenhuma das respostas anteriores 8. Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Considerando o início do movimento em P = (0,0,0). (t) = (r cos , r sen , b) , \(\in\) . (t) = (r cos , cos ,sen b) , \(\in\) . (t) = (r/q sen , r/q sen , b) , \(\in\) . (t) = (cos , sen , b) , \(\in\) . (t) = (r sen , r cos , b) , \(\in\) . Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈ [0,4π], determine o comprimento da hélice C. 20 4 π 4 20 π 20 π π 2. Sabendo que cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 3. Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o comprimento da curva entre 0≤t≤π4 . 2π 2π16 2π4 2π2 2π8 4. Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa a posição de uma partícula. Nenhuma das respostas anteriores V(t) = (- sen 2t, cos 2t), v(t)= 0 e A(t) = (-cos 2t, - sen 2t) V(t) = (sen 2t, cos 2t), v(t)= (2 cos t, 4 sen t) e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (2t, 2 cos 2t), v(t)= 2cost e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 5. Seja a função vetorial F = t i + (t2 +3)j. calcule o limite de F quando t tendendo a zero. Nenhuma das respostas anteriores (9,4) (10,9) (0,3) (4,4) 6. Sabendo que cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) 7. Dada a seguinte equação Z=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que representa ela são: x = ((3t)2-4t) e y = 2t x=t+1 e y=t2+2t x = ((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t e Z = 2t x = ((6t)2-2t) e y = 2t x = ((3t)2-4t) e y = (1+2t) 8. Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 π. Determine o comprimento desta circunferência. π2 2 π 4 π r / 3 2π r 4 π Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈ [0,4π], determine o comprimento da hélice C. 20 π π 4 20 π 4 π 20 2. Sabendo que cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) 3. Seja a função vetorial F = t i + (t2 +3)j. calcule o limite de F quando t tendendo a zero. (4,4) Nenhuma das respostas anteriores (9,4) (10,9) (0,3) 4. Sabendo que cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cadainstante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 5. Dada a seguinte equação Z=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que representa ela são: x = ((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t e Z = 2t x = ((6t)2-2t) e y = 2t x = ((3t)2-4t) e y = 2t x = ((3t)2-4t) e y = (1+2t) x=t+1 e y=t2+2t 6. Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 π. Determine o comprimento desta circunferência. 2π r 4 π π2 2 π 4 π r / 3 7. Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa a posição de uma partícula. V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (- sen 2t, cos 2t), v(t)= 0 e A(t) = (-cos 2t, - sen 2t) Nenhuma das respostas anteriores V(t) = (sen 2t, cos 2t), v(t)= (2 cos t, 4 sen t) e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (2t, 2 cos 2t), v(t)= 2cost e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 8. Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o comprimento da curva entre 0≤t≤π4 . 2π16 2π 2π8 2π2 2π4 Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo de uma estrada cuja equação vetorial é (et cos t, et sen t) durante o tempo t1 = 0 a t2 = 3. (2)1/2(e3 -1) 2(e3 -1) Nenhuma das respostas anteriores e e-1 Explicação: (2)1/2(e3 -1) 2. Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. (2,cos 4, 5) Nenhuma das respostas anteriores (2,sen 1, 3) (2,0, 3) (2,cos 2, 3) 3. Dada a função (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? (2t , cos t, 3t2) (2t , - sen t, 3t2) (2 , - sen t, t2) (t , sen t, 3t2) Nenhuma das respostas anteriores 4. Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 π. Determine o comprimento desta circunferência. 4 π r / 3 2π r π2 4 π 2 π 5. Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa a posição de uma partícula. Nenhuma das respostas anteriores V(t) = (sen 2t, cos 2t), v(t)= (2 cos t, 4 sen t) e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (2t, 2 cos 2t), v(t)= 2cost e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (- sen 2t, cos 2t), v(t)= 0 e A(t) = (-cos 2t, - sen 2t) 6. Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o comprimento da curva entre 0≤t≤π4 . 2π4 2π8 2π2 2π16 2π 7. Sabendo que cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 8. Dada a seguinte equação Z=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que representa ela são: x=t+1 e y=t2+2t x = ((3t)2-4t) e y = 2t x = ((3t)2-4t) e y = (1+2t) x = ((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t e Z = 2t x = ((6t)2-2t) e y = 2t Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈ [0,4π], determine o comprimento da hélice C. 20 π π 4 20 π 4 π 20 2. Sabendo que cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. V(t) = ( 9 cos 3t, sen 3t) e A (t) = ( 3t sen 3t, 3t cos 3t) V(t) = ( cos 3t , 3 sen 3t) e A(t) =( 3 sen t, sen t) V(t) = ( 3 sen 3t, - cos 3t) e A(t) = (9 cos 3t, 9 sen 3t) V(t) =( sen 3t, cos 3t) e A(t) = (cos 3t, sen 3t) V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 3. Seja a função vetorial F = t i + (t2 +3)j. calcule o limite de F quando t tendendo a zero. (0,3) (10,9) (4,4) (9,4) Nenhuma das respostas anteriores 4. Sabendo que cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 ) V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 5. Dada a seguinte equação Z=((3t)2-4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que representa ela são: x = ((3t)2-4t) e y = 2t x = ((3t)2-4t) e y = (4t)2+2t e Z = 2t x = ((6t)2-2t) e y = 2t x=t+1 e y=t2+2t x = ((3t)2-4t) e y = (1+2t) 6. Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 π. Determine o comprimento desta circunferência. π2 2π r 4 π r / 3 2 π 4 π 7. Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa a posição de uma partícula. V(t) = (sen 2t, cos 2t), v(t)= (2 cos t, 4 sen t) e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) Nenhuma das respostas anteriores V(t) = (2t, 2 cos 2t), v(t)= 2cost e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) V(t) = (- sen 2t, cos 2t), v(t)= 0 e A(t) = (-cos 2t, - sen 2t) 8. Dada a função vetorial r(t) = senti+costj+tk, determine o comprimento da curva entre 0≤t≤π4 . 2π4 2π16 2π8 2π2 2π Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Observandol o tempo que cada carro chega ao ponto P conclua quem chega primeiro. Os dois carros chegam juntos O carro R2 chega primeiro de que o carro R1 O carro R1 chega primeiro de que o carro R2 Os dois carros nao conseguem chegar Nenhuma das respostas anteriores 2. Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 Nenhuma das respostas anteriores x = 3t+1 y= 2t+1 x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 x = 3t+13. Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈ [0,4π], determine o comprimento da hélice C. 4 π 4 20 π 20 20 π π 4. Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a curva entre 0≤ t≤π4. N(t) = -senti-costj4 N(t) = -sent-cost N(t) = -senti-costj N(t) = -senti-costj2 N(t) = senti + costj + 1 5. Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: I - O gráfico é um plano. II - o gráfico é um cilindro. III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 6. Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado. O carro R1 será multado. O carro R2 será multado. Nenhum dos dois carros será multado Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. Nenhuma das respostas anteriores Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a curva entre 0≤ t≤π4. N(t) = -sent-cost N(t) = senti + costj + 1 N(t) = -senti-costj N(t) = -senti-costj2 N(t) = -senti-costj4 2. Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈ [0,4π], determine o comprimento da hélice C. π 20 4 π 4 20 π 20 π 3. Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) Nenhuma das respostas anteriores x = 3t+1 x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 x = 3t+1 y= 2t+1 x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 4. Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: I - O gráfico é um plano. II - o gráfico é um cilindro. III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 5. Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Observandol o tempo que cada carro chega ao ponto P conclua quem chega primeiro. O carro R1 chega primeiro de que o carro R2 Nenhuma das respostas anteriores Os dois carros nao conseguem chegar Os dois carros chegam juntos O carro R2 chega primeiro de que o carro R1 6. Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado. O carro R1 será multado. O carro R2 será multado. Nenhum dos dois carros será multado Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. Nenhuma das respostas anteriores Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? x + 2y + 4z - 4 = 0 6x + 10y + 15z - 30 = 0 6x - 3y - 2z + 34 = 0 x + y + z - 3 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 2. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 >como vetor normal? 3x + 2y + 6z + 17 = 0 6x + 3y + 2z + 34 = 0 6x - 3y - 2z + 34 = 0 3x - 2y - 6z + 17 = 0 3x - 2y - 6z = 0 3. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? x + 2y - 3z + 1 = 0 6x + 10y + 15z - 30 = 0 6x - 3y - 2z + 3 = 0 x + 2y + 3z - 9 = 0 x + y + z - 3 = 0 4. Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define Nenhuma das respostas anteriores Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). É uma esfera É um cilindro reto 5. Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras I, II, III, e IV sao falsas I, II, III são verdadeiras e IV é falsa I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas I, II, III, e IV sao verdadeiras 6. Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: I - O gráfico é um plano. II - o gráfico é um cilindro. III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 7. Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. I, II, III são verdadeiras e IV é falsa I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas I, II, III, e IV sao falsas I, II, III, e IV sao verdadeiras 8. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 >como vetor normal? x + y + z - 3 = 0 x + y + z + 3 = 0 x - y + 3 = 0 x - y + z = 0 y - z + 3 = 0 Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 6x + 10y + 15z - 30 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 6x - 3y - 2z + 34 = 0 x + y + z - 3 = 0 x + 2y + 4z - 4 = 0 2. Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define Um plano paralelo ao eixo x, interceptandoo eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). Nenhuma das respostas anteriores É um cilindro reto É uma esfera 3. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 >como vetor normal? 6x - 3y - 2z + 34 = 0 3x - 2y - 6z = 0 3x - 2y - 6z + 17 = 0 3x + 2y + 6z + 17 = 0 6x + 3y + 2z + 34 = 0 4. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? 6x + 10y + 15z - 30 = 0 x + y + z - 3 = 0 x + 2y + 3z - 9 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 6x - 3y - 2z + 3 = 0 5. Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. I, II, III, e IV sao verdadeiras I, II, III, e IV sao falsas I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 6. Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. I, II, III, e IV sao verdadeiras I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras I, II, III são verdadeiras e IV é falsa I, II, III, e IV sao falsas I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 7. Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: I - O gráfico é um plano. II - o gráfico é um cilindro. III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 8. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 >como vetor normal? x - y + z = 0 x - y + 3 = 0 x + y + z - 3 = 0 y - z + 3 = 0 x + y + z + 3 = 0 Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: I - O gráfico é um plano. II - o gráfico é um cilindro. III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 2. Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas I, II, III, e IV sao falsas I, II, III, e IV sao verdadeiras I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 3. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 >como vetor normal? 3x - 2y - 6z + 17 = 0 6x + 3y + 2z + 34 = 0 3x + 2y + 6z + 17 = 0 6x - 3y - 2z + 34 = 0 3x - 2y - 6z = 0 4. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? x + 2y - 3z + 1 = 0 6x + 10y + 15z - 30 = 0 x + y + z - 3 = 0 6x - 3y - 2z + 3 = 0 x + 2y + 3z - 9 = 0 5. Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas I, II, III, e IV sao verdadeiras I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras I, II, III, e IV sao falsas I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 6. Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define Nenhuma das respostas anteriores Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). É uma esfera É um cilindro reto 7. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? 6x - 3y - 2z + 34 = 0 x + 2y + 4z - 4 = 0 x + y + z - 3 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 6x + 10y + 15z - 30 = 0 8. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 >como vetor normal? y - z + 3 = 0 x - y + 3 = 0 x - y + z = 0 x + y + z + 3 = 0 x + y + z - 3 = 0 Determine o traço do elipsóide no plano xy Plano xy - Elipse Plano xy - plano Plano xy - vazio Nenhuma das respostas anteriores Plano xy - reta 2. Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos afirma que: I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um parabolóide circular. II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone. III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone. I é verdadeira . II e III são falsas III é verdadeira. I e II falsas I, II, III são falsas I, II e III são verdadeiras II é verdadeira. I e III são falsas 3. Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? x2 + 16z2 = 4y2 - 16 9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 x2 = y2 - z2 4x2 + 9y2 + z2 = 36 9x2 - 4z2 - 36y = 0 4. Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 esfera Parabola Cone elipsoide parabolóide 5. Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a zero. (a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 (a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 Nenhuma das respostas anteriores (a sen t+ c, b cos t + d)x > = -pi/2 e x < = pi/2 (cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 6. Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta Nenhuma das respostas anteriores -(x/a)2 +(y/b)2 -(z/c)2= 1 x2 + y2+ z2 = r2 (x/r)2+(y/r)2- cz2 = 0 -(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 7. Podemos afirmar que: I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 . III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 I, II e III sao verdadeiras I e III sao falsas e II verdadeira I e III sao verdadeiras e II falsa. I, II e III são falsas I e II sao verdadeiras e III falsa. Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: I - O gráfico é um plano. II - o gráfico é um cilindro. III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. 2. Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. I, II, III, e IV sao falsas I, II, III são verdadeiras e IV é falsa I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas I, II, III, e IV sao verdadeiras I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras 3. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 >como vetor normal? 6x + 3y + 2z + 34 = 0 3x - 2y - 6z = 0 6x - 3y - 2z + 34 = 0 3x + 2y + 6z + 17 = 0 3x - 2y - 6z + 17 = 0 4. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 3 ) ? x + y + z - 3 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 x + 2y + 3z - 9 = 0 6x + 10y + 15z - 30 = 0 6x - 3y - 2z + 3 = 0 5. Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) interseção com o eixo z. I, II, III, e IV sao falsas I, II, sao falsas. III, IV são verdadeiras I, II, III, e IV sao verdadeiras I, II, III são verdadeiras e IV é falsa I, II, sao Verdadeiras. III, IV são falsas 6. Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define É um cilindro reto Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). Nenhuma das respostas anteriores É uma esfera Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,0,0) e z em (0,0,6). 7. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 0, 1 ) ? x + 2y + 4z - 4 = 0 6x + 10y + 15z - 30 = 0 6x - 3y - 2z + 34 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 x + y + z - 3 = 0 8. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 >como vetor normal? y - z + 3 = 0 x + y + z + 3 = 0 x + y + z - 3 = 0 x - y + z = 0 x - y + 3 = 0 Dada a função vetorial r(t) = senti + costj + tk, determine o vetor normal que representa a curva entre 0≤ t≤π4. N(t) = -senti-costj4 N(t) = senti + costj + 1 N(t) = -sent-cost N(t) = -senti-costj2 N(t) = -senti-costj 2. Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈ [0,4π], determine o comprimento da hélice C. 20 π 4 20 π 20 π 4 π 3. Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) x = 3t+1 y= 2t+1 x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 Nenhuma das respostas anteriores x = 3t+1 x = 3t+1 y= 2t+1 z=2t+1 4. Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: I - O gráfico é um plano. II - o gráfico é um cilindro. III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. Podemos afirmar que I é verdadeira e II, III e IV são falsas. Podemos afirmar que I, II, III e IV são falsa. Podemos afirmar que I, III, são verdadeiras. III e IV são falsa. Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. Podemos afirmar que I, II, III e IV são Verdadeiras. 5. Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Observandol o tempo que cada carro chega ao ponto P conclua quem chega primeiro. Os dois carros nao conseguem chegar O carro R1 chega primeiro de que o carro R2 O carro R2 chega primeiro de que o carro R1 Os dois carros chegam juntos Nenhuma das respostas anteriores 6. Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado. Os dois carros R1 e R2 recebem multa por estar acima de 80 km/h. Nenhum dos dois carros será multado Nenhuma das respostas anteriores O carro R2 será multado. O carro R1 será multado. Determine o traço do elipsóide no plano xy Plano xy - Elipse Plano xy - reta Plano xy - plano Nenhuma das respostas anteriores Plano xy - vazio 2. Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos afirma que: I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um parabolóide circular. II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone. III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone. III é verdadeira. I e II falsas I, II e III são verdadeiras II é verdadeira. I e III são falsas I é verdadeira . II e III são falsas I, II, III são falsas 3. Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? x2 + 16z2 = 4y2 - 16 9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 x2 = y2 - z2 9x2 - 4z2 - 36y = 0 4x2 + 9y2 + z2 = 364. Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 esfera Parabola Cone elipsoide parabolóide 5. Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a zero. (a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 (a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 (cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 Nenhuma das respostas anteriores (a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 6. Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta -(x/a)2 +(y/b)2 -(z/c)2= 1 (x/r)2+(y/r)2- cz2 = 0 -(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 Nenhuma das respostas anteriores x2 + y2+ z2 = r2 7. Podemos afirmar que: I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 . III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 I, II e III sao verdadeiras I e II sao verdadeiras e III falsa. I, II e III são falsas I e III sao verdadeiras e II falsa. I e III sao falsas e II verdadeira Determine o traço do elipsóide no plano xy Nenhuma das respostas anteriores Plano xy - plano Plano xy - reta Plano xy - vazio Plano xy - Elipse 2. Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos afirma que: I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um parabolóide circular. II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone. III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do eixo z é um cone. I, II, III são falsas III é verdadeira. I e II falsas I, II e III são verdadeiras I é verdadeira . II e III são falsas II é verdadeira. I e III são falsas 3. Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? 9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 x2 + 16z2 = 4y2 - 16 4x2 + 9y2 + z2 = 36 x2 = y2 - z2 9x2 - 4z2 - 36y = 0 4. Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 parabolóide Cone esfera Parabola elipsoide 5. Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a zero. (a sen t, b cos t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 Nenhuma das respostas anteriores (a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 (cos t, sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 (a sen t+ c, b cos t + d) x > = -pi/2 e x < = pi/2 6. Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta (x/r)2+(y/r)2- cz2 = 0 -(x/a)2 + (y/b)2 -(z/c)2 = 1 Nenhuma das respostas anteriores -(x/a)2 +(y/b)2 -(z/c)2= 1 x2 + y2+ z2 = r2 7. Podemos afirmar que: I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / b2)= 1 . III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) -(z2 / c2)= 1 I, II e III sao verdadeiras I e II sao verdadeiras e III falsa. I e III sao falsas e II verdadeira I e III sao verdadeiras e II falsa. I, II e III são falsas A representação grafica do domínio da função f dada por f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 um ponto na origem uma parábola passando na origem. Nenhuma das respostas anteriores 2. Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 {(x,y) 2| x+y2 ≥ 2} {(x,y) 3| x+y ≥ - 2} Nenhuma das respostas anteriores {(x,y) 2| x+y = 2} {(x,y) 2| x+y ≥ 2} 3. Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). O limite existe e tem valor zero Nenhuma das respostas anteriores O limite não existe O limite existe e tem valor 5 O limite existe e tem valor 4 4. Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). tende a 9 tende a zero tende a 1 tende a x Nenhuma das respostas anteriores 5. Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: Nenhuma das respostas anteriores 6. Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). O limite será 5x O limite será 8xy. O limite será 0. O limite será 5. O limite será 8. Gabarito Coment. 7. Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 5/6 3 Nenhuma das respostas anteriores 7/9 3/6 8. Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). O limite será 1. O limite será 0. O limite será 14. O limite será 14xy. O limite será xy. A representação grafica do domínio da função f dada por f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 um ponto na origem uma parábola passando na origem. Nenhuma das respostas anteriores 2. Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 {(x,y) 2| x+y ≥ 2} {(x,y) 3| x+y ≥ - 2} {(x,y) 2| x+y = 2} Nenhuma das respostas anteriores {(x,y) 2| x+y2 ≥ 2} 3. Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). O limite existe e tem valor zero O limite não existe Nenhuma das respostas anteriores O limite existe e tem valor 5 O limite existe e tem valor 4 4. Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). tende a x tende a 9 tende a zero Nenhuma das respostas anteriores tende a 1 5. Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: Nenhuma das respostas anteriores 6. Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). O limite será 5x O limite será 0. O limite será 5. O limite será 8xy. O limite será 8. Gabarito Coment. 7. Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 5/6 7/9 3 Nenhuma das respostas anteriores 3/6 8. Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). O limite será1. O limite será 14. O limite será 0. O limite será xy. O limite será 14xy. A representação grafica do domínio da função f dada por f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 Nenhuma das respostas anteriores uma parábola passando na origem. um ponto na origem 2. Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 Nenhuma das respostas anteriores {(x,y) 2| x+y2 ≥ 2} {(x,y) 2| x+y = 2} {(x,y) 2| x+y ≥ 2} {(x,y) 3| x+y ≥ - 2} 3. Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). O limite não existe O limite existe e tem valor 4 O limite existe e tem valor 5 O limite existe e tem valor zero Nenhuma das respostas anteriores 4. Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). tende a zero tende a x Nenhuma das respostas anteriores tende a 9 tende a 1 5. Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: Nenhuma das respostas anteriores 6. Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). O limite será 5x O limite será 0. O limite será 8xy. O limite será 8. O limite será 5. Gabarito Coment. 7. Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 3/6 7/9 5/6 3 Nenhuma das respostas anteriores 8. Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). O limite será 0. O limite será 14. O limite será 14xy. O limite será xy. O limite será 1. F = (x+y)/(x-y) tem domínio D todos os pares ordenados (x,y) R2 , tais que: Df={ (x,y) R2/ x y } Nenhuma das respostas anteriores Df={ (x,y) R2/ x y } Df={ (x,y) R2/ x y } Df={ (x,y) R2/ x < y } 2. Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy Nenhuma das respostas anteriores fx = 2y e fy = 2x - 4x fx = 2y e fy = 2x fx = 2y e fy = 2x - 4 fx = 2x e fy = 2xy 3. Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem v(t) = 1 v(t) = 20 Nenhuma das respostas anteriores v(t) = 50 v(t) =30 4. Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-1,2). O limite será 0. O limite será 2. O limite será 3. O limite será 9. O limite será 7. Gabarito Coment. 5. Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) podemos afirmar que: limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 6. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: A parametrização de uma curva não é única. Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva é única. Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. Nenhuma das respostas anteriores. 7. Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y) = fxx = 4 x 2 - 2 fxy = 4 xy fxx = - 4xy + fxy = x2 + fxx = 4x2 ex fxy = 4x e3 fxx = ex fxy = 4e2 fxx = ex -1 fxy = 4e2 Explicação: Se for derivada de exponencial elevado a qualquer coisa é entao no seu caso u é o que esta no expoente e u ' a derivada dessa funcao. fx = vezes (-2x) fy = vezes (-2y) fxx = regra do produto = (-2x) * (-2x) + (-2) fyy = regra do produto= (-2y) * (-2y) + (-2) fxy = regra do produto = . (-2y) (-2x) + . 0 8. Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. A função não é harmônica. A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2). o Limite será 9. o Limite será 0. o Limite será 5. o Limite será 12. o Limite será 1. Gabarito Coment. 2. Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem v(t) = 50 v(t) = 1 v(t) =30 Nenhuma das respostas anteriores v(t) = 20 3. Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-1,2). O limite será 0. O limite será 3. O limite será 7. O limite será 2. O limite será 9. Gabarito Coment. 4. Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) podemos afirmar que: limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 5. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva é única. Nenhuma das respostas anteriores. A parametrização de uma curva não é única. Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 6. Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y) = fxx = ex fxy = 4e2 fxx = 4x2 ex fxy = 4x e3 fxx = 4 x 2 - 2 fxy = 4 xy fxx = - 4xy + fxy = x2 + fxx = ex -1 fxy = 4e2 Explicação: Se for derivada de exponencial elevado a qualquer coisa é entao no seu caso u é o que esta no expoente e u ' a derivada dessa funcao. fx = vezes (-2x) fy = vezes (-2y) fxx = regra do produto = (-2x) * (-2x) + (-2) fyy = regra do produto= (-2y) * (-2y) + (-2) fxy = regra do produto = . (-2y) (-2x) + . 0 7. Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace A função não é harmônica. A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace A função não é harmonica pois satisfaza equacao de Laplace A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace Gabarito Coment. 8. Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy fx = 2y e fy = 2x fx = 2y e fy = 2x - 4x fx = 2y e fy = 2x - 4 Nenhuma das respostas anteriores fx = 2x e fy = 2xy F = (x+y)/(x-y) tem domínio D todos os pares ordenados (x,y) R2 , tais que: Df={ (x,y) R2/ x y } Df={ (x,y) R2/ x y } Nenhuma das respostas anteriores Df={ (x,y) R2/ x y } Df={ (x,y) R2/ x < y } 2. Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy Nenhuma das respostas anteriores fx = 2x e fy = 2xy fx = 2y e fy = 2x fx = 2y e fy = 2x - 4 fx = 2y e fy = 2x - 4x 3. Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem v(t) = 20 Nenhuma das respostas anteriores v(t) =30 v(t) = 50 v(t) = 1 4. Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (-1,2). O limite será 7. O limite será 9. O limite será 2. O limite será 0. O limite será 3. Gabarito Coment. 5. Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o limite de h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) podemos afirmar que: limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 7 quando (x,y) tende a (0,0) limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) limite de h(x,y) + g(x,y) é igual a 3 quando (x,y) tende a (0,0) limite de g(x,y) é igual a 10 quando (x,y) tende a (0,0) 6. Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: Nenhuma das respostas anteriores. Existe sempre duas maneiras de parametrizar uma curva. A parametrização de uma curva é única. A parametrização de uma curva não é única. Existe sempre n-1 maneiras de parametrizar uma curva. 7. Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y) = fxx = 4 x 2 - 2 fxy = 4 xy fxx = ex -1 fxy = 4e2 fxx = 4x2 ex fxy = 4x e3 fxx = - 4xy + fxy = x2 + fxx = ex fxy = 4e2 Explicação: Se for derivada de exponencial elevado a qualquer coisa é entao no seu caso u é o que esta no expoente e u ' a derivada dessa funcao. fx = vezes (-2x) fy = vezes (-2y) fxx = regra do produto = (-2x) * (-2x) + (-2) fyy = regra do produto= (-2y) * (-2y) + (-2) fxy = regra do produto = . (-2y) (-2x) + . 0 8. Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. A função não é harmonica pois não satisfaz a equacao de Laplace A função não é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace A função não é harmônica. A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace A função é harmonica pois não satisfaz a equação de Laplace Seja a curva C definida por y = 2/x. Determine o raio de curvatura de C no ponto (2,1). O raio de curvatura é 4 O raio de curvatura é 5 / 4 O raio de curvatura é 2/3 O raio de curvatura é 7 O raio de curvatura é (5 sqrt(5) )/ 4 2. Determine a taxa de variação da função f(x,y,z) = xyz + e(2x+y) no ponto P = (-1,2,1) na direção do vetor u =(1,1, 2 ). 2 2 2 2 2 - 2 3 3. Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). 6 /12 2 2 6 1/2 4. Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveis f(x,y) = x2 y + y(1/2) , calcule a taxa de variação no Ponto P = (2,1) na direção do vetor u = (5, - 2) 11 / (29)(1/2) 12/3 5/7 2/3 8 5. Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). 6 /12 2 6 2 1/2 6. Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; x + 1 y = - x - 3 y = 1 - x y =x + 4 x - 1 Dada a função f(x,y) = 1/(xy) que representa uma superfície S no R 3. Determine os pontos dessa superfície S mais próximos de (0,0,0). Os pontos são: (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,-1,-1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,1,-1) Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,-1,1) 2. Determine a curvatura da função y = x2 na origem 4 55 5 2 Nenhuma das respostas anteriores 3. Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 1 + x2 + y2, analise a função e encontre seu ponto crítico. O ponto crítico será (0,1). O ponto crítico será (0,0). O ponto crítico será (2,1). O ponto crítico será (1,2). O ponto crítico será (1,0). Gabarito Coment. 4. Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 2 x3 + y3 - 3x2 - 3y, analise a função e encontre o ponto crítico da função. Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1)e (1,1) Temos como pontos críticos: (0,-1) Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1), (1,1) e (1,-1) Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1) e (1,-1) Temos como pontos críticos: (0,1), (1,1) e (1,-1) Gabarito Coment. 5. Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). Nenhuma das respostas anteriores. 3/4 4 2 5 6. Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: O ponto (0,1) e ponto de Máximo. O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. O ponto (-1,0) e ponto de Sela. O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 7. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 2 ) ? 6x + 10y + 15z - 30 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 x + 2y + 4z - 4 = 0 6x - 3y - 2z + 34 = 0 x + y + z - 3 = 0 8. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e tem N = < 1, 2, -3 > como vetor normal? -x - 2y + 3z + 1 = 0 3x + 2y - z + 1 = 0 2x + 3y - z + 1 = 0 -x + 2y + 3z + 1 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 Dada a função f(x,y) = 1/(xy) que representa uma superfície S no R 3. Determine os pontos dessa superfície S mais próximos de (0,0,0). Os pontos são: (1,-1,-1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,1,-1) 2. Determine a curvatura da função y = x2 na origem 5 55 4 Nenhuma das respostas anteriores 2 3. Seja a função devárias variáveis f(x,y) = 1 + x2 + y2, analise a função e encontre seu ponto crítico. O ponto crítico será (0,0). O ponto crítico será (1,2). O ponto crítico será (1,0). O ponto crítico será (0,1). O ponto crítico será (2,1). Gabarito Coment. 4. Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 2 x3 + y3 - 3x2 - 3y, analise a função e encontre o ponto crítico da função. Temos como pontos críticos: (0,-1) Temos como pontos críticos: (0,1), (1,1) e (1,-1) Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1), (1,1) e (1,-1) Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1) e (1,-1) Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1)e (1,1) Gabarito Coment. 5. Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). Nenhuma das respostas anteriores. 2 4 5 3/4 6. Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. O ponto (-1,0) e ponto de Sela. O ponto (1,1) e ponto de Máximo. O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 7. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 2 ) ? 6x - 3y - 2z + 34 = 0 x + 2y + 4z - 4 = 0 6x + 10y + 15z - 30 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 x + y + z - 3 = 0 8. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e tem N = < 1, 2, -3 > como vetor normal? x + 2y - 3z + 1 = 0 2x + 3y - z + 1 = 0 3x + 2y - z + 1 = 0 -x - 2y + 3z + 1 = 0 -x + 2y + 3z + 1 = Dada a função f(x,y) = 1/(xy) que representa uma superfície S no R 3. Determine os pontos dessa superfície S mais próximos de (0,0,0). Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1) e (-1,1,-1) Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) Os pontos são: (1,-1,-1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) 2. Determine a curvatura da função y = x2 na origem 5 Nenhuma das respostas anteriores 4 55 2 3. Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 1 + x2 + y2, analise a função e encontre seu ponto crítico. O ponto crítico será (0,0). O ponto crítico será (1,0). O ponto crítico será (0,1). O ponto crítico será (2,1). O ponto crítico será (1,2). Gabarito Coment. 4. Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 2 x3 + y3 - 3x2 - 3y, analise a função e encontre o ponto crítico da função. Temos como pontos críticos: (0,-1) Temos como pontos críticos: (0,1), (1,1) e (1,-1) Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1) e (1,-1) Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1)e (1,1) Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1), (1,1) e (1,-1) Gabarito Coment. 5. Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). 2 5 3/4 4 Nenhuma das respostas anteriores. 6. Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. O ponto (1,1) e ponto de Máximo. O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. O ponto (0,1) e ponto de Máximo. O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 7. Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 0, 2 ) ? 6x - 3y - 2z + 34 = 0 x + y + z - 3 = 0 x + 2y + 4z - 4 = 0 6x + 10y + 15z - 30 = 0 x + 2y - 3z + 1 = 0 8. Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e tem N = < 1, 2, -3 > como vetor normal? x + 2y - 3z + 1 = 0 -x - 2y + 3z + 1 = 0 -x + 2y + 3z + 1 = 0 2x + 3y - z + 1 = 0 3x + 2y - z + 1 = 0 Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. dx+e3xdy=0 y=ex+C y=13e3x+C y=12e3x+C y=e3x+C y=13e-3x+C 2. Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: Minimizar x2 + y2 + z2 Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 Determine a função Lagrangeana do problema dado. L(x,y,λ) = - λ (2x + y + 3z - 6) L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z + 6) L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z + 6) L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 + λ (2x + y + 3z - 6) L(x,y,λ) = x2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6) 3. Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: Maximizar xy Sujeito a: x + 2y = 20 Determine a função Lagrangeana do problema dado. L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20) L(x,y,λ) = xy + λ (x + 2y - 20) L(x,y,λ) = λ (x + 2y - 20) L(x,y,λ) = - λ (x + 2y - 20) L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y + 20) 4. Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida por (t) = (a cos t, a sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2] Nenhuma das respostas anteriores a/2 1/a pi a 5. Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo. Aplicando o Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema: y- λ = 0 x - 2λ = 0 -x - 2y + 20 = 0 A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa. 20 m2 100 m2 50 m2 40 m2 60 m2 6. Analisando as afirmações abaixo, classifique-as como verdadeira ou falsa. Podemos afirmar que: I : - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha. II: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha. III: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico. I, II é verdadeira. III é falsa. I , II e II sào verdadeiras. II é falsa. I e II são verdadeira. II é verdadeira. I e II são falsa. I , II e II sào falsas. 7. A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) = (0,0). Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da afirmação. No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de um único caminho e concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto (0,0). No ponto (0,0) a função esta definida. Portanto é contínua no ponto (0,0). No ponto (0,0) a função esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e concluímos que o limite existia. Portanto é contínua no ponto (0,0). No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada caminho estipulado e concluímos que o limite não existia. Portanto não é contínua no ponto (0,0). Nenhuma das respostas anteriores 8. Calcule o comprimento da hélice circular (cos t, sen t , t) , t no intervalo [0,2pi] Nenhuma das respostas anteriores 3pi pi 2pi (2) 1/2 2pi Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. dx+e3xdy=0 y=12e3x+C y=13e-3x+C y=e3x+C y=13e3x+C y=ex+C
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