0 MA Elemento Textual - Matemática e Estatística

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MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
Fernando Lopes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS .................................................... 3 
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ................................................. 18 
3 GEOMETRIA ........................................................................................... 29 
4 GRANDEZAS E MEDIDAS ........................................................................ 43 
5 PROBABILIDADE .................................................................................... 56 
6 ESTATÍSTICA .......................................................................................... 64 
 
 
, 
 
 
3 
 
 
1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
Apresentação 
Neste bloco, trabalharemos com o conjunto dos números naturais (inteiros), que são 
os mais próximos da nossa experiência do dia a dia. Veremos as operações 
matemáticas básicas com problemas práticos para serem resolvidos, e sequências 
numéricas, que são um conjunto de números que seguem certa regra, por exemplo, 
um calendário com os dias de um mês. 
1.1 Sistemas de numeração 
Enquanto a humanidade foi nômade, com as pessoas vivendo basicamente da caça e 
da coleta de frutos e sementes, não havia a necessidade de contagens mais complexas 
nem de registros delas. 
Quando o homem passou a adotar um estilo de vida mais sedentário, fixando-se em 
terras localizadas geralmente ao lado de rios, desenvolvendo a agricultura e o 
pastoreio, surgiu a necessidade de um maior controle. E, para isso, foi preciso criar um 
sistema de contagem e cálculo, bem como uma forma de registro. Assim, o controle da 
quantidade de animais domésticos, da área de plantio e do calendário de colheitas, 
por exemplo, se tornou possível. 
Os povos da Antiguidade criaram diferentes sistemas de numeração com esse objetivo, 
como os antigos egípcios que, entre outros símbolos, utilizavam um traço para indicar 
o número 1 e um osso de calcanhar para indicar o número 10. 
No Ocidente, utilizamos os algarismos arábicos (ou indo-arábicos): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8 e 9. O fato de serem dez algarismos tem uma explicação simples: temos dez dedos 
nas mãos e, desde os primórdios, usamos os dedos para contar. Para números 
maiores, esses algarismos possibilitam uma representação simples. 
, 
 
 
4 
 
Além dos arábicos, usamos os algarismos romanos (I, II, III, IV, V...) em alguns casos, 
mais comumente nos nomes de papas e reis (Dom João VI, Papa Pio XII). Ou seja, esses 
algarismos costumam ser empregados em títulos e não para cálculos, por não serem 
muito práticos. 
Interessante notar que, no início, não havia o número zero, mas a necessidade 
introduziu esse conceito. Se um pastor possui três cabras e decide vendê-las, poderá 
fazer o seu registro corretamente, ou seja, ele terá zero cabra (nenhuma). 
Tabela com os algarismos romanos 
 
 
1.2 Os números naturais e o sistema de numeração 
Os números naturais são todos os números inteiros a partir do zero (inclusive). 
O conjunto desses números é representado por N e é infinito. 
 
Eles são utilizados somente para representação e cálculo de quantidades inteiras. 
Exemplo: 3 canetas, 4 borrachas, 12 jogadores. 
Para representarmos quantidades não inteiras, como uma fatia de um bolo ou uma 
quantidade de dinheiro, usamos os números racionais, que veremos no próximo bloco. 
, 
 
 
5 
 
O sistema de numeração que utilizamos usa dez caracteres, e o valor de cada caractere 
depende de sua posição. 
Exemplo: 3.456, onde: 
O 6 é multiplicado por 1 
O 5 é multiplicado por 10 
O 4 é multiplicado por 100 
O 3 é multiplicado por 1.000 
 
Para nós, isso é tão familiar que parece óbvio. Mas esse sistema de numeração foi 
escolhido porque facilita muito as contas e os cálculos matemáticos mais complexos. 
Em outros sistemas numéricos, as operações matemáticas podem ser complicadas. 
Imagine, por exemplo, um cidadão romano que precisasse fazer uma conta banal, 
como: 
 
Não é objetivo do curso fazer cálculos com esse tipo de algarismo, mas pode-se 
perceber que é mais complicado. 
 
1.3 Operações com números naturais 
No dia a dia, fazemos operações com números naturais em quase todas as nossas 
atividades. 
 
, 
 
 
6 
 
Exemplos: 
Quantos anos têm uma pessoa que nasceu em 2006? 
Compro uma mercadoria por 6 reais e pago com uma nota de 10 reais. Qual é o troco? 
Quanto tempo levo para fazer uma viagem de 400 km num carro a 80 quilômetros por 
hora? 
São quatro as operações básicas que fazemos: adição, subtração, multiplicação e 
divisão. 
 
Adição 
Traz a ideia de juntar, agregar. 
Um pastor que tem 15 ovelhas adquire 10 e, depois, mais 5, ficando com 30. Por meio 
de símbolos, as pessoas começaram a registrar essas atividades e a fazer cálculos. 
Quando os números são pequenos, os cálculos são facilmente feitos de cabeça, mas 
para números maiores precisamos de outros recursos, como calculadoras e 
computadores. 
 
 
Subtração 
A subtração separa (retira) alguns elementos de um conjunto, que fica menor. Se 
retirarmos 10 canetas de uma caixa com 25, ficam, na caixa, 15 canetas. 
, 
 
 
7 
 
A subtração pode ajudar também a calcular uma quantidade que está faltando. 
Exemplo: Preciso de 35 parafusos para montar uma máquina. Já tenho 12. Quantos 
faltam? 
 
Os números naturais têm esse nome porque são associados a uma realidade física, 
palpável. 
Por isso, pode não fazer sentido um número negativo (−3, por exemplo), bastante 
utilizado em cálculos mais avançados, mas que representa uma quantidade abstrata, 
sem correspondência no mundo real. 
Para lidar com esse tipo de número, usamos o conjunto de números inteiros {...−3,−2, 
−1, 0, 1, 2, 3...}. 
Veja, a seguir, um exemplo de exercício básico de adição e subtração para crianças. 
, 
 
 
8 
 
 
 
Multiplicação 
A multiplicação é uma simplificação da soma. Multiplicar, na realidade, é somar várias 
parcelas iguais. 
Assim, em vez de 3 + 3 + 3 + 3 + 3, podemos simplificar o cálculo e a representação 
usando a operação de multiplicação 3*5 (outra forma de grafar é 3 × 5). O resultado é 
o mesmo: 15. 
Note que 3*5 é igual a 5*3, ou seja, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5 
, 
 
 
9 
 
Exemplos: 
1. Pagamento de uma dívida de 5 parcelas de R$ 1.000,00: 
 
2. Quantos ovos há em 6 caixas de uma dúzia cada? 
 
Tabela de multiplicação 
 
A tabela acima facilita a multiplicação de números simples (de um algarismo). 
Normalmente, as pessoas a conhecem de cor, e esse aprendizado é incentivado já no 
início do estudo da matemática. 
Para cálculos maiores, pode-se usar uma calculadora. 
 
, 
 
 
10 
 
 
 
Exemplo: Multiplicar 56 por 23. 
 
Divisão 
Dividir é o inverso de multiplicar. É usado para repartir algo em partes iguais. 
Exemplos: 
1. Dividir 200 embalagens por 25 caixas: 
 Resposta: 200/25 = 8 
, 
 
 
11 
 
2. Quantos litros de álcool são necessários para percorrer 600 km num carro que faz 
12 km/litro: 
 Resposta: 600/12 = 50 
Dividiu-se a estrada em 50 pedaços de 12 km. Cada pedaço necessita de um litro de 
álcool. 
As contas de divisão de números grandes são complexas e normalmente são feitas 
com auxílio de uma calculadora. Mas podem ser feitas manualmente como no 
exemplo a seguir: 
 
Obs.: No caso de números naturais, nem toda divisão é possível. Por exemplo, dividir 
10 reais por 4 pessoas. O resultado seria 2,50 reais para cada, o que não é um número 
natural. 
 
1.4 A resolução de problemas utilizando os números naturais 
No dia a dia, podemos usar cálculos numéricos simples para solucionar alguns 
problemas, conforme os exemplos a seguir. Tente resolvê-los antes de olhar as 
respostas. 
 
Exemplo 1 
Numa sala, estão armazenadas 80 caixas. Cada caixa tem 4 dúzias de celulares. 
Quantos celulares há no total? 
 
, 
 
 
12 
 
Resposta: 
A melhor solução é dividiro problema por partes e resolver uma por vez. 
Nesse caso, primeiro, calculamos a quantidade de celulares por caixa: 
 
Exemplo 2 
O preço de um carro foi de R$ 10.000,00 de entrada mais 10 prestações de R$ 800,00. 
Qual o valor total do carro? 
Resposta: 
Primeiro, calculamos o valor total das prestações: 
 
Exemplo 3 
Ao fazer uma viagem de 600 km, o motorista andou na primeira metade com uma 
média de 60 km por hora e, na segunda metade, com uma média de 100 km por hora. 
Quanto tempo ele levou para fazer a viagem? 
Resposta: 
Nesse caso, temos que dividir a viagem em 2 partes. 
Primeira parte, 300 km a 60 km/hora. O tempo será 300/60 = 5 (5 horas). 
, 
 
 
13 
 
Segunda parte, 300 km a 100 km/hora. O tempo será 300/100 = 3 (3 horas). 
Tempo total 5 + 3 = 8 (8 horas) 
 
Exemplo 4 
Uma pessoa tem duas fontes de renda. Numa delas, ganha R$ 2.345,00 e, na outra, ela 
recebe R$ 3.756,00. 
Suas principais despesas são: 
Aluguel 1.500,00 
Saúde 800,00 
Supermercado 900,00 
Contas diversas 350,00 
 
No fim do mês, quanto irá sobrar? 
Reposta 
Nesse caso, dividimos o problema em 3 partes. 
 
Exemplo 5 
A produção de uma fábrica de tijolos registrou o seguinte resultado: 
Segunda 3.500 
Terça 4.200 
, 
 
 
14 
 
Quinta 3.800 
Sabendo-se que no início havia 6.000 tijolos em estoque e que no processo foram 
perdidos 315, quantos tijolos haverá no final? 
Resposta: 
 
1.5 Sequências numéricas 
Sequência numérica é uma coleção (conjunto) de números finitos ou infinitos que 
seguem uma regra. 
Exemplos: 
 
Nos exemplos acima, as sequências são infinitas. 
Na prática, usamos muitas vezes sequências finitas. 
Exemplo: Numa viagem de 1.100 km, abasteço o carro a cada 200 km. Qual seria a 
sequência para o abastecimento? 
 
Obs.: Uma sequência de números aleatórios (sem nenhum padrão ou regra) não é 
considerada uma sequência numérica. Por exemplo, o número de pessoas que cruzam 
, 
 
 
15 
 
uma rua na hora do almoço. A cada dia, será um número diferente, porém sem 
nenhum padrão. 
Notação matemática da sequência 
O primeiro elemento da sequência é chamado de a₁, o segundo de a₂, o terceiro de a₃ e 
assim por diante. 
Exemplo: Uma sequência de 5 números tem como primeiro elemento o número 10. 
Cada elemento é o dobro do anterior. Qual o valor de a₄? 
 
Progressão aritmética 
É uma sequência numérica em que um número é sempre igual ao seu anterior somado 
a uma constante chamada razão. 
Desse modo, o segundo número da sequência é igual ao primeiro mais a razão, o 
terceiro é igual ao primeiro mais duas vezes a razão e assim por diante. 
 
Para facilitar o cálculo, existe uma fórmula: 
 
, 
 
 
16 
 
Vamos calcular o décimo número da sequência acima: 
 
Exemplos 
1. Para financiar um apartamento em 10 prestações anuais, uma pessoa assinou o 
seguinte contrato: 
Primeira prestação = R$ 1.000,00. 
A cada ano, a prestação será acrescida de R$ 50,00. 
Qual o valor da sétima prestação? 
Resposta: 
Na fórmula, teríamos n=7, a1 = 1.000 e r = 50 
 
 
2. Um corredor faz um programa de corrida de 4 dias. No primeiro dia, ele irá correr 
12 km. Depois, a cada dia irá acrescentar 2 km. Quantos km irá correr no total? 
Resposta: 
Vamos fazer a sequência numérica: 
 
, 
 
 
17 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, vimos o sistema de numeração que adotamos no Brasil e no Ocidente, o 
sistema arábico, os números naturais (que são números inteiros a partir do zero) e as 
quatro operações básicas com esses números. Vimos também a resolução de alguns 
problemas usando essas operações e as sequências numéricas, que são conjuntos de 
números em sequência, que obedecem a uma regra ou a um padrão. 
 
REFERÊNCIAS 
COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva; NOVAES, Diva Valério. Estatística para educação 
profissional e tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. [Minha Biblioteca]. 
REIS, Alcir Garcia. Geometria plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. 
Porto Alegre: Bookman, 2014. [Minha Biblioteca]. 
SMOLE, Kátia Stocco; MUNIZ, Cristiano Alberto. (org.). A matemática em sala de aula: 
reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Porto Alegre: 
Penso, 2013. [Minha Biblioteca]. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
18 
 
 
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
Apresentação 
No bloco anterior, vimos os números naturais, que lidam com quantidades inteiras. No 
entanto, a nossa realidade é bem diferente. Muitas vezes, trabalhamos com partes de 
um inteiro, que é o que fazemos quando dividimos uma pizza em 8 pedaços. Neste 
bloco, iremos trabalhar com frações, que são uma das ferramentas matemáticas para 
essas situações. 
 
2.1 Frações 
Fração é um modo de representar a divisão de um objeto em partes iguais e indicar 
quantas partes nós vamos utilizar. 
 
 
 
Veja a figura que ilustra o uso de frações: 
 
, 
 
 
19 
 
 
 
2.2 Operações com frações 
 
Adição de frações: 
Quando duas frações têm o mesmo denominador, é simples: basta somar os 
numeradores. 
 
 
 
Quando os denominadores são diferentes, não é tão simples. 
Primeiro, vamos ver uma propriedade importante das frações. 
Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador pelo mesmo número, 
o valor da fração não se altera. 
 
 
Vamos usar essa propriedade para somar duas frações. 
, 
 
 
20 
 
 
 
 
 
Subtração de frações 
A subtração de frações é semelhante à soma. Se as duas frações tiverem o mesmo 
denominador, basta subtrair os numeradores. Exemplos: 
 
, 
 
 
21 
 
 
Se não, será necessário achar um número que seja múltiplo dos denominadores e que 
seja o menor possível, converter as frações e subtrair os numeradores. 
 
 
 
Multiplicação de frações 
A multiplicação de fração é simples, basta multiplicar os numeradores e multiplicar os 
denominadores. 
 
 
 
Frações mistas 
Muitas vezes, usamos um número inteiro junto com uma fração. 
, 
 
 
22 
 
 
 
2.3 A resolução de problemas com frações 
Vamos agora resolver alguns problemas utilizando frações. Tente resolvê-los antes de 
olhar as respostas. 
 
Problema 1 
Um feirante levou 600 peras para vender na feira. Das 8h às 10h, vendeu um quarto da 
sua mercadoria. Das 10h às 12h, vendeu um terço. Quantas peras sobraram? 
 
 
150 
200 
250 
1/4
1/3
Sobrou
, 
 
 
23 
 
Problema 2 
 
 
Problema 3 
 
 
 
2.4 Números decimais e operações 
 
, 
 
 
24 
 
 
 
Operações com decimais 
Adição 
Para adicionar dois números decimais, temos que alinhar as vírgulas e somar como se 
fossem dois inteiros. 
 
Obs.: se os dois números tiverem um número de casas decimais diferentes, pode-se 
completar com zeros à direita para ficarem iguais. 
Exemplo: Somar 100,124 com 90,3. Acrescentamos dois zeros no segundo número 
para ficarem com o mesmo número de casas decimais. A soma ficaria: 
 
 
 
 
, 
 
 
25 
 
Subtração 
A regra é semelhante à da adição. Primeiro, deve-se alinhar as vírgulas e depois 
subtrair como se fossem dois números inteiros. 
 
 
Multiplicação 
Para multiplicar dois números decimais, deve-se multiplicar os dois fatores como se 
fossem inteiros, somar o número de casas decimais dos dois e colocar no resultado. 
 
 
 
Divisão 
Primeiro, os dois fatores da divisão devem ter número igual de casas decimais. Para 
isso, deve-se acrescentar zero(s) à direita de um deles. Depois, é só dividir como se 
fossem inteiros. 
Exemplo: 
 
 
O primeiro fator tem 1 casa decimal, o segundo tem duas. Vamos acrescentar um zero 
no primeiro para ficarem iguais. 
, 
 
 
26 
 
 
 
2.5 Porcentagem e resolução de problemas 
Porcentagem é um modo de representar quantidades usadas constantemente no dia a 
dia, em diversas situações. 
Taxa de juros de 1%. 
30% dos eleitores não foram votar. 
20% dos habitantes de um país têm mais de 60 anos. 
Mas o que isso significa? O símbolo % significa “em cada cem”.25% significa 25 em cada cem. 
12% significa 12 em cada cem. 
Pode-se dizer que a porcentagem é uma fração cujo denominador é 100. 
 
 
As porcentagens podem ser convertidas em fração e vice-versa. 
 
Ao contrário pode ser mais complicado. 
Exemplo: 1/5 dos alunos da classe foi reprovado. Qual o porcentual? 
, 
 
 
27 
 
 
 
 
 
Conclusão 
No primeiro bloco, trabalhamos com os números inteiros e suas operações. Neste 
bloco, vimos como trabalhar com partes de um inteiro, iniciando com as frações, seu 
uso e operações matemáticas e resolução de problemas do dia a dia. Vimos outras 
formas de lidar com partes de um inteiro como o uso de decimais e porcentuais, e as 
relações que existem entre esses três (frações, decimais, porcentuais) e seu uso em 
situações práticas. 
, 
 
 
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REFERÊNCIAS 
COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva; NOVAES, Diva Valério. Estatística para educação 
profissional e tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. [Minha Biblioteca]. 
REIS, Alcir Garcia. Geometria plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. 
Porto Alegre: Bookman, 2014. [Minha Biblioteca]. 
SMOLE, Kátia Stocco; MUNIZ, Cristiano Alberto. (org.). A matemática em sala de aula: 
reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Porto Alegre: 
Penso, 2013. [Minha Biblioteca]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
 
3 GEOMETRIA 
 
Apresentação 
Enquanto os números se preocupam com quantidades, a geometria (que significa 
“medir a terra”, em grego) se preocupa com formas, medidas e a relação entre os 
objetos da natureza. Como um dos primeiros povos a utilizar a geometria, os antigos 
egípcios dividiam as terras perto do Rio Nilo. Quando o rio subia e depois baixava, era 
necessário remarcá-las. Os gregos foram mais adiante e desenvolveram teorias mais 
complexas sobre o assunto. Euclides, um matemático grego, é conhecido pelo 
desenvolvimento da Geometria Euclidiana, base da geometria atual. A geometria pode 
trabalhar com objetos planos (quadrados, triângulos, retângulos) e tridimensionais 
(cubos, cones, cilindros). Neste bloco, iremos trabalhar com a geometria plana. 
 
 
3.1 Conceitos iniciais 
A geometria possui alguns conceitos primitivos: ponto, reta, plano e espaço, que não 
têm uma definição, mas são compreendidos intuitivamente. 
Ponto: é utilizado para representar uma localização no espaço. É representado por um 
ponto e letras maiúsculas. 
 
, 
 
 
30 
 
 
Reta: é um conjunto de pontos formando uma linha. Seu comprimento é infinito e não 
tem largura. 
Existem também a semirreta, que se inicia em um ponto e vai para o infinito, e o 
segmento de reta, que começa num ponto e acaba em outro. 
 
Plano: é uma superfície como uma parede, um muro, um espelho. Tem tamanho 
infinito. Se uma reta está num plano, ela nunca sai dele. Por isso, pode-se dizer que os 
planos são feitos de infinitas retas. É representado por letras gregas (plano α, plano β). 
 
, 
 
 
31 
 
Dentro de um mesmo plano, as retas podem ser: 
 Paralelas – nunca se encontram. 
 Concorrentes – se encontram em um ponto. 
 Perpendiculares – se encontram em um ponto e formam um ângulo de 90o. 
 
Espaço: é onde os objetos podem ser construídos (retas, quadrados, cubos). É tudo o 
que nos envolve e é infinito em qualquer direção. 
, 
 
 
32 
 
 
 
 
3.2 Triângulos 
Triângulo significa três ângulos. Mas o que é um ângulo? 
Ângulo é uma figura feita por duas retas que partem de um mesmo ponto. 
 
É representado por um pedaço de círculo e é medido em graus, conforme a figura 
acima. 
Já o triângulo é uma figura geométrica com 3 lados e 3 ângulos internos. Cada lado é 
um segmento de reta que encontra os outros 2, formando 3 ângulos. 
, 
 
 
33 
 
 
Propriedade dos triângulos: 
A soma dos 3 ângulos internos é sempre 180o. 
O lado maior é sempre oposto ao maior ângulo. 
O lado menor é sempre oposto ao menor ângulo. 
Sua área é dada pela multiplicação de sua base é pela altura dividida por 2. 
 
Tipos de triângulo: 
 Equilátero – Todos os lados são iguais e os ângulos também (60o cada um). 
 Isósceles – Tem dois lados iguais. 
 Escaleno – Os lados são todos diferentes. 
 Retângulo – Um dos ângulos tem 90o. 
 Obtuso – Um dos ângulos é maior que 90o. 
, 
 
 
34 
 
3.3 Quadriláteros 
São polígonos que possuem 4 lados, isto é, uma figura plana fechada feita com 4 
segmentos de retas e 4 ângulos. Uma propriedade dos quadriláteros é que a soma dos 
seus ângulos internos é 360o. 
 
Tipos de quadriláteros 
 Quadrado – Possui 4 lados iguais e 4 ângulos de 90o. 
 Retângulo – Os 4 ângulos são de 90o e os lados opostos são iguais. 
 Paralelogramo – Possui lados opostos paralelos e de mesmo tamanho. Os 
ângulos opostos são iguais. 
 Trapézio – Possui 2 lados paralelos. 
 
Há dois tipos de trapézio: 
Trapézio retângulo – Possui um ângulo de 90o.
 
Trapézio isósceles – Os lados não paralelos têm o mesmo tamanho, e os ângulos 
opostos são iguais. 
, 
 
 
35 
 
Losango – Possui 4 lados iguais e ângulos opostos iguais, mas, diferentemente do 
quadrado, seus ângulos não são de 900. 
Os quadriláteros podem ainda ser classificados como côncavos ou convexos: 
Côncavo – Possui um ângulo maior que 180o. 
Convexo – Nenhum ângulo é maior que 180o. 
, 
 
 
36 
 
 
3.4 Cálculos de área e perímetros das figuras planas 
 
, 
 
 
37 
 
 
 
 
 
, 
 
 
38 
 
 
 
 
Obs.: A fórmula acima vale para qualquer tipo de trapézio (retângulo ou isósceles). 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
39 
 
Losangos 
 
 
 
3.5 A resolução de problemas com geometria 
Vamos fazer alguns exercícios práticos do uso da geometria no dia a dia. Tente resolvê-
los antes de olhar a resposta. 
 
Exercício 1 
Num prédio, há uma quadra de formato retangular, medindo 15 m por 10 m. 
Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para 25 m², quantas latas serão necessárias 
para pintar a quadra inteira? Em volta de toda a quadra será colocada uma fita preta. 
Quantos metros serão necessários? 
 
 
 
, 
 
 
40 
 
 
 
Exercício 2 
Uma piscina tem o formato e as medidas conforme a figura a seguir: 
Qual a área total da piscina? 
 
Resposta: 
A figura mostra que a piscina é feita por um quadrado e um triângulo. 
 
 
Exercício 3 
Uma pista de corrida tem o formato a seguir: 
, 
 
 
41 
 
 
Se um corredor consegue fazer 200 metros/minuto, quanto tempo ele precisa para dar 
10 voltas na pista? 
Resposta: 
O comprimento da pista é o seu perímetro: 20 + 15 + 30 + 15 = 80 metros 
10 voltas serão 800 metros. 
Tempo: 800/200 = 4 minutos 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, vimos os conceitos básicos da geometria (ponto, reta, plano) e os objetos 
planos triângulos e quadriláteros. Vimos, também, como calcular áreas e perímetros 
dessas figuras, além de algumas aplicações práticas, usadas no dia a dia. 
 
REFERÊNCIAS 
COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva; NOVAES, Diva Valério. Estatística para educação 
profissional e tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. [Minha Biblioteca]. 
REIS, Alcir Garcia. Geometria plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. 
Porto Alegre: Bookman, 2014. [Minha Biblioteca]. 
, 
 
 
42 
 
SMOLE, Kátia Stocco; MUNIZ, Cristiano Alberto. (org.). A matemática em sala de aula: 
reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Porto Alegre: 
Penso, 2013. [Minha Biblioteca]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
43 
 
 
4 GRANDEZAS E MEDIDAS 
 
Apresentação 
Ao longo da história, diferentes povos criaram distintos padrões para indicar medidas 
de comprimento, superfície, volume, tempo, dinheiro etc. Se não houvesse esses 
padrões, algumas atividades humanas seriam impossíveis, por exemplo, o comércio. 
Como encomendar um tecido sem informar a medida desejada, num padrão que seja 
entendido por todos os envolvidos? Neste bloco, vamos ver os padrõesutilizados por 
nós, no mundo ocidental, e como trabalhar com eles. 
 
4.1 Medidas de comprimento e superfície 
Medidas de comprimento 
A unidade padrão mais utilizada para medidas de comprimento é a definida pelo 
sistema métrico, inventado por dois astrônomos franceses há mais de 200 anos. 
Existem outros, como a polegada, o pé e a jarda, ainda adotados no Reino Unido e nos 
Estados Unidos. 
O sistema métrico tem como base o metro e suas variações, conforme tabela a seguir: 
 Milímetro (mm) 0,001 metro 
 Centímetro (cm) 0,01 metro 
 Decímetro (dm) 0,1 metro 
 Metro (m) 1 metro 
 Decâmetro (dam) 10 metros 
 Hectômetro (hm) 100 metros 
 Quilômetro (km) 1.000 metros 
 
Usamos essas medidas de acordo com o tamanho do que estamos medindo. Por 
exemplo, para uma estrada, usamos o quilômetro, para um móvel, o metro e para 
coisas muito pequenas, o milímetro. 
 
 
, 
 
 
44 
 
Conversão: 
Muitas vezes, é necessário converter uma unidade de medida para outra. Por exemplo, 
1,20 m pode ser convertido para 120 cm. 
Na tabela a seguir, mostramos como converter todas as medidas: 
 
Para 
De 
 
 
 
 mm cm dm m dam hm km 
mm 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 
cm 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
dm 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 
m 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 
dam 10.000 1.000 100 10 1 0,1 0,01 
hm 100.000 10.000 1.000 100 10 1 0,1 
km 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1 
 
 
Exemplos: 
Converter de mm para m: multiplicar por 0,001 
200 mm são o mesmo que 0,2 m. 
Converter de cm para m: multiplicar por 0,01 
150 cm são o mesmo que 1,50 m. 
Converter de km para m: multiplicar por 1.000 
3 km são o mesmo que 3.000 m. 
 
Exercício: Uma pessoa anda 200 metros até o ponto de ônibus. Faz um percurso de 
3,5 km e, chegando ao seu destino, anda mais 300 metros. Qual a distância total 
percorrida? 
O problema é que não podemos somar unidades diferentes (metros com quilômetros). 
Primeiro, convertemos tudo para metro e depois somamos. 
200 m = 200 m 
3,5 km = 3.500 m 
, 
 
 
45 
 
300 m = 300 m 
 
Somando, teremos 4.000 m ou 4 km. 
 
Medidas de superfície 
Medidas de superfície fazem parte do nosso dia a dia, como o tamanho de um terreno, 
uma mesa, um campo de futebol, uma quadra de vôlei e outros. 
A superfície é definida por duas dimensões, e a área é um número que indica a medida 
da superfície. 
O padrão utilizado é o sistema métrico, usando a mesma base do comprimento. Assim, 
temos o metro quadrado (m2), o km quadrado (km2) e outros. 
Como exemplo, podemos supor duas mesas: uma medindo 1 m por 1 m e a outra 
medindo 2 m por 0,5 m. 
 
 
, 
 
 
46 
 
Embora com formatos diferentes, elas têm a mesma área. Seria necessária a mesma 
quantidade de tinta para pintar as duas. 
Se for necessário converter as medidas, temos que tomar um certo cuidado, pois a 
conversão não é igual a do comprimento. 
Por exemplo, 1 metro equivale a 100 cm, porém 1 m2 equivale a 10.000 cm2. Isto 
porque: 
 
 
Tabela simplificada de conversão: 
 Para 
 mm² cm² dm² m² dam² hm² km² 
De m² 1.000.000,00 10.000,00 100,00 1,00 0,01 0,0001 0,000001 
 
Exemplo: um terreno com 10.000 m² tem quantos km²? 
 
Obs.: Na agricultura, são utilizadas duas medidas de superfície, o are e o hectare. 
Are equivale a 100 m². 
Hectare equivale a 10.000 m². 
 
4.2 Medidas de volume e capacidade 
Volumes se aplicam a figuras geométricas tridimensionais, localizadas no espaço. São 
exemplos o cubo, a esfera, o cone, o cilindro e outros. 
As unidades mais comuns utilizadas para as medidas de volumes são o metro cúbico 
(m³), o decímetro cúbico (dm³) e o centímetro cúbico (cm³). Para facilitar a 
compreensão, imagine um cubo de 1 m de cada lado (1 m³), um cubo de 1 dm de cada 
lado (1 dm³) e um pequeno cubo de 1 cm de cada lado (1 cm³). 
, 
 
 
47 
 
 
Quando lidamos com líquidos, utilizamos também o litro (l) e o mililitro (ml). 
Relação entre as medidas: 
 
Exemplos: 
1 caixa de leite longa vida tem um litro. Quantos cm³ tem a caixa? 
1 litro é 1.000 ml, que corresponde a 1.000 cm³. 
 
Quantos litros cabem numa caixa d’água de 1 m³? 
1 m³ tem 1.000.000 cm³ ou 1.000.000 ml 
1.000 ml é 1 litro, logo: 
1.000.000 ml equivale a 1.000.000/1.000 = 1.000 litros 
 
Um médico receitou um colírio para pingar 5 gotas, 3 vezes ao dia, durante um 
mês. No frasco, está escrito 10 ml. Sabendo que 1 gota tem 0,05 ml, o frasco será 
suficiente? 
 
Resposta: primeiro, vamos calcular o número total de gotas. 
 
, 
 
 
48 
 
 
 
Volumes de alguns sólidos 
 
Cubo (com lado a) 
Volume = a³ 
Paralelepípedo (com largura a, profundidade p e altura h) 
Volume = a.p.h 
Esfera (com raio r) 
 
 
 
 
, 
 
 
49 
 
Exemplos: 
Volume de um cubo de 20 cm de lado 
Volume = 20 cm³ = 8.000 cm³ 
Volume de um paralelepípedo de largura 30 cm, profundidade 15 cm e altura 25 cm 
 
 
4.3 Medidas de massa e tempo 
Massa 
Massa é a quantidade de matéria que existe num objeto, num corpo físico. A unidade 
de medida de massa é o grama, que tem as seguintes variações: 
quilograma (kg) 1.000 gramas 
hectograma (hg) 100 gramas 
decagrama (dag) 10 gramas 
grama (g) 1 grama 
decigrama (dg) 0,1 grama 
centigrama (cg) 0,01 grama 
miligrama (mg) 0,001 grama 
 
Existem outras unidades também usadas, como: 
Tonelada equivale a 1.000 quilogramas. 
Arroba equivale a 15 kg (usada na pecuária). 
Quilate equivale a 0,2 grama (para pedras preciosas). 
 
Exemplos: 
Um saco de ração tem 10 kg. Um cachorro come 250 g por dia. Quanto irá durar o 
pacote? 
 
, 
 
 
50 
 
Resposta: Não podemos dividir 10 kg por 250 g diretamente. Primeiro, convertemos 
para uma mesma base (no caso, grama) e, depois, podemos calcular. 
 
10 kg equivale a 10.000 g. 
Resposta: 10.000/250 são 40 dias. 
 
Um caminhão leva 3 caixas: uma pesa 2 toneladas, outra pesa 850 quilogramas e a 
terceira, 600 quilogramas. Qual o peso total que o caminhão está levando? 
 
Resposta: 2 toneladas são 2.000 kg. Somando tudo em kg, teremos: 
 
2.000 + 850 + 600 = 3.450 kg ou 3,45 toneladas 
 
Medidas de tempo 
Ao longo da história, foram utilizados diferentes métodos para as medidas do tempo. 
Atualmente, usamos um método que tem origem na Antiguidade, que adotou a divisão 
do dia com 24 horas, cada hora com 60 minutos e cada minuto com 60 segundos. Para 
períodos mais longos, como os meses e as semanas, o Sol e os ciclos da Lua foram 
importantes referenciais. 
A base da medida do tempo é o segundo. Temos o seguinte sistema: 
 
Segundo 
Minuto = 60 segundos 
Hora = 60 minutos 
Dia = 24 horas 
Semana = 7 dias 
Mês = 30 dias 
Ano = 12 meses 
Século = 100 anos 
Temos ainda: décimos, centésimos e milésimos de segundo para medidas de alta 
precisão. 
, 
 
 
51 
 
Com a tabela acima, podemos fazer várias conversões de medidas do tempo. 
 
 
 
Um corredor dá uma volta na pista em 3 minutos e 18 segundos. Quanto tempo levará 
para dar 25 voltas? 
 
 
 
Observação importante: 
3,25 horas não são 3 horas e 25 minutos. 
 
1,5 hora é 1 hora e 30 minutos (1 hora e meia) 
 
4.4 Sistema monetário 
O dinheiro nem sempre existiu. Muito antigamente ou em sociedades muito 
primitivas, o que se praticava era a troca direta de mercadorias (chamada de 
escambo). As pessoas não levavam dinheiro no bolso, mas levavam seus objetos, 
, 
 
 
52 
 
plantas ou animais para fazer trocas. Por exemplo, trocar um punhado de batatas por 
um chapéu, ou uma vaca por dois porcos. Isso não era muito prático e, com o tempo, 
foi desenvolvida uma maneira mais simples para viabilizar as trocas. Criou-se a moeda, 
normalmente feita de metal, que tinha um determinado valor, e todas as mercadorias 
podiam ser compradas/vendidas usando as moedas. Assim,a pessoa levava 10 moedas 
no bolso e comprava mercadorias, por exemplo, pagava 5 moedas por um sapato, 3 
por um copo e 2 por uma faca. 
Com o tempo, para facilitar o comércio, foi criado o papel-moeda, também chamado 
de nota, mais fácil de fazer e carregar. Cada país criou o seu sistema monetário 
próprio, adotando diferentes moedas. No Brasil, utilizamos o real. Nos Estados Unidos, 
é utilizado o dólar americano; na Europa, o euro, e assim por diante. 
Nem sempre a moeda no Brasil foi o real. Ao longo da história, foram utilizadas outras, 
como réis, cruzeiro, cruzado etc. 
E quem faz o dinheiro? O governo fabrica o dinheiro na Casa da Moeda, que 
regularmente imprime papel-moeda e cunha moedas de metal. Depois, o envia para os 
bancos, que distribuem para as pessoas. 
Hoje em dia, as pessoas não carregam muito dinheiro no bolso. Em vez disso, 
depositam o dinheiro numa conta em um banco e usam um cartão para fazer suas 
compras. Desse modo, se deposito 100 reais no banco e, usando um cartão, faço uma 
compra de 30 reais, o banco tira 30 e fico com 70 reais na conta. 
No Brasil, a moeda oficial é o real, simbolizado por R$. Para valores menores que 1 
real, usamos os centavos de real. 
Exemplo: preço de um pacote de farinha é R$ 6,55 (seis reais e cinquenta e três 
centavos). 
Um problema que acontece é o troco. Suponha que uma pessoa compre o pacote de 
farinha acima num mercado e pague com uma nota de R$ 10. O troco será de R$ 3,45. 
Mas quais moedas e notas existem para fazer o troco? 
 
Moedas: 5, 10, 25 e 50 centavos e 1 real. 
Papel-moeda: 2, 5, 10, 20, 50, 100 reais. 
, 
 
 
53 
 
No caso acima, poderíamos formar o troco com 1 nota de 2 reais, 1 moeda de 1 real, 4 
moedas de 10 centavos e uma moeda de 5 centavos. 
 
Exercício: 
Uma mercadoria custa R$ 64. Pago com uma nota de R$ 100. Qual seria o troco e 
como seria formado? 
 
Resposta: 
 
Formação: 1 nota de 20 reais, 1 nota de 10 reais, 1 nota de 5 reais e 1 moeda de 1 real. 
 
4.5 Aplicações 
Vamos fazer alguns exercícios com o que vimos neste bloco. Tente resolvê-los antes de 
olhar as respostas. 
 
Exercício 1 
 
 
 
 
, 
 
 
54 
 
Exercício 2 
 
 
Exercício 4 
 
 
Exercício 6 
Uma pessoa tinha R$ 200,00 em notas e moedas. Pagou duas contas, uma de R$ 48,50 
e outra de R$ 36,15. Quais notas e moedas poderia utilizar para pagar essas contas 
sem precisar de troco? 
, 
 
 
55 
 
Respostas: 
 R$ 48,50 – 2 notas de 20 reais 
 1 nota de 5 reais 
 1 nota de 2 reais 
 1 moeda de 1 real 
 1 moeda de 50 centavos 
 R$ 36,15 – 1 nota de 20 reais 
 1 nota de 10 reais 
 1 nota de 5 reais 
 1 moeda de 1 real 
 1 moeda de 10 centavos 
 1 moeda de 5 centavos 
 
Conclusão 
Neste bloco, vimos o uso de vários tipos de medidas no dia a dia. Foram medidas de 
comprimento, área, volume, massa, tempo e dinheiro. Vimos como algumas unidades 
de medida podem ser convertidas para outras e os padrões utilizados no Brasil. Além 
disso, várias aplicações práticas puderam ser vistas através de exemplos e exercícios. 
 
 
REFERÊNCIAS 
COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva; NOVAES, Diva Valério. Estatística para educação 
profissional e tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. [Minha Biblioteca]. 
REIS, Alcir Garcia. Geometria plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. 
Porto Alegre: Bookman, 2014. [Minha Biblioteca]. 
SMOLE, Kátia Stocco; MUNIZ, Cristiano Alberto. (org.). A matemática em sala de aula: 
reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Porto Alegre: 
Penso, 2013. [Minha Biblioteca]. 
 
, 
 
 
56 
 
 
5 PROBABILIDADE 
 
Apresentação 
Vamos ver, neste bloco, os conceitos, algumas ideias e cálculos sobre a probabilidade, 
ou seja, a chance de que alguma coisa aconteça. Qual é a probabilidade de uma pessoa 
ganhar num par ou ímpar? Ou de ganhar na loteria? Qual a probabilidade de chover 
amanhã? Evidentemente, quanto mais complexa a situação, mais difícil é calcular essa 
probabilidade. Mesmo usando modelos matemáticos sofisticados, como 
supercomputadores, é muito difícil avaliar situações como qual será a temperatura 
máxima em São Paulo daqui a dois meses. 
Vamos explorar os conceitos básicos e situações mais simples do cotidiano, para 
termos uma visão geral sobre esse assunto. 
 
5.1 Conceitos iniciais 
Possibilidade 
É algo que pode acontecer, mas não é certo. Pode chover amanhã. Se jogar um dado, 
pode sair o número seis. Posso tirar uma carta do baralho e sair um ás. 
Às vezes, precisamos listar quais são as possibilidades. Exemplos: 
 Jogar um dado – Um dado possui 6 lados. Portanto, há seis possibilidades (1, 2, 
3, 4, 5 e 6). 
 Tirar uma carta do baralho – Um baralho tem 52 cartas. Então, são 52 
possibilidades (sem contar os coringas, é claro). 
 Par ou ímpar – Apenas duas possibilidades: ganhar ou perder. 
 
Probabilidade 
Enquanto a possibilidade nos diz o que pode acontecer, a probabilidade nos diz a 
chance de que isso vá de fato ocorrer. 
No caso do par ou ímpar: 50% de chance de ganhar e 50% de perder. 
Tirar o número 3 nos dados: a chance é de 1 para 6. 
Ganhar na quina: a probabilidade é de 1 em 24.040.016. 
, 
 
 
57 
 
Chover amanhã: 10% (segundo nos diz, hoje, o serviço de meteorologia). 
 
5.2 O aleatório e o acaso em situações do cotidiano 
 
Experimentos aleatórios 
Experimentos aleatórios são aqueles em que uma pessoa repete a mesma coisa várias 
vezes, e o resultado é imprevisível. Mesmo que a pessoa procure ter o maior controle 
possível, ela nunca irá saber o resultado antes da experiência. Podemos saber as 
possibilidades, mas não qual delas irá acontecer. 
Exemplo: jogar um dado. Podemos repetir quantas vezes for possível, mas nunca 
saberemos de antemão qual o resultado. Só sabemos que irá sair um número de 1 a 6. 
 
Acaso 
O acaso é um evento que acontece, mas não tem uma causa aparente, normalmente 
não é esperado, é uma surpresa. 
Exemplo: Encontrei um amigo no supermercado. Ele mora em São Paulo, num bairro 
longe do meu. Esse exemplo é de um evento de probabilidade pequena. 
 
No dia a dia, temos situações que podemos classificar como: 
 Certamente irá acontecer – o sol nascer, a terra girar... 
 Não irá acontecer – o sol ficar parado no céu, um ferimento sarar 
instantaneamente... 
 Poderá acontecer – chover, o tráfego ficar parado, faltar luz... 
 Pouco provável – tráfego bom no fim da tarde em São Paulo... 
 
5.3 Espaço amostral e chances de eventos aleatórios 
 
Espaço amostral 
É o conjunto de todos os resultados possíveis numa experiência aleatória. Cada 
resultado será chamado de evento. 
 
, 
 
 
58 
 
 
Exemplo: 
Numa caixa, há bolas vermelhas, azuis e verdes. Se você pegar uma bola, qual é o 
espaço amostral? 
 
 
Já o espaço amostral de um jogo de dados tem 6 possibilidades: 
 
 
Chances de eventos aleatórios 
Vimos que numa experiência aleatória o resultado é imprevisível, mas podemos saber 
o espaço amostral, isto é, o conjunto de todos os eventos que podem acontecer. 
Chance é a probabilidade de um desses eventos acontecer. 
 
Exemplificando: 
Numa sala de 20 alunos, 10 são meninos e 10 são meninas. Se a professora fizer um 
sorteio, qual a probabilidade de sair uma menina. Intuitivamente, podemos responder 
50%. 
Mas e se o número de meninas for 8 e o dos meninos for 12? Nesse caso, teríamos: 
 
 
No jogo do bicho, são utilizados 25 animais. 
O espaço amostral é: {avestruz, águia, burro, borboleta,...}. 
, 
 
 
59 
 
A chance de um bicho ser sorteado é 1 para 25. 
 
 
5.4 Cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis 
Eventos equiprováveis são aqueles que têm a mesma possibilidade de acontecer, ou 
seja, num espaço amostral todos os resultados são igualmente possíveis. 
 
 
Número de eventos favoráveis (NEF): é o número de eventos que se quer saber a 
probabilidade. 
Número de eventos possíveis(NEP): são todos os eventos do espaço amostral. 
 
Representando de uma forma mais simples: 
P = NEF/NEP 
 
Exemplos: 
 
 
Exercício: Num jogo de bicho, que tem 25 animais, uma pessoa aposta em 5 bichos 
diferentes. Qual a chance de acertar? 
nº de eventos favoráveis: 5 
nº de eventos possíveis: 25 
, 
 
 
60 
 
 
Algumas vezes, não é tão simples quanto parece. Vejamos as três situações a seguir: 
 
 
Qual é a possibilidade de um casal ter dois filhos sendo o primeiro homem e o segundo 
mulher? 
 
 
5.5 Situações-problema que envolvem probabilidade 
Através de alguns exercícios, podemos ver o uso da probabilidade em questões do 
cotidiano. Tente resolvê-los antes de olhar a resposta. 
 
Exercício 1 
Qual a probabilidade de se obter um número maior que 4 ao se jogar um dado? 
Resposta: 
Lembrando a fórmula P = NEF/NEP, teremos: 
 
, 
 
 
61 
 
P = 2/6 = 1/3 
Resposta: 1 para 3 
 
Exercício 2 
Jogam-se dois dados. Qual a probabilidade de se obter um número 6 na soma dos 
dois? 
Resposta: 
Este é um pouco mais complicado. 
Primeiro, qual seria o NEP, ou seja, todos os eventos possíveis. 
Seriam 36 resultados possíveis conforme tabela a seguir: 
 
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 
 
NEP = 36 
 
Quantos desses eventos teriam como resultado o número 6 na soma dos dois dados? 
Vamos marcar aqueles que têm esse valor: 
 
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 
 
Então: NEF = 5 
Resposta: P = 5/36, em porcentual 13,88%. 
 
, 
 
 
62 
 
Exercício 3 
Joga-se uma moeda 3 vezes seguidas. Qual é a probabilidade de se obter 3 caras 
seguidas? 
Quais são os resultados possíveis? 
Resposta: 
Convencionando K como coroa e C como cara, teríamos: 
 
KCK CCK 
KCC CCC 
KKK CKK 
KKC CKC 
 
Então, NEP = 8 e NEF = 1 
P = 1/8 
 
Exercício 4 
Num saco, foram colocadas 10 bolas, sendo 3 azuis, 4 verdes e 3 amarelas. Uma 
pessoa retira uma bola. Qual é a probabilidade de ela não ser verde? 
Resposta: 
NEP = 10, e bolas não verdes são 6 (NEF = 6) 
Então, teríamos: P = 6/10 ou 3/5 ou, em porcentual, 60%. 
 
Exercício 5 
No jogo do bicho, com 25 animais, uma pessoa aposta R$ 100,00 no avestruz e outra 
aposta R$ 200,00 no burro. Quem tem mais chance de ganhar? 
Resposta: 
Nenhuma das duas, a chance é igual, de 1 para 25. Se a segunda pessoa tivesse 
dividido sua aposta em dois bichos diferentes, teria uma chance de 2 para 25. 
 
 
 
 
, 
 
 
63 
 
Conclusão 
Neste bloco, foram vistas ideias básicas sobre probabilidade, o aleatório e como 
calcular as chances de algo acontecer em se tratando de fenômenos simples, em que 
os resultados são igualmente prováveis. 
 
REFERÊNCIAS 
COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva; NOVAES, Diva Valério. Estatística para educação 
profissional e tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. [Minha Biblioteca]. 
REIS, Alcir Garcia. Geometria plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. 
Porto Alegre: Bookman, 2014. [Minha Biblioteca]. 
SMOLE, Kátia Stocco; MUNIZ, Cristiano Alberto. (org.). A matemática em sala de aula: 
reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Porto Alegre: 
Penso, 2013. [Minha Biblioteca]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
64 
 
 
6 ESTATÍSTICA 
Neste bloco, serão vistos os conceitos básicos de estatística, seus processos principais: 
coleta e análise dos dados, e sua representação na forma de tabelas e gráficos que 
facilitam uma visão mais abrangente e mais imediata da informação que se quer 
pesquisar. 
 
6.1 Conceitos iniciais 
Estatística é uma ciência ligada à matemática e tem como objetivo coletar dados 
(informações na forma de números), analisá-los e transformá-los em elementos 
visuais, como gráficos e tabelas, para mostrar de uma maneira mais simples essas 
informações. 
Com essa ferramenta, é possível fazer previsões e tomar decisões importantes em 
praticamente qualquer ramo da atividade humana. Por exemplo, pode-se coletar 
dados de quantas pessoas adquiriram uma determinada doença ao longo dos últimos 
20 anos num determinado país, fazer análise desses dados e gerar tabelas e gráficos 
que podem ajudar em decisões sobre saúde pública. 
Na estatística, o conjunto que se quer analisar é chamado de população. Podem ser os 
eleitores de uma cidade, o consumo de um produto, a circulação de carros e outros. 
Quando a população é muito grande, é impossível levantar todos os dados, como 
entrevistar todos os eleitores para uma pesquisa eleitoral. Nesse caso, coletam-se os 
dados de um grupo menor (subconjunto da população) que seja representativo de 
todo o conjunto. Esse subgrupo chama-se amostra. Como isso pode gerar certa 
imprecisão, a estatística fornece ferramentas para calcular a chamada “margem de 
erro”, que é tanto maior quanto menor for a amostra. 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
65 
 
Exemplo de um gráfico 
 
 
6.2 Coleta, classificação e representação dos dados 
 
Coleta 
Após a definição do trabalho a ser feito, deve-se definir a população com critérios 
claros, objetivos, sem ambiguidades. Por exemplo, se for definido como população 
“crianças”, deve-se especificar a idade, a região, a escolaridade, para que a população 
seja significativa para o propósito da pesquisa. 
Após essa fase, deve-se definir se a população inteira será pesquisada (censo) ou se 
usaremos uma amostra. No caso de opção por amostragem, a amostra deve ser 
escolhida de maneira a representar o conjunto da população. Por exemplo, sabendo-
se que metade da população brasileira é do sexo feminino e que 25% moram numa 
região, a amostragem deverá ter essa mesma proporção. 
Outra preocupação é como será feita a coleta dos dados. Se a pesquisa fosse sobre 
sonegação fiscal, uma pergunta direta ao entrevistado não seria um bom caminho, já 
que, possivelmente, parte dos entrevistados não diria a verdade. É necessário usar 
meios mais eficazes para obter dados mais confiáveis. 
 
Classificação 
Uma vez que os dados foram coletados, a etapa seguinte é classificá-los de acordo com 
suas propriedades relevantes. Numa pesquisa sobre brinquedos, pode-se, por 
exemplo, separar os brinquedos de plásticos e os de madeira. 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho
Venda de automóveis 
, 
 
 
66 
 
Após a coleta e a classificação, os dados podem ser sistematizados, usando-se recursos 
como tabelas, gráficos, desenhos e outros. 
 
Exemplo: 
Vamos usar como exemplo uma pesquisa eleitoral para apurar a intenção de votos 
para prefeito de uma cidade de 1.000.000 de eleitores, com 3 candidatos. 
Coleta: serão pesquisadas 5.000 pessoas, que responderão a um questionário em que 
informarão alguns dados pessoais, como sexo, idade e renda mensal, e indicarão uma 
das seguintes opções de voto: 
 
Candidato A 
Candidato B 
Candidato C 
Não sei 
Voto em branco 
Voto nulo 
 
Classificação: Para ter um resultado geral, serão somadas as opções de voto e 
calculados os respectivos porcentuais. Pode-se também fazer várias classificações, 
como voto por sexo, idade e renda. 
 
Representação dos dados 
O resultado da pesquisa pode ser expresso por uma tabela ou um gráfico que permite 
uma visualização mais fácil e direta das informações. 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
67 
 
Tabela 
Pesquisa eleitoral Campinas (SP) 
 Total de votos Porcentual 
Candidato A 1.600 32% 
Candidato B 1.300 26% 
Candidato C 1.100 22% 
Voto Nulo 600 12% 
Voto em branco 300 6% 
Não sei 100 2% 
Total 5.000 100% 
 
Gráfico 
 
 
6.3 Leitura e interpretação de dados em tabelas e gráficos 
As tabelas e os gráficos têm como objetivo mostrar de uma maneira simples e 
resumida os dados que foram coletadose classificados num processo estatístico. 
 
Tabelas 
A palavra tabela pode designar muitas coisas, como uma simples lista de 
supermercado, uma lista de contas a pagar, uma planilha do Excel e outros. Na 
estatística, o que vai mais interessar são as tabelas de frequência, ou seja, da 
distribuição dos dados através de categorias relevantes. 
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Candidato A Candidato B Candidato C Voto nulo Voto em
branco
Não sei
Campinas intenção de votos 
, 
 
 
68 
 
Por exemplo, pode-se mostrar a escolha eleitoral de acordo com a renda mensal do 
eleitor. 
Intenção de votos por renda mensal 
 1 a 3 SM 4 a 10 SM > 10 SM 
Candidato A 40% 30% 20% 
Candidato B 15% 30% 35% 
Candidato C 20% 25% 22% 
Voto Nulo 10% 15% 9% 
Voto em branco 5% 8% 6% 
Não sei 4% 1% 1% 
 
Outras tabelas podem ser feitas, como a distribuição de intenção de votos por idade, 
por sexo e assim por diante. Na definição da pesquisa, serão avaliadas quais as 
variáveis relevantes para o estudo em questão. 
 
Gráficos 
Existem muitos tipos de gráficos, que podem ser utilizados em diferentes contextos. Os 
mais usados são o gráfico de colunas, o gráfico de linhas e o gráfico de setores, mais 
conhecido como gráfico do tipo pizza. 
 
Exemplo de um gráfico de colunas
 
 
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
1 a 3 SM
4 a 10 SM
> 10 SM
, 
 
 
69 
 
Analisando o gráfico acima, percebe-se que o candidato A é o preferido das classes 
com menor renda, e o B é o preferido das classes mais ricas. 
 
Exemplo de um gráfico de linhas: 
As linhas fornecem uma visão da variação de um parâmetro ao longo do tempo ou em 
comparação com outro parâmetro. 
 
 
Pelo gráfico, pode-se perceber claramente em A as semanas de ascensão, pico e 
queda. Por exemplo, o pico foi em torno de 2.000 em 19/02/2020. 
 
Exemplo de um gráfico tipo pizza 
Cada fatia representa uma quantidade: 
 
 
 Porcentual 
Candidato A
Candidato B
Candidato C
Voto Nulo
Voto em branco
Não sei
, 
 
 
70 
 
O objetivo do uso de gráficos é proporcionar uma visão rápida do que está 
acontecendo. É “bater o olho” e perceber a situação. 
Hoje em dia, existem muitas ferramentas de software para geração de todos os tipos 
de gráfico. Um exemplo, bastante utilizado, são as planilhas eletrônicas, em que, a 
partir de uma tabela e com comandos simples, é possível criar gráficos de acordo com 
os requisitos escolhidos. 
 
6.4 Leitura e interpretação de dados em tabelas e gráficos 
 
Tabelas 
As tabelas têm como objetivo organizar os dados de uma maneira que fique mais fácil 
a visualização da informação. 
Suponha que uma diretora de escola queira saber qual é a distribuição de alunos por 
sexo em cada classe. Para isso, pediu a uma auxiliar que fizesse um levantamento. Para 
mostrar o resultado, ela fez a tabela a seguir: 
Sala Meninos Meninas Total 
1 15 18 33 
2 12 19 31 
3 18 17 35 
4 16 20 36 
5 21 12 33 
 
Olhando a tabela, rapidamente a diretora pode ter a informação de que precisa. Na 
primeira coluna, está o número da sala; na segunda, o número de meninos; na 
terceira, o número de meninas; e na quarta, o total. Se alguém perguntar, quantos 
meninos tem a sala 3, numa “olhada” ela vê “18”. 
As tabelas podem ser mais elaboradas visualmente, principalmente quando é um 
material de marketing, utilizado em vendas e apresentações, para “impressionar” o 
cliente. Para isso, existem muitas ferramentas de software disponíveis no mercado. 
 
 
 
, 
 
 
71 
 
Gráfico 
Nos gráficos, as informações são representadas por figuras, como colunas, linhas ou 
pizzas. Ajudam a ver e comparar rapidamente as informações. 
Usando a tabela anterior, pode-se criar o gráfico de colunas a seguir: 
 
 
No gráfico, normalmente temos um eixo horizontal (no exemplo, com o número da 
sala de aula) e um eixo vertical (no exemplo, com o número de alunos). É útil para uma 
rápida visualização e comparação dos dados. No exemplo, pode-se ver facilmente que 
as salas 1, 2 e 4 têm mais meninas, e as salas 3 e 5, mais meninos. 
Outro tipo de gráfico é o gráfico de linhas: 
 
 
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5
Meninos
Meninas
0
5
10
15
20
25
30
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho
Temperatura média 
, 
 
 
72 
 
Eixo horizontal – mês 
Eixo vertical – temperatura 
Mostra a variação da temperatura ao longo de seis meses. 
 
E pode-se usar também um gráfico tipo pizza 
 
 
Fornece uma imagem rápida da quantidade de torcedores por time. 
 
6.5 Média, mediana e moda 
Média 
É um conceito muito utilizado no dia a dia e, por isso, fácil de calcular e entender. 
Por exemplo: qual a média de idade de um grupo de 50 pessoas? Basta somar as 
idades das pessoas e dividir por 50. 
 
Outro exemplo: 10 pessoas fizeram a mesma viagem. Qual a duração média da 
viagem? Basta somar o tempo de viagem das 10 pessoas e dividir por 10. 
Algumas vezes, pode acontecer que a média não tenha uma contrapartida no mundo 
físico, como no caso de um levantamento que concluiu que cada família de uma região 
tinha, em média, 2,6 filhos. Mas é uma média, não um caso individual. 
 
Mediana 
A mediana é um valor que divide um grupo em duas partes iguais. 
Para compreender melhor, um exemplo: 
Na tabela a seguir, temos um grupo de 5 pessoas e seus pesos. 
21% 
24% 
33% 
10% 
4% 
8% Palmeiras
São Paulo
Corinthians
Santos
Outros
Nenhum
, 
 
 
73 
 
Nome Peso 
Ana 70 
Júlia 68 
Paulo 90 
Armando 88 
Cláudia 65 
 
Primeiro, vamos colocar a tabela em ordem crescente de peso. 
Nome Peso 
Cláudia 65 
Júlia 68 
Ana 70 
Armando 88 
Paulo 90 
 
Olhando a tabela, podemos verificar que o peso da Ana divide a tabela em dois grupos 
iguais de 2 membros cada. Nesse caso, a mediana é 70. 
 
Atenção: A mediana não é a média aritmética, que no caso seria 76,2 (a soma dos 
pesos dividida por 5). 
Mas, e se o número de pessoas fosse par, como na tabela a seguir (já classificada)? 
Nome Peso 
Cláudia 65 
Júlia 68 
Ana 70 
Armando 88 
Paulo 90 
Roberto 120 
 
Nesse caso, localizam-se as duas pessoas que estão no meio da tabela (Ana e 
Armando) e calcula-se a média aritmética dos seus pesos, que no caso seria (70 + 88)/2 
= 76. 
Em outras palavras, o número 76 divide o grupo em 2 partes com 3 membros cada. 
 
, 
 
 
74 
 
 
Moda 
A moda é simplesmente o valor de uma variável que mais se repete num determinado 
conjunto de dados. Por exemplo, num colégio, foi feita uma pesquisa sobre o time de 
futebol preferido dos alunos e obteve-se o seguinte resultado: 
 
Palmeiras 21% 
São Paulo 24% 
Corinthians 33% 
Santos 10% 
Outros 4% 
Nenhum 8% 
 
A moda é o time do Corinthians. 
A moda só é adotada quando o número de possibilidades que uma variável pode ter é 
limitado, como no caso acima. No caso de variáveis que podem ter muitos valores, a 
moda não é calculada, porque não faz sentido. Por exemplo, numa tabela com a renda 
mensal das pessoas, seria muito difícil ter um grupo significativo de pessoas com a 
mesma renda. 
 
Conclusão 
Neste bloco, foram vistos alguns conceitos básicos da estatística e as tarefas básicas de 
coleta, classificação e representação dos dados (tabelas e gráficos). Foram 
desenvolvidos alguns referenciais usados em estatística, como média, moda e 
mediana, além de uma análise de algumas tabelas e gráficos para ver como podemos 
interpretar esses recursos. 
 
REFERÊNCIAS 
COUTINHO, Cileda de Queiroz e Silva; NOVAES, Diva Valério. Estatística para educação 
profissional e tecnológica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013. [Minha Biblioteca]. 
, 
 
 
75 
 
REIS, Alcir Garcia. Geometria plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. 
Porto Alegre: Bookman, 2014. [Minha Biblioteca]. 
SMOLE, Kátia Stocco; MUNIZ, Cristiano Alberto. (org.). A matemática em sala de aula: 
reflexões e propostas para os anos iniciais do ensino fundamental. Porto Alegre: 
Penso, 2013. [MinhaBiblioteca].