Atividade_2 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO – UFMA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET
DEPARTAMENTO ENGENHARIA DE ELETRICIDADE – DEEE
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E LINHAS
DOCENTE: Dr. FRANCISCO DAS CHAGAS DE SOUZA
VANDERSON HECTOR DE SOUSA COSTA
TAREFA 2.3
 
SÃO LUÍS, MA
2021
1) Uma onda eletromagnética plana (Onda em que tanto E⃗ quanto H⃗ são, em qualquer ponto, 
normais à direção de propagação, isto é, normais a . Isto significa que os vetores unitários , 𝐚̂𝑘 𝐚̂𝐸
 e são normais entre si. Uma onda deste tipo é denominada “onda transversal eletromagnética𝐚̂𝐻 𝐚̂𝑘
(TEM) ou onda plana uniforme.) propagando-se em um meio, com = 8 e = 2, tem um campo 𝜀𝑟 𝜇𝑟
 E⃗=0,5 e−z /3 sen(108 t−β z) â̂x V /m
Determine: 
a) β=? . .Resolução:
Temos que, x0=√1+( σω ε )2 ficaremos com:
α=ω √μ 0ε 02 μ rε r+(x0−1) α=ωc √8√ x0−1⇒√ x0−1=α cω √8 √x0−1=
1
3
∗3∗108
108∗√8
x0=
9
8
, logo pode-se calcular β .
β=ω
c
√8√ x0+1 β= 10
8
3∗108
√8√ 98 +1 β=1,374 rad /m
b) A tangente de perdas. Resolução:
σ
ω c
=√x02−1 σω c=√(98)2−1 σω c=√(98)2−1 σω c=0,5154
c) Impedância da onda.Resolução:
|η|=√μ /ε
√ x0
|η|=120π √2/8
√9 /8
|η|=177,72
tan (2θ )=0,5154 θ=
arctg (0,5154)
2
θ=13,63 ° , assim obtemos a impedância:
η=177,72∠ 13,63 ° Ω
d) Velocidade da onda.Resolução:
u=ωβ u=
108
1,374
u=7,278∗107 m /s
e) Campo H⃗ .Resolução:
aH=ak×aE⇒ax×aH=az⇒aH=ay
E⃗=2,82 e−z /3 sen (108 t−1,374 z−13,63°) â̂ y mA /m
3) Mostre que para uma onda plana propagando-se em um meio dielétrico sem perdas, isto é,
σ ≅ 0 ,ε=ε 0ε r e μ=μ0μ r , as seguintes relações são válidas:𝛼 = 0, 𝛽 = 𝜔√𝜇𝜀, 𝜂 = √𝜇/𝜀 ∠0oResolução:
Sabendo que:
∇2 E s−γ
2 E s=0 (I)
γ 2= jω μ (θ + jω ε ) (II)
Sendo que γ é a constante de propagação (por metro) do meio. Pode-se mostrar através de um
procedimento semelhante que, para o campo H:
∇2 H s−γ
2 H s=0 (III)
Como γ é uma quantidade complexa, pode-se fazer:
γ=α+ j β (IV)
Para α e β temos que:
−ℜγ 2=β 2−α 2=ω 2με (V)
|γ 2|=β 2+α 2=ω μ √θ 2+ω 2ε 2 (VI)
α=ω √ω ε2 [√1+[ θω ε ]2−1] (VII)
β=ω √ω ε2 [√1+[ θω ε ]2+1] (VIII)
Em um dielétrico sem perdas, isto é:
σ ≃0 , ε=ε0 εr μ=μ0μ r
Substituindo nas equações (VI) e (VII), obtemos
α=0 , β=ω √μ ε
u=ωβ =
1
√μ ε , λ=
2π
β
Também 
η=√ 1μ ε ∠ 0º
Portanto, E e H estão em fase no tempo.
4) O espaço livre é um meio que pode ser caracterizado através das seguintes propriedades:𝜎 = 0, 𝜀 = 𝜀0 e 𝜇 = 𝜇0.
Mostre que para uma onda plana propagando-se neste meio,𝛼 = 0𝛽 = 𝜔√𝜇0𝜀0 = ω
3 ∙108𝜂 = √ μ0ε 0 = 377 ΩResolução:Sendo:
α=ω √ω ε2 [√1+[ θω ε ]2−1] (I)
β=ω √ω ε2 [√1+[ θω ε ]2+1] (II)
Substituindo 𝜎 = 0, 𝜀 = 𝜀0 e 𝜇 = 𝜇0 nas equações (I) e (II), obtemos:
α=0 , β=ω √μ ε=ω
c
(III)
u= 1√μ 0ε 0=c , λ=
2π
β (IV)
|η|= √μ /ε
[1+( σω ε )
2
]
1 /4 , tan 2θη=
σ
ω ε (V)
Sendo c≃3×108 m /s a velocidade da luz no vácuo. Substituindo 𝜎 = 0, 𝜀 = 𝜀0 e 𝜇 = 𝜇0 na 
equação(V), θη=0 , e η=η0 onde η0 (impedância intrínseca do espaço livre) é dada por:
 
η0=√ μ0ε 0 =120π ≃377Ω
5) Para um fio de alumínio*(Al) com diâmetro de 2,6 mm, calcule a razão entre a resistência CA
e a resistência CC nas seguintes frequências:
a) 10 MHz;Resolução:
Rac
Rdc
= a
2δ
=a
2
√π f μσ =1.3∗10
−3
2
√π∗107∗4 π∗3.5∗107=24,16
b) 2 GHz.Resolução:
Rac
Rdc
=1.3∗10
−3
2
√π∗2∗109∗4 π∗3.5∗107=1080,54
7) Dado que a exposição prolongada a campos eletromagnéticos pode causar males à saúde, a
Lei 11.934/2009 estabeleceu os limites recomendados segundo a Organização Mundial de
Saúde (OMS) para
(i) a exposição ocupacional e
(ii) a exposição da população em geral
a campos elétricos, magnéticos e eletromagnéticos em frequências de até 300 GHz. Essa
recomendação segue o que foi estabelecido pela Comissão Internacional de Proteção Contra
Radiação Não Ionizante (ICNIRP – International Commission on Non-Ionizing Radiation
Protection).
Os níveis de referência para campo elétrico (valores eficazes) em baixas frequências estão
apresentados na tabela a seguir.
Uma linha de transmissão de alta tensão operando em 60 Hz, localizada em uma região
urbana, apresentou o seguinte nível de campo elétrico:
• 6,0 kV/m, medido a 1,0 metro do solo.
Além disso, foram detectadas duas componentes harmônicas medidas também a 1,0 metro do
solo, cujos níveis de campo elétrico são:
• 5ª harmônica com 0,8 kV/m.
• 9ª harmônica com 0,4 kV/m.
Para estes cenários e nas informações apresentadas:
(a) Verifique se os níveis de referência para campo elétrico (intensidades de campo E) para
exposição ocupacional foram ultrapassados.
(b) Verifique se os níveis de referência para campo elétrico (intensidades de campo E) para o
público em geral foram ultrapassados.Resolução: f f=60 Hz f 5h=5∗60=300 Hz f 9h=9∗60=540 Hz
Limites para a exposição ocupacional
Intensidades de Campo Elétrico (ICE) de referência (estabelecidas pelas normas de proteção):
ICE− f f=500/60=8,33 kV /m
ICE− f 5h=500/300=1,67 kV /m
ICE− f 9 h=500/540=0,92kV /m
a) Exposição ocupacional
Valores medidos a 1,0 m do solo
ICE-ff = 6,00 kV/m Não ultrapassa o nível de referência⇨
ICE-f5h = 0,80 kV/m Não ultrapassa o nível de referência⇨
ICE-f9h = 0,40 kV/m Não ultrapassa o nível de referência⇨
b) Exposição para o público em geral
Valores medidos a 1,0 m do solo
ICE-ff = 6,00 kV/m Ultrapassa o nível de referência⇨
ICE-f5h = 0,80 kV/m Não ultrapassa o nível de referência⇨
ICE-f9h = 0,40 kV/m Não ultrapassa o nível de referência⇨