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CÁLCULO
CURSO: PÓS-GRADUAÇÃO (LATO SENSU)
Cálculo – Prof.a Ms. Juliana Brassolatti Gonçalves
Olá! Meu nome é Juliana Brassolatti Gonçalves, resido em Ribeirão Preto-SP, será uma imensa alegria 
compartilharmos, juntos, essa jornada que se inicia neste momento. Sou mestre em Matemática pela 
UFSCar (Universidade Federal de São Carlos-SP) e fiz duas graduações: Bacharelado em Matemática 
pela UFSCar (Universidade Federal de São Carlos) e Licenciatura em Matemática pela UNIFRAN 
(Universidade de Franca-SP). Atualmente, atuo como docente no Claretiano – Centro Universitário de 
Batatais-SP, em vários cursos de graduação e pós-graduação na modalidade EAD. Ministro aula, 
também, nos cursos de Licenciatura em Matemática, Gestão em Logística, Administração e Engenharia 
Ambiental no Centro Universitário Barão de Mauá, (Ribeirão Preto-SP); Engenharia Básica na UNIP 
(Ribeirão Preto-SP), e no Ensino Fundamental II, no Colégio Marista, na mesma cidade. Por ser a 
Matemática, e suas derivações, fator predominante na atual conjuntura de desenvolvimento tanto 
pessoal como organizacional, tento, da melhor maneira possível, formar e informar os discentes. Para 
tanto, procuro me aperfeiçoar no contexto total, lecionando desde o fundamental, para entender a formação de novas idéias e 
entender as novas dinâmicas de formação de conceitos, até o superior, preparando novos profissionais para a labuta da vida. 
E-mail: profjugoncalves@gmail.com
Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educação
CÁLCULO
Juliana Brassolatti Gonçalves
Batatais
Claretiano
2014
Fazemos parte do Claretiano - Rede de Educação
© Ação Educacional Claretiana, 2013 – Batatais (SP)
Versão: ago./2014
 
 
 
 515 G624c 
 Gonçalves, Juliana Brassolati 
 Cálculo / Juliana Brassolati Gonçalves – Batatais, SP : Claretiano, 2014. 
 55 p. 
 ISBN: 978-85-8377-193-7 
 
 1. Funções de várias variáveis. 2. Derivadas parciais. 3. Diferenciabilidade. 
 4. Plano tangente. 5. Vetor gradiente. 6. Integrais duplas e triplas. 
 7. Aplicações. I. Cálculo. 
.
 
 CDD 515
Corpo Técnico Editorial do Material Didático Mediacional
Coordenador de Material Didático Mediacional: J. Alves
Preparação 
Aline de Fátima Guedes
Camila Maria Nardi Matos 
Carolina de Andrade Baviera
Cátia Aparecida Ribeiro
Dandara Louise Vieira Matavelli
Elaine Aparecida de Lima Moraes
Josiane Marchiori Martins
Lidiane Maria Magalini
Luciana A. Mani Adami
Luciana dos Santos Sançana de Melo
Patrícia Alves Veronez Montera
Raquel Baptista Meneses Frata
Rosemeire Cristina Astolphi Buzzelli
Simone Rodrigues de Oliveira
Bibliotecária 
Ana Carolina Guimarães – CRB7: 64/11
Revisão
Cecília Beatriz Alves Teixeira
Eduardo Henrique Marinheiro
Felipe Aleixo
Filipi Andrade de Deus Silveira
Juliana Biggi
Paulo Roberto F. M. Sposati Ortiz
Rafael Antonio Morotti
Rodrigo Ferreira Daverni
Sônia Galindo Melo
Talita Cristina Bartolomeu
Vanessa Vergani Machado
Projeto gráfico, diagramação e capa 
Eduardo de Oliveira Azevedo
Joice Cristina Micai 
Lúcia Maria de Sousa Ferrão
Luis Antônio Guimarães Toloi 
Raphael Fantacini de Oliveira
Tamires Botta Murakami de Souza
Wagner Segato dos Santos
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e/ou qualquer meio (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação e distribuição na web), ou o 
arquivamento em qualquer sistema de banco de dados sem a permissão por escrito do autor e da Ação 
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SUMÁRIO
CADERNO DE REFERÊNCIA DE CONTEÚDO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................7
UNIDADE 1 – FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
1 OBJETIVOS .....................................................................................................................................................9
2 CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS ....................................................................................................................9
3 ORIENTAÇÃO PARA O ESTUDO DA UNIDADE ................................................................................................9
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................................................................10
5 FUNÇÕES REAIS DE DUAS E TRÊS VARIÁVEIS, DOMÍNIO E IMAGEM .............................................................11
6 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS E CURVAS DE NÍVEL ..........................................................13
7 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS ..................................................14
8 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ......................................................................................................................16
9 CONSIDERAÇÕES ...........................................................................................................................................16
10 E-REFERÊNCIA ...............................................................................................................................................17
11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................................................17
UNIDADE 2 – UM BREVE ESTUDO SOBRE LIMITE E CONTINUIDADE PARA FUNÇÕES REAIS 
DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
1 OBJETIVOS .....................................................................................................................................................19
2 CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS ....................................................................................................................19
3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE ..............................................................................................19
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................................................................20
5 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE ........................................................................................................................20
6 PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ..................................................................24
7 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS ...............................................................................25
8 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS .......................................................................................................................26
9 CONSIDERAÇÕES ...........................................................................................................................................26
10 E-REFERÊNCIA ...............................................................................................................................................26
11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................................................26
UNIDADE 3 – BREVE ESTUDO SOBRE DERIVADAS PARCIAS, DIFERENCIABILIDADE, PLANO 
TANGENTE E VETOR GRADIENTE PARA FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
REAIS
1 OBJETIVOS .....................................................................................................................................................27
2 CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS ....................................................................................................................27
3 ORIENTAÇÃO PARA O ESTUDO DA UNIDADE ................................................................................................274 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................................................................28
5 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO DE 
DUAS VARIÁVEIS ............................................................................................................................................29
6 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR .................................................................................................32
7 CONCEITO DE "DIFERENCIABILIDADE" EM FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ...................................................33
8 VETOR GRADIENTE ........................................................................................................................................35
9 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ......................................................................................................................37
10 CONSIDERAÇÕES ...........................................................................................................................................37
11 E-REFERÊNCIAS .............................................................................................................................................37
12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................................................38
UNIDADE 4 – BREVE ESTUDO SOBRE MÁXIMOS E MÍNIMOS PARA FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS REAIS
1 OBJETIVOS .....................................................................................................................................................39
2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ........................................................................................................................39
3 ORIENTAÇÃO PARA O ESTUDO DA UNIDADE ................................................................................................39
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE ............................................................................................................................40
5 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS .........................................................................40
6 TESTE DA DERIVADA SEGUNDA PARA VALORES EXTREMOS .........................................................................43
7 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ......................................................................................................................46
8 CONSIDERAÇÕES ...........................................................................................................................................46
9 E-REFERÊNCIAS .............................................................................................................................................46
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................................................47
UNIDADE 5 – BREVE ESTUDO SOBRE INTEGRAL DUPLA, TRIPLA E APLICAÇÕES
1 OBJETIVOS .....................................................................................................................................................49
2 CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS ....................................................................................................................49
3 ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DOS CONTEÚDOS ......................................................................................49
4 INTRODUÇÃO À UNIDADE .............................................................................................................................50
5 INTEGRAL DUPLA ..........................................................................................................................................50
6 COORDENADAS POLARES ..............................................................................................................................53
7 INTEGRAL TRIPLA ..........................................................................................................................................53
8 QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS ......................................................................................................................54
9 CONSIDERAÇÕES ...........................................................................................................................................55
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................................................55
11 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................................................55
CRC
Caderno de 
Referência de 
Conteúdo
Conteúdo ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Funções de Várias Variáveis. Limite e continuidade de uma função de duas e três variáveis. Derivadas parciais. 
Diferenciabilidade. Plano tangente e vetor gradiente. Máximos e Mínimos de uma função de duas e três variáveis. 
Integrais Duplas e Triplas. Aplicações.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
1. INTRODUÇÃO
Seja bem-vindo ao estudo de Cálculo, disponibilizado para você em ambiente virtual (Edu-
cação a Distância). 
Neste Caderno de Referência de Conteúdo, você terá acesso ao referencial teórico referen-
tes as cinco unidades em que se divide a presente obra.
Os temas que serão abordados em cada uma das unidades serão: 
1) Funções reais de várias variáveis reais. 
2) Limite e continuidade para funções reais de várias variáveis reais. 
3) Derivadas parcias, diferenciabilidade, plano tangente e vetor gradiente para funções 
reais de várias variáveis reais. 
4) Máximos e mínimos para funções reais de várias variáveis reais. 
5) Integral dupla, tripla e aplicações.
Esperamos com esse programa atender às suas expectativas em conhecer e aprofundar os 
estudos sobre Cálculo. 
Bom estudo!
Claretiano - Centro Universitário
EA
D
Funções Reais de Várias 
Variáveis Reais
1
Mas há uma outra razão que explica a elevada reputação das Matemáticas, é que elas 
levam às ciências naturais exatas uma certa proporção de segurança que, sem elas, essas 
ciências não poderiam obter (Albert Einstein).
1. OBJETIVOS
• Reconhecer e analisar, brevemente, as funções reais de duas e de três variáveis, seu 
domínio e imagem.
• Conhecer e compreender como é o esboço do gráfico das funções reais de duas e de 
três variáveis.
2. CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
• Funções de várias variáveis: introdução.
• Domínio e imagem das funções de várias variáveis.
• Gráficos e curvas de nível das funções de várias variáveis.
3. ORIENTAÇÃO PARA O ESTUDO DA UNIDADE 
1) Para ampliar seus conhecimentos sobre os conteúdos desta unidade é imprescindível 
que leia os capítulos sobre funções reais de várias variáveis reais das seguintes obras:
a) ÁVILA, G. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
b) BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2002. v. 2.
© Cálculo10
c) FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, inte-
grais duplas e triplas. São Paulo: Makron Books, 1999. 
d) THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 2. 
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE 
A Matemática é a honra do espírito humano (Leibniz).
Já tivemos a oportunidade de estudar na graduação um dos conceitos mais fascinantes e 
importantes da matemática, a derivada das funções de uma variável. Desse modo, já conhecemos 
as funções elementares de uma variável real, suas propriedades e aplicações, que aparecem 
frequentemente no cálculo, e os aspectos relacionados a essas funções como: 
a) domínio;
b) imagem; 
c) gráficos; 
d) limite; 
e) derivada; 
f) integral. 
Acontece que funções de uma única variável não aparecem com tanta frequência em 
ciência, como as funções com duas ou mais variáveis independentes.
Depois do desenvolvimentodo cálculo de uma variável no século 17, sua aplicação para resolver proble-
mas em um mundo multidimensional resultou na necessidade de generalização para incluir funções de 
mais de uma variável e cálculo de várias variáveis. O que seriam os análogos da derivada e da integral 
para funções de mais de uma variável? Jean d’Alembert (1717-1783) desenvolveu e usou o cálculo de 
várias variáveis para lidar com métodos para resolver equações diferenciais e movimento de corpos 
considerando a resistência do meio. De várias maneiras, usou os trabalhos de Newton, L’Hospital e 
dos Bernoullis para estender os conceitos de cálculo para várias variáveis. D’Alembert pesquisou nesta 
área e publicou muitos trabalhos em matemática e física matemática. Seu trabalho principal foi o Traité 
de dynamique (1743), o qual ajudou a fazer com que a diferenciação parcial fizesse parte do cálculo 
(UFMG, 2008). 
Desse modo, os estudos sobre cálculo propostos nesta unidade poderão nos ajudar a com-
preender as funções de duas e três variáveis reais e a refletir sobre as suas propriedades e apli-
cações.
Além disso, teremos a oportunidade de compreender e aprender como esboçar o gráfico 
de uma função de duas variáveis reais, por meio do conceito de gráfico de função e, também, 
por meio das curvas de níveis. 
Para mencionar alguns exemplos dessas funções, podemos citar:
• a eletricidade; 
• dinâmica dos fluídos; 
• estatística; 
• volume; 
• temperatura de um ponto da superfície da terra etc. 
Perceberemos que as regras básicas do cálculo para funções de uma variável continuam as 
mesmas em dimensões maiores com pequenas mudanças. 
Informação complementar: –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Durante o século 16, matemáticos estavam desenvolvendo uma nova matemática para resolver problemas em ciências 
físicas. Como o mundo físico é multidimensional (isto é, três dimensões espaciais e o tempo), muitas das quantidades 
usadas nestes modelos aplicados eram de várias variáveis. Astronomia era uma área da ciência que era rica neste 
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11© U1 – Funções Reais de Várias Variáveis Reais
tipo de matemática de várias variáveis. Por isso, o cenário estava sendo montado por astrônomos e matemáticos 
para o desenvolvimento de funções de várias variáveis e, finalmente, para o cálculo de várias variáveis. Galileu 
(1564-1642) tentou aplicar a matemática ao seu trabalho em astronomia, cinemática e resistência dos materiais. Pelo 
seu trabalho nestas áreas, é freqüentemente chamado de fundador da mecânica e física moderna. O astrônomo, 
matemático e físico alemão Johannes Kepler (1571--1630) contribuiu grandemente através do desenvolvimento das 
suas três leis do movimento planetário. Estes resultados mudaram a astronomia e desempenharam um papel crucial 
no desenvolvimento da física newtoniana e do cálculo. Seu trabalho ajudou a desacreditar o modelo geocêntrico de 
Ptolomeu e ajudou a estabelecer a teoria heliocêntrica de Copérnico. Também montou o cenário para o surgimento 
da matemática aplicada em várias variáveis (UFMG, 2008). 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Lembre-se de que "a Matemática é a chave de ouro com que podemos abrir todas as 
ciências" (Victor Duruy).
Bom estudo! 
5. FUNÇÕES REAIS DE DUAS E TRÊS VARIÁVEIS, DOMÍNIO E IMAGEM
Como comentado anteriormente, muitas funções dependem de mais de uma variável. 
Podemos citar o exemplo do cálculo do volume de um paralelepípedo retângulo, de comprimento 
x , largura y e altura z . 
Como sabemos, o volume do paralelepípedo é a área da base multiplicada pela altura, 
assim . .V x y z= . Vejamos, na Figura 1, um exemplo de função real de três variáveis reais.
Figura 1 Paralelepípedo retângulo.
Podemos citar ainda outros exemplos, como:
• 2. .V r hπ= (volume de um cilindro) é uma função de duas variáveis, r e h
• 
pV c
δ
= ⋅ (velocidade do som em um gás ideal) é uma função de duas variáveis, p e δ .
• . . .pV n R T= (equação de estado de um gás ideal) é uma função de três variáveis, V , 
 e T .
Verifica-se, com esses exemplos, a necessidade de ampliar o âmbito de nosso estudo. Ao 
estudarmos funções como a do primeiro exemplo, trabalhamos com pares de números reais, 
isto é, pares ordenados h)(r, do plano 2R R R= × , vejamos, a Figura 2.
Fonte: Flemming e Gonçalves (1999. p. 2).
Figura 2 Coordenadas cartesianas no plano. 
No caso da função do último exemplo, usamos ternas de números reais, isto é, ternas 
ordenadas ( , , )n T V do espaço 3R R R R= × × :
© Cálculo12
Fonte: Flemming e Gonçalves (1999. p. 2).
Figura 3 Coordenadas cartesianas no espaço. 
Segundo Boulos (2002, p. 31), de um modo geral, podemos definir função de duas variáveis 
reais como: 
Uma correspondência f que, a cada par ordenado ( , )x y de um subconjunto D de 2R , associa 
um único número real z , indicado por ( , )f x y . O conjunto D é o domínio da função; ,x y são as 
variáveis independentes e z a variável dependente.
Notação: 2
( , ) ( , )
:
x y z f x y
f R R
=
→
Exemplos: 
• ( , ) ln( )f x y x y= − 
• ( , )f x y x y= − 
• 2 2( , )f x y x y= −
Desse modo, definimos, de modo análogo, funções reais de três ou mais variáveis reais. 
Vale lembrar que a notação usada para funções de três variáveis será 3
( , , ) ( , , )
:
x y z w f x y z
f R R
=
→ .
Exemplos: 
• ( , , ) ln( )f x y z x y z= + + 
• 2 2 2( , , )f x y z x y z= + + 
• ( , , )f x y z x y z= + +
Para melhor entender o que acontece com as funções de duas e três variáveis, vamos 
calcular as imagens de alguns pontos.
Exemplo 1: 
Considere a função 2:f R R→ de duas variáveis definida por ( , )f x y x y= − . Vamos 
calcular a função no ponto 2(3, 2) R∈ e no ponto 2(12,7) R∈ .
(3, 2) 3 2 1f = − = e (12,7) 12 7 5f = − =
Veja que os pontos pertencem ao plano 2R , mas a imagem desses pontos é um número 
real, ou seja, pertence a R .
Exemplo 2: 
Considere agora a função 3:f R R→ de três variáveis definidas por 
2( , , )f x y z x y z= − + . 
Vamos calcular a função no ponto 3(1,0, 2) R∈ e no ponto 3(2,7,9) R∈
2 (1,0, 2) 1 0 2 1- 0 2 3f = − + = + = e 2 (2,7,9) 2 7 9 4 - 7 9 6f = − + = + =
Veja que os pontos pertencem ao espaço 3R , mas a imagem desses pontos é um número 
real, ou seja, pertence a R .
Claretiano - Centro Universitário
13© U1 – Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Quanto ao domínio das funções de duas ou três variáveis, devemos tomar o mesmo cui-
dado que tomamos com as funções de uma variável, ou seja, excluir entradas que levem aos 
números complexos ou à divisão por zero.
Segundo Thomas (2003, p. 256):
Os domínios das funções são os maiores conjuntos para os quais as regras de definição geram números 
reais, e a imagem consiste no conjunto de valores de saída para a variável dependente.
Para ilustrar, vamos analisar os exemplos a seguir: 
Exemplos: 
Dê o domínio das seguintes funções:
( , )f x y y x= −
Nesse exemplo, verificamos que o radicando não pode ser negativo, ou seja, 0y x− ≥ . 
Logo y x≥ . Assim o domínio desta função é { }2( ) ( , ) /D f x y R y x= ∈ ≥
2 2
1( , )
16
f x y
x y
=
− −
Nesse exemplo verificamos que o radicando não pode ser negativo e nem zero, ou 
seja, 2 216 0x y− − > . Logo 2 2 2 216 16x y x y− − > − ⇒ + < . Assim o domínio desta função é 
{ }2 2 2( ) ( , ) / 16D f x y R x y= ∈ + <
Informação complementar: ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
Próximo na linha de refinamento e uso do cálculo de várias variáveis foi Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Este 
aplicou seu conhecimento de cálculo à mecânica. Foi muito produtivo nesta área aplicada da matemática. Seus 
principais trabalhos foram sobre as equações de movimento e no entendimento da energia potencial. Lagrange 
também foi o primeiro a desenvolver os métodos de hoje para encontrar máximos e mínimos usando cálculo. Seu 
trabalho em otimização em várias variáveis resultou na técnica que agora chamamos de multiplicadores de Lagrange. 
Ele tinha apenas 19 anos quandoinventou estes métodos e até muito mais tarde em sua vida ainda os considerava 
como seu melhor trabalho em matemática. Publicou Mécanique analytique (1787), no qual aplicou cálculo de várias 
variáveis ao movimento e às propriedades de objetos no espaço. Colega de Lagrange, o astrônomo e matemático 
Pierre-Simon Laplace (1749--1827), se sobressaiu ao resolver, ainda jovem, um problema de gravitação mútua que 
tinha frustrado Euler e Lagrange. Seu trabalho contribuiu para a análise do sistema solar. Laplace generalizou as leis 
da mecânica para sua aplicação ao movimento e às propriedades de corpos celestes, por isso precisou e desenvolveu 
resultados em cálculo de várias variáveis. Seu famoso tratado sobre este assunto foi intitulado Mécanique celeste. 
Em 1782, Adrien Legendre (1752--1833) venceu um prêmio de pesquisa da Academia de Berlim com seu trabalho 
sobre balística exterior. Analisou a curva descrita pelas bolas de canhão, levando em consideração a resistência do 
ar e desenvolveu relações para alcance dadas as velocidades iniciais. Legendre pôde desenvolver estas equações a 
partir de seu trabalho avançado em equações diferenciais e cálculo de várias variáveis (UFMG, 2008). 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS E CURVAS DE NÍVEL
A visualização do gráfico de uma função de várias variáveis é muito importante, não só na 
matemática como em outras áreas afins, pois permite analisar com rapidez o comportamento 
dessas várias variáveis, contribuindo assim para tomada de decisões. Isso ocorre, especialmente, 
com as funções de duas variáveis, cujo gráfico, representa uma superfície no espaço.
Vamos, então, nos restringir ao esboço do gráfico de uma função de duas variáveis.
Segundo Flemming (1999, p. 12), o gráfico de uma função de duas variáveis ( , )z f x y= é 
o conjunto de todos os pontos 3( , , )x y z R∈ , tais que ( , ) ( )x y D f⊂ e ( , )z f x y= , ou seja: 
 { }3(f)= ( , , ) / ( , )Graf x y z R z f x y∈ = (I) 
© Cálculo14
Observe que o domínio está no plano, mas o gráfico está no espaço ( 3R ). A equação I 
determina uma superfície S no espaço. Assim, o gráfico de f é uma superfície cuja projeção no 
plano xy é o domínio de f . Cada perpendicular ao plano xy encontra a superfície num único 
ponto.
Para compreender melhor tal definição, vejamos, a seguir, dois exemplos: 
Exemplo 1: 
O gráfico da função 
2 2( , ) 4f x y x y= − − é uma superfície no espaço, como podemos 
observar no desenho, mas o domínio (projeção no plano xy ) desta função está no plano, ou 
seja, o domínio é ( ){ }2 2 2( ) , / 4D f x y R x y= ∈ + < , que é uma circunferência de centro (0,0) e 
raio 2.
Figura 4 Parabolóide. 
Exemplo 2: 
O gráfico da função ( , ) .f x y x y= é uma superfície no espaço (conhecida como sela de 
cavalo), como podemos observar no desenho, mas o domínio (projeção no plano xy ) desta fun-
ção é todo o plano. 
Figura 5 Sela de cavalo.
7. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS FUNÇÕES REAIS DE DUAS VARIÁVEIS
Quando vamos esboçar o gráfico da função de uma variável, muitas vezes, basta elaborar 
uma tabela com alguns pontos e traçar seu gráfico. Essa é uma ferramenta importante, embora 
não muito eficiente. No entanto, devemos ter visto no caso de funções de uma variável, que 
para esboçar o gráfico de uma forma mais precisa a determinação de raízes, intervalos de cres-
cimento e decrescimento, pontos de máximo e pontos de mínimo, é muito melhor.
Vale ressaltar que para uma função de duas variáveis, é praticamente impossível obter um 
esboço do gráfico apenas criando uma tabela com os valores da função em diversos pontos do 
seu domínio. Para isso existem outros recursos.
Claretiano - Centro Universitário
15© U1 – Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Segundo Flemming (1999, p. 14): 
Para contornar essa dificuldade, vários procedimentos são adotados. Os mais importantes são:
a) Representação por meio de uma superfície no espaço. (Visto anteriormente);
b) Por meio de Curvas de Nível. (Muito usado por cartógrafos na elaboração de mapas de relevo).
A seguir, vamos compreender o que é uma curva de nível e como ela pode nos ajudar no 
esboço de um gráfico. 
Curvas de nível
Para compreender o que é uma curva de nível, observe o que acontece com as funções 
( , )z f x y= quando elas são "cortadas", ou seja, interceptadas por planos z k= .
Exemplo 1: 
Vamos começar com a função 2 2( , ) 9f x y x y= − − . 
Para 5k = , temos que 2 2 2 29 0 9x y x y− − = ⇒ + = , que é a equação de uma circunferência 
de centro (0,0) e raio 3.
Para 5k = , temos que 2 2 2 2 2 29 5 9 5 4x y x y x y− − = ⇒ + = − ⇒ + = , que é a equação de 
uma circunferência de centro (0,0) e raio 2.
Fonte: Flemming e Gonçalves (1999, p. 16).
Figura 6 Curvas de nível do parabolóide. 
Para 0k ≠ com 0 9k≤ ≤ , temos que 2 2 2 29 9x y k x y k− − = ⇒ + = − , que é a equação 
de uma circunferência de centro (0,0) e raio 9 k− .
Observe que as curvas de nível obtidas anteriormente são circunferências de centro na 
origem e raio k . 
Exemplo 2: 
Vamos, agora, observar a função 
2 2( , )f x y x y= +
Para 0k = , temos que 2 2 2 20 0x y x y+ = ⇒ + = , que é a origem (0,0).
Para 1k = , temos que 2 2 2 21 1x y x y+ = ⇒ + = , que é a equação de uma circunferência 
de centro (0,0) e raio 1.
Fonte: FLEMMING e GONÇALVES (1999. p. 16).
Figura 7 Curvas de nível do cone. 
© Cálculo16
Para 0k ≠ , temos que 2 2 2 2 2x y k x y k+ = ⇔ + = , que é a equação de uma circunferência 
de centro (0,0) e raio k .
Observe que as curvas de nível obtidas anteriormente são circunferências de centro na 
origem e raio .
Assim, utilizando somente as curvas de nível, podemos ter dificuldade em esboçar o gráfico 
corretamente. Para ter certeza de qual é o gráfico da função, devemos, também, determinar a 
intersecção com os planos yz e xz .
Para os exemplos apresentados anteriormente, temos que a intersecção do gráfico de 
2 29z x y= − − com os planos yz e xz são parábolas:
• Plano yz ( 0)x = 2( , ) 9f x y y= −
• Plano xz ( 0)y = 2( , ) 9f x y x= −
A intersecção do gráfico de 
2 2( , )f x y x y= + com os planos yz e xz são semi-retas:
• Plano yz ( 0)x = (x=0): 2 2 2 2( , )f x y y z y z y z y= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
• Plano xz ( 0)y = 2 2 2 2( , )f x y x z x z x z x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
Assim o gráfico de 2 2z x y= + é um cone e o gráfico de 2 29z x y= − − é um parabolóide.
Segundo Thomas (2003, p. 258):
O conjunto de pontos ( , )x y no plano onde uma função ( , )f x y tem um valor constante 
( , )f x y c= é chamado de curva de nível de f . O conjunto de pontos ( , , )x y z no espaço onde uma 
função ( , , )f x y z tem um valor constante ( , , )f x y z c= é chamado de superfície de nível de f .
8. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS 
Aproveite este momento para autoavaliar os conhecimentos adquiridos na Unidade 1. 
Para tanto, procure retomar os conteúdos estudados, refletindo sobre às seguintes indagações:
1) O que é uma função de duas e três variáveis?
2) Qual a diferença delas com as funções de uma variável?
3) Como determinar o domínio dessas funções? E como esboçar seu gráfico?
4) Tenho dúvidas a eliminar? Quais? 
5) Que temas ainda preciso pesquisar? 
6) Utilizei estratégias que facilitaram o estudo e a compreensão dos conteúdos? Quais? 
Lembre-se de que, caso necessite de ajuda, estaremos à disposição na Sala de Aula Virtual.
9. CONSIDERAÇÕES
Nesta unidade, refletimos sobre as funções de várias variáveis, bem como compreendemos 
como obter o seu domínio e gráfico por meio das curvas de nível.
Na Unidade 2, teremos a oportunidade de estudar e refletir sobre alguns conceitos 
relacionados ao limite e à continuidade para funções reais de várias variáveis reais.
Claretiano - Centro Universitário
17© U1 – Funções Reais de Várias Variáveis Reais
10. E-REFERÊNCIA
UFMG. História das funções de várias variáveis. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/calculoII/h3fvva.html>. Acesso em: 
20 ago. 2013.
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASÁVILA, G. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. v. 2.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais duplas e triplas. São Paulo: Makron Books, 
1999.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. v. 2.
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 1988. v. 2.
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v. 2.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1994. v. 2.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 1 e 2.
Claretiano - Centro Universitário
EA
D
Um breve Estudo sobre Limite 
e Continuidade para Funções 
Reais de Várias Variáveis 
Reais 2
De que me irei ocupar no céu, durante toda a Eternidade, se não me derem uma infinidade 
de problemas de Matemática para resolver? (Augustin Louis Cauchy)
1. OBJETIVOS
• Conhecer o que acontece com o conceito intuitivo de limite e continuidade para fun-
ções reais de duas e três variáveis.
• Refletir sobre as principais propriedades de limite para funções de duas e três variáveis.
2. CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
• Noção intuitiva do limite e continuidade de uma função de duas variáveis.
• Definição formal de limite e continuidade.
• Propriedades de limite para funções de duas e três variáveis.
3. ORIENTAÇÕES PARA O ESTUDO DA UNIDADE 
1) Para ampliar seus conhecimentos sobre os conteúdos desta unidade é imprescindível 
que leia os capítulos sobre limite e continuidade para funções reais de várias variáveis 
reais dos livros:
a) ÁVILA, G. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
b) BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2002. v. 2.
c) FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, inte-
grais duplas e triplas. São Paulo: Makron Books, 1999.
© Cálculo20
d) THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 2. 
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE 
A ciência pelo caminho da exatidão só tem dois olhos: a Matemática e a Lógica (De 
Morgan).
Na Unidade 1, tivemos a oportunidade de estudar as funções reais de várias variáveis 
reais, determinamos o domínio e também conhecemos como esboçar o gráfico de tais funções 
por meio da definição de curvas de nível.
Agora, na Unidade 2, teremos a oportunidade de estudar e refletir sobre conceitos de 
"limite" e "continuidade das funções de várias variáveis", antes de apresentar o conceito de 
"derivada" para tais funções, que será estudado na Unidade 3.
Vale ressaltar que os conceitos de "limite" e "continuidade" são essencialmente os mes-
mos que o das funções de uma única variável. Assim, para facilitar o entendimento de tais con-
ceitos, vamos nos restringir nesta unidade as funções de duas variáveis.
Informação complementar: –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
O cálculo se desenvolveu rapidamente pelos seus vários sucessos no século 18, e pouca atenção foi dada aos 
seus fundamentos, muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin (1698--1746) defendeu o tratamento dos 
fluxions de Newton do ataque de George Berkeley. Mas Maclaurin reverteu a argumentos do século 17 similares 
aos de Fermat e apenas ocasionalmente usou a redução ao absurdo dupla de Arquimedes. Apesar de suas boas 
intenções, Maclaurin passou por oportunidades de seguir a sugestão de Newton sobre limites. Jean Le Rond 
d’Alembert (1717--1783) foi o único cientista daquele tempo que reconheceu explicitamente a importância central do 
limite no cálculo. Na famosa Encyclopédie (1751--1776), d’Alembert afirmou que a definição apropriada da derivada 
necessitava um entendimento do limite primeiro e então, deu a definição explícita: 
Uma quantidade é o limite de uma outra quantidade quando a segunda puder se aproximar da primeira dentro de 
qualquer precisão dada, não importa quão pequena, apesar da segunda quantidade nunca exceder a quantidade 
que ela aproxima. 
Em termos gerais, d’Alembert percebeu que, "a teoria de limites era a verdadeira metafísica do cálculo". A preocupação 
sobre a falta de fundamento rigoroso para o cálculo cresceu durante os últimos anos do século 18. Em 1784, a 
Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para um ensaio que explicasse com sucesso uma teoria do 
infinitamente pequeno e do infinitamente grande em matemática e que poderia, por sua vez, ser usada para colocar 
uma base sólida para o cálculo. Embora este prêmio tenha sido dado, o trabalho vencedor "longo e tedioso" de 
Simon L’Huilier (1750--1840) não foi considerado uma solução viável para os problemas colocados. Lazare N. M. 
Carnot (1753--1823) produziu uma tentativa popular de explicar o papel do limite no cálculo como "a compensação 
de erros" - mas ele não explicou como estes erros se cancelariam mutuamente perfeitamente (THOMAS, 2008). 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Todas as definições e propriedades que serão apresentadas nesta unidade também valem 
para funções de três ou mais variáveis.
Bom estudo!
5. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Considere a função de duas variáveis 
( , ) 3 2f x y x y= + . Vamos calcular intuitivamente o limite dessa função quando ( , )x y se 
aproxima do ponto (1,2), ou seja, 
( , ) (1,2)
lim (3 2 )
x y
x y
→
+ . O ponto ( , )x y pode se aproximar do ponto 
(1,2) por meio de qualquer direção. Assim, para aproximarmos os pontos ( , )x y do ponto (1,2), 
vamos escolher, primeiramente, o caminho da reta 2y x= . Observe que o ponto (1,2) pertence 
à reta 2y x= .
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21© U2 – Um breve Estudo sobre Limite e Continuidade para Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Tomando esse caminho particular e conveniente, a função ( , ) 3 2f x y x y= + se transfor-
ma na função de uma variável ( , 2 ) 3 2.(2 ) 3 4 7f x x x x x x x= + = + = , ou seja, ( ) 7f x x= . Nesse 
caso, o limite se transforma no limite de uma função de uma variável. Portanto passamos agora 
a considerar o limite 
1
2
lim 7
x
y x
x
→
=
. 
Inicialmente, vamos fazer x se aproximar de 1 pela esquerda.
Quadro 1 Limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda.
x ( ) 7f x x= ⋅
0,5 3.5
0,7 4.9
0,9 6.3
0,99 6.93
0,999 6.993
0,9999 6.9993
0,99999 6.99993
Observe, no Quadro 1, que conforme x se aproxima do ponto 1, a função ( ) 7f x x= ⋅ se 
aproxima de 7.
Agora, vamos fazer x se aproximar de 1 pela direita.
Quadro 2 Limite quando x se aproxima de 1 pela direita.
x ( ) 7f x x= ⋅
1,5 10.5
1,2 8.4
1,09 7.63
1,01 7.07
1,001 7.007
1,0001 7.0007
1,00001 7.00007
Observe, no Quadro 2, que conforme x se aproxima do ponto 1, a função ( ) 7f x x= ⋅ 
também se aproxima de 7.
E se escolhermos outro caminho? Vamos ver o que acontece?
Para aproximarmos os pontos ( , )x y do ponto (1,2), vamos escolher o caminho da reta 
3 1y x= ⋅ − . Observe que o ponto (1,2) pertence à reta 3 1y x= ⋅ − .
© Cálculo22
Tomando esse caminho particular e conveniente, a função ( , ) 3 2f x y x y= + se transforma 
na função de uma variável ( ,3 1) 3 2.(3 1) 3 6 2 9 2f x x x x x x x− = + − = + − = − , ou seja, 9 2y x= − . Nesse 
caso, o limite se transforma no limite de uma função de uma variável. Portanto, passamos, agora, 
a considerar o limite 
1
3 1
lim 9 2
x
y x
x
→
= −
− . Inicialmente, vamos fazer x se aproximar de 1 pela esquerda.
Quadro 3 Limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda.
x ( ) 9 - 2f x x=
0,5 2,5
0,7 4,3
0,9 6,1
0,99 6,91
0,999 6,991
0,9999 6,9991
0,99999 6,99991
Observe, no Quadro 3, que conforme x se aproxima do ponto 1, a função ( ) 7f x x= se 
aproxima de 7.
Agora vamos fazer x se aproximar de 1 pela direita. 
Quadro 4 Limite quando x se aproxima de 1 pela direita.
x ( ) 9 - 2f x x=
1,5 11,5
1,2 8,8
1,09 7,81
1,01 7,09
1,001 7,009
1,00017,0009
1,00001 7,00009
Observe, no Quadro 4, que conforme x se aproxima do ponto 1, a função ( ) 9 - 2f x x= 
também se aproxima de 7.
Portanto, podemos esperar, que independentemente do caminho tomado, a função 
( , ) 3 2f x y x y= + se aproxima do ponto 7 e é usual escrever que 
( , ) (1,2)
lim 3 2 7
x y
x y
→
+ = .
Com isso podemos generalizar o conceito de "limite" para funções de duas variáveis.
Segundo Flemming (1999, p. 42), a definição formal de limite é a seguinte:
Sejam 2:f A R R⊂ → e 0 0( , )x y um ponto de acumulação de A. Diz-se que lim ( , )f x y é um 
número real L quando ( , )x y se aproxima de 0 0( , )x y se, para todo 0ε > , existir um 0δ > tal 
que ( , )f x y L ε− < sempre que ( , )x y A∈ e 0 00 ( , ) ( , )x y x y δ< − < . 
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23© U2 – Um breve Estudo sobre Limite e Continuidade para Funções Reais de Várias Variáveis Reais
 
Fonte: Flemming e Gonçalves, (1999. p. 42).
Figura 1 Limite. 
Notação: 
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y L
→
= ou 
0
0
lim ( , )
x x
y y
f x y L
→
→
=
 Ponto de acumulação: –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Seja 2A R⊂ . Um ponto ' 2P R∈ é chamado ponto de acumulação de A se toda bola aberta de centro P 
contiver uma infinidade de pontos de A . Intuitivamente diz-se que ' 2P R∈ é um ponto de acumulação de A 
quando existirem pontos de A , diferentes de 'P , que estejam tão próximos de 'P quanto quisermos. 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Com base no exemplo apresentado anteriormente, percebemos que para o limite de uma 
função ( , )f x y existir, não importa o caminho que tomamos, a função ( , )f x y deve sempre se 
aproximar do mesmo valor. 
Assim, para provarmos que o limite de uma função de duas variáveis não existe, basta 
mostrarmos um caminho cujo limite quando ( , )x y tende a 0 0( , )x y ser diferente.
Exemplo: 
Para exemplificar, vamos provar que o 
2 2
2 2( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→
−
+
 não existe.
Desse modo, para aproximarmos os pontos ( , )x y do ponto (0,0), vamos, agora, escolher 
o caminho do eixo x , ou seja, 0y = . Observe que o ponto (0,0) pertence ao eixo x .
Tomando esse caminho particular e conveniente, a função 
2 2
2 2( , )
x yf x y
x y
−
=
+
 se transforma 
na função de uma variável 
2 2 2
2 2 2
0( ,0) 1
0
x xf x
x x
−
= = =
+
, ou seja, ( ) 1f x = . Nesse caso, o limite se 
transforma no limite de uma função de uma variável. Portanto, passamos a considerar o limite 
lim(1)
→
 , que é exatamente igual a 1. Agora, vamos tomar o caminho do eixo 0x = , ou seja, y . 
Observe que o ponto (0,0) pertence ao eixo y .
Tomando esse caminho particular e conveniente, a função 
2 2
2 2( , )
x yf x y
x y
−
=
+
 se transforma 
na função de uma variável 
2 2 2
2 2 2
0(0, ) 1
0
y yf y
y y
− −
= = = −
+
, ou seja, ( ) 1f y = − . Nesse caso, o 
© Cálculo24
limite se transforma no limite de uma função de uma variável. Portanto, passamos a considerar 
o limite 
0
0
lim( 1)
y
x
→
=
− , que é exatamente igual a -1. 
Como os limites são diferentes, concluímos que o limite não existe. 
Isso se generaliza por meio da seguinte proposição:
Proposição: sejam 1D e 2D dois subconjuntos do fD , ambos tendo 0 0( , )x y como ponto 
de acumulação. Se ( , )f x y tem limites diferentes quando 0 0( , ) ( , )x y x y→ através de 1D e 2D , 
respectivamente, então 
0 0( , ) ( , )
lim ( , )
x y x y
f x y L
→
= não existe.
Pode-se escolher 1D e 2D convenientemente, como as retas 0y = , 0x = ou qualquer 
outra curva ( )2 , ,y x y x y x− = = que passe pelo ponto 0 0( , )x y . 
Atenção! –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Da definição do limite, a aproximação de 0 0( , ) ( , )x y x y→ pode ser feita de qualquer direção, mas o limite deve 
ser o mesmo L .
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
6. PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
As propriedades apresentadas na graduação para funções de uma variável, se estendem 
para funções de duas ou mais variáveis. É claro que por meio dessas propriedades, o cálculo do 
limite se torna muito mais fácil do que o uso da definição formal.
Então vamos às propriedades: 
Primeiramente, temos a proposição importante:
Proposição: se ( )
2 !:
! !
nf R R
r n r
→
−
 é uma função de duas variáveis, definida por 
( , )f x y ax b= + , com a , b quaisquer números reais, então 
0
0
0lim ( , )x x
y y
f x y ax b
→
→
= + . 
Se 
0
0
lim ( , )
x x
y y
f x y
→
→
 e 
0
0
lim ( , )
x x
y y
g x y
→
→
 existem, e c é um número real qualquer, então:
a) Propriedade 1: 
[ ]
[ ] [ ]
0 0
0 0
lim ( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( , )
x x
y y
x x x x
y y y y
f x y g x y
f x y g x y
→
→
→ →
→ →
± =
±
),(lim
0
0
yxf
yy
xx
→
→ +
),(lim
0
0
yxg
yy
xx
→
→
b) Propriedade 2: 
0 0
0 0
lim . ( , ) . lim ( , )
x x x x
y y y y
c f x y c f x y
→ →
→ →
=
c) Propriedade 3: 
[ ]
[ ] [ ]
0
0
0 0
0 0
lim ( , ). ( , )
lim ( , ) . lim ( , )
x x
y y
x x x x
y y y y
f x y g x y
f x y g x y
→
→
→ →
→ →
=
Claretiano - Centro Universitário
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d) Propriedade 4: 
[ ] [ ]
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
lim ( , )
( , )lim ( , )( , ) lim
( , )
lim ( , ) lim ( , )
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x x x
y y y y
f x y
f x y
f x yg x y
g x y
f x y g x y
→
→
→
→
→
→
→ →
→ →
=
±
, desde que 
0
0
lim ( , ) 0
x x
y y
g x y
→
→
≠
e) Propriedade 5: [ ]
0 0
0 0
lim ( , ) lim ( , )
n
n
x x x x
y y y y
f x y f x y
→ →
→ →
 
 =
  
para qualquer inteiro positivo n.
f) Propriedade 6: [ ]
0 0
0 0
lim ( , ) lim ( , )
n
n
x x x x
y y y y
f x y f x y
→ →
→ →
 
 =
  
Exemplo: 
Usando as propriedades apresentadas anteriormente, encontre os limites das funções:
• 
0 0 0
0 0 0( , ) (0,0)
( , ) (0,0)
( , ) (0,0) 0 0 0
0 0 0
lim lim lim5lim 55 0 0 5 5lim
2 lim 2 lim lim lim 2 0 0 2 2
x x x
y y yx y
x y
x y x x x
y y y
x yx yx y
x y x y x y
→ → →
→ → →→
→
→ → → →
→ → →
− +− +− + − +
= = = =
+ + + + + + + +
 
 
• 
( , ) (16,2)
( , ) (16,2)
( , ) (16,2)
lim 16 4lim 2
lim 2 2
x y
x y
x y
xx
y y
→
→
→
= = = =
• 2 2 2 2 2 2
( , ) (1,5) ( , ) (1,5) ( , ) (1,5) ( , ) (1,5) ( , ) (1,5)
2 2 2 2
lim 1 lim 1 lim lim lim 1
1 5 1 1 5 1 1 25 1 25 5
x y x y x y x y x y
x y x y x y
→ → → → →
+ − = + − = + −
= + − = + − = + − = =
7. CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
A definição de continuidade para funções de duas variáveis é essencialmente a mesma das 
funções de uma única variável, ou seja:
Uma função ( , )f x y é contínua no ponto 0 0( , )x y se:
• f for definida em 0 0( , )x y ;
• 
0
0
lim ( , )
x x
y y
f x y
→
→
existe;
• 
0
0
0 0lim ( , ) ( , )x x
y y
f x y f x y
→
→
=
Desse modo, uma função é contínua quando é contínua em todos os pontos do seu do-
mínio.
© Cálculo26
Exemplo: 
Verificar se a função dada é contínua no ponto indicado: 3 2( , ) 3 2f x y x xy= − + , (1, 2)P . 
Para isso, vamos verificar se f está definida no ponto (1, 2) ; se o 3 2
1
2
lim 3 2
x
y
x xy
→
→
− + existe e final-
mente se 3 2
1
2
lim 3 2 (1,2)
x
y
x xy f
→
→
− + = .
Esta função está definida em todos os pontos de 
2R , ou seja, seu domínio é todo o plano. 
Além disso, o limite dessa função existe e é igual a -9, ou seja: 
3 2 3 2
1 1 1 1
2 2 2 2
lim 3 2 lim lim3 lim 2 1 12 2 9
x x x x
y y y y
x xy x xy
→ → → →
→ → → →
− + = − + = − + = −
Como 3 2
1
2
lim 3 2 (1,2)
x
y
x xy f
→
→
− + = , então, a função é contínua nesse ponto.
8. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS
Aproveite este momento para autoavaliar os conhecimentos adquiridos na Unidade 2. 
Para tanto, procure retomar os conteúdos estudados, refletindo sobre às seguintes questões:
1) Como calcular o limite de uma função de duas variáveis? Quais as principais propriedades?
2) Quando que uma função é contínua? 
3) Tenho dúvidas a eliminar? Quais?4) Que temas ainda preciso pesquisar? 
5) Utilizei estratégias que facilitaram o estudo e a compreensão dos conteúdos? Quais? 
Lembre-se de que, caso necessite de ajuda, estaremos à disposição na Sala de Aula Virtual.
9. CONSIDERAÇÕES
Chegamos ao término da Unidade 2, com a qual tivemos a oportunidade de estudar e re-
fletir sobre o limite e continuidade das funções de várias variáveis.
A Unidade 3 abordará conceitos relacionados à derivada dessas funções, ao plano tangen-
te, ao vetor gradiente e à diferenciabilidade. 
10. E-REFERÊNCIA
THOMAS, G. Cálculo. Disponível em: <http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/thomas_br/chapter1/medialib/custom3/
topics/combin.htm>. Acesso em: 25 jun. 2008.
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ÁVILA, G. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. v. 2.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais duplas e triplas. São Paulo: Makron Books, 
1999.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. v. 2.
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 1988. v. 2.
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v. 2.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1994. v. 2.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 1 e 2.
EA
DBreve Estudo sobre Derivadas 
Parcias, Diferenciabilidade, Plano 
Tangente e Vetor Gradiente 
para Funções Reais de 
Várias Variáveis Reais 3
Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o 
indivíduo a usar melhor a sua inteligência (Irene de Albuquerque).
1. OBJETIVOS
• Reconhecer e compreender o conceito de "derivada parcial" para funções reais de duas 
variáveis, fazendo uma analogia com as funções de uma única variável.
• Compreender o conceito de "diferenciabilidade", "plano tangente" e "vetor gradiente".
• Reconhecer e aplicar as técnicas de derivação em outras áreas afins.
2. CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
• Conceito de "derivada parcial" para funções de duas variáveis.
• Interpretação geométrica das derivadas parciais.
• Derivadas de ordem superior.
• Conceito de "diferenciabilidade".
• Definição de "plano tangente" e "vetor gradiente".
3. ORIENTAÇÃO PARA O ESTUDO DA UNIDADE 
1) Para ampliar seus conhecimentos sobre os conteúdos desta unidade é imprescindível 
que leia os capítulos sobre derivadas parciais dos livros:
a) ÁVILA, G. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
© Cálculo28
b) BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2002. v. 2.
c) FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, inte-
grais duplas e triplas. São Paulo: Makron Books, 1999.
d) THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 2. 
2) Antes de iniciar o estudo desta unidade, procure olhar previamente o conteúdo a ser 
estudado, de forma a reconhecer o esqueleto do mesmo, isto é, verifique os itens e 
subitens mais importantes, percorrendo rapidamente toda a extensão da unidade. 
Desse modo, você estará preparando o seu cérebro para compreender melhor o seu 
estudo, pois ele criará um "esboço" para o conteúdo que vira a seguir. 
4. INTRODUÇÃO À UNIDADE 
A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a 
descoberta da verdade (Laisant).
A Unidade 2 abordou conceitos relacionados à noção intuitiva de limite e continuidade 
das funções de várias variáveis.
Nesta unidade, um dos principais temas abordado será a derivada parcial dessas funções, 
um dos conceitos mais fascinantes do cálculo.
Informação complementar: –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
O "Cálculo" é uma expressão simplificada, adotada pelos matemáticos quando estes se referem à ferramenta 
matemática usada para analisar, qualitativamente ou quantitavamente, variações que ocorrem em fenômenos que 
abrigam uma ou mais componentes de natureza essencialmente física. Quando do seu surgimento, no século XVII, 
o cálculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemas científicos e matemáticos daquela época: 
1) Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto desta. 
2) Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e do volume de um sólido. 
3) Determinação dos valores máximo e mínimo de uma quantidade - por exemplo, as distâncias máxima e 
mínima de um corpo celeste a outro, ou qual ângulo de lançamento proporciona alcance máximo a um projétil. 
4) Conhecendo uma fórmula que descreva a distância percorrida por um corpo, em um intervalo qualquer de tempo, 
determinar a velocidade e a aceleração dele, em cada instante ao longo de tal intervalo. Reciprocamente, a partir 
de uma fórmula para a velocidade ou para a aceleração de um corpo, em qualquer instante, ao longo de um dado 
intervalo de tempo, determinar a distância percorrida pelo corpo em tal intervalo. 
Destes problemas ocuparam-se grandes cientistas do século XVII, porém o clímax destes esforços - a invenção (ou 
descoberta?) do Cálculo -- coube a Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. 
Isaac Newton (1642-1727)
Newton nasceu em Woolsthorpe, na Inglaterra. Em 1661 ele foi admitido no Trinity College, em Cambridge, com 
certa deficiência em geometria. Foi graças à orientação de Isaac Barrow, um premiado matemático e professor, 
que Newton enveredou pelos caminhos da matemática e das ciências em geral. Fugindo da peste negra que se 
alastrava por Londres, Newton refugiou-se na sua terra natal, durante os anos 1665 e 1666. Naquele período, ele 
delineou o que viria a ser o arcabouço da ciência moderna -- ele descobriu o Cálculo, reconheceu os princípios 
subjacentes ao movimento dos corpos do sistema planetário, conjecturou a existência da força gravitacional 
e determinou que a luz solar branca é composta de todas as outras cores, indo do vermelho ao violeta. 
Voltando a Cambridge, em 1667, obteve o grau de mestre, tornando-se então professor no Trinity College. Dois anos 
depois, ele ocupou a cadeira que era do professor Barrow, e, a partir de então, um turbilhão de criatividade tomou 
conta do seu espírito investigativo. Para se ter uma idéia, foi nesse período que ele obteve uma formulação para a lei 
da gravidade, usando-a para explicar os movimentos da lua, dos planetas e das marés. Foi ainda por essa época que 
ele formulou as leis básicas da ótica, da termodinâmica e da hidrodinâmica, projetou e construiu o primeiro telescópio 
da era moderna.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
Leibniz nasceu em Leipzig, na Alemanha. Um dos traços mais marcantes de sua vida foi a maestria com que 
ele abraçou várias áreas do conhecimento, indo do Direito à Matemática, passando pela Filosofia, pela História 
e pela Literatura. Seus estudos superiores sistemáticos tiveram início quando, aos 15 anos de idade, igressou 
na Universidade de Leipzig para cursar Direito Aos 20, doutorou-se nesta matéria, pela Universidade de Altdorf. 
Como diplomata, Leibniz teve oportunidade de travar contato com eminentes matemáticos e cientistas de 
vários países, de quem recebeu decisivo estímulo para prosseguir no seu autodidatismo em matemática. 
Dentre tais incentivadores, vale destacar o importante papel ocupado pelo físico Christian Huygens. 
Talvez uma das realizações mais marcantes, comungadas pelas vidas de Leibniz e Newton, tenha sido o fato de 
ambos terem inventado o Cálculo de modo independente, quer seja por motivações diferentes ou pela adoção 
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29© U3 – Breve Estudo sobre Derivadas Parcias, Diferenciabilidade, Plano Tangente e Vetor Gradiente para Funções Reais de Várias Variáveis Reais
de metodologias e terminologias também distintas. É quase consenso hoje que Leibniz o inventou cerca de 10 
anos depois de Newton,mas os resultados por ele obtidos foram tornados públicos 20 anos antes dos de Newton. 
Na atualidade, as noções centrais do Cálculo acham-se entre as mais requisitadas nas tarefas interdisciplinares de 
modelagem de fenômenos inerentes às ciências exatas e da natureza, biomédicas ou sociais aplicadas, tendo ainda 
presença quase indispensável no âmbito das áreas que se ocupam predominantemente da geração de tecnologias 
(ARAÚJO, 2008). 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Para tanto, teremos a oportunidade de refletir e lembrar sobre conceitos já estudados no 
cálculo das funções de uma única variável e fazer uma analogia com as funções de várias variá-
veis.
Qual será o significado geométrico da definição de derivada parcial? Terá alguma ligação 
com a interpretação geométrica da derivada da função de uma variável? 
O estudo sobre os conceitos propostos nesta unidade vai nos ajudar a compreender a im-
portância do Cálculo em várias áreas das ciências exatas e a responder as questões mencionadas 
anteriormente.
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por 
Isaac Newton e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o Cálculo ajuda em vários conceitos e 
definições desde a matemática, química, física clássica e até a física moderna. O estudante de cálculo 
deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, 
pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais 
como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais (WIKIPÉDIA, 
2008).
Desse modo, no decorrer deste estudo, também teremos a oportunidade de compreen-
der os conceitos de "diferenciabilidade", "vetor gradiente" e de "plano tangente". 
Provavelmente, teremos muitas perguntas a respeito desse assunto. Assim, vamos iniciar 
a busca pelas respostas refletindo sobre o contexto apresentado e interagindo com os colegas 
e tutor.
Bom estudo! 
5. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS DE UMA 
FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS
Vamos imaginar a função 2 2z x y= + , cujo esboço do gráfico é a esfera a seguir, Figura 1, e 
vamos considerar uma curva dessa função obtida pela intersecção da esfera com o plano 4y = . 
Figura 1 Esfera.
Desse modo, teremos a seguinte situação:
2 16
:
4
z x
C
y
 = +

=
Dado um ponto P dessa curva, por exemplo, (2, 4, 20)P = , como vamos calcular a 
inclinação da reta tangente à curva C no ponto P ? 
Essa pergunta nos faz lembrar a interpretação geométrica da função de uma única variável 
(FLEMMING, 1999).
© Cálculo30
E é exatamente esse mesmo conceito que vamos usar para funções de duas variáveis, ou 
seja, vamos fixar uma das variáveis, obtendo assim uma função de uma única variável e aplicar 
o conceito de "derivada" já estudado.
Por exemplo, para função 2 2z x y= + podemos fixar, inicialmente, a variável x e derivar a 
função em relação a y , depois fixamos a variável y e derivamos a função em relação a variável 
x .
Para entender melhor o que acontece, vamos observar a interpretação geométrica das 
derivadas parciais.
Assim, vamos definir o conceito de "derivada parcial" utilizando o conceito de "limite" 
estudado na Unidade 2.
Derivada parcial em relação a x 
Segundo Thomas (2003):
Se 0 0( , )x y é um ponto no domínio de uma função ( , )f x y , o plano vertical 0y y= cortará a 
superfície üz f x y= na curva 0( , )z f x y= , conforme veremos na Figura 2. Definimos a derivada 
de ( , )f x y em relação a x no ponto 0 0( , )x y como sendo 0 0 0 00 0
( , ) ( , )( , ) lim
h
f x h y f x yf x y
x h→
+ −∂
=
∂
 
desde que o limite exista.
 
Figura 1 Derivada parcial em relação a x. 
O coeficiente angular da curva 0( , )z f x y= no ponto 0 0 0 0( , , ( , ))P x y f x y= no plano 
0y y= é o valor da derivada parcial de f em relação a x em 0 0( , )x y . A reta tangente a curva 
em P é a reta no plano 0y y= que passa por P com esse coeficiente angular. 
Atenção! ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
O símbolo ∂ (chamado "del"), usado na definição de limite, é apenas um outro tipo de " d ", usado para derivada, 
para diferenciar a notação para um contexto de várias variáveis. 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Derivada parcial em relação a y 
Se 0 0( , )x y é um ponto no domínio de uma função ( , )f x y , o plano vertical 0x x= cortará a 
superfície ( , )z f x y= na curva 0( , )z f x y= , conforme veremos na Figura 2. Definimos a derivada 
de ( , )f x y em relação a y no ponto 0 0( , )x y como sendo 0 0 0 00 0
( , ) ( , )( , ) lim
h
f x y h f x yf x y
y h→
+ −∂
=
∂
 
desde que o limite exista.
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Figura 2 Derivada parcial em relação a y . 
O coeficiente angular da curva 0( , )z f x y= no ponto 0 0 0 0( , , ( , ))P x y f x y= no plano 
0x x= é o valor da derivada parcial de f em relação a x em 0 0( , )x y . A reta tangente a curva 
em P é a reta no plano 0x x= que passa por P com esse coeficiente angular. 
( , )z f x y=
Notação: A derivada ( , )f x y
x
∂
∂
 também é representada por: 
f
x
∂
∂
, ( , )xD f x y , 1 ( , )D f x y , 
( , )xf x y .
A derivada ( , )f x y
y
∂
∂
 também é representada por: 
f
y
∂
∂
, ( , )yD f x y , 2 ( , )D f x y , ( , )yf x y . 
É claro que fixando uma das variáveis, passamos a ter uma função de uma única variável 
e, portanto, podemos usar todas as propriedades das derivadas já vistas no ensino do cálculo 
para funções de R em R .
Informação complementar: ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
As regras de derivação permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.
1) Derivada de uma constante: se c é uma constante e ( )f x c= para todo x , então 
' ( ) 0f x = . 
2) Regra da potência: se n é um número inteiro positivo e ( ) nf x x= , então ' 1( ) . nf x n x −= . 
3) Derivada do produto de uma constante por uma função: sejam f uma função, c 
uma constante e g uma função definida por ( ) . ( )g x c f x= . Então ' '( ) . ( )g x c f x= .
4) Derivada de uma soma: sejam f e g duas funções e h uma função definida por 
( ) ( ) ( )h x f x g x= + . Então ' ' '( ) ( ) ( )h x f x g x= + .
5) Derivada de um produto: sejam f e g duas funções e h uma função definida por 
( ) ( ) ( )h x f x g x= ⋅ . Então ' ' '( ) ( ). ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x= + .
6) Derivada de um quociente: sejam f e g duas funções e h uma função definida por 
( )( )
( )
f xh x
g x
= . Então 
' '
'
2
( ). ( ) ( ) ( )( )
( )
f x g x f x g xh x
g x
−
= .
© Cálculo32
7) Derivada de uma função composta (regra da cadeia): se [ ]( )y g f x= é uma função 
composta, onde ( )y g u= e ( )u f x= , então a derivada de y é dada por: .dy dy du
dx du dx
= 
ou ' ' '( ) ( ). ( )y x g u f x= . 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Exemplo: 
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
1) 2 2( , ) 2 3 4f x y x y xy x= + −
2 2 2 2( , ) 2 3 4 2 2 3 1 4 4 3 4f x y x y x y x x y y xy y
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂     = + − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = + −     ∂ ∂ ∂ ∂     
2 2 2 2( , ) 2 3 4 2 1 3 2 0 2 6f x y x y x y x x x y x xy
y y y y
     ∂ ∂ ∂ ∂
= + − = ⋅ + ⋅ − = +     ∂ ∂ ∂ ∂     
2) ( , ) (2 )f x y sen x y= + 
( , ) (2 ) (2 ) cos(2 ) 2f f fx y sen x y x y x y
x x x
∂ ∂ ∂
= + ⋅ + = + ⋅
∂ ∂ ∂
( , ) (2 ) (2 ) cos(2 ) 1f f fx y sen x y x y x y
y y y
∂ ∂ ∂
= + ⋅ + = + ⋅
∂ ∂ ∂
3) ( , ) .cosf x y senx y= 
( , ) cos cos cos cos 0 cos cosf f fx y senx y senx y x y senx x y
x x x
∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅
∂ ∂ ∂
( , ) cos cos 0 cosf f fx y senx y senx y y senx seny senx seny
y y y
∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅− = − ⋅
∂ ∂ ∂ 
4) ( , )
x yf x y
xy
+
=
−
2 2 2 2
( ) .( ) ( ). ( )
1.( ) ( ).1 2( , )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y x y
f x y x y x y x y yx xx y
x x y x y x y x y
∂ ∂   + − − + −   ∂ − − + − − − −∂ ∂   = = = =
∂ − − − −
2 2 2 2
( ) .( ) ( ). ( )
1.( ) ( ).( 1) 2( , )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y x y
y yf x y x y x y x y xx y
y x y x y x y x y
   ∂ ∂
+ − − + −   ∂ ∂∂ − − + − − + +   = = = =
∂ − − − −
6. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
Dentre as derivadas parciais de ordem superior temos: 
• Derivadas parciais de segunda ordem: essas derivadas são em geral denotadas por:
2
2 xx
f f f
x x x
∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂  
2
xy
f f f
y x y x
∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ 
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2
2 yy
f f f
y y y
 ∂ ∂ ∂
= = ∂ ∂ ∂ 
2
yx
f f f
x y x x
∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ 
• Derivadas parciais de terceira ordem: essas derivadas são em geral denotadas por:
3 2
3 2 xxx
f f f
x x x
 ∂ ∂ ∂
= = ∂ ∂ ∂  
3 2
3 2 yyy
f f f
yy y
 ∂ ∂ ∂
= = ∂∂ ∂ 
3 2 2 2
2 2 2 2yyx xxy
f f f ff f
x y x y y x y x
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = =   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
7. CONCEITO DE "DIFERENCIABILIDADE" EM FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Antes de darmos início ao conceito de "diferenciabilidade" em funções de duas variáveis, 
vamos revisar o conceito de "diferenciabilidade" em funções de uma variável.
Revisão do conceito de "diferenciabilidade" em funções de uma variável ––––––––––––
Uma função de uma variável é diferenciável (derivável) quando a curva não possui pontos angulosos (bicos) ou 
saltos, isto é, uma curva contínua e suave. Em cada ponto do gráfico temos uma só reta tangente que representa 
uma boa aproximação de f próximo deste ponto.
Fonte: Thomas (2003, n.p.).
Figura 5 Diferenciabilidade em funções de uma variável – interpretação gráfica.
Vejamos o que se entende por uma boa aproximação de f próximo de 0x na função de uma variável.
 f sendo diferenciável em 0x ⇒ 
'
0 ( )f x∃ dada por:
0 0
0 0
0
' '0 0
0 0
0 0
Equação da Reta Tangente
' '
0 0 0 0 0 0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ) lim ( ) 0
( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ( )( )]
lim 0 lim 0
( )lim 0
x x x x
x x x x
x x
f x f x f x f x
f x f x
x x x x
f x f x f x x x f x f x f x x x
x x x x
f x y
x x
→ →
→ →
→
 − −
= ⇒ − = − − 
 − − − − + −
⇒ = ⇒ = − − 
−
⇒ =
−
A interpretação do 
0 0
( )lim
x x
f x y
x x→
−
−
 é que quando 0x x→ , ( )f x y− tende a zero mais rapidamente que 0x x−
, ou seja, a reta tangente t representa uma boa aproximação de f próximo de 0x . 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
O mesmo conceito de "diferenciabilidade" para funções de uma variável se aplica a função 
com duas variáveis independentes. Da mesma forma, numa função de duas variáveis ( , )f x y , 
ela é diferenciável se houver suavidade em seu gráfico, ou seja, não possuir "bicos". 
Segundo Flemming (1999, p. 87, grifo nosso):
Estando a derivada de uma função de uma variável ligada à reta tangente ao gráfico da função, as 
derivadas parciais estão relacionadas com o plano tangente ao gráfico de uma função com duas variáveis. 
© Cálculo34
Porém somente a existência de derivadas parciais não implica em existência de plano tangente. Em 
cada ponto 0 0 0 0( , , ( , ))x y f x y ) deverá existir um único plano tangente, que represente uma boa 
aproximação de ( , )f x y próximo de 0 0( , )x y para que a função seja diferenciável em 0 0( , )x y .
Assim, podemos introduzir o conceito de "função diferenciável". Dizemos que ( , )z f x y= 
é diferenciável no ponto 0 0( , )x y se as derivadas parciais 0 0( , )
f x y
x
∂
∂
 e 0 0( , )
f x y
y
∂
∂
 existirem e
0 0
Equação do Plano Tangente
0 0 0 0 0 0 0 0
( , ) ( , )
0 0
( , ) ( , ) ( , ).( ) ( , ).( )
lim 0
( , ) ( , )x y x y
f ff x y f x y x y x x x y y y
x y
x y x y→
 ∂ ∂
− + − + − ∂ ∂  =
−

 (*), em 
que
 
0 0( , ) ( , )x y x y− é a distância entre 0 0( , ) e ( , )x y x y dada algebricamente por 
2 2
0 0( ) ( )x x y y− + − .
A equação 0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ( , )( )
f fz f x y x y x x x y y y
x y
∂ ∂
= + − + −
∂ ∂
é chamada Equação do 
Plano Tangente ao gráfico de f.
Seja 2:f R R→ diferenciável em 0 0( , )x y . O plano tangente ao gráfico de f no ponto 
0 0 0 0( , , ( , ))x y f x y é dado pela equação:
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ( , )( )
f fz f x y x y x x x y y y
x y
∂ ∂
= + − + −
∂ ∂ 
Conclusão da diferenciabilidade de ( , )z f x y= em 0 0( , )x y :
• Se não houver uma das derivadas parciais em 0 0( , )x y , a função ( , )z f x y= não é 
diferenciável em 0 0( , )x y .
• Se as derivadas parciais de ( , )z f x y= em 0 0( , )x y existirem e o limite (*) for zero, a 
função ( , )z f x y= é diferenciável.
• Se o limite (*) não for zero ou não existir, f não será diferenciável no ponto 0 0( , )x y , 
mesmo que as derivadas parciais existam.
Diz-se que ( , )z f x y é diferenciável no seu domínio, se ele for diferenciável em todos os 
pontos ( , )x y do domínio.
Informação complementar: –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Como a verificação da diferenciabilidade é trabalhosa, usa-se a seguinte proposição: Se as derivadas parciais 
0 0( , )
f x y
x
∂
∂ e 0 0
( , )f x y
y
∂
∂ existirem e elas forem contínuas, então f é diferenciável. 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Para função de uma variável, sabemos que se f é diferenciável em 0x , então f é contínua 
em 0x . O mesmo ocorre em função de duas variáveis.
Proposição: demonstra-se que se ( , )z f x y= é diferenciável no ponto 0 0( , )x y , então f 
é contínua neste ponto.
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35© U3 – Breve Estudo sobre Derivadas Parcias, Diferenciabilidade, Plano Tangente e Vetor Gradiente para Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Exemplo 1: 
Verifique se a função 2 2( , )f x y x y= + é diferenciável em 2R .
2 2 2 2( , ) 2 ( , ) 2f fx y x y x x y x y y
x x x y y y
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   = + = = + =      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂        
 
Como as derivadas parciais são contínuas, podemos afirmar que ( , )z f x y= é diferenciável.
Exemplo 2: 
Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função 2 3( , ) 3f x y xy y x= + + 
no ponto (1,1).
Vamos calcular as derivadas parciais de ( , )z f x y= :
2 3 2 2( , ) 3 3.1. 0 3 3 3f x y x y y x y x y x
x x x x
∂ ∂ ∂ ∂     = + + = + + = +     ∂ ∂ ∂ ∂      
2 3( , ) 3 3 1 2 0 3 2f x y x y y x x y x y
y y y y
     ∂ ∂ ∂ ∂
= + − = ⋅ + − = +     ∂ ∂ ∂ ∂     
No ponto (1,1) temos:
2(1,1) 3.1 3.1 6f
x
∂
= + =
∂
(1,1) 3.1 2.1 5f
y
∂
= + =
∂
(1,1) 3 1 2 1 5f
y
∂
= ⋅ + ⋅ =
∂
A função 2 3( , ) 3f x y xy y x= + + , calculada no ponto (1,1) é 2 3(1,1) 3.1.1 1 1 5f = + + = .
Agora, vamos substituir na equação do plano tangente:
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ( , )( )
f fz f x y x y x x x y y y
x y
∂ ∂
= + − + −
∂ ∂
5 6.( 1) 5.( 1) 5 6 6 5 5 6 5 6z x y x y x y= + − + − = + − + − = + −
Portanto, a equação do plano tangente é 6 5 6z x y= + − .
8. VETOR GRADIENTE
Seja a função ( , )z f x y= , que admite derivadas parciais de primeira ordem no ponto 
0 0( , )x y . O gradiente de f no ponto 0 0( , )x y é o vetor dado por:
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ), ( , )
f ff x y x y x y
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
 
© Cálculo36
Figura 6 Vetor gradiente.
Se a função tiver mais que duas variáveis como, por exemplo, ( , , )w f x y z= o gradiente 
de w em 0 0 0( , , )x y z é dado por: 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ), ( , , ), ( , , )
f f ff x y z x y z x y z x y z
x y z
 ∂ ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ ∂ 
Importância do vetor gradiente
 Uma importante informação que o vetor gradiente traz é a do crescimento da função:
• O vetor gradiente indica a direção e o sentido de maior crescimento da função a partir 
do ponto em quefoi calculado.
• O módulo o vetor gradiente indica a intensidade do crescimento da função a partir do 
ponto em que foi calculado.
• O vetor gradiente ainda completa a informação gráfica obtida no mapa de contornos de 
uma superfície, determinando o "fluxo de crescimento" da superfície.
 
Figura 7 Parabolóide.
Figura 8 Vetor Gradiente.
Figura 9 Telha.
 
Figura 10 Vetor gradiente. 
Claretiano - Centro Universitário
37© U3 – Breve Estudo sobre Derivadas Parcias, Diferenciabilidade, Plano Tangente e Vetor Gradiente para Funções Reais de Várias Variáveis Reais
Demonstra-se que o vetor 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ), ( , )
f ff x y x y x y
x y
 ∂ ∂
∇ =  ∂ ∂ 
 não sendo nulo, ele é 
perpendicular à curva de nível que passa por 0 0( , )x y .
9. QUESTÕES AUTOAVALIATIVAS 
Aproveite este momento para autoavaliar os conhecimentos adquiridos na Unidade 3. 
Para tanto, procure retomar os conteúdos estudados, refletindo sobre às seguintes questões: 
1) Como calcular a derivada de uma função de duas variáveis? Ela tem alguma semelhança com o conceito visto 
para funções de uma variável?
2) Qual a sua interpretação geométrica e propriedades? 
3) Quando uma função de duas variáveis é diferenciável? 
4) O que é plano tangente e como determiná-lo? O plano tangente sempre existe?
5) O que é vetor gradiente e qual a sua importância?
6) Tenho dúvidas a eliminar? Quais? 
7) Que temas ainda preciso pesquisar? 
8) Utilizei estratégias que facilitaram o estudo e a compreensão dos conteúdos? Quais? 
Lembre-se de que, caso necessite de ajuda, estaremos à disposição na Sala de Aula Virtual.
10. CONSIDERAÇÕES
Nesta unidade, refletimos sobre um dos principais conceitos do cálculo, as "derivadas par-
ciais" das funções de duas variáveis, bem como compreender os conceitos de "diferenciabilida-
de", "plano tangente" e "vetor gradiente".
Na Unidade 4, teremos a oportunidade de estudar e compreender alguns conceitos sobre 
"máximos" e "mínimos" para funções reais de várias variáveis reais. 
11. E-REFERÊNCIAS
Lista de figuras
Figura 2 Derivada parcial em relação a y. Disponível em: <www.inf.pucrs.br/~dalcidio/>. Acesso em: 25 jun. 2008.
Figura 6 Vetor gradiente. Disponível em: <http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula29/aula29.htm>. Acesso em: 25 jun. 2008.
Figura 7 Parabolóide. Disponível em: <http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula29/aula29.htm>. Acesso em: 25 jun. 2008.
Figura 8 Vetor gradiente. Disponível em: <http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula29/aula29.htm>. Acesso em: 25 jun. 2008.
Figura 9 Telha. Disponível em: <http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula29/aula29.htm>. Acesso em: 25 jun. 2008.
Figura 10 Vetor gradiente. Disponível em: <http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula29/aula29.htm>. Acesso em: 25 jun. 2008.
Sites pesquisados
ARAÚJO, R. C. Um pouco sobre a história do cálculo. Disponível em: <http://www.geocities.com/ronaldca/calculo/calculo_1.
htm>. Acesso em: 25 jun. 2008. 
DMAT. O vetor gradiente. Disponível em: <http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula29/aula29.htm>. Acesso em: 25 jun. 2008.
WIKIPÉDIA. Cálculo. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo>. Acesso em: 20 ago. 2013. 
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12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ÁVILA, G. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2002. v. 2.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais duplas e triplas. São Paulo: Makron Books, 
1999.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. v. 2.
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 1988. v. 2.
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v. 2.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1994. v. 2.
THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 2.
EA
D
Breve Estudo sobre Máximos e 
Mínimos para Funções Reais 
de Várias Variáveis Reais 4
A História mostra que os chefes de império que encorajaram o culto das Matemáticas, 
fonte comum de todas as ciências exatas, são também aqueles cujo reinado foi mais 
brilhante e cuja glória é mais duradoura (Miches Charles, 1783-1880). 
1. OBJETIVOS
• Compreender e aplicar o conceito de "derivadas parciais" na análise do comportamen-
to de funções de duas variáveis.
• Reconhecer e compreender como obter pontos extremos das funções reais de duas 
variáveis.
2. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
• Máximos e mínimos de funções de várias variáveis.
3. ORIENTAÇÃO PARA O ESTUDO DA UNIDADE 
1) Para ampliar seus conhecimentos sobre os conteúdos desta unidade é imprescindível 
que leia o capítulo sobre máximos e mínimos de funções de várias variáveis dos livros:
a) ÁVILA, G. Introdução às funções e à derivada. São Paulo: Atual, 1994.
b) BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2002. v. 2.
c) FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, inte-
grais duplas e triplas. São Paulo: Makron Books, 1999.
d) THOMAS, G. B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. v. 2. 
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4. INTRODUÇÃO À UNIDADE 
Aquele que deseja estudar ou exercer a Magia deve cultivar a Matemática (Matila Ghyka).
Na unidade anterior aprendemos um dos conceitos mais importantes do cálculo que são 
as "derivadas parciais" para funções de duas e três variáveis. Além disso, tivemos a oportunida-
de de refletir sobre os conceitos de "diferenciabilidade" plano tangente e vetor gradiente.
Nesta unidade vamos estudar os valores máximos e mínimos de funções de várias variá-
veis e saber onde eles ocorrem.
Vale lembrar que conhecer os valores extremos de uma função é uma aplicação muito 
importante do cálculo diferencial de várias variáveis. Esse conceito aparece em várias áreas de 
conhecimento e em vários contextos práticos, como problemas econômicos, físicos, geométri-
cos etc.
Assim, podemos citar alguns exemplos, como: 
• Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume a e com a 
menor área de superfície possível?
• Qual é a maior temperatura em uma chapa de metal aquecida?
• O lucro de uma determinada indústria é modelado por meio da função 
2 23 3( , ) 60 100
2 2
L x y x y x y xy= + − − − . Supondo que toda a produção seja vendida, 
determina-se a produção que maximiza o lucro. 
Todas essas perguntas podem ser respondidas examinando as derivadas parciais das 
funções apropriadas.
Informação complementar: –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Durante o século 16, matemáticos estavam desenvolvendo uma nova matemática para resolver problemas em ciências 
físicas. Como o mundo físico é multidimensional (isto é, três dimensões espaciais e o tempo), muitas das quantidades 
usadas nestes modelos aplicados eram de várias variáveis. Astronomia era uma área da ciência que era rica neste 
tipo de matemática de várias variáveis. Por isso, o cenário estava sendo montado por astrônomos e matemáticos 
para o desenvolvimento de funções de várias variáveis e, finalmente, para o cálculo de várias variáveis. Galileu 
(1564--1642) tentou aplicar a matemática ao seu trabalho em astronomia, cinemática e resistência dos materiais. 
Pelo seu trabalho nestas áreas, é freqüentemente chamado de fundador da mecânica e física moderna. O astrônomo, 
matemático e físico alemão Johannes Kepler (1571-1630) contribuiu grandemente através do desenvolvimento das 
suas três leis do movimento planetário. Estes resultados mudaram a astronomia e desempenharam um papel crucial 
no desenvolvimento da física newtoniana e do cálculo. Seu trabalho ajudou a desacreditar o modelo geocêntrico de 
Ptolomeu e ajudou a estabelecer a teoria heliocêntrica de Copérnico. Também montou o cenário para o surgimento 
da matemática aplicada em várias variáveis (UFMG, 2008). 
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Desse modo,