Variáveis Aleatórias Contínuas

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Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal
Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 7
Professor: Carlos Sérgio
UNIDADE 4 - Variáveis Aleatórias Contínuas (Notas de aula)
Definição: Seja X uma variável aleatória. Suponha que <x, o contra-domínio de
X, seja um intervalo ou uma coleção de intervalos. Então diz-se que X é uma variável
aleatória contínua.
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabil-
idade f , indicada abreviadamente por f.d.p., é uma função f que satisfaz as seguintes
condições:
a) f(x) ≥ 0, x ∈ <x
b)
∫
<x f(x)dx = 1
Além disso, define-se, para qualquer c < d (em <x)
P (c < x < d) =
∫ d
c
f(x)dx
Observações:
a) P (c < x < d) representa a área sob a curva da f.d.p. f , entre os pontos x = c e
x = d.
b) Constitui uma consequência da descrição probabilística de X que, para qualquer
valor especificado de X, digamos x0, teremos P (X = x0) = 0, porque P (X = x0) =∫ x0
x0
f(x)dx = 0.
1 Função de Distribuição Acumulada
Definição: A função de distribuição da variável aleatória X, representada por Fx ou
simplesmente F , é definida por:
FX(x) = P (X ≤ x)
1
Teorema
a) Se X for uma variável aleatória contínua com f.d.p f então:
FX(x) =
∫ x
−∞
f(s)ds
Suponha que X seja uma variável contínua com f.d.p.
O gráfico está apresentado na Figura abaixo
Figura 1: Meyer, página 75.
2 Esperança de uma Variável Aleatória Contínua
Se uma variável aleatória X possui uma distribuição contínua com f.d.p. f(x), então a
esperança E(X) é definida por:
µ = E(X) =
∫ ∞
−∞
x · f(x)dx
Exemplo: Suponha que f.d.p. de uma v.a. X com uma distribuição contínua seja:
f(x) =
{
2x para 0 < x < 1
0 caso contrário
2
Então E(X) =
∫ 1
0
x · (2x)dx =
∫ 1
0
2x2dx = 2x
3
3
|10= 23
3 Variancia de uma Variável Aleatória Contínua
Suponha que uma v.a. X possua uma distribuição contínua, cuja f.d.p. é f(x). Então
V (X) =
∫ ∞
−∞
(x− µ)2f(x)dx =
∫ ∞
−∞
x2f(x)dx− µ2
Exemplo: Suponha que f.d.p. de uma v.a. X com uma distribuição contínua seja:
f(x) =
{
2x para 0 < x < 1
0 caso contrário
Como visto anteriormente, E(X) = 2
3
. Então
V (x) =
∫ 1
0
x2(2x)dx− (2
3
)2 =
∫ 1
0
2x3dx− (2
3
)2 = 2x
4
4
|10 −(23)
2 = 2
4
− 4
9
= 2
36
Exercícios
1. Sendo f(x) = Kx3 a densidade de uma variável aleatória contínua no intervalo
0 < x < 1, determine o valor de K.
2. Uma variável aleatória contínua X é definida pela seguinte função densidade:
f(x) =
{
3
2
(x− 1)2 se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contrário
Determinar:
a) A média.
b) A variância.
3. O diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função
densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
{
K(2x− x2) se 0 ≤ x ≤ 1
0 se x < 0 ou x > 1
a) Determinar K.
b) Calcular E(X) e V (X).
c) Calcular P (0 ≤ x ≤ 1/2).
3
4. Determinar a média e a variância de X, cuja f.d.p. é dada por:
f(x) =
{
2
x2
se 1 ≤ x ≤ 2
0 se x < 1 ou x > 2
5. Dada a função
f(x) =
{
2e−2x se x ≥ 0
0 se x < 0
a) Mostre que esta é uma f.d.p.
b) Calcule a probabilidade de X > 10.
6. A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória T , cuja f.d.p. é:
f(t) =
{
1
1000
e−
t
1000 para t ≥ 0 (em horas)
0 se t < 0
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
a) Se queimar antes de 1.000 horas.
b) Durar entre 800 e 1.200 horas.
7. Uma variável aleatória contínua tem a seguinte fdp:
f(x) =

2kx se 0 ≤ x < 3
kx para 3 ≤ x < 5
0 caso cantrário
Determinar o valor de k, a média e a variância da variável aleatória.
8. O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o
aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória
contínua X, que tem função de densidade
f(x) =

x se 0 < x < 1
2− x para 1 ≤ x < 2
0 caso cantrário
Determine a probabilidade de que, durante o período de um ano, a família use o
aspirador
a) menos de 120 horas;
b) entre 50 e 100 horas.
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	Função de Distribuição Acumulada
	Esperança de uma Variável Aleatória Contínua
	Variancia de uma Variável Aleatória Contínua