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Física Quântica - 2021.1 - QS
- Lista 1 -
Tema: Planck e os quanta
GABARITO
Questões:
a. O que é um corpo negro e quais são as características da radiação por ele emitida?
Resp: Um corpo negro é um objeto que absorve toda radiação incidente sobre ele. As
suas características são: A radiação emitida em equilíbrio térmico é determinada somente
pela temperatura; a radiação é isotrópica e um corpo negro é um emissor ideal, ou seja,
ele emite mais radiação que outros corpos na mesma temperatura.
b. Comente os resultados experimentais que levaram Stefan a propor que a energia total
emitida por um corpo negro é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta.
Enuncie e explique qual foi a contribuição de Boltzmann para a assim chamada Lei de
Stefan-Boltzmann.
Resp: Stefan experimentalmente mediu a radiação emitida por corpos negros em diferentes
temperaturas. Normalmente, a partir dos dados obtidos se obtém relações experimentais
pelo método de linearização. No caso, os dados de Stefan assumem um comportamento li-
near quando um gráfico de intensidade de radiação por área (R) por temperatura a quarta
potência (T 4) é construído. Assim, foi proposto que R ∝ T 4. Boltzmann alguns anos
depois obteve a mesma relação ao descrever a emissão de um corpo negro utilizando ter-
modinâmica clássica.
c. Porque a lei de deslocamento de Wien recebeu este nome?
Resp: A lei de Wien diz que λmax.T = constante, ou seja, o comprimento de onda má-
ximo vai se deslocando conforme a temperatura aumenta, por isso é chamada de lei de
deslocamento de Wien.
d. Explique (qualitativamente) como Rayleigh chegou a "Lei Clássica da Radiação"e o que é
a catástrofe do ultravioleta.
Resp: Considere uma cavidade esférica a temperatura T que esta emitindo como um
corpo negro. Dentro dessa cavidade existem ondas eletromagnéticas estacionárias com nós
nas superfícies metálicas. Usando um argumento geométrico podemos contar o número de
ondas no intervalo ν, ν + dν. Usando um resultado de teoria cinética podemos calcular a
energia média dessas ondas, que só depende de T. Multiplicando o número de ondas pela
energia média e dividindo pelo volume da cavidade nos dá o resultado de Rayleigh:
ρT (ν)dν =
8πν2
c3
kTdν
(Nota: A dedução simplificada pode ser encontrada no livro “Fundamentos de Química
Quântica” de João Pedro Braga editora UFV).
Este resultado contém o que é chamado a catástrofe do ultravioleta: conforme a frequência
aumenta, a densidade de energia aumenta. Como não há limite para a frequência, a energia
emitida seria infinita, o que está em claro desacordo com os dados experimentais.
e. Quais foram os argumentos de Planck que o levaram a introduzir os quanta para o pro-
blema da radiação de corpo negro?
Resp: Planck se baseou em argumentos da mecânica estatística para resolver o problema
da catástrofe do ultravioleta, assumindo que a energia associadas às ondas eletromagnéticas
não deveria ser uma variável continua, mas sim discreta. Ele assumiu também que estes
quantas de energia seriam proporcionais a frequência: δ� = hν, onde h seria uma constante
de proporcionalidade adequada (obtida por interpolação da curva dos dados experimentais)
e que, posteriormente, foi denominada de constante de Planck.
Essa escolha, entretanto, não possuía argumentos robustos para sustentá-la, pois ia contra
bases da mecânica clássica. Por esse motivo, a sociedade científica da época a considerava
arbitrária e temporária e que uma solução condizente com a física vigente deveria surgir
com o tempo. Com a utilização do quanta por Einstein na descrição do efeito fotoelétrico
(assunto da lista 2 da disciplina), a discretização da energia passou a ter um maior impacto
na comunidade científica.
Problemas:
1. Um objeto, cuja emissão de radiação térmica se dá aproximadamente como a de um corpo
negro, é mantido à temperatura de 25oC.
a) O máximo da emissão de radiação térmica ocorre para qual comprimento de onda?
b) Para qual temperatura devemos aquecer este objeto para que seu pico de radiação tér-
mica esteja na região do vermelho, λ = 700 nm?
c) Quantas vezes mais radiação térmica é emitida nesta temperatura mais alta?
Resp:a) O máximo de emissão de radiação térmica de um corpo à temperatura T obedece
lei do deslocamento de Wien, λmaxT = 2.898 × 10−3 m ·K. Assim, observando que a
temperatura do corpo na escala kelvin é T1 = 273 + 25 = 298K, o máximo da emissão de
radiação térmica ocorre no seguinte comprimento de onda
λmax =
2.898× 10−3 m ·K
T1
=
2.898× 10−3 m ·K
298K
= 9, 72× 10−6m = 9, 72µm
b) Usando novamente a lei do deslocamento de Wien, agora para encontrar a temperatura,
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temos
T2 =
2.898× 10−3 m ·K
λmax
=
2.898× 10−3 m ·K
700× 10−9 m
= 4140K.
c) De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann a intensidade total da radiação emitida é
proporcional a quarta potência da temperatura, R ∝ T 4 de modo que a razão da das
emissões térmicas total é
R2
R1
=
σT 42
σT 41
=
(4140K)4
(298K)4
= 3, 75× 104.
2. Mostre que a lei de Stefan-Boltzmann, R = σT 4, pode ser obtida a partir da lei de Planck.
Resp: A lei de Planck pode ser escrita como :
ρT (λ) =
8πhc
λ5(e−hc/λkT − 1)
Vamos mostrar que basta conhecer a lei de Planck para obter a lei de Stefan-Boltzmann.
Para isso, integrando em todos os comprimentos de onda:
RT =
∫ ∞
0
ρT (λ)dλ =
∫ ∞
0
8πhc
λ5(e−hc/λkT − 1)
dλ
Agora definindo a variável auxiliar x = hc/λkT , temos:
RT = 8πhc
[
kT
hc
]4 ∫ ∞
0
x3
ex − 1
dx
A integral é um número que não depende de T, assim podemos juntar todas as constantes
em σ e obter RT = σT 4
3. Um pêndulo simples de massa 0,1 kg, está suspenso por um fio de 0,1 m de comprimento.
Considerando o limite de pequenas oscilações, determine a frequência do pêndulo, sua
energia total e compare-a com ∆E = hν.[Dica: Observe que você não precisa saber a am-
plitude máxima exata do pêndulo. Discuta em termos de ordem de grandeza comparando
o que é esperado de um cálculo clássico e da teoria quântica]
Resp: No limite de pequenas oscilações temos que a força resultante no pêndulo é
F = −mg sin θ ∼ −mgθ = −mgx/l (1)
Aplicando a segunda lei de Newton:
d2x
dt2
= −gx
l
(2)
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Assumindo condições iniciais x(0) = x0 e dxdt (0) = 0, obtemos:
x(t) = x0 cos
(√g
l
t
)
(3)
O periodo é simplesmente dado por
√
g
l T = 2π, com isso obtemos a f =
1
2π
√
g
l ≈ 1.58s
−1.
Para determinar a energia basta somar a energia cinética com a potencial, por exemplo,
em x = 0, em que só temos energia cinética, assim obtemos:
E =
1
2
mx20
g
l
= 2π2mx20f
2 (4)
Para determinar a energia clássica é preciso conhecer x0, o que é a principal diferença para
a mecânica quântica: a energia de um oscilador harmônico clássico depende do quadrado
da sua amplitude, enquanto a energia quântica do oscilador harmônico é E = hν indepen-
dente da amplitude.
4. Um radiômetro é um dispositivo para medir a intensidade da radiação térmica em faixas
selecionadas do comprimento de onda, o que permite a determinação da temperatura de
corpos. Considere um objeto aquecido e mantido à temperatura de 1300 K. Imagine que
você tem um radiômetro que mede a intensidade da radiação em intervalos de compri-
mento de onde de ∆λ = 12 nm. Mudando os intervalos comprimento de onda você pode
ajustar o radiômetro para medir a mais intensa emissão de radiação pelo objeto. Qual é a
intensidade da radiação emitida neste intervalo? [Dica: Lembre-se que RT (λ) = c4uT (λ)
a intensidade espectral do objeto, observe que a integral
∫
RT (λ) dλ para um intervalo
de comprimentos de onda pequeno (comparado ao espectro total) pode ser aproximada por
RT (λ) ∆λ.]
Resp: Pela lei do deslocamento de Wien, na temperatura do objeto a radiação mais in-
tensa emitida por este tem o seguinte comprimento de onda
λmax =
2, 898× 10−3 m ·K
T
=
2, 898× 10−3 m ·K
1300K
= 2, 229× 10−6m = 2229nm
Na temperatura do objeto temos que
kT =
(
1, 38064852× 10−23J/K
)
(1300 K)
= 1795 J
kT =
(
8, 6173× 10−5eV/K
)
(1300 K)
= 0, 0112 eV.
SendoRT (λ) = c4uT (λ) a intensidade espectral do objeto, observe quea integral
∫
RT (λ) dλ
no intervalo de comprimentos de onda ∆λ = 12 nm pode ser aproximada – o intervalo
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é pequeno e RT (λ) não varia significativamente nele – por RT (λ) ∆λ. Assim, temos o
seguinte resultado para a intensidade da radiação emitida no intervalo
RT (λ) ∆λ =
2πhc2
λ5
1
e
hc
λkT − 1
∆λ
=
2π
(
6, 626× 10−34J · s
) (
2, 998× 108ms
)2 (
1, 2× 108m
)
(, 229× 106m)5
(
e(6,626×10
−34J·s)(2,998×108 ms )/(2,229×106m)(1795 J) − 1
)
= 578, 43W/m2.
5. A medida do comprimento de onda para a qual a radiação R(λ) é máxima indica que a
temperatura da superfície da estrela é 3000 K. Se a potência irradiada pela estrela é 100
vezes maior que a potência irradiada pelo Sol, qual é o raio da estrela? Dado: temperatura
da superfície do Sol = 5800 K? ]Dica: para um corpo negro R = PA , onde R é a potência
irradiada por unidade, P a potência total irradiada e A a área do corpo e suponha que as
estrelas são corpos negros.]
Resp: Sabendo que R = P/A, com RT = σT 4, e que r∗ = 100rsol, obtemos:
R∗
Rsol
=
P∗Asol
PsolA∗
= 100
Asol
A∗
então:
T 4∗
T 4sol
= 100
Asol
A∗
→ A∗ = 1397Asol
Portanto, considerando que a área superficial de uma esfera é A = 4πr2, então: r∗ =
37, 4rsol.
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