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Lista de Exercícios #6 
Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 1 
 
1. ANPEC 2018 - Questão 6 
 
Por regulamentação, a concentração de um produto químico não pode ultrapassar 
10 ppm. Uma fábrica utiliza esse produto e sabe que, num dia qualquer, a concentração tem 
distribuição Normal(7,675; 1,52). Qual a probabilidade de que, em um dia qualquer, a 
concentração do produto exceda 10 ppm? Multiplique por 100 e marque o inteiro mais 
próximo. (Pode ser útil a seguinte informação: P(z < 1,55) = 0,9505) 
 
 
2. ANPEC 2017 – Questão 04 
 
Sejam 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal (𝜇, 𝜎
2), em que 
𝜇 e 𝜎2 são desconhecidos 𝜎2 > 0. Podemos definir também �̅� =
1
𝑛
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1 e 
 𝑆2 = 
1
𝑛−1
∑ (𝑋𝑖 − �̅�)
2𝑛
𝑖=1 . Podemos afirmar: 
 
(0) 𝑆2 é um estimador não tendencioso de 𝜎2. 
(1) A variância de �̅� é igual a 
𝜎2
𝑛
. 
(2) 𝑆2 é um estimador não tendencioso para a variância de �̅�. 
(3) 𝑆2 é um estimador consistente de 𝜎2. 
(4) �̅� é um estimador consistente de 𝜇. 
 
 
3. ANPEC 2016 – Questão 14 
 
Julgue as afirmativas abaixo: 
 
(0) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas 
com média 𝜇 e variância 𝜎2. Então �̅� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1 é um estimador consistente para 𝜇; 
 
(1) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias com Distribuição de Poisson com parâmetro 𝜆. 
Definindo �̅� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1 podemos dizer, com base na Lei dos Grandes Números, que �̅� se 
aproxima de 𝜆 a medida que n → ∞; 
 
(2) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas 
com média 𝜇 e variância 𝜎2. Sendo �̅� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1 , podemos dizer que �̅� se torna bem 
aproximada pela distribuição normal com média 𝜇 e variância 𝜎2 quando n → ∞; 
 
(3) Sejam X1, X2,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas 
com média 𝜇 e variância 𝜎2. Sendo �̅� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1 , �̅� se torna bem aproximada pela distribuição 
normal quando n → ∞, mesmo que X1, X2,...,Xn não sejam normalmente distribuídas; 
 
(4) Sendo X uma variável aleatória com média E(X) = 1 e variância 𝜎𝑥
2 = 4, o limite de 
probabilidade para |X – 1| ≥ 4 é igual a 0,50. 
 
Lista de Exercícios #6 
Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 2 
4. ANPEC 2015 – Questão 11 
 
Sejam 𝑋𝑛~𝑁 (0; 2 +
2
𝑛
) e 𝑋~𝑁(0; 2). Julgue as seguintes afirmativas: 
 
(0) 𝑋𝑛converge em distribuição para 𝑋 e 𝑋𝑛 converge em probabilidade para 𝑋; 
(1) 𝑋𝑛 converge em distribuição para 𝑋; 
(2) 𝑋𝑛 converge em probabilidade para 𝑋; 
(3) lim
𝑛→∞
𝑃𝑟[|𝑋𝑛 − 𝑋| < 𝜀] → 1 
(4) lim
𝑁→∞
𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑛] = 4 
 
 
 
5. ANPEC 2015 – Questão 12 
 
Seja 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 uma amostra aleatória de tamanho N com distribuição exponencial: 
𝑓(𝑥) =
1
𝜃
𝑒𝑥𝑝 (−
𝑥
𝜃
) , 0 < 𝑥 < ∞. 
Seja 𝜃 = 𝑐�̅�, em que 𝑐 é um número real. 
Julgue as seguintes afirmativas: 
 
(0) Podemos afirmar que 𝜃 é um estimador não-viesado para 𝜃; 
(1) 𝑉𝑎𝑟[𝜃] =
𝑐
𝜃
; 
(2) O erro quadrado médio do estimador é 𝜃2(2𝑐² − 2𝑐 + 1). O erro quadrado médio é 
minimizado quando c é igual a 0,5; 
(3) Se 𝑐 = 1, 𝜃 é um estimador não-viesado para 𝜃; 
(4) Se 𝑐 = 1, 𝜃 é um estimador viesado para 𝜃 e o seu erro quadrado médio é igual a 𝜃2. 
 
 
 
6. ANPEC 2015 – Questão 15 
 
Sejam 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 e 𝑋4variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de uma 
população com média 𝜇 e variância 𝜎2. Considere os seguintes estimadores para 𝜇: 
𝑚1 = (𝑋1 + 2𝑋2 + 2𝑋3 + 𝑋4)/6 
𝑚2 = (𝑋1 + 4𝑋2 + 4𝑋3 + 𝑋4)/10 
𝑚3 = (𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4)/4 
 
Com base nesses três estimadores, são corretas as afirmativas: 
 
(0) Os três estimadores são não tendenciosos; 
(1) 𝑚1 é o estimador com maior variância; 
(2) Os três estimadores são igualmente eficientes; 
(3) 𝑚3 é o estimador com menor variância; 
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Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 3 
(4) O estimador 𝑚2 é não tendencioso e tem menor variância do que o estimador 𝑚1. 
 
 
7. ANPEC 2014 – Questão 09 
 
Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, com média  e variância 2. Considere 
duas amostras aleatórias independentes de X. Cada uma das amostras tem tamanho n1 e n2, e 
possuem médias 1X e 2X . Podemos usar dois estimadores para a média populacional, 
)(
2
1~
21 XX  e 
21
2211ˆ
nn
XnXn


 . 
 
Julgue as seguintes afirmativas a respeito dos estimadores: 
 
(0) ~ é um estimador não-viesado para a média populacional; 
(1) ̂ é um estimador não-viesado para a média populacional; 
(2) ~ possui menor variância que ̂ ; 
(3) ~ é um estimador mais eficiente, isto é, possui menor erro quadrático médio que ̂ ; 
(4) ~ é um estimador consistente para a média populacional. 
 
 
8. ANPEC 2013 – Questão 7 
 
𝑋1, … , 𝑋𝑁 é uma amostra aleatória de tamanho 𝑁 de uma população com 𝐸[𝑋𝑖] = 𝜃1 e 
𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑖] = 𝜃2. Definimos quatro estatísticas: 
 
𝑇1 =
∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
, 𝑇2 =
∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁 − 3
, 𝑇3 =
∑ 𝑋𝑖
𝑁/2
𝑖=1
𝑁
 , 𝑇4 =
∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁2
 
 
Em relação às quatro estatísticas, podemos afirmar que: 
 
(0) 𝑇2 é um estimador viesado para 𝜃1 e o viés é igual a 
3
𝑁−3
𝜃1. 
(1) Pela lei dos grandes números, 𝑇1 converge em distribuição para uma normal com média 𝜃1 
e variância 
𝜃2
𝑁
. 
(2) A variância de 𝑇3 é menor que a variância de 𝑇1. 
(3) 𝑇3 é um estimador consistente para 
𝜃1
2
. 
(4) Usando a desigualdade de Tchebycheff, podemos mostrar que Pr [𝑇4 ≥ 𝜉] ≤
𝑉𝑎𝑟(𝑇4)
𝜉2
, onde 
𝜉 > 0 é uma constante qualquer. 
 
 
 
 
 
 
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Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 4 
9. ANPEC 2013 – Questão 11 
 
São corretas as afirmativas: 
 
(0) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que 𝑃(𝑋1 = 𝑥) =
1
11
, 𝑥 = 1, 2, … , 11. Então pela lei dos grandes números, à 
medida que 𝑛 → 11, �̅� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1 converge para 11. 
 
(1) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas com distribuição de Bernoulli com parâmetro 𝑝. Defina �̅� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1 . Então, pelo 
Teorema Central do Limite, à medida que 𝑛 → ∞, (�̅� − 𝑝)/√𝑝(1 − 𝑝)/𝑛 converge para uma 
distribuição normal padrão. 
 
(2) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑁 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo [0, 𝜃]. Defina �̅� = ∑ 𝑋𝑖/𝑛
𝑛
𝑖=1 . Então, 2�̅� é 
um estimador não viesado de 𝜃. 
 
(3) Suponha que 𝑋 tenha distribuição 𝑡 com 4 graus de liberdade. Então 𝑃(|𝑋| > 4) = 0,23. 
 
(4) Suponha que 𝑋 seja uma variável aleatória com distribuição 𝑡 de Student com 𝑛 graus de 
liberdade. À medida que 𝑛 aumenta, a distribuição de 𝑋 se aproxima de uma normal padrão. 
 
 
10. ANPEC 2012 - Questão 9 
 
Julgue as seguintes afirmativas: 
 
(0) Seja X1,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas tais que E[Xi] 
= μ < ∞. Se Var[Xi] → 0, então Xi 
𝑝
→ μ. 
 
(1) Seja X1, X2,... uma sequência de variáveis aleatórias. Esta sequência de variáveis aleatórias 
converge em probabilidade para uma constante μ se e somente se esta sequência de variável 
aleatória converge em distribuição para μ. 
 
(2) Seja X1, X2,..., Xn uma amostra aleatória com média �̅� e variância 0 < S2 < ∞. Podemos 
afirmar que W = c�̅�, com c 𝜖 𝑅 converge para uma distribuição normal com média μ e 
variância 
𝜎2
𝑁
. 
 
(3) Seja X1,...,Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média μ e 
variância 0 < σ2 < ∞. Seja 𝑆2 = 
1
𝑁
 ∑ (𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1 − �̅�)
2 em que �̅� = 
∑ 𝑋𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
 . Neste caso S2, é um 
estimador consistente para σ2. 
(4) Se Y é uma variável aleatória tal que E[Y2] < ∞, entãopodemos afirmar que P(|Y| ≥ 𝑐) ≤
 
𝐸[𝑌]
𝑐2
 para c>0. 
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11. ANPEC 2012 - Questão 10 
 
São corretas as afirmativas: 
 
(0) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas, com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Então, pela Lei dos Grandes 
Números, à medida que n→ ∞, �̅� = ∑
𝑋𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1 converge para p. 
 
(1) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas, com distribuição uniforme no intervalo [0,1]. Seja �̅� = ∑
𝑋𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1 . Pelo Teorema 
Central do Limite, à medida que n→ ∞, √𝑛[
(�̅�− 
1
2
 )
√1 12⁄
] aproxima-se de uma distribuição normal 
padrão. 
 
(2) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que Xi ~ N(0,1), ∀ i. Então, se definirmos 𝑌 = 𝑋𝑖
2, P(|Yi -1| > 2) ≤ 0,5. 
 
(3) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas, com distribuição log normal com parâmetros μ e σ. Seja �̅� = ∑
𝑋𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1 . Então, log 
�̅� é um estimador consistente de μ. 
 
(4) Suponha que X1,X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que Xi ~ N(μ,σ2), ∀ i. Então, se definirmos �̅� = ∑
𝑋𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1 e �̂�
2 = 
∑ (𝑋𝑖 − �̅�)
2 𝑛𝑖=1 / 𝑛, �̂�
2 será um estimador eficiente de σ2. 
 
 
12. ANPEC 2012 – Questão 13 
 
Sejam W1 e W2 variáveis aleatórias discretas independentes com a seguinte função de 
probabilidade: f(0) = ½, f(1) = 1/3 e f(2) = 1/6. Seja Y = W1 + W2. Julgue as seguintes 
afirmativas: 
 
(0) E[Y] = 4/3 
(1) Var[Y] =10/9 
(2) Pela desigualdade de Tchebyshev, P(Y ≥ 3) ≤ 2/5 
(3) Usando os dados acima, obtemos que P(Y ≥ 3) = 1/36 . 
(4) Y é uma variável aleatória discreta que assume os seguintes valores {0,1,2,3,4,5}. 
 
 
 
 
 
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13. ANPEC 2011 - Questão 4 
 
São corretas as afirmativas: 
 
(0) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que Xi ~  2,N . Então 
 
é um estimador eficiente de . 
(1) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que Xi ~  2,N . Então, se definirmos ,   2
2


 XP
 
para 
0 . 
(2) Se um estimador  de um parâmetro é não viesado e a variância de  converge para 0 
à medida que o tamanho da amostra tende a infinito, então  é consistente. 
(3) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que Xi ~ Poisson(λ), i . Seja . Pela lei dos grandes números, 
à medida que n → ∞, X converge para λ. 
(4) Suponha que X1, X2,...,Xn sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que 2~ viX  , i . Seja . À medida que n → ∞, 
   nvvX /2/ aproxima-se de uma distribuição normal padrão. 
 
 
14. ANPEC 2010 - Questão 4 
 
Responda se verdadeiro ou falso: 
 
(0) A Diferença entre as medianas de uma distribuição 𝐹(𝑎,𝑏) e de uma distribuição 𝑎
2 diminui à 
medida que 𝑏 → ∞; 
 
(1) O Teorema Central do Limite justifica a afirmação: “Seja 𝑇 uma variável aleatória,tal que 
𝑇~𝑡𝑘−1, em que 𝑡 representa uma distribuição 𝑡 de Student, com 𝑘 − 1 graus de liberdade, em 
que 𝑘 é fixo. Então 𝑇 converge em distribuição para uma Normal Padrão"; 
 
(2) Sejam 𝑆1
2 = ∑
(𝑥𝑖−�̅�)
2
𝑛
𝑛
𝑖=1 e 𝑆2
2 = ∑
(𝑥𝑖)
2
𝑛
𝑛
𝑖=1 . Ambos estimadores podem ser demonstrados 
consistentes para 𝜎2, supondo uma amostra aleatória de 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2); 
 
(3) Uma moeda justa foi jogada 300 vezes e observou-se cara em 188 destas. A Lei dos Grandes 
Números justifica a afirmação: 𝑃(cara na 301ª jogada | 188 caras em 300 jogadas) < 0,5. 
 
(4) Se um estimador convergir em média quadrática para o parâmetro, ele será consistente 
(convergirá em probabilidade para o parâmetro). 
 
 
nXX
n
i i
/
1  
nXX
n
i i
/
1 

nXX
n
i i
/
1 
nXX
n
i i
/
1 
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15. ANPEC 2010 - Questão 5 
 
São corretas as afirmativas: 
 
(0) Considere dois estimadores não tendenciosos 𝜃1 e 𝜃2, de um parâmetro 𝜃. 𝜃1 é eficiente 
relativamente 𝜃2 se 𝑉𝑎𝑟(𝜃1) < 𝑉𝑎𝑟(𝜃2); 
 
(1) Um estimador 𝜃 de um parâmetro 𝜃 é consistente se 𝜃 converge em probabilidade para 𝜃; 
 
(2) Um estimador 𝜃 de um parâmetro 𝜃 é consistente se, e somente se, 𝜃 é não viesado e a 
variância de 𝜃 converge para 0 a medida que o tamanho da amostra tende a infinito ; 
 
(3) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋10 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que 𝑋𝑖~2 
2 , 𝑖 = 1, 2, … ,10. Defina �̅� = ∑
𝑋𝑖
𝑛
10
𝑖=1 . Então 𝑃(1 < �̅� < 3) = 0,55; 
 
(4) Suponha que 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente 
distribuídas e que 𝑋𝑖~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆), ∀𝑖. Defina �̅� = ∑
𝑋𝑖
𝑛
10
𝑖=1 . À medida que 𝑛 → ∞, (�̅� −
𝜆)/√(𝜆 𝑛⁄ ) aproxima-se de uma distribuição normal padrão. 
 
 
16. ANPEC 2010 - Questão 6 
 
Suponha que 𝑌1 e 𝑌2 sejam variáveis aleatórias independentes, com média 𝜇 e variâncias 
𝑉(𝑌1) = 75 e 𝑉(𝑌2) = 25. O valor de 𝜇 é desconhecido e é proposto estimar 𝜇 por uma média 
ponderada de 𝑌1 e 𝑌2, isto é, por: 𝑎𝑌1 + (1 − 𝑎)𝑌2. Qual valor de 𝑎 produz o estimador com a 
menor variância possível na classe dos estimadores não viesados? Multiplique o resultado por 
100. 
 
 
17. ANPEC 2009 - Questão 6 
 
Seja Yi, i = 1, ..., n, uma variável aleatória tal que Yi = 1 com probabilidade p e Yi = 0 com 
probabilidade 1-p. Defina 


n
1i
iYX . Responda se cada uma das afirmativas abaixo é verdadeira 
ou falsa: 
 
(0) Yi, i = 1, ..., n, possui distribuição Poisson com média p. 
(1) X possui distribuição Binomial com parâmetros n e p. 
(2) V(Yi) = V(X) = p. V(X) significa variância de X. 
(3) Se n →∞ e p permanecer fixo, então 
)p1(np
npX


converge para distribuição normal com 
média 0 e variância 1. 
(4) E(Y2) = p2. 
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18. ANPEC 2008 - Questão 3 
 
Sejam X1, X2, ..., Xn, n variáveis aleatórias independentes, igualmente distribuídas, com 
distribuição Poisson dada por 








contrário caso0
,...2,1,0x
!x
e
)x(p
x
x 
Julgue as afirmativas: 
 
(0) Pela Lei dos Grandes Números 


n
1i
iX
n
1
T aproxima-se da distribuição normal quando n 
tende para o infinito. 
 
(1) Suponha que n>5. 



n
6i
i
5
1i
i X
5n
1
X
5
1
T é um estimador consistente de E(Xi). 
 
(2) 











n
1i
i
2
n
1i
i X
n
1
X
n
1
T é um estimador tendencioso de 2. 
 
(3) Pelo Teorema Central do Limite, 


n
1i
iX
n
1
T é um estimador consistente de V(Xi). 
 
(4) 


n
1i
iX
n
1
T é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro . 
 
 
19. ANPEC 2007 - Questão 2 
 
Considere uma amostra aleatória de n variáveis x
1
, x
2
, ..., x
n
, normalmente distribuídas com 
média μ e variância σ
2
. Sejam 


n
1i
ix
n
1
x e  


n
1i
2
i
2 xx
n
1
s . É correto afirmar que: 
(0) x e 2s são estimadores de máxima verossimilhança de μ e σ
2
, respectivamente. 
(1) x e 2s são não viesados. 
(2) x e 2s são consistentes. 
(3) Apenas x é consistente. 
(4) Apenas x é não viesado. 
 
 
 
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 9 
 
 
20. ANPEC 2006 - Questão 5 
 
São corretas as afirmativas: 
 
(0) O teorema de Tchebychev é útil para se calcular o limite inferior para a probabilidade de 
uma variável aleatória com distribuição desconhecida quando se tem apenas a variânciada 
população. 
(1) Um estimador não-tendencioso pode não ser consistente. 
(2) Um estimador consistente pode não ser eficiente. 
(3) Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pela Lei 
dos Grandes Números, E(m) = µ, em que m = 

n
i
iY
n 1
1
. 
(4) Sejam Y1,...,Yn variáveis aleatórias independentes com média μ e variância finita. Pelo 
Teorema do Limite Central, a distribuição da média amostral m converge para uma 
distribuição Normal. 
 
 
 
21. ANPEC 2005 - Questão 5 
 
São corretas as afirmativas: 
 
(0) Uma variável aleatória X tem média zero e variância 36. Então, pela desigualdade de 
Tchebychev, 36,0)10|(| XP . 
 
(1) Pela Lei dos Grandes Números a distribuição da média amostral de n variáveis aleatórias 
independentes, para n suficientemente grande, é aproximadamente Normal. 
 
(2) O estimador de um determinado parâmetro é dito consistente se convergir, em 
probabilidade, para o valor do parâmetro verdadeiro. 
 
(3) A Lei dos Grandes Números está relacionada com o conceito de convergência em 
probabilidade, enquanto que o Teorema Central do Limite está relacionado com 
convergência em distribuição. 
 
(4) Um estimador é dito não-tendencioso se a sua variância for igual à variância do parâmetro 
estimado. 
 
 
 
 
 
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 10 
 
22. ANPEC 2004 - Questão 13 
 
Suponha que n21 x,........,x,x sejam variáveis aleatórias independentes, identicamente 
distribuídas, com média E(xi) = μ (i = 1,2,3,...n) e variância σ
2 = 10. Utilizando a lei dos grandes 
números responda à questão. Qual deverá ser o valor de n de modo que possamos estar 95% 
seguros de que a média amostral x difira da média μ por menos de 0,1? Divida o resultado final 
por 1000. 
 
 
23. ANPEC 2003 - Questão 2 
 
Sejam: X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média 
 e variância 2; 


n
i
iXnX
1
1 ; e 


n
i
iYZ
1
2 , em que     XYi
1 . É correto afirmar que: 
 
(0) X é um estimador tendencioso da média ; 
(1) Z é uma variável aleatória com distribuição 
2 com n graus de liberdade; 
(2)  

 
n
i
i XXns
1
212 é um estimador tendencioso da variância 2; 
(3) Xn é uma variável aleatória normalmente distribuída com média n e variância 2; 
(4) a variável aleatória 
n
Z
Y
W ii  possui distribuição F com n1 e n2 graus de liberdade, em que 
n1 = 1 e n2 = 2n. 
 
 
24. ANPEC 2003 - Questão 11 
 
O número de clientes – Y – que passa diariamente pelo caixa de um supermercado foi observado 
durante certo período. Constatou-se que o valor médio de Y é de 20 clientes, com desvio padrão 
igual a 2. Encontre o limite mínimo para a probabilidade de que o número de clientes amanhã se 
situe entre 16 e 24. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheff). Multiplique o resultado por 100. 
 
 
25. ANPEC 2002 - Questão 4 
 
Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade que dependa do parâmetro 
desconhecido , tal que E(X) = . Seja também x1, x2, ..., xn uma amostra aleatória de X. 
 
(0) Para amostras suficientemente grandes, o estimador de máxima verossimilhança de , caso 
exista, segue uma distribuição Normal. 
Lista de Exercícios #6 
Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 11 
(1) Se 


n
i
ii xc
ˆ
1
 é um estimador de , este não será viciado desde que 1c
n
1i
i 

. Além do mais, 
̂ terá variância mínima se ci=1/n para todo i. 
(2) Se 


n
1i
ix
n
1ˆ é um estimador não viciado de , então 2̂ também será um estimador não 
viciado de 2 . 
(3) Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [0,], com  > 0, então 
n
nˆ 1 máximo[x1, x2, ..., xn] não é um estimador consistente de . 
(4) Se 1̂ e 2̂ são dois estimadores do parâmetro  em que E ( 1̂ ) = θ1 e E ( 2̂ )  θ2 mas Var (
2̂ ) < Var ( 1̂ ), então o estimador 2̂ deve ser preferível a 1̂ . 
 
 
 
26. ANPEC 2002 - Questão 6 
 
Indique se as seguintes considerações sobre a Lei dos Grandes Números, Desigualdade de 
Tchebycheff e teorema do Limite Central são verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
(0) De acordo com a desigualdade de Tchebycheff, se a variância de uma variável aleatória X 
for muito próxima de zero, a maior parte da distribuição de X estará concentrada próxima de 
sua média. 
(1) O teorema do Limite Central afirma que, para uma amostra grande o suficiente, a distribuição 
de uma amostra aleatória de uma população Qui-quadrado se aproxima da Normal. 
(2) As condições suficientes para identificar a consistência de um estimador são baseadas na Lei 
dos Grandes Números. 
(3) Em n repetições independentes de um experimento, se Af é a freqüência relativa da 
ocorrência de A, então 
2A n
)P1(P
1}Pf{P


 , em que P é a probabilidade constante 
do evento A e  é qualquer número positivo. 
(4) Se uma variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n = 20 e P = 0,5, 
então  
5
10
}{


a
aXP em que )(• é a função de distribuição Normal padrão. 
 
 
27. ANPEC 2001 - Questão 3 
 
Uma amostra de tamanho n foi selecionada de uma população de m elementos. Pode-se afirmar: 
 
(0) A média amostral X é um estimador não tendencioso e eficiente da média populacional  
se todos elementos de m tiverem a mesma probabilidade de serem selecionados . 
Lista de Exercícios #6 
Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 12 
(1) A variância da distribuição amostral de X é 
2
n
 se a população for infinita ou se a 
amostragem for com reposição. 
(2) Se a população for finita, a variância da distribuição amostral de X é 
2 1
(1 )
n n

 porque as 
observações da amostra são independentes. 
(3) Se X for uma variável aleatória qualquer a distribuição de X será normal com média  e 
variância 
2
1n


. 
(4) Se lim ( ) 0
n
E X

 , então X é um estimador assintoticamente não tendencioso. 
 
 
28. ANPEC 2001 - Questão 15 
 
Seja uma variável aleatória X com média E(X) = 0 e variância 
2
x = 25. Qual o limite de 
probabilidade para que [X – E(X)] > 10? Resposta em percentagem. 
 
 
29. ANPEC 2000 - Questão 4 
 
Seja X1, X2 , ..., Xn uma amostra aleatória da densidade Normal(0,) e seja T= 1/n 

n
i
iX
1
2 . É 
correto afirmar que: 
 
(0) T é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de . 
(1) T é um estimador tendencioso de . 
(2) A variável aleatória Z = /
1
2

n
i
iX tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. 
(3) E (
3
2
2
1 XX ) = 
2. 
(4) T é um estimador eficiente de  
 
 
 
30. ANPEC 2000 - Questão 7 
 
Seja Y uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidade f(y;), em que  = 
(1,2 ,...,p). Considere uma amostra aleatória de Y, com tamanho n. Com relação à função de 
verossimilhança L(), é correto afirmar que: 
(0) l()= ln L() =

n
i
iyf
1
);(log  , em que ln é o logaritmo natural. 
(1) A função de verossimilhança é também uma função de densidade de probabilidade, que 
possui, assim, todas as propriedades matemáticas associadas à uma função de densidade de 
probabilidade. 
Lista de Exercícios #6 
Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 13 
(2) Uma condição necessária a que os estimadores de máxima verossimilhança devem satisfazer 
é que a matriz { jil   /)(
2
} i,j = 1, 2, ..., p, avaliada no ponto de máximo, seja negativa 
definida. 
(3) Sendo Tn o estimador de máxima verossimilhança do parametro escalar 1, segue-se que Tn 
apresenta a seguinte propriedade: 
 0)|Pr(| 1lim  nTn ,   > 0. 
(4) Sendo = g(1), em que g(.) é uma função um a um de 1, e Tn é o estimador de máxima 
verossimilhança de 1, segue-se que o estimador de máxima verossimilhança de  será Gn = 
g(Tn )[d/d1] , em que a derivada é avaliada em1= Tn. 
 
 
31. ANPEC 2000 - Questão 8 
 
Sejam p̂ e p~ dois estimadores do parâmetro p da distribuição Binomial, em que Y é a variável 
desta distribuição e n o tamanho da amostra: 
 
1
1~ˆ



n
Y
p
n
Y
p 
 p̂ é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p. 
Sob o critério do erro quadrado médio, para pequenas amostras, não há supremacia de um 
estimador sobre o outro. O viés do estimador p~ é dado por )]1()1[( np  . 
 
 
32. ANPEC 2000 - Questão 12 
 
Dados os seguintes enunciados, é correto afirmar que: 
 
(0) A Lei Fraca dos Grandes Números diz que: dada uma variável aleatória com distribuição 
arbitrária e média e variância finitas, a média amostral obtida a partir de uma amostra 
aleatória de tamanho n terá distribuição Normal. 
 
(1) Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson(),  > 
0, então, para n "grande", é válida a seguinte aproximação: 
 n (
___
X - ) /  ~ N(0,1), em que 
__
X é a média amostral. 
 
(2) Se X1, X2, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Normal(,2), 2 
> 0, então, para qualquer tamanho de n, n (
___
X - ) /  ~ Normal(0,1), em que 
__
X é a média 
amostral. 
 
 
 
 
Lista de Exercícios #6 
Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 14 
33. ANPEC 1999 - Questão 6 
 
Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações : 
 
(0) De acordo com o critério de eficiência, medido pela comparação entre as variâncias dos 
estimadores, a média amostral X é preferível a primeira observação 1X como estimador da 
média populacional, supondo-se que 2 seja a variância da população. 
 
(1) Seja ̂ um estimador não-viciado de  . Se g(̂ ) é uma função do parâmetro  , então E[g(
̂ )] g[E(̂ )] com a igualdade ocorrendo somente quando g( ) for uma função linear. 
 
(2) A função densidade de probabilidade da variável aleatória x é dada por 

1
)( xf para 
 x0 e 0 para outros valores. Assim sendo, considerando-se uma amostra aleatória de 
tamanho n , nxxxx ,,, 321  , o estimador de Máxima Verossimilhança de  será igual ao 
Mínimo de nxxxx ,,, 321  . 
(3) Dado que as variâncias das estatísticas S1
2 =
(xi - x)
2
i=1
n
å
n-1
 e S2
2 =
(xi - x)
2
i=1
n
å
n
são, 
respectivamente , iguais a 
1
2 4
n

 e 
2
4
)
1
(
1
2
n
n
n



 , então S2
2
 é mais preciso do que S1
2
embora 
seja uma estatística viciada. 
 
 
 
34. ANPEC 1998 - Questão 6 
 
Seja  o estimador do parâmetro  : 
 
(0) O erro quadrático médio é igual a variância do estimador  se  for um estimador não-
tendencioso de  . 
 
(1) Um estimador 1 é dito eficiente se 
1 for não-tendencioso e Var(
1 )  Var (
2 ), onde 
2 
é outro qualquer estimador não-tendencioso de  . 
 
(2) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média  e variância 2. Sejam 
x1 e x2 duas observações de uma amostra aleatória de tamanho 2. Podemos afirmar que 
~ 
3 2
5
1 2x x
 é um estimador tendencioso de . 
 
(3) Se  é consistente, então é não tendencioso. 
 
Lista de Exercícios #6 
Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 
 
 15 
 
35. ANPEC 1998 - Questão 7 
 
Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações : 
 
(0) Se  é um parâmetro populacional e  seu estimador, a afirmação de que  é um estimador 
consistente de  se lim {  }P      1 para todo   0 quando n  , é equivalente a 
afirmação de que se  )ˆ(lim E e lim ( )Var   0 quando n  , então  será um 
estimador consistente de  . 
 
(1) Se x é uma variável aleatória com E(X) =  e variância  2 , então a média amostral, X , será 
um estimador consistente da média populacional  . 
(2) A estatística, S
x x
n
i
i
n
2
2
1



 ( )
, baseada em uma amostra aleatória x 1 , x 2 ,x 3 ,....,x n é um 
estimador não tendencioso da variância populacional. 
(3) A estatística, S
x x
n
i
i
n
2
2
1



 ( )
, baseada em uma amostra aleatória x 1 , x 2 ,x 3 ,....,x n é um 
estimador inconsistente da variância populacional. 
 
 
36. ANPEC 1998 - Questão 11 
 
Com relação a desigualdade de Tchebycheff e ao Teorema Central do Limite, pode-se afirmar 
que: 
 
(0) Se uma variável aleatória X tem média  , E(X)= , e variância igual a zero, Var(X) = 0, 
então P X{ }    1 para todo   0 , ou seja, toda a probabilidade estará concentrada na 
média E(X) =  . 
 
(1) Seja X uma variável aleatória com média  e variância 2. Quando se considera o evento 
complementar, uma das formas da desigualdade de Tchebycheff é igual a 
2
1
1}{
k
kXP   , onde k é um número real. 
 
(2) Se a população tem distribuição Normal, então a distribuição das médias amostrais também 
será Normal, independente do tamanho da amostra. 
 
(3) Se X tem distribuição desconhecida com média 500 e variância 2.500, para uma amostra 
aleatória de tamanho 100 podemos afirmar que a média da amostra tem distribuição 
aproximadamente normal com média 500 e variância 25.