ESTATÍSTICA ECONÔMICA SIMULADO E AV - ESTÁCIO

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TESTE DE CONHECIMENTO 
1-Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas independentes com as mesmas função de distribuição acumulada FXFX e FYFY. Defina:
Z=max(X,Y)Z=max(X,Y) e W=min(X,Y)W=min⁡(X,Y)
Encontre as expressões para FZFZ e FWFW em função de FXFX e FYFY:
FZ=FX(z)FY(z),FW=FX(w)+FY(w)−FX(w)FY(w)
2-Duas variáveis aleatórias X e Y são conjuntamente distribuídas de acordo com a função de densidade:
fXY(x,y)={24xy,se x∈(0,1) e y∈(0,1−x)
 0,caso contrário 
Calcule P(0<Y<1/4|X=1/2)P(0<Y<1/4|X=1/2). Multiplique o resultado por 100 e despreze os decimais.
25
3-Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função de probabilidade conjunta dada pela tabela abaixo. A variância de uma variável aleatória unidimensional é dada por Var(Z)=E[Z2]−E2[Z]Var(Z)=E[Z2]−E2[Z]. Encontre Var(E[X|Y])Var(E[X|Y]) e assinale a opção correta:
:
	2/5
	
4-Sejam X1, ..., Xn uma amostra aleatória de uma distribuição N(μ,σ2), e que  ¯¯¯¯¯Xn=1n∑ni=1Xi e S2=1n−1∑ni=1(Xi−¯¯¯¯¯Xn)2. Assinale a alternativa incorreta:
X¯n e S2 não são variáveis aleatórias independentes
5-Seja T o tempo necessário para concluir uma tarefa. Para estimar a média e a variância de T, observamos uma amostra aleatória T1, T2, ...,T4. Assim, os Ti são independentes e identicamente distribuídas e tem a mesma distribuição de T. Os dois primeiros valores são iguais a 10, o segundo é 15, o terceiro é 18 e o quarto é 50. Encontre os valores para a média amostral, a variância amostral e o desvio-padrão amostral para essa amostra observada e assinale a alternativa com os valores corretos.
T=13.25,S2=15.58,S=3.94
6-Sejam X1, ...,Xn variáveis aleatórias iid com função de distribuição acumulada contínua FX(x), e suponha que E[Xi]=0.5. Defina as variáveis aleatórias Y1, ...,Yn por:
Encontre a distribuição de ∑ni=1Yi∑i=1nYi e assinale a alternativa correspondente.
∑ni=1Yi∼Bernoulli(n,p=1−FX(μ))
7-Sejam X1,...,XnX1,...,Xn independentes e identicamente distribiídos com uma função de densidade de probabilidade da seguinte forma
 f(x|α)=α−2x−xa , onde x>0x>0 e α>0
Encontre o estimador de momentos de αα, dado por ^αMOα^MO:
^αMO=Σni=1Xi/2n
		8-
		Sejam X1,...,XnX1,...,Xn independentes e identicamente distribuídos por uma distribuição exponencial com densidade f(x)=1θe−x/θf(x)=1θe−x/θ onde x>0x>0 e θ≥0θ≥0. Encontre o EQM para cada um dos estimadores abaixo.
^θ1=X1θ^1=X1
^θ2=X1+X22θ^2=X1+X22
^θ3=X1+2X22θ^3=X1+2X22
^θ4=¯¯¯¯¯Xθ^4=X¯
^θ5=5
Assinale a alternativa correta.
EQMθ[^θ2]=EQMθ[^θ4] se n=2
9-Se queremos fazer um teste de hipóteses para H0:μ≥μ0H0:μ≥μ0 e H1:μ<μ0H1:μ<μ0, onde a distribuição de nossa amostra não é conhecida, utilizamos a estatística "A" e a região de aceitação "B" em nosso teste.  Sabendo que nossa amostra é grande, assinale a alternativa que corresponde ao par correto para "A" e "B".
W=¯¯¯¯X−μ0/S/√n e W≥−zα
10-Verifique quais afirmações são verdadeiras e assinale a alternativa correta:
I - Se um intervalo de confiança de 95% para a média amostral, calculado a partir de uma amostra aleatória, excluir o valor 0, pode-se rejeitar a hipótese nula de que a média populacional seja igual a 0 ao nível de significância de 5%.
II - Suponha que o objetivo seja testar a hipótese nula de que a média populacional μ é igual a 0. Se esta hipótese é rejeitada em um teste monocaudal contra a hipótese alternativa de que μ>0μ>0, ela também será rejeitada em um teste bicaudal contra a hipótese alternativa de que μ≠0μ≠0, adotando-se o mesmo nível de significância.
III - O Erro Tipo II é definido como a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
Apenas a alternativa I é correta.
TESTE DE CONHECIMENTO 
6-Assinale a alternativa incorreta:
O limite inferior de Cramér-Rao para variáveis aleatórias será 1nI[θ]1nI[θ], mesmo que a amostra não seja independente e identicamente distribuída.
7-Seja X1,...,XnX1,...,Xn independentes e identicamente distribuídos com distribuição normal N(μ,σ2)N(μ,σ2), onde μμ é conhecido, com função de densidade de probabilidade e variância do estimador não viesado σ2σ2 dadas por:
f(x|μ,σ2)=12πσ2e−x−μ2σ2f(x|μ,σ2)=12πσ2e−x−μ2σ2
Varσ2[^σ2]=2σ4n−1
Assinale a alternativa incorreta:
O limite inferior de Cramér-Rao é dado por 2σ4n−1
10-Sobre a desigualdade de Chebyshev, assinale a alternativa correta.
P(|X−E[X]|≤δ)=0 se δ=√Var[X]
SIMULADO 
1-SM-Seja NN o número de clientes que entram em uma loja em um dado dia. Suponha que sabemos E[N]E[N] e Var(N)Var(N). Seja XiXi a quantidade de dinheiro que o cliente número ii gasta em média na loja. Assumimos que as variáveis XiXi são independentes entre si e também independentes de NN. Também assumimos que E[Xi]=E[X]E[Xi]=E[X] e Var(Xi)=Var(X)Var(Xi)=Var(X). A receita total da loja no dia é dada por ∑Ni=1Xi∑i=1NXi. Encontre os valores de E[Y]E[Y] e Var(Y)Var(Y) e assinale a alternativa com as expressões corretas:
E[Y]=E[X]E[N] e Var(Y)=E[N]Var(X)+E2[X]Var(N)
SIMULADO 
1SM-Seja fXY(x,y)=xe−x(y+1)fXY(x,y)=xe−x(y+1) para x∈(0,∞)x∈(0,∞) e y∈(0,∞)y∈(0,∞), e zero no conjunto complementar. Encontre os valores para as funções de densidade marginais fX(x)fX(x) e fY(y)fY(y):
fX(x)=e^−x e fY(y)=1/(y+1^)2
4SM-Seja X1, ..., Xn uma sequência de variáveis independentes e identicamente distribuídas, com distribuição Bernoulli com parâmetro p. Seja Xn=i=1nXin. Assinale a alternativa correta:
Pela Lei Fraca dos Grandes Números, limn→∞P(|¯¯¯¯¯Xn−p|<∈)=1
10SM-Uma amostra aleatória X1,...,X16X1,...,X16 é obtida de uma distribuição com média desconhecida μ=E[Xi]μ=E[Xi] variância desconhecida dada por Var[Xi]=σ2Var[Xi]=σ2. Para a amostra observada, temos ¯¯¯¯¯X=16.7X¯=16.7 e a variância amostral S2=7.5S2=7.5. Encontre um intervalo de confiança de 95% para σ2σ2. Saiba também que: z0.025=1.96z0.025=1.96,  t0.025,15=2.13t0.025,15=2.13, X20.025,15=27.49X0.025,152=27.49 e X20.975,15=6.26X0.975,152=6.26. Ao final, utilize somente a parte inteira (i.e. antes da vírgula) dos valores mínimos e máximos do intervalo de confiança, por exemplo, se você obter [1.5 , 3.7] marque [1, 3]. Assinale a alternativa correta.
) 4;17
SIMULADO 
	9 PEGADINHASM - Se queremos fazer um teste de hipóteses para H0:μ=μ0H0:μ=μ0 e H1:μ>μ0H1:μ>μ0, onde a distribuição de nossa amostra é uma normal N(μ,σ2)N(μ,σ2) com variância desconhecida, utilizamos a estatística "A" e a região de aceitação "B" em nosso teste. Sabendo que nossa amostra é pequena, assinale a alternativa que corresponde ao par correto para "A" e "B".
		
W=¯¯¯¯X−μ0S/√n e W≤−tα,n−1
2 SIMULADO 
7- Sejam X1,...,Xn
 independentes e identicamente distribuídos com uma função de densidade de probabilidade da seguinte forma:
f(x|θ)=1θx1−θθ , onde 0<x<1 e 0<θ<∞
Encontre o estimador de máxima verossimilhança de θ, dado por ^θMO. Dica: Para obter esse estimador, obtenha o primeiro momento populacional ao primeiro momento amostral:
θMO= =1−¯¯X/¯X