Introdução aos Vetores em Geometria Analítica

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Unidade 02
0
Aula 01
Vetores (Parte 1)
A Matemática é a ciência do raciocínio lógico e abstrato, na qual se estuda medidas, quantidades,
espaços, variações e estruturas. A Matemática é dividida em áreas como a Álgebra, a Análise, a
Geometria.
A ligação entre as áreas Geometria, que analisa pontos, conjuntos de pontos e suas propriedades, e a
Análise, que estuda os números e suas relações, forma a Geometria Analítica.
Em 1637, René Descartes criou os alicerces da Geometria Analítica, publicados no livro intitulado
Geometria, cujos princípios filosóficos serviram de base para o estudo do Cálculo, que posteriormente
foi introduzido independentemente por Isaac Newton e demais cientistas da época.
A Geometria Analítica é um ramo da Matemática que estuda o lugar geométrico dos pontos do plano ou
do espaço, utilizando os princípios da Álgebra. Assim, os sistemas de coordenadas se constituem no
princípio fundamental para o tratamento das equações que descrevem lugares geométricos.
Normalmente, utiliza-se o sistema de coordenadas cartesianas para estabelecer a relação entre os
gráficos, seja ele de uma reta, de um plano ou de lugares geométricos notáveis, como, por exemplo, de
uma elipse com suas respectivas equações. Porém, em determinadas situações, por questões práticas,
utilizaremos outros sistemas de coordenadas, como o sistema polar.
Este material foi elaborado para servir como referência aos estudos dos alunos do curso de Geometria
Analítica e Vetores do EAD.IESB.
Todas as unidades possuem exemplos resolvidos e links externos para ajudar no entendimento do
conteúdo. Ótimos estudos! 
Olá, estudante, bem-vindo(a)!
Falaremos sobre vetores, retas e planos, faremos uma introdução ao conceito e ao estudo dos vetores. Fique
atento aos conteúdos estudados aqui, eles servem de pré-requisito para os conteúdos que virão. Boa aula!
Introdução aos Vetores
De acordo com Winterle (2000, p. 1), existem dois tipos de grandezas, as escalares e vetoriais. As
escalares são as definidas completamente por um número real, como, por exemplo, área, volume, massa
e temperatura. Já as grandezas vetoriais não são completamente definidas pelo seu módulo,
necessitamos conhecer seu módulo, sua direção e seu sentido.
Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas vetoriais.
Para facilitar o entendimento desse conceito, que a princípio parece complexo, vamos imaginar uma
determinada situação:
Você está na L4 Norte, movimentada avenida de Brasília, e vê uma linda Ferrari passando.
Empolgado com a situação, liga para seu pai para contar sobre o carro que a pouco tinha visto e,
instantaneamente, seu pai lhe pergunta:
PAI: “Sério, filhão?! Onde você viu a Ferrari?”.
VOCÊ: “Na avenida L4 Norte.”
PAI: “Mas o carro ia em que direção?”
VOCÊ: “Ele ia na mesma direção da L4.”
PAI: “Mas em que sentido?”
VOCÊ: “Entendi, ele ia no sentido ao IESB Sul.”
PAI: “Por ser uma Ferrari devia estar rápido, né? Qual a velocidade em que o carro se movimenta
va?”
VOCÊ: “Então, pai, devia estar a uns 120 km/h. Com certeza deve ter tomado uma multa.”
Sem perceber, você acabou de determinar a seu pai o vetor que representa a Ferrari. Como já
conseguimos enxergar um vetor em uma simples história, agora, vamos defini-lo matematicamente.
Sabemos que dois pontos, A e B, em um espaço euclidiano, determina uma única reta. Assim, a direção
do segmento que une A e B é dada pela reta suporte que contém esses pontos. Diremos que o segmento
é orientado quando for escolhido um sentido de percurso, ou seja, 
¯
AB é o segmento de reta orientado
que “se inicia” em A e “termina” em B. Dessa forma, dois segmentos de reta são ditos equipolentes se:
I. possuem o mesmo comprimento;
II. possuem a mesma direção, ou seja, retas suportes paralelas;
III. possuem o mesmo sentido de percurso.
Portanto, diremos que segmentos de retas orientados equipolentes determinam o mesmo vetor.
Tome o par O(0,0) como origem de todos os vetores do plano. Então, para cada vetor →v , existe um único
ponto P(x,y) tal que →v =
→
OP . Um vetor no plano é um par ordenado de números reais →v = (x, y).
SAIBA MAIS
Vetor é um símbolo matemático utilizado para representar a direção, o sentido e o módulo de uma
grandeza.
Operações com Vetores
Adição de Vetores
Decorrem da definição as propriedades:
A1: 
→
u +
→
v =
→
v +
→
u ;
A2: 
→
u +
→
v +
→
w = →u +
→
w +
→
v ;
A3: 
→
u +
→
o =
→
o + →u = →u , onde 
→
o é o vetor nulo;
A1: Para cada 
→
u , existe −→u tal que 
→
u + −
→
u =
→
o
Multiplicação de um Vetor por um Escalar
Decorrem da definição as propriedades:
Segundo Reis e Silva (1995, p. 97), um vetor é um par ordenado de números reais (x, y), e
interpretamos a seta 
→
OP como sendo sua representação gráfica.
Observação: O vetor nulo, representado por →o =
¯
AA, é definido a partir do segmento de reta
orientado com origem e extremidade no mesmo ponto.
SAIBA MAIS
( ) ( )
( )
SAIBA MAIS
Seja →v e
→
u ∈ R2 vetores e μ ∈ R , definimos:
Adição de vetores: Sejam 
→
u = x1, y1 e
→
v = x2, y2 , então:
→
u +
→
v = x1 + x2 , y1 + y2
→
u −
→
v = x1 − x2 , y1 − y2
( ) ( )
(( ) ( ))
(( ) ( ))
SAIBA MAIS
Seja 
→
u = x1, y1 e μ ∈ R, então:
μ ⋅ →u = (μ ⋅ x1, μ ⋅ y1)
( )
M1: μ ⋅ (→u + →v ) = μ ⋅ →u + μ ⋅ →v
M2: (μ1 + μ2) ⋅
→u = μ1 ⋅
→u + μ2 ⋅
→u
M3: μ1 ⋅ (μ2 ⋅
→u ) = (μ1 ⋅ μ2) ⋅
→u
M4: 1 ⋅ →u = →u
Interpretação Geométrica da Adição de Vetores
Para ilustrar as definições de adição de vetores e multiplicação por escalar, considere os vetores 
→
u = (1, 2) e
→
v = (3, 3) e a constante μ = 4. Vamos calcular as seguintes operações:
1. 
→
u +
→
v = (1, 2) + (3, 3) = ((1 + 3), (2 + 3)) = (4, 5)
2. 
→
u + μ ⋅
→
v = (1, 2) + 4 ⋅ (3, 3) = (1, 2) + (12, 12) = (13, 14)
3. 
→
v +
→
u pela propriedade A1, temos: 
→
v +
→
u =
→
u +
→
v = (4, 5)
4. 
→
v + 
→
u ⋅ μ pela propriedade M1 temos: 
→
v + 
→
u ⋅ μ = μ ⋅
→
u + μ ⋅
→
v = 4 ⋅ (1, 2) + 4 ⋅ (3, 3) = (4, 8) + (12, 12)
= (16, 20) = ((3, 3) + (1, 2)) ⋅ 4 = (4, 5) ⋅ 4 = (16, 20)
5. 
→
v −
→
u = (3, 3) − (1, 2) = ((3 − 1), (3 − 2)) = (2, 1)
NA-PRATICA
( )
( )
( )
Para a operação de soma, 
→
u +
→
v , temos a seguinte interpretação geométrica:
→
u = x1, y1 e
→
v = x2, y2 →
→
u +
→
v
SAIBA MAIS
( ) ( )
SAIBA MAIS
Seja μ = − 1, então −
→
u = −x1, − y1 = −1 ⋅ x1, − 1 ⋅ y1 = − 1 ⋅ x1, y1 = − 1 ⋅
→
u . 
A soma de um vetor 
→
v + −
→
u será denotada por 
→
v −
→
u . Vale salientar que o vetor −
→
u é
denominado como o vetor simétrico de 
→
u .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Esse procedimento é denominado de Regra do Triângulo.
Interpretação Geométrica da Multiplicação de um
Vetor por um Escalar
Observação: de acordo com o gráfico acima, observamos que possuem a mesma direção, assim:
Se μ > 0, possuem o mesmo sentido.
Se μ < 0, possuem sentidos opostos.
Ponto Médio de um Segmento
Para somar os vetores 
→
u = x1, y1 e
→
v = x2, y2 , executamos os seguintes procedimentos:
1. Escolha um representante do vetor 
→
u .
2. Escolha um representante do vetor 
→
v , tal que a origem desse representante seja igual ao final do
representante do vetor 
→
u .
3. O vetor 
→
u +
→
v será representado pelo segmento orientado com mesma origem do representant
e de 
→
u e com mesmo final do representante de 
→
v .
NA-PRATICA
( ) ( )
Para a operação de multiplicação por escalar, μ ⋅
→
u , temos a seguinte interpretação geométrica.
→
u = x1, y1 e μ ≥ 0 → μ ⋅
→
u 
SAIBA MAIS
( )
SAIBA MAIS
Assista à videoaula a seguir sobre interpretação geométrica e operações com vetores. 
Geometria Analtica Soma entre Vetores
https://www.youtube.com/watch?v=7AaX3cG7euY
Módulo de um Vetor
A figura a seguir mostra claramente que o módulo de um vetor é calculado através do Teorema de
Pitágoras, conforme o qual a hipotenusa do triângulo é a distância de A para B (em preto) (d(A, B)) e os
catetos são as diferenças x2 − x1 e y2 − y1 (em vermelho).( ) ( )
SAIBA MAIS
Dado o ponto A(x1,y1) e B(x2,y2), definimos o ponto médio de 
¯
AB como sendo:xm =
x1 + x2
2
e ym =
y1 + y2
2
( ) ( )
NA-PRATICA
Exemplificando, suponha que o ponto A seja (2,2) e o ponto B seja (6,4), dessa forma, o ponto
médio do segmento 
¯
AB é dado por M(4,3). 
xm =
(2 + 6)
2
= 4
ym =
(2 + 4)
2
= 3
SAIBA MAIS
O módulo de um vetor é definido como sendo o comprimento do segmento e denotado por ∥→v ∥. 
→v = (x, y) →∥ →v ∥= √x2 + y2
Se →v é dado por um segmento que não parte de O(0,0), digamos 
→
AB, então:
∥→v ∥= d(A, B) = x2 − x1
2 + y2 − y1
2√
( ) ( )
Proposições:
μ ⋅
→
u =
→
o → μ = 0 ou 
→
u =
→
o 
∥→u + →v ∥≤∥ →u ∥ + ∥ →v ∥ (desigualdade triangular)
μ→u = |μ| ⋅ →u
Um vetor que possui módulo igual a um, independentemente da sua direção e do seu sentido, é definido
como vetor unitário, ou seja, se →u = 1 o vetor →u é unitário.
Versor de um Vetor
Seja 
→
u = (2, 6) para calcular o módulo de 
→
u , representado por →u , basta identificar os valores de x e y
do vetor e, na sequência, utilizar a equação →u = √x2 + y2. Dessa forma, temos:
x = 2 e y = 6 → →u = √22 + 62 = √4 + 36 = √40 ≅ 6, 32
NA-PRATICA
| | | | | | | |
Para exemplificar, assuma o vetor 
→
u =
√2
2
,
√2
2
, para verificar que esse vetor é unitário basta calcular
seu módulo. Se →u = 1 o vetor é unitário.
→u =
√2
2
2
+
√2
2
2
=
1
2
+
1
2
= √1 = 1
Assim, concluímos que 
→
u é um vetor unitário. Em geral, se 
→
u ≠
→
0 então é unitário. Verificação:
ǁ
1
ǁ
→
u ǁ
⋅
→
u ǁ = ǁ
1
ǁ
→
u ǁ
ǁ ⋅ ǁ
→
u ǁ =
1
ǁ
→
u ǁ
⋅ ǁ
→
u ǁ = 1
NA-PRATICA
( )
√
( ) ( )
√
SAIBA MAIS
Assista a seguir a uma videoaula sobre módulo de um vetor e suas propriedades. 
Geometria Analítica - Módulo de Vetores
https://www.youtube.com/watch?v=lsmMCurQrf0
Unidade 02
1
Aula 02
Vetores (Parte 2)
Estudantes, nesta aula, continuamos desenvolvendo nossas habilidades em relação ao estudos de vetores.
Veremos aqui produto escalar, ângulo entre vetores e produto vetorial e misto.
Produto Escalar
Para exemplificar, vamos assumir os vetores →w =
√2
2
,
√2
2
 e 
→
u = √2, √2 . Como exemplificado
anteriormente, o vetor →w =
√2
2
,
√2
2
 é unitário, pois seu módulo vale um. Além disso, o vetor →w pode
ser escrito como:
→w =
1
2
⋅ √2, √2 =
1
2
⋅
→
u 
O que garante que os vetores →w e →u possuem mesma direção e mesmo sentido, sendo assim →w é um
versor de →u .
NA-PRATICA
( ) ( )
( )
( )
SAIBA MAIS
Dado um vetor não nulo →u , admite-se →w como sendo um versor de →u se →w for unitário e possuir
mesma direção e o mesmo sentido do que o vetor →u .
Vale salientar que se o produto escalar entre dois vetores for igual a zero implica que esses vetores são
ortogonais entre si, ou seja, o ângulo entre esses vetores é de 90
∘
 . Sejam os vetores 
→
u = (−3, 2) e
→
v = (2, 3), ao calcularmos o produto escalar entre eles, temos:
→
u, →v = (−3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3) = (−6 + 6) = 0
Além da ortogonalidade, o paralelismo é uma importante relação entre vetores. Dois vetores 
→u x1, y1 e 
→v x2, y2 são paralelos se existe um número real μ tal que 
→u = μ ⋅ →v .
Propriedades do Produto Escalar
Da definição de produto escalar, seguem quatro propriedades:
O produto escalar entre os vetores →u x1, y1 e 
→v x2, y2 é uma operação que associa esses vetores
ao número real definido por x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2 , ou seja:
→
u, →v = x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2
SAIBA MAIS
( ) ( )
( )
( )
Para exemplificar, vamos assumir os vetores 
→
u e
→
v utilizados, 
→
u = (1, 2) e
→
v = (3, 3). O produto
escalar entre esses dois vetores é dado por:
→
u, →v = (1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3) = (3 + 6) = 9
NA-PRATICA
( ) ( )
Para exemplificar, vamos considerar os vetores →u (−8, 12) e →v (−16, 24).
−8
−16
=
12
24
=
1
2
= μ
Percebemos que os vetores são proporcionais com razão 
1
2
= μ, assim →u e →v são paralelos.
NA-PRATICA
SAIBA MAIS
De acordo com Winterle (2000, p. 28), dois vetores são paralelos quando suas componentes são
proporcionais. 
x1
x2
=
y1
y2
= μ
P1: 
→
u, →v =
→
v, →u
P2: 
→
u, →v + →w =
→
v, →u +
→
u, →w
P3: μ ⋅
→
u, →v = μ ⋅
→
u, →v
P4: 
→
u, →u = ǁ→u ǁ2
Seguem as demonstrações das propriedades P1 e P4, as demais ficam como exercício.
P1: Sejam →u x1, y1 e 
→v x2, y2 , então 
→
u, →v = x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2 = x2 ⋅ x1 + y2 ⋅ y1 =
→
v, →u .
P4: Seja →u x1, y1 , então 
→
u, →u = x1 ⋅ x1 + y1 ⋅ y1 = x
21 + y21 = ǁ
→u ǁ2
Proposição:
Para todo →u x1, y1 e
→v x2, y2 ∈ R
2 vale a seguinte desigualdade, denominada de Desigualdade de
Schwarz.
Demonstração:
Sejam →u x1, y1 e 
→v x2, y2 , então:
→u , →v 2 ≤ ǁ→u ǁ2 ⋅ ǁ→v ǁ2 
ǁ→u ǁ2 ⋅ ǁ→v ǁ2 − →u , →v 2 ≥ 0 
x21 + y21 ⋅ x22 + y22 − x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2
2 ≥ 0 
x21 ⋅ x22 + x21 ⋅ y22 + y21 ⋅ x22 + y21 ⋅ y22 − x21 ⋅ x22 − 2 ⋅ x1 ⋅ x2 ⋅ y1 ⋅ y2 + y
21 ⋅ y22 ≥ 0 
x21 ⋅ y22 − 2 ⋅ x1 ⋅ x2 ⋅ y1 ⋅ y2 + x
22 ⋅ y21 ≥ 0 
x1 ⋅ y2 − x2 ⋅ y1
2 ≥ 0 → →u , →v 2 ≤ ǁ→u ǁ2 ⋅ ǁ→v ǁ2 ↔ →u , →v ≤ →u ⋅ →v
Vale salientar que, se →u , →v = ǁ→u ǁ ⋅ ǁ→v ǁ, os vetores são múltiplos, ou seja, existe um número real μ tal
que →u = μ ⋅ →v . Dessa forma, os vetores são paralelos.
Ângulo entre Vetores
Vamos considerar o triângulo :
Pela leis dos cossenos, temos a2 = b2 + c2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cosθ. Agora, vamos considerar os vetores 
→u , →v e →u − →v , esses vetores formam o triânguloΔA ́B ́C ́:
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩
( ) ( ) ⟨ ⟩ ( ) ( ) ⟨ ⟩
( ) ⟨ ⟩ ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
|⟨ ⟩ |
|⟨ ⟩ |
( ) ( ) ( )
( )
( ) |⟨ ⟩ | |⟨ ⟩ |
|⟨ ⟩ |
( )
SAIBA MAIS
Clique aqui ou acesse o acervo da disciplina e teste seus conhecimentos a respeito do cálculo do
produto escalar entre dois vetores.
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG599/nova_novo/files/acervo/texto1.pdf
Aplicando a lei dos cossenos, obtemos:
→u − →v 2 = →u 2 + →v 2 − 2 ⋅ →u ⋅ →v ⋅ cos
Por outro lado, temos:
ǁ→u − →v ǁ2 = →u − →v , →u − →v = →u , →u − →u , →v − →v , →u + →v , →v = ǁ→u ǁ2 − 2 ⋅ →u , →v + ǁ→v ǁ2
Então, temos:
ǁ→u ǁ2 − 2 ⋅ →u , →v + ǁ→v ǁ2 = →u 2 + →v 2 − 2 ⋅ ǁ→u ǁ ⋅ ǁ→v ǁ ⋅ cos 
ǁ→u ǁ ⋅ ǁ→v ǁ ⋅ cosθ = →u , →v 
cosθ =
→u , →v
ǁ →u ǁ ⋅ ǁ →v ǁ
 
θ = arc cos
→u , →v
ǁ →u ǁ ⋅ ǁ →v ǁ
 , θ ∈ [0, π]
Produto Vetorial
Como foi visto, o produto escalar entre dois vetores tem como resposta um número, já o produto
vetorial entre dois vetores resulta em um outro vetor. A principal característica do produto vetorial é
que o vetor resultante será perpendicular a ambos os vetores originais.
| | | | | | | |
⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩
⟨ ⟩ | | | | | | | |
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨ ⟩
Agora vamos praticar.
Sejam 
→
u = (−3, 2) e
→
v = (2, 3) vetores no R2, para obtermos o ângulo entre os vetores, vamos
calcular separadamente:
→
u, →v = (−3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3) = (−6 + 6) = 0 ǁ→u ǁ = (−3)2 + 22 = (9 + 4) = 13 ǁ→v ǁ = 22 + 32 = (4 + 9) = 13
Substituindo na equação:
θ = arc cos
→u , →v
ǁ →u ǁ ⋅ ǁ →v ǁ
Temos:
arc cos
0
13 ⋅ 13
= arccos0 = 
π
2
= 90
∘
Como vimos, a resultante da soma dos vetores →u e →v forma um triângulo com esses vetores. Dessa
forma, a soma do módulo desses vetores é maior ou igual ao módulo da soma desses vetores. Tal
proposição é denominada de Desigualdade Triangular e definida por:
ǁ→u + →v ǁ ≤ ǁ→u ǁ + ǁ→v ǁ
Para demonstrar essa igualdade, vamos elevar ambos os membros ao quadrado:
ǁ→u + →v ǁ2 ≤ ǁ→u ǁ + ǁ→v ǁ 2 
ǁ→u ǁ2 + 2 ⋅ →u , →v + ǁvǁ2 ≤ ǁ→u ǁ2 + 2 ⋅ ǁ→u ǁ ⋅ ǁ→v ǁ + ǁ→v ǁ2 
→u , →v ≤ ǁ→u ǁ ⋅ ǁ→v ǁ
Pela Desigualdade de Schwarz, concluímos que:
ǁ→u + →v ǁ2 ≤ ǁ→u ǁ + ǁ→v ǁ 2 ↔ ǁ→u + →v ǁ ≤ ǁ→u ǁ + ǁ→v ǁ
NA-PRATICA
⟨ ⟩ ( ) ( )
⟨ ⟩
( )
⟨ ⟩
⟨ ⟩
( )
Características do Produto Vetorial
Direção de →u × →v : Como explicitado na definição, o produto vetorial →u × →v é simultaneamente per
pendicular aos vetores →u e →v .
Sentido de →u × →v : O sentido de →w = →u × →v é determinado pela regra da mão direita. A regra consi
ste em abrir a mão direita espalmada e apontar o dedo indicador no sentido de →u , na sequência, apo
nte o dedo médio no sentido do vetor →v , assim, o sentido de →u para →v fica determinado pelo fecha
mento da mão. Dessa forma, o polegar fica apontado para →w = →u × →v indicando seu sentido.
Comprimentode →u × →v : O módulo do produto vetorial é dado pela expressão 
ǁ→u × →v ǁ = ǁ→u ǁ ⋅ ǁ→v ǁ ⋅ sen θ 
Onde θ é o ângulo entre os dois vetores.
O produto vetorial só pode ser definido para vetores no espaço. A definição de um vetor no espaço é
bastante semelhante à definição de um vetor no plano, a diferença é que, em vez de tomar um par de
valores com origem em O(0,0) como origem de todos os vetores, tomamos o terno O(0,0,0) como
origem, assim, para cada vetor →v existe um único ponto P(x,y,z) tal que →v =
→
OP. Então, um vetor no
espaço é um terno ordenado de números reais →v = (x, y, z).
a Denominamos o produto vetorial dos vetores →u x1, y1, z1 e
→v x2, y2, z2 ∈ R
3, nessa ordem,
representado por →u × →v , o vetor:
→u × →v =
y1 z1
y2 z2
, −
x1 z1
x2 z2
,
x1 y1
x2 y2
=
= y1 ⋅ z2 − z1 ⋅ y2 , − x1 ⋅ z2 − z1 ⋅ x2 , x1 ⋅ y2 − y1 ⋅ x2
SAIBA MAIS
( ) ( )
| | | | | |
(( ) ( ) ( ))
Winterle (2000, p. 75) exemplifica a situação levando em consideração os vetores 
→u (5, 4, 3) e →v (1, 0, 1) ∈ R3. Para calcular o produto vetorial, basta resolver os três determinantes de
ordem 2 explicitados anteriormente, ou seja:
→u × →v =
4 3
0 1 , −
5 3
1 1 ,
5 4
1 0 = 
= ((4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 0), − (5 ⋅ 1 − 3 ⋅ 1), (5 ⋅ 0 − 4 ⋅ 1)) =
= (4, − 2, − 4)
NA-PRATICA
( | | | | | | )
Área do Paralelogramo
Fazendo uma interpretação geométrica do módulo do produto vetorial, podemos formar um
paralelogramo com os vetores →u e →v .
Pela Geometria euclidiana, temos que a área do paralelogramo é dado pelo produto do comprimento da
base pelo comprimento da altura. Pela figura, temos que:
h = ǁ→u ǁ ⋅ sen θ
Assim, concluímos que a área do paralelogramo ″ A ″ é dada pela seguinte expressão:
A = ǁ→v ǁ ⋅ ǁ→u ǁ ⋅ sen θ
Ou seja, a área do paralelogramo é exatamente o módulo do produto vetorial entre os vetores →u e →v .
Produto Misto
Geometricamente, o valor absoluto do produto misto representa o volume do paralelepípedo de arestas
definidas pelos vetores →u , →v e →w . Tal representação é simples de ser observada, sabendo que o volume
de um paralelepípedo é dado pelo produto da área da base (paralelogramo formado pelos vetores 
→v e →w ) pela altura designada pelo vetor →u , ou seja:
Volume = →u ⋅ →v × →w
Winterle (2000, p. 93) define o produto misto como sendo a operação entre três vetores 
→u x1, y1, z1 , 
→v x2, y2, z2 e 
→w x3, y3, z3 ∈ R
3, denotado por →u ⋅ →v × →w , tais que:
→u ⋅ →v × →w = x1 ⋅
y2 z2
y3 z3
− y1 ⋅
x2 z2
x3 z3
+ z1 ⋅
x2 y2
x3 y3
Portanto,
→u ⋅ →v × →w =
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
SAIBA MAIS
( ) ( ) ( ) ( )
( ) | | | | | |
( )
| |
| ( )|
SAIBA MAIS
Assista a seguir a uma videoaula a respeito da regra da mão direita com um exercício resolvido. 
Explicando o Produto Vetorial e a regra da mão direita
https://www.youtube.com/watch?v=PdtgGJFNZ2I
Unidade 02
2
Aula 03
Retas
Chegou a hora de estudar as retas. Veremos aqui sobre as equações paramétrica, cartesiana e reduzida da reta.
Boa aula!
Retas
Sejam os vetores →u (3, 4, − 2), →v (1, − 1, 0) e →w (2, − 1, 2) ∈ R3, vamos calcular o volume do
paralelepípedo de arestas definidas por esses vetores.
→u ⋅ →v × →w =
3 1 2
4 −1 −1
−2 0 2
3 1
4 −1
−2 0
 
= (3 ⋅ − 1 ⋅ 2) + (1 ⋅ − 1 ⋅ − 2) + (2 ⋅ 4 ⋅ 0) − (2 ⋅ − 1 ⋅ − 2) − (3 ⋅ − 1 ⋅ 0) − (1 ⋅ 4 ⋅ 2) = 
= (−6) + (2) + (0) − (4) − (0) − (8) = − 4 − 4 − 8 = − 16
Como o valor absoluto do produto misto representa o volume do paralelepípedo temos:
Volume = →u ⋅ →v × →w = |−16| = 16
NA-PRATICA
( )
| |
| ( )|
As equações são definidas como equações vetoriais da reta que passa pelo ponto A e possui a direção do
vetor →v .
Equações Paramétricas da Reta
Dados →v = (a, b) ∈ R2 e A x0, y0 , existe uma única reta contendo A e paralela ao vetor 
→v .
P ∈ R ↔ r :
→
AP = t ⋅ →v 
r : x − x0 , y − y0 = t ⋅ (a, b) 
r : x1 , y1 = t ⋅ (a, b)
NA-PRATICA
( )
( )
( )
Vamos determinar a reta que tem a direção do vetor →v = (2, 3) ∈ R2 e passe pelo ponto A(1, − 1).
r : (x, y) = (1, − 1) + t ⋅ (2, 3)
Se tivermos o objetivo de encontrar pontos pertencentes à reta r, basta atribuir valores distintos para
o parâmetro t, ou seja:
t = − 1 → (1, − 1) + (−1) ⋅ (2, 3) = (1, − 1) + (−2, − 3) = (−1, − 4)
t = 1 → (1, − 1) + (1) ⋅ (2, 3) = (1, − 1) + (2, 3) = (3, 2)
t = 0 → (1, − 1) + (0) ⋅ (2, 3) = (1, − 1) + (0, 0) = (1, − 1)
NA-PRATICA
A partir da equação vetorial da reta, facilmente podemos obter as equações paramétricas da reta. As
equações paramétricas da reta que contém o ponto A x0, y0 e tem a direção do vetor 
→v = (a, b) ∈ R2 é dada por:
x − x0 , y − y0 = t ⋅ (a, b)
x − x0 = t ⋅ a → x = x0 + t ⋅ a
y − y0 = t ⋅ b → y = y0 + t ⋅ b
Onde t é chamado de parâmetro da reta.
SAIBA MAIS
( )
( )
( )
( )
Equações Paramétricas da Reta17.1.2. Equação
Cartesiana e Reduzida da Reta
Uma reta no plano é o lugar geométrico dos pontos P(x, y), cujas coordenadas satisfazem uma equação
do tipo:
r : A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0
Onde A, B e C são constantes, tal que A2 + B2 ≠ 0. Dessa forma, podemos fazer as seguintes análises:
· Se B = 0:
r : A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0 → A ⋅ x + 0 ⋅ y + C = 0 → A ⋅ x + C = 0 → x =
−C
A
A equação A ⋅ x + C = 0 define uma reta constante e paralela ao eixo das ordenadas.
· Se B ≠ 0:
r : A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0 → y =
−A ⋅ x
B
−
C
B
Para exemplificar, vamos encontrar as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(5, 3) e
tem a direção do vetor →v = (3, 0) ∈ R2.
x = x0 + t ⋅ a → x = 5 + 3 ⋅ t
y = y0 + t ⋅ b → y = 3 + 0 ⋅ t → y = 3
NA-PRATICA
Sabemos que os valores 
−A
B
e
−C
B
são constantes, assim, os denotaremos por:
m =
−A
B
e k =
−C
B
Definimos, dessa forma, a equação reduzida da reta como:
r : y = m ⋅ x + k
Onde m é o coeficiente angular da reta, ele representa exatamente a tangente do ângulo alfa 
(m = tanα), sendo α o ângulo que a reta faz com o eixo das abscissas. O parâmetro k é definido como o
coeficiente linear da reta, é exatamente o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas.
SAIBA MAIS
Um caso especial a ser analisado é quando m = 1 e k = 0. Tal fato sugere que o ângulo α = 45o . Assim, a
equação da reta é definida por
r : y = 1 ⋅ x + 0 → y = x
Essa reta é denominada como sendo a bissetriz dos quadrantes ímpares, isso significa que a reta divide
os quadrantes ímpares na metade.
Tendo em vista a definição da bissetriz dos quadrantes ímpares, fica como questionamento o caso em
que m = − 1 e k = 0. Qual a equação dessa reta e suas principais características?
Um importante processo a ser analisado é a transformação entre as diferentes formas da equação da
reta, por exemplo, como obter a equação cartesiana da reta a partir das equações paramétricas?
Seja: r : A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0 a equação paramétrica da reta. Dessa equação, podemos obter um ponto 
P0 x0, y0 , definindo r como:
r : A ⋅ x0 + B ⋅ y0 + C = 0
Isolando C temos:
C = − A ⋅ x0 − B ⋅ y0
Assim:
A ⋅ x0 + B ⋅ y0 − A ⋅ x0 − B ⋅ y0 = 0
Colocando A e B em evidência:
A ⋅ (x − x0) + B ⋅ y − y0 = 0
Sendo →w = (A, B), P0 x0, y0 e P(x, y) , o que nos permite concluir que 
→w ,
→
PP0 = 0. Então, um vetor
diretor e perpendicular a →w pode ser definido por →v = (−B, A). Então, as equações da paramétricas
da reta são:
r :
x = x0 − B ⋅ t
y = y0 + A ⋅ t
SAIBA MAIS
( )
( )
( )
{
SAIBA MAIS
Clique aqui ou acesse o acervo da disciplina e veja alguns exercícios resolvidos referentes à
equação reduzida da reta.
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG599/nova_novo/files/acervo/texto2.pdf
Vamos agora analisar o processo inverso, ou seja, transformar as equações paramétricas da reta na
equação cartesiana da reta. Seja:
r :
x = x0 + B ⋅ t
y = y0 + A ⋅ t
Vamos multiplicar a primeira por −A e a segunda por B e somar as duas equações.
r :
−A ⋅ x = − A ⋅ x0 − A ⋅ B ⋅ t
B ⋅ y = B ⋅ y0 + B ⋅ A ⋅ t
↓
−A ⋅ x + B ⋅ y = − A ⋅ x0 + B ⋅ y0
Tome C = − A ⋅ x0 + B ⋅ y0, assim:
−A ⋅ x + B ⋅ y = C
↓
−A ⋅ x + B ⋅ y − C = 0
Como A, B e C ∈ R, podemos escrever a equação como r : A ⋅ x + B ⋅ y + C = 0.
Seja a reta rdefinida pela equação paramétrica
r :
x = 2 − 3 ⋅ t
y = − 3 + t
Multiplicando a segunda por 3 e, somando com a primeira, temos 3 ⋅ y + x = − 7, passando o −7 da
direita para a esquerda da igualdade finalizamos o processo, ou seja, r : x + 3 ⋅ y + 7 = 0.
Vale salientar que, para transformar a equação da reta na forma cartesiana para forma reduzida,
basta apenas isolar o y sem esquecer das mudanças nos sinais ao trocar os membros de lado da
igualdade. A equação da reta r : x + 3 ⋅ y + 7 = 0 está na forma cartesiana, isolando y obtemos a
equação da reta na forma reduzida, r : y =
− 1
3
⋅ x −
7
3
 .
Para exemplificar a transformação da equação da reta na forma cartesiana para paramétrica, assuma 
r : 2 ⋅ x − y − 3 = 0. O ponto P0(0, − 3) satisfaz a equação, ou seja, ele pertence à reta. Assim:
r :
x = 0 − (−1) ⋅ t
y = − 3 + 2 ⋅ t → r :
x = t
y = − 3 + 2 ⋅ t
NA-PRATICA
{ {
{
{
{
SAIBA MAIS
Clique aqui e utilize o aplicativo para plotar gráficos de retas a partir de suas equações reduzidas.
http://www.webmath.com/plot.html
Unidade 02
3
Aula 04
Planos
Nesta aula, veremos o conceito de plano, a intersecção de planos com os eixos coordenados, plano que passa
pela origem e planos paralelos aos eixos coordenados. Boa aula!
O vetor →v é definido como →v = (a, b, c) e 
→
AP = x − x0, y − y0, z − z0 . O segmento 
→
AP é ortogonal ao
vetor →v , então, se P ∈ π, temos que 
→
AP, →v = 0, dessa forma:
a ⋅ x − x0 + b ⋅ y − y0 + c ⋅ z − z0 = 0
↓
a ⋅ x − a ⋅ x0 + b ⋅ y − b ⋅ y0 + c ⋅ z − c ⋅ z0 = 0
Fazendo d = − a ⋅ x0 − b ⋅ y0 − c ⋅ z0, obtemos a equação cartesiana de um plano, definida por:
a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z + d = 0
Winterle (2000, p. 126) faz as seguintes observações sobre a equação cartesiana de um plano.
1. Assim como →v = (a, b, c) é um vetor perpendicular ao plano, qualquer vetor na forma 
→u = k ⋅ →v , k ≠ 0 é também um vetor perpendicular ao plano.
Dado o ponto A x0, y0, z0 e uma direção definida pelo vetor 
→v , existe um único plano contendo 
A x0, y0, z0 e perpendicular a 
→v .
SAIBA MAIS
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2. Devemos notar que os coeficientes a, b, c da equação representam as componentes de um vetor
perpendicular ao plano.
3. Para obtermos pontos de um plano dado pela equação cartesiana, basta atribuir valores a duas das
variáveis e calcular o valor da outra na equação dada.
Para exemplificar, vamos calcular a equação do plano π, onde A(1, 1, 1) ∈ π e π é perpendicular a 
→v = (1, 2, 3). Como →v é perpendicular a π a sua equação é do tipo 1 ⋅ x + 2 ⋅ y + 3 ⋅ z + d = 0 e como 
A(1, 1, 1) ∈ π, temos:
1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + d = 0
↓
1 + 2 + 3 + d = 0
↓
6 + d = 0
↓
d = − 6
Assim, temos que a equação do plano π é x + 2 ⋅ y + 3 ⋅ z − 6 = 0.
NA-PRATICA
Uma outra possibilidade de obtermos a equação cartesiana de um plano é através de três pontos.
Vamos obter a equação do plano π, que contém os pontos A(3, 1, − 2), B(5, 2, 1) e C(2, 0, 2) .
A partir dos pontos dados, vamos definir os vetores 
→
AB = (5 − 3, 2 − 1, 1 + 2) e 
→
AC = (2 − 3, 0 − 1, 2 + 2), ou seja, 
→
AB = (2, 1, 3) e 
→
AC = (−1, − 1, 4). Se definirmos →v =
→
AB ×
→
AC,
garantimos que →v será perpendicular ao plano π. Para calcularmos →v , basta resolver o produto
vetorial conforme foi visto.
→
AB ×
→
AC = (7, − 11, − 1)
Então, π : 7 ⋅ x − 11 ⋅ y − z + d = 0. Como A(3, 1, − 2) ∈ π, temos:
7 ⋅ 3 − 11 ⋅ 1 + 2 + d = 0
↓
21 − 11 + 2 + d = 0
↓
12 + d = 0
↓
d = − 12
Assim, temos que equação do plano π é 7 ⋅ x − 11 ⋅ y − z − 12 = 0.
NA-PRATICA
Equações Paramétricas do Plano
Dizemos que →u ∈ R3 é paralelo a π se este contém uma reta com a direção de →u .
Sejam →u = a1, b1, c1 e
→v = a2, b2, c2 dois vetores paralelos a π, porém não paralelos entre si. E
seja o ponto A x0, y0, z0 um ponto pertencente ao plano π.
Para todo e qualquer ponto P do plano, os vetores →u , →v ,
→
AP fazem parte do mesmo plano. Dessa
forma, o ponto P pertence ao plano se existem os números m e n ∈ R, tais que:
P = A + m ⋅ →u + n ⋅ →v
↓
P = x0, y0, z0 + m ⋅ a1, b1, c1 + n ⋅ a2, b2, c2
↓
(x, y, z) = x0, y0, z0 + m ⋅ a1, b1, c1 + n ⋅ a2, b2, c2
↓
(x, y, z) = x0 + a1 ⋅ m + a2 ⋅ n, y0 + b1 ⋅ m + b2 ⋅ n, z0 + c1 ⋅ m + c2 ⋅ n
↓
π :
x = x0 + a1 ⋅ m + a2 ⋅ n
y = y0 + b1 ⋅ m + b2 ⋅ n
z = z0 + c1 ⋅ m + c2 ⋅ n
Essas equações são denominadas equações paramétricas do plano, com m e n sendo os parâmetros.
SAIBA MAIS
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
{
SAIBA MAIS
Assista à resolução de um exercício a respeito de equação cartesiana de um plano, disponível a
seguir. 
Exemplo de equação geral de plano perpendicular a uma reta
https://www.youtube.com/watch?v=PL5eg7kM02o
Intersecção de Planos com os Eixos
Coordenados
Plano que Passa pela Origem
Seja π : a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z + d = 0 um plano, se π passa origem, então, o ponto A(0, 0, 0) satisfaz a equação
do plano, ou seja,
a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z + d = 0
↓
0 ⋅ x + 0 ⋅ y + 0 ⋅ z + d = 0
↓
d = 0
Dessa forma, a equação π : a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z = 0 representa um plano que passa pela origem e 
→u = (a, b, c) é um vetor perpendicular ao plano.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Seja o ponto A(1, 1, 1), →u = (−1, 0, 2) e →v = (3, 2, 1) vamos determinar as equações paramétricas do
plano, sendo que A, →u e →v são coplanares.
π :
x = x0 + a1 ⋅ m + a2 ⋅ n
y = y0 + b1 ⋅ m + b2 ⋅ n
z = z0 + c1 ⋅ m + c2 ⋅ n
↓
π :
x = 1 − m + 3 ⋅ n
y = 1 + 2 ⋅ n
z = 1 + 2 ⋅ m + n
NA-PRATICA
{
{
SAIBA MAIS
Seja π : a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z + d = 0 um plano onde a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0 podemos esboçá-lo
determinando os pontos de intersecção com os eixos coordenados. Esse plano toca os eixos
coordenados nos pontos:
−d
a
, 0, 0 ; 0,
−d
b
, 0 ; 0, 0,
−d
c( ) ( ) ( )
Um plano π é paralelo a um dos eixos coordenados se apenas uma das componentes do vetor ortogonal
ao plano →u = (a, b, c) for nula. Assim, faremos a análise de três casos:
1. Se a = 0: →u = (0, b, c) é perpendicular ao plano π, implicando no paralelismo do plano com o eixo 
x. Sendo π : b ⋅ y + c ⋅ z + d = 0 a equação do plano paralelo ao eixo x.
2. Se b = 0: →u = (a, 0, c) é perpendicular ao plano π, implicando no paralelismo do plano com o eixo 
y. Sendo π : a ⋅ x + c ⋅ z + d = 0 a equação do plano paralelo ao eixo y.
3. Se c = 0: →u = (a, b, 0) é perpendicular ao plano π, implicando no paralelismo do plano com o eixo 
z. Sendo π : a ⋅ x + b ⋅ y + d = 0 a equação do plano paralelo ao eixo z.
Para identificarmos a qual eixo o plano é paralelo, basta verificar qual variável não está presente na
equação do plano, por exemplo, seja π : 4 ⋅ y + 6 ⋅ z − 12 = 0, como a = 0, a variável x não está presente na
equação, isso indica que o plano π é paralelo ao eixo π.
Devemos prestar muito atenção no caso 3 anterior, no qual a variável z não está presente na equação:
a ⋅ x + b ⋅ y + d = 0
↓
y =
a ⋅ x
b
−
d
b
A equação é exatamente idêntica à equação de uma reta, porém de uma reta definida no plano R2. Sendo
que todo plano está definido no espaço R3.
Para exemplificar, vamos considerar o plano π : 4 ⋅ y + 6 ⋅ z − 12 = 0 (caso 1), como a = 0 o plano é π
paralelo ao eixo x. Observamos, de acordo com o tópico 4.2, que suas intersecções com o eixo y e z
são, respectivamente, os pontos A(0, 3, 0) e B(0, 0, 2). Nenhum ponto da forma P(x, 0, 0) satisfaz a
equação do plano π. E o vetor →u = (0, 4, 6) é um vetor perpendicular ao plano π.
NA-PRATICA
Unidade 02
4
Aula 05
Posições Relativas entre Pontos e
Retas
Nesta unidade, iremos avaliar as posições relativas, intersecções, distâncias e ângulos formados pelos elementos
geométricos de�nidos e descritos. No primeiro momento, avaliaremos as posições relativas entre três pontos. Na
sequência, analisaremos as posições relativas entre duas retas. Boa aula.
Três Pontos Colineares
Dados três pontos A x1, y1, z1 , B x2, y2, z2 e C x3, y3, z3 , para que eles estejam alinhados, é necessário
que os vetores 
→
AB e 
→
AC sejam paralelos, ou seja, que exista um número real μ tal que:
→
AB = μ ⋅
→
AC
↓
x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 =μ ⋅ x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1
↓
μ =
x2 − x1
x3 − x1
=
y2 − y1
y3 − y1
=
z2 − z1
z3 − z1
( ) ( ) ( )
(( ) ( ) ( )) (( ) ( ) ( ))
SAIBA MAIS
Três pontos são ditos colineares quando pertencem à mesma reta. Vale lembrar que dois pontos no
plano definem uma única reta; dessa forma, podemos obter a equação de uma reta a partir de dois
pontos na sequência, basta encontrarmos um ponto que satisfaça a equação obtido. Tais condições
definem a colinearidade entre três pontos.
Para exemplificar a colinearidade entre três pontos, vamos assumir os pontos A(10, 4, − 12), 
B(−2, − 8, − 6) e C(14, 8, − 14).
x2 − x1
x3 − x1
=
−2 − 10
14 − 10
=
−12
4
= − 3
y2 − y1
y3 − y1
=
−8 − 4
8 − 4
=
−12
4
= − 3
z2 − z1
z3 − z1
=
−6 − (−12)
−14 − (−12)
=
18
−6
= − 3
Como:
x2 − x1
x3 − x1
=
y2 − y1
y3 − y1
=
z2 − z1
z3 − z1
= − 3
Os pontos A(10, 4, − 12), B(−2, − 8, − 6) e C(14, 8, − 14) são colineares.
NA-PRATICA
Vamos agora considerar os pontos P(2, 2) e Q(1, 4), pertencentes ao R2, dois pontos que definem uma
única reta. A equação reduzida da reta (y = m ⋅ x + k) que passa pelos pontos P e Q pode ser obtida
através da resolução de um sistema de duas equações e duas variáveis.
2 = m ⋅ 2 + k
4 = m ⋅ 1 + k
Subtraindo a segunda equação pela primeira, obtemos
2 = m ⋅ (−1)
↓
m = − 2
Substituindo o valor de m:
2 = m ⋅ 2 + k
↓
2 = (−2) ⋅ 2 + k
↓
2 = − 4 + k
↓
k = 6
Temos que a equação da reta que passa por P e Q é y = − 2 ⋅ x + 6. É certo que a raiz dessa equação,
ou seja, valor de x que anula y (R
− k
m
, 0 ), satisfaz a equação da reta, implicando na colinearidade de 
P, Q e R. Temos, então, que os pontos P(2, 2) Q(1, 4) e R(3, 0) são colineares.
NA-PRATICA
{
( )
Retas Paralelas aos Eixos
Para os casos particulares das retas paralelas aos eixos coordenados, fazemos a simplificação da
equação expressando a equação apenas pela constante, ou seja, a equação da reta que passa pelo ponto 
A(3, 3) e tem o vetor →v = (0, 4) como diretor é x = 3.
Duas Retas Paralelas
Para exemplificar um dos casos, vamos assumir o ponto A(3, 3) e o vetor diretor da reta como sendo 
→v = (0, 4). Assim, as equações paramétricas da reta são definidas por:
x = 3
y = 3 + t ⋅ 4
NA-PRATICA
SAIBA MAIS
Veja a seguir uma diferente maneira de verificar se três pontos são colineares. 
Me Salva! GA12 - Geometria Analítica: Alinhamento de 3 pontos
SAIBA MAIS
De acordo Winterle (2000, p. 126), uma reta é paralela ao eixo x quando o vetor que define a reta
for paralelo ao vetor 
→
i = (1, 0), ou seja, o vetor que define a reta é sempre da forma →u = (x, 0). O
mesmo raciocínio é empregado para uma reta paralela ao eixo y, o vetor diretor da reta é paralelo
ao vetor 
→
j = (0, 1), ou seja, tem a forma do vetor →v = (0, y).
https://www.youtube.com/watch?v=-A6TGMjVd6I
Dessa forma, as retas definidas por r1: y = 2 + x ⋅ 4 e r2: y = − 7 + x ⋅ 4 são paralelas pois possuem o
mesmo valor do coeficiente angular.
Seja uma reta r1, que passa pelo ponto A x1, y1 e tem direção do vetor 
→u = a1, b1 expressa pelas
equações:
x − x1
a1
=
y − y1
b1
Qualquer reta r2 paralela à r1 possui os parâmetros a2, b2 proporcionais aos parâmetros a1, b1 .
Dessa forma, se B x2, y2 é um ponto qualquer do plano, as equações da reta r2, paralela à reta r1 que
passa por B, são:
x − x2
a2
=
y − y2
b2
Expressando as retas por suas equações reduzidas, temos:
r1: y = m1 ⋅ x + k1
r2: y = m2 ⋅ x + k2
Sendo as direções definidas pelos vetores →u 1 = 1, m1 e 
→v 1 = 1, m2 , pela condição de paralelismo,
temos:
1
1
=
m1
m2
↓
m1 = m2
Podemos verificar o paralelismo entre duas retas através do paralelismo entre seus vetores diretores.
Seja →u = a1, b1 e 
→v = a2, b2 que definem as direções das retas m1 e m2, para que as retas sejam
paralelas, temos que:
→u = →v ⋅ μ
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Vamos verificar se a reta r1, que passa pelos pontos A(−3, 4) e B(5, − 2), é paralela à reta r2 que passa
pelos pontos C(−1, 2) e D(−5, 5). A direção de r1 é dada pelo vetor 
→
AB = (8, − 6) e a direção da reta r2
é dada pelo vetor 
→
CD = (−4, 3). Percebemos que:
8
−4
=
−6
3
= − 2
Tal proporção implica que os vetores 
→
AB e
→
CD são paralelos, pois:
→
CD = − 2 ⋅
→
AB
NA-PRATICA
SAIBA MAIS
Duas retas são paralelas quando possuem o mesmo coeficiente angular.
Se os vetores diretores das retas r1 e r2 são paralelos, as retas também são paralelas.
Duas Retas Ortogonais
Sejam duas retas r1 e r2, elas serão ortogonais se o produto escalar entre os vetores diretores 
→u = x1, y1 e 
→v = x2, y2 seja nulo, 
→u , →v = 0.
→u , →v = x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2
↓
x1 ⋅ x2 + y1 ⋅ y2 = 0
↓
x1 ⋅ x2 = − y1 ⋅ y2
Seja r1 a reta que possui o vetor 
→u = (3, 0) como vetor diretor, e r2 a reta que possui o vetor 
→v = (0, 7) como vetor diretor. Vamos calcular o produto escalar entre os vetores:
→u , →v = (3 ⋅ 0) + (0 ⋅ 7)
↓
→u , →v = 0 + 0 = 0
Como o produto →u , →v é nulo, as retas r1 e r2 são ortogonais.
SAIBA MAIS
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
SAIBA MAIS
Veja a seguir um exercício resolvido a respeito de retas paralelas. 
Retas paralelas
https://www.youtube.com/watch?v=T9VsNPfsMWs
Unidade 02
5
Aula 06
Posições Relativas entre Retas e
Planos
Nesta aula, veremos aqui posições relativas entre retas e planos, entre dois planos paralelos, entre dois planos
perpendiculares e a relação de paralelismo entre uma reta e um plano. Boa aula!
Como foi visto, os planos são definidos no espaço R3. Para obtermos as relações entre as retas e os
planos, vamos definir uma reta no espaço R3.
SAIBA MAIS
Dados A x0, y0, z0 ε R
3 e →v = (a, b, c), existe uma única reta em R3 contendo A e paralela a →v . Se 
P(x, y, z) pertence à reta r, 
→
AP é paralelo a →v , então, podemos escrever:
→
AP = μ ⋅ →v , μ ε R
↓
x − x0, y − y0, z − z0 = μ ⋅ (a, b, c)
↓
r :
x = x0 + μ ⋅ a
y = y0 + μ ⋅ b
z = z0 + μ ⋅ c
( )
( )
{
Retas e Planos Paralelos
Vimos que as equações paramétricas de uma de uma reta representam uma reta que passa por um
ponto e é paralela a um vetor. Até o momento, só analisamos os vetores com todas as coordenadas
diferentes de zero.
O que acontece se uma ou duas das coordenadas dos vetores forem nulas?
Componente Única e Nula do Vetor Diretor
1. Se a = 0 temos que →v = (0, b, c), sendo →v ortogonal ao eixo x, o que nos permite concluir que a reta r é
paralela ao plano yz. As equações de r ficam da forma:
r :
x = x0
y− y0
b
=
z− z0
c
Podemos verificar que dado um ponto genérico P que pertence à reta, só existe variação nas
coordenadas y e z, sendo x = x0. Tal fato significa que a reta r está em um plano paralelo ao plano
coordenado yz.
2. Se b = 0 temos que →v = (a, 0, c), sendo →v ortogonal ao eixo y, o que nos permite concluir que a reta r é
paralela ao plano xz. As equações de r ficam da forma:
r :
y = y0
x− x0
a
=
z− z0
c
Podemos verificar que, dado um ponto genérico P que pertence à reta, só existe variação nas
coordenadas x e z, sendo y = y0. Tal fato significa que a reta r está em um plano paralelo ao plano
coordenado xz.
Se c = 0 temos que →v = (a, b, 0), sendo →v ortogonal ao eixo z o que nos permite concluir que a reta r é
paralela ao plano xy. As equações de r ficam da forma:
r :
z = z0
x− x0
a
=
y− y0
b
{
{
{
NA-PRATICA
Vamos determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(0, 1, 2) e é paralela ao
vetor →v = (3, 1, 1).
x = 0 + μ ⋅ 3
y = 1 + μ ⋅ 1
z = 2 + μ ⋅ 1{
SAIBA MAIS
No caso de uma coordenada do vetor diretor ser nula, vai implicar que o vetor é ortogonal a um
dos eixos, ou seja, a reta r é paralela ao plano dos outros dois eixos. Dessa forma, podemos analisar
três situações. Dados A x0, y0, z0 ε R
3 e →v = (a, b, c), existe uma única reta r em R3 contendo A e
paralela a →v .
( )
Podemos verificar que dado um ponto genérico P que pertence à reta, só existe variação nas
coordenadas x e y, sendo z = z0. Tal fato significa que a reta r está em um plano paralelo ao plano
coordenado xy.
Duas Conentes do Vetor Diretor são Iguais a Zero1. Se a = 0 e b = 0, temos que →v = (0, 0, c), sendo →v paralelo ao eixo z, o que nos permite concluir que a
reta r é paralela ao eixo z. As equações de r ficam da forma:
r :
x = x0
y = y0
Subentendemos que z é variável.
2. Se a = 0 e c = 0, temos que →v = (0, b, 0), sendo →v paralelo ao eixo y, o que nos permite concluir que a
reta r é paralela ao eixo y. As equações de r ficam da forma:
r :
x = x0
z = z0
Subentendemos que y é variável.
3. Se b = 0 e c = 0, temos que →v = (a, 0, 0), sendo →v paralelo ao eixo x, o que nos permite concluir que a
reta r é paralela ao eixo x. As equações de r ficam da forma:
r :
y = y0
z = z0
Subentendemos que x é variável.
Dois Planos Paralelos
{
{
{
SAIBA MAIS
No caso de duas coordenadas do vetor diretor serem nulas, tal fato vai implicar que o vetor é
paralelo a um dos eixos, ou seja, a reta r tem a direção de um dos eixos coordenados. Dessa forma,
podemos analisar três situações. Dados A x0, y0, z0 ε R
3 e →v = (a, b, c), existe uma única reta r em 
R3 contendo A e paralela a →v .
( )
Dois Planos Perpendiculares
Para abordar o relacionamento de perpendicularismo entre planos, vamos considerar 
π1: a1 ⋅ x + b1 ⋅ y + c1 ⋅ z + d1 = 0 e π2: a2 ⋅ x + b2 ⋅ y + c2 ⋅ z + d2 = 0, dois planos do R
3. Sendo assim,
temos que o vetor →u = a1, b1, c1 é perpendicular ao plano π1 e 
→v = a2, b2, c2 é perpendicular ao
plano π2. As condições de perpendicularismo entre os dois planos são as mesmas que a dos seus
respectivos vetores ortogonais.
π1 perpendicular a π2
↓
→u perpendicular a →v
↓
→u , →v = 0
↓
a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 0
Para abordar o relacionamento de paralelismo entre planos, vamos considerar 
π1: a1 ⋅ x + b1 ⋅ y + c1 ⋅ z + d1 = 0 e π2: a2 ⋅ x + b2 ⋅ y + c2 ⋅ z + d2 = 0, dois planos do R
3. Sendo
assim, temos que o vetor →u = a1, b1, c1 é perpendicular ao plano π1 e 
→v = a2, b2, c2 é
perpendicular ao plano π2. As condições de paralelismo entre os dois planos são as mesmas que a dos
seus respectivos vetores ortogonais.
π1 paralelo a π2
↓
→u paralelo a →v
↓
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
Sejam os planos π1: 2x + 4 ⋅ y + 6 ⋅ z + 20 = 0 e π2: 1 ⋅ x + 2 ⋅ y + 3 ⋅ z + 40 = 0, percebemos que esses
planos são paralelos, ou seja:
2
1
=
4
2
=
6
3
= 2
Vale salientar que se a relação for:
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
=
d1
d2
Os planos são coincidentes.
SAIBA MAIS
( ) ( )
( ) ( )
Relação de Paralelismo entre uma Reta e um
Plano
Neste tópico, iremos relacionar as posições entre retas e planos, ou seja, analisaremos as condições de
paralelismo e perpendicularismo entre retas e planos.
Sejam os planos π1: 2 ⋅ x + 0 ⋅ y + 6 ⋅ z + 20 = 0 e π2: 3 ⋅ x + 2 ⋅ y − 1 ⋅ z + 40 = 0, percebemos que
esses planos são perpendiculares, pois:
→u , →v = 2 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2 + 6 ⋅ (−1)
↓
→u , →v = 6 + 0 − 6
↓
→u , →v = 0
NA-PRATICA
Vamos levar em consideração a reta r :
x− 2
6
=
− y− 1
4
=
− z
2
 e π : 18 ⋅ x − 12 ⋅ y − 6 ⋅ z + 10 = 0.
Sabemos que r é perpendicular a π se um vetor →v de r é colinear a um vetor →n perpendicular ao
plano. Nesse caso, temos:
→v = (6, − 4, − 2)
e
→n = (18, − 12, − 6)
↓
(6, − 4, − 2) =
1
3
⋅ (18, − 12, − 6)
↓
→v =
1
3
⋅ →n
Dessa forma, os vetores são colineares, o que implica que a reta r é perpendicular ao plano π.
NA-PRATICA
SAIBA MAIS
Seja o plano π : a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z + d = 0 com o vetor normal →n = (a, b, c) e a reta r com direção do
vetor →v = a1, b1, c1 . Dessa forma, podemos analisar duas situações: 1. r é paralela a π se e
somente se →v for perpendicular a →n . 2. r é perpendicular a π se e somente se →v for paralelo a →n .
( )
Unidade 02
6
Aula 07
Ângulos e Intersecção
Nesta aula, estabeleceremos as relações angulares entre retas, entre planos e entre retas e planos. Para isso,
utilizaremos a de�nição de reta no espaço R3; para a abordagem do problema no plano R2, basta tomar o ponto
A x0, y0 ε R
2 e vetor diretor →v = (a, b). Na sequência, veri�caremos as intersecções entre retas, entre planos e
entre planos e retas.
Ângulo entre Duas Retas
( )
SAIBA MAIS
Clique aqui e verifique as relações das posições relativas entre retas e planos.
SAIBA MAIS
Assista a seguir à resolução de um exercício a respeito de intersecção de dois planos. 
Intersecção de dois planos formando uma reta
http://www.alfaconnection.pro.br/matematica/geometria/geometria-da-posicao/posicoes-relativas-entre-retas-e-planos/
https://www.youtube.com/watch?v=labEzZshJGg
Vamos considerar duas retas, r1, que passa pelo ponto A x1, y1, z1 e tem a direção do vetor 
→u = a1, b1, c1 , e a reta r2, que passa pelo ponto A x2, y2, z2 e tem a direção do vetor 
→v = a2, b2, c2 .
O ângulo entre as retas r1 e r2 é definido como o menor ângulo formado pelos vetores diretores 
→u e →v .
Tal definição já foi explicada.
O cosθ, sendo θ o menor ângulo formado pelos vetores diretores, é definido por:
cosθ =
→u , →v
→u ⋅ →v
, 0 ≤ θ ≤
π
2
↓
cosθ =
a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2
a21 + b
2
1 + c
2
1 ⋅ a
2
2 + b
2
2 + c
2
2
, 0 ≤ θ ≤
π
2
↓
θ = arccos
a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2
a21 + b21 + c21 ⋅ a22 + b22 + c22
, 0 ≤ θ ≤
π
2
( )
( ) ( ) ( )
| |
| |
√ √
(
| |
√ √ )
Para exemplificar o cálculo do ângulo entre duas retas, vamos assumir as retas r1 e r2 com suas
respectivas equações paramétricas:
r1:
x = 6 + 2 ⋅ t
y = 2 ⋅ t
e
r1:
x = 10 − 4 ⋅ t
y = 2 ⋅ t
z = 7 + 2 ⋅ t
Das equações, obtemos os vetores diretores →u = (2, 2, − 4) e →v = (−4, 2, 2), daí:
θ = arccos
|2 ⋅ (−4) + 2 ⋅ 2 + (−4) ⋅ 2|
√22 + 22 + (−4)2 ⋅ √(−4)2 + 22 + 22
↓
θ = arccos
12
√24 ⋅ √24
↓
θ = arccos
1
2
↓
θ =
π
3
= 60 ∘
NA-PRATICA
{
{
( )
( )
( )
Ângulo entre Dois Planos
Vamos considerar dois planos, π1, com vetor normal 
→u = a1, b1, c1 , e o plano π2 com vetor normal 
→v = a2, b2, c2 . Se uma reta r é paralela a um plano π, implica que o vetor diretor da reta é
perpendicular ao vetor do plano, assim, o ângulo entre dois planos é definido como o menor ângulo θ
formado entre os vetores normais →u = a1, b1, c1 e 
→v = a2, b2, c2 . 
θ = arccos
a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2
a21 + b21 + c21 ⋅ a22 + b22 + c22
, 0 ≤ θ ≤
π
2
NA-PRATICA
( )
( )
( ) ( )
(
| |
√ √ )
Para exemplificar o cálculo do ângulo entre dois planos, vamos assumir os planos 
π1: 6 ⋅ x − 9 ⋅ y + 15 ⋅ z − 24 = 0 e π2: 9 ⋅ x + 6 ⋅ y + 15 ⋅ z − 12 = 0. Das equações, obtemos os vetores
normais →u = (6, − 9, 15) e →v = (9, 6, 15), daí:
θ = arccos
|6 ⋅ 9 + (−9) ⋅ 6 + 15 ⋅ 15|
√62 + (−9)2 + (15)2 ⋅ √92 + 62 + 152
↓
θ = arccos
225
√342 ⋅ √342
↓
θ = arccos
225
342
↓
θ = arccos
225
342
↓
θ ≅ 48, 50 ∘
NA-PRATICA
( )
( )
( )
( )
SAIBA MAIS
Assista a seguir a uma videoaula sobre ângulo entre duas retas. 
Geometria Analítica - Ângulo entre Retas
https://www.youtube.com/watch?v=lhokYqxie08
Ângulo entre Reta e Plano
Intersecção de Dois Planos
Vamos considerar uma reta r na direção do vetor →u e contida em um plano π com vetor normal →v . O
ângulo β que a reta r faz com o plano π é exatamente o complemento do ângulo θ que a reta r faz com
uma reta normal ao plano. Sabemos que o ângulo formado entre o vetor →u diretor da reta e o vetor 
→v normal ao plano é dado pela expressão:
cosθ =
→u , →v
→u ⋅ →v
, 0 ≤ θ ≤
π
2
Sabemos também que se θ e β são complementares:
cosθ = sen β
Então, o ângulo formado entre a reta r e o plano π é dado pela expressão:
senβ =
→u , →v
→u ⋅ →v
, 0 ≤ θ ≤
π
2
↓
senβ =
a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2
a21 + b21 + c21 ⋅ a22 + b22 + c22
, 0 ≤ θ ≤
π
2
↓
β = arcsen
a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2
a21 + b21 + c21 ⋅ a22 + b22 + c22
, 0 ≤ θ ≤
π
2
SAIBA MAIS
| |
| |
| |
√ √
(
| |
√ √ )
Para abordar o relacionamento de intersecção entre planos, vamos considerar 
π1: a1 ⋅ x + b1 ⋅ y + c1 ⋅ z + d1 = 0 e π2: a2 ⋅ x + b2 ⋅ y + c2 ⋅ z + d2 = 0, dois planos do R
3. Sendo
assim, temos que o vetor →u = a1, b1, c1 é normal ao plano π1, e 
→v = a2, b2, c2 é normal ao plano 
π2. Para a intersecção entre planos, vamos analisar dois casos: 1. π1 ∩
π2 = ∅ se π1 paralelo a π2
consequentemente →u paraleloa →v . 2. π1 ∩
π2 = r onde r é uma reta, π1 não é paralelo a π2.
SAIBA MAIS
( ) ( )
Intersecção entre Reta e Plano
Para abordar o relacionamento de intersecção entre reta e plano, vamos considerar o plano 
π : a2 ⋅ x + b2 ⋅ y + c2 ⋅ z + d2 = 0 com vetor normal 
→v = a2, b2, c2 . E a reta r que passa pelo ponto 
A x0, y0, z0 , com direção do vetor 
→u = a1, b1, c1 e definida por:
r :
x = x0 + a1 ⋅ t
y = y0 + b1 ⋅ t
z = z0 + c1 ⋅ t
Para a intersecção entre reta e plano, vamos analisar três casos: 1. r ∩ π = ∅ implica r paralela a π e 
A x0, y0, z0 não pertence ao plano. 2. r ∩
π = Ponto implica que →u , →v ≠ 0. 3. r ∩ π = Reta implica que 
r está contida em π, r paralela a π e A x0, y0, z0 pertence ao plano.
SAIBA MAIS
( )
( ) ( )
{
( )
( )
SAIBA MAIS
Assista a seguir a uma animação sobre a intersecção de planos seguida de um exercício resolvido
sobre o mesmo assunto. 
Enxergando uma reta como a intersecção de planos
https://www.youtube.com/watch?v=lhjYutKqw_4
Para exemplificar a relação de intersecção entre reta e plano, vamos assumir o plano 
π : 1 ⋅ x + 2 ⋅ y − 3 ⋅ z − 1 = 0 e a reta r com as seguintes equações paramétricas:
r :
x = 3 − 1 ⋅ t
y = − 1 + 1 ⋅ t
z = 2 + 2 ⋅ t
Podemos inferir que o vetor diretor da reta →u = (−1, 1, 2) e o vetor →v = (1, 2, − 3) normal ao plano.
→u , →v = − 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ (−3)
↓
→u , →v = − 5
Tal fato indica que a reta r não é paralela ao plano π. Dessa forma, a intersecção da reta com o plano é
um ponto. Para descobrir o ponto de intersecção, basta substituir as equações paramétricas da reta
na equação do plano, assim:
1 ⋅ (3 − 1 ⋅ t) + 2 ⋅ (−1 + 1 ⋅ t) − 3 ⋅ (2 + 2 ⋅ t) − 1 = 0
↓
(3 − 1 ⋅ t) + 2 + 2 ⋅ t − 6 − 6 ⋅ t − 1 = 0
↓
−5 ⋅ t = 6
↓
t = −
6
5
Com o valor do parâmetro t, calculamos o ponto P de intersecção da reta com plano:
P = 3 +
6
5
; − 1 −
6
5
; 2 +
12
5
NA-PRATICA
{
( )
Unidade 02
7
Aula 08
Distâncias
Nesta aula, estabeleceremos as relações de distância entre dois pontos, entre um ponto e uma reta, entre um
ponto e um plano e entre duas retas.
Distância entre Dois Pontos
Sejam os pontos A x1, y1 e B x2, y2 pertencentes ao primeiro quadrante.
A distância entre os pontos A e B é exatamente a hipotenusa do triângulo retângulo ΔABP. Sendo 
AP = x2 − x1 e BP = y2 − y1 os catetos do triângulo ΔABP. Para calcular a distância entre A e B, basta
que apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo ⋅ ABP, ou seja:
DAB2 = x2 − x1
2 + y2 − y1
2
↓
DAB = x2 − x1
2 + y2 − y1
2
Tal raciocínio pode ser expandido para dois pontos pertencentes ao espaço R3, ou seja, dado dois pontos 
P x1, y1, z1 e Q x2, y2, z2 a distância entre eles é obtida também pelo módulo do vetor 
→
PQ.
DPQ = x2 − x1
2 + y2 − y1
2 + z2 − z1
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
√
( ) ( )
( ) ( )
√
( ) ( ) ( )
Distância entre Ponto e Reta
Para exemplificar o cálculo de distância entre dois pontos, vamos assumir o ponto P(1, 1, 1) e o ponto 
P(2, 2, 1), assim a distância de P para Q é dada por:
DPQ = √(2 − 1) 2 + (2 − 1) 2 + (1 − 1) 2
↓
DPQ = √1 + 1 + 0
↓
DPQ = √2
SAIBA MAIS
SAIBA MAIS
Clique aqui e teste seus conhecimentos a respeito da distância entre dois pontos.
https://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-distancia-entre-dois-pontos.htm
Distância entre Ponto e Plano
Seja P x0, y0, z0 o ponto o qual se quer determinar a distância para o plano π : a ⋅ x + b ⋅ y + b ⋅ z + d = 0.
Onde P ′ é o pé da perpendicular baixada de P até o plano π, assim, a distância entre o ponto e o plano é
dada pela equação:
DPπ = DPP ′
Seja r determinada por P e P ′ , assim, P ε r e →v = (a, b, c) é paralelo a reta r. Daí:
r :
x = x0 + a1 ⋅ t
y = y0 + b1 ⋅ t
z = z0 + c1 ⋅ t
P ′ é exatamente a intersecção entre a reta r e o plano π, assim:
a ⋅ x0 + a ⋅ t + b ⋅ y0 + b ⋅ t + z0 + c ⋅ t + d = 0
↓
t ⋅ a2 + b2 + c2 = − a ⋅ x0 + b ⋅ y0 + c ⋅ z0 + d
Seja P o ponto o qual se quer determinar a distância para reta r. Seja o ponto A pertencente à reta r.
Percebemos que o vetor diretor →v da reta determina um paralelogramo com o vetor 
→
AP, no qual a
altura desse paralelogramo é exatamente a distância entre o ponto P e a reta r.
Definimos a distância entre o ponto e a reta como sendo o pé da perpendicular baixada de P até r.
A partir do cálculo da área de um paralelogramo, temos:
A = →v ⋅ h
↓
A =
→
AP →v
Daí,
h =
→
AP →v
→v
Como h é a distância entre o ponto P e a reta r, temos:
DPr =
→
AP →v
→v
SAIBA MAIS
| |
| |
| |
| |
| |
| |
( )
{
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Sendo P ′ x ′ , y ′ , z ′ a distância de P para P ′ :
DPP ′ = x ′ − x0
2
+ y ′ − y0
2
+ z ′ − z0
2
↓
DPP ′ = √a2 ⋅ t ′ 2 + b2 ⋅ t ′ 2 + c2 ⋅ t ′ 2 = t ′ ⋅ √a2 + b2 + c2
Distância entre Duas Retas
( )
√
( ) ( ) ( )
| |
Para exemplificar o cálculo de distância entre ponto e plano, vamos assumir o ponto P(2, − 4, 6) e o
plano π : 4 ⋅ x + 6 ⋅ y − 12 ⋅ z + 6 = 0. O →v = (4, 6, − 12) é normal ao plano π, assim:
DPπ =
|4 ⋅ 2 + 6 ⋅ (−4) − 12 ⋅ 6 + 6|
√42 + 62 + (−12)2
↓
DPπ =
|8 − 24 − 72 + 6|
√16 + 36 + 144
↓
DPπ =
|8 − 24 − 72 + 6|
√16 + 36 + 144
↓
DPπ =
|−82|
14
↓
DPπ =
82
14
≅ 5, 85
NA-PRATICA
SAIBA MAIS
Dessa forma, a distância entre o ponto P e o plano π é definida por: 
DPπ =
a ⋅ x0 + b ⋅ y0 + c ⋅ z0 + d
a2 + b2 + c2
⋅ √a2 + b2 + c2 ↓ DPπ =
a ⋅ x0 + b ⋅ y0 + c ⋅ z0 + d
√a2 + b2 + c2
( | | )
( )
| |
Sejam as retas r1 e r2 para calcularmos a distância entre ambas é necessário fazermos a análise de
três casos:
Se as retas r1 e r2 forem concorrentes, ou seja, possuem um ponto em comum a distância entre el
as é zero.
Se as retas r1 e r2 forem paralelas, a distância entre elas coincide com o cálculo de distância entre
ponto e reta. Dr1 r2 = DPr1 , Pε r2
Se as retas r1 e r2 forem reversas, temos que a distância entre elas é dada por:
Dr1 r2 =
→u , →v ,
→
AB
→u →v
Onde:
→u = x1, y1, z1 vetor diretor da reta r1 .
→v = x2, y2, z2 vetor diretor da reta r2 .
→
AB = x3, y3, z3 vetor formado pelos pontos A ε r1 e B ε r2.
→u , →v ,
→
AB =
x1y1z1
x2y2z2
x3y3z3
SAIBA MAIS
|( )|
| |
( )
( )
( )
( ) | |
SAIBA MAIS
Acesse o link a seguir e assista a uma videoaula com exercícios resolvidos sobre distância entre
duas retas. 
Geometria Analítica - Distância entre Retas
https://www.youtube.com/watch?v=VZZMZ-p8F8M