Resposta semana 1 a

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PET 1 – MATEMÁTICA - Correção Atividades – Semana 1 
1) Joana e Kelly foram a uma loja adquirir um notebook para cada uma. Cada 
máquina admite as seguintes opções de configuração: 
 
• Processador: i3, i5 ou i7. 
• Memória RAM: 8GB ou 16GB. 
• Disco rígido: 256GB, 512GB ou 1TB. 
• Tela de 13,3 ou 15,6 polegadas. 
Para esse questão vamos usar o princípio fundamental da contagem: 
DEFINIÇÂO 
O princípio fundamental da contagem é uma técnica para calcularmos de quantas 
maneiras decisões podem combinar-se. Se uma decisão pode ser tomada de n 
maneiras e outra decisão pode ser tomada de m maneiras, o número de maneiras 
que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente é calculado pelo produto 
de n · m. 
 
Como temos 3 tipos de processadores, 2 memórias RAM, 3 discos rígidos e 2 tipos de 
telas, basta multiplicarmos todas essas possibilidades. 
Logo: 3 x 2 x 3 x 2 = 36 possibilidades de configurações diferentes. 
 
2) Reconsidere a situação da questão anterior. Joana e Kelly escolheram suas 
máquinas, pagaram-nas e foram para suas casas. Qual é a probabilidade do 
notebook da Joana ter mais memória, mas um disco rígido menor do que o da Kelly? 
Aproximadamente: 
 
Vamos analisar a primeira situação para Joana. Lembrado que existe condições 
específicas para a montagem das máquinas. 
Para a máquina de Joana, temos: 
 
 3 tipos de processadores; 
 1 tipo de memória apenas, apesar de termos as opções 8 GB e 16GB, a máquina 
de Joana deverá ter mais memória que a de Kelly. 
 2 tipos de disco rígido, considerando que Kelly tenha uma escolhido o disco de 
1 TB, Joana só poderá escolher um disco de 256GB ou 512GB. 
 2 tipos de telas. 
 
Logo, pelo princípio fundamental da contagem temos: 
 
3 x 1 x 2 x 2 = 12 possibilidades 
 
A probabilidade do notebook de Joana ter mais memória, mas um disco rígido menor do 
que o de Kelly é dado por: 
 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝐸)
 
Onde P(A) é a probabilidade de ocorrer um evento A qualquer (no nosso caso, é o 
notebook de Joana ter mais memória, mas um disco rígido menor do que o da Kelly), 
n(A) é o número de elementos do evento A (nosso caso é 1 computador com tal 
configuração especificada) e n(E) é o número de elementos do espaço amostral, ou 
seja, total as combinações possíveis para o evento ( nosso caso são 12). 
 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝐸)
= 𝑃(𝐴) =
1
12
≅ 0,083 𝑥100 = 𝟖. 𝟑 % 
 
3) Considere a seguinte situação. Numa pequena empresa existem nove funcionários: 
Ana, a chefe, e mais oito subordinados: Bela, Caio, Duda, Elena, Fábio, Gustavo, 
Heitor e Iara. Ana precisa formar uma comissão com no mínimo 4 e no máximo 6 
funcionários dentre esses oito. É claro que se trata de um problema de combinação. 
Por exemplo, a comissão formada por Bela, Caio, Duda e Helena é a mesma 
formada por Bela, Caio, Elena e Duda – logo, a ordem não importa. Ana poderá 
formar quantas comissões diferentes? 
 
DICA: cada comissão pode ter quatro OU cinco OU seis pessoas (faça a soma dos 
resultados parciais). 
 
Para resolvermos tal problema deveremos usar o conceito de combinação simples 
apresentado na introdução na questão. Relembrando: 
 
 
Dessa forma, vamos calcular as combinações que podemos formar com 4, 5 e 6 
funcionários, sabendo que temos 8 funcionários na empresa. 
 
 Comissão de 4 funcionários. 
Isso quer dizer que em um conjunto de 8 funcionários, o número de escolhas possíveis 
de comissões com 4 funcionários é dado por: 
𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
⇒ 𝐶8,4 =
8!
4! (8 − 4)!
⇒ 𝐶8,4 =
8!
4! 4!
⇒ 𝐶8,4 =
8.7.6.5.4!
4.3.2.1.4!
 
𝐶8,4 =
8.7.6.5
4.3.2.1
⇒ 𝐶8,4 = 70 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
 Comissão de 5 funcionários. 
Isso quer dizer que em um conjunto de 8 funcionários, o número de escolhas possíveis 
de comissões com 5 funcionários é dado por: 
𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
⇒ 𝐶8,5 =
8!
5! (8 − 5)!
⇒ 𝐶8,5 =
8!
5! 3!
⇒ 𝐶8,5 =
8.7.6.5!
5! 3.2.1
 
𝐶8,5 =
8.7.6
3.2.1
⇒ 𝐶8,5 = 56 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 Comissão de 6 funcionários. 
Isso quer dizer que em um conjunto de 8 funcionários, o número de escolhas possíveis 
de comissões com 6 funcionários é dado por: 
𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
⇒ 𝐶8,6 =
8!
6! (8 − 6)!
⇒ 𝐶8,6 =
8!
6! 2!
⇒ 𝐶9,4 =
8.7.6. !
2.1.6!
 
𝐶9,4 =
8.7
2.1
⇒ 𝐶9,4 = 28 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
 Agora vamos somar esses resultados: 
 
70 + 56 + 28 = 𝟏𝟔𝟒 Possibilidades 
 
 
 
4) Um exemplo de situação em que a ordem é relevante é a composição de uma senha. 
Suponhamos que Fernanda precisa criar uma senha de seis caracteres 
alfanuméricos para seu e-mail e que ela decida usar três letras e três algarismos, 
nessa ordem. O pai de Fernanda se chama Marcelo e nasceu em 1963. Para 
facilitar, ela decide usar as letras do nome do pai e os algarismos do ano de 
nascimento do pai. Porém ela decide não repetir letra nem algarismo. 
O sistema não distingue letras maiúsculas de minúsculas. Mas é claro que a ordem 
importa, pois MAR 196 é uma senha diferente de RAM 196. Esta situação a Análise 
Combinatória chama de arranjo simples: não há repetição, mas a ordem importa. A 
expressão é a seguinte: 
 
𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
 
 
Fernanda deve escolher, sem repetição: três letras de um conjunto de sete letras 
(MARCELO) e três algarismos de um conjunto de quatro algarismos (1963). Quantas 
senhas distintas ela poderá formar? 
 
Como a senha terá 3 letras tiradas de 7 (MARCELO), teremos que calcular um arranjo 
simples de 7 elementos tomados de 3 a 3. 
𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
⇒ 𝐴7,3 =
7!
(7 − 3)!
⇒ 𝐴7,3 =
7!
4!
⇒ 𝐴7,3 =
7.6.5.4!
4!
⇒ 
𝐴7,3 = 7.6.5 ⇒ 𝐴7,3 = 210 
A senha também terá 3 algarismos em 4 (1963). Logo: 
𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
⇒ 𝐴4,3 =
4!
(4 − 3)!
⇒ 𝐴7,3 =
4!
1!
⇒ 𝐴7,3 =
4.3.2.1
1
⇒ 
𝐴7,3 = 4.3.2.1 ⇒ 𝐴7,3 = 24 
Como a senha é formado pelo conjunto de letras e o conjunto de algarismos, vamos 
multiplicar as possibilidades. 
210 𝑥 24 = 𝟓𝟎𝟒𝟎 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒅𝒂𝒆𝒔 
 
5) Na Biologia, um heredograma é uma representação de descendência para fins de 
certas análises de hereditariedade. Círculos representam mulheres e quadrados 
representam homens. Por exemplo: 
 
 
Suponha que um casal tenha três filhos e que cada filho do casal, por sua vez, tenha 
dois filhos. 
Considerando-se apenas o sexo e não a ordem dos descendentes de cada casal, 
responda às questões a seguir. 
a) Quantas possibilidades existem para a prole? 
Vamos pensar no sexo de cada filho e não na ordem (que isso que fique claro!!!). Vamos 
chamar de M mulher e H de homem. Logo a dupla HM é a mesma MH, a ordem não 
importa. 
Sabendo que o casal teve três filhos, temos as seguintes possibilidades: 
 
Casal 
Homem, homem, homem (H, H, H) 
Mulher, mulher, mulher (M, M, M) 
Homem, homem, mulher (H, H, M) 
Mulher, mulher, homem (M, M, H) 
Logo, temos 4 possibilidades 
 
Repare que Mulher, mulher, homem (M, M, H) é igual a Mulher, homem, mulher (M, H, 
M). As duas possibilidades são iguais, a ordem não importa, são duas mulheres e um 
homem para os dois conjuntos. 
Agora, vamos ver as possibilidades dos filhos dos filhos do casal, sabendo que cada 
filho do poder ter dois filhos (netos). 
 
1º filho 2º filho 2º filho 
Homem, homem (H, H) Homem, homem (H, H) Homem, homem (H, H) 
Mulher, Mulher (M, M) Mulher, Mulher (M, M) Mulher, Mulher (M, M) 
Mulher, Homem (M, H) Mulher, Homem (M, H) Mulher, Homem (M, H) 
3 possibilidades 3 possibilidades 3 possibilidades 
 
Assim para sabermos quantos possibilidades existem para a prole, devemos somar 
todas as probabilidades possíveis de filhos do casal e de seus netos. 
Assim temos 13 possibilidades. 
 
b) Qual a probabilidade de todas as filhas e netas serem mulheres? 
 
Observando a tabela de filhos do casal, temos uma única possibilidades em 4 possíveis 
de termos somente filhas. Matematicamente temos: 
1
4
 
Obsrevando a tabela para filhos dos filhos (netos), temos uma única possibilidadeem 3 
de termos somente filhas. Matematicamente temos: 
1
3
 
Como são três filhos que o casa teve, é essa probabilidade para os três filhos. 
Como queremos saber a probabilidade de todas as filhas e netas serem mulheres, 
vamos multiplicar essas probabilidades. 
𝑃 =
1
4
𝑥
1
3
𝑥
1
3
𝑥
1
3
=
𝟏
𝟏𝟎𝟖
≅ 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟑 𝒙 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟗𝟑%