AULA 16 - TRANFERÊNCIA DE CALOR POR RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES

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AULA 16
RADIAÇÃO
TRANSFERÊNCIA DE CALOR ENTRE SUPERFÍCIES
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VIMOS NA ÚLTIMA AULA:
▪ Ao serem irradiadas (G), cada superfície apresenta um comportamento distinto:
▪ Toda superfície em temperatura diferente do zero absoluto emite radiação (E).
SEMITRANSPARENTE OPACO NEGRO
𝑮𝒕𝒓
𝑮𝒂𝒃𝒔
𝑮𝒓𝒆𝒇
𝑮𝒂𝒃𝒔
𝑮𝒓𝒆𝒇
𝑮𝒂𝒃𝒔
𝑬 𝑬 𝑬
𝑮 𝑮 𝑮
𝑮 = 𝑮𝒕𝒓+ 𝑮𝒂𝒃𝒔 + 𝑮𝒓𝒆𝒇
▪ Radiosidade (J): Taxa total de transferência de calor que deixa a superfície por unidade de área.
𝑱 = 𝑬 + 𝑮𝒕𝒓+ 𝑮𝒓𝒆𝒇
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TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES
FATOR DE FORMA: 
𝑭𝒊𝒋: fração da radiação que deixa a superfície i e é
interceptada pela superfície j
𝑭𝒋𝒊: fração da radiação que deixa a superfície j e é interceptada
pela superfície i
* Nem toda energia irradiada por uma 
superfície será interceptada pela outra.
𝑭𝒊𝒋 =
ሶ𝒒𝒊→𝒋
𝑨𝒊𝑱𝒊
(𝟏)
𝑭𝒋𝒊 =
ሶ𝒒𝒋→𝒊
𝑨𝒋𝑱𝒋
(𝟐)
➢ O cálculo dos fatores de forma dependem da geometria e da
localização das superfícies no espaço
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TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES
▪ Genericamente, os Fatores de Forma podem ser calculados pelas seguintes expressões:
𝑭𝒊𝒋 =
𝟏
𝑨𝒊
න
𝑨𝒊
න
𝑨𝒋
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋
𝝅𝑹²
𝒅𝑨𝒊𝒅𝑨𝒋 (𝟑)
𝑭𝒋𝒊 =
𝟏
𝑨𝒋
න
𝑨𝒊
න
𝑨𝒋
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽𝒋
𝝅𝑹²
𝒅𝑨𝒊𝒅𝑨𝒋 (𝟒)
𝜃𝑖: ângulo entre a normal da área 𝑑𝐴𝑖 e a reta R
𝑅: distância entre dos elementos de área 𝑑𝐴𝑖 e 𝑑𝐴𝑗
𝜃𝑗: ângulo entre a normal da área 𝑑𝐴𝑗 e a reta R
Sendo:
* Os resultados dessas integrais para diversas
geometrias comuns estão disponíveis na
forma de equações, gráficos e tabelas.
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RELAÇÕES DOS FATORES DE FORMA
➢ RELAÇÃO DE RECICPROCIDADE 𝑨𝒊𝑭𝒊𝒋 = 𝑨𝒋𝑭𝒋𝒊 (𝟓)
▪ Das equações 3 e 4 é possível chegar que:
▪ Como o fator de forma é definido como uma fração da radiação que deixa uma superfície e é intercepta por outra, 
considerando uma cavidade fechada:
෍
𝒋=𝟏
𝑵
𝑭𝒊𝒋 = 𝟏
➢ REGRA DA SOMA
Para superfícies planas ou convexas(não enxergam a si mesmo): 𝑭𝒊𝒊 = 𝟎
Para superfícies concavas (enxergam a si mesmo): 𝑭𝒊𝒊 ≠ 𝟎
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CASO 1: Considere uma superfície esférica de área A1 no interior de outra de área A2
RELAÇÕES DOS FATORES DE FORMA
1° PASSO: INSPEÇÃO
Toda radiação que deixa a superfície interna é interceptada pela superfície externa 
𝑭𝟏𝟐 = 𝟏
2° PASSO: APLICAR AS RELAÇÕES DOS FATORES DE FORMA
Como a superfície interna é convexa: 𝑭𝟏𝟏 = 𝟎
Pela regra da reciprocidade: 𝐴1𝐹12 = 𝐴2𝐹21 ∴ 𝑭𝟐𝟏 =
𝑨𝟏
𝑨𝟐
Pela regra da soma: ෍
𝒋=𝟏
𝑵
𝑭𝒊𝒋 = 𝟏
𝐹11 + 𝐹12 = 1
𝐹21 + 𝐹22 = 1
∴ 𝑭𝟐𝟐 = 𝟏 −
𝑨𝟏
𝑨𝟐
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RELAÇÕES DOS FATORES DE FORMA
CASO 2: Radiação a partir de uma superfície “i” para uma superfície “j”, que por sua 
vez, é dividida em “n” componentes de área (1, 2, 3..., k,..., n)
A fração de radiação que é emitida por “i” e interceptada por “j”, pode ser
descrita como:
𝑭𝒊(𝒋) = ෍
𝒌=𝟏
𝒏
𝑭𝒊𝒌
Obs. O parêntese em um subscrito indica que ela é uma superfície composta, em 
cujo (j) é equivalente a 1, 2,..., k,...n
"Essa expressão simplesmente enuncia que a radiação que atinge uma superfície composta é a soma da radiação que
atinge a suas partes"
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APLICAÇÃO: Determine o fator de forma F13 da superfície abaixo: 
Da relação anterior, tem-se que:
𝐹1,2−3 = 𝐹11 + 𝐹12 + 𝐹13
POR INSPEÇÃO:
𝐹11 = 0
𝐹1,2−3 𝑒 𝐹12: podem ser obtidos 
graficamente (possuem aresta em comum)
𝑭𝟏𝟑 = 𝑭𝟏,𝟐−𝟑 − 𝑭𝟏𝟐
RELAÇÕES DOS FATORES DE FORMA
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RELAÇÕES DOS FATORES DE FORMA
CASO 3: Radiação a partir de uma superfície composta
No caso da superfície emissora ser composta de diversas partes, pode-se multiplicar a relação anterior por Ai e aplicar a 
relação de reciprocidade a cada um dos termos, obtendo-se uma nova relação: 
𝑨𝒋𝑭 𝒋 𝒊 = ෍
𝒌=𝟏
𝒏
𝑨𝒌𝑭𝒌𝒊
APLICAÇÃO: Determine o fator de forma F14 da superfície abaixo: 
Da relação anterior, tem-se: 
𝑨𝟏,𝟐𝑭𝟏,𝟐 −𝟑,𝟒 = 𝑨𝟏𝑭𝟏−𝟑,𝟒 + 𝑨𝟐𝑭𝟐−𝟑,𝟒 (𝟏)
Analisando o primeiro termo do lado direito:
𝑨𝟏𝑭𝟏−𝟑,𝟒 = 𝑨𝟏𝑭𝟏𝟑 + 𝑨𝟏𝑭𝟏𝟒 (𝟐)
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RELAÇÕES DOS FATORES DE FORMA
Substituindo (2) em (1): 𝐴1,2𝐹1,2 −3,4 = 𝐴1𝐹13 + 𝐴1𝐹14 + 𝐴2𝐹2−3,4
Isolando 𝑭𝟏𝟒, tem-se:
𝑭𝟏𝟒 =
𝟏
𝑨𝟏
𝑨𝟏,𝟐𝑭𝟏,𝟐 −𝟑,𝟒 − 𝑨𝟏𝑭𝟏𝟑 − 𝑨𝟐𝑭𝟐−𝟑,𝟒 (𝟑)
POR INSPEÇÃO: 𝑭𝟏,𝟐 −𝟑,𝟒 𝒆 𝑭𝟐−𝟑,𝟒 podem ser encontrados na tabela (possuem aresta em comum)
Para encontrar 𝐹13, pode-se analisar a radiação interceptada apenas por A3: 𝐴1,2𝐹1,2 −3 = 𝐴1𝐹13 + 𝐴2𝐹23
𝑨𝟏𝑭𝟏𝟑 = 𝑨𝟏,𝟐𝑭𝟏,𝟐 −𝟑 − 𝑨𝟐𝑭𝟐𝟑 (𝟒)
Substituindo (4) em (3): 𝑭𝟏𝟒 =
𝟏
𝑨𝟏
𝑨𝟏,𝟐𝑭𝟏,𝟐 −𝟑,𝟒 − 𝑨𝟏,𝟐𝑭𝟏,𝟐 −𝟑 + 𝑨𝟐𝑭𝟐𝟑 − 𝑨𝟐𝑭𝟐−𝟑,𝟒
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TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NEGRAS
CORPO NEGRO – SUPERFÍCIE IDEAL
▪ Absorve toda a radiação incidente, independentemente do comprimento de onda e da direção (não há
reflexão);
𝑮𝒂𝒃𝒔
𝑬
𝑮 = 𝑮𝒕𝒓+ 𝑮𝒂𝒃𝒔 + 𝑮𝒓𝒆𝒇
𝑱 = 𝑬 + 𝑮𝒕𝒓+ 𝑮𝒓𝒆𝒇
→ 𝑮 = 𝑮𝒂𝒃𝒔
→ 𝑱 = 𝑬
(LEI DE STEFAN-BOLTZMAN)
𝑬𝒏 = 𝝈𝑻
𝟒
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TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NEGRAS
𝑭𝒊𝒋 =
ሶ𝒒𝒊→𝒋
𝑨𝒊𝑱𝒊
(𝟏) 𝑭𝒋𝒊 =
ሶ𝒒𝒋→𝒊
𝑨𝒋𝑱𝒋
(𝟐)
Das definições de Fator de Forma:
ሶ𝒒𝒊→𝒋 = 𝑨𝒊𝑱𝒊𝑭𝒊𝒋
ሶ𝒒𝒋→𝒊 = 𝑨𝒋𝑱𝒋𝑭𝒋𝒊
Podemos escrever que a taxa que deixa a superfície i e é interceptada 
pela superfície j é dada por:
De maneira análoga, a taxa que deixa a superfície j e é interceptada 
pela superfície i é dada por:
Sendo as duas superfícies negras:
ሶ𝒒𝒊→𝒋 = 𝑨𝒊𝑬𝒏𝒊𝑭𝒊𝒋 ሶ𝒒𝒋→𝒊 = 𝑨𝒋𝑬𝒏𝒋𝑭𝒋𝒊
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A troca radiante líquida entre as duas superfícies por der definida como:
TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NEGRAS
ሶ𝒒𝒊𝒋 = ሶ𝒒𝒊→𝒋 − ሶ𝒒𝒋→𝒊
ሶ𝑞𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝐸𝑛𝑖𝐹𝑖𝑗 − 𝐴𝑗𝐸𝑛𝑗𝐹𝑗𝑖
Pela Relação de reciprocidade : 𝑨𝒊𝑭𝒊𝒋 = 𝑨𝒋𝑭𝒋𝒊
ሶ𝑞𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝐹𝑖𝑗 𝐸𝑛𝑖 − 𝐸𝑛𝑗
ሶ𝒒𝒊𝒋 = 𝑨𝒊𝑭𝒊𝒋𝝈 𝑻𝒊
𝟒 − 𝑻𝒋
𝟒
Como: 𝑬𝒏= 𝝈𝑻
𝟒
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A transferência de radiação líquida a partir de qualquer superfície em uma 
cavidade fechada de N superfícies negras pode ser escrita como:
TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NEGRAS
ሶ𝒒𝒊 =෍
𝒋=𝟏
𝑵
𝑨𝒊𝑭𝒊𝒋𝝈 𝑻𝒊
𝟒 − 𝑻𝒋
𝟒
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Duas placas negras paralelas de 0,5 m x 1 m estão separadas por uma distância de 0,5 m. Uma placa é mantida a 
1000°C e a outra a 500°C. Qual a transferência de calor líquido entre as placas?
EXEMPLO 1
ሶ𝑞12 = ሶ𝑞1→2 − ሶ𝑞2→1
ሶ𝑞𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝐹𝑖𝑗𝜎 𝑇𝑖
4 − 𝑇𝑗
4 = 𝐴1𝐹12𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
𝑋 = 0,5 𝑚 𝑌 = 1 𝑚 𝐿 = 0,5 𝑚
𝑋
𝐿
=
0,5
0,5
= 1
𝑌
𝐿
=
1
0,5
= 2 𝐹12 = 0,28
ሶ𝑞12 = 0,5 ∙ 1 ∙ 0,28 ∙ 5,67 ∙ 10
−8 12734 − 7734
ሶ𝒒𝟏𝟐 = 𝟏𝟖 𝒌𝑾
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EXEMPLO 2
Uma esfera com diâmetro igual a 10 cm que tem a sua superfície a 700 K encontra-se envolvida por uma casca esférica
concêntrica com diâmetro de 20 cm cuja superfície está a 350K. Sabe-se que a superfície da esfera e da casca esférica
podem ser consideradas negras. Pede-se para determinar a taxa de calor em condições de regime permanente entre esses
dois corpos desprezando-se os efeitos de convecção no espaço existente entre essas superfícies.
𝐷𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 = 0,2𝑚 𝐷𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 0,1 𝑚
𝑟1 = 0,05
𝑟2 = 0,1
𝑇2 = 350 𝐾
𝑇1 = 700 𝐾
ሶ𝑞12 = ሶ𝑞1→2 − ሶ𝑞2→1
ሶ𝑞𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝐹𝑖𝑗𝜎 𝑇𝑖
4 − 𝑇𝑗
4 = 𝐴1𝐹12𝜎 𝑇1
4 − 𝑇2
4
INSPEÇÃO: 𝑭𝟏𝟐 = 𝟏
ሶ𝑞12 = 4𝜋 ∙ 0,05
2∙ 1 ∙ 5,67 ∙ 10−8 7004 − 3504
ሶ𝒒𝟏𝟐 = 𝟒𝟎𝟏𝑾
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EXEMPLO 3
Um forno cilíndrico vertical tem a temperatura da sua soleira igual a 500°C, a temperatura da sua parede vertical igual a
800°C e a temperatura do seu teto igual a 1100°C. Sabendo que o diâmetro interno do forno é de 1,6 m e que altura interna
é de 2,4m e supondo que as superfícies internas do forno podem ser tratadas como se fossem negras, determine a taxa
líquida de calor transferida do teto para a soleira do forno e a taxa líquida de calor transferida do teto para sua parede
vertical.
D = 1,6 m 
Soleira (1) T1 = 500°C 
Parede Vertical (3) T3 = 800°C 
Teto (2) T2 = 1100°C 
H = 2,4 m 
ሶ𝑞21 =? ሶ𝑞23 =?
ሶ𝑞21 = ሶ𝑞2→1 − ሶ𝑞1→2
ሶ𝑞𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝐹𝑖𝑗𝜎𝑇𝑖
4 − 𝑇𝑗
4
ሶ𝑞21 = 𝐴2𝐹21𝜎 𝑇2
4 − 𝑇1
4
𝐹21 = ?
Troca de calor entre dois discos paralelos
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𝐿
𝑟𝑖
=
2,4
0,8
= 3
𝑟𝑗
𝐿
=
0,8
2,4
= 0,33
𝐹12 = 0,1
Pela Relação de reciprocidade :
𝐹12 = 𝐹21
ሶ𝑞21 = 𝐴2𝐹21𝜎 𝑇2
4 − 𝑇1
4
ሶ𝑞21 = 𝜋0,8
2 ∙ 0,1 ∙ 5,67 ∙ 10−8 13734 − 7734 = 36,4 𝑘𝑊
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Soleira (1) T1 = 500°C 
Parede Vertical (3) T3 = 800°C 
Teto (2) T2 = 1100°C 
D = 1,6 m 
H = 2,4 m 
ሶ𝑞23 =?
𝐹21 = 0,1
ሶ𝑞𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝐹𝑖𝑗𝜎 𝑇𝑖
4 − 𝑇𝑗
4
ሶ𝑞23 = 𝐴2𝐹23𝜎 𝑇2
4 − 𝑇3
4
𝐹23 =?
Pela regra da soma: ෍
𝒋=𝟏
𝑵
𝑭𝒊𝒋 = 𝟏 𝐹21 + 𝐹22 + 𝐹23 = 1 𝐹22 = 0
𝑭𝟐𝟑 = 𝟏 − 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟗
ሶ𝒒𝟐𝟑 = 𝝅𝟎, 𝟖
𝟐 ∙ 𝟎, 𝟗 ∙ 𝟓, 𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟖 𝟏𝟑𝟕𝟑𝟒 − 𝟏𝟎𝟕𝟑𝟒 = 𝟐𝟐𝟖, 𝟔 𝒌𝑾
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TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE DUAS SUPERFÍCIES CINZAS, DIFUSAS E OPACAS
▪ SUPERFÍCIES CINZAS: a emissividade independe do comprimento de
onda 𝜺 = 𝒄𝒕𝒆
▪ SUPERFÍCIE OPACA: toda radiação incidente é absorvida e/ou
refletida (𝝉 = 𝟎)
▪ SUPERFÍCIES DIFUSAS: Possuem emissividade igual a absorvidade
𝜺𝝀 = 𝜶𝝀
➢ SUPERFÍCIE OPACA CINZA E DIFUSA: 𝝉 = 𝟎 𝒆 𝜺 = 𝜶
ሶ𝒒𝟏→𝟐 = 𝑨𝟏𝑱𝟏𝑭𝟏𝟐 ሶ𝒒𝟐→𝟏 = 𝑨𝟐𝑱𝟐𝑭𝟐𝟏
ሶ𝒒𝟏𝟐 = 𝑨𝟏𝑱𝟏𝑭𝟏𝟐 − 𝑨𝟐𝑱𝟐𝑭𝟐𝟏
Usando a regra da reciprocidade: ሶ𝒒𝟏𝟐 = 𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐 𝑱𝟏 − 𝑱𝟐 ∗ 𝑹𝒓𝒂𝒅=
𝟏
𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐
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TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE DUAS SUPERFÍCIES CINZAS, DIFUSAS E OPACAS
Utilizando a definição de Radiosidade: 𝑱𝟏 = 𝑬𝟏 + 𝑮𝒓𝒆𝒇,𝟏 = 𝑬𝟏 + 𝝆𝟏𝑮𝟏
Sabemos que: 𝛼 + 𝜌 + 𝜏 = 1 ➢ SUPERFÍCIE OPACA CINZA E DIFUSA: 𝝉 = 𝟎 𝒆 𝜺 = 𝜶 ∴ 𝝆 = 𝟏 − 𝜺
𝑱𝟏 = 𝑬𝟏 + 𝟏 − 𝜺𝟏 𝑮𝟏 𝑮𝟏 =
𝑱𝟏 − 𝜺𝟏𝑬𝟏,𝒏
𝟏 − 𝜺𝟏
Sabemos que: 𝐸1 = 𝜀1𝐸1,𝑛
Fazendo um balanço de energia na superfície 1: ሶ𝒒𝟏𝟐 = 𝑨𝟏 𝑱𝟏 − 𝑮𝟏
ሶ𝒒𝟏𝟐 =
𝑬𝟏,𝒏 − 𝑱𝟏
𝟏 − 𝜺𝟏
𝜺𝟏𝑨𝟏
ሶ𝒒𝟏𝟐 = 𝑨𝟏 𝑱𝟏 −
𝑱𝟏 − 𝜺𝟏𝑬𝟏,𝒏
𝟏 − 𝜺𝟏
De modo análogo, a taxa líquida radiante transferida de 2 para 1 será igual a: ሶ𝒒𝟐𝟏 =
𝑬𝟐,𝒏 − 𝑱𝟐
𝟏 − 𝜺𝟐
𝜺𝟐𝑨𝟐
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TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE DUAS SUPERFÍCIES CINZAS, DIFUSAS E OPACAS
Considerando uma cavidade é formada apenas pelas superfícies 1 e 2:
ሶ𝒒𝟏𝟐 = − ሶ𝒒𝟐𝟏 ሶ𝒒𝟏𝟐 =
𝑬𝟏,𝒏 − 𝑱𝟏
𝟏 − 𝜺𝟏
𝜺𝟏𝑨𝟏
=
𝑱𝟏 − 𝑱𝟐
𝟏
𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐
=
𝑱𝟐 − 𝑬𝟐,𝒏
𝟏 − 𝜺𝟐
𝜺𝟐𝑨𝟐
Resistências Radiantes
ሶ𝒒𝟏𝟐 =
𝑬𝟏,𝒏 − 𝑬𝟐,𝒏
𝟏 − 𝜺𝟏
𝜺𝟏𝑨𝟏
+
𝟏
𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐
+
𝟏 − 𝜺𝟐
𝜺𝟐𝑨𝟐
𝑬𝟏,𝒏 𝑱𝟏 𝑻𝟑𝑱𝟐 𝑬𝟐,𝒏
𝟏 − 𝜺𝟏
𝜺𝟏𝑨𝟏
𝟏
𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐
𝟏 − 𝜺𝟐
𝜺𝟐𝑨𝟐
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EXEMPLO 4
Considere duas cascas cilíndricas concêntricas cujos comprimentos sejam muito maiores do que os seus diâmetros, de
forma que possam ser modeladas como se seus comprimentos fossem infinitos. Sabendo que uma delas, com raio igual a
8cm e emissividade igual a 0,8, está numa temperatura de 400K e que a outra, com raio de 4 cm e emissividade igual a 0,5,
está a 300K, determine a taxa líquida de calor radiante por unidade de comprimento transferida entre as cascas cilíndricas.
𝑟1 = 0,04 𝑚
𝑟2 = 0,08 𝑚
𝜀1 = 0,5
𝜀2 = 0,8
𝑇1 = 300𝐾
𝑇2 = 400𝐾
ሶ𝒒𝟏𝟐 =
𝑬𝟏,𝒏 − 𝑬𝟐,𝒏
𝟏 − 𝜺𝟏
𝜺𝟏𝑨𝟏
+
𝟏
𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐
+
𝟏 − 𝜺𝟐
𝜺𝟐𝑨𝟐
=
𝝈 𝑻𝟏
𝟒 − 𝑻𝟐
𝟒
𝟏 − 𝜺𝟏
𝜺𝟏𝑨𝟏
+
𝟏
𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐
+
𝟏 − 𝜺𝟐
𝜺𝟐𝑨𝟐
𝑭𝟏𝟐 = 𝟏
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ሶ𝑞12 =
5,67 ∙ 10−8 3004 − 4004
1 − 0,5
0,5 ∙ 2𝜋 ∙ 0,04 ∙ 𝐿
+
1
2𝜋 ∙ 0,04𝐿 ∙ 1
+
1 − 0,8
0,8 ∙ 2𝜋 ∙ 0,08𝐿
ሶ𝒒𝟏𝟐
𝑳
= −𝟏𝟏𝟕, 𝟑𝑾/𝒎
ሶ𝒒𝟏𝟐 =
𝝈 𝑻𝟏
𝟒 − 𝑻𝟐
𝟒
𝟏 − 𝜺𝟏
𝜺𝟏𝑨𝟏
+
𝟏
𝑨𝟏𝑭𝟏𝟐
+
𝟏 − 𝜺𝟐
𝜺𝟐𝑨𝟐