matemática 02

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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lógica é a ciência das leis ideais do 
pensamento e a arte de aplicá-los à pesquisa e à demonstração 
da verdade. 
 
 Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um sistema 
de conhecimentos certos, baseados em princípios universais. 
Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica se apresenta 
como ciência normativa, uma vez que seu objeto não é definir o 
que é, mas o que deve ser, isto é, as normas do pensamento 
correto. 
 
A lógica é também uma arte porque, ao mesmo tempo que 
define os princípios universais do pensamento, estabelece as 
regras práticas para o conhecimento da verdade (1). 
 
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO: É todo conjunto de palavras ou 
símbolos que exprime uma idéia de sentido completo e que além 
disso pode ser julgado como verdadeiro (v) ou falso (f). 
1.1 PROPOSIÇÃO.nada mais é que uma declaração, uma 
sentença declarativa onde podemos atribuir a ela um valor lógico 
verdadeiro ou falso. 
 
2. NÃO SÃO PROPOSIÇÕES: 
FRASES IMPERATIVAS: Ex1: LIMPE A SALA DELEGADO. 
FRASES INTERROGATIVAS: Ex2:O EDITAL DO CONCURSO 
DO INSS SAI ESSE ANO? 
FRASES EXCLAMATIVAS: Ex3: QUE BELEZA! 
SENTENÇAS ABERTAS: Há expressões as quais não se pode 
atribuir um valor lógico (v) ou (f), por exemplo: 
Ex4: Ele é o melhor funcionário da instituição.. 
Ex5: x+9=78. 
Nessas expressões o sujeito é uma variável e pode ser 
substituído por um elemento arbitrário, transformando a 
expressão em uma proposição que pode ser valorada como (v) 
ou (f). Expressões dessa forma são denominadas sentenças 
abertas ou funções proposicionais. 
EX6: Dos itens abaixo temos apenas 5 proposições. 
 
1. Ninguém ensina a ninguém 
2. Ele foi o melhor jogador da copa. 
3. x > y 
4. Rosana é mais velha que Marcela? 
5. Mário é pintor 
6. x + 2 = 5 
7. 3 + 4 = 9 
8. Este é um péssimo livro de geografia 
9. Se x é um número primo então x é um número real 
10. x é um número primo. 
11. O medico fez a cirurgia 
 
OBS: Confiram o que o Cespe (no tempo que era mais 
bonzinho...) escreveu em uma de suas provas: 
 
“Para os referidos itens, serão consideradas como proposições 
apenas as sentenças declarativas, que mais facilmente são 
julgadas como verdadeiras – V – ou falsas – F –, deixando de 
lado as sentenças interrogativas, exclamativas, imperativas e 
outras.” 
 
3. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA LÓGICA: 
3.1. PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição 
só pode ser ou (v) ou (f), excluindo-se qualquer outra 
possibilidade. 
3.2. PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição 
não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
4. PROPOSIÇOES SIMPLES: É quando não há outra 
proposição fazendo parte dela. 
Ex7: Bruno Neves vai fazer o concurso do INSS. 
Ex8: Aracaju é a capital de Sergipe. 
5. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: São formadas a partir de 
proposições simples ligadas a conectivos. 
Ex9: Carla esta se maquiando e Ralbert dormindo. 
Ex10: Se Cris trouxer o lanche então nos ficaremos felizes. 
Ex11: Carlos e Bernardo são observadores. 
Ex12: Carlos planejou e executou o empréstimo. 
AI VAI UMA DICA: Para dizer o valor lógico 
de uma proposição simples, é só ler e dizer se ela é V ou F, 
certo? Na proposição composta, é um pouco mais 
complicado... Para decidirmos se uma proposição composta é 
verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 
• do valor lógico das proposições componentes (simples); 
• do tipo de conectivo que as une. 
VAMOS RESOLVER ALGUMAS QUESTÕES 
ENVOLVENDO DIVERSAS BANCAS E LEMBREN-SE É 
PARA APRENDER E NÃO DECORAR. 
MATEMÁTICA/ RACIOCÍNIO LÓGICO 
 PROF: RAUL PEREIRA 
 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
QG01. (cespe) Segundo os princípios da não contradição e do 
terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e 
somente um valor lógico. 
QG02. (PC1) Em lógica, pelo princípio do terceiro excluído: 
(A) uma proposição falsa pode ser verdadeira e uma 
proposição verdadeira pode ser falsa. 
(B) uma proposição verdadeira pode ser falsa, mas uma 
proposição falsa é sempre falsa. 
(C) uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa, não há 
outra possibilidade. 
(D) uma proposição verdadeira é verdadeira e uma proposição 
falsa é falsa. 
(E) nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao 
mesmo tempo. 
 
QG 03. (CESPE/SEBRAE/ANALISTA) Com relação à lógica 
formal, julgue o item subsequente: 
 
• Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores 
lógicos. 
 
QG 04.(CESPE - 2013 - INPI - Tecnologista em Propriedade 
Industrial) No conjunto de todas as frases, as proposições 
encontram-se entre aquelas classificadas como declarativas e 
verbais, ou seja, entende-se como proposição todo conjunto de 
palavras ou símbolos que exprimam um pensamento de 
sentido completo, para o qual seja possível atribuir, como valor 
lógico, ou a verdade ou a falsidade. Assim, as proposições 
transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem 
juízos que se formam a respeito de determinados entes. Com 
base nessas informações, julgue se os itens a seguir são 
proposições. 
( ) Que excelente local de trabalho! 
( ) Marcos não é um político desonesto, pois não é um político. 
( ) Todo governante toma decisões, tendo como principal 
preocupação sua conservação no poder. 
( ) Esta afirmação é falsa. 
( ) O pior atentado terrorista da história ocorreu no dia 11 de 
setembro de 2011? 
( ) Elabore hoje o parecer técnico para concessão de direitos 
relativos ao registro da marca. 
 
Dessa forma temos apenas 3 que são proposições. 
 
QG 05. (CESPE) TEXTO-I BRASIL ONLINE O tempo que as 
pessoas gastam navegando na Internet cresce em média, 
anualmente, 30%. É um fenômeno mundial. Em sete anos, a 
média mensal no Brasil saltou de 8 horas para 21 horas e 40 
minutos – aproximadamente 150% a mais (gráfico). O país 
(58,15 milhões de usuários da rede) está no topo do ranking 
internacional. 
 
A partir das informações do texto I e considerando que 
proposições são afirmações que podem ser julgadas como 
verdadeiras ou falsas, julgue o item a seguir. 
 
( ) É correto concluir que as três frases seguintes são 
proposições. 
 
I No ano de 2002, os brasileiros usuários da Internet gastavam, 
mensalmente, em média, 10 horas e 11 minutos navegando na 
rede. 
 
II Em quantos anos a média mensal de tempo de uso da 
Internet no Brasil saltou de 8 horas para 21 horas e 40 
minutos? 
 
III Se, em 2006, o tempo médio mensal online dos brasileiros 
era de 21 horas e 20 minutos, então essa média aumentou em 
mais de 20 minutos em 2007. 
 
QG 06. (CESPE) Uma proposição é uma sentença afirmativa 
ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa 
(F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte 
diálogo: 
(1) Você sabe dividir? — perguntou Ana. 
(2) Claro que sei! — respondeu Mauro. 
(3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze 
centenas e onze por três? — perguntou Ana. 
(4) O resto é dois. — respondeu Mauro, após fazer a conta. 
(5) Está errado! Você não sabe dividir. — respondeu Ana. 
A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens 
que se seguem. 
( ) A frase indicada por (3) não é uma proposição. 
( ) A sentença (5) é F. 
( ) A frase (2) é uma proposição. 
QG 07 (CESPE) Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 
5 proposições lógicas. ( ) 
 Clodoaldo é atleta Capixaba. 
 Leia, corrija e escreva. 
 X + 7 = 2. 
 Bia é brasileira ou Beto é brasileiro, mas não ambos. 
 O professor sorteou livros em sala de aula. 
 Se x > 1, então x + 3 > 6. 
 Se y = 2, então x + y = 5. 
 X = 3 se, e somente se, x+ 11 = 13. 
 Este carro é o mais caro da loja. 
 Qual o rio mais extenso do mundo? 
 Se 2+1 é par, então 3 + 2 = 7. 
 Corra! Corra! Corra! 
 
QG 08. (RAUL) 03. se o galo canta pela manhã , então ele 
come o dia inteiro. Neste item temos duas proposições, mas se 
suprimíssemos os termos condicionais e escrevêssemos as 
frases separadamente só teríamos uma. 
 
QG 09. A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou 
para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas 
proposições simples relacionadas por um conectivo de 
conjunção. 
QG 10. A proposição “João e Roberto viajaram para Roma” é um 
exemplo de proposição formada por duas proposições simples 
relacionadas por um conectivo de conjunção. 
 
1- V 2-C 3-F 4-F 5-F 6-
VVF 
7-F 8-V 9-V 10- F 
 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
 LOGICA DOS CONECTIVOS 
 
HORA DE COLOCAR AS TABELINHAS QUE 
TODOS ACHAM QUE TEMOS QUE DECORAR, PESSOAL 
NÃO É BEM ASSIM, OBSERVEM: 
COMEÇANDO PELA TABELA DOS CONECTIVOS 
 
Ex: Para fazer o soro fisiológico além da água temos que utilizar 
sal e açúcar 
• Chamemos de P a proposição: temos o sal; 
• Chamemos de Q a proposição: temos o açúcar. 
 
1 A TABELA VERDADE DO E ; EM SEGUIDA APROVEITAR 
PARA RESOLVER A QUESTÃO EXPLICATIVA.
 
 
2 A TABELA VERDADE DO (OU); EM SEGUIDA 
APROVEITAR PARA RESOLVER AS QUESTOES 
EXPLICATIVAS. 
Ex3: O edital deste concurso afirma que para fazer a prova o 
candidato deve possuir caneta preta ou possuir caneta azul. 
• Chamemos de P a proposição: estou com a caneta 
preta; 
• Chamemos de Q a proposição: estou com a caneta 
azul. 
 
 
 
3. A TABELA VERDADE DO ou....ou... EM SEGUIDA 
APROVEITAR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 
EXPLICATIVAS. 
Ex6: como sabemos: ou o coração esta batendo ou o coração 
esta parado. 
 
• Chamemos de P a proposição: o coração esta batendo 
• Chamemos de Q a proposição: o coração esta parado. 
 
 
4 A TABELA VERDADE DO SE.. ENTAO. ; EM SEGUIDA 
APROVEITAR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 
EXPLICATIVAS. 
Ex8: imagina a seguinte condicional se você for aracajuano 
então você será sergipano. 
• Chamemos de P a proposição: o cara é aracajuano ; 
• Chamemos de Q a proposição: o cara é sergipano: 
 
 
5. A TABELA VERDADE DO SE, E SOMENTE SE; EM 
SEGUIDA APROVEITAR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 
EXPLICATIVAS. 
Ex 10: O CEP será da cidade de Lagarto se e somente se, o 
número for 49.400-000. 
• Chamemos de P a proposição: o CEP é de Lagarto; 
• Chamemos de Q a proposição: o número é 49.400-000. 
 
BATERIA DE QUESTÕES SOBRE TODOS ESSES 
TEMAS,VAMOS LA É PARA APRENDER!!!!!! 
QG 01. (Cesgranrio) Sejam p e q proposições e ~p e ~q, 
respectivamente, suas negações. Se p e uma proposição 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
verdadeira e q, uma proposição falsa, então e verdadeira a 
proposição composta: 
(A) p ^ q (B) ~p ^ q (C) ~p v q (D) ~p v ~q (E) ~p<-> ~q 
QG 02. Se “p” é falsa e “q” é falsa, então a proposição 
(~p ʌ ~q)→q é falsa. 
QG 03. Se “~p” é falsa e “q” é falsa, então a proposição 
(p ↔~q) ᴠ (q →r) é verdadeira. 
QG 04. Se “~p” é verdadeira, “q” é falsa, “r” é falsa e “~s” é falsa, 
então a proposição (q ᴠ s) →(~r →p) é verdadeira. 
QG 05. Se “p” é falsa, então p →(q ↔r) é verdadeira. 
 
QG 06. (CESPE) PARECE UMA QUESTÃO 
MUITO DIFÍCIL, MAS É FACIL GALERA. 
A B C 
V F V 
F V F 
V F F 
 
Considere a tabela acima, que contém valorações de 
proposições simples A, B e C. Nesse caso, assinale a opção 
correspondente à proposição composta a partir de A, B e C que 
é sempre V para cada linha de valorações de A, B e C conforme 
a tabela. 
a) [A  ( B)  C]  [( A)  B  ( C)]  [A  ( B)  ( C))] 
b) [A  B  C]  [( A)  B  ( C)]  [A  ( B)  ( C)] 
c) [A  ( B)  C]  [A  B  ( C)]  [A  ( B)  ( C)] 
d) [A  ( B)  C]  [( A)  B  ( C)]  [( A)  B  C] 
e) [A  B  C]  [( A)  B  C]  [A  ( B)  ( C)] 
 
(CESPE) Considere que as letras P Q e S representam 
proposições e que os símbolos ¬, e  são operadores lógicos 
que constroem novas proposições e significam “não”, “e” e “ou” 
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição 
assume um único valor (valor-verdade) que pode ser 
verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando 
que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens 
seguintes. 
 
QG 07. Caso seja verdadeira a proposição “muitos 
consumidores contam com o limite da conta para fechar o mês”, 
o valor lógico da proposição “muitos consumidores contam com 
o limite da conta e com o pagamento mínimo do cartão para 
fechar o mês” será verdadeiro, independentemente do valor 
lógico da proposição “muitos consumidores contam com o 
pagamento mínimo do cartão para fechar o mês”. 
 
QG 08. (Fesmip) A proposição que apresenta a menor 
probabilidade de ser logicamente verdadeira e a: 
(A) João não e funcionário publico. 
(B) João é funcionário público e Maria é advogada. 
(C) João é funcionário publico ou Maria e advogada. 
(D) Se João e funcionário publico, então Maria e advogada. 
(E) João não e funcionário publico ou Maria não e advogada. 
 
QG 09. Se as proposições “O diretor-geral está de férias” e “O 
diretor-geral voltará a comandar a empresa” forem verdadeiras, 
será verdadeira a proposição “O diretor-geral está de férias, 
mas não voltará a comandar a empresa”. 
 
 
 
1-D 2-V 3-V 4-F 5- V 6-A 7-F 8-B 9-F 10- 
 
LOGICA COM NEGACOES E EQUIVALENCIAS 
 
NEGAÇÃO DOS CONECTIVOS 
NEGAÇÃO DO (E): FÓRMULA: ~( p  q )  ~ p  ~q 
Vamos usar aqui mais uma vez o exemplo do soro, mas 
lembrando que aqui é negação e você não fará o soro. 
Ex22: Irene passou bom tempo olhando seus tênis, seus sapatos 
de salto, sua blusa e sua camiseta, tentando decidir como iria 
vestida para uma festa. Uma hora depois, seu irmão Pedro a viu 
sair de casa e afirmou que ela não foi de tênis e camiseta. 
Conclusão: Irene deixou os tênis e a camiseta em casa. 
 
NEGAÇÃO DO (OU) FÓRMULA ~( p  q )  ~ p  ~q 
 
Vamos usar aqui mais uma vez o exemplo das canetas, mas 
lembrando que aqui é negação e você não fará o concurso. 
 
NEGAÇÃO DO SE... ENTÃO...: FÓRMULA 
~ ( p → q)  p  ~q 
Vamos usar o exemplo do sergipano e do pai. 
 
Ex24: A negação de “Se chover então não vou” é: 
(A) Se não chover então não vou. 
(B) Se não chover então vou. 
(C) Se vou então não esta chovendo. 
(D) Chove e vou. 
(E) Não chove e vou. 
Obs1: Quando utilizo estes exemplos procuro 
uma maneira de não decorar as tabelas e muito menos 
decorar as formulas de negações e equivalências dai, olhe 
que questão interessante da fundação CESGRANRIO onde 
ele sequer usa conectivo na pergunta. 
 
 
Ex 25. Maria disse que sua família possui um único carro. 
Se Maria mentiu, então a sua família: 
(A) não possui carro, ou possui mais de um carro. 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
(B) não possui carro. 
(C) possui outro tipo de veículo. 
(D) não gosta de carros. 
(E) possui mais de um carro. 
 
 
13. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS: são proposições 
que possuem o mesmo valor lógico na conclusão mesmo sendo 
diferente o caminho percorrido pelas proposições. A verificação 
é feita utilizando a tabelaverdade (método um pouco demorado) 
por isso utilizando algumas deduções lógicas podemos diminuir 
um pouco esse caminho. 
13.1 EQUIVALENCIAS IMPORTANTES 
13.2 O ou se transforma no se então. A melhor maneira de 
observar essa equivalência é a compreensão do conectivo ou. 
A maneira decorativa esta ai na tabela para aqueles que acham 
que não deu para entender de jeito nenhum. 
 
 
 
 
Ex: (Esaf) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é 
engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 
13.3. Se então se transforma em ou. 
Ainda não consegui encontrar uma lógica para fugir do 
decoreba. 
 
 
 
 
 
52. (FEC) Sob o ponto de vista da lógica matemática, a única 
das afirmativas abaixo que pode ser considerada como 
equivalente a “se bebo liquido gelado, então sinto dor de 
dentes”, é: 
(A) Não bebo liquido gelado ou sinto dor de dentes. 
(B) Se não bebo liquido gelado, então não sinto dor de dentes. 
(C) Se sinto dor de dentes, então bebi liquido gelado. 
(D) Não bebo liquido gelado ou não sinto dor de dentes. 
(E) Bebo liquido gelado e não sinto dor de dentes. 
13.4. Contra positiva: é uma equivalência que não muda os 
conectivos lógicos e que possui um entendimento simples para 
quem conhece a estrutura da condicional, pois se para ser atleta 
tem que treinar a contra positiva mostra que se não treinar não 
será atleta: 
Mais na frente usaremos bastante essa equivalência como 
ferramenta na resolução de questões pois vi neste tema uma 
maneira de me libertar das famosas tabelas verdade que na 
minha humilde opinião não as vejo como algo tão complicado. 
Pois quem entende de verdade os conectivos lógicos brinca com 
elas. 
A maneira de decorar esta no quadro abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
53. (Funcab) Marque a alternativa que contem uma proposição 
equivalente a “Se Carlos é poliglota, então João é brasileiro”. 
(A) Se João é brasileiro, então Carlos é poliglota. 
(B) Carlos é poliglota ou João não é brasileiro. 
(C) Se João não é brasileiro, então Carlos não é poliglota. 
(D) Se Carlos não é poliglota, então João não é brasileiro. 
(E) Carlos é poliglota ou João é brasileiro. 
 
Ex3.A Bi condicional: toda proposição com 
conectivo se e somente se pode ser reescrita a partir da 
conjunção de duas condicionais (uma que vai de p para q e outra 
que volta de q para p). Na verdade trata-se de sua própria 
explicação. 
 
EM RESUMO TEMOS 
a) (pvq) é equivalente a (qvp) 
b) (p^q) é equivalente a (q^p) 
c) (p↔q) é equivalente a (q↔p) 
d)(p→q) é equivalente a (¬pvq) 
e) (p→q) é equivalente a (¬q→¬p) 
f))¬ (p^q) é equivalente a (¬pv¬q) 
g)¬(pvq) é equivalente a (¬p^¬q) 
1.NEGAR A PRIMEIRA 
2.TROCA OS CONECTIVOS 
3.MANTER A SEGUNDA PARTE 
 
1.NEGAR A SEGUNDA PARTE 
2.MANTER O CONECTIVO 
3.NEGAR A PRIMEIRA PARTE 
4.INVERTER AS POSIÇÕES 
 
1.NEGAR UM DOS DOIS 
2.TROCA OS CONECTIVOS 
3.MANTER O QUE NÃO FOI NEGADO 
 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
h)¬(¬ p) é equivalente a p 
i) ¬(¬ (¬p) é equivalente a (¬p) 
j)¬(p→q) é equivalente a (p^¬q) 
k)¬(p↔q) é equivalente a (p↔¬q) 
 
Questão geral: observe as afirmações sobre negações e 
equivalências: 
 
I. A frase “Se Carlos trabalha, então ganha dinheiro” é 
equivalente a frase: 
 
Resp: Carlos não trabalha ou ganha dinheiro. 
 
II. A frase “O candidato foi aprovado ou escolheu o curso 
certo” equivale logicamente a: 
 
Resp: Se o candidato não foi aprovado, então escolheu o curso 
errado. 
 
III. Do ponto de vista da lógica matemática a negação da frase: 
Marcos foi ao cinema ou Maria foi fazer compras é a frase: 
 
Resp: Marcos não foi ao cinema e Maria não foi fazer compras. 
 
IV. Seja a sentença “Se Lúcia é médica, então Lucas é 
professor”, a sentença equivalente à sentença inicial é: 
 
Resp: Se Lucas não é professor, então Lúcia não é médica. 
 
V. Dizer que não é verdade que “Lúcia é magra e Lucas gosta 
de chocolate” é logicamente equivalente a dizer que é verdade 
que: 
 
Resp: Lúcia não é magra ou Lucas não gosta de chocolate. 
 
VI. A negação da proposição composta “se o paciente é 
impaciente ou a enfermeira não veio, então a cirurgia será 
desmarcada”. 
 
Resp: O paciente é impaciente ou a enfermeira não veio, e a 
cirurgia não será desmarcada. 
 
VII. A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é: 
 
Resp: De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. 
 
Sendo assim o total de respostas corretas é: 
 
a) mais de 5 
b) Um numero quadrado perfeito 
c) Um numero impar 
d) 4 
e) Menor que a quantidade de erradas 
 
 
HORA DE RESOLVER QUESTÕES GALERA 
QG 01. (CESPE) A negação da proposição “Não conheço esse 
empresário nem ouvi falar de sua empresa” pode ser expressa 
por “Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa”. 
(CESPE – SERPRO – 2013) Ser síndico não é fácil. Além das 
cobranças de uns e da inadimplência de outros, ele está sujeito 
a passar por desonesto. A esse respeito, um ex-síndico formulou 
as seguintes proposições: 
— Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, 
dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício 
próprio. (P1) 
— Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em 
benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2) 
— Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira 
ser síndico. (P3) 
Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, julgue o item 
a seguir. 
QG 02. A proposição P3 é equivalente a ―Se você quiser ser 
síndico, não queira manter sua fama de honesto. 
(CESPE) Julgue os dois próximos itens, considerando a 
proposição P, a seguir: O desenvolvimento científico do 
país permanecerá estagnado se, e somente se, não houver 
investimento em pesquisa acadêmica no Brasil. 
QG 03. A proposição P é logicamente equivalente a “Se não 
houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil, então o 
desenvolvimento científico do país permanecerá estagnado, e 
se houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil, então 
o desenvolvimento do país não permanecerá estagnado”. 
(CESPE)— Mário, você não vai tirar férias este ano de 
novo? Você trabalha demais! 
— Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está 
sempre de férias. 
Considerando o diálogo acima, julgue os quatro itens 
seguintes, tendo como referência a declaração de Mário. 
 
QG 04. (CESPE) A declaração de Mário é equivalente a 
“Se o indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele 
estará sempre de férias”. 
 
QG 05 (CESPE) A negação da declaração de Mário 
pode ser corretamente expressa pela seguinte 
proposição: “Aquele que não trabalha como que não 
gosta não está sempre de férias”. 
 
QG 06. (CESPE) A proposição “Enquanto trabalhar com 
o que gosta, o indivíduo estará de férias” é uma forma 
equivalente à declaração de Mário. 
 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
QG 07. (CESPE) “Se o indivíduo estiver sempre de 
férias, então ele trabalha como que gosta” é uma 
proposição equivalente a declaração de Mário. 
 
QG 08. (CESPE – 2013 – MPU) Ao comentar a respeito da 
instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a 
seguinte colocação: ―Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o 
dólar‖. Acerca desse comentário, que constituiuma disjunção 
exclusiva, julgue os itens seguintes. 
A proposição do jornalista é equivalente a ―Se não cai o 
ministro da Fazenda, então cai o dólar. 
(CESPE – CPRM – 2013) Márcia, ao interrogar os filhos, Ana, 
Bernardo, Carla, Deise e Eugênio, sobre qual deles havia 
quebrado um espelho, obteve as seguintes declarações: 
— O culpado é Eugênio ou Deise, disse Bernardo; 
— O culpado é uma menina, disse Eugênio; 
— Se Bernardo é culpado, então Carla é inocente, disse Deise. 
Com base nessa situação e admitindo que somente um seja 
culpado, julgue os itens seguintes. 
QG 09. A afirmação de Deise é equivalente a ―Se Carla é 
culpada, então Bernardo é inocente‖. 
QG 10. A afirmação de Deise é equivalente a ―Bernardo ou 
Carla é inocente‖. 
1-F 2-V 3-F 4-V 5-F 6-V 7-F 8-F 9-V 10-F 
 
 
 
7. LEITURA DA CONDICIONAL 
1. SE P ENTÃO Q 
2. P É CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA Q 
40. (Esaf) Se você se esforçar, então ira vencer. Assim sendo: 
(A) seu esforço e condição suficiente para vencer. 
(B) seu esforço e condição necessária para vencer. 
(C) se você não se esforçar, então não ira vencer. 
(D) você vencera só se esforçar. 
(E) mesmo que se esforce, você não vencera. 
3 Q É CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA P 
41. (Esaf) Considere que: “se o dia esta bonito, então não 
chove”. Desse modo: 
(A) não chover e condição necessária para o dia estar bonito. 
(B) não chover e condição suficiente para o dia estar bonito. 
(C) chover e condição necessária para o dia estar bonito. 
(D) o dia estar bonito e condição necessária e suficiente para 
chover. 
(E) chover e condição necessária para o dia não estar bonito. 
4. P IMPLICA Q 
(RAULESPE). Estudar no ponto dos concursos implica em ser 
aprovado no concurso do INSS pode ser corretamente expresso 
pela forma: Se você estudar no exclusivo, então será aprovado 
no concurso do INSS. 
5. Q SE P 
6. P SOMENTE SE Q 
7. SEMPRE 
QG 44. (CESPE) Em uma colônia de pescadores, sempre que o 
mar está agitado, os pescadores ficam em terra firme. 
Conclusão: se, hoje, o mar está calmo, então os pescadores 
saíram para pescar. 
OBS: OUTRAS MANEIRAS DE SE EXPRESSAR 
COM A CONDICIONAL: 
JÁ QUE; QUANDO; CONSEQUENTEMENTE; POIS E 
QUALQUER OUTRA IDEIA. 
19. (CESPE - 2013 - INPI - Tecnologista em Propriedade 
Industrial) Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma 
proposição que deve ser julgada se, do ponto de vista lógico, é 
equivalente à proposição "Se for autorizado por lei, então o 
administrador detém a competência para agir". 
( ) Quando for autorizado por lei, o administrador terá a 
competência para agir. 
( ) Sempre que for autorizado por lei, o administrador deterá a 
competência para agir. 
( ) Desde que seja autorizado por lei, o administrador detém a 
competência para agir. 
( ) O administrador detém a competência para agir, pois foi 
autorizado por lei. 
( ) Somente se for autorizado por lei, o administrador deterá a 
competência para agir. 
7. SE LIGAPESSOAL: AQUI O MAIS 
IMPORTANTE É SABER QUEM SERÁ O ANTECEDENTE E O 
CONSEQUENTE, É ISSO QUE VAI RESOLVER QUALQUER 
QUESTÃO. 
8. LEITURA DA BICONDICIONAL 
1. P SE E SOMENTE SE Q 
44. “Joga futebol se e somente se é brasileiro”. 
Logo: 
a) Pode haver ingleses que jogam futebol. 
b) Com certeza há jogadores de futebol não brasileiros. 
c) Pode haver brasileiro que não joga futebol. 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
d) Se joga futebol então é brasileiro. 
e) Jogar futebol é suficiente para ser brasileiro mas não é 
necessário ser brasileiro para jogar futebol. 
 
2. P É CONDIÇÃO NECESSARIA E SUFICIENTE PARA Q. 
45. “A cigarra cantar é necessário e suficiente para a 
formiga trabalhar”. Portanto: 
a) A formiga trabalha se, e somente se, a cigarra não canta. 
b) Se a formiga trabalha, então a cigarra não canta. 
c) Se a cigarra canta então a formiga não trabalha. 
d) Se a cigarra não canta então a formiga não trabalha. 
e) A cigarra canta se, e somente se, a formiga não trabalha. 
 
3. Q CONDIÇÃO NECESSARIA E SUFICIENTE PARA P 
 
4. SE P ENTÃO Q E SE Q ENTÃO P 
46. Considere as frases: 
“ Se vive na água então é borboleta” 
“ Se é borboleta então vive na água”. 
Podemos afirmar: 
a) É borboleta se, e somente se, não vive na água. 
b) Vive na água se, e somente se, não é borboleta. 
c) Ser borboleta é necessário para não viver na água. 
d) Ser borboleta é necessário e suficiente para viver na 
água. 
e) Se é borboleta então não vive na água. 
BATERIA DE QUESTÕES SOBRE TODOS 
ESSES TEMAS, VAMOS LA. 
QG 01. A proposição “Se as reservas internacionais em moeda 
forte aumentam, então o país fica protegido de ataques 
especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O 
país ficar protegido de ataques especulativos é condição 
necessária para que as reservas internacionais aumentem”. 
QG 02.Considerando que A e B simbolizem, respectivamente, 
as proposições “A publicação usa e cita documentos do 
Itamaraty” e “O autor envia duas cópias de sua publicação de 
pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty”, então a proposição B 
→ A é uma simbolização correta para a proposição “Uma 
condição necessária para que o autor envie duas cópias de sua 
publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty é que a 
publicação use e cite documentos do Itamaraty”. 
QG 03.A proposição “O piloto vencerá a corrida somente se o 
carro estiver bem preparado” pode ser corretamente lida como 
“O carro estar bem preparado é condição necessária para que 
o piloto vença a corrida”. 
 
QG 04. A proposição \u201cO piloto vencerá a corrida se 
o carro estiver bem preparado\u201d. Logo: 
 
a) O carro estar bem preparado é condição necessária e 
suficiente para o piloto vencer a corrida. 
b) O carro estar bem preparado é condição necessária para o 
piloto vencer a corrida. 
c) Não é suficiente o piloto vencer a corrida para concluirmos 
que o carro está bem preparado. 
d) O carro estar bem preparado é suficiente para o piloto 
vencer a corrida. 
e) Não é necessário vencer a corrida para o carro estar bem 
preparado. 
 
QG 05. A proposição P: “Ser honesto é condição necessária 
para um cidadão ser admitido no serviço público” é corretamente 
simbolizada na forma A → B, em que A representa “ser honesto” 
e B representa “para um cidadão ser admitido no serviço público. 
QG 06. A proposição “Os cartões pré-pagos são uma evolução 
dos cartões tradicionais, pois podem ser usados, por exemplo, 
pelo público jovem” é equivalente a “Se podem ser usados, por 
exemplo, pelo público jovem, então os cartões pré-pagos são 
uma evolução dos cartões tradicionais”. 
 
 
1-V 2-V 3-V 4-D 5-F 6-V 7- 8- 9- 10- 
 
9. TRADUÇÃO DA LINGUAGEM CORRENTE PARA A 
LINGUAGEM SIMBÓLICA E VICE-VERSA. 
OBS1: RAFAEL NÃO ESTA SENTADO, ESSA 
PROPOSIÇÃO PODE SER REPRESENTADA POR: ~P OU P 
SOMOS NOS QUEM ESCOLHEMOS. 
QG 01. (CESPE)A proposição “As fontes de energia fósseis 
estão, pouco apouco, sendo substituídas por fontes de energia 
menos poluentes, como a energia elétrica, a eólica e a solar —
as fontes de energia limpa” pode ser representada 
simbolicamente por: 
a) P ∨Q. 
b) (P ∨Q) →R. 
c) (P ∧Q) →R. 
d) P. 
e) P ∧Q. 
QG 02. A sentença “Homens e mulheres, ou melhor, todos da 
raça humana são imprevisíveis” é representada corretamente 
pela expressão simbólica (P ᴧ Q) → R. 
 
QG 03. (CESPE)A proposição “A estabilidade econômica é 
dever do Estado e conseqüência do controle rígido da inflação” 
pode ser representada pela sentença lógica P →Q, em que P e 
Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. 
 
QG 04. (CESPE)A representação simbólica correta da 
proposição “O homem é semelhante à mulher assim como o 
rato é semelhante ao elefante” é 
a) P↔Q. b) P. c) P ∧Q. d) P ∨ Q. e)P →Q. 
QG 05. (CESPE) Acerca da proposição R: “A população 
aprende a votar ou haverá novos atos de corrupção”, julgue 
o item seguinte. 
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Se P e Q forem, respectivamente, as proposições “A população 
aprende a votar” e “Haverá novos atos de corrupção”, então a 
proposição R estará corretamente assim simbolizada: P  Q. 
 
QG 06. (CESPE). A expressão “Uma revisão dos pisos salariais 
dos professores assegurará a revolução na educação básica a 
que a sociedade aspira, pois qualquer reforma para melhorar a 
qualidade do ensino deverá passar pela valorização do 
educador” pode ser representada pela sentença lógica P →Q, 
em que P e Q sejam proposições convenientemente escolhidas. 
 
 
QG 07. A sentença “A liberdade é fundamental, mas o homem 
precisa de limites.” pode ser corretamente representada por 
P  S. 
 
QG 08. Se P, Q e R representarem, respectivamente, as 
proposições “O cargo de diretor executivo está vago”, “O titular 
do cargo de diretor executivo está impedido de substituir o 
diretor-geral” e “O presidente da filial brasileira indica o substituto 
interino”, então P  Q→R representará, simbolicamente, a 
proposição “Em caso de vacância do cargo de diretor executivo 
ou de impedimento do titular desse cargo em substituir o diretor-
geral, o presidente da filial brasileira indicará o substituto 
interino”. 
QG 09. (CESPE)A proposição “Se João implica com Maria e 
Maria implica com João, então evidencia-se que a relação entre 
João e Maria é conflituosa” pode ser corretamente 
representada por 
a) ( (P⟹Q)∧(Q⟹P))⟹R. 
b)(P ∧ Q) ⟹ R 
c) (P⟹Q) ∧ R 
d) P 
e) P ∧ Q 
 
1-D 2-F 3-F 4-B 5-F 6-V 7-V 8-V 9-B 10- 
 
10. O NUMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE OU 
NÚMERO DE VALORAÇÃO V OU F DE UMA PROPOSIÇÃO: 
É DADO POR 𝟐𝐧 , ONDE “n” É O NUMERO DE 
PROPOSIÇÕES SIMPLES DISTINTAS. ESSA DEDUÇÃO FOI 
RETIRADA DA POUCO CONHECIDA ARVORE DAS 
POSSIBILIDADES, VAMOS MONTAR A ARVORE COM 
TRÊSRAMOS E VERIFICAR A QUANTIDADE DE GALHOS. 
 
 
 
 
UMA BOA QUESTÃO VEM AI PARA EXPLICAR: 
47. Considerando que, além de A e B,C, D, E e F também sejam 
proposições, não necessariamente todas distintas, e que N seja 
o número de linhas da tabela-verdade da proposição 
[A → (B  C)]  [(D  E) → F], então 2  N  64. 
10.1 CONSTRUÇÕES DE TABELAS-VERDADE. 
11. ALGUNS CASOS PARTICULARES DE: 
 TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por 
duas ou mais proposições é uma tautologia se ela for 
sempre verdadeira, independente da verdade de seus 
termos. 
 
 
a) (p v ¬p) 
b) (p→p) 
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c) (p↔p) 
d)¬ (¬p) ↔p 
e) (p→q) ↔( ¬p v q) 
f) (p→q) ↔(¬q→¬p)( contra-positiva) 
g) ¬ (p^q) ↔ (¬p v ¬q) (Morgan) 
h) ¬(p v q) ↔ (¬p^¬q) (Morgan) 
i) ¬(¬ p) ↔ p 
j) ¬(p→q) ↔ (p ^ ¬q) 
k) ¬(p↔q) ↔ (p↔¬q) 
48.(CESPE) Julgue o item seguinte relacionado à lógica 
proposicional. 
( ) Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será 
verdadeira sempre que os valores lógicos das proposições 
simples que a compõem forem verdadeiras. 
49. (VUNESP – Polícia Civil – 2013) Um enunciado é uma 
tautologia quando não puder ser falso. Assinale a alternativa que 
contém um enunciado que é uma tautologia. 
(A) Está chovendo e não está chovendo. 
(B) Está chovendo. 
(C) Se está chovendo, então não está chovendo. 
(D) Está chovendo ou não está chovendo. 
(E) Não está chovendo. 
 
49.1 Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre 
verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. Um exemplo de tautologia é: 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e 
Guilherme é gordo 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 
 
CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por 
duas ou mais proposições é uma contradição ou 
contraválida se ela for sempre falsa, independente da 
verdade de seus termos. 
 
50. (NCE/UFRJ) A proposição “na copa de 2010 o Brasil será 
hexacampeão E não será hexacampeão”, é um exemplo de: 
(A) Contradição. 
(B) Equivalência. 
(C) Contingência. 
(D) Conjunção. 
(E) Tautologia. 
 
INDETERMINAÇÃO OU CONTINGENCIA: Uma proposição 
composta será uma contingência sempre que não for uma 
tautologia nem uma contradição. 
 
 
BATERIA DE QUESTÕES SOBRE 
TODOS ESSES TEMAS VAMOS LA. 
QG01. O número de linhas da tabela-verdade da proposição (P 
^ Q →R) é inferior a 6. 
 
QG 02. A tabela-verdade da proposição composta 
(P  (¬Q)) → (Q  (¬R)) tem 16 linhas. 
 
QG 02.1 Existem exatamente 8 combinações de valorações das 
proposições simples A, B e C para as quais a proposição 
composta (A B)  (  C) pode ser avaliada, assumindo 
valoração V ou F. 
 
QG 03. Uma tabela verdade de proposições é construída a 
partir do número de seus componentes. Quantas combinações 
possíveis terá a tabela verdade da proposição composta “O dia 
está bonito então vou passear se e somente se o pneu do carro 
estiver cheio.”? 
(A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 12 
 
QG 04. (FCC) Considere o argumento seguinte: 
Se o controle de tributos é eficiente e é exercida a repressão à 
sonegação fiscal, então a arrecadação aumenta. Ou as 
penalidades aos sonegadores não são aplicadas ou o controle 
de tributos é ineficiente. É exercida a repressão à sonegação 
fiscal. Logo, se as penalidades aos sonegadores são aplicadas, 
então a arrecadação aumenta. 
Se para verificar a validade desse argumento for usada uma 
tabela-verdade, qual deverá ser o seu número de linhas? 
a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 64 
(CESPE) Sobre seu conhecimento em relação a tabela verdade, julgue 
os itens a seguir. 
QG 05. Todas as interpretações possíveis para a proposição 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
P v ¬ (P  Q) são V. 
 
QG 06. Não é possível interpretar como V a proposição 
(P → Q)  (P  ¬Q). 
 
 
 
QG 07. Independentemente da valoração V ou F atribuída às 
proposições A e B, é correto concluir que a proposição 
¬(A  B)  (A  B) é sempre V. 
 
 
QG 08. Considerando-se as possíveis valorações V ou F das 
proposições A e B e completando-se as colunas da tabela 
abaixo, se necessário, é correto afirmar que a última coluna 
dessa tabela corresponde à tabela-verdade da proposição 
[A  (¬B)] → [¬(A  B)]. 
 
 
QG 09. (CESPE) Se A e B são proposições simples, então 
completando a tabela-verdade, conclui-se que a proposição 
composta a seguir é uma contingênciaA → (B →A). 
 
 
QG 10. (CESPE) A proposição [¬B]  {[¬B] → A} é uma 
tautologia. 
 
 
 
 
QG 11. A proposição (A  A) → (A  A) é logicamente falsa, 
mas (A  A) → (A  A) é uma tautologia. 
 
QG 12. (CESPE – DEPEN – 2013) Considerando que, P, Q e 
R sejam proposições conhecidas, julgue o próximo item. 
( ) A proposição [(P ˄ Q) → R] v R é uma tautologia, ou seja, ela 
é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de 
P, Q e R. 
 
 
QG 13. (CESPE) A expressão [(P→Q) ∨P] →Q é uma tautologia. 
 
 
QG 14 (CESPE) Uma proposição composta é uma tautologiaquando 
todos os seus valores lógicos são V, independentemente dos valores 
lógicos das proposições simples que a compõem. Então, a proposição 
[A  (A → B)] → B é uma tautologia. 
 
QG 16. A sentença “No palácio Itamaraty há quadros de Portinari 
ou no Palácio Itamaraty não há quadros de Portinari” é uma 
proposição sempre verdadeira. 
 
 
1-V 2-FV 3-D 4-C 5- 6- 7- 8- 9- 10- 
11-V 12- 13- 14- 15- 16-V 17- 18- 19- 20- 
 
PARTE 2. DIAGRAMAS LÓGICOS E SUAS EQUIVALENCIAS. 
 
AGORA AS NEGAÇÕES PESSOAL SE LIGA AI: 
A negação desse tipo de proposição nada mais é que a 
extensão da idéia de negação do conectivo e pois o que 
muita gente marcaria como resposta da negação da 
proposição: todo argentino é bom jogador de futebol seria 
nenhum argentino é bom jogador de futebol, onde a 
resposta correta seria existe um argentino que não é um 
bom jogador de futebol e seguindo o mesmo raciocínio 
notamos que a negação de existe um argentino bom de bola 
será todo argentino é ruim de bola. 
Não esquecer de ficar atentos com as equivalências das 
proposições categóricas que estão no quadro abaixo. 
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MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
 
QG 01) (CESPE) A negação da proposição “Toda pessoa 
pobre é violenta” é equivalente a “Existe alguma pessoa pobre 
que não é violenta”. 
 
QG 02) (CESPE) Considerando que Jorge não seja pobre, mas 
pratique atos violentos, é correto afirmar que Jorge é um contra 
exemplo para a afirmação: “Todo indivíduo pobre pratica atos 
violentos”. 
 
QG 03) (CESPE) Considere que seja verdadeira a seguinte 
proposição: “Se todos os triângulos são isósceles, então existe 
um círculo de raio R”. Nesse caso, também é verdadeira a 
proposição “Se nenhum dos círculos é de raio R, então existe 
um triângulo que não é isósceles”. 
 
QG 04) (CESPE) A negação da proposição “existe um triângulo 
equilátero e não isósceles” pode ser escrita como “todo 
triângulo equilátero é isósceles”. 
 
QG 05) (CESPE) Se A for a proposição “Todos os policiais são 
honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada 
corretamente por “Nenhum policial é honesto”. 
 
QG 06) (CESPE) Considerando a proposição “Nesse processo, 
três réus foram absolvidos e os outros dois prestarão serviços à 
comunidade”, simbolizada na forma A  B, em que A é a 
proposição “Nesse processo, três réus foram absolvidos” e B é 
a proposição “Nesse processo, dois réus prestarão serviços à 
comunidade”, julgue o item seguinte: 
 
A proposição ( A) → A pode ser assim traduzida: Se, nesse 
processo, três réus foram condenados, então três réus foram 
absolvidos. 
 
QG 07) (CESPE) A negação da proposição “Existe banco 
brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares 
investidos” pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro 
fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.” 
 
QG 08) (CESPE) A negação da proposição “As palavras 
mascaram-se” pode ser corretamente expressa pela 
proposição “Nenhuma palavra se mascara”. 
 
QG 09) (CESPE) Considere a proposição “Todos os 
estabelecimentos comerciais devem dispor de lixeira para uso 
público”, retirada do Código Municipal de Posturas da 
Prefeitura Municipal de Teresina. A negação dessa proposição 
é “Existem estabelecimentos comerciais que não dispõem de 
lixeira para uso público”. 
 
QG 10) (CESPE) A negação da proposição “Ninguém aqui é 
brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”. 
 
QG 11) (CESPE) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam 
rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “algum 
beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada 
verdadeira. 
 
1-V 2-F 3-V 4-F 5-F 6-F 7-C 8-F 9-F 10-F 
 
PARTE3. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO OS 
DIAGRAMAS GALERA. 
 
1. Se a proposição “Todo A é B” é verdadeira, então temos duas 
representações possíveis: 
 
2. Se a proposição “Nenhum A é B” é verdadeira, então temos 
somente a representação: 
 
3. Se a proposição “Algum A é B” é verdadeira, temos quatro 
representações possíveis: 
 
4. Se a proposição “Algum A não é B“ é verdadeira, temos três 
representações possíveis: 
 
 
 
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Esse é um caso muito interessante onde podemos mostrar 
claramente uma questão real e outra que nada tem a ver 
com a realidade observem a seguinte questão da ibfc: 
 
60. Todo mafagáfo é um guilherdo e todo guilherdo é um 
rosmedo. Desse modo, é correto afirmar que: 
a) Há mafagáfo que não é rosmedo. 
b) Todo guilherdo é mafagáfo. 
c) Nenhum rosmedo é mafagáfo. 
d) Alguns guilherdos podem ser mafagáfos. 
 
Notamos pessoal que se trocarmos mafagafo por lagartense, 
guilherdo por sergipano e rosmedo por brasileiro não 
precisaríamos dos diagramas para resolver a questão: porem 
notamos que as bancas só estão trazendo questões fora da 
realidade , ou seja, temos que usar os diagramas. 
 
Apos esse pequeno bate papo, quero adiantar-lhes o seguinte: 
use todos os diagramas possíveis em lógica de argumentação 
só teremos um argumento valido se na conclusão não 
encontrarmos nada que comprometa a resposta, ou seja, de 
qualquer forma se montarmos os diagramas corretamente a 
conclusão sempre será a mesma. 
 
QG01. (CESPE) Considere que os diagramas abaixo 
representam conjuntos nomeados pelos seus tipos de 
elementos. Um elemento específico é marcado com um ponto. 
 
O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela 
sentença “Todos os seres humanos são bípedes”. O diagrama 
da direita representa a inclusão descrita pela sentença “Miosótis 
é bípede”. Nessas condições, é correto concluir que “Miosótis é 
um ser humano”. 
 
QG 02. CESPE) Se a proposição Alguns administradores são 
especialistas em recursos humanos for considerada V, então 
a proposição Alguns especialistas em recursos humanos 
são administradores também será V. 
 
QG 03. Considere que as proposições “Alguns flamenguistas 
são vascaínos” e “Nenhum botafoguense é vascaíno” sejam 
valoradas como V. Nesse caso, também será valorada como V 
a seguinte proposição: “Algum flamenguista não é 
botafoguense”. 
 
QG 04. (CESPE) Considere as seguintes proposições. 
A: Nenhum funcionário do MCT é celetista. 
B: Todo funcionário celetista foi aprovado em concurso público. 
C: Nenhum funcionário do MCT foi aprovado em concurso 
público. 
Nesse caso, se A e B são as premissas de um argumento e C é 
a conclusão, então esse argumento é válido. 
 
(CESPE) Considere as seguintes frases. 
I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos. 
II Os cariocas são alegres. 
III Marcelo é empregado da PETROBRAS. 
IV Nenhum indivíduo alegre é rico. 
Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e 
considerando suas implicações, julgue os quatro itens abaixo 
 
QG 05. Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar 
de não serem ricos, são alegres. 
 
QG 06. Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico. 
 
QG 07. Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que 
é carioca. 
 
QG 08. Alguns cariocas são ricos, são empregados da 
PETROBRAS e são alegres. 
 
QG 09.(CESPE). A partir das premissas “Alguns alunos não são 
eleitores” e “Pedro não é eleitor”, é correto concluir que “Pedro é 
aluno”. 
 
1-F 2-V 3-V 4-F 5- 6- 7- 8- 9-F 10- 
 
HORA DE USAR AS CONTRA POSITIVAS E FALAR 
SOBRE TRANSITIVIDADE AINDA CONTINUANDO COM 
ARGUMENTOS VÁLIDOS E INVÁLIDOS : A BANCA DA O 
PONTA PÉ INICIAL. 
Nesse tipo de questão tenho uma maneira particular de 
resolver e espero que vocês gostem, como ja havia 
mencionado anteriormente tenteiencontrar um método que 
não utiliza a tabela verdade para resolver a questão, para 
isso precisamos estar bem afiados com relação aos 
conectivos e principalmente no condicional que é o que 
mais vem figurando nesse tipo de questão. o segredo é o 
seguinte: toda vez que aparecer na questão a idéia do 
condicional faça logo sua contra positiva e organize todas 
as suas premissas em uma única coluna, em seguida faça 
uma caixa de respostas para colocar as conclusões corretas 
e a grande sacada será focar no antecedente pois quando 
este é verdadeiro podemos garantir que o conseqüente 
também será. observem a resolução da seguinte questão: 
 
61. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é 
florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. 
Logo: 
A) o jardim é florido e o gato mia 
B) o jardim é florido e o gato não mia 
C) o jardim não é florido e o gato mia 
D) o jardim não é florido e o gato não mia 
E) se o passarinho canta, então o gato não mia 
 
 
alguém percebeu que deu tudo certo? é sim deu tudo certo as 
vezes a banca examinadora da uma "colher de chá"e trás esse 
tipo de resposta, mas atenção nem sempre é assim, portanto, só 
utilize senso comum quando a banca pedir caso contrario seja 
cético e resolva utilizando as deduções lógicas necessárias. 
Observem estes exemplos e vamos fazer de tudo para entender 
essa nova técnica de enxergar Raciocínio Lógico. 
 
62. Com base na simbologia lógica responda:
 
A) Se ocorre A, então 
B) Se ocorre B, então 
C) Se não ocorre D, então 
 
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63. com base na simbologia responda: 
 
 
A) Não ocorre H, logo 
B) Ocorre A, logo 
C) Não ocorre C, logo 
 
(CESPE) Uma dedução é uma sequência de proposições em 
que algumas são premissas e as demais são conclusões. Uma 
dedução é denominada válida quando tanto as premissas 
quanto as conclusões são verdadeiras. Suponha que as 
seguintes premissas sejam verdadeiras. 
I Se os processos estavam sobre a bandeja, então o juiz os 
analisou. 
II O juiz estava lendo os processos em seu escritório ou ele 
estava lendo os processos na sala de audiências. 
III Se o juiz estava lendo os processos em seu escritório, então 
os processos estavam sobre a mesa. 
IV O juiz não analisou os processos. 
V Se o juiz estava lendo os processos na sala de audiências, 
então os processos estavam sobre a bandeja. 
A partir do texto e das informações e premissas acima, é 
correto afirmar que a proposição 
 
QG 01. “Se o juiz não estava lendo os processos em seu 
escritório, então ele estava lendo os processos na sala de 
audiências” é uma conclusão verdadeira. 
 
QG 02. “Se os processos não estavam sobre a mesa, então o 
juiz estava lendo os processos na sala de audiências” não é 
uma conclusão verdadeira. 
 
QG03. “Os processos não estavam sobre bandeja” é uma 
conclusão verdadeira. 
 
QG 04. “Se o juiz analisou os processos, então ele não esteve 
no escritório” é uma conclusão verdadeira. 
 
QG 05. (CESPE) A sequência de proposições a seguir constitui 
uma dedução correta. 
Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. 
Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. 
Carlos não fracassou na prova de Física. 
Carlos não jogou futebol. 
 
(-CESPE) O sustentáculo da democracia é que todos têm o 
direito de votar e de apresentar a sua candidatura. Mas, 
enganoso é o coração do homem. Falhas administrativas e 
maior tempo no poder andam de mãos dadas. Por isso, todos 
precisam ser fiscalizados. E a alternância no poder é 
imprescindível. Considerando o argumento citado, julgue os 
três itens subsequentes. 
 
QG 06. Esse é um argumento válido. 
 
QG 07. A sentença “Falhas administrativas e maior tempo no 
poder andam de mãos dadas” é uma premissa desse 
argumento. 
 
QG 08. A afirmação “E a alternância no poder é imprescindível” 
é uma premissa desse argumento. 
 
QG 09. (CESPE) Das proposições “Se há corrupção, aumenta-
se a concentração de renda”, “Se aumenta a concentração de 
renda, acentuam-se as desigualdades sociais” e “Se se 
acentuam as desigualdades sociais, os níveis de violência 
crescem” é correto inferir que “Se há corrupção, os níveis de 
violência crescem”. 
 
(CESPE) — Começo de mês é tempo de receber salário. 
— Se as contas chegam, o dinheiro (salário) sai. 
— Se o dinheiro (salário) sai, a conta fica no vermelho muito 
rapidamente. 
— Se a conta fica no vermelho muito rapidamente, então a 
alegria dura pouco. 
— As contas chegam. 
Pressupondo que as premissas apresentadas acima sejam 
verdadeiras e considerando as propriedades gerais dos 
argumentos, julgue os dois itens subsequentes. 
 
QG 10. A afirmação “Começo do mês é tempo de receber 
salário, porém a alegria dura pouco” é uma conclusão válida a 
partir das premissas apresentadas acima. 
 
QG 11. A afirmação “Se as contas chegam, então a alegria 
dura pouco” é uma conclusão válida a partir das premissas 
apresentadas acima. 
 
1-V 2-F 3-V 4-V 5-V 6-F 7-V 8-F 9-V 10-V 
11-V 12- 13- 14- 15- 16- 17- 18- 19- 20- 
 
 
 
Conjuntos em diagramas: A maior parte da questões de 
conjuntos em concursos públicos tem uma certa tendência para 
o diagrama de vann Euller. Vamos observar o esboço resumido 
desse diagrama, detalhe ele pode vir com dois ou três diagramas 
geralmente, em alguns Casos podemos encontrar questões com 
mais de três diagramas. 
 
ESCLARECIMENTO 
 
Região A – Nesta região estão as pessoas que gostam dos 
trêsprodutos1, 2, 3 e caso essa informação seja dada na 
questão ela deve ter prioridade. Essa é a informação chave 
para resolver a questão. 
Região B, C, D – Nestas regiões encontramos pessoas que 
gostam de apenas dois produtos. 
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Região E, F e G, nestas regiões estão as pessoas que gostam 
de apenas um dos produtos. 
Região H – Aqui estão os que não gostam de nenhum dos 
produtos. 
Obs.: Devemos ficar atentos as expressões como: pelo menos 
um dos produtos, pelo menos dois desses produtos, mais de 
dois produtos, somente um produto. 
E observar que as pessoas que gostam somente do produto 1, 
será representado por F, mas em algumas questões 
maliciosas, podemos encontrar as pessoas que gostam do 
produto 1 que no caso é representado por A, D, C e F. 
É bom entender que algumas questões procuram saber quais 
as pessoas que gostam do produto1 e do produto 2 
simultaneamente; neste caso representado por A e C, e das 
pessoas que gostam dos produtos1 ou 2, representados por A, 
B, C, D, G, F, aqui é bom lembrar e fazer uma relação de 
equivalência com os conectivos lógicos e/ou que em conjuntos 
é representado fielmente pelos operadores intersecção / união 
respectivamente. 
 
Ex1. Um bom exemplo: Vamos agora introduzir valores nos 
conjuntos. 
 
Numa pesquisa feita em um supermercado sobre a compra de 
três produtos A, B e C obtivemos as seguintes respostas:: 
 
30 pessoas compraram apenas o produto A 
20 pessoas compraram somente o produto B 
7 pessoas compraram o produto C, mas não compraram A ou B. 
40 pessoas compraram apenas A e B. 
15 pessoas compraram os três produtos. 
70 pessoas compraram somente os produto B e C. 
50 pessoas não compraram nenhum desses produtos. 
60 pessoas compraram apenas os produtos A e C. 
 
 
 
Queremos saber: 
a) quantas pessoas foram entrevistadas 
b) quantas pessoas compraram mais de um produto 
c) quantas pessoas compraram apenas dois produtos 
d) quantas pessoas compraram apenasum dos produtos 
e) quantas pessoas compraram o produto A 
f) quantas pessoas compraram algum desses produtos 
g) quantas pessoas compraram o produto A ou o produto B. 
Ex2 . Um bom exemplo: Vamos agora introduzir valores nos 
conjuntos. 
 
Numa pesquisa feita em um supermercado sobre a compra de 
três produtos A, B e C obtivemos as seguintes respostas:: 
 
80 pessoas compraram o produto A 
120 pessoas compraram o produto B 
110 pessoas compraram o produtos C. 
30 pessoas compraram os produtos A e C 
20 pessoas compraram os produtos A e B 
40 pessoas compraram os produtos B e C. 
10 pessoas compraram os três produtos. 
200 pessoas não compraram nenhum deles. 
 
 
 
Queremos saber: 
a) quantas pessoas foram entrevistadas 
b) quantas pessoas compraram mais de um produto 
c) quantas pessoas compraram apenas dois produtos 
d) quantas pessoas compraram apenas um dos produtos 
e) quantas pessoas compraram o produto A 
f) quantas pessoas compraram algum desses produtos 
g) quantas pessoas compraram o produto A ou o produto B. 
 
(AGENTE DE POLÍCIA FEDERAL/MAIO DE 2012-CESPE) Em 
uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar 
crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o 
tráfico de pessoas — aliciamento de homens, mulheres e 
crianças para exploração sexual — e a pornografia infantil — 
envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades 
sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos 
genitais do menor para fins sexuais. 
Com referência a essa situação hipotética, considere que, após 
a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas 
se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia 
infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois 
crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas 
a certeza de que se tratava de pornografia infantil. Julgue os 
dois itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias 
analisadas. 
 
01) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de 
tráfico de pessoas. 
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02) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados 
que os de pornografia infantil. 
 
(INSPETOR DE POLÍCIA CIVIL DE 1ª CLASSE-PC-
CE/MARÇO DE 2012-CESPE) Dos 420 detentos de um 
presídio, verificou-se que 210 foram condenados por roubo, 140, 
por homicídio e 140, por outros crimes. Verificou-se, também, 
que alguns estavam presos por roubo e homicídio. Acerca dessa 
situação, julgue o item seguinte. 
 
03) Menos de 60 dos detentos estavam presos por terem sido 
condenados por roubo e homicídio. 
 
(ATIVIDADE TÉCNICA DE COMPLEXIDADE GERENCIAL-
GERENTE DE PROJETOS-MEC/OUTUBRO DE 2011-CESPE) 
Um instituto de ensino oferece três cursos profissionalizantes: de 
contabilidade, de informática e de administração. As matrículas 
dos alunos desse instituto estão assim distribuídas: 100 em 
contabilidade, 70 em informática, 55 em administração, 30 em 
contabilidade e informática e 25 em informática e administração. 
Com base nessas informações e sabendo que nenhum aluno 
está matriculado, ao mesmo tempo, nos cursos de contabilidade 
e administração, julgue os três itens que se seguem. 
 
04) A quantidade de alunos matriculados apenas no curso de 
administração é igual ao dobro da de alunos matriculados 
apenas em informática. 
 
05) Se 15 alunos matriculados apenas em contabilidade 
trocarem de curso e se matricularem apenas em administração 
e se 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se 
matricularem também em informática, então informática será o 
curso com o maior número de alunos matriculados. 
 
06) O instituto possui mais de 200 alunos matriculados nos três 
cursos. 
 
(TÉCNICO JUDICIÁRIO-ÁREA: ADMINISTRATIVA-TRT 21ª 
REGIÃO/OUTUBRO DE 2010-CESPE) Considere que todos os 
80 alunos de uma classe foram levados para um piquenique em 
que foram servidos salada, cachorro-quente e frutas. Entre 
esses alunos, 42 comeram salada e 50 comeram frutas. Além 
disso, 27 alunos comeram cachorro-quente e salada, 22 
comeram salada e frutas, 38 comeram cachorro-quente e frutas 
e 15 comeram os três alimentos. Sabendo que cada um dos 80 
alunos comeu pelo menos um dos três alimentos, julgue os 
próximos quatro itens. 
 
07) Dez alunos comeram somente salada. 
 
08) Cinco alunos comeram somente frutas. 
 
09) Sessenta alunos comeram cachorro-quente. 
 
10) Quinze alunos comeram somente cachorro-quente. 
 
11) (ANALISTA JUDICIÁRIO-TRT 17ª REGIÃO/ABRIL DE 
2009-CESPE) Se, de um grupo de pessoas formado por 15 
graduados em direito, 12 graduados em arquitetura e 11 
graduados em estatística, 5 forem graduados em direito e 
estatística; 8, em direito e arquitetura; 4, em arquitetura e 
estatística; e 3, em direito, arquitetura e estatística, então, nesse 
grupo, haverá mais de 5 pessoas graduadas somente em direito. 
 
(TECNOLOGISTA JÚNIOR-MCT/NOVEMBRO DE 2008-
CESPE) Todos os 600 candidatos inscritos em determinado 
concurso usaram as apostilas A, B e C para se preparar. Sabe-
se que 290 candidatos usaram a apostila A, 330 usaram a 
apostila B, 290 usaram a apostila C, 135 usaram as apostilas A 
e B, 90 usaram as apostilas A e C, 150 usaram as apostilas B e 
C e 65 usaram as 3 apostilas. Nesse caso, é correto afirmar que 
 
12) mais de 140 candidatos usaram apenas a apostila A. 
 
13) menos de 135 candidatos usaram a apostila C mas não 
usaram a apostila B. 
 
(ANALISTA JUDICIÁRIO-TRT 5ª REGIÃO/NOVEMBRO DE 
2008-CESPE) Em uma universidade, setorizada por cursos, os 
alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos 
para integralização de seus currículos. Por solicitação da 
diretoria, o secretário do curso de Matemática informou que, dos 
200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de 
Física; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Química; 32, 
dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e 
Física; 16, dos cursos de Biologia e Química; e 8 cursam 
disciplinas desses três cursos. O secretário informou, ainda, que 
essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática. 
Com relação a essa situação, julgue os dois itens seguintes. 
 
14) Se as informações do secretário acerca das matrículas dos 
alunos em disciplinas estiverem corretas, então, dos alunos que 
cursam disciplinas de apenas um desses cursos, a maior 
concentração de alunos estará no curso de Física. 
15) De acordo com os dados da situação em apreço, as 
informações do secretário estão realmente corretas. 
 
(TÉCNICO JUDICIÁRIO-TRT 5ª REGIÃO/NOVEMBRO DE 
2008-CESPE) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos 
estudam inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos 
estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. 
Com base nessa situação, julgue os cinco itens que se seguem. 
16) Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 
alunos estudam somente inglês. 
 
17) Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol 
e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando 
inglês do que espanhol. 
 
18) Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês 
e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando 
somente inglês do que espanhol. 
 
(TÉCNICO JUDICIÁRIO-STF/JULHO DE 2008-CESPE) Uma 
pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 
40 possuíam o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 
20 possuíam somente o título de mestre e não eram professores 
universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram 
professores universitários, 15 possuíam somente o título de 
doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os 
títulos de mestre e doutor e não eram professores universitários. 
Com base nessas informações, julgue os dois próximos itens. 
 
19) Menos de 50 desses juízespossuem o título de doutor ou de 
mestre mas não são professores universitários. 
 
20) Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor 
e são professores universitários. 
 
21) (ANALISTA MINISTERIAL-MPE-TO/AGOSTO DE 2006-
CESPE) Uma empresa possui 13 postos de trabalho para 
técnicos em contabilidade, 10 para técnicos em sistemas 
operacionais e 12 para técnicos em eletrônica. Alguns técnicos 
ocupam mais de um posto de trabalho, isto é, 4 são técnicos em 
contabilidade e em sistemas operacionais, 5 são técnicos em 
sistemas operacionais e em eletrônica e 3 possuem todas as três 
especialidades. Nessas condições, se há 22 técnicos nessa 
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empresa, então 7 deles são técnicos em contabilidade e em 
eletrônica. 
 
(ANALISTA SISTEMAS DE INFORMAÇÃO-PRODEST/JUNHO 
DE 2006-CESPE) O setor jurídico de uma instituição pública 
possui 25 funcionários. Desses, 15 atuam na área de direito civil, 
9, na área de direito penal e 13, na de direito do trabalho. Sabe-
se que há interseções nas áreas de atuação, sendo que 4 
desses funcionários atuam nas áreas de direito civil e penal, 8, 
nas áreas de direito civil e do trabalho, 4, nas áreas de direito 
penal e do trabalho. Sabe-se, ainda, que 22 funcionários atuam 
em pelo menos uma das três áreas. A respeito dessa situação, 
julgue os quatro itens seguintes. 
 
22) Mais de 4 desses funcionários não atuam em nenhuma das 
áreas citadas. 
 
23) Menos de 5 desses funcionários atuam em todas as áreas 
citadas. 
 
(TÉCNICO JUDICIÁRIO-STM/NOVEMBRO DE 2004-CESPE) 
Uma organização contratou convênios com um plano de saúde, 
um plano de previdência privada e uma seguradora de veículos 
para adesão voluntária de seus 5.350 empregados. Sabe-se que 
as adesões ficaram assim distribuídas: 
• 870 aderiram ao plano de saúde e ao seguro de veículos; 
• 580 aderiram ao seguro de veículos e ao plano de previdência; 
• 1.230 aderiram aos planos de saúde e de previdência; 
• 320 aderiram apenas ao seguro de veículos; 
• 2.280 aderiram ao plano de previdência; 
• 350 aderiram às três modalidades de convênio; 
• 280 não aderiram a nenhum convênio. 
Com base nessa situação, julgue os quatro itens seguintes. 
24) Mais de 2.000 empregados aderiram apenas ao plano de 
saúde. 
 
25) O número de empregados que aderiram apenas aos planos 
de saúde e de previdência foi 850. 
 
26) O número de empregados que aderiram a apenas duas 
modalidades de convênios foi inferior a 1.650. 
 
27) Menos de 900 empregados aderiram apenas ao plano de 
previdência. 
01- C 02- E 03- E 04- C 05- E 06- E 07-E 08- C 
09- C 10- E 11- E 12- E 13- E 14- E 15-E 16- E 
17- C 18- E 19- C 20- C 21- C 22- E 23-C 24- E 
25- E 26- C 27- C 
 
8. COMBINATORIA 
 
 
PRINCIPIO FUNDAMENTALDA CONTAGEM: o cenário 
completo pode conter diversas alternativas para chegarmos a 
uma conclusão final, esse principio separa cada cenário e cada 
parte é multiplicada para que se chegue ao calculo final. 
PRINCIPIO FUNDAMENTALDA CONTAGEM: se um evento é 
composto de duas etapas sucessivas e independentes de tal 
maneira que o numero de possibilidades na 1° etapa é m e 
para cada possibilidade da 1° etapa o numero de 
possibilidades na 2° etapa é n, então o numero total de 
possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m x n. 
OBS: O produto dos números de possibilidades vale para 
qualquer numero de etapas independentes. 
01. Considere a seguinte situação hipotética. 
Um trabalhador dispõe de 3 linhas de ônibus para ir 
de sua casa até o terminal de ônibus no centro da 
cidade e, a partir daí, ele dispõe de 5 linhas de 
ônibus para chegar ao seu local de trabalho. 
Nessa situação, considerando-se que o trabalhador 
possua as mesmas opções para fazer o percurso de 
retorno do trabalho para casa e entendendo-se um 
trajeto de ida e volta ao trabalho desse trabalhador 
como uma escolha de quatro linhas de ônibus — de 
sua casa ao centro, do centro ao trabalho, do 
trabalho ao centro e do centro de volta para casa —, 
então o trabalhador dispõe de, no máximo, 30 
escolhas distintas para o seu trajeto de ida e volta ao 
trabalho. 
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES é uma técnica combinatória utilizada 
quando desejamos contar as possibilidades de formação de 
uma fila ou seqüência em que não há repetição de elementos e 
todos esses elementos são utilizados no problema. Pn = n! 
 
Suponha que tenhamos 7pessoas em uma fila incluindo 
Oliveira, Luciano e Marcela.julgue os itens 
01. o total de maneiras diferentes dessas pessoas trocarem de 
posição é 120. 
02. se Luciano e oliveira não se separam para nada então o 
total de maneiras diferentes paras essas pessoas permutarem 
de posições será 80. 
03. se agora os três não se separam o total de permutas passa 
a ser 50. 
04. Caso o servidor responsável pela guarda de processos de 
determinado órgão tenha de organizar, em uma estante com 5 
prateleiras, 3 processos referentes a cidades da região 
Nordeste, 3 da região Norte, 2 da região Sul, 2 da região 
Centro-Oeste e 1 da região Sudeste, de modo que processos 
de regiões distintas fiquem em prateleiras distintas, então esse 
servidor terá 17.280 maneiras distintas para organizar esses 
processos. 
PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO: É o número de 
permutações de n objetos onde há a repetição de um ou mais 
elementos. Para ser mais objetivo, o primeiro elemento repete-
se 1 vezes, o segundo elemento repete-se 2 vezes, ..., o k-
ésimo elemento repete-se k vezes. 
 
01. A quantidade de anagramas distintas que podem ser 
formadas com as 7 letras da palavra REPETIR é igual a 720. 
 
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02. A quantidade de permutações distintas que podem ser 
formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que 
começam e terminam com R, é superior a 310. 
 
03. Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 
letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as 
repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece 
é igual a 6. 
 
ARRANJOS: É o caso em que escolhemos alguns elementos 
de um grupo sabendo que eles possuirão funções diferentes, 
ou seja, o subgrupo ABC será diferente do subgrupo BCA. 
Utilizando exemplos temos que escolher em um grupo de dez 
pessoas, três deles, de modo que tenhamos um para ser o 
goleiro, outro para a lateral esquerda e o terceiro para ser 
lateral direito. 
 Para usar o Arranjo é necessário que não haja repetição 
dos elementos dentro do grupo a ser formado, e a ordem 
dos elementos deve ser relevante, ou seja: 
1º Passo) Criaremos um resultado possível para o grupo; 
2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que 
acabamos de criar (no 1º passo); 
3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão 
diante de nós (1º e 2º passos): Se forem resultados 
diferentes: resolveremos a questão por Arranjo! 
 
 
COMBINAÇÕES: Combinação simples é uma ferramenta 
combinatória utilizada quando desejamos contar as 
possibilidades de formação de um subgrupo de elementos a 
partir de um grupo dado. Em outras palavras se possuirmos um 
Conjunto de elementos, desejamos contar as possibilidades de 
formação de um subconjunto formado a partir do conjunto 
dado. 
É crucial nessa altura notar que quando formamos um 
subconjunto a partir de um conjunto dado, não estamos 
formando filas. Dessa maneira, quando se ver diante de um 
problema desse tipo, não devemos utilizar qualquer ferramenta 
que forme ordem entre os elementosem questão. Se por 
ventura forem formadas filas e não grupos (conjuntos) haverá 
uma contagem excessiva o que irá descaracterizar a 
combinação. Aqui temos um subgrupo de três elementos por 
exemplo, em que ABC será exatamente igual BCA. Como por 
exemplo posso escolher o sd Julio Cesar, o ten Queiroz e o sd 
ralbert para levar um saco de batas na praça do Gomes. 
 
01. Com as letras da palavra TROCAS é possível construir 
mais de 300 pares distintos de letras. 
9. TEORIA DE PROBABILIDADES 
 
 
 
Onde: 
() → probabilidade de ocorrer o evento E. 
n(E) → número de casos possíveis do evento E. 
n() → número de elementos do espaço amostral. 
 
 
 
A partir da tabela acima e considerando a escolha, ao acaso, de uma 
pessoa entre as 900 que participaram da referida pesquisa, julgue os 
itens subseqüentes. 
01. A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade 
é inferior a 0,3. 
 
02. A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais 
de 50 anos de idade é superior a 30%. 
 
03. A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade 
é inferior a 0,52. 
 
04. A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade, 
sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5. 
 
Em um concurso público, registrou-se a inscrição de 100 candidatos. 
Sabe-se que 30 desses candidatos inscreveram-se para o cargo de 
escriturário, 20, para o cargo de auxiliar administrativo, e apenas 10 
candidatos se inscreveram para os dois cargos. Os demais candidatos 
inscreveram-se em outros cargos. 
Julgue os itens a seguir, considerando que um candidato seja escolhido 
aleatoriamente nesse conjunto de 100 pessoas. 
 
05. A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao 
cargo de auxiliar administrativo é superior a 20%. 
 
06. A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao 
cargo de escriturário ou ao cargo de auxiliar administrativo é igual a 
40%. 
 
Para formar-se um anagrama, permitam-se as letras 
de uma palavra, obtendo-se ou não uma outra 
palavra conhecida. 
Por exemplo, VROAL é um anagrama da palavra 
VALOR. 
Com base nessas informações, julgue os próximos 
itens, relacionados aos anagramas que podem ser 
obtidos a partir da palavra VALOR. 
 
01. (CESPE) O número de anagramas distintos é inferior 
a 100. 
 
02. (CESPE) O número de anagramas distintos que 
começam com VL é igual a 6. 
 
http://www.pontodosconcursos.net/
http://www.pontodosconcursos.net/
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www.pontodosconcursos.net 19 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
03. (CESPE) O número de anagramas distintos que 
começam e terminam com vogal é superior a 15. 
 
04. (CESPE) O número de anagramas distintos que 
começam com vogal e terminam com consoante é 
superior a 44. 
 
Em um escritório, trabalham 4 digitadores, que 
recebem salário de R$800,00 cada, 3 assistentes, 
com salário de R$1.200,00 cada, 2 analistas, com 
salário de R$2.000,00 cada e 1 consultor, com salário 
de R$3.500,00. Admitindo que cada um desses 
profissionais exerça apenas a sua função, julgue os 
itens seguintes. 
 
05. (CESPE) Escolhendo-se aleatoriamente dois 
empregados desse escritório, a probabilidade de o 
primeiro ser digitador e de o segundo ser analista é igual 
a 0,08. 
 
Considere que em um escritório trabalham 11 
pessoas: 3 possuem nível superior, 6 têm nível 
médio e 2 são de nível fundamental. 
Será formada, com esses empregados, uma equipe 
de 4 elementos para realizar um trabalho de 
pesquisa. 
Com base nessas informações, julgue os itens 
seguintes, acerca dessa equipe. 
 
06. (CESPE) Se essa equipe for formada somente 
escolhendo os empregados entre os de nível médio e 
fundamental, então essa equipe poderá ser formada de 
mais de 60 maneiras distintas. 
 
07. (CESPE) Se essa equipe incluir todos os 
empregados de nível fundamental, então essa equipe 
poderá ser formada de mais de 40 maneiras distintas. 
 
08. (CESPE) Formando-se a equipe com dois 
empregados de nível médio e dois de nível superior, 
então essa equipe poderá ser formada de, no máximo, 
40 maneiras distintas. 
 
09. (CESPE) Se a equipe for formada escolhendo-se as 
pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de 
que essa equipe contenha todos os empregados de nível 
superior será inferior a 0,03. 
 
10. (CESPE) Se a equipe for formada escolhendo-se as 
pessoas de maneira aleatória, então a probabilidade de 
que essa equipe contenha pelo menos uma pessoa de 
nível fundamental será inferior a 0,55. 
 
Em um concurso público promovido pela prefeitura 
de uma capital brasileira, foram aprovados 11 
candidatos, dos quais 5 são naturais do Espírito 
Santo, 4 de Minas Gerais e 2 de São Paulo. Entre 
estes, três serão relacionados para atendimento 
exclusivo ao prefeito e seu secretariado. 
Acerca da situação hipotética acima, é correto 
afirmar que o número de maneiras distintas de 
selecionar os três servidores que irão atender ao 
prefeito e a seu secretariado de forma que 
 
11. (CESPE) Os dois servidores paulistas estejam entre 
eles é igual a 11. 
 
12. (CESPE) Todos sejam naturais do Espírito Santo é 
igual a 10. 
 
13. (CESPE) Nenhum deles seja do Espírito Santo é 
igual a 20. 
 
14. (CESPE) Um seja capixaba, um mineiro e um 
paulista é igual a 30. 
 
Julgue os próximos itens, relativos à análise 
combinatória e probabilidades. 
 
15. (CESPE) Considere que um operador de 
computadores precise organizar uma biblioteca de 
programas de acordo com as tarefas que esses 
programas executa. Há 4 programas que executam a 
tarefa I, há 5 programas que executam a tarefa II e há 3 
programas que executam a tarefa III. O operador deve 
colocar programas que realizam as mesmas tarefas em 
uma mesma prateleira. Nessas condições, é correto 
afirmar que o número de maneiras de organizar esses 
programas é inferior a 105. 
 
16. (CESPE) Considere que uma rede de computadores 
foi projetada com 48 nós, indexados de 1 a 48. Em 
determinado momento, ocorreu uma falha em 
exatamente dois desses nós, mas poderia ter ocorrido 
em qualquer dos nós. Nessa situação, o número de 
pares de nós possíveis em que essa falha poderia ter 
ocorrido é superior a 1.000. 
 
Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações 
trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 
3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz 
selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos 
para serem analisados. Com base nessas 
informações, julgue os itens a seguir. 
 
17. (CESPE) A probabilidade de que, nesse grupo, todos 
os processos sejam de bancários é inferior a 0,005. 
 
18. (CESPE) As chances de que, nesse grupo, pelo 
menos um dos processos seja de professor é superior a 
80%. 
 
19. (CESPE) O número de possíveis grupos contendo 1 
processo de professor, 1 de bancário e 1 de médico é 
inferior a 55. 
 
Para uma investigação a ser feita pela Polícia 
Federal, será necessária uma equipe com 5 agentes. 
Para formar essa equipe, a coordenação da operação 
dispõe de 29 agentes, sendo 9 da superintendência 
regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo 
e 12 da regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe, 
todos os agentes terão atribuições semelhantes, de 
http://www.pontodosconcursos.net/
http://www.pontodosconcursos.net/
http://www.pontodosconcursos.net/
 
www.pontodosconcursos.net 20 (79) 3246 2418 / 3302 0022 
 
MATEMÁTICA – RAUL PEREIRA 
 
 
modo que a ordem de escolha dos agentes não será 
relevante. 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens 
seguintes. 
 
20. (CESPE) Poderão ser formadas, no máximo, 19 x 14 
x 13 x 7 x 5 x 3 equipes distintas. 
 
21. (CESPE) Se a equipe deve conter exatamente 2 
agentes da regional do Rio de Janeiro, o número máximo 
de equipes distintas que