LIVRO FGV

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ÍNDICE 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO/MATEMÁTICO 
 
1. Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e predicados....................02 
 
1.1 Conectivos..............................................................................................................................................04 
1.2 Negações de Conectivos........................................................................................................................10 
1.3 Classificação da tabela-verdade.............................................................................................................15 
1.4 Equivalências Lógicas Notáveis............................................................................................................16 
1.5 Quantificadores (todo, algum e nenhum) ..............................................................................................21 
1.6 Argumentos............................................................................................................................................25 
 
2. Conjuntos e suas operações, diagramas...............................................................................................33 
 
3. Números inteiros, racionais e reais e suas operações..........................................................................39 
 
4. Porcentagem...........................................................................................................................................43 
 
5. Proporcionalidade direta e inversa......................................................................................................48 
 
5.1 Razão e Proporção.................................................................................................................................48 
5.2 Regra de Três.........................................................................................................................................52 
5.3 Divisão Proporcional..............................................................................................................................55 
 
6. Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo...................................................................59 
 
7. Lógica Sequencial (Estrutura Lógica entre pessoas...) ......................................................................62 
 
7.1 Principais Macetes.................................................................................................................................62 
7.2 Sequências com números, figuras, palavras..........................................................................................66 
7.3 Problemas Matriciais (correlacionamento)............................................................................................73 
7.4 Problemas envolvendo mesas................................................................................................................75 
7.6 Apenas uma verdade (mentira)..............................................................................................................77 
 
8. Problemas de contagem (Análise Combinatória) ...............................................................................83 
 
9. Noções de probabilidade .......................................................................................................................91 
 
10. Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, proporcionalidade, 
perímetro e área.........................................................................................................................................97 
 
11. Noções de estatística: média, moda, mediana e desvio padrão........................................................105 
 
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 LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/GUIkwTSgDQM 
 
ATENÇÃO: Para ser bem sucedido no estudo 
desse assunto, basta não interpretar o texto, nem 
fazer juízo de valores das proposições dadas e 
focar nos conectivos e "comandos" que 
estudaremos ao longo desse curso. A nossa 
preocupação será com a forma e não com o texto. 
 
PROPOSIÇÃO 
 
Entende-se por proposição todo conjunto de 
palavras ou símbolos que exprimem um 
pensamento de sentido completo, isto é, que 
afirmam fatos ou exprimam juízos a respeito de 
determinados entes. 
 
Uma proposição pode ser classificada ou 
verdadeira ou falsa. Quando é verdadeira, 
atribuímos-lhes o valor lógico V; quando é falsa, 
o valor lógico F. 
 
Axioma: sempre será possível atribuir um valor 
lógico, ou V ou F, a uma proposição, conforme 
ela seja verdadeira ou falsa. 
 
EXEMPLOS 
 
1. “Sete mais dois é igual a nove” – é uma 
declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. 
2. “Sete mais dois é igual a quinze” – é uma 
declaração (afirmativa); portanto, uma 
proposição. 
3. “Brasília não é a capital do Brasil” – é uma 
declaração (negativa); portanto uma proposição. 
4. “O dobro de cinco é dez?” – é uma pergunta, e 
não uma declaração. Portanto, não é uma 
proposição. 
5. “Rodrigo, vá estudar sua lição” – é uma 
sentença imperativa, e não uma declaração. 
Portanto, não é uma proposição. 
6. “x é um número impar “ - É uma expressão que 
representa uma sentença aberta, pois não sabemos 
o valor de x. 
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA 
LÓGICA 
 
Princípio da Não contradição 
 
Uma proposição não pode ser simultaneamente 
verdadeira e falsa. 
 
Princípio do Terceiro Excluído 
 
Toda proposição ou é só verdadeira ou é só falsa, 
nunca ocorrendo um terceiro caso. 
 
Princípio da Identidade: 
 
O princípio de identidade é auto evidente e 
determina que uma proposição é sempre igual a 
ela. Disso pode-se afirmar que A=A. 
 
PROPOSIÇÕES SIMPLES E 
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
Proposição simples: como o próprio nome 
indica, é uma proposição única, isolada. 
 
EXEMPLO: 
 
"Lógica é fácil." 
 
Proposição composta: quando formada por duas 
ou mais proposições, ligadas entre si por 
conectivos operacionais, os quais estudaremos 
detalhadamente no item “Operações com 
proposições”. Serão indicadas por letras 
maiúsculas do nosso alfabeto. 
 
Notação: P (p, q, r, ...) indica que a proposição 
composta P é formada pelas proposições simples 
p, q, r, ... 
 
EXEMPLOS 
 
“Brasília é a capital do Brasil e Lima é a capital 
do Peru.” 
“3 + 5 = 8 ou 5 + 7 = 12” 
“ Se 5 + 2 = 7 então 5 = 7 – 2” 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
EXEMPLOS 
 
01. (CESPE) 
 
Há duas proposições no seguinte conjunto de 
sentenças: 
 
(I) O BB foi criado em 1980. 
(II) Faça seu trabalho corretamente. 
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. 
 
(CESPE 2014) Julgue o item a seguir, 
relacionado à lógica proposicional. 
 
02. A sentença “A crença em uma justiça divina, 
imparcial, incorruptível e infalível é lenitivo para 
muitos que desconhecem os caminhos para a 
busca de seus direitos, assegurados na 
Constituição” é uma proposição lógica simples. 
 
 
REPRESENTAÇÃO LITERAL DAS 
PROPOSIÇÕES 
 
Neste trabalho, representaremos uma proposição 
simples qualquer por uma letra minúscula, 
preferindo p, q, r e s. 
 
 
TABELA VERDADE 
 
É uma forma usual de representação das regras da 
Álgebra das Proposições. Nela, é representada 
cada proposição (simples ou composta) e todos os 
seus valores lógicos possíveis. 
 
EXEMPLOS 
 
p 
V 
F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NÚMERO DE LINHAS: 2n 
 
n representa o número de proposições 
 
 
EXEMPLO 
 
(FUNCAB 2014) Determine o número de linhas 
da tabela-verdade da proposição: “Se trabalho e 
estudo matemática, então canso, mas não desisto 
ou não estudo matemática”. 
 
a) 4 
b) 16 
c) 8 
d) 64 
e) 32 
 
 
PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES 
(Símbolo ) 
 
São proposições cujas tabelas-verdade são iguais. 
Exemplos irão sendo dados no decorres das 
explicações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
 
 
4 
 
 
 CONECTIVOS 
 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/ok9WmFOsPQE 
 
A lógica proposicional permite operar a 
construção de equivalências e negações de 
proposições compostas de maneira objetiva e 
única. Para tal se divide a proposição composta 
em proposições elementares e então se opera com 
os conectivos, e demais operações lógicas como 
a negação ou a precedência, de maneira única 
seguindo regras formais (logicamente 
consistentes e demonstradas verdadeiras, por 
exemplo a partir da sua verificação nas tabelas-
verdade). Assim como na Álgebra tradicional 
existem as operações com números (adição, 
subtração, etc.), na Álgebra das proposições 
existem operações com as proposições. 
 
01. NEGAÇÃO: Não p (Representação: ~ p) 
 
Uma proposição é a negação de outra quando: se 
uma for verdadeira, então a outra é 
obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, então a 
outra é obrigatoriamente verdadeira. 
 
Observação: às vezes, uma proposição contradiz 
a outra, sem ser uma negação. 
 
EXEMPLO: “Este lápis é branco” contradiz, mas 
não é a negação de “Este lápis é azul”, porque a 
negação desta (“Este lápis não é azul”) não obriga 
que a cor do lápis seja branca. Poderia ser de 
qualquer outra cor, diferente das citadas. 
 
EXEMPLOS 
1. “Mario gosta de mamão” 
 “Mario não gosta de mamão” 
 “Não é verdade que Mario gosta de mamão.” 
 
2. “Paulo não é primo de André.” 
 “Paulo é primo de André.” 
 
3. “n é um número par” 
 “n é um número ímpar” 
 
OBSERVAÇÃO: Este assunto será aprofundado 
nas aulas seguintes. 
02. DISJUNÇÃO: p ou q 
 
(Representação: p  q) 
 
Dadas duas proposições p e q, chama-se 
“disjunção de p e q” a proposição “p q” (lê – 
se “p ou q”). A disjunção p q será verdadeira 
se pelo menos uma das proposições (p ou q) for 
verdadeira, e será falsa apenas no caso em que 
duas ( p e q) forem falsas. 
 
 Tabela – Verdade 
 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
MACETE: 
 
 
 
 
TREINO: 
 
Tomando por base as proposições: 
1. p: “ 5 é um número par” 
2. q: “Brasília é a capital do Brasil” 
3. r:”x é divisível por 7” 
 
 
 
p q r p  q p  r q r p  q r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/ok9WmFOsPQE
 
 
 
5 
 
 
03. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: Ou p ou q 
 
Representação: p V q 
 
Dadas duas proposições p e q, chama-se 
“disjunção exclusiva de p e q” a proposição “p V 
q” (lê-se ou “p ou q”).Só será verdadeira se as 
proposições envolvidas na operação tiverem 
valores lógicos contrários. Se tiverem o mesmo 
valor lógico, a proposição resultante da disjunção 
exclusiva será falsa. 
 
Transmite uma ideia de exclusão, isto é, 
conjuntos disjuntos (sem elementos comuns). 
 
EXEMPLO: Ou Dora é baiana ou Dora é 
paraibana. 
 
 Tabela – Verdade 
 
p q p V q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
MACETE: 
 
 
 
 
 
TREINO: 
 
Tomando por base as proposições: 
1. p: “ 5 é um número par” 
2. q: “Brasília é a capital do Brasil”. 
3. r:”x é divisível por 7” 
 
 
p q r p V q p V r q V r p V q V r 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. CONJUNÇÃO: p e q 
 
Representação: p q 
 
Dadas duas proposições p e q, chama-se 
conjunção de p e q a proposição “p q”. 
(lê-se: p e q). A conjunção p q será verdadeira 
quando p e q forem ambas verdadeiras: e será 
falsa nos outros casos. 
 Tabela – Verdade 
 
p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
MACETE: 
 
 
TREINO: 
 
Tomando por base as proposições: 
1. p: “5 é um número par” 
2. q: “Brasília é a capital do Brasil”. 
3. r: ”x é divisível por 7” 
 
p q r p  q p  r q r p  q r 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
Vamos analisar os exemplos abaixo: 
 
a) (CESPE) Premissa 1: Eu não sou traficante, 
eu sou usuário; 
Se P e Q representam, respectivamente, as 
proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou 
usuário”, então a premissa 1 estará corretamente 
representada por P Ʌ Q. 
 
 
b) (CESPE 2014) “Não basta à mulher de César 
ser honesta, ela precisa parecer honesta” 
 
 
c) Não estudo nem trabalho. 
 
 
 
 
 
6 
 
 
05. CONDICIONAL: Se p então q 
 
Representação: p →q 
 
Dadas duas proposições p e q, a proposição “se p, 
então q”, que será indicada por “p→ q”, é 
chamada de condicional. A proposição 
condicional p → q será falsa quando p for 
verdadeira e q falsa; e será verdadeira nos outros 
casos. 
A primeira proposição (p) é chamada de 
antecedente ou hipótese; a segunda (q) de 
consequente. 
 
Exemplo: 
 
“SE o carro for barato, ENTÃO Fernando o 
comprará” ou, em outras palavras: 
“Fernando comprará o carro, SE o carro for 
barato.” 
 
A mesma proposição pode apresentar formas de 
dizer diferentes: 
 
1. “O carro ser barato é condição SUFICIENTE 
para Fernando comprá-lo” 
 
2. “Fernando comprar é condição NECESSÁRIA 
para o carro ser barato.”. 
3. “O carro será barato SOMENTE SE Fernando 
o comprar.”. 
 
OBS. : p é um subconjunto de q 
 
Exemplo explicativo informal: 
 
Você prometeu a seu filho Rodrigo: 
“SE você lavar o carro, ENTÃO eu o empresto a 
você.” 
Analisar este exemplo. 
 
 Tabela – Verdade 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
 
CASO 1: CONTRAPOSTIVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASO 2: VERA FICHER É FAMOSA!!! 
 
 
 
 
 
 
 
CASO 03: VERA FICHER É SEM NOÇÃO 
 
EXEMPLO: 
 
“SE estudo com W.A. ENTÃO aprendo 
Matemática” ou, em outras palavras: 
 
A mesma proposição pode apresentar formas de 
dizer diferentes: 
 
1. “Estudar com W.A. é condição SUFICIENTE 
para aprender Matemática” 
2. “Aprender Matemática é condição 
NECESSÁRIA para estudar com W.A. ”. 
3. “Estudo com W.A. SOMENTE SE aprendo 
Matemática” 
 
 
 
CASO 04: Frases que devem ser 
transformadas em condicional 
 
p: Quando acredito que estou certo, não me 
importo com a opinião dos outros. 
 
q: Vou ao mercado , se preciso comprar frutas 
 
r: Quem doa sangue, doa vida 
 
s: Penso, logo existo. 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
06. BICONDICIONAL: Se p então q e se q 
então p 
 
Representação: p q 
 
Dadas duas proposições p e q, a proposição “p se, 
e somente se, q”, que será indicada por “p  q”, 
é chamada de bicondicional. A proposição 
bicondicional p q será verdadeira quando p e q 
forem ambas verdadeiras ou ambas falsas; e será 
falsa nos demais casos. 
✓ Transmite ideia de Reciprocidade. 
✓ Condicional em dose dupla. 
✓ "Toma lá da cá". 
 
 Tabela – Verdade 
 
p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
MACETE: 
 
OBS.:A bicondicional representa uma igualdade 
de conjuntos, logo todo elemento de A é elemento 
de B, sendo A= B. 
 
Outro exemplo: 
“ Você lavar o carro é condição necessária e 
suficiente para eu o emprestar a você.” 
 
ou: 
 
“Você lava o carro se somente se eu o emprestar 
a você”. 
 
1) Você lava o carro →Eu o empresto a você. 
 
2) Você não lava o carro →Eu não o empresto a 
você. 
 
3) Eu empresto o carro a você →Você lava o 
carro. 
 
4) Eu não empresto o carro a você →Você não 
lava o carro. 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO 
CONECTIVOS: 
 
01. (ESAF 2014) Assinale a opção que apresenta 
valor lógico falso. 
 
a) 23 = 8 e 1 + 4 = 5. 
b) Se, 38 = , então 6 ÷ 2 = 3. 
c) Ou 3 – 1 = 2 ou 5 + 2 = 8. 
d) Se 7 – 2 = 5, então 5 + 1 = 7. 
e) 32 = 9 se, e somente se, 28
3 = . 
 
02. (FCC) Dadas as proposições simples p e q, 
tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as 
seguintes proposições compostas: 
 
(1) p  q ; (2) ~p → q ; 
(3) ~(p  ~q) ;(4) ~(p  q) 
 
Quantas dessas proposições compostas são 
verdadeiras? 
 
a) Nenhuma. 
b) Apenas uma. 
c) Apenas duas. 
d) Apenas três. 
e) Quatro. 
 
03. (IBFC 2014) Dentre as afirmações, a única 
incorreta é: 
 
a) se os valores lógicos de duas proposições são 
falsos então o valor lógico do condicional entre 
elas é falso. 
b) se o valor lógico de uma proposição é falso e o 
valor lógico de outra proposição é verdade, então 
o valor lógico da conjunção entre elas é falso. 
c) se os valores lógicos de duas proposições são 
falsos então o valor lógico da disjunção entre elas 
é falso 
d) se o valor lógico de uma proposição é falso e 
o valor lógico de outra proposição é verdade, 
então o valor lógico do bicondicional entre elas 
é falso. 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
04. (IBFC 2014) Sejam as proposições p: 15% de 
30% = 45% e q: a quarta parte de uma dúzia é 
igual a 3, e considerando os valores lógicos 
dessas proposições, podemos afirmar que o valor 
lógico da proposição composta 
 
(p→q)↔~p é: 
 
a) falso 
b) verdadeiro ou falso 
c) verdade 
d) inconclusivo 
 
05. (EBSERH – ANALISTA 
ADMINISTRATIVO-IBFC 2020) 
Considerando que os símbolos ∧, ∨, → e ↔ 
representem operadores lógicos e significam “e”, 
“ou”, “então” e “se e somente se 
“respectivamente, análise os seguintes testes 
lógicos e dê valores de Verdadeiro (V) ou Falso 
(F). 
 
( ) (32 – 3 x 12 = -4 ∧ 12 + 15 = 27) 
( ) (15+ 2  17 ∨ 18 – 9 = 9 ) 
( ) (12 ÷ 4 = 4 ↔ 25 – 13 = 12) 
( ) (48 ÷ 4 = 12 → 16 +17  33) 
( ) (13+ 12 = 9 ∨ 1+ 1 = 3 ) 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência 
correta de cima para baixo. 
a) V, F, V, F, V 
b) V, V, F, F, F 
c) F, F, V, V, V 
d) V, F, F, V, V 
e) F, V, F, V, F 
 
06. (IBFC 2017) Na tabela verdade abaixo, R 
representa o valor lógico da operação P 
condicional Q (Se P, então Q), em que P e Q são 
proposições e V (verdade) e F(falso). Nessas 
condições, o resultado na coluna R deve ser, de 
cima para baixo, respectivamente: 
 
 
a) FFFV 
b) FVVV 
c) VFFV 
d) VVFV 
e) FVVF 
 
07. (ESAF 2016) Sejam as proposições (p) e (q) 
onde (p) é V e (q) é F, sendo V e F as abreviaturas 
de verdadeiro e falso, respectivamente. Então 
com relação às proposições compostas, a resposta 
correta é: 
 
a) (p) e (q) são V. 
b) Se (p) então (q) é F. 
c) (p) ou (q) é F. 
d) (p) se e somente se (q) é V. 
e) Se (q) então (p) é F. 
 
08. (SOLDADO PMBA – IBFC 2017) Se o 
valor lógico de uma proposição p é verdade e o 
valor lógico de uma proposição q é falso, então é 
correto afirmar que o valor lógico: 
 
a) da conjunção entre p e q é falso 
b) da disjunção entre p e q é falso 
c) do bicondicional entre p e q é verdade 
d) do condicional entre p e q, nessa ordem, é 
verdade 
e) da negação entre a disjunção entre p e q é 
verdade 
 
09. (SOLDADO PM – BA – IBFC 2020) 
Observe as duas proposições P e Q apresentadas 
a seguir. 
 
P: Ana é engenheira. 
Q: Bianca é arquiteta. 
 
Considere que Ana é engenheira somente se 
Bianca é arquiteta e, assinale a alternativa correta. 
 
a) Ana ser engenheira não implica Bianca ser 
arquiteta 
b) Ana ser engenheira é condição suficiente para 
Bianca ser arquiteta 
c) Uma condição necessária para Bianca ser 
arquiteta é Ana ser engenheira 
d) Ana é engenheira se e somente se Bianca não 
é arquiteta 
e) Uma condição necessária para Bianca ser 
arquiteta é Ana não ser engenheira 
 
 
 
9 
 
 
10. Considere A, B e C três proposições falsas. 
Qual valor lógico da proposição 
 
D: [(A ∨ ~C) ↔ B] ↔ [(B ∧ ~A) → ~B]? 
 
a) D não tem valor lógico 
b) Falso 
c) Não é possível determinar o valor lógico de D 
d) Verdadeiro 
e) D é verdadeiro e falso. 
 
 
11. (PMBC/SE-CESPE 2020) Considerando-se 
os conectivos lógicos usuais (∧, ∨ ,→) e que as 
proposições lógicas simples sejam representadas 
por meio de letras maiúsculas, a sentença “ Um 
bom estado de saúde é consequência de boa 
alimentação e da prática regular de atividade 
física” 
 
a) pode ser representada corretamente pela 
expressão P → (Q∧ R) 
b) pode ser corretamente representada pela 
expressão P ∨ Q. 
c) não é uma proposição lógica. 
d) pode ser corretamente representada pela 
proposição P. 
e) pode ser representada corretamente pela 
expressão P →Q. 
 
12. (IBGE- AGENTE DE PESQUSIA E 
MAPEAMENTO- CEBRASPE 2021) A 
quantidade de linhas da tabela-verdade da 
proposição composta P → Q ˅ R, em que P, Q e 
R são proposições simples e independentes entre 
si, que apresentam o valor lógico F é igual a 
 
a) 1. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 2. 
e) 3 
 
 
 
 
 
 
 
13. (FAEPESUL – 2021) Considere a tabela 
abaixo em que as proposições P e Q podem 
assumir, dependendo o caso, o valor lógico V 
(verdadeiro) ou F (falso). Sendo assim, o 
resultado da linha (P  ~Q) → ~P, da esquerda 
para direita, respectivamente, é: 
 
 
 
a) F – F – V. 
b) F – V – V. 
c) V – V – F. 
d) V – F – V. 
e) V – F – F 
 
14. (CBMAL – SOLDADO – CEBRASPE 
2021) Considere os conectivos lógicos usuais e 
assuma que as letras maiúsculas representam 
proposições lógicas e que o símbolo ⁓ representa 
a negação. Considere também que as três 
primeiras colunas de uma tabela-verdade que 
envolve as proposições lógicas P, Q e R sejam as 
seguintes. 
 
 
A última coluna da tabela-verdade relacionada à 
expressão (P→Q) ˅ R apresenta valores V ou F 
na seguinte sequência, de cima para baixo: V F F 
F V V V V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
15. Se todas as bananas têm asas, então o ouro 
não é um fruto seco. Se o ouro não é um fruto 
seco, então todas as bananas têm asas. Logo, 
 
a) todas as bananas não têm asas se e somente se 
o ouro não for um fruto seco. 
b) todas as bananas têm asas se e somente se o 
ouro for um fruto seco. 
c) todas as bananas não têm asas se o ouro é um 
fruto seco. 
d) todas as bananas têm asas se e somente se o 
ouro não for um fruto seco. 
e) algum ouro não é um fruto seco se e somente 
todas as bananas tiverem asas. 
 
 
GABARITO 
 
1. D 2. C 3. A 4. C 5. B 
6. D 7. B 8. A 9. B 10. B 
11. D 12. A 13. B 14. E 15. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 NEGAÇÕES 
 
LINK DESSA AULA 
https://youtu.be/hy9IpY2c6l0 
 
1. NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO. 
 
A negação de uma conjunção é logicamente 
equivalente a uma disjunção. 
 
~(p  q)  ~p  ~q 
 
EXEMPLO: 
 
P: A comida é farta e saborosa. 
 
A negação dessa proposição é: 
~ P: A comida não é farta ou não é saborosa. 
 
2. NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO 
 
A negação de uma disjunção é logicamente 
equivalente a uma conjunção. 
 
~(p q)  ~p  ~q 
 
EXEMPLO: 
 
P: o número 2 é par ou 3 é número ímpar. 
 
A negação dessa proposição é: 
~ P: o número 2 não é par e 3 não é número impar 
 
3. NEGAÇÃO DA CONDICIONAL. 
 
A negação do condicional é logicamente 
equivalente a uma conjunção 
 
~(p → q)  p Λ ~q 
 
EXEMPLO: 
 
P: Se procura, então acha. 
 
A negação dessa proposição é: 
~P: Procura e não acha. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
MACETE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL. 
 
A negação da bicondicional é logicamente 
equivalente negar p ou q 
~( pq)  ~p q p ~q p V q 
 
EXEMPLO: 
 
P: Isabela é linda se e somente se Rogério for 
inteligente. 
 
A negação dessa proposição é: 
 
~P: Isabela é linda se e somente se Rogério não 
for inteligente. 
 
5.NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO EXCLUSIVA 
 
~( p V q)  p q 
 
EXEMPLO: 
P: Ou estudo ou assisto TV. 
 
A negação dessa proposição é: 
 
~P: Estudo se somente se assisto TV. 
 
 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO NEGAÇÕES 
 
01. (EMGEPRON- SELECON 2021) A 
negação de 
 
“Camila é advogada ou Bruno é analista técnico” 
 
está corretamente indicada na seguinte opção: 
 
a) Camila não é advogada ou Bruno não é analistatécnico. 
b) Camila não é advogada e Bruno não é analista 
técnico. 
c) Camila não é advogada ou Bruno é analista 
técnico. 
d) Camila não é advogada e Bruno é analista 
técnico. 
 
02. (FAEPESUL – 2021) Considere a proposição 
“se sou enfermeira, então não deixei de colaborar 
durante a pandemia”. A negação lógica dessa 
proposição é: 
 
a) Se não sou enfermeira, então deixei de 
colaborar durante a pandemia. 
b) Sou enfermeira e deixei de colaborar durante a 
pandemia. 
c) Não sou enfermeira e não deixei de colaborar 
durante a pandemia. 
d) Sou enfermeira ou deixei de colaborar durante 
a pandemia. 
e) Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
03. (FGV) A negação lógica da sentença “Quem 
doa sangue, doa vida” é: 
 
a) Quem não doa vida, não doa sangue. 
b) Quem não doa sangue, não doa vida. 
c) Alguém não doa sangue e doa vida. 
d) Alguém não doa sangue e não doa vida. 
e) Alguém doa sangue e não doa vida. 
 
04. (IPM/SP - Agente de Administração – 
AOCP – 2018) Dada a disjunção exclusiva “Ou 
Carlos é advogado ou Luíza é professora”, a sua 
negação será dada por 
 
a)“Se Carlos é advogado, então Luiza é 
advogada”. 
 
 
 
 
12 
 
 
b)“Se Luiza não é advogada então Carlos é 
professor”. 
c) “Carlos é advogado se, e somente se, Luiza é 
professora”. 
d) “Se Luiza é advogada, então Carlos é 
professor”. 
e) “Carlos é professor se, e somente se, Luiza é 
advogada”. 
 
05. (EBSERH UBERLÂNDIA – VUNESP 
2020) Uma correta negação lógica para a 
afirmação “Rosana é vulnerável ou necessitada, 
mas não ambos” está contida na alternativa: 
 
a) Rosana é vulnerável se, e somente se, ela é 
necessitada. 
b) Rosana não é vulnerável se, e somente se, ela 
é 
necessitada. 
c) Rosana é vulnerável e necessitada. 
d) Rosana não é vulnerável e, tampouco, 
necessitada. 
e) Se Rosana não é necessitada, então ela não é 
vulnerável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) 
 
Sabe-se que a sentença 
 
“Se Antônio é advogado, então Carla é 
engenheira ou Diana não é médica” é falsa. 
 
É correto concluir que 
 
a) Antônio é advogado e Diana é médica. 
b) Antônio não é advogado e Carla é engenheira. 
c) Se Carla não é engenheira, então Diana não é 
médica. 
d) Se Diana é médica, então Antônio não é 
advogado. 
e) Carla é engenheira ou Diana não é médica 
 
 
 
(IMBEL - FGV 2021) Considere a afirmação: 
 
“Se o peixe é fresco então não tem cheiro.” 
 
Assinale a opção que apresenta a negação lógica 
dessa sentença. 
 
a) “O peixe é fresco e tem cheiro.” 
b) “Se o peixe não é fresco então não tem 
cheiro.” 
c) “Se o peixe não é fresco então tem cheiro.” 
d) “Se o peixe tem cheiro então é fresco.” 
e) “O peixe não é fresco e tem cheiro.” 
 
 
 
(ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – FGV 
2019) Considere as proposições a seguir. 
 
I. 30% de 120 = 36 e 25% de 140 = 36. 
II. 30% de 120 = 36 ou 25% de 140 = 36. 
III. Se 25% de 140 = 36, então 30% de 120 = 36. 
 
É correto concluir que: 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
13 
 
 
 
a) apenas a proposição I é verdadeira; 
b) apenas a proposição II é verdadeira; 
c) apenas as proposições II e III são verdadeiras; 
d) todas são verdadeiras; 
e) nenhuma é verdadeira. 
 
 
 
(ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – FGV 
2019) Considere a sentença: “Se não estou 
cansado, então vejo televisão ou vou ao cinema”. 
 
A negação lógica dessa sentença é: 
 
a) Se estou cansado, então não vejo televisão e 
não vou ao cinema; 
b) Se estou cansado, então vejo televisão ou vou 
ao cinema; 
c) Se não vejo televisão e não vou ao cinema, 
então estou cansado; 
d) Não estou cansado e não vejo televisão e não 
vou ao cinema; 
e) Estou cansado ou vejo televisão ou vou ao 
cinema 
 
 
 
(COORDENADOR SENSITÁRIO – IBGE – 
FGV 2019) Considere a sentença: “Rubens tem 
mais de 18 anos e sabe dirigir”. 
 
A negação lógica dessa sentença é: 
 
a) Rubens não tem mais de 18 anos e não sabe 
dirigir; 
b) Rubens não tem mais de 18 anos ou não sabe 
dirigir; 
c) Rubens tem mais de 18 anos e não sabe dirigir; 
d) Rubens não tem mais de 18 anos e sabe dirigir; 
e) Rubens tem mais de 18 anos ou sabe dirigir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(BANESTES – ANALISTA ECONÔMICO – 
FGV 2018) Considere a afirmação: 
 
Se um carro não tem gasolina então não anda. 
 
Considere, agora, as afirmações seguintes: 
 
I. Se um carro tem gasolina então anda. 
 
II. Se um carro não anda então não tem gasolina. 
 
III. Se um carro anda então tem gasolina. 
 
É/são logicamente equivalente(s) à afirmação 
dada: 
 
a) somente I; 
b) somente II; 
c) somente III; 
d) somente I e II; 
e) I, II e III. 
 
 
 
(BANESTES – ANALISTA ECONÔMICO – 
FGV 2018) A secretária disse ao advogado: 
 
“Fechei a janela e não mexi nos papéis”. 
 
Algum tempo depois, o advogado descobriu que 
o que disse a secretária não era verdade. 
 
É correto concluir que a secretária: 
a) fechou a janela e mexeu nos papéis; 
b) não fechou a janela e não mexeu nos papéis; 
c) não fechou a janela e mexeu nos papéis; 
d) fechou a janela ou não mexeu nos papéis; 
e) não fechou a janela ou mexeu nos papéis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
(ALERO – FGV2018 – ANALISTA 
LEGISLATIVO) A negação lógica da sentença 
“Se como demais, então passo mal” 
é 
a) “Se não como demais, então não passo mal”. 
b) “Se não como demais, então passo mal”. 
c) “Como demais e não passo mal”. 
d) “Não como demais ou passo mal”. 
e) “Não como demais e passo mal”. 
 
 
 
(FGV 2017) Sabe-se que são verdadeiras as 
afirmativas: 
 
Se Z, então não X. 
Se não Z, então Y. 
 
Logo, deduz-se que: 
 
a) Z é necessário para X; 
b) Z é suficiente para Y; 
c) X é necessário para Y; 
d) X é suficiente para Z; 
e) Y é necessário para X. 
 
 
 
 
(FGV 2016) Prestando depoimento o depoente 
declarou: 
 
- Estava no escritório às 10 horas da noite e o 
telefone tocou. 
 
Após algumas investigações verificou-se que essa 
declaração do depoente era falsa. 
 
É correto concluir que o depoente: 
 
a) não estava no escritório ou o telefone não 
tocou; 
b) não estava no escritório e o telefone não tocou; 
c) não estava no escritório ou o telefone tocou; 
d) estava no escritório ou o telefone não tocou; 
e) estava no escritório e o telefone não tocou. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 
6. C 7. E 8. C 9. E 10. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 CLASSIFICAÇÃO - TABELA 
 
LINK DESSA AULA 
https://youtu.be/Rm6DiEPFQpM 
 
TAUTOLOGIA 
 
Tautologia é toda proposição sempre verdadeira, 
independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. Sua tabela- verdade só contém o 
valor lógico V. 
O exemplo mais simples de tautologia é (p
~p): 
 
 
 
 
 
Exemplo: Construa a tabela – verdade das 
proposições a seguir: 
 
a) ( )  qqpp →→ 
b) ( )  pqpq ~~ →→ 
 
CONTRADIÇÃO 
 
Contradição é toda proposição sempre falsa, 
independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. Sua tabela-verdade só contém o valor 
lógico F. 
O exemplo mais simples de contradição é 
(p ~p): 
 
 
 
 
 
INDETERMINAÇÃO OU CONTINGÊNCIA 
 
Uma proposição (simples ou composta) 
representa uma indeterminação quando os valores 
da proposição apresentam dois resultados V e F. 
 
Exemplos: 
Fulano é culpado (V ou F) 
Orlando é alto ou Joane é baixa. (V ou F) 
 
EXEMPLOS: 
 
01. (ESAF) Chama-se tautologia a toda a 
proposição que é sempre verdadeira, 
independentemente da verdade dos termos que a 
compõem. Um exemplo de tautologia é: 
 
a) se João é alto, então Joãoé alto ou Guilherme 
é gordo; 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é 
gordo; 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então 
Guilherme é gordo; 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então 
João é alto e Guilherme é gordo; 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme 
é gordo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (CESPE) A proposição (A B)→ (A B) 
é uma tautologia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. (CESPE 2014) A proposição 
( )  ( )  QPQP  é uma 
tautologia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 EQUIVALÊNCIAS 
 
Duas proposições P e Q são logicamente equivalentes 
quando possuem tabelas-verdade idênticas, de modo 
que tais proposições assumem os mesmos valores 
lógicos em função de suas proposições, e representam 
uma forma de expressar uma mesma afirmação de 
diferentes maneiras. 
Referências 
p, q, r – proposições 
 - tautologia 
 - contradição 
Dupla negação 
 
~(~p) p 
Leis Idempotentes 
p  p p 
p  p p 
 
Leis Comutativas 
p qq p 
p qq p 
 
Leis Associativas 
p (q r) (p q) r 
p (q r) (p q)  r 
 
Leis Distributivas 
p (q r) (p q) (p r) 
p (q r) (p q) (p
r) 
 
Leis de Morgan 
~(p q) ~p ~q 
~(p q) ~p ~q 
 
Leis de Identidade 
p  p 
p    
p  p 
p    
 
Leis 
Complementares 
p ~p  
p ~p  
~   
~   
 
Condicional 
p→q~(p ~q) ~p q 
p→ q~q→ ~p 
~(p→ q)  p ~q 
 
Bicondicional 
p q (p→ q) (q→ p) 
~(p q)  ~p q p~q 
 
 
MACETE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK DESSA AULA 
 
https://youtu.be/hy9IpY2c6l0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
EXEMPLOS ENVOLVENDO 
EQUIVALÊNCIAS: 
 
01. (AOCP 2017) A proposição “Se há pão, não 
há fome” é equivalente a 
 
a) “Há pão”. 
b) “Não há fome nem pão”. 
c) “Onde há pão, há fome”. 
d) “Há fome”. 
e) “Se há fome, não há pão”. 
 
02. (IBFC 2017) A frase: “Se o soldado chegou 
atrasado, então não fez atividade física” é 
equivalente à frase: 
 
a) O soldado chegou atrasado e não fez atividade 
física 
b) O soldado chegou atrasado e fez atividade 
física 
c) O soldado chegou atrasado ou fez atividade 
física 
d) O soldado não chegou atrasado ou não fez 
atividade física 
e) O soldado chegou atrasado se, e somente se, 
não fez atividade física 
 
03. Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é 
paulista,” é do ponto de vista lógico, o mesmo que 
dizer que: 
 
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. 
b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. 
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é 
paulista. 
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é 
paulista. 
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é 
paulista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (CESPE) Julgue o próximo item, 
considerando proposição P, a seguir: O 
desenvolvimento científico do país permanecerá 
estagnado se, e somente se, não houver 
investimento em pesquisa acadêmica no Brasil. 
 
A proposição P é logicamente equivalente a “Se 
não houver investimento em pesquisa acadêmica 
no Brasil, então o desenvolvimento científico do 
país permanecerá estagnado, e se houver 
investimento em pesquisa acadêmica no Brasil, 
então o desenvolvimento do país não 
permanecerá estagnado”. 
 
 
 
 
 
 
 
05. (FCC 2015) Antes da rodada final do 
campeonato inglês de futebol, um comentarista 
esportivo apresentou a situação das duas únicas 
equipes com chances de serem campeãs, por meio 
da seguinte afirmação: 
 
“Para que o Arsenal seja campeão, é necessário 
que ele vença sua partida e que o Chelsea perca 
ou empate a sua.” 
 
Uma maneira equivalente, do ponto de vista 
lógico, de apresentar esta informação é: “Para que 
o Arsenal seja campeão, é necessário que ele 
a) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou 
que ele vença a sua partida e o Chelsea empate a 
sua.” 
b) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou 
que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate 
a sua.” 
c) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou 
que ele vença a sua partida e o Chelsea não vença 
a sua.” 
d) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que 
ele vença a sua partida e o Chelsea empate a sua.” 
e) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e 
que ele vença a sua partida ou o Chelsea empate 
a sua.” 
 
 
 
 
 
18 
 
 
06. Proposições que possuem a mesma tabela-
verdade são chamadas de proposições 
logicamente equivalentes (ou simplesmente 
equivalentes). Qual das alternativas abaixo é uma 
equivalência lógica da proposição 
 
P →( ~P∧~Q)? 
 
a) Q 
b) P 
c) ~Q 
d) ~P 
e) P ∨ ~Q 
 
 
07. (CESGRANRIO - 2018 - Transpetro - 
Analista de Sistemas Júnior – Infraestrutura) 
 
A proposição p ∧ ¬(q ∧ r) é equivalente a 
 
a) (p ∧ ¬ q) ∧ (p ∧ ¬ r) 
b) (p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ ¬r) 
c) (p ∧ ¬ q) ∨ (p ∧ ¬ r) 
d) (¬ p ∨ q) ∧ (¬ p ∨ r) 
e) (¬ p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ r) 
 
08. Considere as seguintes proposições: 
 
(1) Se Jonas implantar um sistema 
informatizado em sua empresa, então poderá 
fazer o monitoramento de seus projetos com 
mais facilidade. 
 
(2) Se Jonas não implantar um sistema 
informatizado em sua empresa, então ele não 
poderá fazer o monitoramento de seus projetos 
com mais facilidade. 
 
(3) É falso que, Jonas implantará um sistema 
informatizado em sua empresa e não fará o 
monitoramento de seus projetos com mais 
facilidade. 
 
(4) Jonas faz o monitoramento de seus projetos 
com mais facilidade ou não implanta um sistema 
informatizado em sua empresa. 
 
Relativamente a essas proposições, é correto 
afirmar que são logicamente equivalentes 
apenas as de números 
a) 2, 3 e 4 
b) 1, 3 e 4 
c) 1, 2 e 3 
d) 3 e 4 
e) 1 e 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV 2017) O salão principal do tribunal está 
preparado para um evento comemorativo e 
diversas pessoas foram convidadas a comparecer. 
Na porta do salão está um funcionário que 
recebeu instruções sobre as pessoas que podem 
entrar e uma delas foi: 
 
“Se tiver carteira de advogado pode entrar.” 
 
É correto concluir que: 
 
a) se João entrou então tem carteira de advogado; 
b) quem não tem carteira de advogado não pode 
entrar; 
c) se Pedro não pode entrar então não tem carteira 
de advogado; 
d) quem é advogado, mas não tem carteira, pode 
entrar; 
e) todos os que entraram são advogados. 
 
 
 
(FUNSAUDE- MÉDICO– FGV 2021) 
Considere a afirmação tradicional abaixo: “Cão 
que ladra não morde” Essa afirmativa é 
equivalente a: 
 
a) Cão que não morde, ladra. 
b) Cão que não ladra, morde. 
c) Cão que morde, não ladra. 
d) Um cão não ladra ou morde. 
e) Um cão ladra ou morde. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ARQUITETO – FGV 2021) 
Considere a sentença: “Se a cobra é verde, então 
ela não morde ou ela é venenosa”. A sentença 
logicamente equivalente à sentença dada é: 
 
a) Se a cobra morde e não é venenosa, então ela 
não é verde. 
b) Se a cobra não é verde, então ela morde e não 
é venenosa. 
c) Se a cobra não é verde, então ela não morde ou 
não é venenosa. 
d) A cobra é verde e não morde ou é venenosa. 
e) A cobra não é verde e morde e não é venenosa. 
 
 
 
(IMBEL - FGV 2021) Renato, em relação ao seu 
trabalho, disse: 
 
“Se não chego cedo, então faço hora extra” 
 
Essa sentença é logicamente equivalente a 
 
a) “Se não faço hora extra, então não chego 
cedo.” 
b) “Se faço hora extra, então não chego cedo.” 
c) “Se chego cedo, então não faço hora extra.” 
d) “Chego cedo e faço hora extra.” 
e) “Chego cedo ou faço hora extra.” 
 
 
 
(COORDENADOR SENSITÁRIO – IBGE – 
FGV 2019) Considere a sentença: “Se corro ou 
faço musculação, então fico cansado”. 
Uma sentença logicamente equivalente a essa é: 
 
a) Senão corro ou faço musculação, então não 
fico cansado; 
b) Se não corro e não faço musculação, então não 
fico cansado; 
c) Não corro e não faço musculação ou fico 
cansado; 
d) Corro ou faço musculação e não fico cansado; 
e) Não corro ou não faço musculação e fico 
cansado. 
 
 
 
(FGV 2013) Considere verdadeira a seguinte 
afirmativa. 
 
“Carlos é louro ou estuda teatro.” 
 
Com base na afirmativa acima é correto concluir 
que 
 
a) se Carlos é louro então estuda teatro. 
b) se Carlos estuda teatro então é louro. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
20 
 
 
c) se Carlos não estuda teatro então não é louro. 
d) se Carlos não é louro então estuda teatro. 
e) Carlos não pode ser louro e estudar teatro. 
 
 
 
(COMPESA- ANALISTA DE 
SANEAMENTO – FGV 2018) Considere a 
sentença a seguir. 
 
“Se Paulo torce pelo Santa Cruz e mora em 
Recife, então Paulo é pernambucano.” 
 
Assinale a opção que apresenta a sentença 
logicamente equivalente à sentença dada. 
 
a) “Paulo não torce pelo Santa Cruz ou não mora 
em Recife ou é pernambucano.” 
b) “Se Paulo é pernambucano, então Paulo torce 
pelo Santa Cruz e mora em Recife.” 
c) “Se Paulo não torce pelo Santa Cruz e não mora 
em Recife, então Paulo não é Pernambucano.” 
d) “Paulo torce pelo Santa Cruz e mora em 
Recife, mas não é pernambucano.” 
e) “Se Paulo não torce pelo Santa Cruz ou não 
mora em Recife, então Paulo não é 
pernambucano.” 
 
 
 
(ALERO – FGV2018 – ANALISTA 
LEGISLATIVO) Considere a sentença a seguir. 
“Se nasci em Rondônia ou Roraima, então sou 
brasileiro”. 
 
Assinale a opção que apresenta uma sentença 
logicamente equivalente à sentença dada. 
 
a) “Se não nasci em Rondônia nem em Roraima, 
então não sou 
brasileiro”. 
b) “Se nasci em Rondônia, então sou brasileiro”. 
c) “Se não nasci em Roraima, então não sou 
brasileiro”. 
d) “Se não sou brasileiro, então não nasci em 
Rondônia nem em Roraima”. 
e) “Se sou brasileiro e não nasci em Rondônia, 
então nasci em Roraima”. 
 
 
 
 
(FGV 2016) Um guarda portuário trabalha na 
fiscalização das pessoas que transitam pelo porto 
e conhece a regra: 
 
“Quem tem crachá pode entrar no navio.” 
 
A partir dessa regra, é correto concluir que 
 
a) se alguém não pode entrar no navio então não 
tem crachá. 
b) quem não tem crachá não pode entrar no navio. 
c) se alguém pode entrar no navio então tem 
crachá. 
d) algumas pessoas com crachá não podem entrar 
no navio. 
e) uma pessoa tem crachá ou não entra no navio. 
 
 
 
(FGV 2015) Considere a sentença: “Se cometi 
um crime, então serei condenado”. 
 
Uma sentença logicamente equivalente à 
sentença dada é: 
 
a) Não cometi um crime ou serei condenado. 
b) Se não cometi um crime, então não serei 
condenado. 
c) Se eu for condenado, então cometi um crime. 
d) Cometi um crime e serei condenado. 
e) Não cometi um crime e não serei condenado. 
 
 
 
GABARITO 
 
1. C 2. C 3. A 4. E 5. C 
6. D 7. A 8. D 9. A 10. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 QUANTIFICADORES 
 
LINK DESSA AULA 
https://youtu.be/tM8xmmL95CQ 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 
a) p: “x + 5 = 8” 
b) q: “Fulano é jogador da seleção brasileira de 
futebol”. 
 
Qual é o valor lógico, V ou F, de cada uma dessas 
afirmações? 
Nenhuma delas pode ser classificada como V ou 
F, pois nos faltam informações a respeito do x e 
do “Fulano”. Afirmações desse tipo são 
chamadas de sentenças abertas. 
 
Sentença aberta é toda expressão que encerra 
um pensamento de sentido completo, mas não 
pode ser classificada como V ou F. 
 
Toda sentença aberta possui pelo menos um 
termo variável, ou seja, um termo que pode 
assumir mais de um valor. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) Na sentença “x + 5 = 8”, a variável é x, pois 
podemos atribuir infinitos valores a x. Apenas um 
desses infinitos valores transforma a sentença 
aberta numa proposição verdadeira. 
 
b) Na sentença “Fulano é jogador da seleção 
brasileira de futebol”, a variável é “Fulano”, pois 
podemos substituí-lo por um nome qualquer. 
Porém, para que a proposição obtida seja 
verdadeira, a variável deve ser substituída pelo 
nome de um jogador da seleção brasileira de 
futebol. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que valor lógico você atribuiria à sentença 
aberta x + 2 = 5? 
 
Não podemos classificá-la como V ou F, pois nos 
faltam informações sobre a variável x. 
 
Para transformarmos uma sentença aberta em 
uma proposição, ou seja, uma afirmação que pode 
ser qualificada como V ou F, devemos atribuir 
valores às variáveis ou utilizar símbolos lógicos 
chamados de “quantificadores”. Estudaremos o 
quantificador universal e os existenciais. 
 
I. Quantificador universal:  (lê-se “qualquer 
que seja”, ou, ainda, “para todo”). 
 
II. Quantificadores existenciais:  (lê-se 
“existe pelo menos um”) e  | (lê-se “existe um 
único”). 
 
Nos quatro exemplos seguintes, considere N = 
{0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) ( x, x  N) (x + 2 = 5), que se lê “qualquer 
que seja x, x elemento de N, tem se 
x + 2 = 5”, é uma afirmação falsa. 
 
b) ( x, x N) (x + 2 = 5), que se lê “existe pelo 
menos um x, x elemento de N, tal que 
x + 2 = 5”, é uma afirmação verdadeira. 
 
c) ( | x, x  N) (x + 2 = 5), que se lê “existe um 
único x, x elemento de N, tal que x + 2 = 5”, é 
uma afirmação verdadeira. 
 
d) ( | x, xN) (x + 2 > 5), que se lê “existe um 
único x, x elemento de N, tal que x + 2 > 5”, é 
uma afirmação falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
ANÁLISE DAS PROPOSIÇÕES 
CATEGÓRICAS 
 
Chama-se de proposições categóricas 
proposições simples e diretas na forma de 
sujeito-predicado. Apresentam quatro tipos: 
 
1. Todo A é B: se um elemento pertence ao 
conjunto A, então pertence também a B. 
 
 
A é subconjunto de B. 
 
2. Algum A é B ( ou: pelo menos um A é B): 
existe pelo menos um elemento comum aos 
conjuntos A e B. 
 
AB 
 
3. Nenhum A é B.: não existe nenhum elemento 
comum aos conjuntos A e B, isto é, se um 
elemento pertence a A, então não pertence a B, e 
vice-versa. 
 
A e B são disjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: 
 
As proposições que possuem quantificadores 
podem ser classificados como : (1)universais ou 
particulares e (2) afirmativas ou negativas. 
 
EXEMPLOS: 
 
Universal afirmativa: “Todo João é homem” 
 
Universal negativa: “Nenhum João é mulher” 
 
Particular afirmativa : “Alguns homens se 
chamam João” 
 
Particular negativa “Alguns homens não se 
chamam João” 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO 
QUANTIFICADORES: 
 
01. (ESAF) Todas as plantas verdes tem clorofila. 
Algumas plantas que tem clorofila são 
comestíveis. Logo: 
 
a) algumas plantas verdes são comestíveis; 
b) algumas plantas verdes não são comestíveis; 
c) algumas plantas comestíveis tem clorofila; 
d) todas as plantas que têm clorofila são 
comestíveis; 
e) todas as plantas verdes são comestíveis. 
 
02. (FCC) Algum A é B. Todo A é C. Logo 
 
a) algum D é A. 
b) todo B é C. 
c) todo C é A. 
d) todo B é A. 
e) algum B é C. 
 
03. (FCC) Todos os macerontes são 
torminodoros. Alguns macerontes são 
momorrengos. Logo, 
 
a) todos os momorrengos são torminodoros. 
b) alguns torminodoros são momorrengos. 
c) todos os torminodoros são macerontes. 
d) alguns momorrengos são pássaros. 
e) todos os momorrengos são macerontes. 
 
 
 
23 
 
 
04. (FCC 2013) Se é verdade que “algum X é Y” 
e que “nenhum Z é Y”, então é necessariamente 
verdadeiro que: 
 
a) algum X não é Z. 
b) algum X é Z. 
c) nenhum X é Z. 
d) algum Z é X. 
e) nenhum Z é X. 
 
05. (FUNCAB) Todos os atacantes são 
jogadores. Alguns atacantes são gênios. Logo: 
 
a) todos os gênios são jogadores. 
b) alguns jogadores são gênios. 
c) todos os jogadores são atacantes. 
d) alguns gênios são técnicos. 
e) todos os gênios são atacantes.NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUE 
CONTÉM QUANTIFICADORES 
 
 
Proposição 
Inicial 
Exemplo 
inicial 
Negação Exemplo da 
negação 
Todo A é B 
Todo ator 
é charmoso 
Algum A 
não é B;ou 
Pelo menos 
um A não é 
B 
Algum ator não é 
charmoso; ou 
Pelo menos um 
ator não é 
charmoso 
Nenhum A é 
B 
Nenhum ator 
é charmoso 
Algum A é 
B, ou 
Pelo menos 
um A é B 
Algum ator é 
charmoso; ou 
Pelo menos um 
ator é charmoso 
Algum A é B 
Algum ator é 
charmoso 
Nenhum A 
é B 
Nenhum ator é 
charmoso 
Algum A não 
é B 
Algum ator 
não 
é charmoso 
Todo A é B 
Todo ator é 
charmoso 
 
 
 
MACETE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK DESSA AULA 
 
https://youtu.be/VwrfMXvr-A4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
QUESTÕES ENVOLVENDO 
QUANTIFICADORES: 
 
01. (FGV 2013) Considere a afirmativa: 
 
“nenhum gato é verde”. 
 
A negação dessa afirmativa é: 
 
a) “algum gato é verde”. 
b) “nenhum animal verde é gato”. 
c) “todo gato é verde”. 
d) “algum animal verde não é gato”. 
e) “algum gato não é verde”. 
 
02. (CESGRANRIO) A negação de “Todas as 
portas estão trancadas” é 
 
a) “Todas as portas estão destrancadas”. 
b) “Todas as portas estão abertas”. 
c) “Alguma porta está fechada”. 
d) “Alguma porta está trancada”. 
e) “Alguma porta está destrancada”. 
 
03. (FUNCAB) Marque a alternativa que contém 
a negação da proposição “Os homens não são 
sentimentais”. 
 
a) “É mentira que todos os homens são 
sentimentais.” 
b) “Todos os homens são sentimentais.” 
c) “Existe homem que não é sentimental.” 
d) “Existe homem que é sentimental.” 
e) “Nenhum homem é sentimental.” 
 
04. (ESCREVENTE JUDICIÁRIO TJ SP - 
VUNESP 2017) “Existe um lugar em que não há 
poluição” é uma negação lógica da afirmação: 
 
a) Em alguns lugares, pode não haver poluição. 
b) Em alguns lugares, não há poluição. 
c) Em alguns lugares, há poluição. 
d) Em todo lugar, há poluição. 
e) Em todo lugar, não há poluição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 ARGUMENTOS 
 
LINKS DESSA AULA 
1. https://youtu.be/MSD4nnIswLk 
2. https://youtu.be/RtMKojszbJM 
 
Dadas as proposições P1, P2, ..., Pn (n ≥ 1) e Q, 
simples ou compostas, chama-se argumento toda 
afirmação de que uma certa sequência finita de 
proposições tem como consequência uma 
proposição final. As proposições iniciais P1, P2, 
..., Pn são as premissas (hipóteses) do argumento 
e a proposição final Q é a conclusão (tese) do 
argumento. 
 
EXEMPLOS: 
 
P1: Todos os homens são mortais. 
P2: Sócrates é homem. 
Conclusão: Sócrates é mortal. 
 
Pode-se concluir que o argumento 1 é um 
argumento válido. 
 
P1: Alguns cronópio é guilherdo. 
P2: João é cronópio. 
Conclusão: João é guilherdo. 
 
Pode-se concluir que o argumento 2 não é um 
argumento válido. Podemos chamá-lo de sofisma 
ou falácia. 
 
Representação de um Argumento 
 
Um argumento pode ser representado das 
seguintes formas: 
 
a) Forma Simbólica 
Podemos indicar um argumento de premissas P1, 
P2, ...,Pn e de conclusão Q da seguinte forma: 
 
P1, P2, ..., Pn ⊢ Q 
 
Que poderá ser lido das seguintes formas: 
 
(1) “Q decorre de P1, P2, ..., Pn”. 
(2) “Q se deduz de P1, P2, ..., Pn”. 
(3) “Q se infere de P1, P2, ..., Pn”. 
(4) “P1, P2, ..., Pn acarretam Qn”. 
Observação: o símbolo ⊢ é denominado de traço 
de asserção. 
 
Vamos representar o argumento a seguir: 
 
Premissa 1: Se Ana vai à praia, então Ana toma 
sol. 
Premissa 2: Ana vai à praia. 
Conclusão: Ana toma sol. 
 
Considerando: A: Ana vai à praia, ; B: Ana toma 
sol. 
 
Temos que: 
 
𝑷𝟏, 𝑷𝟐 ⊢ 𝑸 ∴ 𝑨 → 𝑩 , 𝑨 ⊢ 𝑩 
 
b) Forma Simbólica Implicativa 
 
Podemos indicar um argumento de premissas P1, 
P2, ...,Pn e de conclusão Q da seguinte forma: 
 
[P1 ˄ P2 ˄ ... ˄ Pn] → Q 
 
Exemplo. Representando o argumento 1: 
 
Temos que: 
 
(𝑷𝟏 ∧ 𝑷𝟐) → 𝑸 ∴ [(𝑨 → 𝑩) ∧ 𝑨 ] → 𝑩 
 
c) Forma Padronizada 
Podemos indicar um argumento de premissas P1, 
P2, ...Pn e de conclusão Q, também da seguinte 
forma: 
P1 
P2 
. 
. 
Pn 
_______ 
Q 
 
Exemplo. Representando o argumento 1: 
• 𝑃1: 𝐴 → 𝐵 
• 𝑃2: 𝐴 
• 𝑄: 𝐵 
 
 
 
26 
 
 
 
Silogismo 
 
 Um argumento que consiste em duas 
premissas e uma conclusão chama-se Silogismo. 
Poderemos usar os termos hipótese, no lugar de 
premissa, e tese, no lugar de conclusão. 
 
Tipos de Silogismo: 
 
I. O silogismo categórico são aqueles compostos 
por premissas representadas por enunciados 
simples, em que observamos um quantificador, 
um sujeito, um predicado e um verbo de ligação. 
 O silogismo categórico consiste de três 
partes: 1. a premissa maior; 2. a premissa menor 
e 3. a conclusão. 
 Cada parte do silogismo é uma 
proposição categórica e cada proposição 
categórica contém dois termos categóricos. Em 
Aristóteles, cada uma das premissas está na forma 
“alguns/todos A pertence a B” ou “algum/todos 
A [não]é/são B”, na qual “A” é um termo e “B” é 
outro, mas lógicos mais modernos permitem 
alguma variação. Cada uma das premissas tem 
um termo em comum com a conclusão: em uma 
premissa maior, trata-se do termo maior (i. e., o 
predicado da conclusão); em uma premissa 
menor, trata-se do termo menor (o sujeito) da 
conclusão. Por exemplo: 
 
 Premissa maior: todos humanos são 
mortais. 
 Premissa menor: alguns animais são 
humanos. 
 Conclusão: alguns animais são mortais. 
 
 Cada um dos três distintos termos 
representa uma categoria, neste exemplo, 
“humano”, “mortal” e “animal”. “Mortal” é o 
termo maior; “animal”, o termo menor. As 
premissas também têm um termo em comum 
entre si: o termo médio, neste caso, “humano”. 
II. O silogismo hipotético é aquele composto por 
sentenças conjuntivas, disjuntivas, condicionais 
ou bicondicionais. 
 
EXEMPLO: 
 
P1: Se uma mulher está desempregada, então, ela 
é infeliz. 
P2: Se uma mulher é infeliz, então, ela vive 
pouco. 
Conclusão: “Mulheres desempregadas vivem 
pouco” 
 
 
Validade de um argumento 
 
 Diz-se que é válido um argumento, se, e 
somente se, a conclusão for verdadeira, todas as 
vezes que as premissas forem verdadeiras. 
Lembre que verdade e falsidade são predicados 
das proposições, nunca dos argumentos. 
 Assim, o argumento P1, P2, P3, ..., Pn ⟝ 
Q é válido, se, e somente se, a conclusão Q for 
verdadeira, todas as vezes que as premissas P1, 
P2, P3, ..., Pn forem verdadeiras. Lembre que 
validade ou não-validade são atributos dos 
argumentos, nunca das proposições. 
 
Portanto, em todo argumento válido, a 
verdade das premissas é incompatível com a 
falsidade da conclusão. Um argumento não válido 
é chamado de falácia ou sofisma. Existe uma 
conexão entre validade e não-validade de um 
argumento e a verdade e falsidade de suas 
premissas e conclusão, mas essa conexão de 
modo nenhum é simples. Há argumentos válidos 
com conclusões falsas, assim como argumentos 
não válidos com conclusões verdadeiras. 
 
 Por conseguinte, a verdade ou falsidade 
da conclusão não determina a validade ou não-
validade de um argumento. Tampouco a validade 
de um argumento garante a verdade de sua 
conclusão. Há raciocínios perfeitamente válidos 
que têm conclusões falsas, mas devem ter, pelo 
menos uma premissa falsa. 
 
 Num raciocínio dedutivo não é possível 
estabelecer a verdade da sua conclusão se as 
premissas não forem todas verdadeiras. 
 
 
 
27 
 
 
Determinar a verdade ou falsidade das premissas 
é tarefa que incumbe à ciência, em geral, pois as 
premissas podem referir-se a qualquer tema. 
Determinar a validade ou não validade dos 
raciocínios está inteiramente dentro do domínio 
da 
 
 
lógica. O lógico está interessado na validade até 
daqueles argumentos cujas premissas possam ser 
falsas.Aliás, a Lógica só se preocupa com a 
validade dos argumentos, e não com a verdade ou 
falsidade das premissas e das conclusões. 
 A validade de um argumento depende tão 
somente da relação existente entre as premissas e 
a conclusão. Logo, afirmar que um dado 
argumento é válido significa afirmar que as 
premissas estão de tal modo relacionadas com a 
conclusão que não é possível ter a conclusão falsa 
se as premissas forem verdadeiras. 
 A validade de um argumento pode ser 
verificada, demonstrada ou testada com o uso das 
regras de inferência, por intermédio dos 
diagramas de Venn, através de tabelas-verdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
 
01. (CESGRANRIO) O silogismo é uma forma 
de raciocínio dedutivo. Na sua forma 
padronizada, é constituído por três proposições: 
as duas primeiras denominam-se premissas e a 
terceira, conclusão. As premissas são juízos que 
precedem a conclusão. Em um silogismo, a 
conclusão é consequência necessária das 
premissas. 
São dados 3 conjuntos formados por 2 premissas 
verdadeiras e 1 conclusão não necessariamente 
verdadeira. 
 
(I) Premissa 1: Júlio gosta de basquetebol. 
Premissa 2: Todo brasileiro gosta de basquetebol. 
Conclusão: Júlio é brasileiro. 
 
 
 
 
 
 
(II) Premissa 1: Paulo é brasileiro. 
Premissa 2: Alguns brasileiros gostam de 
voleibol. 
Conclusão: Paulo gosta de voleibol. 
 
 
 
 
 
 
 
(III) Premissa 1: Marcos é brasileiro. 
Premissa 2: Todo brasileiro gosta de atletismo. 
Conclusão: Marcos gosta de atletismo. 
 
 
 
 
 
São silogismos: 
 
a) I, somente. 
b) II, somente. 
c) III, somente. 
d) I e III, somente. 
e) II e III, somente. 
 
 
 
28 
 
 
02. (CESPE) Considere as seguintes 
proposições: 
 
P: “Mara trabalha” e Q: ”Mara ganha dinheiro” 
 
Nessa situação, é valido o argumento em que as 
premissas são “Mara não trabalha ou Mara ganha 
dinheiro” e “Mara não trabalha”, e a conclusão é 
“Mara não ganha dinheiro”. 
 
 
 
 
 
03. (AOCP 2015) Se LEÃO, então VACA. 
 
Se VACA, então PORCO. 
 
Se PORCO, então PATO. 
 
Sabe-se que NÃO PATO, então 
 
a) PORCO e NÃO VACA. 
b) VACA e NÃO PORCO. 
c) LEÃO e VACA. 
d) VACA. 
e) NÃO LEÃO. 
 
04. (FGV 2016) Sobre as atividades fora de casa 
no domingo, Carlos segue fielmente as seguintes 
regras: 
 
- Ando ou corro. 
 
- Tenho companhia ou não ando. 
 
- Calço tênis ou não corro. 
 
Domingo passado Carlos saiu de casa de 
sandálias. 
 
É correto concluir que, nesse dia, Carlos: 
 
a) correu e andou; 
b) não correu e não andou; 
c) andou e não teve companhia; 
d) teve companhia e andou; 
e) não correu e não teve companhia. 
 
 
05. (FGV 2013) Sabe‐se que 
 
I. se Mauro não é baiano então Jair é cearense. 
II. se Jair não é cearense então Angélica é 
pernambucana. 
III. Mauro não é baiano ou Angélica não é 
pernambucana. 
 
É necessariamente verdade que 
 
a) Mauro não é baiano. 
b) Angélica não é pernambucana. 
c) Jair não é cearense. 
d) Angélica é pernambucana. 
e) Jair é cearense. 
 
06. (FGV 2016) Sobre os amigos Marcos, Renato 
e Waldo, sabe-se que: 
 
I - Se Waldo é flamenguista, então Marcos não é 
tricolor; 
 
II - Se Renato não é vascaíno, então Marcos é 
tricolor; 
 
III - Se Renato é vascaíno, então Waldo não é 
flamenguista. 
 
Logo, deduz-se que: 
 
a) Marcos é tricolor; 
b) Marcos não é tricolor; 
c) Waldo é flamenguista; 
d) Waldo não é flamenguista; 
e) Renato é vascaíno. 
 
07. (PMBC/SE-CESPE 2020) Considere o 
seguinte argumento: “ O boto-cor-de-rosa possui 
asas e possui patas, pois todo animal amazônico 
possui patas, todo animal fluvial possui asas, e o 
boto-cor-de-rosa é um animal fluvial 
amazônico”. 
 
Com base nessas informações, assinale a opção 
correta, com relação à lógica de argumentação. 
 
a) Esse argumento é inválido, pois nem todas as 
espécies amazônicas possuem asas. 
b) Esse argumento é inválido, pois sua conclusão 
é falsa. 
 
 
 
29 
 
 
c) A assertiva “ todo animal amazônico possui 
patas” é uma proposição lógica composta. 
d) A assertiva “o boto-cor-de-rosa é um animal 
fluvial amazônico” é a conclusão desse 
argumento. 
e) Esse argumento possui três premissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV 2017) Carlos fez quatro afirmações 
verdadeiras sobre algumas de suas atividades 
diárias: 
 
▪ De manhã, ou visto calça, ou visto bermuda. 
▪ Almoço, ou vou à academia. 
▪ Vou ao restaurante, ou não almoço. 
▪ Visto bermuda, ou não vou à academia. 
 
Certo dia, Carlos vestiu uma calça pela manhã. 
É correto concluir que Carlos 
 
a) almoçou e foi à academia. 
b) foi ao restaurante e não foi à academia. 
c) não foi à academia e não almoçou. 
d) almoçou e não foi ao restaurante. 
e) não foi à academia e não almoçou. 
 
 
 
(FGV 2015) Considere verdadeira a frase: 
“Quem tem amigo é feliz e quem chora não é 
feliz”. Assim, é correto concluir que 
 
a) quem não chora tem amigo. 
b) quem tem amigo não chora. 
c) quem não chora é feliz. 
d) quem é feliz tem amigo. 
e) quem não tem amigo chora. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Considere a 
sentença: “Se todo sapo é amarelo, então alguma 
perereca é vermelha”. A negação lógica dessa 
sentença é 
 
a) Se todo sapo é amarelo, então nenhuma 
perereca é vermelha. 
b) Todo sapo é amarelo e nenhuma perereca é 
vermelha. 
c) Se nem todo sapo é amarelo, então alguma 
perereca é vermelha. 
d) Se nenhum sapo é amarelo, então toda perereca 
é vermelha. 
e) Nem todo sapo é amarelo ou alguma perereca 
é vermelha. 
 
 
 
(FUNSAUDE- ASSISTENTE 
ADMINISTRATIVO- FGV 2021) Roberto fez 
as seguintes afirmações sobre suas atividades 
diárias: 
 
• faço ginástica ou natação. 
 
• vou ao clube ou não faço natação. 
 
• vou à academia ou não faço ginástica. 
 
Certo dia Roberto não foi à academia. É correto 
concluir que, nesse dia, Roberto 
 
a) fez ginástica e natação. 
b) não fez ginástica nem natação. 
c) fez natação e não foi ao clube. 
d) foi ao clube e fez natação. 
e) não fez ginástica e não foi ao clube. 
 
 
 
(FGV 2017) Considere verdadeira a afirmação: 
Todo computador bom é caro e todo computador 
grande é bom. É correto concluir que: 
 
a) se um computador é caro, então é bom; 
b) se um computador é bom, então é grande; 
c) se um computador não é bom, então não é caro; 
d) se um computador é caro, então é grande; 
e) se um computador é grande, então é caro. 
 
 
 
(PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) 
 
Considere a sentença: 
 
“Todo advogado é bom orador.” 
 
A negação lógica dessa sentença é: 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
31 
 
 
a) Nenhum advogado é bom orador. 
b) Todo bom orador é advogado. 
c) Nenhum bom orador é advogado. 
d) Algum advogado não é bom orador. 
e) Algum bom orador não é advogado. 
 
 
 
 (PREFEITURA DE PAULÍNIA – 
ASSISTENTE SOCIAL – FGV 2021) 
 
Em um grupo de sapos, alguns são amarelos e 
alguns são felizes. 
Sabe-se que: 
 
1) Todo sapo feliz sabe pular. 
2) Nenhum sapo amarelo sabe tocar gaita. 
3) Todo sapo que não sabe tocar gaita também 
não sabe pular. 
 
É correto concluir que 
 
a) todo sapo amarelo sabe pular. 
b) nenhum sapo feliz sabe tocar gaita. 
c) todo sapo amarelo é feliz. 
d) todo sapo que sabe pular é amarelo. 
e) nenhum sapo feliz é amarelo. 
 
 
 
(FGV 2017) Considere verdadeiras as 
afirmações: 
 
• Todos os artistas são pessoas interessantes. 
• Nenhuma pessoa interessante sabe dirigir.É correto concluir que: 
a) todas as pessoas interessantes são artistas; 
b) algum artista sabe dirigir; 
c) quem não é interessante sabe dirigir; 
d) toda pessoa que não sabe dirigir é artista; 
e) nenhum artista sabe dirigir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FGV 2017) Considere a afirmação: 
 
“Todos os baianos gostam de axé e de acarajé”. 
 
A negação lógica dessa frase é: 
 
a) “Nenhum baiano gosta de axé nem de acarajé”. 
b) “Nenhum baiano gosta de axé ou de acarajé”. 
c) “Alguns baianos gostam de axé, mas não de 
acarajé”. 
d) “Quem não gosta de axé nem de acarajé não é 
baiano”. 
e) “Pelo menos um baiano não gosta de axé ou 
não gosta de acarajé”. 
 
 
 
(FGV 2014) Em cada um dos três casos a seguir 
aparecem duas premissas e uma conclusão que 
deve decorrer exclusivamente dessas premissas. 
Identifique, em cada caso, se a conclusão é 
verdadeira (V) ou falsa (F). 
 
Caso 1 
 
Premissa 1: Carlos é advogado. 
Premissa 2: Alguns advogados gostam de 
cozinhar. 
Conclusão: Carlos gosta de cozinhar ( ). 
 
 
 
 
 
 
Caso 2 
Premissa 1: Lucas gosta de cozinhar. 
Premissa 2: Todos os advogados gostam de 
cozinhar. 
Conclusão: Lucas é advogado ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
Caso 3 
 
Premissa 1: Hugo gosta de cozinhar. 
Premissa 2: Nenhum advogado gosta de cozinhar. 
Conclusão: Hugo não é advogado ( ). 
 
 
 
 
 
 
As conclusões dos três casos acima são, 
respectivamente, 
 
a) F, F e V. 
b) F, V e V. 
c) V, F e V. 
d) V, V e F. 
e) V, V e V. 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1. B 2. B 3. B 4. D 5. E 
6. D 7. E 8. E 9. E 10. A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 CONJUNTOS 
 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/lyawYntUYMI 
 
Conjunto é uma reunião de elementos, podemos 
dizer que essa definição é bem primitiva, mas a 
partir dessa ideia podemos relacionar outras 
situações. O conjunto universo e 
o conjunto vazio são tipos especiais de conjuntos. 
 
CONJUNTO 
 
O conjunto de todos os torcedores do Bahia. 
O conjunto de todos os números inteiros. 
O conjunto de todos os números reais tal que 
x2 – 16 = 0 
 
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra 
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ... Z. 
 
 
ELEMENTO 
 
João de Oliveira é um elemento do conjunto dos 
torcedores do Bahia. 
-7 é um elemento do conjunto dos números 
inteiros 
+5 é um elemento do conjunto dos números reais 
que satisfaz à equação x2 – 25 = 0. 
 
Em geral, um elemento de um conjunto, é 
denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, 
b, c,...z. 
 
PERTINÊNCIA 
 
Quando um elemento pertence a um conjunto, 
utilizamos o símbolo: , que se lê: “pertence”. 
 
Para afirmar que -7 é um número real, 
escrevemos -7 IR. 
Para afirmar que -5 não é um número natural, 
escrevemos -7IN. 
 
 
 
 
 
ALGUMAS NOTAÇÕES PARA 
CONJUNTOS 
 
APRESENTAÇÃO: 
Os elementos do conjunto estão dentro de duas 
chaves { e } 
 
A = { a, b, c, d, e } 
N = {0, 1, 2,3, ...} 
 
PROPRIEDADE 
O conjunto é descrito por uma ou mais 
propriedades. 
 
A = {x: x é uma vogal} 
P = {x : x é um número primo par} 
D = {x ϵ Z*|-1 < x ≤ 7 } 
 
DIAGRAMA DE VENN – EULER 
 
Os conjuntos são mostrados graficamente 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO 
 
Se todos os elementos de um conjunto A são 
também elementos de um conjunto B, dizemos 
que: 
 
A está contido em B (A B ); 
B contém A (B  A); 
A é subconjunto de B; 
A é parte de B. 
 
 
 
 
 
 
elemento conjunto 
subconjunto conjunto 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
DETERMINANDO OS SUBCONJUNTOS 
DE UM CONJUNTO 
 
Dado o conjunto A = { 2, 4, 6 }, temos os 
seguintes subconjuntos: 
 
{ }, { 2 }, { 4 },{ 6 },{ 2,4 },{ 2,6 },{ 4,6},{ 
2,4,6} 
 
A tem n elementos, então A tem 2n 
subconjuntos 
 
No total, temos 8 subconjuntos. 
 
Os conjuntos { } e {2,4,6}são chamados de 
subconjuntos triviais de A. 
 
 
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM 
CONJUNTO 
 
a) Para dois conjuntos - sejam os conjuntos A e 
B contidos no universo U e sejam também: 
 
n(A) = número de elementos de A; 
n(B) = número de elementos de B; 
n(A ⋂ B) = número de elementos da interseção 
de A e B; 
n(A ⋃ B) = número de elementos da união de A 
e B. 
Observando o diagrama podemos escrever a 
seguinte fórmula: 
 
 
 
𝒏(𝑨∪𝑩)=𝒏(𝑨)+𝒏(𝑩)−𝒏(𝑨∩𝑩) 
 
 
 
 
 
 
 
b) Para três conjuntos - sejam os conjuntos A, B 
e C contidos no universo U: 
 
𝒏(𝑨∪𝑩∪𝑪)=𝒏(𝑨)+𝒏(𝑩)+𝒏(𝑪)−𝒏(𝑨∩𝑩)−𝒏(𝑨∩
𝑪)−𝒏(𝑩∩𝑪)+𝒏(𝑨∩𝑩∩𝑪) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
(FGV) Analisando-se a situação administrativa 
de cada um dos 84 funcionários de uma empresa, 
verificou-se que 68 funcionários fizeram o exame 
médico anual, 52 tomaram a vacina de gripe 
(sugerida pela empresa) e 13 não fizeram exame 
médico nem tomaram a vacina. O número de 
funcionários que fizeram o exame e tomaram a 
vacina é de 
 
𝒏(𝑨∪𝑩) = 𝒏(𝑨)+𝒏(𝑩)−𝒏(𝑨∩𝑩) 
 
 84 – 13 = 68 + 52 – x 
 71 = 120 – x 
 x = 49 
letra E 
 
a) 41 
b) 43 
c) 45 
d) 47 
e) 49 
 
 
MACETE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (FUNDATEC 2014 – SEFAZ RS) 
Dado os conjuntos A = {x ϵ Z*|-1 < x ≤ 7 }, 
B = { x ϵ N | x ≤ 4 } e C = { x ϵ Z+| x ≤ 2 } , 
afirma-se que 
 
I. (A – B) ∩ (B U C) = . 
II. (B – A) ∩ C é um conjunto unitário. 
III. (C – A) ∩ C é um subconjunto de B. 
 
Quais estão corretas? 
 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas I e III. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
03. (INSTITUTO AOCP/EBSERH 2015) 
Considere o conjunto A sendo o conjunto de 
todos os animais do planeta Terra, o conjunto B 
sendo o conjunto de todos os seres humanos e x 
representando uma caneta. Sendo assim, é correto 
afirmar que 
 
a) x A 
b) x B 
c) A B 
d) B A 
e) BA 
 
04. (FGV ) Uma pesquisa de opinião foi realizada 
com 50 pessoas. Essa pesquisa procurava saber 
que veículos de comunicação (jornal, rádio ou 
televisão) essas pessoas utilizam para tomar 
conhecimento das notícias diariamente. Após a 
pesquisa, descobriu-se que: 
 
41 pessoas utilizam televisão; 
33 pessoas utilizam jornal; 
30 pessoas utilizam rádio; 
29 pessoas utilizam televisão e jornal; 
25 pessoas utilizam televisão e rádio; 
21 pessoas utilizam jornal e rádio; 
18 pessoas utilizam televisão, jornal e rádio. 
A quantidade de pessoas que não utilizam 
nenhum dos três veículos é 
 
a) 4 
b) 1 
c) 0 
d) 2 
e) 3 
 
EXEMPLOS IMPORTANTES 
 
 
 
 
36 
 
 
 
05. (AOCP) Num grupo de 30 pessoas, 16 
gostam de assistir novelas e 20 de assistir futebol. 
O número de pessoas desse grupo que gosta de 
assistir novela e futebol é de 
 
a) no mínimo 6. 
b) no máximo 6. 
c) exatamente 16. 
d) no mínimo 16. 
e) exatamente 6. 
 
06. (CONSULTEC 2015) Em um grupo de 
estudantes, 70 falam inglês; 39, espanhol; 16, 
francês e 7 não falam nenhuma dessas línguas. 
Dentre eles, 21 falam inglês e espanhol, 13 falam 
inglês e francês e todos os que falam espanhol e 
francês também falam inglês. O número de 
estudantes nesse grupo está no intervalo 
 
01) [70,79] 
02) [80,89] 
03) [90,99] 
04) [100,109] 
05) [110,119] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(FUNSAUDE- ENFERMEIRO 
NEFROLOGIA – FGV 2021) Em uma 
assembleia com 132 votantes, duas propostas 
foram votadas. Cada votante votou contra ou a 
favor de cada uma das duas propostas. A proposta 
1 recebeu 75 votos a favor e, a proposta 2, 81 
votos a favor. Exatamente 30 votantes votaram 
contra as duas propostas. Não houve votoem 
branco nem abstenções. O número de votantes 
que votou a favor das duas propostas foi 
 
a) 51. 
b) 52. 
c) 54. 
d) 56. 
e) 57. 
 
 
 
(ALERO ANALISTA LEGISLATIVO – FGV 
2018) O número de subconjuntos do conjunto 
{2,3,4,5,6,7,8} que têm, pelo menos, um número 
ímpar é 
 
a) 112. 
b) 113. 
c) 114. 
e) 115. 
e) 116. 
 
 
 
(FGV 2017) Na assembleia de um condomínio, 
duas questões independentes foram colocadas em 
votação para aprovação. Dos 200 condôminos 
presentes, 125 votaram a favor da primeira 
questão, 110 votaram a favor da segunda questão 
e 45 votaram contra as duas questões. Não houve 
votos em branco ou anulados. O número de 
condôminos que votaram a favor das duas 
questões foi: 
 
a) 80; 
b) 75; 
c) 70; 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
 
 
37 
 
 
d) 65; 
e) 60. 
 
 
 
(FGV 2017) Dois conjuntos A e B têm a mesma 
quantidade de elementos. A união deles tem 2017 
elementos e a interseção deles tem 1007 
elementos. 
O número de elementos do conjunto A é 
 
a) 505. 
b) 1010. 
c) 1512. 
d) 1515. 
e) 3014. 
 
 
 
(FGV 2016) Em certo escritório trabalham 25 
advogados. Dentre eles, 18 falam inglês e 12 
falam espanhol. O número máximo de 
advogados desse escritório que não fala nenhum 
desses dois idiomas é 
 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9. 
 
 
 
Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas 
na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 
44 são empresas exportadoras e 19 não se 
enquadram em nenhuma das classificações 
acima. Das empresas do Nordeste, 19 são 
familiares e 20 são exportadoras. Das empresas 
familiares, 21 são exportadoras. O número de 
empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo 
familiares e exportadoras é 
 
a) 21. 
b) 14. 
c) 16. 
d) 19. 
e) 12. 
 
 
 
 
(FGV 2013) Em um conjunto de 100 objetos, 
todo objeto do tipo B também é dos tipos A ou C. 
Apenas um objeto é simultaneamente dos tipos A, 
B e C. Há 25 objetos que são somente do tipo A 
e 9 objetos são simultaneamente dos tipos A e B. 
Vinte objetos não são de nenhum dos tipos A, B 
ou C. A quantidade de objetos do tipo C é 
 
a) 46. 
b) 47. 
c) 48. 
d) 49. 
e) 50. 
 
 
 
(ANALISTA DO MINISTÉRIO PÚBLICO 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO – FGV 
2019) Sobre os conjuntos A e B, sabe-se que: 
• A – B tem 7 elementos; 
• A tem 28 elementos; 
• A união de A e B tem 38 elementos. 
 
O número de elementos do conjunto B é: 
 
a) 10; 
b) 18; 
c) 21; 
d) 31; 
e) 35. 
 
 
 
(CESGRANRIO – BANCO DO BRASIL – 
ESCRITURÁRIO AGENTE COMERCIAL – 
2021) Um banco está selecionando um novo 
escriturário e recebeu um total de 50 currículos. 
Para o exercício desse cargo, três habilidades 
foram especificadas: comunicação, 
relacionamento interpessoal e conhecimento 
técnico. As seguintes características foram 
detectadas entre os candidatos a essa vaga: 
 
•15 apresentavam habilidade de comunicação; 
•18 apresentavam habilidade de relacionamento 
interpessoal; 
• 25 apresentavam conhecimento técnico; 
 
 
 
38 
 
 
•Seis apresentavam habilidade de relacionamento 
interpessoal e de comunicação; 
•Oito apresentavam habilidade de relacionamento 
interpessoal e conhecimento técnico; 
•Dois candidatos apresentavam todas as 
habilidades; 
•Oito candidatos não apresentavam nenhuma das 
habilidades. 
 
Com base nessas informações, qual o número 
total de candidatos que apresentam apenas uma 
das três habilidades apontadas? 
 
a) 28 
b) 38 
c) 21 
d) 13 
e) 15 
 
 
 
(PMS – GUARDA MUNICIPAL – FGV 2019) 
50 atletas estão treinando e todos usam bermuda 
e camiseta do mesmo modelo, mas com cores 
diversas. Entre esses atletas há 20 com bermudas 
brancas, 25 com camisetas brancas e 12 com 
bermudas e camisetas brancas. Assinale a opção 
que indica o número de atletas que não estão 
vestindo nenhuma peça branca. 
 
a) 5. 
b) 13. 
c) 15. 
d) 17. 
e) 20. 
 
 
 
GABARITO 
 
1. C 2. A 3. A 4. C 5. C 
6. E 7. B 8. D 9. A 10. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
 NÚMEROS INTEIROS, REAIS ... 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/R3j0phTnk3I 
 
NÚMEROS NATURAIS 
 
Os números naturais são usados para quantificar 
e ordenar os elementos de uma coleção e também 
como código para identificar pessoas, bem como 
número de telefones, o RG, etc. O conjunto dos 
números naturais pode ser representado da 
seguinte maneira: 
 
N = {0,1,2,3,...} 
N* = {1,2,3,...} 
 
NÚMEROS INTEIROS 
 
Os números inteiros, que podem ser positivos ou 
negativos, são usados para representar ganhos ou 
perdas, para representar o oposto de um número 
ou o sentido que se deve dar a uma dada trajetória. 
O conjunto dos números inteiros pode ser 
representado assim: 
 
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 
 
Subconjuntos de Z 
 
1. Conjunto dos números inteiros não nulos 
 
Z* = {...,-3,-2,-1,1,2,3,...} 
 
2. Conjunto dos números inteiros não negativos 
 
Z+ = {0,1,2,3,...} = N 
 
3. Conjunto dos números inteiros positivos 
 
Z+* = {1,2,3,...} = N* 
 
4. Conjunto dos números inteiros não positivos 
 
Z- = {...,-3,-2,-1,0} 
 
5. Conjunto dos números inteiros negativos 
 
Z-* = {...,-3,-2,-1} 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 
 
Adição de números inteiros: Na adição de 
números inteiros, somam-se as parcelas: 
 
Sinais iguais na soma ou na subtração: some os 
números e conserve o sinal. 
 
Exemplos: 
 
+2 + 5 = +7 
-5 - 4 = - 9 
 
 
Sinais diferentes: conserve o sinal do maior 
número e subtraia. 
 
-15+20 = +5 
3 - 4 = -1 
 
Multiplicação e divisão de números inteiros: 
 
Sinais iguais na multiplicação ou na divisão 
sempre resultam em sinal positivo. 
 
(+ 2) . (+ 4) = + 8 
(- 4) . (- 10) = + 40 
(- 20) : (- 2) = + 10 
 
Sinais diferentes na multiplicação ou na divisão 
sempre resultam em sinal negativo. 
 
(+ 6) . (- 7 ) = - 42 
(- 12) : (+ 2) = - 6 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os números racionais (Q) – que podem ser 
representados em forma fracionária ou decimal, 
são usados em problemas que envolvem as partes 
de um todo, um quociente, a razão entre dois 
números inteiros, etc. Chama-se de número 
racional todo número que pode ser colocado na 
forma de fração 
q
p
, com p Z e q Z*. 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
FRAÇÕES 
 
LINK DESSA AULA: 
https://youtu.be/dpBbRYFMNFo 
 
 
 
 
 
4
1
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
Adição e subtração 
 
Para adicionarmos (ou subtrairmos) frações de 
mesmo denominador conservamos o 
denominador e adicionamos (ou subtraímos) os 
numeradores. 
 
EXEMPLO: 
 
=+
7
4
7
3
 
 
Para adicionarmos (ou subtrairmos) frações de 
denominadores diferentes é necessário primeiro 
reduzi-las ao menor denominador comum, para 
depois trabalharmos como o fazemos quando as 
frações têm o mesmo denominador. 
 
EXEMPLO: 
 
(FGV) Quanto vale a soma 1/2 + 1/3 + 1/6 
 
a) 1 
b) 1/8 
c) 1/11 
d) 3/11 
e) 1/36 
 
 
 
 
 
Multiplicação 
 
Para multiplicarmos frações de denominadores 
iguais ou diferentes multiplicamos numeradores 
com numeradores e denominadores com 
denominadores. 
EXEMPLOS: 
 
a) =
8
25
.
10
6
.
5
4
 
b) 
5
3
de 60 = 
 
Divisão 
 
Para dividirmos frações de mesmo 
denominadores ou de denominadores diferentes 
transformamos a divisão em multiplicação da 
primeira fração pelo inverso da segunda fração e 
depois efetuamos a multiplicação como foi 
exemplificado anteriormente. 
 
EXEMPLO: 
 
(FGV ) Quanto vale a divisão 
10
9
:
5
6
 
a) 
75
2
 b) 
4
3
 c) 1 
d) 
25
27
 e)
3
4
 
 
Número misto – é o número que possui uma 
parte inteira e outra fracionária. 
 
EXEMPLO: 
2 
5
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
numerador 
denominador 
 
 
 
41 
 
 
EXEMPLOS