Secao 16 3 -Teorema Fundamental das Integrais de Linha

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LISTA DE CÁLCULO III – CÁLCULO VETORIAL
Seção 16.3 - Teorema Fundamental das Integrais de Linha
1. A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma funçãao f cujo gradiente é
cont́ınuo. Determine
∫
C F · dr.
2. É dado uma tabela de valores de uma funçã f com gradiente cont́ınuo. Determine
∫
C F ·dr,
onde C tem equações paramétricas x = t2 + 1, y = t3 + t, 0 ≤ t ≤ 1.
x/y 0 1 2
0 1 6 4
1 3 5 7
2 8 2 9
3 – 10 Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
f tal que F = ∇f.
3. F(x, y) = (2x− 3y)i + (−3x+ 4y − 8)j.
4. F(x, y) = ex cos yi + ex sin yj.
5. F(x, y) = ex sin yi + ex cos yj.
6. F(x, y) = (3x2 − 2y2)i + (4xy + 3)j.
7. F(x, y) = (yex + sin y)i + (ex + x cos y)j.
8. F(x, y) = (xy cosxy + sinxy)i + (x2 cosxy)j.
9. F(x, y) = (lny + 2xy3)i + (3x2y2 + x/y)j.
10. F(x, y) = (xy coshxy + sinhxy)i + (x2 coshxy)j.
11. A figura mostra o campo vetiorial F(x, y) = 2xyi + x2j e três curvas que começam em
(1, 2) e terminam em (3, 2).
(a) Explique por que
∫
C F · dr tem o mesmo valor para as três curvas.
(b) Qual é esse valor comum?
12 – 18 (a) Determine uma função f tal que F = ∇f e (b) use a parte (a) para calcular∫
C F · dr sobre a curva C dada.
12. F(x, y) = x2i + y2j, C é o arco da parábola y = 2x2 de (−1, 2) a (2, 8)
13. F(x, y) = xy2i + x2yj, C : r(t) = 〈t+ sin 12πt, t+ cos
1
2πt〉, 0 ≤ t ≤ 1
1
14. F(x, y) = y
2
1+x2
i + 2y arctanxj, C : r(t) = 〈t2, 2t〉, 0 ≤ t ≤ 1
15. F(x, y, z) = yzi + xzj + (xy + 2z)k, C é o segmento de reta de (1, 0,−2) a (4, 6, 3)
16. F(x, y, z) = (2xz + y2)i + 2xyj + (x2 + 3z2)k, C : x = t2, y = t+ 1, z = 2t− 1, 0 ≤ t ≤ 1
17. F(x, y, z) = y2 cos zi + 2xy cos zj− xy2 sin zk, C : r(t) = t2i + sin tj + tk, 0 ≤ t ≤ π
18. F(x, y, z) = eyi + xeyj + (z + 1)ezk, C : r(t) = ti + t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1
19 – 20 Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral
19.
∫
C 2x sin y dx+ (x
2cosy − 3y2)dy, C é qualquer caminho de (−1, 0) a (5, 1).
20.
∫
C(2y
2 − 12x3y3)dx+ (4xy − 9x4y2)dy, C é qualquer caminho de (1, 1) a (3, 2).
21 – 22 Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F ao mover um objeto de P a Q.
21. F(x, y) = 2y3/2i + 3x
√
yj; P(1, 1), Q(2, 4)
22. F(x, y) = e−yi− xe−yj; P(1, 1), Q(2, 0)
RESPOSTAS – SEÇÃO 16.3 – TEOREMA FUNDAMENTAL DAS INTEGRAIS DE LINHA
1. 40
2. 6
3. f(x, y) = x2 − 3xy + 2y2 − 8y + k
4. Não
5. f(x, y) = ex sin y + k
6. Não
7. f(x, y) = yex + x sin y + k
8. f(x, y) = x sinxy + k
9. f(x, y) = x ln y + x2y3 + k
10. f(x, y) = x sinhxy + k
11. (b) 16
12. (a) f(x, y) = x
3+y3
3 (b) 171
13. (a) f(x, y) = x
2y2
2 (b) 2
14. (a) f(x, y) = y2 arctanx (b) π
15. (a) f(x, y) = xyz + z2 (b) 77
16. (a) f(x, y) = x2z + xy2 + z3 (b) 8
17. (a) f(x, y) = xy2 cos z (b) 0
18. (a) f(x, y) = xey + zez (b) 2e
19. 25 sin 1− 1
20. −1919
21. 30
22. 2− e−1
2