Exercícios Calculo 1 Unidade III

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA
Campus: Cajazeiras
Curso: Bacharelado em Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: José Doval Nunes Martins
Período letivo: 2020.2
LISTA DE EXERCÍCIOS DA UNIDADE III
1. Use a definição de derivada para encontrar a derivada primeira de cada uma das funções a seguir:
(a) f (x) = x2 − 2x
(b) f (x) = 3
√
x+ 1
(c) f (x) = x−12x+3
(d) f (x) = e2x
(e) f (x) = ln (x+ 1)
(f) f (x) = sin (2x)
2. Seja f (x) = 1√
x
uma curva.
(a) Determine o coeficiente angular da reta tangente a curva dada, no ponto de abscissa x = 1.
(b) Dê a equação da reta tangente no ponto mencionado.
(c) Dê os pontos da curva onde a tangente a curva tem inclinação de 60◦.
3. Em cada caso, verifique se a função dada é derivável nos pontos referidos:
(a) f(x) =
{
x+ 2, se x ≤ −4
−x− 2, se x > −4 , em x = −4
(b) f(x) =
{
3− 2x, se x < 2
3x− 7, se x ≥ 2 , em x = 2
(c) f (x) = |x− 3|, em x = 3
(d) f(x) =
{ √
1− x, se x < 1
1− x2, se x ≥ 1 , em x = 1
4. Obtenha a derivada primeira das funções abaixo e escreva-as na forma mais simples, sempre que possível.
(a) f (x) =
(
3
√
x2 + x
)2
(b) f (x) =
(
3x+ 5x
)
(x
√
x+ 1)
(c) f (x) = x
x2−4
(d) f (x) = 3
√
1− x2
(e) f (x) = (2x+ 1)3
(
x2 + 5
)4
(f) f (x) = (x
5+1)
3
(1−x3)4
(g) f (x) = −
√
a2−x2
a2x
(h) f (x) = sin
√
x
(i) f (x) = cos3
(
3x2
)
(j) f (x) = tan
(
x√
x−1
)
(k) f (x) =
√
cot
(
1
3√
x2
)
(l) f (x) = ex2 + csc (3−x)
(m) f (x) = esec
2(
√
x)
(n) f (x) = ln
(
x+1
x−1
)
(o) f (x) = ln
(
cos
(
x3
))
(p) f (x) = cos (4x lnx)
(q) f (x) = ln
(
x+
√
x2 + 1
)
(r) f (x) = arctan(2x)
1+4x2
(s) f (x) = ln (arcsin
√
x)
(t) f (x) = arccos
(√
1− x2
)
(u) f (x) = arctan (ex) arcsin (e−x)
(v) f (x) = cos
(
arctan2 (3x)
)
5. Dê o(s) ponto(s) onde a função dada não é derivável.
(a) f(x) = x
1
3 + x
4
3
(b) f(x) =
{
1−
√
x, se x ≥ 0
1−
√
−x, se x < 0
(c) f (x) = |x|+ |x+ 1|
(d) f (x) = (x+ 1)
2
3 (x− 3)
1
3
6. Sendo f (x) = cos
2(2x)
e2x+1
, qual o valor da derivada de f (x), em relação a x, no ponto x = 0?
7. Use derivação implícita para obter dydx da função derivável y = f (x) que satisfaz cada uma das seguintes
equações:
(a) y2 + 4xy + x3 = 0
(b) cos (x+ 2y) = y2e4x
(c) xy + ln (xy) = 5x
(d) 7−2yy2 = sin
(
x2y2
)
(e) y = exx
(f) y =
(
x2 + 1
)x
8. Seja y = f (x) uma função derivável que satisfaz cada uma das equações abaixo. Determine a equação da
reta tangente ao gráfico de f no ponto P indicado.
(a) y4 − 4x4 = 6xy, P (1, 2) (b) sin (xy) =
√
2
2 x, P
(
1, π4
)
9. Encontre a equação da reta tangente à elipse x
2
2 +
y2
8 = 1 passando pelo ponto (1, 2).
10. Determine a equação da reta tangente à curva y = xx no ponto de abscissa x = 1.
11. Calcular y′ = dydx das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para quais valores de t, y
′ está
definida?
(a)
{
x = t2
y = t3
, t ∈ (0,+∞)
(b)
{
x = 3 cos t
y = 4 sin t
, t ∈ [π, 2π]
(c)
{
x = 2t− 1
y = t3 + 5
, −∞ < t < +∞
(d)
{
x = cos (2t)
y = sin (2t)
, t ∈
[
0, π2
]
(e)
{
x = cos3 t
y = sin3 t
, t ∈
(
−π2 , 0
)
(f)
{
x = 8 cos3 t
y = 8 sin3 t
, t ∈ [0, π]
12. Verifique se a função definida parametricamente por
{
x = sec t
y = ln (cos t)
, para todo t ∈
(
−π2 ,
π
2
)
satisfaz a
equação d
2y
dx2
+ ey dydx = 0.
13. As equações paramétricas
{
x = 2 (t− sin t)
y = 2 (1− cos t) , para todo t ∈ (0, π), representam uma curva chamada de
ciclóide. Determine a equação da reta normal a essa ciclóide que seja paralela à reta r : 2x+ 2y − 1 = 0.
14. Sejam f : R → R uma função diferenciável (derivável) duas vezes e g : R → R dada por g (x) =
f (x+ 2 cos (3x)).
(a) Calcule g′′ (x) .
(b) Supondo f ′ (2) = 1 e f ′′ (2) = 8, calcule g′′ (0).
15. Considere a função g (x) = cosx · [f (x)]2, onde f : R→ R é duas vezes diferenciável (derivável), f (0) = −1,
f ′ (0) = f ′′ (0) = 2. Calcule g′′ (0).
2
16. Seja f (x) = x
x2−1 . Verifique que f
′ (x) =
−(1+x2)
(x2−1)2 e f
′′ (x) =
2x(x2+3)
(x2−1)3 .
17. Seja f (x) = (x+ 1)
2
3 (x− 3)
1
3 . Mostre que f ′ (x) = x−
5
3
(x+1)
1
3 (x−3)
2
3
e f ′′ (x) = −
32
9
(x+1)
4
3 (x−3)
5
3
.
18. Mostre, em cada item a seguir, que a função dada satisfaz a equação diferencial.
(a) y = e3x cos (x); y′′ − 6y′ + 13y = 0.
(b) y = − cosx ln (secx+ tanx); y′′ + y = tanx
(c) y = C1x+ C2x lnx+ 4x2; x3y′′′ + 2x2y′′ − xy′ + y = 12x2.
19. Determine o valor das constantes A e B para que a função y = A sin (2x) + B cos (2x) satisfaça a equação
y′′ + y′ − 2y = sin (2x).
20. Determine a expressão da derivada n-ésima em cada caso:
(a) f (x) = eax
(b) f (x) = (a+ bx)m ,m ∈ Z
(c) f (x) = cosx
(d) f (x) = x1+x
3
GABARITO
1. (a) f ′ (x) = 5
(2x+3)2
(b) f ′ (x) = 1
3(x+1)
2
3
(c) f ′ (x) = 2e2x
(d) f ′ (x) = 1x+1
2. (a) −12
(b) x+ 2y − 3 = 0
(c) Não existe
3. (a) f não é derivável em x = −4
(b) f não é derivável em x = 2
(c) f não é derivável em x = 3
(d) f não é derivável em x = 1
4. (a) f ′ (x) = 2x+ 43x
3
√
x4 + 103
3
√
x2
(b) f ′ (x) = 5
2
√
x
− 5
x2
+ 15x
3
2
2 + 3
(c) f ′ (x) = − x2+4
(x2−4)2
(d) f ′ (x) = −2x
3(1−x2)
2
3
(e) f ′ (x) = 2 (2x+ 1)2
(
x2 + 5
)3 (
11x2 + 4x+ 15
)
(f) f ′ (x) = −3x
2(x5+1)
2
(−x5+5x2+4)
(x3−1)5
(g) f ′ (x) = 1
x2
√
a2−x2
(h) f ′ (x) = cos
√
x
2
√
x
(i) f ′ (x) = −18x cos2
(
3x2
)
sin
(
3x2
)
(j) f ′ (x) =
(x−2) sec2
(
x√
x−1
)
2(x−1)
3
2
(k) f ′ (x) = 1
3x
3√
x2
√
tan
(
1
3√
x2
)
csc2
(
1
3√
x2
)
(l) f ′ (x) = 2xex2 + (ln 3) 3−x cot (3−x) csc (3−x)
(m) f ′ (x) = 1√
x
sec2 (
√
x) tan (
√
x) esec
2 (
√
x)
(n) f ′ (x) = − 2
x2−1
(o) f ′ (x) = −3x2 tanx3
(p) f ′ (x) = −4 (lnx+ 1) (sin (4x lnx))
(q) f ′ (x) = 1√
x2+1
(r) f ′ (x) = −8x arctan(2x)+2
(4x2+1)2
(s) f ′ (x) = (arcsin(
√
x))
−1
2
√
x
√
1−x
(t) f ′ (x) = x|x|√1−x2
(u) f ′ (x) = e
x
1+e2x
arcsin (e−x)− e−x√
1−e−2x arctan (e
x)
(v) f ′ (x) = −6 arctan(3x)·sin(arctan
2(3x))
9x2+1
5.
6. f ′ (0) = −1
7. (a) y′ = 3x−4y4x+2y
(b) y′ = − sin(x+2y)+4y
2e4x
2 sin(x+2y)+2ye4x
(c) y′ = xy+y
2−5xy2
x2−xy
(d) y′ = 2xy
3 cos(x2y3)
2y·7−2y(1−7 ln ·y)−3x2y2 cos(x2y3)
(e) y′ = xxexx (ln (x) + 1)
(f) y′ = 2x2
(
x2 + 1
)x−1
+
(
x2 + 1
)x
ln
(
x2 + 1
)
8. (a) 14x− 13y + 12 = 0
(b) (4− π)x− y − 4 + 2π = 0
4
9. 2x+ y − 4 = 0
10. y = x
11. (a) x = 32 t, t > 0
(b) − cot 2t, t ∈
(
0, π2
) (c) −43 cot t, t ∈ (π, 2π)
(d) − tan t, t ∈
(
−π2 , 0
) (e) 32 t2, t ∈ R
(f) − tan t, t ∈
(
0, π2
)
∪
(
π
2 , π
)
12.
13. y = −x+ π
14. (a) g′′ (x) = (1− 6 sin 3x)2 · f ′′ (x+ 2 cos 3x)− 18 cos 3x · f ′ (x+ 2 cos 3x)
(b) g′′ (0) = −10
15. g′′ (0) = 3
16.
17.
18.
19. A = − 320 e B = −
1
20
20. (a) f (n) (x) = an · eax
(b) f (n) (x) =
{
0, se m = 0
m!
(m−n)! (a+ bx)
(m−n) · bn, se m 6= 0
(c) f (n) (x) =

− sinx, se n = 1, 5, 9, · · ·
− cosx, se n = 2, 6, 10, · · ·
sinx, se n = 3, 7, 11, · · ·
cosx, se n = 4, 8, 12, · · ·
(d) f (n) (x) = (−1)
n+1·n!
(1+x)n+1
5