Apostila 1 2016 Hebert Aquino- ITA IME-Termodinâmica -Itaú

Prévia do material em texto

Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 1 
Sumário 
TEMPERATURA E SUA MEDIDA ................................. 3 
1. CONCEITOS INICIAIS DE TERMOLOGIA (TERMODINÂMICA): .. 3 
A) EXPERIMENTO DAS TRÊS BACIAS: ..................................... 3 
B) CONCEITO DE TEMPERATURA:.......................................... 3 
C) CONCEITO DE SISTEMA TERMODINÂMICO: ......................... 3 
D) CALOR E SEUS MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA: ................ 3 
E) SISTEMA TERMICAMENTE ISOLADO E LEI DE RESFRIAMENTO DE 
NEWTON: ......................................................................... 4 
E) LEI ZERO DA TERMODINÂMICA E EQUILÍBRIO TÉRMICO: ........ 4 
F) TERMOSCÓPIO DE GALILEU: ............................................. 4 
G)TERMÔMETRO: FUNCIONAMENTO E GRADUAÇÃO; .............. 5 
H) ESCALAS TERMOMÉTRICAS: ............................................. 5 
I)TERMÔMETRO DE GÁS A VOLUME CONSTANTE: ..................... 5 
J) ESTADOS DE AGREGAÇÃO DA MATÉRIA: ............................. 6 
L) DIAGRAMA DE FASES: ..................................................... 6 
M) EXEMPLOS CONCEITUAIS: ............................................... 7 
DILATAÇÃO TÉRMICA ............................................. 14 
1. INTRODUÇÃO: ........................................................ 14 
2. COEFICIENTE DE DILATAÇÃO LINEAR DE UM SÓLIDO: ........ 14 
3. COEFICIENTE DE DILATAÇÃO SUPERFICIAL DE UM SÓLIDO: .. 25 
4. COEFICIENTE DE DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA DE UM SÓLIDO: 25 
5. DILATAÇÃO DOS LÍQUIDOS: ....................................... 29 
6. COMPLEMENTOS ITA: .............................................. 36 
A) VARIAÇÃO NO PERÍODO DE UM PÊNDULO SIMPLES: ............ 36 
B) ESTUDO DA CURVATURA DE UMA LÂMINA BIMETÁLICA: ...... 38 
C) ESTUDO DA VARIAÇÃO DA INÉRCIA ROTACIONAL DE UM 
SÓLIDO: .......................................................................... 39 
D) VARIAÇÃO DA DENSIDADE DE UMA SUBSTÂNCIA COM A 
TEMPERATURA: ............................................................... 40 
E) PESO APARENTE DE UM CORPO EM DETERMINADA 
TEMPERATURA: ............................................................... 40 
CALORIMETRIA ...................................................... 43 
1. QUANTIDADE DE CALOR: .......................................... 43 
2. CALOR ESPECÍFICO: ................................................. 43 
3. CALOR ESPECÍFICO MOLAR: ....................................... 46 
4. CÁLCULOS ENVOLVENDO TROCA DE CALOR: .................... 46 
5. DICAS E OBSERVAÇÕES GERAIS DO HERBERT: .................. 50 
6. ESTRATÉGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE 
CALORIMETRIA: .......................................................... 51 
CALORIMETRIA E TRANSIÇÕES DE FASES: ................ 64 
TRANSIÇÕES DE FASE ................................................... 64 
PROPAGAÇÃO DE CALOR ........................................ 77 
1. MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR: ................ 77 
2. CONDUÇÃO TÉRMICA: .............................................. 77 
DICAS ITA:...................................................................... 79 
3. CONVECÇÃO TÉRMICA: ............................................. 84 
4. RADIAÇÃO TÉRMICA: ............................................... 85 
GASES PERFEITOS ................................................... 99 
1. INTRODUÇÃO: ........................................................ 99 
2. REVISÃO DE ALGUNS TÓPICOS DE HIDROSTÁTICA: ............ 99 
A) PRESSÃO ..................................................................... 99 
B) VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM A PROFUNDIDADE: .............. 100 
C) MEDIÇÕES DE PRESSÃO: .............................................. 101 
D) MANÔMETRO COMO MEDIDOR DE PRESSÃO: .................. 102 
3. LEIS EXPERIMENTAIS DOS GASES: ............................... 102 
A) LEI DE BOYLE: ............................................................ 102 
B) LEI DE CHARLES: ......................................................... 104 
C) LEI DE GAY- LUSSAC: ................................................... 104 
D) PRINCÍPIO DE AVOGADRO: ........................................... 104 
4. LEI DOS GASES IDEAIS: ............................................ 104 
5. LEI GERAL DOS GASES: ........................................... 111 
6. DENSIDADE DOS GASES: .......................................... 117 
7. VARIAÇÃO DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA COM A ALTURA:... 118 
TEORIA CINÉTICA DOS GASES ................................ 133 
1. INTRODUÇÃO: ...................................................... 133 
2. INTERPRETAÇÃO MOLECULAR DE UM GÁS IDEAL: ........... 134 
A) INTERPRETAÇÃO MOLECULAR DA PRESSÃO DE UM GÁS IDEAL:
 ................................................................................... 134 
B) INTERPRETAÇÃO MOLECULAR DA TEMPERATURA DE UM GÁS 
IDEAL: .......................................................................... 136 
3. CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA CINÉTICA:....................... 138 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 2 
A) DIFUSÃO DE GASES (LEI DE GRAHAM): .......................... 138 
B) LEI DAS PRESSÕES PARCIAIS (LEI DE DALTON): ................. 139 
4. GRAUS DE LIBERDADE E TEOREMA DA EQUIPARTIÇÃO DA 
ENERGIA: ............................................................... 139 
5. COLISÕES ENTRE MOLÉCULAS (LIVRE CAMINHO MÉDIO): 141 
TERMODINÂMICA ................................................ 146 
1. INTRODUÇÃO: ...................................................... 146 
2. SISTEMAS TERMODINÂMICOS:.................................. 146 
3. TRABALHO REALIZADO DURANTE UMA VARIAÇÃO DE 
VOLUME: ............................................................... 147 
4. ENERGIA INTERNA E PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: 151 
A) ENERGIA INTERNA: ..................................................... 151 
B) PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: .............................. 152 
5. APLICAÇÕES DA 1ª LEI DA TERMODINÂMICA AS 
TRANSFORMAÇÕES GASOSAS: ...................................... 157 
A) TRANSFORMAÇÃO ISOBÁRICA: ...................................... 157 
B) TRANSFORMAÇÃO ISOCÓRICA: ..................................... 160 
C) TRANSFORMAÇÃO ISOTÉRMICA: ................................... 162 
D) TRANSFORMAÇÃO ADIABÁTICA: .................................... 164 
E) TRANSFORMAÇÃO CÍCLICA: .......................................... 171 
F) EXPANSÃO LIVRE: ....................................................... 176 
6. COMPLEMENTOS ITA- IME: .................................... 178 
A) PARÂMETROS TERMODINÂMICOS DE UMA MISTURA DE GASES:
 ................................................................................... 178 
B) TRANSFORMAÇÕES POLITRÓPICAS: ................................ 180 
C) EXPANSÃO (OU COMPRESSÃO) DE UM GÁS EM UM CILINDRO 
CUJO ÊMBOLO MÓVEL ESTÁ LIGADO A UMA MOLA: .............. 183 
7. SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA ........................... 202 
A) PROCESSOS REVERSÍVEIS E IRREVERSÍVEIS: ...................... 202 
B) MÁQUINAS TÉRMICAS E A SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA:
 ................................................................................... 202 
C) BOMBAS DE CALOR E REFRIGERADORES: ........................ 204 
D) A MÁQUINA DE CARNOT:............................................ 205 
E) REFRIGERADOR DE CARNOT: ........................................ 211 
8. MÁQUINAS REAIS E RENDIMENTO: ............................ 213 
A) CICLO OTTO: ............................................................. 213 
B) CICLO DIESEL: ............................................................ 215 
C) CICLO DE JOULE: ........................................................ 216 
D) CICLO DE STIRLING: .................................................... 217 
9. EXERCÍCIOS ESPECIAIS SOBRE CICLOS TERMODINÂMICOS: 218 
10. IRREVERSIBILIDADE, DESORDEM E ENTROPIA: ............ 237 
CASOSPARTICULARES DE VARIAÇÃO DA ENTROPIA: .......... 239 
A) VARIAÇÃO DE ENTROPIA ∆𝑺 NUMA TRANSIÇÃO DE FASE: .. 239 
B) ENTROPIA DE UM GÁS IDEAL: ........................................ 240 
C) VARIAÇÃO DA ENTROPIA ∆𝑺 PARA PROCESSOS À PRESSÃO 
CONSTANTE: .................................................................. 242 
D) VARIAÇÃO DA ENTROPIA ∆𝑺 PARA UMA COLISÃO 
PERFEITAMENTE INELÁSTICA: ............................................ 243 
E) VARIAÇÃO DA ENTROPIA ∆𝑺 PARA A TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
DE UM RESERVATÓRIO PARA OUTRO: ................................. 243 
F) VARIAÇÃO DA ENTROPIA ∆𝑺 PARA UM CICLO DE CARNOT: . 245 
G) VARIAÇÃO DE ENTROPIA ∆𝑺 EM UM PROCESSO DE CONDUÇÃO 
DE CALOR: ..................................................................... 247 
11. EXERCÍCIOS ESPECIAIS SOBRE ENTROPIA: ................... 248 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................. 260 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 3 
Temperatura e sua Medida 
1. Conceitos iniciais de 
Termologia (Termodinâmica): 
A) Experimento das Três Bacias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) Conceito de Temperatura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Conceito de Sistema Termodinâmico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Calor e seus mecanismos de transferência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Sistema Termicamente Isolado e Lei de 
Resfriamento de Newton: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Lei Zero da Termodinâmica e Equilíbrio 
Térmico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Termoscópio de Galileu: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)Termômetro: Funcionamento e Graduação; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) Escalas Termométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i)Termômetro de gás a volume constante: 
 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) Estados de Agregação da Matéria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l) Diagrama de Fases: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 7 
m) Exemplos Conceituais: 
Exemplo resolvido: (UPF-2014) Em um laboratório, 
um estudante deseja realizar medidas de variações 
pequenas de temperatura, no entanto, percebe que o 
termômetro comum disponível nesse laboratório é 
pouco eficiente, pois possui divisões de meio grau. 
Dessa forma, resolve construir um novo termômetro, 
que possua uma escala com décimos de grau, tomando, 
para tal, algumas providências, que estão descritas a 
seguir. Qual delas não irá contribuir para a ampliação 
da escala do termômetro? 
a) Usar um líquido de maior coeficiente de dilatação. 
b) Aumentar o volume do depósito de líquido. 
c) Diminuir o diâmetro do tubo capilar de vidro. 
d) Usar um vidro de menor coeficiente de dilatação. 
e) Aumentar, exclusivamente, o comprimento do 
tubo de vidro. 
Comentário: Aumentando, exclusivamente, o 
comprimento do tubo de vidro, ele somente conseguirá 
medir temperaturas mais altas, porém com a mesma 
precisão. 
 
Exemplo resolvido: (UEPG-2010) A temperatura é 
uma das grandezas físicas mais conhecidas dos leigos. 
Todos os dias boletins meteorológicos são divulgados 
anunciando as prováveis temperaturas máxima e 
mínima do período. A grande maioria da população 
conhece o termômetro e tem o seu próprio conceito 
sobre temperatura. Sobre temperatura e termômetros, 
assinale o que for correto. 
01) A fixação de uma escala de temperatura deve estar 
associada a uma propriedade física que, em geral, varia 
arbitrariamente com a temperatura. 
02) Grau arbitrário é a variação de temperatura que 
provoca na propriedade termométrica uma variação 
correspondente a uma unidade da variação que esta 
mesma propriedade sofre quando o termômetro é 
levado do ponto de fusão até o ponto de ebulição da 
água. 
04) Temperatura é uma medida da quantidade de calor 
de um corpo. 
08) A água é uma excelente substância termométrica, 
dada a sua abundância no meio ambiente. 
16) Dois ou mais sistemas físicos, colocados em contato 
e isolados de influências externas, tendem para um 
estado de equilíbrio térmico, que é caracterizado por 
uma uniformidade na temperatura dos sistemas. 
 
Comentários: 
 
(01) Errada. É necessário haver uma lei bem definida 
relacionando a grandeza física com a temperatura. 
Procuram-se geralmente grandezas que variam 
linearmente com a temperatura, como, por exemplo, o 
comprimento de uma coluna de mercúrio. 
(02) Correta. Pode-se estipular qualquer divisão para o 
intervalo entre os pontos fixos adotados. O intervalo 
entre duas divisões é o grau termométrico para a escala 
escolhida. 
(04) Errada. Temperatura é a medida da energia 
cinética média das partículas. 
(08) Errada. A água tem comportamento anômalo 
quanto à sua dilatação térmica, não servindo como 
substância termométrica. 
(16) Correta. Corpos colocados em contato térmico, 
isolados de outros corpos, trocam calor, tendendo para 
a temperatura de equilíbrio. 
 
Exemplo de Classe: Analise as proposições e indique a 
verdadeira. 
a) Calor e energia térmica são a mesma coisa, podendo 
sempre ser usados tanto um termo como o outro, 
indiferentemente. 
b) Dois corpos estão em equilíbrio térmico quando 
possuem quantidades iguais de energia térmica. 
c) O calor sempre flui da região de menor temperatura 
para a de maior temperatura. 
d) Calor é energia térmica em trânsito, fluindo 
espontaneamente da região de maior temperatura 
para a de menor temperatura. 
e) Um corpo somente possui temperatura maior que a 
de um outro quando sua quantidade de energia térmica 
também é maior que a do outro. 
 
Exemplo de classe: Calor e temperatura são conceitos 
estatísticos ligados às propriedades coletivas das 
partículas que constituem os corpos: a temperatura está 
ligada à energia cinética média das partículas e o calor, 
às trocas de energia entre os constituintes dos corpos. 
Ao utilizar em aula um termoscópio, o professor, 
associando discussões históricas ao experimento, 
possibilitará que seus alunos distingam os conceitos de 
temperatura e calor, ao constatarem que, quando ele 
segura o termoscópio a partir do bulbo, o nível do 
líquido: 
a) aumenta, caso a temperatura do professor seja 
superior à do ambiente. 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 8 
b) aumenta, caso a temperatura do professor seja igual 
à do ambiente. 
c) aumenta, para qualquer temperatura ambiente. 
d) não se altera, caso a temperatura do professor seja 
menor que a do ambiente. 
e) diminui, caso a temperatura do professor seja 
maior que a do ambiente. 
 
Exemplo de classe: Por que você não pode ter certeza 
se está com febre alta tocando sua própria testa? 
 
Comentário: Porque não teremos a sensação de 
“quente”, haja vista a mão e a testa estarem em 
equilíbrio térmico. 
 
Exemplo de Classe: No café-da-manhã, uma colher 
metálica é colocada no interior de uma caneca que 
contém leite bem quente. A respeito desse 
acontecimento, são feitas três afirmativas. 
I. Após atingirem o equilíbrio térmico, a colher e o 
leite estão a uma mesma temperatura. 
II. Após o equilíbrio térmico, a colher e o leite passam a 
conter quantidades iguais de energia térmica. 
III. Após o equilíbrio térmico, cessa o fluxo de calor 
que existia do leite (mais quente) para a colher (mais 
fria). 
Podemosafirmar que: 
a) somente a afirmativa I é correta; 
b) somente a afirmativa II é correta; 
c) somente a afirmativa III é correta; 
d) as afirmativas I e III são corretas; 
e) as afirmativas II e III são corretas. 
 
Exemplo de classe: Por que o bulbo de um termômetro 
deve ter o formato cilíndrico em vez do formato 
esférico? 
 
Resposta: Porque se tivermos um cilindro e uma esfera 
de mesmo volume, a área do cilindro é maior. Área 
maior, contato maior com os corpos, o que torna o 
termômetro mais sensível. 
 
Exemplo de classe: O que aconteceria a um gás se 
sua temperatura pudesse atingir 0𝐾? 
 
Resposta: Se ignorarmos a liquefação e a solidificação 
da substância, a pressão que seria exercida nas 
paredes do recipiente seria zero. No estudo da Teoria 
Cinética dos Gases mostraremos que a pressão de um 
gás é proporcional à energia cinética das moléculas 
desse gás. Assim, de acordo com a física clássica, a 
energia cinética do gás iria a zero e não haveria nenhum 
movimento das componentes individuais do gás; 
portanto, as moléculas iriam assentar-se no fundo do 
recipiente. A teoria quântica, modifica essa afirmação ao 
indicar que haveria alguma energia residual, chamada 
de energia do ponto zero, nessa temperatura baixa. 
 
Zero Absoluto→ menor temperatura possível→ 
limite em que as moléculas estariam praticamente 
paradas. 
 
Exemplo de Classe: (UECE) Considere um sistema 
constituído por dois corpos de temperaturas diferentes. 
Este sistema está isolado termicamente do ambiente. 
Ao longo de um intervalo de tempo, o corpo quente 
aquece o frio. Podemos afirmar corretamente que no 
final deste intervalo: 
 A) suas respectivas variações de temperatura sempre 
são as mesmas. 
B) o aumento de temperatura do corpo frio é sempre 
maior, em módulo, que a queda de temperatura do 
corpo quente. 
C) a quantidade de energia perdida pelo corpo 
quente é igual à quantidade de energia ganha pelo 
corpo frio. 
D) a quantidade de energia ganha pelo corpo frio é 
maior que a quantidade de energia perdida pelo corpo 
quente. 
 
Exemplo de Classe: (ENEM-PPL-2013) É comum nos 
referirmos a dias quentes como dias “de calor”. Muitas 
vezes ouvimos expressões como “hoje está calor” ou 
“hoje o calor está muito forte” quando a temperatura 
ambiente está alta. 
No contexto científico, é correto o significado de “calor” 
usado nessas expressões? 
a) Sim, pois o calor de um corpo depende de sua 
temperatura. 
b) Sim, pois calor é sinônimo de alta temperatura. 
c) Não, pois calor é energia térmica em trânsito. 
d) Não, pois calor é a quantidade de energia térmica 
contida em um corpo. 
e) Não, pois o calor é diretamente proporcional à 
temperatura, mas são conceitos diferentes. 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 9 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) A temperatura é um 
conceito microscópico ou macroscópico? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) É possível definir a 
temperatura como uma grandeza derivada, em termos 
de comprimento, massa e tempo? Pense por exemplo, 
em um pêndulo. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) O zero absoluto é 
uma temperatura mínima. Existe uma temperatura 
máxima? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) É possível que um 
objeto seja mais quente que outro se eles estão à 
mesma temperatura? Explique. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) As armadilhas de 
lagosta são projetadas de modo que a lagosta consegue 
entrar facilmente, mas não consegue sair facilmente. É 
possível criar uma parede diatérmica que permita que o 
calor flua apenas em um sentido? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) Um pedaço de gelo 
e um termômetro que está a uma temperatura maior são 
suspensos em uma caixa com vácuo de modo que não 
haja contato. Por que a leitura do termômetro decresce 
com o tempo? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) Quais as qualidades 
que fazem uma determinada propriedade termométrica 
ser adequada para ser utilizada em um termômetro 
prático? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 10 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) Quais são as 
dificuldades que surgem se a temperatura for definida 
em termos da massa específica da água? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) É possível atribuir 
uma temperatura ao vácuo? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) Pode-se dizer que 
um gás é melhor do que outro para ser utilizado em um 
termômetro de gás a volume constante? Quais são as 
propriedades desejáveis em um gás para este 
propósito? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de Classe: (HALLIDAY) Estabeleça algumas 
objeções em relação ao emprego de um termômetro de 
vidro com água. O termômetro de vidro com mercúrio 
representa um melhoramento? Em caso afirmativo, 
explique. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. (UNIFESP-SP) Um profissional, necessitando efetuar 
uma medida de temperatura, utilizou um termômetro 
cujas escalas termométricas inicialmente impressas ao 
lado da coluna de mercúrio estavam ilegíveis. Para 
atingir seu objetivo, colocou o termômetro inicialmente 
em uma vasilha com gelo fundente, sob pressão normal, 
e verificou que no equilíbrio térmico a coluna de 
mercúrio atingiu 8,0 cm. Ao colocar o termômetro em 
contato com água fervente, também sob pressão 
normal, o equilíbrio térmico se deu com a coluna de 
mercúrio, que atingiu 20,0 cm de altura. Se nesse 
termômetro utilizarmos as escalas Celsius e Fahrenheit 
e a temperatura a ser medida for expressa pelo mesmo 
valor nas duas escalas, a coluna de mercúrio terá a 
altura de: 
a) 0,33 cm. 
b) 0,80 cm. 
c) 3,2 cm. 
d) 4,0 cm. 
e) 6,0 cm. 
 
2. (PSIU-07) Em 1708, o físico dinamarquês Olé Römer, 
propôs uma escala termométrica a álcool, 
estabelecendo 60 graus para água em ebulição e zero 
graus para uma mistura de água com sal, resultando em 
8 graus a temperatura da fusão do gelo. Além da 
possível utilização científica, essa escala teria a 
vantagem de nunca marcar temperaturas negativas em 
Copenhague, o que era desejo de seu filho Römer e dos 
fabricantes da época, devido a superstições. A 
temperatura média normal do corpo humano na escala 
de Römer e a menor temperatura, em graus Celsius, 
que Copenhague poderia registrar nos termômetros de 
escala Römer, são nessa seqüência dadas, 
aproximadamente, por: Dado: considere a temperatura 
média normal do corpo humano igual a 36,5°C. 
a) 27,0°C e 8,0°R 
b) –15,4°R e 36,5ºC 
c) 27,0° R e –15,4° C 
d) 27,0°C e 0,0°R 
e) 36,5°R e – 15,4°C 
 
3. Um físico chamado Herbert encontrava-se em um 
laboratório realizando um experimento no qual deveria 
aquecer certa porção de água pura. Mediu a 
temperatura inicial da água e encontrou o valor 20 °C. 
Porém, como ele era muito desajeitado, ao colocar o 
termômetro sobre a mesa, acabou quebrando-o. 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 11 
Procurando outro termômetro, encontrou um graduado 
na escala Kelvin. No final do aquecimento, observou 
que a temperatura da água era de 348 K. Na equação 
utilizada por esse físico, a variação de temperatura 
deveria estar na escala Fahrenheit. O valor, em graus 
Fahrenheit, que ele encontrou para a variação de 
temperatura da água foi de: 
a) 20 °F. 
b) 75 °F. 
c) 106 °F. 
d) 66 °F. 
e) 99 °F. 
 
4. No dia 1º, à 0 h de determinado mês, uma criança 
deu entrada num hospital com suspeita de meningite. 
Sua temperatura estava normal (36,5 °C). A partir do dia 
1º, a temperatura dessa criança foi plotada num gráfico 
por meio de um aparelho registrador contínuo. Esses 
dados caíram nas mãos de um estudante de Física, que 
verificou a relação existente entre a variação de 
temperatura (∆θ), em graus Celsius, e o dia (t) do mês. 
O estudante encontrou a seguinte equação:∆θ= – 0,20t2 + 2,4t – 2,2 
A partir dessa equação, analise as afirmações dadas a 
seguir e indique a correta. 
a) A maior temperatura que essa criança atingiu foi 40,5 
°C. 
b) A maior temperatura dessa criança foi atingida no dia 
6. 
c) Sua temperatura voltou ao valor 36,5 °C no dia 12. 
d) Entre os dias 3 e 8 sua temperatura sempre 
aumentou. 
e) Se temperaturas acima de 43 °C causam 
transformações bioquímicas irreversíveis, então essa 
criança ficou com problemas cerebrais. 
 
5. Num termômetro termoelétrico são obtidos os 
seguintes valores: –0,104mV para o ponto do gelo e 
+0,496mV para o ponto de vapor. Para uma dada 
temperatura t, observa-se o valor de 0,340mV. Sabendo 
que a temperatura varia linearmente no intervalo 
considerado, podemos dizer que o valor da temperatura 
t é: 
a) 62ºC 
b) 66ºC 
c) 70ºC 
d) 74ºC 
 
6. A relação entre uma certa escala termométrica A e a 
escala Celsius é A=C+3 e entre uma escala 
termométrica B e a escala Fahrenheit é B=2F-10. Qual a 
relação entre as escalas A e B? 
a)A =
5∙B
18
− 12 
b) A =
5∙B
18
+ 12 
c) A =
5∙B
12
− 18 
d) A =
5∙B
12
+ 18 
 
7. (ITA-2001) Para medir a febre de pacientes, um 
estudante de medicina criou sua própria escala linear de 
temperaturas. Nessa nova escala, os valores de 0 (zero) 
e 10 (dez) correspondem respectivamente a 37°C e 
40°C. A temperatura de mesmo valor numérico em 
ambas escalas é aproximadamente 
a) 52,9°C. 
b) 28,5°C. 
c) 74,3°C. 
d) -8,5°C. 
e) -28,5°C. 
 
8. Bolômetro é um instrumento sensível no qual se 
medem temperaturas mediante as correspondentes 
resistências elétricas de um fio, geralmente de platina. 
Em um bolômetro, a resistência é 𝑅𝑔 = 100Ω no ponto 
de gelo e 𝑅𝑉 = 102Ω no ponto de vapor; e R varia 
com a temperatura θ. Adotar como grandeza 
termométrica a quantidade ∆𝑅 = 𝑅 − 𝑅𝑔 e admitir 
correspondência linear. Estabelecer as equações 
termométricas do bolômetro para as escalas Celsius e 
Fahrenheit respectivamente. 
 
 
9. Um termopar é um dispositivo utilizado para medir 
temperatura. Seu princípio de funcionamento é que dois 
metais diferentes colocados à mesma temperatura 
geram um campo elétrico entre si. Suponha que a 
200℃ o campo elétrico seja de 1𝑁 𝐶⁄ e que a 300℃ 
o campo elétrico seja de 3𝑁 𝐶⁄ e que, nessa faixa de 
temperaturas, a dependência do campo com a 
temperatura seja linear. 
a) Determine a força elétrica que age sobre uma carga 
de prova de 1𝑚𝐶 colocada sob a ação do campo 
elétrico quando a temperatura do termopar é igual a 
220℃. 
b) Determine a temperatura quando a força que age 
sobre a mesma carga de prova do item (a) é igual a 
1,6 ∙ 10−3𝑁. 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 12 
10. Um termômetro é construído através de um 
dispositivo condutor que tem seu comportamento 
elétrico variando com a temperatura, isto é, a 
intensidade de corrente elétrica variando com a 
temperatura instantânea do dispositivo. Foi percebida 
uma corrente elétrica de 300 mA quando o termômetro 
estava em contato com uma massa de gelo fundente e 
50mA quando em contato com a água em ebulição. 
Sabendo-se que o comportamento do termômetro é 
linear, podemos dizer que a equação termométrica 
associada (com a corrente representada por I e a 
temperatura por T) e a temperatura correspondente a 
120 mA estão presentes corretamente na alternativa: 
a)𝑇 = 2 ∙ 𝐼 − 100; 𝑇 = 60℃. 
b)𝑇 = 0,4 ∙ (𝐼 − 300); 𝑇 = 62℃. 
c)𝐼 = 200 ∙ 𝑇 − 40; 𝑇 = 50℃. 
d) 𝑇 = (2 5⁄ ) ∙ (300 − 𝐼); 𝑇 = 72℃. 
e) 𝑇 = 0,6 ∙ (300 − 2 ∙ 𝐼); 𝑇 = 72℃. 
 
11. (AFA-88) Um termômetro graduado numa escala X 
indica 10ºX para o ponto de gelo e 90ºX para o ponto de 
vapor. Quando o termômetro construído com tal escala 
X indica 25º, a temperatura em ℃ será igual a: 
a) 9,51 
b) 18,75 
c) 25,51 
d) 32,75 
 
12. (AFA-98) Um termômetro mal graduado assinala, 
nos pontos fixos usuais, respectivamente −1℃ e 
101℃. A temperatura na qual o termômetro não 
precisa de correção é: 
a) 49 
b) 50 
c) 51 
d) 52 
 
13.(UFPB-2010) Durante uma temporada de férias na 
casa de praia, em certa noite, o filho caçula começa a 
apresentar um quadro febril preocupante. A mãe, para 
saber, com exatidão, a temperatura dele, usa um velho 
termômetro de mercúrio, que não mais apresenta com 
nitidez os números referentes à escala de temperatura 
em graus Celsius. Para resolver esse problema e aferir 
com precisão a temperatura do filho, a mãe decide 
graduar novamente a escala do termômetro usando 
como pontos fixos as temperaturas do gelo e do vapor 
da água. Os valores que ela obtém são: 5 cm para o 
gelo e 25 cm para o vapor. Com essas aferições em 
mãos, a mãe coloca o termômetro no filho e observa 
que a coluna de mercúrio para de crescer quando atinge 
a marca de 13 cm. 
 
Com base nesse dado, a mãe conclui que a temperatura 
do filho é de: 
a) 40,0 ºC 
b) 39,5 ºC 
c) 39,0 ºC 
d) 38,5 ºC 
e) 38,0 ºC 
 
14. (MACKENZIE-2010) Um termômetro graduado na 
escala Celsius (ºC) é colocado juntamente com dois 
outros, graduados nas escalas arbitrárias A (ºA) e B 
(ºB), em uma vasilha contendo gelo (água no estado 
sólido) em ponto de fusão, ao nível do mar. Em seguida, 
ainda ao nível do mar, os mesmos termômetros são 
colocados em uma outra vasilha, contendo água em 
ebulição, até atingirem o equilíbrio térmico. 
As medidas das temperaturas, em cada uma das 
experiências, estão indicadas nas figuras 1 e 2, 
respectivamente. 
 
 
 
Para uma outra situação, na qual o termômetro 
graduado na escala A indica 17º A, o termômetro 
graduado na escala B e o graduado na escala Celsius 
indicarão, respectivamente, 
a) 0ºB e 7ºC 
b) 0ºB e 10ºC 
c) 10ºB e 17ºC 
d) 10ºB e 27ºC 
e) 17ºB e 10ºC 
 
15. (CESGRANRIO-2010) Duas escalas termométricas 
E1 e E2 foram criadas. Na escala E1, o ponto de fusão 
do gelo sob pressão de 1 atm (ponto de gelo) 
corresponde a + 12 e o ponto de ebulição da água sob 
pressão de 1 atm (ponto de vapor) corresponde a + 87. 
Na escala E2, o ponto de gelo é + 24. Os números x e y 
são, respectivamente, as medidas nas escalas E1 e E2 
correspondentes a 16 ºC. Se os números 16, x e y 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 13 
formam, nessa ordem, uma Progressão Geométrica, o 
ponto de vapor na escala E2 é 
a) 120 
b) 99 
c) 78 
d) 64 
e) 57 
 
16. (Tore Nils Olof Folmer Johnson) É dado um 
termômetro X tal que 60°𝑋 correspondem a 100℃; 
20°𝑋 correspondem a 20℃; 0°𝑋 correspondem a 0℃. 
As leituras Celsius variam conforme trinômio de 
segundo grau nas leituras X. Deduza a equação que dá 
as leituras Celsius em função de leituras X. 
 
 
 
17. Em um termômetro de pressão a gás a volume 
constante são ensaiados vários gases em equilíbrio 
térmico com pontos de calibração bem definidos: gelo 
de água fundente e vapor de água e água evaporante 
em equilíbrio termodinâmico. As expreriências foram 
sendo repetidas com os gases cada vez mais rarefeitos, 
como mostra o gráfico a seguir: 
V
G
P
P
0
1,3660
m
P
G
O
2
N
2
He
H
2
 
PV é a pressão de equilíbrio com o vapor, PG é a 
pressão de equilíbrio com o gelo, m é a massa de gás 
utilizada dentro do termômetro e 2O , 2N , He e 2H foram 
os gases ensaiados. 
Com base no que foi colocado, faça o que se pede: 
a) Calcule 
G
V
P 0
G
P
lim
P
 
 
 
 para qualquer um dos gases. 
b) Explique a razão dos gases tornarem-se 
semelhantes à medida que PG  0. 
c) Com base no gráfico, construa uma escala 
termodinâmica que possua 80 divisões e calcule a 
temperatura de fusão e vaporização da água nessa 
escala. 
d) A escala construída em (c) é absoluta? 
Justifique. 
e) Qual(is) a(s) razão(ões) para que V
G
P
P
 diminua 
para aumento de PG para o gás hidrogênio? 
f) Qual a equação que relaciona a escala do item 
(c) com a escala Celsius? Que temperatura é a mesma 
das duas escalas? 
 
Gabarito 
1.C 2.* 3.E 4.* 5.D 
6.D 7.A 10.D 11. B 12. B 
13.A 14.B 15.B8. θ = (50 ∙ ∆R)℃ e θ = (32 + 90 ∙ ∆R)℉ 
16. 𝜃𝐶 =
1
60
∙ 𝑥2 +
2
3
∙ 𝑥 
17. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 14 
 
Dilatação Térmica 
 
1. Introdução: 
Os engenheiros evitam acidentes como esses ao prever 
as dilatações que os materiais vão sofrer, deixando 
folgas nos trilhos das linhas de trem. 
 
 
Para afrouxar uma tampa de metal de um pote de vidro 
costuma-se coloca-lo sob uma corrente de água quente. 
Conforme sua temperatura aumenta, a tampa de metal 
dilata um pouco mais que o vidro do pote. A dilatação 
térmica nem sempre é desejável. 
 
As tubulações das refinarias incluem juntas de 
expansão, de modo que a tubulação não tenha rupturas. 
Os materiais utilizados em restaurações dentárias 
devem ter capacidade de dilatação semelhante ao 
dente. 
 
Pode-se entender esta dilatação como um modelo 
simples de expansão volumétrica de um sólido. Os 
átomos são mantidos juntos em um arranjo regular 
através de forças elétricas, que são idênticas às que 
seriam exercidas por um conjunto de molas conectando 
o sistema. Para uma temperatura qualquer os átomos 
do sólido estão vibrando com determinada amplitude de 
oscilação; quando a temperatura é elevada, os átomos 
vibram com amplitude maior, e as distâncias médias 
entre os átomos aumentam, conduzindo a dilatação do 
corpo inteiro. 
 
2. Coeficiente de dilatação 
linear de um sólido: 
 
L0
L
∆Lθ0
θ
 
 
α =
Acréscimo de comprimento
Comprimento original ∙ variação de temperatura
 
 
𝛂 =
∆𝐋
𝐋𝟎 ∙ ∆𝛉
 
 
Se L0 e L são os comprimentos nas temperaturas 𝜃0 
e 𝜃, podemos escrever ∆𝐿 = 𝐿 − 𝐿0 e ∆𝜃 = 𝜃 − 𝜃0. 
Assim temos: 
𝛼 =
𝐿 − 𝐿0
𝐿0 ∙ ∆𝜃
 
 
O comprimento final pode ser expresso por: 
 
𝐋 = 𝐋𝟎 ∙ (𝟏 + 𝛂 ∙ ∆𝛉) 
 
Nota: 
O coeficiente de dilatação linear pode ser escrito na 
forma diferencial da seguinte forma: 
𝛂 =
𝟏
𝐋𝟎
∙
𝐝𝐋
𝐝𝛉
 
Esta equação pode ser aplicada para pequenos valores 
de variação de temperatura ∆𝜃 (∆𝜃 < 100℃), a 
dilatação do material em geral pode ser considerada 
uniforme. Para grandes variações de temperatura ∆𝜃, o 
comprimento final pode ser escrito na forma: 
𝐋 = 𝐋𝟎 ∙ (𝟏 + 𝛂𝟏 ∙ ∆𝛉 + 𝛂𝟐 ∙ ∆𝛉
𝟐 + ⋯) 
onde 𝛼1 > 𝛼2 > ⋯ 
 
Exemplo resolvido: (PSIU-02) O atrito com o ar, 
durante o voo, faz a temperatura externa do avião 
Concorde aumentar. Esse aumento de temperatura 
http://www.google.com.br/imgres?q=dilata%C3%A7%C3%A3o+em+pontes&um=1&hl=pt-BR&rlz=1T4ADFA_pt-BRBR413BR413&biw=1024&bih=464&tbm=isch&tbnid=8lXA6Zbp8KxV-M:&imgrefurl=http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1335&docid=KYkjnBrKyH_ZoM&imgurl=http://www.coladaweb.com/fisica/termica_arquivos/image006.jpg&w=214&h=276&ei=H8CeTvynCcTk0QH519SvCQ&zoom=1
http://www.google.com.br/imgres?q=dilata%C3%A7%C3%A3o+em+dentes&um=1&hl=pt-BR&rlz=1T4ADFA_pt-BRBR413BR413&biw=1024&bih=464&tbm=isch&tbnid=cWdHat0jXqe0iM:&imgrefurl=http://article.wn.com/view/2011/07/22/una_media_de_cuatro_d_as_menos_para_acceder_a_las_consultas_/&docid=V_km6FcQzKrrqM&imgurl=http://i.ytimg.com/vi/iDQ_2ef4EHc/0.jpg&w=480&h=360&ei=U8CeTvX_Icrd0QGjt6GJAg&zoom=1&iact=rc&dur=0&sig=100817129858536419330&page=3&tbnh=107&tbnw=143&start=20&ndsp=9&ved=1t:429,r:6,s:20&tx=78&ty=67
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 15 
causa uma dilatação de cerca de 25 cm na fuselagem 
do avião. À temperatura de 20 
o
C, a fuselagem mede 60 
metros de comprimento. A fuselagem é feita de uma liga 
cujo coeficiente de dilatação térmica linear é α = 3,3 · 
10
–5 
(
o
C)
–1
. A temperatura externa do Concorde, 
correspondente à dilatação de 25 cm, é 
aproximadamente igual a: 
A) 45 
o
C 
B) 95 
o
C 
C) 145 
o
C 
D) 195 
o
C 
E) 245 
o
C 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
∆𝐿 = 𝐿0 ∙ 𝛼 ∙ ∆𝜃 
 
25 ∙ 10−2 = 60 ∙ 3,3 ∙ 10−5 ∙ ∆𝜃 
 
∆𝜃 = 126℃ 
 
𝜃 − 20 = 126 
 
𝜃 = 146℃ 
 
 
 
Exemplo resolvido: (OLIMPÍADA DE FÍSICA DA 
COLÔMBIA) No esquema a seguir representa-se um 
pórtico de ferro do qual pende uma barra de alumínio. 
Os coeficientes de dilatação linear são 12 ∙ 10−6℃−1 
para o ferro e 26 ∙ 10−6℃−1 para o alumínio. 
Pretende-se que a distância h seja igual a 700 mm seja 
qual for a temperatura do sistema. O professor Herbert 
Aquino pede que você determine a altura f do pórtico e 
o comprimento a da barra. 
 
f
h
a
 
 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino : 
 
∆𝐿𝑃Ó𝑅𝑇𝐼𝐶𝑂 = ∆𝐿𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 
 
𝑓 ∙ 𝛼𝐹𝑒 ∙ ∆𝑇 = 𝑎 ∙ 𝛼𝐹𝑒 ∙ ∆𝑇 
 
𝑓 ∙ 12 ∙ 10−6 = 𝑎 ∙ 26 ∙ 10−6 
 
𝑓 =
13 ∙ 𝑎
6
 
 
Da figura, temos: 
𝑓 − 𝑎 = 700𝑚𝑚 
 
13 ∙ 𝑎
6
− 𝑎 = 700 
 
7 ∙ 𝑎
6
= 700 
 
𝑎 = 600𝑚𝑚 
 
𝑓 =
13 ∙ 𝑎
6
= 1300𝑚𝑚 
 
Exemplo resolvido: (OLIMPÍADA DE FÍSICA DA 
COLÔMBIA) Um pêndulo é constituído por uma barra 
de ínvar e um disco de latão em posição vertical, ligados 
um ao outro por seus pontos mais baixos. O coeficiente 
de dilatação linear é 𝛼𝐼 = 1,0 ∙ 10
−6℃−1 para o ínvar 
e 𝛼𝐿 = 18 ∙ 10
−6℃−1 para o latão. Para manter o 
período constante com a temperatura, a distância do 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 16 
centro do disco de latão ao extremo superior da barra de 
ínvar deve ser de 850 mm, a mesma em qualquer 
temperatura. Determine o comprimento L da barra e o 
raio r do disco, a 0℃. 
 
L
r
 
 
 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino : 
 
Para que o período não se altere, é necessário: 
∆𝐿Í𝑁𝑉𝐴𝑅 = ∆𝐿𝐷𝐼𝑆𝐶𝑂 
 
𝐿 ∙ 𝛼Í𝑁𝑉𝐴𝑅 ∙ ∆𝑇 = 𝑟 ∙ 𝛼𝐷𝐼𝑆𝐶𝑂 ∙ ∆𝑇 
 
𝐿 ∙ 1,0 ∙ 10−6 = 𝑟 ∙ 18 ∙ 10−6 
 
𝐿 = 18 ∙ 𝑟 
Do enunciado: 
𝐿 − 𝑟 = 850𝑚𝑚 
 
18 ∙ 𝑟 − 𝑟 = 850 
 
17 ∙ 𝑟 = 850 
 
𝑟 = 50𝑚𝑚 
Assim: 
𝐿 = 18 ∙ 𝑟 = 900𝑚𝑚 
 
 
Exemplo resolvido: (OLIMPÍADA DE FÍSICA DA 
ÍNDIA) A figura mostra a vista superior de um suporte 
de madeira onde está presa uma barra metálica, de 
comprimento L0, que tem sua extremidade livre 
encostada num suporte horizontal AB, que pode girar 
sobre seu eixo O. Acoplado ao suporte há um pequeno 
laser que lança seu feixe luminoso num espelho plano à 
sua frente, projetando um ponto luminoso numa escala 
E, paralela ao espelho e presa ao suporte. A barra é 
aquecida e sua temperatura, cresce de acordo com o 
gráfico mostrado. Determine a velocidade de 
deslocamento do ponto luminoso sobre a escala. 
 
 
Espelho
E
L0
A
B
O
 
T(ºC)
t(s)
20
140
40
 
Dados conhecidos: 
1.Distância do eixo O ao espelho: 1m 
2.L0=50 cm 
3.Distância do eixo O à barra metálica: 10 cm 
4. Coeficiente de dilatação linear do metal: 2 ∙
10−5℃−1 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 17 
Espelho
E
L0
x
D
d
∆L
θθ
θ
θ
x
 
 
I. Por semelhança de triângulo: 
∆𝐿
𝑑
=
𝑥
𝐷
 
 
𝑥 =
∆𝐿 ∙ 𝐷
𝑑
=
𝐿0 ∙ 𝛼 ∙ ∆𝑇 ∙ 𝐷
𝑑
 
II. 
𝑣𝑋 =
∆𝑥
∆𝑡
=
2 ∙ 𝐿0 ∙ 𝛼 ∙ ∆𝑇 ∙ 𝐷
𝑑 ∙ ∆𝑡
 
 
𝑣𝑋 =
∆𝑥
∆𝑡
=
2 ∙ 0,5 ∙ 2 ∙ 10−5 ∙ (140 − 20) ∙ 1
0,1 ∙ 40
 
 
𝑣𝑋 = 6,0 ∙ 10
−4 𝑚 𝑠⁄ 
 
Exemplo resolvido: Existem cristais especiais que têm 
diferentes coeficientes de dilatação linear ao longo de 
duas diferentes direções, x e y. Considere que os 
coeficientes têm valores 𝛼𝑥 e 𝛼𝑦 nas direções x e y. 
Tais cristais são chamados anisotrópicos. Considere um 
corte transversal de um cristal, bem como a reta virtual 
que forma um ângulo de 30º com o eixo-x. Determine o 
coeficiente de dilatação linear relacionado com a reta 
virtual em função de 𝛼𝑥 e 𝛼𝑦. 
 
 
30º
x
y
 
 
 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
 
30º
X0
Y0
30º
∆x
∆y
∆L
L0
 
∆𝑋 = 𝑋0 ∙ 𝛼𝑋 ∙ ∆𝜃 = 𝐿0 ∙ 𝑐𝑜𝑠(30°) ∙ 𝛼𝑋 ∙ ∆𝜃 
 
∆𝑌 = 𝑌0 ∙ 𝛼𝑌 ∙ ∆𝜃 = 𝐿0 ∙ 𝑠𝑒𝑛(30°) ∙ 𝛼𝑌 ∙ ∆𝜃 
 
Para o cristal, podemos escrever: 
∆𝐿 = 𝐿0 ∙ 𝛼 ∙ ∆𝜃 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras: 
∆𝐿2 = ∆𝑋2 + ∆𝑌2 
 
(L0 ∙ α ∙ ∆θ)
2 = (L0 ∙ cos30° ∙ αX ∙ ∆θ)
2 + (L0 ∙ sen30° ∙ αY ∙ ∆θ)
2𝛼2 =
3
4
∙ 𝛼𝑋
2 +
1
4
∙ 𝛼𝑌
2 
 
𝛼 =
1
2
∙ √3 ∙ 𝛼𝑋2 + 𝛼𝑌2 
 
 
 
Exemplo resolvido: (OLIMPÍADA DE FÍSICA DA 
ÍNDIA) Uma barra de metal de comprimento L à 
temperatura de 0℃ é aquecida não uniformemente, de 
tal modo que a temperatura seja dada em função da 
distância x ao longo do seu comprimento, medido a 
partir de uma ponta, quando 𝑇(𝑥) = 𝑇0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋∙𝑥
𝐿
). 
De acordo com isto, as pontas em 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝐿 estão 
ainda à temperatura zero, enquanto que em 𝑥 =
𝐿
2
, 
onde o argumento da função seno é 
𝜋
2
, a temperatura 
tem o valor máximo 𝑇0. O coeficiente de expansão 
linear da barra é 𝛼. Ache o aumento no comprimento da 
barra em função de 𝛼 e de 𝑇0. Sugestão: Qual é a 
temperatura média da barra. 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 18 
Resolução do Professor Herbert Aquino: 
A temperatura média vai representar a temperatura final 
da barra, a qual representaremos por 𝜃𝐹 . Sabendo-se 
que a temperatura inicial é 𝜃0 = 0℃, então ∆𝜃 = 𝜃𝐹 . 
 
T
x
LL/2
T0
 
 
Pelo teorema do valor médio escrevemos: 
𝜃𝑀É𝐷𝐼𝐴 = 𝜃𝐹 =
∫ 𝑇0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋 ∙ 𝑥
𝐿 )𝑑𝑥
𝐿
0
∆𝑥
 
 
Lembre: ∆𝑥 = 𝐿 − 0 = 𝐿 
 
Resolvendo a integral: 
 
∫ 𝑇0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋 ∙ 𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
= −𝑇0 ∙
𝐿
𝜋
∙ 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋 ∙ 𝑥
𝐿
)
𝑥=0
𝑥=𝐿
 
 
∫ 𝑇0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋 ∙ 𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
== −𝑇0 ∙
𝐿
𝜋
∙ [𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠0] 
 
∫ 𝑇0 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋 ∙ 𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
== 2 ∙ 𝑇0 ∙
𝐿
𝜋
 
Assim a temperatura média é: 
𝜃𝑀É𝐷𝐼𝐴 = 𝜃𝐹 =
2 ∙ 𝑇0 ∙
𝐿
𝜋
𝐿
=
2 ∙ 𝑇0
𝜋
 
 
Finalmente: 
∆𝐿 = 𝐿0 ∙ 𝛼 ∙ ∆𝜃 
 
∆𝐿 = 𝐿 ∙ 𝛼 ∙
2 ∙ 𝑇0
𝜋
 
 
∆𝐿 =
2𝐿 ∙ 𝛼 ∙ 𝑇0
𝜋
 
 
Espaço para anotações do aluno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 19 
Exercícios 
 
1. (FUVEST-2012) 
 
 
Para ilustrar a dilatação dos corpos, um grupo de 
estudantes apresenta, em uma feira de ciências, o 
instrumento esquematizado na figura acima. Nessa 
montagem, uma barra de alumínio com 30cm de 
comprimento está apoiada sobre dois suportes, tendo 
uma extremidade presa ao ponto inferior do ponteiro 
indicador e a outra encostada num anteparo fixo. O 
ponteiro pode girar livremente em torno do ponto O, 
sendo que o comprimento de sua parte superior é 10cm 
e, o da inferior, 2cm. Se a barra de alumínio, 
inicialmente à temperatura de 25 ºC, for aquecida a 225 
ºC, o deslocamento da extremidade superior do ponteiro 
será, aproximadamente, de: (Note e adote: Coeficiente 
de dilatação linear do alumínio: 5 12 10 ºC  ) 
a) 1 mm. 
b) 3 mm. 
c) 6 mm. 
d) 12 mm. 
e) 30 mm. 
 
2. (UECE-2010) Um ferreiro deseja colocar um anel de 
aço ao redor de uma roda de madeira de 1,200 m de 
diâmetro. O diâmetro interno do anel de aço é 1,198 m. 
Sem o anel ambos estão inicialmente à temperatura 
ambiente de 28 ºC. A que temperatura é necessário 
aquecer o anel de aço para que ele encaixe exatamente 
na roda de madeira? 
(OBS.: Use α = 1,1 x 10-5 ºC-1 para o aço). 
a) 180 oC. 
b) 190 oC. 
c) 290 oC. 
d) 480 oC. 
 
3. (AFA-2013) No gráfico a seguir, está representado o 
comprimento L de duas barras A e B em função da 
temperatura .θ 
 
Sabendo-se que as retas que representam os 
comprimentos da barra A e da barra B são paralelas, 
pode-se afirmar que a razão entre o coeficiente de 
dilatação linear da barra A e o da barra B é 
a) 0,25. 
b) 0,50. 
c) 1,00. 
d) 2,00. 
 
4. (FEI-1997) Duas barras, sendo uma de ferro e outra 
de alumínio, de mesmo comprimento l = 1m a 20°C, são 
unidas e aquecidas até 320°C. Sabe-se que o 
coeficiente de dilatação linear do ferro é de 12.10-6°C-1 e 
do alumínio é 22.10-6°C-1. Qual é o comprimento final 
após o aquecimento? 
 
a) 2,0108 m 
b) 2,0202 m 
c) 2,0360 m 
d) 2,0120 m 
e) 2,0102 m 
 
5. (UFES-2002) Quer-se encaixar um rolamento 
cilíndrico, feito de aço, em um mancal cilíndrico, feito de 
liga de alumínio. O coeficiente de dilatação linear da liga 
de alumínio vale 25,0×10-6°C-1. À temperatura de 22°C, 
o rolamento tem o diâmetro externo 0,1 % maior que o 
diâmetro interno do mancal. A temperatura mínima à 
qual o mancal deve ser aquecido, para que o rolamento 
se encaixe, é 
a) 20°C 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 20 
b) 40°C 
c) 42°C 
d) 60°C 
e) 62°C 
 
6. (UNIRIO-1998) Um quadrado foi montado com três 
hastes de alumínio (αAℓ=24.10-6°C-1) e uma haste de 
aço (αAço=12.10-6°C-1), todas inicialmente à mesma 
temperatura. O sistema é, então, submetido a um 
processo de aquecimento, de forma que a variação de 
temperatura é a mesma em todas as hastes. 
 
Podemos afirmar que, ao final do processo de 
aquecimento, a figura formada pelas hastes estará mais 
próxima de um: 
a) quadrado. 
b) retângulo. 
c) losango. 
d) trapézio retângulo. 
e) trapézio isósceles. 
 
7. (UFV-1999) A figura a seguir ilustra um arame rígido 
de aço, cujas extremidades estão distanciadas de "L". 
 
Alterando-se sua temperatura, de 293K para 100°C, 
pode-se afirmar que a distância "L": 
a) diminui, pois o arame aumenta de comprimento, 
fazendo com que suas extremidades fiquem mais 
próximas. 
b) diminui, pois o arame contrai com a diminuição da 
temperatura. 
c) aumenta, pois o arame diminui de comprimento, 
fazendo com que suas extremidades fiquem mais 
afastadas. 
d) não varia, pois a dilatação linear do arame é 
compensada pelo aumento do raio "R". 
e) aumenta, pois a área do círculo de raio "R" aumenta 
com a temperatura. 
 
8. . (Uece-1999) Três barras retas de chumbo são 
interligadas de modo a formarem um triângulo isósceles 
de base 8cm e altura 10cm. 
 
Elevando-se a temperatura do sistema: 
a) a base e os lados se dilatam igualmente 
b) os ângulos se mantêm 
c) a área se conserva 
d) o ângulo do vértice varia mais que os ângulos da 
base 
 
9. (MACK-2001) Com uma régua de latão (coeficiente 
de dilatação linear=2,0.10-5°C-1) aferida a 20°C, mede-se 
a distância entre dois pontos. Essa medida foi efetuada 
a uma temperatura acima de 20°C, motivo pelo qual 
apresenta um erro de 0,05 %. A temperatura na qual foi 
feita essa medida é: 
a) 50°C 
b) 45°C 
c) 40°C 
d) 35°C 
e) 25°C 
 
10. (UFU-2006) O gráfico a seguir representa o 
comprimento L, em função da temperatura θ, de dois 
fios metálicos finos A e B. 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 21 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar que 
a) os coeficientes de dilatação lineares dos fios A e B 
são iguais. 
b) o coeficiente de dilatação linear do fio B é maior que 
o do fio A. 
c) o coeficiente de dilatação linear do fio A é maior que o 
do fio B. 
d) os comprimentos dos dois fios em θ = 0 são 
diferentes. 
 
11. (UNESP-2002) Duas lâminas metálicas, a primeira 
de latão e a segunda de aço, de mesmo comprimento à 
temperatura ambiente, são soldadas rigidamente uma à 
outra, formando uma lâmina bimetálica, conforme a 
figura a seguir. O coeficiente de dilatação térmica linear 
do latão é maior que o do aço. A lâmina bimetálica é 
aquecida a uma temperatura acima da ambiente e 
depois resfriada até uma temperatura abaixo da 
ambiente. A figura que melhor representa as formas 
assumidas pela lâmina bimetálica, quando aquecida 
(forma à esquerda) e quando resfriada (forma à direita), 
é 
 
 
12. (UFRGS-2006) Uma barra de aço e uma barra de 
vidro têm o mesmo comprimento à temperatura de 0 °C, 
mas, a 100 °C, seus comprimentos diferem de 0,1 cm. 
(Considere os coeficientes de dilatação linear do aço e 
do vidro iguais a 12 × 10-6 °C-1 e 8 × 10-6 °C-1, 
respectivamente.) Qual é o comprimento das duas 
barras à temperatura de 0 °C? 
a) 50 cm. 
b) 83 cm. 
c) 125 cm. 
d) 250 cm. 
e) 400 cm 
 
13.(UNICAMP-2006) Pares metálicos constituem a 
base de funcionamento de certos disjuntores elétricos, 
que são dispositivos usados na proteção de instalações 
elétricas contra curtos-circuitos. Considere um par 
metálico formado por uma haste de latão e outra de aço, 
que, na temperatura ambiente, têm comprimento L = 4,0 
cm. A variação do comprimento da haste, ∆L, devida a 
uma variação de temperatura ∆T, é dada por ∆L = α L 
∆T, onde α é o coeficiente de dilatação térmica linear do 
material. 
 
a) Se a temperatura aumentar de 60 °C, qual será a 
diferença entre os novos comprimentos das hastes de 
aço e de latão? Considere que as hastes não estão 
presas uma à outra, e que αLat = 1,9 × 10-5°C-1 e αAço 
= 1,3 × 10-5°C-1. 
b) Se o aquecimento se dá pela passagem de uma 
corrente elétrica de 10 A e o par tem resistência de 2,4 
× 10-3 Ω, qual é a potência dissipada? 
 
14. (HALLIDAY) Como resultado de sofrer um aumento 
de temperatura ∆𝑻, um bastão que apresenta uma 
rachadura em seu centro curva-se para cima, como é 
mostrado na figura abaixo. Sendo a distância fixa L0 e o 
coeficiente de dilatação linear α, determine a distância x 
na qual o centro se levanta. 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 22 
L0
L0
x
 
 
 
15. Um dos métodos utilizados para a determinação do 
coeficiente de dilatação linear médio é o MÉTODO DE 
LAPLACE. A figura a seguir ilustra este método. Temos 
uma barra horizontal de comprimento L0 à temperatura 
θ0 fixa em uma extremidade livre. Uma vareta de 
comprimento H fica na vertical e limitando a extremidade 
livre da barra horizontal. A esta vareta está solidário um 
espelho E que lança um feixe de luz sobre a escala R, 
num ponto P. Ao aquecermos a barra horizontal, está 
sofrerá uma dilatação ∆L com acréscimo ∆θ de 
temperatura, ocasionando uma inclinação na vareta que 
antes era vertical, e consequentemente, o feixe de luz 
sobre a escala se fixará em P’. Calcule o coeficiente de 
dilatação da barra se L0=45cm, d=80cm, x=0,9cm, 
H=6cm e ∆θ=1200C. 
 
X
d
P
P’
H
L0 ∆L
R
 
 
 
16. (ITA-1969) Um anel de cobre a 25 °C tem um 
diâmetro interno de 5,00 centímetros. Qual das opções 
abaixo corresponderá ao diâmetro interno deste mesmo 
anel a 275 °C, admitindo-se que o coeficiente de 
dilatação térmica do cobre no intervalo de 0 °C a 300 °C 
é constante e igual a 1,60·10-5 °C. 
a) 4,98 cm. 
b) 5,00 cm. 
c) 5,02 cm. 
d) 5,20 cm. 
e) nenhuma das respostas acima. 
 
17. (ITA-1975) Uma barra de cobre de 1,000 m de 
comprimento, à temperatura de 24 °C, tem para 
coeficiente de dilatação linear 1,7·10-5/ °C. Então, a 
temperatura em que a barra terá um milímetro a menos 
de comprimento será: 
a) -31°F. 
b) -59 °F. 
c) 95 °F. 
d) 162,5°F. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
18. (ITA-1980) Uma placa metálica tem um orifício 
circular de 50 mm de diâmetro a 15 ºC. A que 
temperatura deve ser aquecida a placa para que se 
possa ajustar ao orifício de um cilindro de 50,3 mm de 
diâmetro? O coeficiente de dilatação linear do metal é 
α= 1,2·10-5 por kelvin. 
a) 520 K. 
b) 300 °C. 
c) 300 K. 
d) 520 °C. 
e) 200 °C. 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 23 
 
19. (ITA-1995) Você é convidado a projetar uma ponte 
metálica, cujo comprimento será 2,0 km. Considerando 
os efeitos de contração e dilatação térmica para 
temperaturas no intervalo de -40 ºF a 110 ºF e o 
coeficiente de dilatação linear do metal que é de 12.10-6 
ºC-1, qual a máxima variação esperada no comprimento 
da ponte? 
(O coeficiente de dilatação linear é constante no 
intervalo de temperatura considerado). 
a) 9,3 m. 
b) 2,0 m. 
c) 3,0 m. 
d) 0,93 m. 
e) 6,5 m. 
 
20. (ITA-1990) O coeficiente médio de dilatação térmica 
linear do aço é 1,2 . 10-5 oC-1. Usando trilhos de aço de 
8,0 m de comprimento um engenheiro construiu uma 
ferrovia deixando um espaço de 0,50 cm entre os trilhos, 
quando a temperatura era de 28oC. Num dia de sol forte 
os trilhos soltaram-se dos dormentes. Qual dos valores 
abaixo corresponde à mínima temperatura que deve ter 
sido atingida pelo trilhos? 
a) 1000 C 
b) 600 C 
c) 800 C 
d) 500 C 
e) 900 C 
 
21. (ITA-1995) Se duas barras, uma de alumínio com 
comprimento L1 e coeficiente de dilatação térmica α1 = 
2,30·10-5 ºC-1 e outra de aço com comprimento L2 > L1 e 
coeficiente de dilatação térmica α2 = 1,10·10-5 ºC-1, 
apresentam uma diferença em seus comprimentos a 0 
ºC, de 1000 mm e esta diferença se mantém constante 
com a variação da temperatura, podemos concluir que 
os comprimentos L1 e L2 são a 0 ºC: 
a) L1 = 91,7 mm e L2 = 1091,7 mm. 
b) L1 = 67,6 mm e L2 = 1067,6 mm. 
c) L1 = 917 mm e L2 = 1917 mm. 
d) L1 = 676 mm e L2 = 1676 mm. 
e) L1 = 323 mm e L2 = 1323 mm. 
 
22. (IME-2002) Duas barras B1 e B2 de mesmo 
comprimento L e de coeficientes de dilatação térmica 
linear α1 e α2, respectivamente, são dispostas conforme 
ilustra a figura 1. Submete-se o conjunto a uma 
diferença de temperatura ∆T e então, nas barras 
aquecidas, aplica-se uma força constante que faz com 
que a soma de seus comprimentos volte a ser 2L. 
Considere que o trabalho aplicado sobre o sistema pode 
ser dado por W = F∆L, onde ∆L é a variação total de 
comprimento do conjunto, conforme ilustra a figura 2, e 
que α1 = 1,5 α2, determine o percentual desse trabalho 
absorvido pela barra de maior coeficiente de dilatação 
térmica. 
2L
B1 B2
Figura 1
∆L
B1 B2
F
Figura 2
 
 
23. (IME-2010) A figura abaixo apresenta uma barra 
metálica de comprimento L = 12 m, inicialmente na 
temperatura de 20oC, exatamente inserida entre a 
parede P1 e o bloco B feito de um material isolante 
térmico e elétrico. Na face direita do bloco B está 
engastada uma carga Q1 afastada 20 cm da carga Q2, 
engastada na parede P2. Entre as duas cargas existe 
uma força elétrica de F1 newtons. Substitui-se a carga 
Q2 por uma carga Q3 = 2 Q2 e aquece-se a barra até a 
temperatura de 270 oC. Devido a esse aquecimento, a 
barra sofre uma dilatação linear que provoca o 
deslocamento do bloco para a direita. Nesse instante a 
força elétrica entre as cargas é F2 = 32 F1. 
Considerando que as dimensões do bloco não sofrem 
alterações e que não exista qualquer força elétrica entre 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 24 
as cargas e a barra, o coeficiente de dilatação térmica 
linear da barra, em °C-1, é: 
 
a) 2,0 ∙ 10-5 
b) 3,0 ∙10-5 
c) 4,0 ∙10-5 
d) 5,0 ∙10-5 
e) 6,0 ∙10-5 
 
24. Uma barra de cobre foi recurvada tomando a forma 
de uma semicircunferência. As extremidades foram 
unidas por uma outra barra reta constituída por dois 
metais: uma parte, de comprimento x, era de zinco e a 
outra, de comprimento y, de platina. 
Cobre
Zinco Platina
X Y
 
 
São dados os coeficientes de dilatação lineares: 
Cobre: 17 ∙ 10−6℃−1 
Zinco: 29 ∙ 10−6℃−1 
Platina: 9 ∙ 10−6℃−1 
Para que o arco de cobre conserve sua forma 
semicircular, a qualquer temperatura a que seja levado, 
a razão 𝑥 𝑦⁄ entre os comprimentos iniciais x e y dos 
segmentos de zinco e platina deve ser: 
a) 
1
5
 b) 
2
5
 c) 
3
5
 
d) 
1
3
 
e) 
2
3
 
 
25. (Mack-SP) A figura a seguir mostra duas barras 
verticais, uma de cobre e outra de zinco, fixas na parte 
inferior. Elas suportam uma plataforma horizontal onde 
está apoiado um corpo. O coeficiente de atrito estático 
entre o corpo e a plataforma é 0,01, e os coeficientes de 
dilatação linear do zinco e do latão valem 2,6 ∙
10−5℃−1 e 1,8 ∙ 10−5℃−1, respectivamente. Qual a 
menor variação de temperatura capaz de provocar o 
deslizamento do corpo sobre a plataforma? 
 
 
 
 
10 cm
1,25 m
 
 
 
26. À mesma temperatura, uma barra metálica dobrada 
em forma de quadrado tem diagonal igual ao diâmetro 
de um anel também metálico. Se αA e αB são os 
coeficientes de dilatação linear dos metais do anel e da 
barra, respectivamente, mostre que aquecendo ambos 
de ∆𝑻, o lado do quadrado ficará igual ao diâmetro doanel se 𝜶𝑩 − √𝟐𝜶𝑨 =
√𝟐−𝟏
∆𝑻
. 
 
27. (Peruano) Um disco de certo metal está girando em 
torno de seu eixo principal e seus pontos periféricos tem 
uma velocidade de 20𝑚 𝑠⁄ . Ao fornecer calor para o 
disco sua temperatura aumenta em 300℃. O 
coeficiente de dilatação linear do metal é igual a 
𝛼𝑀𝐸𝑇𝐴𝐿 = 11,5 ∙ 10
−4℃−1. O professor Herbert 
Aquino pede que você determine qual a velocidade do 
ponto periféricos da placa após o aquecimento 
considerando que a velocidade angular da placa não 
varia. 
Resposta: 26𝑚 𝑠⁄ . 
 
28. (Peruano) O sistema observado a seguir encontra-
se inicialmente em equilíbrio. A barra metálica de 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 25 
coeficiente de dilatação linear igual a 8 ∙ 10−4℃−1 tem 
comprimento inicial de 6,25 metros. O fio e a mola são 
ideais, de massas desprezíveis, sendo a constante 
elástica da mola igual a 400𝑁 𝑚⁄ . O bloco A tem 
massa de 10 kg e a aceleração da gravidade no local 
vale 10𝑚 𝑠2⁄ . 
25cm
A
L0
Herbert
 
 
Quanto deve ser aquecida (somente) a barra metálica 
para que o bloco A encoste no solo e a mola, de 
comprimento natural igual a 0,50 m, não experimente 
deformação? 
 
 
Gabarito 
 
1.C 2.A 3.D 4.E 5.E 
6.E 7.E 8.B 9.B 10.C 
11.C 12.D 13.* 14.* 15.* 
16.C 17.A 18.D(*) 19.B 20.C 
21.C 22. 60% 23.D 24.E 25.* 
26. * 
 
13. a) ∆L ≈ 1,4 . 103cm; b) Pot = 2,4 . 101 W 
14. x =
L0
2
∙ √(1 + α ∙ ∆T)2 − 1 
15. α=1,25∙10-5 oC-1 
25. ∆θ = 100℃ 
27. 26𝑚 𝑠⁄ . 
28. 100℃ 
 
 
 
 
 
 
 
3. Coeficiente de dilatação 
superficial de um sólido: 
a
θ
θ0
b
θ
a
b
∆A
Aquecimento
 
 
β =
Acréscimo de área
Área original ∙ variação de temperatura
 
 
β =
∆A
A0 ∙ ∆θ
 
 
Se A0 e A são as áreas nas temperaturas θ0 e θ, 
podemos escrever ∆A = A − A0 e ∆θ = θ − θ0. 
Assim temos: 
 
β =
A − A0
A0 ∙ ∆θ
 
A área final pode ser expressa por: 
A = A0 ∙ (1 + β ∙ ∆θ) 
 
4. Coeficiente de dilatação 
volumétrica de um sólido: 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 26 
θ0
Aquecimento
θ0
θ
 
 
γ =
Acréscimo de volume
Volume original ∙ variação de temperatura
 
 
𝛄 =
∆𝐕
𝐕𝟎 ∙ ∆𝛉
 
 
Se V0 e V são os volumes nas temperaturas θ0 e θ, 
podemos escrever ∆V = V − V0 e ∆θ = θ −
θ0.Temos: 
 
γ =
V − V0
V0 ∙ ∆θ
 
O volume final pode ser expresso por: 
 
𝐕 = 𝐕𝟎 ∙ (𝟏 + 𝛄 ∙ ∆𝛉) 
 
Nota importante: Relação entre α,β e𝜸. 
 
1 º caso: Considere uma película de comprimento a e 
largura b, assim a área superficial da película é: 
A = a ∙ b 
Para uma pequena variação na área (∆𝐴), podemos 
escrever: 
∆A
A
=
∆a
a
+
∆b
b
 
Dividindo-se ambos os membros da equação por ∆𝜃, 
obtemos: 
∆A
A ∙ ∆θ
=
∆a
a ∙ ∆θ
+
∆b
b ∙ ∆θ
 
Logo: 
β = α1 + α2 
onde α1 e α2 são os coeficientes de dilatação térmica 
linear ao longo da largura e do comprimento da película. 
Para materiais homogêneos e isotrópicos os 
coeficientes de dilatação térmica linear são idênticos em 
todas as direções (α1 = α2 = 𝛼), logo: 
𝛃 = 𝟐𝜶 
 
 
2 º caso: Considere um paralelepípedo de comprimento 
a , largura b e altura c, assim volume pode ser escrito: 
V = a ∙ b ∙ c 
Para uma pequena variação no volume (∆𝑉), podemos 
escrever: 
∆V
𝑉
=
∆a
a
+
∆b
b
+
∆c
𝑐
 
Dividindo-se ambos os membros da equação por ∆𝜃, 
obtemos: 
∆V
V ∙ ∆θ
=
∆a
a ∙ ∆θ
+
∆b
b ∙ ∆θ
+
∆c
c ∙ ∆θ
 
Logo: 
γ = α1 + α2 + α3 
 
Para materiais homogêneos e isotrópicos os 
coeficientes de dilatação térmica linear são idênticos em 
todas as direções (α1 = α2 = α3 = 𝛼), logo: 
𝛄 = 𝟑𝜶 
 
Exemplo de Classe: (PSIU-06) A razão entre os 
volumes de duas esferas metálicas homogêneas e de 
mesmo material é 8, quando estão sujeitas à mesma 
temperatura. Aquecem-se as esferas no mesmo banho 
de óleo durante alguns minutos, para garantir a 
estabilização das temperaturas. Nestas condições, 
podemos afirmar, corretamente, que a razão entre as 
variações de volumes sofridas pelas esferas vale: 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 8 
e) 16 
Resposta: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 27 
 
Espaço para anotações do aluno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. (MACK- 2010) Uma placa de alumínio (coeficiente de 
dilatação linear do alumínio = 2.10-5 ºC-1), com 2,4 m2 de 
área à temperatura de – 20 ºC, foi aquecido à 176 ºF. O 
aumento de área da placa foi de: 
a) 24 cm2 
b) 48 cm2 
c) 96 cm2 
d) 120 cm2 
e) 144 cm2 
 
2. (MACK-2001) Uma placa de aço (coeficiente de 
dilatação linear=1,0.10-5°C-1) tem o formato de um 
quadrado de 1,5m de lado e encontra-se a uma 
temperatura de 10°C. Nessa temperatura, retira-se um 
pedaço da placa com formato de um disco de 20 cm de 
diâmetro e aquece-se, em seguida, apenas a placa 
furada, até a temperatura de 510°C. Recolocando-se o 
disco, mantido a 10°C, no "furo" da placa a 510°C, 
verifica-se uma folga, correspondente a uma coroa 
circular de área: 
a) 1,57 cm2 
b) 3,14 cm2 
c) 6,3 cm2 
d) 12,6 cm2 
e) 15,7 cm2 
 
3. (PUC-RIO- 2007) Uma chapa quadrada, feita de um 
material encontrado no planeta Marte, tem área A = 
100,0 cm2 a uma temperatura de 100 °C. A uma 
temperatura de 0,0 °C, qual será a área da chapa em 
cm2? Considere que o coeficiente de expansão linear do 
material é α = 2,0 × 10-3/ °C. 
a) 74,0 
b) 64,0 
c) 54,0 
d) 44,0 
e) 34,0 
 
4. (IFCE-2012) Um bloco em forma de cubo possui 
volume de 400 cm3 a 0°C e 400,6 cm3 a 100°C. O 
coeficiente de dilatação linear do material que constitui o 
bloco, em unidades °C-1, vale 
a) 4x10-5. 
b) 3x10-6. 
c) 2x10-6. 
d) 1,5x10-5. 
e) 5x10-6. 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 28 
5. (UFPB-2006) Se o diâmetro de uma moeda aumenta 
0,2% quando sua temperatura é elevada em 100 °C, os 
aumentos percentuais na espessura, na área e no 
volume serão respectivamente: 
a) 0,1 % , 0,2 % , 0,2 % 
b) 0,2 % , 0,2 % , 0,2 % 
c) 0,2 % , 0,4 % , 0,5 % 
d) 0,2 % , 0,4 % , 0,6 % 
e) 0,3 % , 0,4 % , 0,8 % 
 
6. (MACK-2010) Uma chapa metálica de área 1 m2, ao 
sofrer certo aquecimento, dilata de 0,36 mm2. Com a 
mesma variação de temperatura, um cubo de mesmo 
material, com volume inicial de 1 dm3, dilatará: 
a) 0,72 mm3 
b) 0,54 mm3 
c) 0,36 mm3 
d) 0,27 mm3 
e) 0,18 mm3 
 
7. (UNIRIO-1999) 
 
Um estudante pôs em prática uma experiência na qual 
ele pudesse observar alguns conceitos relacionados à 
"Dilatação Térmica dos Sólidos". Ele utilizou dois 
objetos: um fino fio de cobre de comprimento 4L, com o 
qual ele montou um quadrado como mostra a FIGURA I, 
e uma chapa quadrada, também de cobre, de espessura 
desprezível e área igual a L2, como mostra a FIGURA II. 
Em seguida, o quadrado montado e a chapa, que se 
encontravam inicialmente à mesma temperatura, foram 
colocados num forno até que alcançassem o equilíbrio 
térmico com este. Assim, a razão entre a área da chapa 
e a área do quadrado formado com o fio de cobre, após 
o equilíbrio térmico destes com o forno, é: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
8. (UfMG-1997) O coeficiente de dilatação térmica do 
alumínio (Aℓ) é, aproximadamente, duas vezes o 
coeficiente de dilatação térmica do ferro (Fe). A figura 
mostra duas peças onde um anel feito de um desses 
metais envolve um disco feito do outro. Á temperatura 
ambiente, os discos estão presos aos anéis. 
 
Se as duas peças forem aquecidas uniformemente, é 
correto afirmar que 
a) apenas o disco de Aℓ se soltará do anel de Fe. 
b) apenas o disco de Fe se soltará do anel de Aℓ. 
c) os dois discos se soltarão dos respectivos anéis. 
d) os discos não se soltarão dos anéis. 
 
9. (ITA-1987)Uma chapa de metal de espessura h, 
volume V0 e coeficiente de dilatação linear α = 1,2·10-5 
ºC-1 tem um furo de raio R0 de fora a fora. A razão V/V0do novo volume da peça em relação ao original quando 
a temperatura aumentar de 100C será: 
R0
h
 
a) 10𝜋 ∙ 𝑅0
2 ∙ ℎ ∙ 𝛼 𝑉0⁄ 
b) 1 + 1,7 ∙ 10−12 ∙ 𝑅0 ℎ⁄ 
c) 1 + 1,4 ∙ 10−8 
d) 1 + 3,6 ∙ 10−4 
e) 1 + 1,2 ∙ 10−4 
 
10. (ITA-2010) Um quadro quadrado de lado ℓ e massa 
m, feito de um material de coeficiente de dilatação 
superficial β, e pendurado no pino O por uma corda 
inextensível, de massa desprezível, com as 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 29 
extremidades fixadas no meio das arestas laterais do 
quadro, conforme a figura. A força de tração máxima 
que a corda pode suportar é F. A seguir, o quadro e 
submetido a uma variação de temperatura ΔT, 
dilatando. Considerando desprezível a variação no 
comprimento da corda devida à dilatação, podemos 
afirmar que o comprimento mínimo da corda para que o 
quadro possa ser pendurado com segurança é dado por 
 
 
a) 
2 F T
mg
β
. 
b) 
2 F(1 T
mg
β 
. 
c) 
2 2 2
2 F(1 T)
4F m g )
β 

. 
d) 
2 F (1 T)
(2F mg)
β 

. 
e) 
2 2 2
(1 T)
2 F
(4F m g )
β 

 
 
 
Gabarito 
1.C 2.B 3.B 4.E 5.D 
6.B 7.E 8.B 9.D 10. E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Dilatação dos líquidos: 
 
Quando um líquido é aquecido, o recipiente que o 
contém se expande e a dilatação do líquido observada é 
apenas uma dilatação aparente do líquido. 
 
 
Então: 
 
∆𝑉𝑅𝐸𝐴𝐿 = ∆𝑉𝐴𝑃𝐴𝑅𝐸𝑁𝑇𝐸 + ∆𝑉𝑅𝐸𝐶𝐼𝑃𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 
 
Se 𝑉0 e 𝑉𝑡 são os respectivos volumes do líquido nas 
temperaturas 0℃ e 𝑡℃, então: 
𝛾𝑅𝐸𝐴𝐿 =
∆𝑉𝑅𝐸𝐴𝐿
𝑉0 ∙ ∆𝜃
 
 
onde ∆𝑉𝑅𝐸𝐴𝐿 = 𝑉𝑡 − 𝑉0 e ∆𝜃 = 𝑡 − 0 = 𝑡 
 
𝛾𝑅𝐸𝐴𝐿 =
𝑉𝑡 − 𝑉0
𝑉0 ∙ 𝑡
 
 
𝑉𝑡 = 𝑉0 ∙ (1 + 𝛾𝑅𝐸𝐴𝐿 ∙ 𝑡) 
Volume do líquido após a dilatação 
 
Notas importantes: 
a) Relação entre os coeficientes de dilatação 
volumétrica: 
Se 𝛾𝐴𝑃 e 𝛾𝑅𝐸𝐶 são os coeficientes de dilatação 
aparente do líquido e o coeficiente de dilatação do 
recipiente respectivamente, temos: 
𝛾𝑅𝐸𝐴𝐿 = 𝛾𝐴𝑃 + 𝛾𝑅𝐸𝐶 
 
Em exercícios, o volume extravasado é dado por: 
∆𝐕𝐀𝐏𝐀𝐑𝐄𝐍𝐓𝐄 = 𝐕𝟎 ∙ 𝛄𝐀𝐏 ∙ ∆𝛉 
 
Exemplo: (Mack-SP) Em uma experiência, para 
determinarmos o coeficiente de dilatação linear do vidro, 
tomamos um frasco de vidro de volume 1 000 cm3 e o 
preenchemos totalmente com mercúrio (coeficiente de 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 30 
dilatação volumétrica = 1,8 ∙ 10−4℃−1). Após 
elevarmos a temperatura do conjunto de 100 °C, 
observamos que 3,0 cm3 de mercúrio transbordam o 
coeficiente de dilatação linear do vidro que constitui 
esse frasco . 
Resposta: 5,0 ∙ 10−5℃−1 
 
Exemplo: (UFPE) Um recipiente metálico de 10 litros 
está completamente cheio de óleo, quando a 
temperatura do conjunto é de 20 °C. Elevando-se a 
temperatura até 30 °C, um volume igual a 80 cm3 de 
óleo transborda. Sabendo-se que o coeficiente de 
dilatação volumétrica do óleo é igual a 0,9 ∙ 10−3℃−1, 
qual foi a dilatação do recipiente em cm3? 
Resposta: 10 cm3 
 
b) Quando o recipiente não está completamente cheio, 
temos duas possibilidades: 
1ª possibilidade: O volume da parte vazia não se altera 
com a variação de temperatura, neste caso, o líquido e 
o frasco sofrem dilatações iguais, assim: 
∆𝑉𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂 = ∆𝑉𝑅𝐸𝐶𝐼𝑃𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 
 
Exemplo: (Cesesp-PE) Um recipiente de vidro (𝛼 = 9 ∙
10−6℃−1) tem volume interno igual a 60 cm3 a 0 °C. 
Que volume de mercúrio, a 0 °C, devemos colocar no 
recipiente a fim de que, ao variar a temperatura, não se 
altere o volume da parte vazia?(Coeficiente real do 
mercúrio: 18 ∙ 10−5℃−1) 
Resposta: 9 cm
3
 
 
 
2ª possibilidade: O líquido não pode transbordar, neste 
caso, o recipiente e o líquido (volume interno) devem 
possuir volumes iguais. 
 
𝑉𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂 = 𝑉𝑅𝐸𝐶𝐼𝑃𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸 
 
Exemplo resolvido: (Simulado 2014) Na condição de 
futuro engenheiro, você é convidado a projetar um 
container para o armazenamento de uma certa 
quantidade de gasolina (V0). A cidade onde ficará o 
container com a gasolina sofre grandes variações de 
temperatura ao longo do ano, indo desde −20℃ no 
inverno rigoroso até +40℃ no verão mais forte. Por 
condição de projeto, ao longo do ano não é permitida 
perda de mais do que 0,1% do líquido, devido ao 
extravasamento ocorrido através da válvula de escape 
(indicada na figura). Ao escolher o material para o seu 
container, qual o intervalo de possíveis valores para o 
coeficiente de dilatação linear (𝛼𝑚)? 
Dados:𝛾𝐺𝐴𝑆𝑂𝐿𝐼𝑁𝐴 = 9,5 ∙ 10
−4𝐾−1 
 
Gasolina
Válvula de 
escape
 
a)3,21 ∙ 10−4𝐾−1 ≤ 𝛼𝑚 ≤ 2,32 ∙ 10
−4𝐾−1 
b) 3,11 ∙ 10−4𝐾−1 ≤ 𝛼𝑚 ≤ 3,17 ∙ 10
−4𝐾−1 
c) 3,17 ∙ 10−4𝐾−1 ≤ 𝛼𝑚 ≤ 3,22 ∙ 10
−4𝐾−1 
d) 1,17 ∙ 10−4𝐾−1 ≤ 𝛼𝑚 ≤ 1,24 ∙ 10
−4𝐾−1 
e) 3,11 ∙ 10−4𝐾−1 ≤ 𝛼𝑚 ≤ 3,33 ∙ 10
−4𝐾−1 
A questão é proposta na apostila do Poliedro para 
Turma ITA. 
 
Resolução: A condição para extravasar menos que 
0,1% é dada por: 
0 ≤ ∆𝑉𝐴𝑃 ≤ 0,1%𝑉0 
 
0 ≤ 𝑉0 ∙ 𝛾𝐴𝑃 ∙ ∆𝜃 ≤ 10
−3𝑉0 
 
0 ≤ 𝛾𝐴𝑃 ∙ 60 ≤ 10
−3 
 
0 ≤ 𝛾𝐿 − 𝛾𝑅𝐸𝐶 ≤
1
6
∙ 10−4 
 
𝛾𝐿 − 𝛾𝑅𝐸𝐶 ≤ 0,17 ∙ 10
−4 
 
 
9,5 ∙ 10−4 − 3 ∙ 𝛼𝑚 ≤ 0,17 ∙ 10
−4 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 31 
 
𝛼𝑚 ≥ 3,11 ∙ 10
−4𝐾−1 
A outra condição é dada por: 
 
𝛾𝐿 − 𝛾𝑚 ≥ 0 
9,5 ∙ 10−4 − 3 ∙ 𝛼𝑚 ≥ 0 
 
𝛼𝑚 ≤ 3,17 ∙ 10
−4𝐾−1 
 
 
Exemplo importante: (Tópicos de Física) A figura 
seguinte mostra um dispositivo utilizado para medir o 
coeficiente de dilatação cúbica de um líquido. Um dos 
ramos verticais do tubo em forma de U, que contém o 
líquido em estudo, é esfriado com gelo a 0 °C, enquanto 
o outro ramo é aquecido utilizando-se vapor de água a 
100 °C. 
 
Esse dispositivo foi usado por Dulong-Petit para a 
obtenção do coeficiente de dilatação do mercúrio. Na 
experiência realizada, uma das colunas apresentava 
250,0 mm e a outra 254,5 mm de líquido. Após os 
cálculos, determine o valor encontrado para o 
coeficiente de dilatação cúbica do mercúrio. 
Resposta: 𝛾 = 1,8 ∙ 10−4℃−1 
 
Nota ITA: O comportamento incomum da água 
Líquidos geralmente aumentam de volume com 
aumento de temperatura e têm coeficientes de 
expansão volumar cerca de dez vezes maior do que os 
dos sólidos. A água é uma exceção a esta regra sobre 
uma amplitude pequena de temperatura, como podemos 
ver em sua curva de densidade versus temperatura 
figura abaixo. 
 
 
Quando a temperatura aumenta de 0℃ para 4℃, a 
água contrai-se e, assim, sua densidade aumenta. 
Acima de 4℃, a água exibe a expansão prevista com a 
temperatura crescente. Assim, a densidade da água 
alcança um valor máximo de 1000 𝑘𝑔 𝑚3⁄ a 4℃. 
 
 
Exemplo resolvido: (Simulado-2013) Num tubo 
cilíndrico de 15 cm de altura há água destilada até a 
altura de 10 cm, a 4℃. Supõe-se que a variação de 
volume é dada por: 
𝑉 =
𝑉0
3
∙ [
(𝑡 − 4)2
2
+ 𝑡 − 1] 
Sendo 𝑉0 é o volume a 4℃ e V o volume a t℃.Deseja-
se saber a que a temperatura a água enche 
completamente o tubo. Despreza-se a dilatação do tubo. 
a) 1,5℃ 
b) 2℃ 
c) 3℃ 
d) 4℃ 
e) 1℃ e 5℃ 
 
Resolução: Lembrando que o volume de um cilindro é 
dada por: 
𝑉 = 𝐴 ∙ 𝐻 
Logo: 
𝐴 ∙ 𝐻 =
𝐴 ∙ 𝐻0
3
∙ [
(𝑡 − 4)2
2
+ 𝑡 − 1] 
𝐻 =
𝐻0
3
∙ [
(𝑡 − 4)2
2
+ 𝑡 − 1] 
 
15 =
10
3
∙ [
(𝑡 − 4)2
2
+ 𝑡 − 1] 
 
𝑡2 − 6𝑡 + 5 = 0 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 32 
𝑡 =
6 ± √36 − 20
2
=
6 ± 4
2
= 5℃ 𝑒 1℃ 
 
Espaço para anotações do aluno: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. (UNESP-2010) Nos últimos anos temos sido 
alertados sobre o aquecimento global. Estima-se que, 
mantendo-se as atuais taxas de aquecimento do 
planeta, haverá uma elevação do nível do mar causada, 
inclusive, pela expansão térmica, causando inundação 
em algumas regiões costeiras. Supondo, 
hipoteticamente, os oceanos como sistemas fechados e 
considerando que o coeficiente de dilataçãovolumétrica 
da água é aproximadamente 2 x 10–4 ºC–1 e que a 
profundidade média dos oceanos é de 4 km, um 
aquecimento global de 1 ºC elevaria o nível do mar, 
devido à expansão térmica, em, aproximadamente, 
a) 0,3 m. 
b) 0,5 m. 
c) 0,8 m. 
d) 1,1 m. 
e) 1,7 m. 
 
2. (FUVEST-1998) Um termômetro especial, de líquido 
dentro de um recipiente de vidro, é constituído de um 
bulbo de 1cm3 e um tubo com secção transversal de 
1mm2. À temperatura de 20 °C, o líquido preenche 
completamente o bulbo até a base do tubo. À 
temperatura de 50 °C o líquido preenche o tubo até uma 
altura de 12mm. Considere desprezíveis os efeitos da 
dilatação do vidro e da pressão do gás acima da coluna 
do líquido. Podemos afirmar que o coeficiente de 
dilatação volumétrica médio do líquido vale: 
 
a) 3 × 10-4 °C-1 
b) 4 × 10-4 °C-1 
c) 12 × 10-4 °C-1 
d) 20 × 10-4 °C-1 
e) 36 × 10-4 °C-1 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 33 
3. (CESGRANRIO-1998) Misturando-se 
convenientemente água e álcool, é possível fazer com 
que uma gota de óleo fique imersa, em repouso, no 
interior dessa mistura, como exemplifica o desenho a 
seguir. Os coeficientes de dilatação térmica da mistura e 
do óleo valem, respectivamente, 2,0.10-4/°C e 5,0.10-4/°C 
 
Esfriando-se o conjunto e supondo-se que o álcool não 
evapore, o volume da gota: 
a) diminuirá e ela tenderá a descer. 
b) diminuirá e ela tenderá a subir. 
c) diminuirá e ela permanecerá em repouso. 
d) aumentará e ela tenderá a subir. 
e) aumentará e ela tenderá a descer. 
 
4. (UEL-1995) Um recipiente de vidro de capacidade 
2,0.102 cm3 está completamente cheio de mercúrio, a 
0°C. Os coeficientes de dilatação volumétrica do vidro e 
do mercúrio são, respectivamente, 4,0.10-5 C°-1 e 1,8.10-
4 C°-1. Aquecendo o conjunto a 100°C, o volume de 
mercúrio que extravasa, em cm3, vale 
a) 2,8 . 10-4 
b) 2,8 . 10-3 
c) 2,8 . 10-2 
d) 2,8 . 10-1 
e) 2,8 
 
5. (UNESP-2007) É largamente difundida a ideia de que 
a possível elevação do nível dos oceanos ocorreria 
devido ao derretimento das grandes geleiras, como 
consequência do aquecimento global. No entanto, 
deveríamos considerar outra hipótese, que poderia 
também contribuir para a elevação do nível dos 
oceanos. Trata-se da expansão térmica da água devido 
ao aumento da temperatura. Para se obter uma 
estimativa desse efeito, considere que o coeficiente de 
expansão volumétrica da água salgada à temperatura 
de 20 °C seja 2,0 × 10-4 °C-1. Colocando água do mar 
em um tanque cilíndrico, com a parte superior aberta, e 
considerando que a variação de temperatura seja 4 °C, 
qual seria a elevação do nível da água se o nível inicial 
no tanque era de 20 m? Considere que o tanque não 
tenha sofrido qualquer tipo de expansão. 
 
6. (ITA-1994) Um bulbo de vidro cujo coeficiente de 
dilatação linear é 3 ·10-6 ºC-1 está ligado a um capilar do 
mesmo material. À temperatura de -10,0 ºC a área da 
secção do capilar é 3,0·10-4 cm² e todo o mercúrio cujo 
coeficiente de dilatação volumétrica é 180·10-6 ºC-1 
ocupa o volume total do bulbo, que a esta temperatura é 
0,500 cm³. O comprimento da coluna de mercúrio a 90,0 
ºC será: 
a) 270 mm. 
b) 540 mm. 
c) 285 mm. 
d) 300 mm. 
e) 257 mm. 
 
7. (ITA-1997) Um certo volume de mercúrio, cujo 
coeficiente de dilatação volumétrico é γm, é introduzido 
num vaso de volume V0, feito de vidro de coeficiente de 
dilatação volumétrico γv. O vaso com mercúrio, 
inicialmente a 0°C, é aquecido a uma temperatura T 
(em °C). O volume da parte vazia do vaso à 
temperatura T é igual ao volume da parte vazia do 
mesmo a 0°C. O volume de mercúrio introduzido no 
vaso a 0°C é: 
a) (γv/γm) V0 
b) (γm/γv) V0 
c) γm/γv (273)/(T + 273) V0 
d) [1 - (γv/γm)] V0 
e) [1 - (γm/γv)] V0 
 
8. (ITA-2002) Um pequeno tanque, completamente 
preenchido com 20,0L de gasolina a 0°F, é logo a seguir 
transferido para uma garagem mantida à temperatura de 
70°F. Sendo γ=0,0012°C-1 o coeficiente de expansão 
volumétrica da gasolina, a alternativa que melhor 
expressa o volume de gasolina que vazará em 
consequência do seu aquecimento até a temperatura da 
garagem é: 
a) 0,507L 
b) 0,940L 
c) 1,68L 
d) 5,07L 
e) 0,17L 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 34 
9. (UFG- 2009) Por medida de economia e conservação 
da qualidade de alguns alimentos, um supermercado 
instalou um sistema de refrigeração que funciona da 
seguinte forma: ao atingir uma temperatura superior Ts, 
ele é ligado e, ao ser reduzida para uma temperatura 
inferior Ti, é desligado. Esse sistema, composto por um 
tudo cilíndrico fechado de área A0 acoplado a um bulbo 
em sua parte inferior, é preenchido com mercúrio e tem 
dois contatos metálicos separados por uma distância h, 
conforme a figura. Desprezando a dilatação térmica do 
recipiente, calcule a temperatura Ts quando o sistema é 
ligado. 
 
Dados: 
Ti = 12 °C 
A0 = 1,0  10-7 m2 
V0 = 1,0  10-5 m3 
h = 6,0 cm 
Hg = 40  10-6 °C-1 
 
 
 
10. (UFG-2010) Têm-se atribuído o avanço dos 
oceanos sobre a costa terrestre ao aquecimento global. 
Um modelo para estimar a contribuição da dilatação 
térmica é considerar apenas a dilatação superficial da 
água dos oceanos, onde toda a superfície terrestre está 
agrupada numa calota de área igual a 25% da superfície 
do planeta e o restante é ocupada pelos oceanos, 
conforme ilustra a figura. 
 
 
 
De acordo com o exposto, calcule a variação de 
temperatura dos oceanos responsável por um avanço 
médio de L = 6,4 m sobre superfície terrestre. 
 
11. (HALLIDAY) Mostre que quando a temperatura de 
um líquido em um barômetro varia de ∆𝑻,sendo 
constante a pressão, a altura h muda de ∆𝒉 = 𝜷 ∙ 𝒉 ∙
∆𝑻, onde β é o coeficiente de dilatação volumétrica do 
líquido. Despreze a dilatação do tubo de vidro. 
 
12. (HALLIDAY- Modificada) Logo depois da formação 
da Terra, o calor liberado pelo decaimento de elementos 
radioativos elevou a temperatura média interna de um 
valor ∆𝑻, valor aproximado que permanece até hoje. 
Supondo um coeficiente médio de dilatação volumétrica 
igual à 𝛽,sabendo que o raio médio atual da Terra é R. 
Mostre que o aumento médio do raio da Terra desde a 
sua formação é dado por: 
∆𝑅 = 𝑅 [1 −
1
(1 + 𝛽 ∙ ∆𝑇)
1
3
] 
 
13. (HALLIDAY/ IME 74-75) O volume do bulbo de um 
termômetro de mercúrio, a 0oC, é Vo e a secção reta do 
tubo capilar é admitida como constante e igual a Ao. O 
coeficiente de dilatação linear do vidro é α/ oC e o 
coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é 𝜸/ 0C. 
Se o mercúrio enche completamente o bulbo na 
temperatura de 00C, mostrar que o comprimento da 
coluna de mercúrio no capilar é proporcional a 
temperatura (t>00C). 
 
14.(HALLIDAY-Modificada) À temperatura t1, a altura 
da coluna de mercúrio, medida em escala de latão é 
igual a H1. Qual é altura H0, que terá a coluna de 
mercúrio para t=00C? O coeficiente de dilatação linear 
do latão é α e o coeficiente de expansão volumétrica do 
mercúrio é β. 
 
Termodinâmica para ITA-IME-2016 
 
Material elaborado pelo professor Herbert Aquino Página 35 
15. (MOYSÉS) a) Um líquido tem coeficiente de 
dilatação volumétrica . Calcule a razão /0 entre a 
densidade do líquido à temperatura T e sua densidade 
0 à temperatura T0. Use (1+x)n = (1+nx) 
b) No método de Dulong e Petit para determinar , o 
líquido é colocado num tubo em U, com um dos ramos 
imerso em gelo fundente (temperatura T0) e o outro em 
óleo aquecido à temperatura T. O nível atingido pelo 
líquido nos dois ramos é, respectivamente, medido 
pelas alturas h0 e h. Mostre que a experiência permite 
determinar  (em lugar do coeficiente de dilatação 
aparente do líquido), e que o resultado independe de o 
tubo em U ter secção uniforme. 
c) Numa experiência com acetona utilizando este 
método, T0 é 0°C, T é 20°C, h0 = 1 m e h = 1,03 m. 
Calcule o coeficiente