Exercícios_Resolvidos - Calculo 1 - Limites

Prévia do material em texto

Cálculo - CB0581
Primeira lista de exerćıcios - Março de 2020
Prof. Fabio Montenegro
Em alguns dos limites da lista será necessário saber fatorar polinômios quadráticos,
p(x) = ax2 + bx+ c. Isso só será posśıvel se ∆ = b2− 4ac > 0 ou ∆ = 0. No primeiro
caso o polinômio possui duas ráızes, x1, x2 e ax
2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). No
segundo caso só existe uma raiz e ax2 + bx+ c = a(x− x1)2.
(1) Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→1+
x2 − 2x+ 1
x2 + x− 2
Fatorando os polinômios que aparecem no limite, temos
lim
x→1+
x2 − 2x+ 1
x2 + x− 2
= lim
x→1+
(x− 1)2
(x+ 2)(x− 1)
= lim
x→1+
(x− 1)
(x+ 2)
=
0
3
= 0
(b) lim
x→2−
x3 − 8
x2 − x− 2
Aqui precisaremos do seguinte produto notável:
a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2). Então, para a = x e b = 1, temos
lim
x→2−
x3 − 8
x2 − x− 2
= lim
x→2−
(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
(x− 2)(x+ 1)
= lim
x→2−
(x2 + 2x+ 4)
(x+ 1)
=
12
3
= 4
(c) lim
x→1
x−
√
x
x− 1
Aqui precisaremos do seguinte produto notável: (a− b)(a+ b) = a2− b2.
lim
x→1
x−
√
x
x− 1
= lim
x→1
(x−
√
x)(x+
√
x)
(x− 1)(x+
√
x)
= lim
x→1
x2 − x
(x− 1)(x+
√
x)
= lim
x→1
x(x− 1)
(x− 1)(x+
√
x)
= lim
x→1
x
x+
√
x
=
1
2
1
2
(d) lim
x→3+
√
2x−
√
x2 − 3
3− x
lim
x→3+
√
2x−
√
x2 − 3
3− x
= lim
x→3+
(
√
2x−
√
x2 − 3)(
√
2x+
√
x2 − 3)
(3− x)(
√
2x+
√
x2 − 3)
= lim
x→3+
2x− (x2 − 3)
(3− x)(
√
2x+
√
x2 − 3)
= lim
x→3+
−(x2 + 2x+ 3)
−(x− 3)(
√
2x+
√
x2 − 3)
= lim
x→3+
(x− 3)(x+ 1)
(x− 3)(
√
2x+
√
x2 − 3)
= lim
x→3+
x+ 1√
2x+
√
x2 − 3
=
4
2
√
6
=
2√
6
(e) lim
x→4+
√
x− 2√
x− 4
lim
x→4+
√
x− 2√
x− 4
= lim
x→4+
(
√
x− 2)(
√
x+ 2)√
x− 4 (
√
x+ 2)
= lim
x→4+
x− 4
(
√
x+ 2)
√
x− 4
= lim
x→4+
√
x− 4√
x+ 2
=
0
4
= 0
(f) lim
x→1
2x−
√
x− 1
x2 − 1
lim
x→1
2x−
√
x− 1
x2 − 1
= lim
x→1
((2x− 1)−
√
x)((2x− 1) +
√
x)
(x2 − 1)((2x− 1) +
√
x)
= lim
x→1
(2x− 1)2 − x
(x2 − 1)((2x− 1) +
√
x)
= lim
x→1
4x2 − 6x+ 1
(x2 − 1)((2x− 1) +
√
x)
= lim
x→1
4x2 − 5x+ 1
(x2 − 1)((2x− 1) +
√
x)
= lim
x→1
4(x− 1)(x− 1/4)
(x− 1)(x+ 1)((2x− 1) +
√
x)
= lim
x→1
4(x− 1/4)
(x+ 1)(2x− 1 +
√
x)
=
3
4
3
(g) lim
x→−1
3
√
x+ 1
x+ 1
Aqui precisaremos do seguinte produto notável:
a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2). Então, para a = 3
√
x e b = 1, temos
x+ 1 = ( 3
√
x+ 1)(( 3
√
x)2 + 3
√
x+ 1).
Logo,
lim
x→−1
3
√
x+ 1
x+ 1
= lim
x→−1
3
√
x+ 1
( 3
√
x+ 1)(( 3
√
x)2 + 3
√
x+ 1)
= lim
x→−1
1
( 3
√
x)2 + 3
√
x+ 1
=
1
1− 1 + 1
= 1
(h) lim
x→−∞
4x2 − 1
x2 + x+ 3
Aqui usaremos as propriedades de limite e o limite fundamental
lim
x→∞
1
x
= 0
De forma que
lim
x→∞
1
x2
= 0
e
lim
x→−∞
4x2 − 1
x2 + x+ 3
= lim
x→−∞
x2(4− 1/x2)
x2(1 + 1/x+ 3/x2)
= lim
x→−∞
4− (1/x2)
1 + (1/x) + (3/x2)
=
1
4
(i) lim
x→+∞
x+ 2√
x2 − 1
lim
x→+∞
x+ 2√
x2 − 1
= lim
x→+∞
x(1 + 2/x)√
x2(1− 1/x2)
= lim
x→+∞
x(1 + 2/x)
x
√
1− 1/x2
= lim
x→+∞
1 + 2/x√
1− 1/x2
=
1√
1
= 1
(j) lim
x→+∞
(
√
x− x)
lim
x→+∞
(
√
x− x) = lim
x→+∞
x
(√
x
x
− 1
)
= lim
x→+∞
x
(
1√
x
− 1
)
= −∞
4
(l) lim
x→−1−
x
x2 − 1
lim
x→−1−
x
x2 − 1
= lim
x→−1−
x
(x− 1)(x+ 1)
= lim
x→−1−
(
x
x− 1
)(
1
x+ 1
)
onde
lim
x→−1−
(
x
x− 1
)
=
1
2
e lim
x→−1−
(
1
x+ 1
)
= −∞
Logo lim
x→−1−
x
x2 − 1
= −∞.
(m) lim
x→0+
√
x− x
x
lim
x→0+
√
x− x
x
= lim
x→0+
x (
√
x/x− 1)
x
= lim
x→0+
(
1√
x
− 1
)
= +∞
(n) lim
x→π
senx
π − x
Iremos utilizar o limite fundamental lim
x→0
senx
x
= 1 e a seguinte mudança
de variável: y = π − x. De maneira que x→ π é equivalente a y → 0 e
lim
x→π
senx
π − x
= lim
y→0
sen(π − y)
y
= lim
y→0
senπ cos y − seny cosπ
y
= lim
y→0
seny
y
= 1
pois senπ = 0 e cos π = −1.
(o) lim
x→0
5x
sen(2x)
lim
x→0
5x
sen(2x)
= lim
x→0
5x/2x
sen(2x)/2x
=
5
2
1
lim
x→0
sen(2x)
2x
=
5
2
5
(p) lim
x→0+
sen
√
x
x
Iremos usar que
lim
x→0+
1√
x
= +∞ e lim
x→0+
sen
√
x√
x
= 1.
Logo
lim
x→0+
sen
√
x
x
= lim
x→0+
(
sen
√
x√
x
× 1√
x
)
= +∞
(q) lim
x→0
x2 cosx
senx
Dividindo o numerador e o denominador por x, temos
lim
x→0
x2 cosx
senx
= lim
x→0
x cosx
senx/x
=
0× 1
1
= 0.
(2) Considere a função
f(x) =

√
−x se x < 0
3− x se 0 ≤ x ≤ 3
(x− 3)2 se x > 3
Em que ponto a função f é descont́ınua?
Os posśıveis pontos de descontinuidade são x = 0 e x = 3. Temos que
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
√
−x = 0
e
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0−
(3− x) = 3
Logo, a função f é decont́ınua em x = 0. Também temos que
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
(3− x) = 0
e
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
(x− 3)2 = 0
Logo, a função f é cont́ınua em x = 3.
6
(3) Considere a função
f(x) =

x2 − 1, se 0 < x < 1
1, se x = 1
−2x+ 4, se 1 < x ≤ 2
0, se 2 < x < 3
(a) Qual o valor de f(1)?
O valor da função f em x = 1 é 1, f(1) = 1.
(b) Existe limx→1+ f(x)?
Como x → 1+, então x se aproxima de 1 por valores maiores que 1.
Podemos então afirmar que 1 < x ≤ 2. Logo,
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(−2x+ 4) = 2.
(c) A função f(x) é cont́ınua em x = 1?
Para responder a questão precisamos calcular
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
(x2 − 1) = 0.
Concluimos que a função não possui limite quando x se aproxima de 1
e isto nos diz que a f é descont́ınua em x = 1.
(d) A função f(x) é cont́ınua no ponto x = 2?
Temos que
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
(−2x+ 4) = 2
e
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2−
0 = 0
Então f é também descont́ınua em x = 2.