EXERCICIO DE CALCULO II

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UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
1ª AVALIAÇÃO PARCIAL DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – 
2019.2 
PROFESSOR: ANTONIO EDINARDO DE OLIVEIRA 
 
Aluno: __________________________________________________ Nota: ______ 
Data: 23/09/2020 
Observações: o(a) aluno(a) terá até o dia 26/09 para resolver a avaliação; a 
resolução deve ser enviada, via e-mail (tire as fotos de sua resolução e as envie 
em ordem, para facilitar a correção), até às 23:59 do dia 26/09 (soluções enviadas 
após esse horário não serão consideradas); por se tratar de uma avaliação com 
pesquisa, o número de questões é maior do que o mesmo formato usado para 
avaliações presenciais; caso encontre alguma solução em materiais pesquisados 
na internet e/ou impressos, procure reescrevê-la com suas palavras; nas questões 
envolvendo o cálculo de volumes, faça o esboço da região a ser rotacionada e do 
sólido obtido; use caneta azul ou preta para a resolução; justifique suas 
respostas. 
1) (2,1 pontos) Calcule as integrais a seguir. 
a) ∫ sen2 x cos4 x dx 
b) ∫ sen 2x cos2 2x dx 
c) ∫ tg5 x sec2 x dx 
d) ∫ sec5 4x dx 
e) ∫
𝑡𝑔5 𝑥
𝑠𝑒𝑐4 𝑥
ⅆ𝑥 
f) ∫
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑒𝑛3 𝑥
ⅆ𝑥. 
 
2) (0,4 pontos) Prove que 
∫ cotgn x dx = – 
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛−1𝑥
𝑛−1
 – ∫ cotgn-2 x dx 
Para todo n natural com n ≥ 2. 
 
3) (1,05 pontos) Calcule as integrais definidas a seguir. 
a) ∫
1
𝑥√𝑥2 − 4
6
4
 dx 
b) ∫
1
𝑥4√𝑥2 + 3
3
1
 dx 
EXERCICIO DE CALCULO II
c) ∫
𝑒−𝑥 ⅆ𝑥
(9𝑒−2𝑥 + 1)
3
2
1
0
 dx. 
 
4) (1,75 pontos) Calcule. 
a) ∫
𝑥3 + 𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥 + 1
 dx 
b) ∫
𝑥2 + 1
(𝑥 − 2)3
 dx 
c) ∫
4𝑥2 + 17𝑥 + 13
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 6𝑥 + 10)
 dx 
d) ∫
4𝑥 + 1
𝑥2 + 6𝑥 + 8
 dx 
e) ∫
𝑥3+4𝑥2+6𝑥+1
𝑥3+𝑥2+𝑥−3
 dx 
 
5) (1,4 pontos) Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se 
for convergente, calcule-a. 
a) ∫ ⅇ−𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥
+∞
0
 
b) ∫ 𝑥2ⅇ𝑥 ⅆ𝑥
0
−∞
 
c) ∫ 𝑙𝑛 𝑥 ⅆ𝑥
+∞
0
 
d) ∫
ⅆ𝑧
𝑧(ln 𝑧)1/5
2
1/2
. 
 
6) (1,0 ponto) Prove as identidades abaixo. 
a) (senh x + cosh x)n = cosh nx + senh nx, se n for um inteiro positivo. 
b) 
1 + 𝑡𝑔ℎ 𝑥
1 − 𝑡𝑔ℎ 𝑥
 = e2x. 
c) tgh (ln x) = 
𝑥2−1
𝑥2+1
. 
d) senh2 x – senh2 y = senh (x + y) senh (x – y) 
 
7) (0,8 pontos) Determine que é possível representar por um número a medida da 
área da região limitada pela curva cuja equação é y = 1/√𝑥, pela reta x = 1 e pelos 
eixos x e y; mas que não é possível representar por um número finito o volume do 
sólido obtido pela rotação de tal região em torno do eixo x. 
 
8) (0,4 pontos) Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da 
região limitada pela reta que passa por (1, 3) e (3, 7) e pelas retas y = 3, y = 7 e x 
= 0. 
 
9) (0,5 pontos) Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da 
região limitada pelo laço da curva cuja equação é x2y2 = (1 – x2)(x2 – 9). 
 
10) (0,5 pontos) Um parabolóide de revolução é obtido fazendo girar a parábola y2 = 
4px em torno do eixo x. Ache o volume limitado por um parabolóide de revolução 
e um plano perpendicular a seu eixo, se o plano estiver a 10 cm do vértice e se a 
seção plana de interseção for um círculo com um raio de 6 cm. 
 
11) (0,5 pontos) Um sólido de revolução é gerado pela rotação, em torno do eixo x, 
da região limitada pela curva y = √2𝑥 + 4, pelo eixo x, pelo eixo y, e pela reta x 
= c (c > 0). Para que valor de c o volume será de 12π unidades cúbicas? 
 
 
 
 
“A matemática é a rainha das ciências” 
 
 
 
 
 
BOA PROVA!!!