Magnetostática e Lei de Biot-Savart

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIAS ELÉTRICA E BIOMÉDICA
TEORIA ELETROMAGNÉTICA I
Prof. Edinaldo J S Pereira
MAGNETOSTÁTICA
EDINALDO PEREIRA
▪Estudo de campos magnéticos estáticos
▪Na eletrostática, as cargas estão estáticas
▪Na magnetostática, as correntes estão estáticas
▪Magnetostática pode ser aplicada para aproximação em 
situações nas quais as correntes não são estacionárias porém 
não se movem tão rapidamente
▪As duas leis fundamentais que regem os campos
magnétostáticos:
1. Lei de Biot-Savart
2. Lei circuital de Ampère
INTRODUÇÃO
Analogia
Campo Elétrico
x 
Campo Magnético
LEI DE BIOT-SAVART
𝑑𝐻 ∝
𝐼𝑑𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑅2
(7.1)
ou 𝑑𝐻 =
𝑘𝐼𝑑𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑅2
(7.2)
Assim, 𝑑𝐻 =
𝐼𝑑𝑙𝑠𝑒𝑛𝛼
4𝜋𝑅2
(7.3)
A Lei de Biot-Savart estabelece que a intensidade do campo 
magnético 𝑑𝐻 gerada em um ponto P pelo elemento 
diferencial 𝐼𝑑𝑙 é proporcional ao produto entre 𝐼𝑑𝑙 e o seno 
do ângulo 𝛼 entre o elemento e a linha que une P ao 
elemento, e é inversamente proporcional ao quadrado da 
distância 𝑅 entre P e o elemento.
𝑘 =
1
4𝜋
, constante de proporcionalidade
𝑑𝐻 =
𝐼𝑑𝑙𝑋 𝑎𝑅
4𝜋𝑅2
=
𝐼𝑑𝑙𝑋 𝑅
4𝜋𝑅3
(7.4)
Que pode ser reescrita, usando a definição de produto cruzado 
apresentado na eq. (1.21) como
Onde 𝑅 = 𝑅 e 𝑎𝑅 =
𝑅
𝑅
e 𝑑𝑙 estão representados na Fig. 7.1.
A orientação de d𝐻 é dada pela regra da mão direita.
𝐼𝑑Ԧ𝑙 ≡ 𝐾𝑑 Ԧ𝑆 ≡ Ԧ𝐽𝑑𝑣 (7.5)
Distribuições de corrente - Corrente em uma linha, Corrente 
em uma superfície e Corrente em um volume.
Definindo 𝐾 como a densidade de corrente em uma superfície 
(A/m) e Ԧ𝐽 como a densidade de corrente em um volume Τ𝐴 𝑚2 , 
os elementos-fonte estão relacionados conforme:
𝐻 = න
𝐿
𝐼𝑑𝑙 𝑋 𝑎𝑅
4𝜋𝑅2
(𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎) (7.6)
𝐻 = න
𝑆
𝐾𝑑 Ԧ𝑆 𝑋 𝑎𝑅
4𝜋𝑅2
(𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒) (7.7)
𝐻 = න
𝑣
Ԧ𝐽𝑑𝑣 𝑋 𝑎𝑅
4𝜋𝑅2
(𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒) (7.8)
Assim, em termos de fontes de corrente distribuída, a Lei de 
Biot-Savart, como em (7.4), torna-se:
𝑎𝑅 - vetor unitário que aponta do elemento diferencial de corrente 
para o ponto de interesse.
𝑑𝐻 =
𝐼dԦ𝑙𝑋 𝑅
4𝜋𝑅3
(7.9)
Campo em um ponto P devido a um condutor filamentar retilíneo.
Considerando a contribuição d𝐻 em 
P, devido ao elemento dԦ𝑙 em 0,0, 𝑧 ,
Mas, 𝑑Ԧ𝑙 = 𝑑𝑧 𝑎𝑧 e 𝑅 = 𝜌𝑎𝜌 − 𝑧𝑎𝑧, então
𝐻 = න
𝐼𝜌𝑑𝑧
4𝜋 𝜌2 + 𝑧2 ൗ
3
2
𝑎𝜙 (7.11)
𝑑Ԧ𝑙 𝑋 𝑅 = 𝜌𝑑𝑧𝑎𝜙 (7.10)
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼, 𝑑𝑧 = −𝜌𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝛼𝑑𝛼,
𝜌2 + 𝑧2 ൗ
3
2 = 𝜌3𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐3𝛼
𝐻 = −
𝐼
4𝜋
න
𝛼1
𝛼2
𝜌2𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝛼𝑑𝛼
𝜌3𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐3𝛼
𝑎𝜙
= −
𝐼
4𝜋𝜌
𝑎𝜙 න
𝛼1
𝛼2
𝑠𝑒𝑛𝛼𝑑𝛼
ou 𝐻 =
𝐼
4𝜋𝜌
𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑎𝜙 (7.12)
Fazendo
a equação (7.11) torna-se
(7.12) pode ser aplicada a qualquer condutor filamentar de 
comprimento finito. 𝐻 está sempre ao longo de 𝑎𝜙.
𝐻 =
𝐼
4𝜋𝜌
𝑎𝜙 (7.13)
𝐻 =
𝐼
2𝜋𝜌
𝑎𝜙 (7.14)
𝑎𝜙 = 𝑎𝑙𝑋 𝑎𝜌 (7.15)
Dado um condutor semi-infinito (em relação à P), tal que o 
ponto A está em 0,0,0 , enquanto B está em 0,0,∞ ; 𝛼1 =
900 e 𝛼2 = 0
0, (7.12) torna-se
Dado um condutor de comprimento infinito (em relação à P), tal 
que o ponto A está em 0,0, −∞ , enquanto B está em 0,0,∞ ; 
𝛼1 = 180
0 e 𝛼2 = 0
0, (7.12) torna-se
O vetor unitário 𝑎𝜙 nas 
equações (7.12) a (7.14) 
pode ser obtido de 
𝑎𝑙 - vetor unitário ao longo da corrente em uma linha
𝑎𝜌 - vetor unitário ao longo da linha perpendicular 
traçada a partir da corrente ao ponto em que se quer 
calcular o campo
Exemplo 7.1 (Sadiku)
Pela espira condutora triangular
circula uma corrente de 10 A.
Determine 𝐻 em (0, 0, 5)
devido ao lado 1 da espira.
Solução
O exemplo mostra como a equação (7.12) pode ser aplicada para qualquer condutor
retilíneo fino percorrido por uma corrente.
Deve-se identificar 𝛼2, 𝛼1, 𝜌 𝑒 𝑎𝜙. Para determinar 𝐻 em (0, 0, 5) devido ao lado 1
da espira, observar a Figura 7.6(b), onde o lado 1 é considerado como um condutor
retilíneo. Notar que foi ligado o ponto (0, 0, 5) ao começo e ao final da linha por
onde flui a corrente de 10 A.
Observar que 𝛼2, 𝛼1, 𝜌 são referidos da mesma maneira que na Figura 7.5, usada
como referência para a equação (7.12).
𝑐𝑜𝑠𝛼1 = 𝑐𝑜𝑠90
0 = 0 𝑐𝑜𝑠𝛼2 =
2
29
𝜌 = 5
Verifica-se que pela equação (7.15),
𝑎𝑙 = 𝑎𝑥 𝑎𝜌 = 𝑎𝑧 𝑎𝜙 = 𝑎𝑥𝑋𝑎𝑧 = −𝑎𝑦
𝑎𝑙 - vetor unitário ao longo da corrente em uma linha
𝑎𝜌 - vetor unitário ao longo da linha perpendicular 
traçada a partir da corrente ao ponto em que se quer 
calcular o campo
Assim,
𝐻 =
𝐼
4𝜋𝜌
𝑐𝑜𝑠𝛼2 − 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑎𝜙 =
10
4𝜋 5
2
29
− 0 −𝑎𝑦 = −59,1𝑎𝑦 Τ
𝑚𝐴
𝑚
Exemplo 7.2 (Sadiku)
Exemplo 7.3 (Sadiku)
LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE – EQUAÇÃO DE MAXWELL
ර𝐻. 𝑑𝑙 = 𝐼𝑒𝑛𝑣 (7.16)
A Lei Circuital de Ampère estabelece que a integral de linha da 
componente tangencial de 𝐻 em torno de um caminho fechado é 
igual à corrente líquida 𝐼𝑒𝑛𝑣 envolvida pelo caminho. Ou seja, a 
circulação de 𝐻 é igual à 𝐼𝑒𝑛𝑣.
(7.16) é sempre válida, sendo a distribuição de corrente 
simétrica ou não. Entretanto, sua praticidade é restrita apenas ao 
caso de distribuição de corrente simétrica. Ela é um caso 
particular da Lei de Biot-Savart.
∇𝑋𝐻 = Ԧ𝐽 (7.19)
Comparando (7.17) com (7.18), vem
A partir de (7.19) observa-se que ∇𝑋𝐻 = Ԧ𝐽 ≠ 0, isto é, o 
campo magnetostático não é conservativo. 
𝐼𝑒𝑛𝑣 = ර
𝐿
𝐻. 𝑑𝑙 = න
𝑆
∇𝑋𝐻 . 𝑑𝑆 (7.17)
mas, 𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝑆׬
Ԧ𝐽. 𝑑𝑆 (7.18)
Aplicando o Teorema de Stokes no membro esquerdo de (7.16), 
vem
APLICAÇÕES DA LEI DE AMPÈRE
ර
𝐿
𝐻. 𝑑𝑙 = 𝐼𝑒𝑛𝑣
𝐼 = න𝐻𝜙𝑎𝜙. 𝜌𝑑𝜙𝑎𝜙 = 𝐻𝜙න𝜌𝑑𝜙 = 2𝜋𝜌𝐻𝜙
𝐻 =
𝐼
2𝜋𝜌
𝑎𝜙 (7.20)
Corrente em uma linha infinita
A Lei de Ampère aplicada à uma corrente em linha filamentar 
infinita.
Como o caminho envolve a corrente 𝐼, de acordo com a Lei de 
Ampère,
Como esperado a partir de (7.14).
Corrente em uma lâmina infinita
A lâmina tem uma densidade 
de corrente uniforme 𝐾 =
𝐾𝑦𝑎𝑦 A/m. Aplicando a Lei 
de Ampère ao caminho 
fechado retangular 
(amperiano) 12341, vem 
ර𝐻. 𝑑𝑙 = 𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝐾𝑦𝑏 (7.21𝑎)
O campo elementar d𝐻 acima e abaixo da lâmina, devido a 
um par de correntes filamentares, pode ser encontrado das 
equações (7.14) e (7.15). Da Fig. 7.11b, nota-se que d𝐻 tem 
somente uma componente x. 
Devido à extensão infinita da lâmina, ela pode ser considerada 
como consistindo de pares filamentares, tais que as 
características de 𝐻 para um par são as mesmas para a lâmina 
infinita de corrente, isto é:
𝐻 = ൝
𝐻0𝑎𝑥 , 𝑧 > 0
−𝐻0𝑎𝑥 , 𝑧 < 0
(7.21𝑏)
ර𝐻. 𝑑𝑙 = න
1
2
+න
2
3
+න
3
4
+න
4
1
𝐻. 𝑑𝑙
= 0 −𝑎 + −𝐻0 −𝑏 + 𝑜 𝑎 + 𝐻0 𝑏
= 2𝐻0𝑏 (7.21𝑐)
onde 𝐻0 deve ser determinado. Resolvendo a integral de linha de 𝐻
na eq. (7.21b), ao longo do caminho fechado da Fig. 7.11(a), vem:
𝐻 =
1
2
𝐾𝑦𝑎𝑥 , 𝑧 > 0
−
1
2
𝐾𝑦𝑎𝑥 , 𝑧 < 0
(7.22)
𝐻 =
1
2
𝐾 𝑋 𝑎𝑛 (7.23)
A partir das equações (7.21a) e (7.21c), obtém-se 𝐻0 =
1
2
𝐾𝑦. 
Substituindo 𝐻0 na equação (7.21b), vem
Em geral, para uma lâmina infinita com densidade de corrente 𝐾
(A/m),
Onde 𝑎𝑛 é um vetor unitário normal orientado da lâmina de corrente 
para o ponto de interesse.
Linha de transmissão coaxial infinitamente longa
ර
𝐿1
𝐻. 𝑑𝑙 = 𝐼𝑒𝑛𝑣 = න Ԧ𝐽. 𝑑𝑆 (7.24)
Seção reta de linha de transmissão, eixo z 
positivo apontando para fora do plano da página.
Caminho amperiano para cada uma das quatro 
possíveis regiões:
0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑎, 𝑎 ≤ 𝜌 ≤ 𝑏, 𝑏 ≤ 𝜌 ≤ 𝑏 + 𝑡 𝑒 𝜌 ≥ 𝑏 + 𝑡
Para a região 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑎, aplicando a Lei de Ampére 
para o caminho 𝐿1, vem:
Ԧ𝐽 =
𝐼
𝜋𝑎2
𝑎𝑧, 𝑑𝑆 = 𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌𝑎𝑧
𝐼𝑒𝑛𝑣 = න Ԧ𝐽. 𝑑𝑆 =
𝐼
𝜋𝑎2
න
𝜙=0
2𝜋
න
𝜌=0
𝑎
𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌 =
𝐼
𝜋𝑎2
𝜋𝜌2 =
𝐼𝜌2
𝑎2
𝐻𝜙 න
𝐿1
𝑑𝑙 = 𝐻𝜙2𝜋𝜌 =
𝐼𝜌2
𝑎2
𝐻𝜙 =
𝐼𝜌
2𝜋𝑎2
(7.25)
Como a corrente está distribuída uniformementesobre a seção reta:
Assim, a equação (7.24) torna-se:
ර
𝐿2
𝐻. 𝑑𝑙 = 𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝐼
𝐻𝜙2𝜋𝜌 = 𝐼
𝐻𝜙 =
𝐼
2𝜋𝜌
(7.26)
Para a região a ≤ 𝜌 ≤ 𝑏, aplicando a Lei de Ampére para o 
caminho 𝐿2, vem:
Já que toda a corrente é envolvida por 𝐿2. Observar que a eq. 
(7.26) é a mesma eq. (7.14) e independe de 𝑎. Para a região 
b ≤ 𝜌 ≤ 𝑏 + 𝑡, aplicando a Lei de Ampére para o caminho 𝐿3, 
vem:
ර𝐻. 𝑑𝑙 =𝐻𝜙2𝜋𝜌 = 𝐼𝑒𝑛𝑣 (7.27𝑎)
onde 𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝐼 + ׬ Ԧ𝐽. 𝑑𝑆
e Ԧ𝐽, nesse caso, é a densidade de corrente do condutor externo e 
está ao longo de −𝑎𝑧, isto é:
Ԧ𝐽 = −
𝐼
𝜋 𝑏 + 𝑡 2 − 𝑏2
𝑎𝑧
∴ 𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝐼 −
𝐼
𝜋 𝑏 + 𝑡 2 − 𝑡2
න
𝜙=0
2𝜋
න
𝜌=𝑏
𝜌
𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙 = 𝐼 1 −
𝜌2 − 𝑏2
𝑡2 + 2𝑏𝑡
Que substituída em (7.27a) torna-se:
𝐻𝜙 =
𝐼
2𝜋𝜌
1 −
𝜌2 − 𝑏2
𝑡2 + 2𝑏𝑡
(7.27𝑏)
ර
𝐿4
𝐻. 𝑑𝑙 = 𝐼 − 𝐼 = 0
ou 𝐻𝜙 = 0 (7.28)
Para a região𝜌 ≥ 𝑏 + 𝑡, aplicando a Lei de Ampére para o 
caminho 𝐿4, vem:
Reunindo as eqs. (7.25) a (7.28), vem
𝐻 =
𝐼𝜌
2𝜋𝑎2
𝑎𝜙, 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑎
𝐼
2𝜋𝜌
𝑎𝜙, 𝑎 ≤ 𝜌 ≤ 𝑏
𝐼
2𝜋𝜌
1 −
𝜌2 − 𝑏2
𝑡2 + 2𝑏𝑡
𝑎𝜙, 𝑏 ≤ 𝜌 ≤ 𝑏 + 𝑡
0 𝜌 ≥ 𝑏 + 𝑡
(7.29)
Observar que a habilidade de extrair 𝐻 do integrando é crucial para 
o uso da Lei de Ampère na determinação de 𝐻 . A Lei de Ampère só 
é útil para encontrar 𝐻 devido a distribuições simétricas de 
corrente para as quais seja possível encontrar um caminho 
fechado no qual 𝐻 é constante em magnitude.
DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO – EQUAÇÃO DE 
MAXWELL
𝐵 = 𝜇0𝐻 (7.30)
onde 𝜇0 = 4𝜋𝑥10
−7 𝐻/𝑚 (7.31) – permeabilidade magnética do espaço livre
Assim como 𝐷 = 𝜀0𝐸 no espaço livre, a densidade de fluxo 
magnético 𝐵 está relacionada à intensidade de campo magnético 𝐻. 
Ψ = න
𝑆
𝐵. 𝑑𝑆 (7.32)
O fluxo magnético Ψ, através da superfície 𝑆, é dado por
onde Ψ (𝑊𝑏) e 𝐵 ( ൗ𝑊𝑏 𝑚2) ou (T)
A linha de fluxo magnético é o caminho, na região 
do campo magnético, em relação ao qual 𝐵 é 
tangente em cada ponto.
A orientação de 𝐵 é indicada pelo norte da agulha da 
bússola. Cada linha de fluxo é fechada, não cruza 
outra linha, independentemente da distribuição de 
corrente.
Embora o campo magnetostático não seja conservativo, o fluxo magnético o é.
Aplicando o Teorema da Divergência em (7.33), vem
ර
𝑆
𝐵. 𝑑𝑆 = න
𝑣
∇. 𝐵𝑑𝑣 = 0
ර𝐵. 𝑑𝑆 = 0 (7.33)
O monopolo magnético não existe.
Lei de Gauss para densidade de fluxo magnetostático
ou 
Lei da Conservação do Fluxo Magnético
ou ∇. 𝐵 = 0 (7.34)
EQUAÇÕES DE MAXWELL PARA CAMPOS 
ELETROMAGNÉTICOS ESTÁTICOS
Tabela 7.2 - Equações de Maxwell para campos EM estáticos
Forma Diferencial 
(Pontual)
Forma Integral Comentários
∇. 𝐷 = 𝜌𝑣 ර
𝑆
𝐷. 𝑑𝑆 = න𝜌𝑣𝑑𝑣 Lei de Gauss
∇. 𝐵 =0 ර
𝑆
𝐵. 𝑑𝑆 = 0
Inexistência de monopólo
magnético
∇𝑋𝐸 = 0
ර
𝐿
𝐸. 𝑑𝑙 = 0 Conservação de campo 
eletrostático
∇𝑋𝐻 = Ԧ𝐽 ර
𝐿
𝐻. 𝑑𝑙 = න
𝑆
Ԧ𝐽. 𝑑𝑆 Lei de Ampère
∇. ∇𝑋 Ԧ𝐴 = 0 (7.35𝑏)∇𝑋 ∇𝑉 = 0 (7.35𝑎)
𝐻 = −∇𝑉𝑚 𝑠𝑒 Ԧ𝐽 = 0 (7.36)
Ԧ𝐽 = ∇𝑥𝐻 = ∇𝑋 −∇𝑉𝑚 = 0 (7.37)
POTENCIAIS MAGNÉTICOS ESCALAR E VETORIAL
Associou-se anteriormente 𝐸 = −∇𝑉. De modo similar pode-se 
definir um potencial associado ao campo magnetostático 𝐵. O 
potencial magnético pode ser o escalar 𝑉𝑚 ou o vetor Ԧ𝐴. Duas 
identidades vetoriais devem ser satisfeitas para qualquer campo 
escalar 𝑉𝑚ou vetorial Ԧ𝐴.
Assim, como 𝐸 = −∇𝑉, faz-se 
Combinando (7.36) e (7.19), resulta
, já que 𝑉𝑚 deve satisfazer (7.35a).
∇2𝑉𝑚 = 0, ∴ 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 Ԧ𝐽 = 0 (7.38)
𝐵 = ∇𝑋 Ԧ𝐴 (7.39)
𝑉 = න
𝑑𝑄
4𝜋𝜀0𝑟
(7.40)
A equação de Laplace é satisfeita por 𝑉𝑚, assim, 
Em campos magnetostáticos, ∇. 𝐵 = 0. Para satisfazer as equações 
(7.34) e (7.35b) simultaneamente, pode-se definir o potencial 
magnético vetorial Ԧ𝐴 ൗ𝑊𝑏 𝑚2 como
Assim como foi definido
Define-se
Ԧ𝐴 = න
𝐿
𝜇0𝐼𝑑𝑙
4𝜋𝑅
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 (7.41)
Ԧ𝐴 = න
𝑆
𝜇0𝐾𝑑𝑆
4𝜋𝑅
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 (7.42)
Ԧ𝐴 = න
𝑣
𝜇0 Ԧ𝐽𝑑𝑣
4𝜋𝑅
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (7.43)
Pode-se também obter as equações (7.41) a (7.43) a partir de 
(7.40) ou a partir de (7.6) a (7.8).
𝐵 =
𝜇0
4𝜋
න
𝐿
𝐼𝑑𝑙′ 𝑋 𝑅
𝑅3
(7.44)
𝑅 = Ԧ𝑟 − 𝑟′ = 𝑥 − 𝑥′ 2 + 𝑦 − 𝑦′ 2 + 𝑧 − 𝑧′ 2 ൗ
1
2 (7.45)
Por exemplo, pode-se obter (7.41) de (7.6) em conjunto com 
(7.39). Reescrevendo (7.6) como
onde 𝑅 é o vetor distância do elemento de linha 𝑑𝑙′ no ponto 
fonte 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ até o ponto 𝑥, 𝑦, 𝑧 onde se quer determinar o 
campo e 𝑅 = 𝑅 , isto é,
∴ ∇
1
𝑅
= −
𝑥 − 𝑥′ 𝑎𝑥 + 𝑦 − 𝑦′ 𝑎𝑦 + 𝑧 − 𝑧′ 𝑎𝑧
𝑥 − 𝑥′ 2 + 𝑦 − 𝑦′ 2 + 𝑧 − 𝑧′ 2 ൗ
3
2
= −
𝑅
𝑅3
ou
𝑅
𝑅3
= −∇
1
𝑅
=
𝑎𝑅
𝑅2
(7.46)
onde a diferenciação é em relação a x, y e z. Aplicando (7.46) 
em (7.44) vem,
𝐵 = −
𝜇0
4𝜋
න
𝐿
𝐼𝑑𝑙′ 𝑋 ∇
1
𝑅
(7.47)
∇𝑋 𝑓 Ԧ𝐹 = 𝑓∇𝑋 Ԧ𝐹 + ∇𝑓 𝑋 Ԧ𝐹 (7.48)
aplicando a identidade vetorial
com 𝑓 = Τ1 𝑅 e Ԧ𝐹 = 𝑑𝑙′, vem
𝑑𝑙′𝑋∇
1
𝑅
=
1
𝑅
∇𝑋𝑑𝑙′ − ∇𝑋
𝑑𝑙′
𝑅
𝑑𝑙′𝑋∇
1
𝑅
= −∇𝑋
𝑑𝑙′
𝑅
(7.49)
Como ∇ opera em 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑑𝑙′ é função de 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ , ∇𝑋𝑑𝑙′ = 0.
Assim,
Com (7.49), a equação (7.47) torna-se
𝐵 = ∇𝑋න
𝐿
𝜇0𝐼𝑑𝑙′
4𝜋𝑅
(7.50)
Comparando (7.39) com (7.50),
Ԧ𝐴 = න
𝐿
𝜇0𝐼𝑑𝑙′
4𝜋𝑅
verificando (7.41).
Ψ = න
𝑆
𝐵. 𝑑𝑆 = න
𝑆
∇𝑋 Ԧ𝐴 . 𝑑𝑆 = ර
𝐿
Ԧ𝐴. 𝑑𝑙
ou
Ψ = ර
𝐿
Ԧ𝐴. 𝑑𝑙 (7.51)
Substituindo (7.39) em (7.32) e usando o Teorema de Stokes, vem
Exemplo 7.7 - Sadiku
Dado um potencial magnético vetor Ԧ𝐴 = − ൗ𝜌
2
4𝑎𝑧 Τ
𝑊𝑏
𝑚, calcule 
o fluxo magnético total que atravessa a superfície 𝜙 = Τ𝜋 2 , 1 ≤
𝜌 ≤ 2 𝑚, 0 ≤ 𝑧 ≤ 5 𝑚.
Solução:
Pode-se calcular Ψ usando a equação (7.32) ou a equação (7.51), logo,
Método 1 – Equação (7.32) - Sadiku
Ψ = න
𝑆
𝐵. 𝑑𝑆 , mas de (7.39), 𝐵 = ∇𝑋 Ԧ𝐴. Assim,
𝐵 = ∇𝑋 Ԧ𝐴 = −
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝜌
𝑎𝜙 =
𝜌
2
𝑎𝜙 𝑒 𝑑𝑆 = 𝑑𝜌𝑑𝑧𝑎𝜙
Ψ = න
𝑆
𝐵. 𝑑𝑆 =
1
2
න
𝑧=0
5
න
𝜌=1
2
𝜌𝑑𝜌𝑑𝑧 =
1
4
ቚ𝜌2
1
2
5 =
15
4
= 3,75𝑊𝑏
Método 2 – Equação (7.51) - Sadiku
Ψ = ර
𝐿
Ԧ𝐴. 𝑑𝑙 = Ψ1 +Ψ2 +Ψ3 +Ψ4
Como Ԧ𝐴 tem apenas componente na direção z, então, Ψ1 e Ψ3 são 
nulos. Assim,
Ψ = Ψ2 +Ψ4
Ψ = −
1
4
1 2න
0
5
𝑑𝑧 + 2 2න
5
0
𝑑𝑧
Ψ = −
1
4
5 − 20 =
15
4
= 3,75𝑊𝑏
DEDUÇÃO DA LEI DE BIOT-SAVART E DA LEI DE AMPÈRE
∇𝑋∇𝑋 Ԧ𝐴 = ∇ ∇. Ԧ𝐴 − ∇2 Ԧ𝐴 7.52
𝐵 = ∇𝑋ර
𝐿
𝜇0𝐼𝑑𝑙′
4𝜋𝑅
=
𝜇0𝐼
4𝜋
ර
𝐿
∇𝑋
1
𝑅
𝑑𝑙′ (7.53)
Tanto a Lei de Biot-Savart como a Lei de Ampère podem ser 
deduzidas a partir do conceito de potencial magnético vetorial. 
Isto será feito usando identidades vetoriais em (7.48) e
Como a Lei de Biot-Savart, dada em (7.4), é fundamentalmente 
sobre a corrente em uma linha, inicia-se a dedução com as 
equações (7.39) e (7.41). Assim,
onde 𝑅 é definido em (7.45).
𝐵 =
𝜇0𝐼
4𝜋
ර
𝐿
1
𝑅
∇𝑋𝑑𝑙′ + ∇
1
𝑅
𝑋𝑑𝑙′ (7.54)
1
𝑅
= 𝑥 − 𝑥′ 2 + 𝑦 − 𝑦′ 2 + 𝑧 − 𝑧′ 2 ൗ
−1
2 (7.55)
Se a identidade vetorial de (7.48) for usada considerando Ԧ𝐹 = 𝑑𝑙
e 𝑓 = Τ1 𝑅, a equação (7.53) torna-se
Como ∇ opera em 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑑𝑙′ é função de 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ , ∇𝑋𝑑𝑙′ = 0. Também,
∇
1
𝑅
= −
𝑥 − 𝑥′ 𝑎𝑥 + 𝑦 − 𝑦′ 𝑎𝑦 + 𝑧 − 𝑧′ 𝑎𝑧
𝑥 − 𝑥′ 2 + 𝑦 − 𝑦′ 2 + 𝑧 − 𝑧′ 2 ൗ
3
2
= −
𝑎𝑅
𝑅2
(7.56)
onde 𝑎𝑅 é um vetor unitário orientado a partir do ponto fonte até 
o ponto onde se quer determinar o campo. Portanto, (7.54) (após 
retirar a “linha” de 𝑑𝑙′) torna-se:
𝐵 =
𝜇0𝐼
4𝜋
ර
𝐿
𝑑𝑙 𝑋 𝑎𝑅
𝑅2
(7.57)
∇𝑋𝐵 = ∇ ∇. Ԧ𝐴 − ∇2 Ԧ𝐴 (7.58)
∇. Ԧ𝐴 = 0 (7.59)
∇2 Ԧ𝐴 = −𝜇0∇𝑋𝐻
ou ∇2 Ԧ𝐴 = −𝜇0 Ԧ𝐽 (7.60)
Lei de Biot-Savart
Usando a identidade de (7.52) em (7.39), vem
Pode-se demonstrar que, para um campo magnético estático,
Tal que, após substituir 𝐵 por 𝜇0𝐻 e usar a equação (7.19), a 
equação (7.58) torna-se
Equação Vetorial de Poisson
∇2𝑉 = − ൗ
𝜌𝑣
𝜀 (7.60)
∇2𝐴𝑥 = −𝜇0𝐽𝑥
∇2𝐴𝑦 = −𝜇0𝐽𝑦 (7.61)
∇2𝐴𝑧 = −𝜇0𝐽𝑧
É similar a equação dePoisson da eletrostática
Em coordenadas cartesianas, a equação (7.60) pode ser 
decomposta em três equações escalares
Equações Escalares de Poisson
Pode-se demonstrar que a Lei Circuital de Ampère é 
consistente com a definição de potencial magnético 
vetorial. Do Teorema de Stokes e da equação (7.39),
∇𝑋∇𝑋 Ԧ𝐴 = −∇2 Ԧ𝐴 = 𝜇0 Ԧ𝐽
ර
𝐿
𝐻. 𝑑𝑙 = න
𝑆
Ԧ𝐽. 𝑑𝑆 = 𝐼
ර
𝐿
𝐻. 𝑑𝑙 = න
𝑆
∇𝑋𝐻. 𝑑𝑆
=
1
𝜇0
න
𝑆
∇𝑋 ∇𝑋 Ԧ𝐴 . 𝑑𝑆 (7.62)
Das equações (7.52), (7.59) e (7.60),
Substituindo esta identidade em (7.62), vem
Lei Circuital de Ampère