Projeto de Física I (Oscilações, Ondas e construções modernas)

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30 DE MARÇO 
 
 
 
Universidade Federal De Rio Grande 
Engenharia Civil Empresarial 
Física I 
 
Ondas, 
oscilações e a 
construção 
moderna 
 
 
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Sumário: 
 
Apresentação........................................................................3 
Introdução.............................................................................4 
Objetivos...............................................................................12 
Metodologia..........................................................................14 
Perspectivas.........................................................................41 
Referências...........................................................................52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ondas, oscilações e a construção moderna 
 
 
Muitos são os desafios para a construção de grandes prédios. A principal dificuldade é a de 
construir estruturas capazes de suportar ondas e oscilações causadas por terremotos ou fortes 
rajadas de ventos. Parece impossível, mas mesmo um vento fraco ou um pequeno tremor de 
terra pode trazer grandes danos a edificações. A engenharia de construções avançou muito no 
desenvolvimento de materiais mais leves e resistentes para a construção, bem como materiais 
que adaptem com mais facilidade e flexibilidade à esses fatores adversos. 
 
 
 
 
 
 
O projeto será constituído no fato ocorrido em 2018 em Balneário Camboriú 
SC, no edifício Millenium Palace, apresentando como tema o sistema 
construtivo sólido e seguro contra as oscilações/ondas, baseado em 
diversos testes, como por exemplo o ensaio em túnel de vento, no qual irei 
elucidar, assim como citarei modelos de arranha-céus internacionais, 
desenvolvido com tecnologia de ponta, com a metodologia avançada e teste 
certificados para credibilizar estas edificações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Jorge Luiz Pimentel Jnr. 
Aluna Keruline Pinto Rodrigues 
Matrícula 143826 
Turma F 
 
 
 
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Introdução 
Mesmo com a evolução constante dos estudos, é preciso afirmar que ainda é muito difícil definir 
as ações dos efeitos do vento nos edifícios, devido à complexidade da interação do fluxo com 
as estruturas. 
Como é de se esperar, usar a tecnologia que é empregada em edifícios menores para erguer 
arranha-céus de quase 1 km de altura não funciona e poderia resultar em desastres 
monumentais. O problema é que existem várias forças atuando sobre esses edifícios e, 
conforme a altura, isso fica ainda mais crítico. As mega estruturas inteligentes são edifícios e 
construções que podem se adaptar sozinhos a diversos desastres com o mínimo de dano. 
Para conseguir fazer um prédio dessas proporções, é preciso calcular cada detalhe: o formato 
do edifício para que ele absorva o impacto do vento, os materiais usados, as saídas de 
emergência, o tipo de tecnologia empregado para combater eventos de acordo com a geografia 
do lugar etc. 
Para uma construção normal, a maior parte dos acontecimentos do dia a dia não chega a afetar 
a estrutura do prédio ou da casa. Porém em um edifício de proporções tão grandes quanto as 
do Burj Khalifa, por exemplo, existem perigos extras que precisam ser levados em conta, como 
o vento. 
 
 
Burj Khalifa, em Dubai, o maior edifício do mundo atualmente. 
 (Fonte da imagem: Economic Times) 
Figura: 1 
 
Não se trata de um vento forte como um furacão — mas sim um vento normal do dia a dia! 
Esse fenômeno tão natural e praticamente inofensivo para casas e prédios de alturas mais 
baixas é algo que poderia ser a causa de um acidente sem precedentes, caso os engenheiros 
não se preocupassem durante a construção de um desses mega edifícios. 
Sem a resistência dos prédios ao redor, a parte de cima de um arranha-céu sofre com ventos 
muito mais fortes. Além disso, por não ter um ponto de apoio fixo no topo, ele pode balançar 
vários metros para os lados ou, em casos extremos, quebrar e simplesmente cair no meio da 
cidade. 
 
 
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Comparação dos edifícios mais altos do mundo atual (Fonte da imagem: Epoch Times) 
Figura: 2 
 
Todavia a engenharia tem evoluído bastante a ponto de conseguir superar até os maiores 
desafios — que, em uma construção de porte tão grande, também são imensos. Surgindo 
consecutivamente soluções inteligentes para driblar os perigos do dia a dia e conseguir 
também mais segurança para áreas de riscos que sofrem com desastres naturais. 
Algumas estruturas, particularmente aquelas que são altas ou esbeltas, respondem 
dinamicamente aos efeitos do vento. 
As rajadas ou flutuações da velocidade do vento em período curtos, não são suficientemente 
altas para gerar efeitos relevantes em estruturas baixas, que possuem frequência próprias 
altas. 
No entanto, podem ficar em faixas de frequência suficientemente altas, capazes de gerar 
efeitos de ressonância em estruturas com frequências próprias baixas, como as estruturas 
seletas. Outras características das rajadas em períodos curtos é que elas são menores, porém 
com frequências mais altas se comparadas a velocidade média. 
No Brasil é muito raro que ventos fortes cheguem a se tornar furacões, mas isso não quer dizer 
que não existam desastres relacionados a esse evento natural. 
Recentemente causou grande impacto nas redes sociais um vídeo mostrando o movimento da 
água em uma piscina interna no edifício Millenium Palace, em Balneário Camboriú. O edifício 
com 46 andares e 177 metros de altura é um dos mais altos do Brasil. No vídeo, é possível ver 
a água oscilando e saindo pelas bordas da piscina devido à vibração do prédio submetido a 
rajadas de vento que atingiram 90 km/h. Como consequência, muitas pessoas ficaram 
alarmadas e muitas opiniões diferentes surgiram mesmo entre os engenheiros estruturais. O 
fenômeno observado na piscina é conhecido como “sloshing” em inglês, que poderíamos 
traduzir como um escorregamento ou movimento da água, é o movimento que ocorre na 
superfície livre dos líquidos contidos em reservatórios quando estes são submetidos a alguma 
oscilação, translação ou combinação de ambos os movimentos. 
A modelação da interação dinâmica, as forças e oscilações decorrente entre o fluido e a 
estrutura serão abordados no próximo capítulo. 
 
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Millenium Palace localizado em BC um dos edifícios mais altos do País 
(Fonte da imagem: Gazeta Do Povo) 
Figura: 3 
 
Edificações em geral estão expostas às forças de vento, de origem dinâmica, que podem 
ocasionar acidentes ou danos estruturais e dependem de diversos fatores, como a forma da 
construção, disposição e dimensões das aberturas, tipo de estrutura, grau de exposição da 
construção, dentre outros. 
O interesse neste assunto tornou-se maior pelo fato da tecnologia computacional permitir que 
estudos mais precisos sejam feitos nos projetos de engenharia estrutural, tornando possível 
que edifícios cada vez mais altos e mais esbeltos sejam construídos. A geometria esbelta das 
edificações somada à sua leveza estrutural é possível graças ao emprego de materiais mais 
resistentes. 
O avanço no conhecimento das propriedades dos materiais e as técnicas modernas da 
construção civil fazem o mundo da arquitetura e da engenharia ser cada vez mais ousado nas 
suas criações, tendo como resultado estruturas de menor rigidez estrutural, nas quais a ação 
do vento passa a ter uma importância maior por surgirem efeitos dinâmicos de importância 
como oscilações e vibrações. 
O estudo da ação do vento nas edificações deve considerar, portanto, a solicitação estática, 
que depende da sua velocidade média, e as flutuações da sua velocidade. Estas flutuações 
são conhecidas na engenharia como rajadas ou turbulências. As rajadas do vento dão origem 
a vibrações devido às diversas formas com que a sua força atua na estrutura, produzindo um 
carregamento aleatório de curta duração que dificulta a análise diretados esforços. 
 Na análise de estruturas submetidas à ação de pressão do vento podem ser utilizados modelos 
de um grau de liberdade, para simulações mais simplificadas, e modelos com vários graus de 
liberdade, que permitem a consideração de sistemas estruturais mais complexos. Dada a 
diversidade de solicitações de interesse na análise estrutural, dificilmente se chegará a um 
método ideal para um caso genérico, sendo conveniente estudar o maior número possível de 
suas características para melhor definir sua viabilidade e possibilidades de emprego. 
 
 
7 
 
PORQUE ESTUDAR OSCILAÇÕES E ONDAS 
 
Os fenômenos ondulatórios estão entre os fenômenos físicos mais importantes. Para 
esclarecer essas dúvidas precisamos, inicialmente, entender o que é uma onda. Uma onda é 
basicamente uma perturbação oscilante que se propaga no espaço. Sendo assim, vemos que 
uma onda está diretamente ligada a uma oscilação, por isso, para estudar uma onda e entender 
suas aplicações iremos primeiramente estudar as oscilações. 
 
Em qual contexto a disciplina de Física se enquadra dentro do curso? 
Para entender as oscilações e ondas iremos usar de base a mecânica clássica e o 
eletromagnetismo. Já com os conhecimentos obtidos em Física, podemos usá-la de base para 
entender a óptica e a mecânica quântica. 
 
Como isso pode ser feito e como todos esses e outros exemplos se relacionam? 
1) Primeiramente, já somos capazes de trabalhar com forças, e sabemos que se tivermos 
uma força conservativa teremos uma energia potencial associada, e se soubermos essa 
energia, então seremos capazes de, por exemplo, prever e descrever o movimento do 
sistema. 
2) O que acontece é que, apesar dos exemplos serem distintos, todos podem ser descritos 
por uma energia potencial comum, ou por uma mesma equação diferencial do tipo: 
 
 
Equação: 1 
 
A importância de se entender essas equações, sua solução e seu significado físico, se deve ao 
fato de que, para descrever sistemas muito mais complexos à primeira vista, se estes forem 
descritos pela mesma equação matemática que descreve um sistema simples, como o de um 
pêndulo simples, então poderemos usar os mesmo resultados e conceito aprendidos. 
 
Se tivermos uma força F(x) conservativa, então teremos uma energia potencial descrita por 
uma função qualquer U(x). Note que ao escrever F(x), a força é vetorial, mas no exemplo possui 
somente 1 dimensão (sistema se move somente ao longo de x), porém, isso não é uma regra. 
 
F(x) e U(x) se relacionam por: 
 Equação: 2 
 
 
Seja então uma energia potencial de um sistema qualquer descrita por uma curva como 
mostrada na Figura ?: 
 
 
 
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Figura: 3 
 
O que podemos dizer sobre esse sistema? 
O que acontece se, por exemplo, uma partícula nesse sistema possuir energia E0 (no ponto A, 
onde x = x0)? Qual será o seu movimento? 
Como estará no ponto de menor energia (mínimo), a partícula deverá estar parada. Isso porque 
no ponto de mínimo: 
 
 
Equação: 3 
 
O que acontece se a partícula possuir energia E1 (no ponto B)? 
Neste caso, ela não estará na situação de menor energia, logo terá energia para se mover: 
haverá conversão de energia potencial em energia cinética. 
No ponto x0 (ponto de equilíbrio) a partícula percebe uma força nula. Já próximo a x0 a 
partícula irá oscilar em torno de x0. 
Em torno de A podemos aproximar U(x) por uma parábola, ou seja, U(x) ∝ x2, logo F(x) ∝ x. 
Logo: 
A força F(x) é proporcional ao deslocamento. 
 
Relação que é conhecida como lei de Hooke, que irá descrever um oscilador harmônico 
simples, como um sistema massa-mola ou um pêndulo simples. Ou seja, em certas ocasiões 
e condições, posso descrever um sistema complexo, com uma dada energia potencial U(x) 
por um oscilador harmônico, exemplo: sistema massa-mola. Observação: Qualquer sistema 
na vizinhança de uma posição de equilíbrio pode ser descrito por um oscilador harmônico. 
 
Como colocar um sistema para oscilar? 
 
Nem toda força gera uma oscilação. Basicamente, para colocar o sistema para oscilar, será 
necessário aplicar uma força que o tire de sua posição de menor energia e o eleve para uma 
posição de maior energia. 
 
A partir deste ponto, será analisado com maior dimensionamento sobre ondas, oscilações e 
como estas interferem e resultam nas construções; explicando cientificamente e observando 
como as construções esbeltas e modernas estão buscando novos métodos e teconologias para 
destrinchar os problemas provenientes. 
 
 
9 
 
Quais são as clafissicações das ondas, representações e as suas respectativas funções? 
 
 
Mapa mental Ondulatória 
Figura: 4 
 
Quanto as oscilações quais suas caracteristícas? 
 
 
Mapa mental MHS 
Figura: 5 
 
Mapa mental MCU 
Figura: 6 
 
 
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Oscilações simples (MHS) 
A descrição do movimento pode ser escrita da forma: 
 
Equação: 4 
 
Sim, é exatamente igual à descrição de uma onda harmônica, e ambas estão estritamente 
relacionadas. Os pontos de uma corda realizam um movimento oscilatório quando a onda se 
propaga por ela. E do mesmo jeito, podemos achar a velocidade e a aceleração derivando: 
 
Equação: 5 
Observe agora uma relação interessante: 
 
 
Equação: 6 
Por que isso é tão importante? Essa é a equação diferencial que dá origem ao movimento 
oscilatório. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona a variável com suas 
derivadas, em vez de suas potências. Sua resolução é muito mais complexa, portanto nesta 
matéria as soluções são dadas. O principal é saber montar a equação e identificar qual 
solução é de qual caso e conhecer todos os parâmetros. Obtenção da equação diferencial 
Olhando pra carinha da equação que obtivemos acima, temos uma dica: envolve aceleração. 
O que mais tem aceleração? Sim, F = ma. O exemplo mais simples possível: Massa-mola 
 
Equação: 7 
Comparando com a outra equação, obtemos que: 
 Equação: 8 
A relação com o período, obtemos uma relação famosa: 
 Equação: 9 
 
 Não estamos restritos somente à movimentos lineares. Poderíamos fazer a mesma coisa com 
ângulo e aceleração angular, que é o caso do pêndulo: 
No caso angular, 
O torque da força peso é . O momento de inércia da massa pontual é mL². 
Portanto, a equação fica: 
 
 Equação: 10 
Sem utilizar a aproximação de pequenos ângulos, o pêndulo não é 
mais uma oscilação simples. 
 
 
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Oscilações Amortecidas (MHA) 
Uma oscilação amortecida nada mais é uma oscilação simples, mas com atrito. Se modelarmos 
o atrito de forma que ele seja proporcional à velocidade, a equação diferencial fica um pouco 
mais complicada. A equação diferencial é da forma: 
 
Equação: 11 
Note que temos dois parâmetros agora: 1, que representa o atrito, e que representa a tendência 
de oscilação. Durante a resolução da equação, aparece uma equação do segundo grau, e 
portanto temos 3 possibilidades para a solução, e damos nomes para elas: 
 Amortecimento subcrítico 
Acontece quando: Equação: 12 
Único caso onde há oscilação. 
 ω: frequência de oscilação real, aquela que realmente ocorrerá 
ω0: frequência de oscilação natural, recebe esse nome pois é a frequência original sem o 
amortecimento. A equação do movimento é dado por: 
 
Equação: 13 
Amortecimento crítico 
 Acontece quando: Equação: 14 
Neste caso, não há oscilação. O sistema retorna ao ponto de equilíbrio no tempo mínimo 
possível dentre os 3 casos de amortecimento. A equação do movimento é dada por: 
 
Equação: 15 
Amortecimento supercrítico 
Acontece quando: Equação: 16 
Também não há oscilação. O sistema volta ao estado de equilíbrio seguindo uma exponencial. 
A equação do movimento é dada por: 
 
Equação: 17 
 
 
12 
 
Objetivos 
O Millennium Palace é um edifício de apartamentos de alto luxo na cidade de Balneário 
Camboriú, Estado de Santa Catarina, que até maio de 2018 era o edifício mais alto doBrasil, 
com 177,3 metros de altura arquitetônica (que inclui elementos estruturais e decorativos, mas 
não mastros e antenas) e 46 andares acima do solo. Localizado na Avenida Atlântica, 2670, de 
frente para a praia, na área central da cidade, foi inaugurado em 9 de agosto de 2014, tendo 
quase o dobro da altura dos prédios vizinhos. 
“Ventos fazem o prédio balançar” - O edifício ficou ainda mais famoso em janeiro de 2018, 
depois que um vídeo viralizou na internet mostrando a piscina de um dos apartamentos 
transbordando devido ao balanço do prédio. Apesar de as imagens do vídeo serem 
impressionantes, elas não necessariamente indicam que a estrutura do prédio esteja 
comprometida. Quem explica é Ricardo Dias, engenheiro civil com mestrado na Escola de 
Engenharia de São Carlos (EESC/USP) e professor do curso de Arquitetura e Urbanismo da 
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR). De acordo com o especialista, forças 
horizontais como o vento produzem deslocamentos laterais nos edifícios. Os materiais 
estruturais apresentam certa elasticidade, não sendo completamente rígidos. Isso faz com que 
todo prédio tenha uma vibração — que pode ser mais ou menos perceptível, de acordo com a 
altura que a pessoa está na estrutura. 
 
 
Piscina privativa do apartamento (Fonte da imagem: Rede Peperi) 
Figura: 7 
O limite do quanto esse prédio pode “vibrar” é estabelecido de acordo com a Associação 
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) para concreto armado. Segundo a estimativa do 
engenheiro, feita com base na altura do prédio, o Millenium Palace pode ter cerca de 10 
centímetros de deslocamento lateral devido ao vento no topo. “É bastante. Isso não danifica a 
estrutura quando dentro do limite, mas elementos móveis presos nessa estrutura acabam 
sentindo. Em edifícios muito altos, por exemplo, quadros podem ficam tortos porque o edifício 
vibra pelo vento”, afirma. “Pela escala do edifício, é muito factível que o projeto tenha feito todas 
as verificações dentro das normas”. Quadros, lustres e água em reservatórios são alguns dos 
elementos que podem dar uma sensação de que a vibração está exagerada. Além disso, 
quanto mais distante a pessoa se encontra do térreo — e, naturalmente, da fundação da 
estrutura —, maior a sensação do movimento. 
Segundo o professor da PUCPR, o dano causado por uma falha nas normas de engenharia 
por conta do vento seria imediato se sujeito a valores não considerados no projeto. “Edifícios 
que tenham movimentos laterais excessivos dariam indícios através de fissuras em paredes. 
Durante a própria construção já se começa a sentir se o prédio tem essa percepção com relação 
ao vento”, aponta Dias. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Edif%C3%ADcio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Apartamento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Balne%C3%A1rio_Cambori%C3%BA
https://pt.wikipedia.org/wiki/Balne%C3%A1rio_Cambori%C3%BA
https://pt.wikipedia.org/wiki/Unidades_federativas_do_Brasil
https://pt.wikipedia.org/wiki/Santa_Catarina
https://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Avenida_Atl%C3%A2ntica_(Balne%C3%A1rio_Cambori%C3%BA)&action=edit&redlink=1
 
 
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Fachada Millenium Palace (Fonte da imagem: Millenium Designer Projeto) 
Figura: 8 
Depois da tempestade, o Millennium Palace passou por uma vistoria que constatou que estava 
tudo em ordem. Além disso, diversos arquitetos foram ouvidos pela imprensa e disseram que 
oscilações como essa são normais e, inclusive, esperadas, mas não causam danos à estrutura. 
Claro que sempre que estiverem dentro de limites especificados em normas técnicas e 
previstas no projeto do edifício. 
Geralmente, essas oscilações passam despercebidas pelos moradores, mas elementos 
móveis, como a piscina desse apartamento, podem tornar esse balanço mais evidente. 
Ainda de acordo com a construtora, o Millennium Palace passou por ensaios de túnel de vento 
com a empresa BRE, na Inglaterra, para testar a segurança do prédio. “Prédios altos, 
principalmente como os edifícios de Balneário Camboriú, são projetados para suportar ventos 
muito superiores ao máximo valor previsto. 
O objetivo deste trabalho é o estudo do comportamento dinâmico na direção do vento de um 
edifício alto em concreto armado. O prédio tem uma altura total de 177 metros, com geometria 
uniforme. Foram avaliados os deslocamentos, os esforços em elementos estruturais e as 
acelerações em diversos níveis do edifício. O estudo busca principalmente observar as 
características de variação de carregamento do vento nos edifícios altos e a definição de 
carregamentos que permitam analisar a resposta estrutural no domínio do tempo, buscando 
uma representação com maior aproximação da realidade. Possibilita, assim, a avaliação dos 
efeitos oscilatórios da estrutura, como a aceleração das suas partes e o conforto dos usuários, 
sendo os valores comparados com as recomendações disponíveis na literatura sobre o tema. 
Bem como o estudo e definição das ondas e oscilações. 
 
 
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Metodologia 
Para dar início à tese, precisamos tratar inicialmente da teoria física das Ondas e 
oscilações por meio de um breve resumo (explicação). 
 
OSCILAÇÕES 
 MHS e MHA (Movimento Harmônico Simples e Amortecido) 
 
Todo MHS acontece quando uma força impele um corpo em movimento a voltar para uma 
posição de equilíbrio. Alguns exemplos de MHS são o pêndulo simples e o oscilador massa-
mola. Em movimento harmônico simples, a energia mecânica do corpo é sempre mantida 
constante, mas suas energia cinética e potencial intercambiam-se: quando a energia cinética é 
máxima, a energia potencial é mínima e vice-versa. 
 
 
Sistemas do MCU/MHS 
Figura: 9 
 
No movimento harmônico simples, a posição do corpo é uma função periódica. 
As grandezas mais importantes no estudo do MHS são aquelas que são usadas para escrever 
as funções horárias do MHS. As funções horárias nada mais são que equações que dependem 
do tempo como variável. Confira as principais grandezas do MHS: 
 Amplitude (A): mede a maior distância que o corpo em oscilação é capaz de chegar em relação 
à posição de equilíbrio. A unidade de medida da amplitude é o metro (m); 
 
 Frequência (f): mede a quantidade de oscilações que o corpo realiza a cada segundo. A 
unidade de medida da frequência é o hertz (Hz); 
 
 
Equação: 18 
 Período (T): tempo necessário para que o corpo realize uma oscilação completa. A unidade de 
medida do período é o segundo (s); 
 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/forca.htm
https://educador.brasilescola.uol.com.br/estrategias-ensino/medindo-gravidade-com-um-pendulo-simples-sala-aula.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-energia-mecanica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/energia-cinetica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/energia-potencial.htm
 
 
15 
 
 Frequência angular (ω): mede a rapidez em que o ângulo de fase é percorrido. O ângulo de 
fase corresponde à posição do corpo em oscilação. Ao final de uma oscilação, o corpo terá 
varrido um ângulo de 360º ou 2π radianos. 
 
 
ω – frequência ou velocidade angular (rad/s) 
Δθ – variação do ângulo (rad) 
Equação: 19 
 
Equações gerais do MHS, começando pelas equações de posição, velocidade e aceleração. 
 
→ Equação da posição no MHS 
Esta equação é usada para calcular a posição do corpo que desenvolve 
um movimento harmônico simples: 
 
 
x(t) – posição em função do tempo (m) 
A – amplitude (m) 
ω – frequência angular ou velocidade angular (rad/s) 
t – tempo (s) 
φ0 – fase inicial (rad) 
Equação: 20 
→ Equação da velocidade no MHS 
A equação da velocidade do MHS deriva da equação horária da posição e é dada pela 
expressão a seguir: 
 
 
Equação: 21 
→ Equação da aceleração no MHS 
A equação da aceleração é bastante parecida com a equação da posição: 
 
Equação: 22 
Além das equações mostradas acima, que são gerais, existem algumas equações específicas, 
utilizadas para calcular a frequência ou o período dos osciladores massa-mola e também 
do pêndulo simples.Oscilador massa-mola 
No oscilador massa-mola, um corpo de massa m é preso a uma mola ideal de constante 
elástica k. Quando retirado da posição de equilíbrio, a força elástica exercida pela mola faz com 
que o corpo passe a oscilar em torno dessa posição. A frequência e o período de oscilação 
podem ser calculados por meio das fórmulas a seguir: 
 
 
k – constante elástica da mola (N/m) 
m – massa do corpo 
Equação: 23 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/aceleracao.htm
 
 
16 
 
Analisando a fórmula acima, é possível notar que a frequência de oscilação 
é proporcional à constante elástica da mola, ou seja, quanto mais “dura” for a mola, mais rápido 
será o movimento de oscilação do sistema massa-mola. 
 
Pêndulo simples 
O pêndulo simples consiste em um corpo de massa m, preso a 
um fio ideal e inextensível, colocado para oscilar em ângulos pequenos, na presença de 
um campo gravitacional. As fórmulas utilizadas para calcular a frequência e o período desse 
movimento são as seguintes: 
 
g – aceleração da gravidade (m/s²) 
l – comprimento do fio (m) 
Equação: 24 
 
A partir das equações acima, percebe-se que o período do movimento de um pêndulo depende 
apenas do módulo da gravidade local e também do comprimento desse pêndulo. 
 
 
À esquerda temos um relógio de pêndulo. À direita, o movimento oscilatório realizado por ele. 
Figura: 10 
 
Energia mecânica no MHS 
O movimento harmônico simples só é possível graças à conservação da energia mecânica. A 
energia mecânica é a medida da soma da energia cinética e da energia potencial de um corpo. 
No MHS, a todo momento, tem-se a mesma energia mecânica, entretanto, ela se 
expressa periodicamente na forma de energia cinética e energia potencial. 
 
 
EM – energia mecânica (J) 
EC – energia cinética (J) 
EP – energia potencial (J) 
Equação: 25 
 
A fórmula mostrada acima expressa o sentido matemático da conservação da energia 
mecânica. Em um MHS, em quaisquer instantes, final e inicial, por exemplo, 
a soma das energias cinética e potencial é equivalente. Esse princípio pode ser visualizado no 
caso do pêndulo simples, que apresenta energia potencial gravitacional máxima, quando o 
corpo se encontra nas posições extremas, e energia cinética máxima, quando o corpo se 
encontra no ponto mais baixo da oscilação. 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/a-aceleracao-gravidade.htm
 
 
17 
 
MHA - As oscilações harmônicas simples ocorrem em sistemas conservativos. No entanto, na 
prática sempre existe dissipação de energia. Assim, no caso de um pêndulo, as oscilações se 
amortecem devido à resistência do ar. As oscilações de um líquido em um tubo em U se 
amortecem devido à viscosidade do líquido. As vibrações de um diapasão produzem um som 
audível porque são comunicadas ao ar, gerando ondas sonoras. A energia utilizada para isto 
provém do oscilador, dando origem a amortecimento por emissão de radiação sonora. Como 
já conhecido, a resistência de um fluido, como o ar, ao deslocamento de um obstáculo, é 
proporcional à velocidade para velocidades suficientemente pequenas, o que se aplica a 
pequenas oscilações. 
Portanto, quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa, dizemos que 
o oscilador e seu movimento são amortecidos. 
Em muitos sistemas que vibram a força de atrito Fa pode ser modelada como sendo 
proporcional à velocidade v do objeto, onde b é uma constante de amortecimento: 
Fa = −bv 
Equação: 26 
Em termos de energia, para um oscilador não amortecido, esta é constante. Se o oscilador é 
amortecido, a energia mecânica não é constante e diminui com o tempo. 
 
Casos de amortecimento 
O valor da frequência natural ω 0 determina criticamente o comportamento do sistema. 
 Nesse sentido, um oscilador harmônico amortecido pode ser: 
 Supercrítico ( ω 0 < ): O sistema retorna (decai exponencialmente) para o estado estável sem 
oscilar. Neste caso, aparecerá na frequência final um termo real de forma que a oscilação 
não mais existirá (seno ou cossenos hiperbólicos). 
 Criticamente amortecido (ω 0 ≈ ): O sistema retorna para o estado estável tão rapidamente 
quanto possível sem oscilar. Isto é frequentemente desejado para o amortecimento de 
sistemas como os de portas. Outra aplicação para este tipo de amortecimento é o uso de 
balanças, onde ao ser efetuada uma pesagem, espera-se que a leitura estabilize-se no 
menor tempo possível ao invés de ficar oscilando por um longo período 
 Subamortecido (ω 0 > ): O sistema oscila (com uma freqüência levemente diferente que o 
do caso não amortecido) com a amplitude gradualmente decrescendo a zero. Neste caso, 
a solução de seno ou cosseno escrita em números complexos possui um expoente 
imaginário. 
 
Figura: 11 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Decaimento_exponencial
 
 
18 
 
ONDAS 
 
São perturbações que se deslocam no espaço transportando, exclusivamente, energia de um 
ponto a outro, sem realizar transporte de matéria. Existem ondas de 
natureza mecânica, eletromagnética e gravitacional. Quanto à sua propagação, podemos 
classificar três tipos de ondas: 
ondas unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. Quanto à direção de perturbação, 
são divididas em ondas transversais e longitudinais. 
 
Propriedades das ondas 
Independente de qual for a natureza, forma de propagação ou perturbação, todas as ondas 
apresentam as mesmas 
propriedades: frequência, comprimento de onda, amplitude, velocidade e período. A figura 
abaixo apresenta uma onda e seus elementos. 
 
 
Figura: 12 
 
 
Nessas figuras, é possível observar alguns elementos importantes das ondas. 
Figura: 13 
 
 Comprimento de onda 
O comprimento de onda é representado pelo símbolo λ e equivale ao espaço que as ondas 
percorrem até que realizem uma oscilação completa. O comprimento de onda também é 
definido como a distância entre dois vales consecutivos, duas cristas consecutivas ou três nós 
consecutivos. Os nós são posições do meio que permanecem em repouso durante a 
propagação da onda. No Sistema Internacional de Unidades (SI), o comprimento de ondas é 
uma grandeza definida em metros (m). 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-onda.htm
 
 
19 
 
 Frequência 
A frequência da onda é dada pelo número de oscilações que ela realiza a cada segundo. No 
Sistema Internacional, essa grandeza é medida em s-1 (inverso de segundo), que é equivalente 
a hertz (Hz). Por exemplo: uma onda de 20 Hz realiza vinte oscilações completas a cada 
segundo. 
 Período 
O período de uma onda é o intervalo de tempo que ela leva para 
realizar uma oscilação completa. No SI, essa grandeza é medida em segundos (s). Além disso, 
as propriedades período e frequência podem ser relacionadas pela seguinte expressão: 
 
 
T = período (s) 
f = frequência (Hz ou s-1) 
Equação: 27 
 
 Velocidade de propagação 
A velocidade da onda depende do meio em que ela se propaga. No Sistema Internacional de 
Unidades, ela é medida em metros por segundo (m/s). Além disso, essa grandeza guarda uma 
relação matemática com as grandezas frequência (ou período) e comprimento de onda: 
 
 
v = velocidade de propagação da onda (m/s) 
λ = comprimento de onda (m) 
f = frequência (Hz ou s-1) 
Equação: 28 
 
 Amplitude 
A amplitude da onda está relacionada à sua intensidade. Por exemplo, quando o volume do 
som está alto, as ondas sonoras estão sendo produzidas com altas amplitudes. A amplitude é 
medida como a distância da posição de equilíbrio até a altura de uma crista ou de um vale. 
 
Propagação das ondas 
As ondas podem propagar-se nas três direções do espaço, no entanto, algumas ondas podem 
deslocar-se em um número menor de dimensões, como as ondas unidimensionais e as ondas 
bidimensionais. O número de direções nas quais uma onda propaga-se pode ser determinado 
pela geometria do meio em que ela se encontra e pela polarização da onda (nos casos em que 
ela seja polarizável). 
 
 Ondas unidimensionais: são perturbações que se propagam apenas em uma direção do 
espaço.Exemplo: ondas formadas em uma mola pressionada para frente ou para trás. 
 
 Ondas bidimensionais: ondas que se propagam nas superfícies, portanto, deslocam-se em 
duas direções do espaço simultaneamente. 
 
 Ondas tridimensionais: são ondas que se deslocam nas três direções do espaço ao mesmo 
tempo, em formatos esféricos e concêntricos à sua fonte. 
 
Perturbação 
De acordo com a relação entre a direção da perturbação que origina uma onda e a direção que 
essa onda irá propagar-se, é possível classificar as ondas como longitudinais ou transversais. 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-polarizacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-onda.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-onda.htm
 
 
20 
 
 
 
Tipos de ondas 
Figura: 14 
Natureza da onda 
As ondas podem ter natureza mecânica, eletromagnética ou gravitacional, onda progressiva. A 
principal em meio ao âmbiente estrtural deste trabalho é a onda mecânica e progressiva, logo 
abaixo a explicação. 
Ondas mecânicas: Essas ondas não se propagam no vácuo, tratam-se de perturbações que só 
podem propagar-se em algum meio preenchido por matéria, como água, ar, metais e 
etc. Exemplos: sons e terremotos. 
 
 
Ondas sonoras propagando-se pelo ar através da vibração de um diapasão. 
Figura: 15 
Ondas progressivas: São aquelas em que a configuração da onda se move, observamos que 
há propagação de pulsos. Nelas há transporte de energia e momento linear de um extremo de 
um ponto a outro do meio. 
 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-onda.htm
 
 
21 
 
 
Onda progressiva unidimensional com a passagem do pulso 
Figura: 16 
 
Equação da velocidade da onda progressiva 
Figura: 17 
Ressonância: É um fenômeno físico que ocorre quando uma força é aplicada sobre um sistema 
com frequência igual ou muito próxima da frequência fundamental desse sistema. A 
ressonância ocasiona um aumento na amplitude de oscilação maior do que aquele ocasionado 
por outras frequências. 
Um exemplo simples que podemos dar é o da ressonância de sistemas mecânicos. Para 
colocarmos um balanço em repouso para oscilar, é interessante que apliquemos uma força 
sobre ele periodicamente sempre que ele se encontrar em seu ponto mais alto. Fazendo isso, 
o sistema passará a oscilar em amplitudes cada vez maiores. Entretanto, se a força for 
aplicada com uma frequência diferente, não teremos a mesma eficiência em fornecer energia 
a esse balanço. 
 
Ressonância sonora ou acústica: 
Acontece quando uma fonte emissora consegue emitir ondas em frequências muito próximas 
à frequência de oscilação natural de um receptor. Essa frequência natural, também conhecida 
como frequência fundamental, corresponde ao número de oscilações por segundo capaz de 
produzir harmônicos, isto é, frequências de ondas capazes de interferir construtivamente sobre 
elas mesmas, produzindo um significativo aumento de sua amplitude. 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-frequencia-e-periodo.htm
 
 
22 
 
As notas musicais são exemplos de harmônicos. Cada nota musical corresponde a um 
harmônico, e cada harmônico é um múltiplo da frequência fundamental do instrumento. 
Chamamos de frequência fundamental a menor frequência capaz de produzir ondas 
estacionárias em um instrumento musical. 
Tomemos como exemplo a ressonância nas cordas de violão: se controlarmos a tração 
aplicada sobre a corda, afrouxando ou puxando suas tarraxas, e o seu comprimento, 
pressionando-a em alguma de suas casas, podemos selecionar o harmônico que será 
produzido. A produção desses harmônicos acontece quando colocamos a corda para oscilar. 
Nesse momento, duas ondas propagam-se pela corda em sentidos opostos. Quando refletidas 
pelas extremidades da corda, essas ondas somam suas amplitudes (esse fenômeno é 
chamado de interferência). Essa vibração é, então, transmitida para o ar, produzindo o som das 
notas musicais. 
A frequência fundamental de uma corda de violão pode ser calculada por meio da seguinte 
expressão matemática: 
 
 
f – frequência do harmônico 
n – número do harmônico 
L – comprimento da corda 
F – tração aplicada sobre a corda 
μ – densidade linear da corda 
m – massa da corda 
Equação: 29 
As frequências produzidas pelas cordas de violão são determinadas pela densidade linear (μ) 
da corda, pela tração que é aplicada sobre ela (F) e pelo seu comprimento (L). 
A ressonância sonora também acontece nos instrumentos de sopro. Esses instrumentos 
contam com uma cavidade ressonante chamada tubo sonoro. Existem dois tipos de tubos 
sonoros: abertos e fechados. Enquanto os tubos sonoros fechados têm uma de suas 
extremidades fechada, os tubos sonoros abertos possuem abertura em seus dois lados. 
Nos tubos sonoros, as ondas sonoras refletem nas paredes do tubo e ressoam, produzindo 
harmônicos. O cálculo que usamos para determinar a frequência emitida por um tubo sonoro 
depende se esse tubo é aberto ou fechado. Observe: 
 
 
f – frequência do harmônico 
v – velocidade do som no ar 
n – número do harmônico 
L – comprimento do tubo 
Equação: 30 
Usando as equações mostradas acima, podemos determinar facilmente quais comprimentos 
de um tubo sonoro fechado produzem harmônicos. Para tanto, é necessário utilizar um aparato 
experimental como o da figura a seguir: 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/ondas-estacionarias.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/ondas-estacionarias.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/o-fenomeno-interferencia.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/ondas-sonoras.htm
 
 
23 
 
 
Aparato experimental 
Figura: 18 
Esse aparato consiste em um reservatório de água que se comunica com o tubo sonoro por 
meio de uma pequena mangueira. Alterando a altura do reservatório, é possível controlar o 
comprimento do tubo. Em seguida, basta aproximar um diapasão vibrando desse tubo, 
alterando a altura do reservatório até que se note um nítido aumento da intensidade sonora. 
Assim, será possível saber quais comprimentos do tubo resultam em ressonância e, 
consequentemente, na produção de harmônicos. 
Outro experimento bastante conhecido é aquele que envolve quebrar uma taça ao cantar 
determinadas notas musicais. Isso só é possível quando cantamos exatamente 
na frequência fundamental ou em um múltiplo dessa frequência. Se o estímulo sonoro for 
mantido por tempo suficiente, as moléculas presentes na taça passarão a oscilar em amplitudes 
cada vez maiores até que a taça quebre. 
 
 
Para que duas taças idênticas entrem em ressonância, 
basta produzirmos uma vibração em uma delas, 
 a qual será transmitida pelo ar para a taça vizinha. 
Figura: 19 
 
Ondas sonoras: são vibrações mecânicas perceptíveis ao ouvido humano. Vibrações que 
penetram os ouvidos e se propagam em sólidos, líquidos e gases. Estão presentes em nosso 
dia a dia e, dependendo da frequência, são capazes de gerar diversas sensações como a 
tranquilidade ou estresse. O ser humano é capaz de ouvir frequências entre 20 Hz até 20000 
Hz. Quando expostos a altos níveis sonoros, as pessoas podem apresentar problemas 
auditivos, como o zumbido, ou até perder a audição. 
As ondas sonoras transportam energia (mas não matérias) e sofrem movimentações de 
variadas espécies à medida que se difundem no ambiente. Em certos meios (gasoso, líquido 
ou sólido) elas se propagam a partir das variações da pressão e são longitudinais e 
tridimensionais. 
 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/acustica.htm
 
 
24 
 
Saiba mais sobre as características das ondas sonoras: 
 
• São mecânicas: precisam de um meio de propagação, ou seja, necessitam de um meio 
material para transportar energia, desta forma não se propagam no vácuo; 
• Longitudinais: o som se propaga na mesma direção em que a onda se desloca; 
• Tridimensionais: assim como a luz, é capaz de se difundir em todas as direções e ocupam 
todo o espaço. 
 
Qualidades fisiológicas estão relacionadas às sensações que o som produz. São elas:• Altura: característica que define se o som é agudo ou grave. Quando agudo, o volume será 
alto e terá uma frequência maior. Quando grave, o volume será baixo e terá uma frequência 
também baixa. 
 
• Intensidade: relacionada à quantidade de energia liberada pelas ondas sonoras e que 
atravessa uma área e um intervalo de tempo. É o que distingue os sons fracos dos fortes, ou 
seja, quanto mais aberta for a energia de vibração, mais intenso será o som. 
 
• Timbre: composição das frequências que permite criar um tom característico. Essa 
propriedade permite distinguir dois ou mais sons com a mesma intensidade e altura, pois o 
formato das ondas é diferente em cada fonte. 
 
• Velocidade do som 
A velocidade de propagação das ondas sonoras depende da temperatura e do estado físico do 
meio em que vai se propagar. Assim, a velocidade será maior em temperaturas elevadas. Além 
disso, são altas em meios sólidos, médios em líquidos e menores nos gasosos. 
Vsólidos > Vlíquidos > Vgases. 
 
Meios de propagação 
Figura:20 
 
 
 
 
25 
 
Equação para cálculo da velocidade do som: 
Na equação da velocidade do som é preciso conhecer a distância percorrida e o intervalo de 
tempo. 
 
Vs = velocidade do som 
S = distância percorrida 
t = intervalo de tempo 
Equação: 31 
Também é possível encontrar a velocidade com a equação fundamental das ondas. 
 
λ= comprimento da onda 
Vs = velocidade do som 
f = frequência 
Equação: 32 
 
Equação para cálculo da intensidade: 
 
Para calcular é necessário saber a quantidade de energia liberada, a área e o intervalo de 
tempo. 
 
I = Intensidade 
E = quantidade energia 
A = área 
t = intervalo de tempo 
Equação: 33 
 
A intensidade também é calculada através da equação: 
 
I = intensidade 
P = potência 
A = área 
Equação: 34 
 
Interferência: podemos dizer que quando duas ou mais ondas chegam ao mesmo tempo a um 
ponto em comum de um meio, ocorre o fenômeno da interferência, ou seja, as ondas se 
superpõem naquele ponto, originando um efeito que é o resultado da soma algébrica das 
amplitudes de todas as perturbações no local de superposição. Seu entendimento só foi 
possível com a formulação do Princípio da Superposição, por Thomas Young. 
Young, na passagem do século XVIII para o século XIX, elaborou um experimento conhecido 
como experimento das duas fendas, no qual fez um feixe de luz interferir nele mesmo, após ser 
difratado por um par de fendas. Nos pontos onde ocorre superposição, o efeito resultante é a 
soma dos efeitos que seriam produzidos pelas ondas que se superpõem, caso atingissem 
isoladamente aquele ponto. Após a superposição, cada onda continua sua propagação no 
meio, com suas propriedades inalteradas. Vejamos as figuras abaixo. 
 
 
26 
 
 
Figura: 21 
 
Figura: 22 
O fenômeno da superposição dos efeitos das ondas que se cruzam é denominado interferência. 
Podemos ter dois tipos de interferências: a construtiva e a destrutiva. Observe a figura abaixo: 
 
Figura: 23 
Na interferência construtiva ocorre um reforço da onda, e a amplitude da onda resultante é 
maior do que a amplitude de cada uma das ondas que se superpõem. 
No caso da interferência destrutiva ocorre um cancelamento da onda, sendo esse 
cancelamento total ou parcial, e a amplitude da onda resultante é menor do que pelo menos 
uma das amplitudes das ondas que se superpõem. Quando ocorre a interferência totalmente 
destrutiva, o meio não apresenta efeito das perturbações, permanecendo o ponto em equilíbrio, 
enquanto perdurar a superposição. 
 
 
27 
 
CONSTRUÇÕES MODERNAS 
 
A superfície terrestre provoca um efeito de fricção que retarda o movimento horizontal do vento. 
Em grandes alturas, onde os efeitos de fricção são insignificantes, os movimentos do ar são 
impulsionados por gradientes de pressão na atmosfera, que por sua vez, são consequências 
termodinâmicas do aquecimento solar variável da terra. 
Este nível superior da velocidade do vento, se conhece como velocidade de gradiente do vento. 
Existe uma camada limite onde a velocidade do vento varia desde quase zero, na superfície, 
até a velocidade de gradiente, em uma altura conhecida como a altura de gradiente. 
A espessura desta camada limite, que pode variar de 500 a 3000 m, depende do tipo de terreno, 
conforme pode ver na figura 25. 
 
 Variação da altura com a velocidade do vento. 
Figura: 24 
 
 
Perfil da velocidade do vento segundo a topografia do terreno. 
Figura: 25 
 
 
 
 
28 
 
 Como se pode ver, a altura de gradiente dentro do centro da cidade é muito maior que sobre 
o mar, onde a rugosidade da superfície é menor. 
 
Movimentos induzidos pela ação do vento: 
 
Carga na direção do vento 
O padrão de fluxo gerado ao redor de um edifício é complicado pela distorção do fluxo médio, 
separação do fluxo, formação de vórtices e o padrão do fluxo detrás do edifício. Na superfície 
do edifício, podem ocorrer grandes flutuações da pressão do vento devido a estes efeitos. 
Como resultado, grandes cargas aerodinâmicas que atuam sobre o sistema estrutural e na 
fachada, podem atuar como forças flutuantes localizadas de elevada magnitude. Com a ação 
conjunta destas forças flutuantes, o edifício tende a vibrar em modos longitudinais, transversais 
e de torção, como mostra a Figura 26. 
 
 
Tipos de movimentos causados pelos efeitos do vento nos edifícios. 
Figura: 26 
 
A amplitude das oscilações depende da natureza das forças aerodinâmicas e das 
características dinâmicas do edifício. 
Vento flutuante 
O vento flutuante é uma mistura aleatória de rajadas e redemoinhos de diversos tamanhos. 
Grandes redemoinhos ocorrem com menor frequência média que os menores. A frequência 
natural de vibração da maioria das estruturas é suficientemente mais alta que a componente 
do efeito de carga flutuante, imposto pelos redemoinhos maiores. Ou seja, a frequência média 
onde ocorrem grandes rajadas, geralmente é muito menor que qualquer das frequências 
naturais de vibração da estrutura e, portanto, não forçam a estrutura para responder 
dinamicamente. 
A componente flutuante do vento não induz respostas significativas para estruturas com 
frequência natural alta (maiores que 1 Hz, Período menor que 1 seg). 
A carga devido a essas rajadas maiores, às vezes denominada “turbulência de fundo”, pode 
ser tratada de forma similar à carga média do vento. 
Porém, os redemoinhos menores, que ocorrem com maior frequência, podem induzir a 
estrutura a vibrar perto de uma ou mais frequências naturais de vibração, o que induz um efeito 
de carga dinâmica amplificada na estrutura, que pode ser significativo. 
A carga devido a essas rajadas maiores, às vezes denominada “turbulência de fundo”, pode 
ser tratada de forma similar à carga média do vento. Porém, os redemoinhos menores, que 
 
 
29 
 
ocorrem com maior frequência, podem induzir a estrutura a vibrar perto de uma ou mais 
frequências naturais de vibração, o que induz um efeito de carga dinâmica amplificada na 
estrutura, que pode ser significativo. 
A resposta dinâmica dos edifícios na direção do vento pode ser calculada com razoável 
precisão pelo enfoque do fator de rajada, sempre que o fluxo do vento não seja afetado 
significativamente pela presença de edifícios vizinhos altos, ou pelo terreno circundante. 
No Brasil, a Norma NBR 6123 especifica como devem ser calculadas as cargas de vento, tanto 
para estruturas de pouca altura como para estruturas altas, determinando as “forças estáticas 
equivalentes” em função de parâmetros meteorológicos. 
Para estruturas altas com T>1 seg, a norma indica adotar um modelo de massas discretas 
simplificado, e modela o edifício como uma estrutura plana para cada uma das duas direções 
ortogonais do vento, correspondentes às duas direções principais dos elementos resistentes a 
forças horizontais da estrutura. A norma separa os efeitos das rajadas e os efeitos da 
velocidade média, assumindo a rajada como processos estacionários com média zero. 
O efeito da parcela flutuante é consideradode forma separada para cada modo de vibração, 
gerando para cada um uma força estática equivalente. Estas forças, depois de combinadas, 
são superpostas com as forças da velocidade média para o dimensionamento da estrutura 
desde o ponto de vista resistente. 
Para a verificação de conforto humano só devem ser considerados os efeitos da parcela 
flutuante. Na NBR 6123, a amplitude máxima da aceleração máxima não deverá ultrapassar os 
0,1 m/s². 
 
Carga de vento transversal 
Existem muitos exemplos de estruturas esbeltas susceptíveis ao movimento dinâmico 
perpendicular à direção do vento. Chaminés altas, postes de iluminação, torres e cabos exibem 
com frequência esta forma de oscilação, que pode ser muito significativa, especialmente se o 
amortecimento estrutural for pequeno. 
Podemos dividir a excitação com vento cruzado de edifícios modernos e estruturas altas em 
três mecanismos: 
Desprendimento de vórtices (Vortex Shedding) 
É a fonte mais comum da excitação com vento cruzado. Os edifícios altos são corpos que 
dividem o fluxo e faz com que se separe a partir da superfície da estrutura, em lugar de seguir 
o contorno do corpo (Fig. 27). 
Os vórtices desprendidos têm uma periodicidade dominante, definida pelo número de Strouhal. 
Portanto, a estrutura está sujeita a uma carga de pressão cruzada periódica, que dá como 
resultado uma força alternante do vento transversal. 
Se a frequência natural da estrutura coincide com a frequência de desprendimento dos vórtices, 
grandes amplitudes de deslocamentos podem ocorrer como resposta. Esse processo é 
conhecido como velocidade crítica. 
A distribuição assimétrica da pressão, criada pelos vórtices ao redor da seção transversal, 
resulta em uma força transversal que alterna na medida que esses vórtices se desprendem. 
Se a estrutura é flexível, a oscilação ocorrerá transversalmente ao vento, e existirão condições 
de ressonância se a frequência de desprendimento dos vórtices coincidir com a frequência 
natural da estrutura. Esta situação pode dar lugar a oscilações muito grandes e possivelmente 
ao colapso estrutural. 
 
 
 
30 
 
 
Formação de vórtices no fluxo por trás de um objeto tipo farol. 
Figura: 27 
Mecanismo de turbulência incidente 
Aqui, as propriedades turbulentas do vento natural dão lugar ao câmbio de velocidade e 
direção, induzindo várias forças de elevação e arraste, além de momentos em uma ampla 
banda de frequências. 
A capacidade da turbulência incidente para produzir contribuições significativas à resposta do 
vento cruzado, depende muito da capacidade de gerar uma força de vento cruzado sobre a 
estrutura em função da velocidade do vento longitudinal e ângulo de ataque. 
 
Efeitos derivados dos deslocamentos por vento transversal 
Existem três deslocamentos comumente reconhecidos que dependentes da 
excitação: galloping, flutter e Lock-in. 
Os três deslocamentos também dependem dos efeitos da turbulência, assim como a 
turbulência afeta o desenvolvimento do fluxo detrás do edifício e, portanto, os deslocamentos 
e efeitos aerodinâmicos derivados. 
 
Sistema estrutural 
Segurança contra falha progressiva 
A eleição do sistema estrutural tem um papel muito importante, sistemas com igual rigidez e 
capacidade resistente pode ter comportamentos muito diferentes ante a falha localizada de um 
ou vários de seus elementos estruturais. As figuras seguintes mostram um exemplo disso. 
Na figura 31 esquerda, a falha do pilar praticamente não tem influência na resposta da 
estrutura, diferente da figura da direita – onde a capacidade resistente dos elementos que não 
falham pode estar ultrapassada, pois assumem as cargas que antes eram suportadas pelo 
elemento que falhou. Se a estrutura sobrevive ao colapso do elemento indicado, serão 
produzidos grandes efeitos de torção produto do câmbio de posição do centro de rigidez. 
Sistemas estruturais com capacidade de redistribuir seus esforços e transferir as cargas a 
outros elementos em caso de falha localizada são preferíveis. 
 
 
Deslocamento do centro de rigidez produto da falha de um elemento estrutural (em vermelho) em plantas com 
capacidade resistente e rigidez axial similar. 
Figura: 28 
 
 
31 
 
Modelação estrutural 
Devemos lembrar que o que estamos calculando é um modelo da estrutural onde são 
considerados só as propriedades e os elementos que o engenheiro estrutural considera 
essenciais para obter uma resposta estrutural o mais próxima do comportamento da estrutura 
real, muitos aspectos são ignorados ou simplificados. No dimensionamento de edifícios altos 
podem ser necessários vários modelos com distinto grau de refinamento para chegar ao 
dimensionamento mais adequado. 
As simplificações tradicionais – como realizar análise dinâmica considerando só o primeiro 
modo de vibração, ligações e fundações simuladas como rígidas, lajes e muros com malhas 
pouco refinadas, não incluir no modelo as escadas, rampas de acesso ou o efeito de elementos 
não estruturais, núcleos e paredes modeladas com elementos lineares simples ou não 
considerar no modelo a interação entre o fluido e a estrutura, se existem tanques ou piscinas, 
durante a análise dinâmica – podem levar a erros de consideração na resposta e, em 
consequência, no projeto. 
Conforto 
Este é um dos pontos mais importantes no dimensionamento de edifícios altos. Devemos 
lembrar que as obras no se constroem para que resistam. Constroem-se para cumprir uma 
função e para isso devem manter sua forma e condições ao longo do tempo. Sua resistência é 
uma condição fundamental; mas, não é a finalidade única, nem sequer é a finalidade primária. 
O anterior leva a que o projeto geralmente é condicionado por critérios de conforto dos 
ocupantes. Para satisfazer estes critérios, na maioria dos códigos são impostos limites à 
aceleração à amplitude dos movimentos laterais. 
Geralmente devem evitar-se duas situações 
● Alarme causado por grandes movimentos sob ventos fortes ocasionais, como no caso do 
Millenium Palace 
● Mal-estar causado por movimentos perceptíveis de forma regular sendo este o efeito mais 
importante. 
As soluções destes problemas incluem enrijecimento do edifício ante a carga lateral, aumento 
da massa ou uso de amortecimento suplementar (analisado no próximo capítulo). 
Controle dos deslocamentos laterais totais e relativos 
Para controlar os deslocamentos laterais os códigos especificam limites de deflexão de h/400 
~ h/600. Alguns códigos adotam valores limites para os deslocamentos laterais totais no topo 
de H/800 ~ H/1000. a NBR 6118 de 2014 estabelece como limites para o movimento lateral 
provocado pela ação do vento H/1700 e Hi/850 entre pavimentos. as principais razões para 
adotar os limites são: 
● Para limitar o dano ao revestimento na fachada, tabiques e acabados interiores do edifício; 
● Para reduzir os efeitos da perceptibilidade de movimento; 
● Para limitar o efeito P-Delta 
Os deslocamentos relativos entre pavimentos têm duas componentes: 
• Deslocamento do corpo rígido devido à rotação do edifício como um todo. Sem danos 
importantes para o edifício 
https://maisengenharia.altoqi.com.br/page/7/?s=estrutural
 
 
32 
 
• Deformação de cisalhamento. A deformação angular no plano cria danos nas paredes e o 
revestimento (fig. 29). 
 
Deslocamentos laterais total no topo e relativos 
Figura: 29 
Os limites para estes movimentos relativos também evitam danos aos elementos não 
estruturais, especialmente na fachada, e garantem o desempenho adequado dos elevadores. 
 
(Tipo de fundação) 
Efeito da flexibilidade da fundação e Interação solo estrutura 
O Controle de assentamentos é um ponto fundamental na eleição do tipo de fundação para 
evitar a inclinação. Em função das características do solo pode ser necessária uma análise da 
interação solo-estrutura para considerar de forma rigorosa a flexibilidade da base e seus efeitos 
no edifício. Em solos flexíveis o uso de lajes de radier, de grande espessura, apoiadas sobre 
estacas minimiza os assentamentos diferenciais.Se o solo e muito resistente (rocha) pode-se 
fazer a fundação diretamente mas pode ser necessário ancorar a estrutura na rocha para 
garantir um adequado fator de segurança contra o tombamento. 
 
Efeito P-delta 
Se trata de avaliar a estabilidade global que é um dos mais importantes fatores para a 
concepção estrutural de um edifício, ela visa garantir a segurança da estrutura ante a perda de 
sua capacidade resistente causada pelo aumento das deformações em decorrência das ações. 
A ação combinada das cargas verticais e os deslocamentos laterais causam um incremento 
nas forças internas, este é um efeito de segunda ordem geométrico. A natureza não linear do 
problema leva geralmente a um processo iterativo para calcular seus efeitos embora exista um 
procedimento direto. 
Otimização estrutural em edifícios altos 
Os edifícios altos são projetos de custo muito alto, pequenas poupanças conseguidas por 
metro quadrado podem representar grandes quantidades de dinheiro. A eficiência e economia 
não estão definidas nos códigos. Muitas vezes é necessário escrever programas e códigos 
personalizados para interatuar diretamente com pacotes de análises de estruturas comerciais, 
para então estabelecer, de forma eficiente, as dimensões e reforço ótimos dos elementos. 
 
 
https://maisengenharia.altoqi.com.br/estrutural/interacao-solo-estrutura-e-sua-aplicacao-na-analise-de-estruturas/
 
 
33 
 
AERODINÂMICA DAS EDIFICAÇÕES 
 
Essa ciência é utilizada para projetar aviões, carros, edificações, e entre outros objetos que 
estão em muito contato com o vento e precisam da aerodinâmica para adquirir estabilidade. 
Sendo assim, o vento ao entrar em contato com a superfície de qualquer objeto, tende a forçá-
lo ao movimento na mesma direção, ou seja, sempre que o vento contorna um objeto seu 
campo de velocidade gera em toda a superfície um campo de tensões, a que se encontra 
atuando sobre todo o objeto. 
 
Existem três tipos de forças das integrações das tensões ao longo da superficie, força de 
sustentação, arrasto e transversais, onde Lopes (1992) segue uma regra geral para classificá-
las, ele explica que a força de sustentação tem pequena importância do ponto de vista da 
segurança estrutural, exceto em casos particulares, como por exemplo as pontes suspensas. 
Já a força de arrastamento é a que assume um maior grau de relevância, pois pode ser 
considerada em qualquer estudo aerodinâmico ou aeroelástico. No que respeita às forças 
transversais, embora não seja tão evidente o seu interesse, assumem um papel muito 
importante na análise dinâmica de estruturas muito altas e esbeltas. 
No que diz questão ao formato da edificação, Ching et al. (2010) demonstram que edificações 
com perfis aerodinâmicos, representadas por formas arredondadas ou curvas, usualmente 
oferecem menor esforço às cargas de vento do que as retangulares, com predomínio de 
superfícies retas, o que implica diretamente no tipo de esforço aerodinâmico, isso significa que 
o perfil e a forma são variáveis, com grande influência sobre os efeitos de pressão causados 
pelo vento em uma edificação, podendo aumentá-los ou diminuí-los. 
 
Aeroelasticidade 
A aeroelasticidade tem como objetivo o estudo da interação entre as forças aerodinâmicas e 
as forças elásticas, constituindo um domínio científico por áreas da engenharia preocupada 
com o estudo de escoamentos em torno de objetos imersos, isto é, a aeroelasticidade estuda 
a parte dos fenômenos em que as forças aerodinâmicas e o movimento das estruturas 
interagem de maneira significativa. 
 
Arrastamento 
Sendo principal força a ser analisada dentro do âmbito da aerodinâmica, o arrastamento pode 
ser descrito como uma ação estática ocasionada pela incidência do vento nas edificações. Essa 
força acontece no eixo longitudinal da edificação, na direção da corrente. Sendo assim, a 
medida que o arrastamento é menor, os esforços na edificação também serão menores, 
contudo, pode se dizer que uma simples análise da força de arrasto pode reduzir o consumo 
de gastos com ferragens e concreto, assim diminuindo no orçamento da construção. E 
seguindo a NBR 6123 (ABNT, 1988) para determinar a força de arrastamento 𝐹𝑎. 
 
 
Coeficientes aerodinâmicos 
 
A norma NBR 6123 (ABNT, 1988) estabelece condições exigíveis na consideração das forças 
devidas à ação estática e dinâmica do vento para efeitos de cálculo em edificações, porém 
neste trabalho será somente considerado os efeitos estáticos que serão estabelecidos pelos 
coeficientes aerodinâmicos. Nela também não se aplica a edificações de formatos, dimensões 
ou localização incomuns, nesses casos devem ser feitos outros tipos de estudos para 
determinar as forças atuantes das rajadas e seus efeitos. Os resultados serão experimentados 
e obtidos em um túnel de vento, com simulação das principais características do vento natural 
e podem ser usados em substituição do recurso aos coeficientes constantes na norma. Assim, 
 
 
34 
 
dentro dos coeficientes a serem definidos estão, o de arrasto 𝐶𝑎, o de forças 𝐶𝑓, o de pressão 
𝐶𝑝, e por fim os coeficientes de forma externa e interna. 
 
• Coeficiente de arrasto 𝐶𝑎 
Segundo a NBR 6123 (ABNT, 1988), para determinar o coeficiente de arrasto utiliza-se o 
ábaco presente na Figura 30 em razão da relação de ℎ/𝑙1 e 𝑙1/𝑙2, em corpos com seção 
paralelepipédica, utilizado para vento de baixa turbulência, e considerando ventos com 
incidências perpendiculares. 
 
 
Coeficiente de arrasto para vento de baixa turbulência 
Figura: 30 
 
Para vento de alta turbulência referente a Figura 31, a NBR 6123 (ABNT, 1988) considera 
quando a edifício não excede duas vezes a altura média em relação as edificações vizinhas, 
levando em conta uma distância mínima na direção e sentido do vento incidente: 
 
• 500 𝑚, para um edifício de até 40 𝑚 de altura; 
• 1000 𝑚, para um edifício de até 55 𝑚 de altura; 
• 2000 𝑚, para um edifício de até 70 𝑚 de altura; 
• 3000 𝑚, para um edifício de até 80 𝑚 de altura. 
 
 
 
35 
 
 
Coeficiente de arrasto para vento de alta turbulência 
Figura: 31 
 
 
• Coeficientes de forças 𝐶𝑓 
Através da NBR 6123 (ABNT, 1988) o coeficiente de força global é obtido pela equação 35, 
decomposta tanto na vertical como na horizontal (𝑥 e 𝑦): 
 
Equação: 35 
 
• Coeficientes de pressão 𝐶𝑝 
Segundo a NBR 6123 (ABNT, 1988) a força do vento depende da diferença de pressão em 
duas faces que sejam opostas da parte da edificação em estudo, os coeficientes de pressão 
são dados para superfícies externas e internas, portanto entende-se por pressão efetiva Δ𝑝, 
em que valor definido pela equação 36. 
 
 
36 
 
 
Equação: 36 
 
Logo a equação: 
 
Equação: 37 
 
Sendo assim, o coeficiente de pressão externa 𝐶𝑝𝑒 pode ser obtido através da fórmula 38 a 
seguir: 
 
Equação: 38 
 
E, o coeficiente de pressão interna 𝐶𝑝𝑖 pode ser determinado pela fórmula 39 a seguir: 
 
Equação: 39 
 
Os valores desses coeficientes determinam se a pressão está causando sucção ou 
sobrepressão na estrutura, caso seja positiva, indica sobrepressão, caso negativa, indica 
sucção. Se o valor de Δ𝑝 for positivo indica uma pressão efetiva com o sentido de uma 
sobrepressão externa, e se o valor de Δ𝑝 for negativo indica uma pressão efetiva com o 
sentido de uma sucção externa. 
 
• Coeficientes de forma, externa e interna 𝐶𝑒 e 𝐶𝑖 
A NBR 6123 (ABNT, 1988) determina que a fórmula 27 indica quando a força do vento está em 
direção perpendicular à área da superfície da edificação, como demonstra abaixo: 
 
 
 
37 
 
 
Equação: 40 
Onde, equação 41: 
 
Equação: 41 
 
Portanto, para determinar o coeficiente de forma externo 𝐶𝑒 segue a fórmula 42. 
 
Equação: 42 
 
Já, para definir o coeficiente de forma interno 𝐶𝑖 é utilizado a equação 43, a seguir: 
 
Equação: 43 
 
Da mesma maneira que se considerou os coeficientes de pressão, os valores positivos dos 
coeficientes de forma externo e interno correspondem a sobrepressões,e valores negativos 
correspondem a sucções. Um valor positivo para 𝐹 indica que esta força atua para o interior, e 
um valor negativo indica que esta força atua para o exterior da edificação. Para os casos 
previstos na NBR 6123 (ABNT, 1988), considera ser que a pressão interna é distribuída de 
maneira exclusiva no interior da edificação. Consequentemente em superfícies internas planas, 
equação 44. 
 
 
Equação: 44 
 
 
 
38 
 
Ensaios em túnel de vento 
Na prática, se apresentam muitas situações onde não se pode utilizar métodos analíticos para 
estimar tipos de cargas de vento, nem a resposta estrutural associada. 
Por exemplo, quando a forma aerodinâmica do edifício é pouco usual, ou o edifício é muito 
flexível e seu movimento afeta às forças aerodinâmicas que atuam sobre a estrutura, as 
avaliações mais precisas dos efeitos do vento nos edifícios são obtidas através de ensaios de 
modelos aero elásticos em um túnel de vento. 
Esses ensaios são comuns para o dimensionamento da maioria dos edifícios altos hoje em dia. 
Para o s proprietários de edifícios moderadamente altos, torna-se atraente realizar provas em 
túnel de vento, pois os custos associados com tais provas podem ser compensados pela 
economia substancial nos custos de construção, devido à carga de vento de cálculo reduzida 
que se obtém nestes ensaios. 
A prova do túnel de vento é uma ferramenta poderosa, que permite aos engenheiros determinar 
a natureza e intensidade das pressões e forças de vento que atuam sobre estruturas complexas 
ou localizadas em terrenos de condições complexas, onde podem ocorrer fluxos de vento 
significativos, que não são passíveis de determinar sua força utilizando um código simplificado. 
A prova consiste em soprar ar sobre um modelo tridimensional da construção e seu entorno, 
em diversos ângulos, sendo que cada orientação representa as possíveis direções do vento. 
Isso geralmente se obtém inserindo o modelo em uma plataforma giratória, dentro do túnel de 
vento. Quando a prova se completa para uma direção selecionada, a plataforma gira para um 
incremento do ângulo escolhido, para representar uma nova direção do vento. 
Modelo Aeroelástico 
Embora as provas de túnel de vento tentam simular uma situação bastante complexa, os 
modelos reais são bastante simples, e estão baseados na premissa que o modo fundamental 
de deslocamento para um edifício alto pode se aproximar de uma linha reta. 
Em termos gerais, sempre que o momento de inércia da massa sobre o ponto de pivô seja igual 
a distribuição de densidade do protótipo, não é necessário obter uma correta distribuição de 
densidade de massa ao longo da altura do edifício. 
Interferência 
Os edifícios de tamanho similar próximos ao edifício proposto, podem causar aumento nas 
respostas do vento cruzado. Além de considerar as condições existentes, devemos ter em 
conta as mudanças futuras na área circundante durante a vida útil da estrutura. 
Obviamente, isto não é simples. Felizmente estudos de entorno, que compreende edifícios 
existentes e/ou edifícios futuros, podem ser incorporados facilmente ao projeto, sem elevar 
significativamente os custos. 
Como guia, deve ser considerada a interferência dos edifícios de tamanho similar com o edifício 
analisado, localizados dentro de uma distância igual a 10 vezes a largura do edifício. 
Computational Fluid Dynamics - Dinâmica de Fluidos Computacional (CFD) 
A simulação numérica por meios de CFD vai se transformando em uma ferramenta promissora 
e poderosa para calcular o comportamento das estruturas em casos práticos de engenharia. 
Essa simulação inclui aplicações que envolvem a interação estrutura – fluido. 
Podemos utilizar as técnicas de CFD para determinar os efeitos de vento onde as normas não 
sejam diretamente aplicáveis, como quando se projetam edifícios altos e estruturas não 
convencionais. 
 
 
39 
 
O custo computacional é alto, mas se torna menor se comparado a um ensaio em túnel de 
vento, e já existem softwares que incorporam estas técnicas como parte de suas ferramentas 
de análise, como o Robot Estrutural, ADINA e ANSYS. 
 
 
 
Fluxo do vento e distribuição de pressões em um modelo de edifício, obtidas mediante análise CFD 
Figura: 32 
 
Experimento 
Consiste basicamente de uma plataforma com capacidade para vibrar em diferentes 
frequências. Sobre esta plataforma é possível colocar um pêndulo simples e um duplo, um tubo 
de papel sobre uma espoja (simulando um prédio) e uma corda (simulando uma ponte). Para 
alguns deles foram reproduzidas alternativas semelhantes aplicadas na construção civil 
capazes de diminuir as vibrações. 
 
Descrição: Construção de um sistema massa-mola que sirva de auxílio para os 
estudo das vibrações mecânicas. O aparelho consistirá de um pequeno motor elétrico ligado 
a uma polia fora de centro para criar vibrações e sua rotação será controlada através de um 
potenciômetro. O motor elétrico ficará preso à haste de sustentação do sistema massa mola 
e o fará vibrar. 
 
Esquema simplificado do sistema massa-mola composto de um motor elétrico (M), 
uma polia (P) e uma massa(m) presa em uma mola. 
Figura: 33 
 
 
40 
 
A massa m poderá ser variada adicionando pequenos pesos de chumbo e assim se obter mais 
variáveis para este fenômeno. 
 
Para observar quais seriam os efeitos das vibrações em estruturas criadas pelo homem será 
construído um prédio em miniatura que ficará sobre uma chapa. O prédio poderá ficar solto ou 
preso por uma estrutura macia (borracha). O motor elétrico utilizado no sistema massa mola 
será parafusado a chapa para que seja possível derrubar o prédio com as vibrações. 
 
 
 
Esquema do prédio em miniatura (pm), com motor elétrico( M), polia (P), esferas 
de metal embaixo de uma chapa (C). 
Figura: 34 
 
 
Resultados obtidos 
Ao se colocar o pêndulo simples sobre a plataforma em cima do carrinho (não mostrada na 
foto) é possível notar que para as frequências mais baixas o pêndulo não apresenta vibração 
significativa. Quando a frequência de vibração da plataforma é próxima a do pêndulo ele 
começa a vibrar e entra em ressonância. Quando a frequência da plataforma ultrapassa a 
frequência do pêndulo, também não há vibração significativa. 
Para o pêndulo duplo, também existe uma faixa de frequência em que a vibração é maior, mas 
como se trata de um sistema caótico os ciclos não são tão regulares e às vezes ele para de 
vibrar. 
 
As mesmas características foram observadas para o tubo de papel sobre a esponja simulando 
um edifício, existe uma faixa mediana de frequência onde a vibração do tubo é maior. 
Ao aumentar a quantidade de alfinetes que prendem o tubo de papel a esponja há uma 
diminuição significativa na amplitude de movimento. Também foi observado que mudar a 
distribuição de massa no tubo de papel modifica a frequência de ressonância. Essa é uma 
tentativa que muitos engenheiros fazem para afastar a frequência própria de um prédio das 
frequências comumente encontradas em abalos sísmicos. 
 
A corda presa fica com uma extremidade presa na plataforma vibrante e a outra pode ser 
segurada por um espectador. Também apresentou os padrões dos outros corpos citados 
anteriormente. Para tentar amenizar sua amplitude de vibração, foram acoplados pequenos 
pêndulos embaixo da corda e eles alteraram a frequência de ressonância e também a 
amenizaram. 
 
 
41 
 
Perspectivas 
Quando os parâmetros de massa e rigidez características da estrutura não se mostram 
suficientes aos carregamentos, pode ser necessário utilizar tecnologias – técnicas construtivas, 
equipamentos, materiais – que são integradas à estrutura original para que esse conjunto final 
possua parâmetros resultantes (ou totais) que sejam satisfatórios para a composição da 
resposta da estrutura à excitação externa. Assim, nesse caso, a estrutura original passa a 
contar com dispositivos ligados a ela, que agirão de maneira solidária na resposta aos 
carregamentos dinâmicos e que, agora, integram a estrutura. É importanteressaltar que nem 
sempre esse tipo de solução necessita ser empregada, pois mudanças na geometria, na 
concepção dos elementos estruturais ou na escolha dos materiais, por exemplo, podem ser 
suficientes para que os esforços e deslocamentos causados pelo carregamentos dinâmicos 
sejam vencidos. No entanto, esse tipo de saída não é objeto de nosso estudo. Nosso objetivo 
precípuo no presente esforço foi conhecer e listar, por meio de revisão bibliográfica, algumas 
soluções que foram desenvolvidas e já são utilizadas comercialmente para o controle do 
descolamento de estruturas. 
Após o aprendizado teórico e matermático obtido na disciplina de Física I – abordando o 
conteúdo sobre ondas e oscilações – surgiu a inquietação e curiosidade a respeito das técnicas 
que são empregadas e possibilitam o efetivo amortecimento das estruturas quando elas são 
submetidas aos carregamentos. Naturalmente, essa intenção não é a de obter uma 
catalogação exaustiva, com todos os dispositivos em uso pela indústria da construção, visto 
que isso seria impossível, ainda mais se considerar que esses equipamentos frequentemente 
sofrem melhorias incrementais em seus projetos (design). Com este intuito, será classificado 
em geral os dispositivos de controle das estruturas, na qual será listado algumas das 
concepções mais recorrentes, com seus modelos funcionais mais comuns. 
Estratégias para diminuir os efeitos das oscilações causadas pelo vento: 
 
Uso de Amortecedores: 
O amortecimento em um sistema estrutural é uma medida para dissipar a energia gerada. 
Controlar as vibrações aumentando o amortecimento efetivo pode ser uma solução econômica 
em edifícios altos. Ocasionalmente, é o único meio prático e econômico de reduzir as vibrações 
ressonantes. Os tipos de sistemas de amortecimento que podem ser implementados incluem 
amortecedores passivos, ativos e semi-ativos. 
 
> Amortecedores passivos: 
Os sistemas passivos são aqueles que consistem em um ou mais dispositivos independentes 
de fontes externas de energia, que, incorporados à estrutura, absorvem ou consomem uma 
parte da energia transmitida pelo carregamento dinâmico, reduzindo a dissipação dessa 
energia nos elementos da estrutura, evitando ou minimizando, assim, possíveis danos a ela. 
Essa dissipação se dá tanto pela conversão da energia cinética em calor, como também pela 
transferência de energia entre os modos de vibração. São, portanto, dispositivos que são 
chamados de passivos por apenas reagirem aos estímulos, ou seja, não impõem forças à 
estrutura e, assim, não lhe acrescentam energia. Os amortecedores passivos podem ser 
divididos em dois tipos: os que atuam com dissipação indireta de energia e os que atuam com 
dissipação direta. Os dispositivos de dissipação indireta constituem um sistema inercial 
 
 
42 
 
secundário incorporado à estrutura 7 principal. Esse tipo de sistema acrescenta amortecimento 
indireto à estrutura alterando sua frequência de resposta. Os amortecedores mais tradicionais 
que utilizam esse sistema são os amortecedores de massa sintonizados (AMS), os 
amortecedores líquidos sintonizados (ALS) e os amortecedores de impacto. Os amortecedores 
de dissipação direta de energia atuam através de mecanismos tradicionais de dissipação de 
energia, como o fluxo de um fluido viscoso por um orifício (amortecedores fluidos) ou o 
cisalhamento de um material viscoelástico, como polímero ou borracha (amortecedores visco-
elásticos). Outros tipos de amortecedores passivos são os amortecedores por fricção e os 
dissipadores metálicos. Esses dispositivos se tornaram bastante populares uma vez que 
podem ser facilmente incorporados aos elementos da estrutura, como vigas e travamentos. O 
amortecedor de massa sintonizado (AMS) é o dispositivo passivo mais utilizado e tem como 
objetivo reduzir a demanda de dissipação de energia dos membros estruturais submetidos a 
ação de carregamentos dinâmicos. Essa redução se dá transferindo-se parte da energia 
vibratória da estrutura para o amortecedor de massa sintonizado (AMS), que em sua forma 
mais simples, consiste em um sistema massamola-amortecedor ancorado ou conectado à 
estrutura principal. Existem vários tipos de tipologias e geometrias para o AMS, entre os quais 
se destacam o pendular e o que se apoia sobre trilhos (Figuras 35 e 36). Tipicamente, um 
sistema AMS consiste em uma massa localizada no topo do edifício, local de maior amplitude 
do movimento. Essa massa é conectada à estrutura através de uma mola e um sistema de 
amortecedor viscoso ou viscoelástico. O AMS transmite força inercial à estrutura, reduzindo 
sua resposta à carga excitadora. Sua efetividade é função das características dinâmicas, do 
seu deslocamento e da quantidade de massa adicionada à estrutura. Em geral, o AMS possui 
entre 0,25% a 1,0% da massa total da estrutura. 
 
 Figura: 35 (perfil e frente) Figura: 36 
 
O amortecedor de massa sintonizado múltiplo (AMSM) consiste na associação de vários AMS, 
que podem ser ligados interligados (em série) ou não interligados (em paralelo) com a estrutura 
(Figura 37 e 38). 
 
Figura: 37 Figura: 38 
 
Amortecedores Líquidos Sintonizados (ALS) adicionam amortecimento indireto à estrutura, 
absorvendo energia estrutural por meio através da ação viscosa da água e das ondas 
 
 
43 
 
provocadas pela sua movimentação. Sua aplicação no controle de vibrações de estruturas civis 
pode ser feita, por exemplo, utilizando um tanque completamente cheio de dois líquidos 
imiscíveis para amortecer a resposta da estrutura (Figura 39). 
 
 
Figura: 39 
 
São muito práticos, uma vez que em geral existem tanques d’água na estrutura para 
abastecimento de todo edifício. Este tipo de amortecedor consiste em configurar as partições 
internas dos reservatórios de água, de forma a criar diversos amortecedores, sem comprometer 
o funcionamento original dos tanques. Esse sistema é indicado para estruturas com pequenas 
vibrações, e pode reduzir a resposta de aceleração da estrutura em até 1/3. 
 
Amortecedores viscoelásticos (Figura 40), por sua vez, consistem em uma camada de material 
viscoelástico entre dois elementos rígidos que podem se movimentar um em relação ao outro. 
Dessa forma, quase toda deformação é devida ao cisalhamento que dissipa mais energia do 
que no caso da deformação longitudinal do material. Como o próprio nome indica, o material 
viscoelástico age em parte como um material viscoso que funciona absorvendo e dissipando 
energia, e parte como material elástico que armazena energia. 
Geralmente, usam polímeros ou borrachas que geram dissipação de energia através de 
cisalhamento. São indicados para estruturas com altas frequências, com baixos níveis de 
vibração e situadas em regiões de fortes ventos, ou sismos relativamente fracos. 
O sistema é constituído de duas chapas metálicas envolvendo o material viscoelástico. A força 
gerada por esse sistema depende da velocidade e fica fora de fase com o deslocamento, 
tornando esse sistema especialmente eficiente quando localizado nas diagonais da estrutura. 
Além disso, o dispositivo fornece, além de um acréscimo no amortecimento, um incremento na 
rigidez da estrutura e pode ser usado tanto em estruturas de aço quanto de concreto. 
 
 
Figura: 40 
 
Amortecedores viscofluidos são uma classe de amortecedores que se baseia na dissipação de 
energia através da conversão de energia mecânica em calor, enquanto um pistão cilíndrico se 
move através de uma substância altamente viscosa, como, por exemplo, silicone ou gel. Por 
causa de seu uso em automóveis, seu aspecto físico é bem conhecido. 
 
 
44 
 
O amortecedor fluido dissipa a energia introduzida na estrutura ao aplicar uma força resistente 
ao movimento através do deslocamento de um pistão em uma câmara preenchida com um 
fluido altamente viscoso. 
Esses amortecedores contêm um óleo de silicone compressível, que é forçado através do 
pistão de aço, com a cabeça de cobre. A cabeça