Matemática Econômica III-aula 4

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Matemática Econômica 
III
Significado geométrico das derivadas parciais
No cálculo de 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 :
Mantemos o 𝑦 fixo no valor 𝑦0 e calculamos a derivada de
𝑓 que, no caso, só depende de 𝑥.
2
𝑧 𝑧′
𝑦0 𝑦
𝑥0
𝑥 𝑥′
continuando
No cálculo de 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 :
Mantemos o 𝑥 fixo no valor 𝑥0 e calculamos a derivada de
𝑓 que, no caso, só depende de 𝑦.
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𝑧𝑧′
𝑦0 𝑦
𝑥0
𝑥
y′
Diferencial de uma função
› Consideremos uma função f
derivável em 𝑥0. A variação sofrida
por f, quando se passa do ponto
𝑥0 ao ponto 𝑥0 + ∆𝑥, é
∆𝑓 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0
Consideremos ainda a reta 𝑃𝑅 ,
tangente ao gráfico de 𝑓 no
𝑃 𝑥0, 𝑓 𝑥0 e cujo coeficiente angular
é 𝑚 = 𝑓′ 𝑥0 .
› No triângulo 𝑃𝑅𝑆, temos:
𝑚 = 𝑡𝑔𝛼 =
𝑅𝑆
𝑃𝑆
=
𝑅𝑆
∆𝑥
E como m = 𝑓′ 𝑥0 :
𝑓′ 𝑥0 =
𝑅𝑆
∆𝑥
𝑜𝑢 𝑅𝑆 = 𝑓′ 𝑥0 ∙ ∆𝑥
4
𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙
𝒇 𝒙𝟎
𝒙𝟎 𝒙𝟎 + ∆𝒙
𝑷
𝑹
𝑸
𝑺
∆𝒇
d𝒇
∆𝒙
𝜶
O valor 𝑅𝑆 (que depende de ∆𝑥)
denominamos de diferencial de
𝑓 no ponto da abscissa 𝑥0 e o
indicamos por 𝑑𝑓. Assim:
df = 𝑓′ 𝑥0 ∙ ∆𝑥
Exemplo
› Consideremos a função 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 e os pontos de abscissa
1 e 1,01. A variação de 𝑓 entre os pontos dados é:
∆𝑓 = 𝑓 1,01 − 𝑓 1 = 3. 1,01 2 − 3. 12 = 0,0603
› A diferencial de 𝑓 no ponto de abscissa 1, para ∆𝑥 = 0,01 é:
d𝑓 = 𝑓′ 1 . 0,01
Como :
› 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥
› 𝑓′ 1 = 6.1 = 6 e temos
› 𝑑𝑓 = 6. 0,01 = 0,06. Assim,
› 𝑑𝑓 ≅ ∆𝑓
5
Diferencial de uma função
› A variação ∆𝑓 sofrida pela função quando x e y
sofrem variações ∆𝑥 𝑒 ∆𝑦 a partir do ponto 𝑥0, 𝑦0 .
Temos:
› ∆𝑓 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
› Quando variamos simultaneamente 𝑥 𝑒 𝑦 de valores
pequenos ∆𝑥 𝑒 ∆𝑦 é aproximadamente igual a
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
. ∆𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
. ∆𝑦
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Exemplo
› Mostre que a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦² é diferencial no ponto (3,4) e calcule
a diferencial da função nesse ponto para ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0,001.
› Solução:
› ∆𝑓 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦 − 𝑓 𝑥0, 𝑦0
› = (𝑥0+∆𝑥). 𝑦0 + ∆𝑦
2 − 𝑥0𝑦0
2
› = (𝑥0+∆𝑥). 𝑦0
2 + 2𝑦0∆𝑦 + ∆𝑦
2 − 𝑥0𝑦0
2
› = 𝑥0𝑦0
2 + 𝑥02𝑦0∆𝑦 + 𝑥0∆𝑦
2 + ∆𝑥𝑦0
2 + ∆𝑥2𝑦0∆𝑦 + ∆𝑥∆𝑦
2 − 𝑥0𝑦0
2
› = 𝑥02𝑦0∆𝑦 + 𝑥0∆𝑦
2 + ∆𝑥𝑦0
2 + ∆𝑥2𝑦0∆𝑦 + ∆𝑥∆𝑦
2
› Para 𝑥0 = 3, 𝑦0 = 4 𝑒 ∆∆= 0,001
› = 3.2.4. 0,001 + 3. 0,0012 + 0,001. 42 + 0,001.2.4.0,001 + 0,001. 0,0012=0,04
7
Continuando...
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦²
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
. ∆𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
. ∆𝑦
›
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑦2 e
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥𝑦
› Substituindo na equação diferencial, quando ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0,001.
𝑑𝑓 = 𝑦2. ∆𝑥 + 2𝑥𝑦. ∆𝑦
𝑑𝑓 3,4 = 42. 0,001 + 2.3.4.0,001 = 0,04
Então 𝑑𝑓 ≅ ∆𝑓 = 0,04
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Exemplo
Considere a função custo de produção de dois bens de
quantidades x e y:
𝐶 𝑥, 𝑦 = 15 + 2𝑥2 + 5𝑦2 + 𝑥𝑦
a) Calcule a diferencial do custo no ponto x = 10 𝑒 𝑦 =
15, 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∆𝑥 = ∆𝑦 = 0,1
b) Calcule a diferencial do custo no ponto
genérico 𝑥, 𝑦 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∆𝑥 = 0,1 𝑒 ∆𝑦 = 0,05
c) Calcule a diferencial do custo no ponto
genérico 𝑥, 𝑦 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∆𝑥 = ∆𝑦 = ℎ
9
Continuando... 𝐶 𝑥, 𝑦 = 15 + 2𝑥2 + 5𝑦2 + 𝑥𝑦
a) Calcule a diferencial do custo no ponto 𝑥 = 10 𝑒 𝑦 = 15, 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∆𝑥 =
∆𝑦 = 0,1
𝑑𝑓 = (4𝑥 + 𝑦)∆𝑥 + (10𝑦 + 𝑥). ∆𝑦
𝑑𝑓 = 4.10 + 15 . 0,1 + 10.15 + 10 . 0,1 = 21,5
a) Calcule a diferencial do custo no ponto genérico 𝑥, 𝑦 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∆𝑥 =
0,1 𝑒 ∆𝑦 = 0,05
𝑑𝑓 = (4𝑥 + 𝑦)∆𝑥 + (10𝑦 + 𝑥). ∆𝑦
𝑑𝑓 = 0,4𝑥 + 0,1𝑦 + 0,5𝑦 + 0,05𝑥 = 0,45x + 0,6y
a) Calcule a diferencial do custo no ponto genérico 𝑥, 𝑦 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∆𝑥 =
∆𝑦 = ℎ
𝑑𝑓 = 4𝑥 + 𝑦 . ℎ + 10𝑦 + 𝑥
𝑑𝑓 = 4𝑥ℎ + 𝑦ℎ + 10𝑦ℎ + 𝑥ℎ = 5𝑥ℎ + 11𝑦ℎ = ℎ(5𝑥 + 11𝑦)
10
Continuando...
› Considere a seguinte relação macroeconômica
𝑌 =
𝐶0 + 𝐼 + 𝐺 + 𝑏𝑇
1 − 𝑏
› Em que
› 𝑌 é 𝑎 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
› 𝐶0 𝑒 𝑏 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
› 𝐼 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
› 𝐺 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑔𝑜𝑣𝑒𝑟𝑛𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
› 𝑇 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠
11
Continuando...
› Usando a diferencial de função, verifique o que ocorre
com a renda nacional, se o gasto governamental e os
impostos aumentarem em 2 unidades monetárias e o
gasto com investimentos permanecer constante.
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Funções definidas implicitamente
› Derivada da função definida implicitamente ( relaciona com 
a taxa marginal de substituição)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
1. Determine a derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
das funções definidas
implicitamente pelas equações:
a) 2𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0, 𝑛𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑔𝑒𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑥0, 𝑦0
b) 3𝑥2 + 2𝑦 − 5 = 0, 𝑛𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑔𝑒𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑥0, 𝑦0
c) 𝑥0,5𝑦0,5 − 10 = 0 no ponto (4,25)
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Funções Homogêneas
› Definição
Seja f uma função de duas variáveis 𝑥 𝑒 𝑦 . Dizemos que 𝑓 é
homogênea de grau 𝑚 se, para toda constante positiva ,
tivermos
𝑓 (𝑥, 𝑦) =  ͫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
› O conceito de homogeneidade de uma função diz respeito ao
que ocorre com f(x,y) quando x e y passam a valer  𝑥 𝑒  𝑦,
respectivamente, isto é, sofrem uma variação percentual igual a
(− 1)100%
Exercícios
1. A função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥² + 6𝑥𝑦 é homogênea de grau 2.
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 3 𝜆𝑥 2 + 6 𝜆𝑥 𝜆𝑦
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 3𝜆2𝑥2 + 6𝜆2𝑥𝑦
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝜆2(3𝑥2 + 6𝑥𝑦)
𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝜆2𝑓 𝑥, 𝑦
1. A função Cobb-Douglas de produção
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥ᵅ 𝑦¹ᵅ com 0 < 𝛼 < 1 é homogênea de grau 1.
3. A função de demanda de um produto 𝑄(𝑥, 𝑦) = 10𝑦/𝑥, em
que 𝑦 é a renda do consumidor e 𝑥, o preço unitário do
produto, é homogênea de grau zero.
4. A função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 + 3 não é homogênea.
Observações
1. O conceito de homogeneidade de uma função diz respeito
ao que ocorre com 𝑓 𝑥, 𝑦 quando 𝑥 𝑒 𝑦 passam a valer
𝑥 𝑒 𝑦 , respectivamente, isto é, sofrem uma variação
porcentual igual a 𝜆 − 1 100%.
2. Assim, um valor de  = 1,5 corresponde a variação
porcentual de 50% ou seja , (1,5 − 1)𝑥100%.
4. Se 𝑓 for homogênea de grau zero, significa que qualquer
variação porcentual sofrida por 𝑥 𝑒 𝑦 não altera o valor de
𝑓(𝑥, 𝑦).
Observações
5. Se 𝑓 for homogênea de 𝑔𝑟𝑎𝑢 1 , significa que, toda vez que
𝑥 𝑒 𝑦 forem multiplicados por um valor , a nova imagem de
𝑓 será igual a  vezes a imagem inicial.
6. Se 𝑓 for homogênea de 𝑔𝑟𝑎𝑢 2 , significa que, toda vez que
𝑥 𝑒 𝑦 forem multiplicados por um valor , a nova imagem de
𝑓 será igual a ² vezes a imagem inicial.
7. Nem toda função é homogênea.
Teorema de Euler
› As funções homogêneas possui uma importante
propriedade, conhecida como Teorema de Euler.
› Seja 𝑓 uma função de duas variáveis 𝑥 𝑒 𝑦, homogênea
de 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑚. Então
𝑚. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 + 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦
› O Teorema de Euler tem uma aplicação prática a
certas funções de produção e a remuneração dos
insumos.
Exemplo1
› Considere a função Cobb-Douglas de produção 𝑃 = 𝑘𝑥𝛼𝑦1−𝛼 ,
homogênea de 𝑔𝑟𝑎𝑢 1 , em que 𝑥 𝑒 𝑦 indicam as quantidades dos
insumos trabalho e capital respectivamente.
› Pelo Teorema de Euler, temos
› 𝑃 = 𝑥
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕𝑃
𝜕𝑦
›
𝜕𝑃
𝜕𝑥
= 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
›
𝜕𝑃
𝜕𝑦
= 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
Continuando...
› Assim, se cada unidade de insumo for remunerada de
acordo com sua produtividade marginal, teremos
𝑡 =
𝜕𝑃
𝜕𝑥
𝑠 e 𝑐 =
𝜕𝑃
𝜕𝑦
. 𝑠
› 𝑡 é a remuneração de cada unidade de trabalho, 
› 𝑐 é remuneração de cada unidade de capital,
› 𝑠 é o preço unitário do produto.
Continuando...
› Substituindo esses valores na expressão de 𝑃, resulta:
› 𝑃 =
𝑡
𝑠
𝑥 +
𝑐
𝑠
𝑦
› 𝑃𝑠 = 𝑡𝑥 + 𝑐𝑦
› Em resumo, a receita total 𝑃𝑠 se decompõe em duas parcelas:
› 𝑡𝑥, remuneração total do trabalho,
› 𝑐𝑦, remuneração total do capital.
Observações
› Enfatizamos que tal conclusão só é válida se forem
verificadas as condições:
a) Função de produção homogênea de grau 1;
b) Remuneração dos insumos de acordo com as suas
produtividades marginais.
Assim sendo,constitui um problema de Economia a
verificação dessas condições.
Exercício proposto
1. Uma ilha produz apenas um produto: suco de abacaxi. A
função de produção é 𝑃 = 20𝑥0,5𝑦0,5 , em que 𝑃 é a
produção diária (em litros de suco), 𝑥 é a quantidade de
trabalho (em homens – hora), e 𝑦 é o número de máquinas
utilizadas. Se cada unidade de trabalho e de capital forem
remunerados de acordo com suas produtividades marginais e
se o preço de venda do produto é $0,80 por litro:
Continuando...
a) Qual a produção diária se forem utilizados 1.600 homens –
hora e 100 máquinas? Resp: 8.000 litros de suco
b) Qual o salário por homem-hora? Resp: $2,00
c) Qual a remuneração diária por máquina recebida pelos
proprietários das máquinas?Resp: $32,00
d) O que ocorre com o salário por homem- hora se houver uma
aumento em 21% na quantidade de trabalho, mantido o
número de máquinas? Resp: salário reduzido para $1,82 por
homem – hora.
e) O que ocorre com o salário por homem- hora se houver uma
aumento em 21% na quantidade de trabalho e um aumento
em 21% na quantidade de máquinas? Resp: permanecerá
igual a $2,00 por homem – hora.
Continuando...
f) O que ocorre com produção diária e com o salário,
se a quantidade de trabalho e a de máquinas
aumentarem em 21%, e em virtude de uma
aperfeiçoamento tecnológico a função de produção
passar a ser 𝑃 = 24,2𝑥0,5𝑦0,5 ?
Resp: A produção aumentará por 9.680 litros por dia e o salário por
homem – hora passará a $2,42.
Bibliografia
› Básica:
› Pedro A. MORETTIN, Samuel HAZZAN, Wilton de O. BUSSAB.
Cálculo: funções de uma e várias variáveis – 3ª ed. São Paulo:
Saraiva, 2016.
› HOFFMANN, Laurence. D. Cálculo: um curso moderno e suas
aplicações. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1984.
› Complementar:
› MACHADO, Nilson José. Cálculo, Funções de duas variáveis. 2ª
Ed. São Paulo: Guanabara Dois, 1982.
› WEBER, Jean E. Matemática para Economia e Administração.
3ª Ed. São Paulo HARBRA, 1977.
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