Derivada parte 2

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Cálculo I: Derivada parte 2 
ACH 4532 Cálculo I - Marketing
Prof. Andrea Lucchesi
Agenda
1. Recapitulando: definição de derivada
2. Técnicas de derivação
Referência: 
Cap 5: págs 134 a 151 (seções 5.1 e 5.2)
Cap 5: págs 146 e 147 (seção 5.8)
Cap 5: págs 132 a 133 (seções 5.2.2)
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
Agenda
1. Recapitulando: definição de derivada
2. Técnicas de derivação
Referência: 
Cap 5: págs 128 a 133 (seções 5.1 e 5.2)
Cap 5: págs 146 e 147 (seção 5.8)
Cap 5: págs 132 a 133 (seções 5.2.2)
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
EACH
Seja a função f(x) e o ponto genérico (𝑥0, 𝑥0+ ∆𝑥)
• A derivada da função f(x) em um ponto genérico será denotada por f’(x):
• ou
• Em um dado ponto:
• Notação de derivada: 𝑓′ 𝑥 ,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
,
𝑑𝑓
𝑑𝑥
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1. Recapitulando: definição de derivada
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
(
𝒇 𝒙𝟎+∆𝒙 −𝒇(𝒙𝟎)
∆𝒙
) 𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
(
𝒇 𝒙+∆𝒙 −𝒇(𝒙)
∆𝒙
)
𝒇′ 𝒙 = 𝐭𝐚𝐱𝐚 𝐦é𝐝𝐢𝐚 𝐝𝐞 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚ç𝐚𝐨 𝐝𝐚 𝐟𝐮𝐧çã𝐨 = 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐝𝐚 𝐟𝐮𝐧çã𝐨
= 𝐢𝐧𝐜𝐥𝐢𝐧𝐚ç𝐚𝐨 𝐝𝐨 𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐨 𝐧𝐨 𝐩𝐨𝐧𝐭𝐨.
Agenda
1. Recapitulando: definição de derivada
2. Técnicas de derivação
Referência: 
Cap 5: págs 134 a 141 (seções 5.3 e 5.6)
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACHACH 4532 – Cálculo I_ MKT
2. Técnicas de derivação
EACH
• É possível simplificar o procedimento de cálculo de derivadas através da utilização das técnicas de derivação.
1) Derivada da função potência
• É qualquer função na forma 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 , em que 𝑛 é um número real.
• Regra simples para calcular a derivada de qualquer função potência:
• Exemplos: Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑓′ 𝑥 = 2. 𝑥2−1
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥1 = 𝟐𝒙
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𝑓′ 𝑥 = 𝑛. 𝑥𝑛−1
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥3
𝑓′ 𝑥 = 3. 𝑥3−1
𝑓′ 𝑥 = 𝟑𝒙𝟐
2. Técnicas de derivação (continuação)
EACH
1) Derivada da função potência (continuação)
• Exemplos: Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥
⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑥1/2
𝑓′(𝑥) =
1
2
. 𝑥(
1
2
−1)
𝒇′ 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙−
𝟏
𝟐
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Seja 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑥−1/2
𝑓′ 𝑥 = −
1
2
. 𝑥(−
1
2
−1)
𝒇′(𝒙) = −
𝟏
𝟐
𝒙−
𝟑
𝟐
2. Técnicas de derivação (continuação)
EACH
2) Derivada da função constante
• É qualquer função na forma 𝑓 𝑥 = 𝑐 , em que 𝑐 é uma constante real.
• A derivada de qualquer função constante é nula pois o gráfico da função constante, y = 𝑐, sendo uma reta
horizontal paralela ao eixo x, possui coeficiente angular igual a zero.
• Exemplo: Seja 𝑓 𝑥 = 5
𝒇′(𝒙) = 𝟎
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2. Técnicas de derivação (continuação)
EACH
3) Derivada da constante multiplicada por função
• É igual à constante multiplicada pela derivada da função.
Exemplo: Seja 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 2. 𝑓′(𝑥3)
𝑓′ 𝑥 = 2. (3𝑥3−1)
𝑓′(𝑥) = 2.3𝑥2
𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐
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Seja 𝑓 𝑥 =
𝑥4
3
⇒ 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥4
𝑓′(𝑥) =
1
3
𝑓′(𝑥4)
𝒇′ 𝒙 =
𝟏
𝟑
. 𝟒. 𝒙𝟑
𝒇′ 𝒙 =
𝟒
𝟑
𝒙𝟑
2. Técnicas de derivação (continuação)
EACH
4) Derivada de uma soma/ subtraçao
• É a soma das derivadas.
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝒇′ 𝒙 = 𝒖′ 𝒙 + 𝒈′(𝒙)
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥5
𝑓′(𝑥) = 𝑓′(𝑥2) + 𝑓′(3𝑥5)
𝑓′(𝑥) = 2𝑥2−1 + 3.5. 𝑥5−1
𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟓𝒙𝟒
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• Vale também para a subtração:
Seja 𝑓 𝑥 = 5𝑥3 − 4𝑥2 + 12𝑥 − 8
𝑓′ 𝑥 = 𝑓′(5𝑥3 ) − 𝑓′(4𝑥2) + 𝑓′(12𝑥) − 𝑓′(8)
𝑓′(𝑥) = 5.3. 𝑥3−1 − 4.2. 𝑥2−1 + 12.1. 𝑥1−1 − 0
𝑓′(𝑥) = 15𝑥2 − 8𝑥1 + 12. 𝑥0 − 0
𝑓′(𝑥) = 15𝑥2 − 8𝑥 + 12.1
𝒇′(𝒙) = 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐
2. Técnicas de derivação (continuação)
EACH
5) Derivada do produto de duas funções
• Regra do Produto:
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 . 𝑔(𝑥)
𝒇′ 𝒙 = 𝒖′(𝒙) . 𝒈 𝒙 + 𝒖 𝒙 . 𝒈′(𝒙)
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥2. (3𝑥 + 1)
𝑢 𝑥 𝑔 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 . 3𝑥 + 1 + 𝑥2 (3)
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑥2
𝒇′ 𝒙 = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙
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OU 𝑓 𝑥 = 𝑥2. 3𝑥 + 1 = 𝟑𝒙𝟑+ 𝒙𝟐
Usando a regra da soma:
𝑓′(𝑥) = 𝑓′ 3𝑥3 + 𝑓′(𝑥2)
𝑓′ 𝑥 = 3.3. 𝑥3−1 + 2. 𝑥2−1
𝒇′ 𝒙 = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝒙
2. Técnicas de derivação (continuação)
EACH
6) Derivada do quociente de duas funções
• Regra do quociente:
Seja 𝑓 𝑥 =
𝑢(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝒇′ 𝒙 =
𝒖′ 𝒙 .𝒈 𝒙 − 𝒖 𝒙 .𝒈′(𝒙)
[𝒈(𝒙)]𝟐
Exemplo: 𝑓 𝑥 =
𝒙𝟐+𝟐𝒙 −𝟐𝟏
𝒙−𝟑
=
𝑢(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝒇′ 𝒙 =
(𝟐𝒙+𝟐). 𝒙−𝟑 −[(𝒙𝟐+𝟐𝒙 −𝟐𝟏).(𝟏)]
[𝒙−𝟑]𝟐
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𝒇′ 𝒙 =
𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟔 − (𝒙𝟐+𝟐𝒙 − 𝟐𝟏)
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗
𝒇′ 𝒙 =
𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟔 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟏
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗
𝒇′ 𝒙 =
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟓
𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗
2. Técnicas de derivação (continuação)
EACH
6) Derivada do quociente de duas funções (continuação)
Exemplo: 𝑓 𝑥 =
𝟐
𝟑𝒙𝟐
=
𝑢(𝑥)
𝑔(𝑥)
Regra do quociente pode ser muito trabalhosa. Alternativamente, podemos reescrever a função:
𝑓 𝑥 =
2𝑥−2
3
=
2
3
𝑥−2
𝑓′ 𝑥 = -2 . 
2
3
𝑥−2−1 =
𝒇′ 𝒙 =
−𝟒
𝟑
𝒙−𝟑
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2. Técnicas de derivação (continuação)
EACH
6) Derivada do quociente de duas funções (continuação)
Exemplo: 𝑓 𝑥 =
𝟐
𝟑𝒙𝟐
−
𝒙
𝟑
+
𝒙+𝟏
𝒙
⇒ utilizar a regra do quociente para cada termo da soma
OU podemos reescrever a função:
𝑓 𝑥 =
2𝑥−2
3
−
𝑥
3
+
𝑥
𝑥
+
1
𝑥
=
2𝑥−2
3
−
𝑥
3
+ 1 + 𝑥−1
𝒇′ 𝒙 =
−𝟒
𝟑
𝒙−𝟑 −
1.1 .𝑥1−1
3
+ 0 − 1. 𝑥−1−1
𝒇′ 𝒙 =
−𝟒
𝟑
𝒙−𝟑 −
1𝑥0
3
− 1. 𝑥−2 = 
−𝟒
𝟑
𝒙−𝟑 −
𝟏
𝟑
− 𝒙−𝟐
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