OMRP 2018 segunda fase Nível 3 com gabarito SJRP

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OMRP
Instruções para a realização da Prova
Leia com muita atenção!
Nível 3
 Prova da segunda fase 
 Caro Aluno,
 Parabéns pela sua participação na décima quinta edição da Olimpíada de Mate-
mática de São José do Rio Preto e sua primeira edição em Votuporanga! Lembre-se de que 
uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai 
‘enfrentar’ não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender 
perfeitamente o que se pede. Depois, pense..... Bem-vindo ao mundo dos desafi os!!! Não im-
porta a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao fi nal da prova. Cada exercício que 
você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros, você poderá tirar várias lições e, 
com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemá-
tica. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente,
 Comissão Organizadora 
Instruções:
· O tempo de duração da prova é de duas horas e trinta minutos.
· Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas 
 (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta.
· Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou 
 preta.
Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10:
 10) A B C D E 
Realização:
 Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto.
 SOMA - Sociedade dos Matemáticos.
Apoio:
 CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científi co e Tecnológico. 
 AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. 
 Diretoria Regional de Ensino de Votuporanga.
 Secretaria Municipal de Educação de Votuporanga.
O gabarito estará disponível no site www.ibilce.unesp.br/omrp a partir das 20 horas de 05/06/2018 
(terça-feira).
RASCUNHO
Gabarito
1. Alternativa C
2. Anulada
3. Alternativa D
4. Alternativa B
5. Alternativa A
6. Alternativa B
7. Alternativa C
8. Alternativa D 
9. Alternativa A
10. Alternativa D
11. Alternativa C
12. Alternativa B
13. Alternativa C
14. Alternativa A
15. Alternativa D
16. Alternativa D
17. Alternativa E
18. Alternativa B
19. Alternativa A
20. Alternativa E
Questão 2: O texto e a fi gura original estavam errados. 
 Estava: uma fi gura que consiste em quatro regiões limitada.... 
 Correto: uma fi gura que consiste em cinco regiões limitadas
 
 Além disso, a quinta região não estava numerada.
 
 Atenção:A imagem e o texto estão arrumados nessa versão.
 2. Alternativa E
C a d e r n o d e Q U E S T Õ E S
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3
26 de Maio de 2018
1. Um “matemágico” faz mágicas com cartões coloridos, 
verdes, azuis e vermelhos, numerados de 1 a 13 para 
cada cor. Ele mistura os cartões e diz para uma criança: 
“Sem que eu veja, escolha um cartão, calcule o dobro 
do número do cartão, some 3 e multiplique por 5. De-
pois
  some 1, se o cartão for verde;
  some 2, se o cartão for azul;
  some 3, se o cartão for vermelho.
 Diga-me o resultado fi nal e eu lhe direi a cor e o núme-
ro do cartão que você escolheu.”
 Ari Timético disse 76. Qual é o número e a cor do car-
tão que ele escolheu?
 a) número 7, verde.
 b) número 7, azul.
 c) número 6, verde.
 d) número 6, vermelho.
 e) número 8, azul.
4. Na fi gura a seguir temos que AC = CB, DB = DE e 
med(DF̂C) = 105º. Determine a medida do ângulo 
FD̂A.
 a) 15º.
 b) 10º.
 c) 25º.
 d) 30º.
 e) 20º.
7. Rute Orema vai participar da Olimpíada de Matemá-
tica de Rio Preto e, como pretende ter uma boa clas-
sifi cação, elaborou o seguinte plano de estudos: nos 
primeiros dois dias resolver alguns exercícios e em 
cada um dos restantes dias resolver tantos exercícios 
quantos os resolvidos no total dos dois dias anterio-
res. Sabendo que Rute cumpriu estes plano de segunda 
a sábado e resolveu 16 exercícios no sábado, quantos 
exercícios ela resolveu na quinta-feira?
 a) 2. d) 8.
 b) 4. e) 10.
 c) 6. 3. Em um edifício as portas são numeradas utilizando-se 
placas que contêm um dígito cada uma. Por exemplo, 
para numerar a décima quarta porta usaram-se duas 
placas: a do número 1 e a do 4. Se foram usadas 35 
placas, quantas portas existem?
 a) 35. d) 22. 
 b) 19. e) 14. 
 c) 28. 
6. Zé da àlgebra vai a casa de Chico das Contas deixar 
uma caixa de doces. Essa caixa pode ser preenchida 
com 50 chocolates ou 400 balas. Se a caixa já tem 32 
chocolates, quantas balas, no máximo, ela pode con-
ter?
 a) 132. d) 148. 
 b) 144. e) 152. 
 c) 146.
5. O celular de Zé da Álgebra está com um vírus que alte-
ra os números de telefone guardados usando dois mé-
todos diferentes: 
 primeiro método, chamado de A: escreve os números 
de trás para frente .
 Segundo método, chamado de B: troca as posições do 
quarto e quinto algarismos.
 Por exemplo, se o vírus aplicar a operação A ao nú-
mero 239123456, obtém-se 654321923 e se aplicar a 
operação B, 239213465.
 Zé da Álgebra ligará para Chico das Contas para con-
vidar para uma festa, mas o número 239197150 que 
aparece no celular foi alterado pelo vírus usando a se-
quência BAAABAB. Qual é o verdadeiro número de 
Chico das Contas.
 a) 239791150. d) 239197150. 
 b) 239751190. e) 051971932.
 c) 239971150.
9. Chico das Contas gosta muito de números. Aprendeu 
que um capicua é um número que não se altera quando 
lido da direita para esquerda. Por exemplo: 717, 34543 
são capicuas. Ele fez uma lista de todos os capicuas 
com cinco algarismos (lembre-se de que os números 
não podem começar com o algarismo 0) por ordem 
crescente e observou que o décimo segundo número 
da sua lista era o número da porta de sua residência. 
Qual esse número? 
 a) 11111. d) 12221. 
 b) 11211. e) 12321. 
 c) 12121.
8. A área do quadrilátero ABCD, em que AB = 4, 
BC = 3, CD = 6, AD = 5 e o ângulo AB̂C é reto, em 
unidades de área, é igual a:
 a) 12.
 b) 15.
 c) 16.
 d) 18.
 e) 21 .
1
2
3
4
2. Sobrepondo-se dois quadrados iguais, pode obter-se 
uma fi gura que consiste em cinco regiões limitadas, 
como se observa na fi gura abaixo:
 
 Qual o maior número de regiões que se pode obter 
usando dois quadrados iguais?
 a) 4. d) 8. 
 b) 5. e) 9. 
 c) 6
5
C a d e r n o d e Q U E S T Õ E S
Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4
26 de Maio de 2018
16. Zé da Álgebra recebeu instruções para transportar al-
guns sacos para um depósito, recebendo R$ 10,00 por 
cada quilo. Os sacos podem pesar 30, 40 ou 50 kg e ele 
demora 8, 12 ou 20 minutos a transportá-los, respec-
tivamente. Qual é a quantia máxima que o Zé poderá 
ganhar em uma hora?
 a) R$ 1800,00. d) R$ 2200,00.
 b) R$ 2000,00. e) R$ 2400,00. 
 c) R$ 2100,00.
12. Seja N = (32 – 42 – 52 + 62) + (72 – 82 – 92 + 102) + 
(112 – 122 – 132 + 142) + ... + (20152 – 20162 – 20172 
+ 20182)
 O valor de N é:
 a) 10082. d) 2018.
 b) 2016. e) 20182.
 c) 1009.
15. Um vendedor de refrescos tem seis recipientes com 
capacidades de 15, 16, 18, 19, 20 e 31 litros respec-
tivamente. Um desses recipientes contém suco de la-
ranja e cada um dos outros cinco recipientes contém 
ou suco de caju ou suco de abacaxi, de tal forma que o 
vendedor tem o dobro de suco de abacaxi do que suco 
de caju. Qual é o volume, em litros, do recipiente que 
contem suco de laranja?
 a) 16. d) 20.
 b) 18. e) 21.
 c) 19.
19. Chico das Contas calculou a soma de todos os alga-
rismos de todos os inteiros de 1 a 99. Que número ele 
obteve?
 a) 900. d) 480.
 b) 800. e) 450.
 c) 540.
14. O tabuleiro 7 x 7, representado na fi gura a seguir, deve 
ser preenchido de tal forma que a soma dos três nú-
meros escritos em três quadradinhos consecutivos (na 
mesma linha ou na mesma coluna) seja sempre 20. Al-
guns números do tabuleiro já foram colocados, deter-
mine o valor do número x.
 a) 9.
 b) 6.
 c) 6.d) 4.
 e) 11.
18. Na fi gura a seguir, ABCD é um trapézio de bases AB— e 
CD—. Sabendo que AB = AC = a, BD = 2a e CD = 3a, 
pode-se afi rmar que o valor de cosα é igual a:
 a)
 b)
 c)
 
 d)
 e)
1
3
1
4
1
2
3
2
2
2
17. Ana Lítica e Gê Ométrica disputam uma corrida, em 
um vídeo game, com seus carros mais velozes. O carro 
de Ana completa cada volta em 45 segundos e o carro 
de Gê em 48 segundos. Os carros de Ana e Gê só se 
cruzam no momento em que Ana termina a corrida. 
Quantas voltas tem a corrida?
 a) 60. d) 18.
 b) 48. e) 16.
 c) 30.
20. Em um quadrilátero ABCD, o ponto P divide a dia-
gonal AC— na razão 1 para 3 (com AP— < PC— ). Sabe-se 
que as áreas das regiões triangulares ABD e BDC são 
70m2 e 30m2, respectivamente. A área da região trian-
gular PBD é igual a:
 a) 35 m2. d) 42 m2.
 b) 39 m2. e) 45 m2.
 c) 40 m2.
11. Se A, B e C são três pontos não alinhados, em quan-
tas posições distintas se pode colocar um quarto ponto 
para que os quatro pontos sejam vértices de um parale-
logramo?
 a) 1. d) 4.
 b) 2. e) 5. 
 c) 3.
13. O número 119 é muito interessante porque dividido 
por 2 deixa resto 1, dividido por 3 deixa resto 2, dividi-
do por 4 deixa resto 3, dividido por 5 deixa resto 4 e, fi -
nalmente, dividido por 6 deixa resto 5. Quantos outros 
números existem, além do 119, com três algarismos e 
esta mesma propriedade?
 a) 10. d) 16.
 b) 12. e) 17.
 c) 14.
10. Considere um retângulo ABCD em que os comprimen-
tos dos lados são AB = 4 e BC = 8. Sobre os lados BC— e 
AD— marcam-se os pontos M e N, respectivamente, de 
modo que o quadrilátero BMDN seja um losango. Cal-
cule a área desse losango.
 a) 32. d) 20.
 b) 28. e) 18.
 c) 24.