Introdução à Pesquisa Operacional

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INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Book · January 2010
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Antonio C. Baleeiro Alves
Universidade Federal de Goiás
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INTRODUÇÃO À
PESQUISA OPERACIONAL
Grão-Chanceler
Dom Washington Cruz, CP
Reitor
Prof. Wolmir Therezio Amado 
Editora da PUC Goiás
Pró-Reitora da Prope
Presidente do Conselho Editorial
Profa. Dra. Sandra de Faria
Coordenador Geral da Editora da PUC Goiás
Prof. Gil Barreto Ribeiro
Conselho Editorial
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Prof. Dr. Aparecido Divino da Cruz
Profa. Dra. Elane Ribeiro Peixoto
Profa. Dra. Heloisa Capel
Profa. Dra. Maria do Espírito Santo Rosa Cavalcante
Prof. Dr. Cristóvão Giovani Burgarelli
Ms. Heloísa de Campos Borges
Iúri Rincon Godinho
Maria Luisa Ribeiro
Ubirajara Galli
ANTÔNIO CÉSAR BALEEIRO ALVES
MARCO ANTONIO FIGUEIREDO MENEZES
INTRODUÇÃO À
PESQUISA OPERACIONAL
Copyright © by Antônio César Baleeiro Alves; Marco Antonio Figueiredo Menezes
Editora da PUC Goiás
Rua Colônia, Qd. 240-C, Lt. 26 - 29
Chácara C2, Jardim Novo Mundo
CEP. 74.713-200 – Goiânia – Goiás – Brasil
Secretaria e Fax (62) 3946-1814 – Revistas (62) 3946-1815
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Comissão Técnica
Nilton José Rodrigues
Revisão
Biblioteca Central da UCG
Normatização
Félix Pádua
Editoração e Capa
M. C. Escher. Cubic space division, litografia, 1952
Ilustração da Capa
Impresso no Brasil
A474i Alves, Antônio César Baleeiro
 Introdução à pesquisa operacional / Antônio César 
Baleeiro Alves e Marco Antonio Figueiredo Menezes. – 
Goiânia: Ed. da UCG, 2010.
 311 p.
 ISBN 978-85-7103-565-2
 1. Pesquisa operacional. 2. Modelagem. 3. Sistema 
linear. I. Menezes, Marco Antonio Figueiredo. II. 
Título.
CDU: 519.8 
Para minha esposa, Maria Abadia, e para os nossos filhos,
Flávio César, André Vinícius e Pedro.
Antônio César Baleeiro Alves
Para a minha esposa Greice e para a nossa filha Luana.
Marco Antonio Figueiredo Menezes
SUMÁRIO
Prefácio ..................................................................................................................11
I Modelagem em Pesquisa Operacional .........................................................15
1.1 O processo de modelagem .......................................................................15
1.2 Formulação de alguns problemas ...........................................................16
1.2.1 Um problema agrícola ....................................................................16
1.2.2 Um problema de designação ..........................................................20
1.2.3 Um problema de amplificador de tensão ......................................23
1.2.4 Formulação em processos estocásticos ..........................................25
1.3 Exercícios propostos .................................................................................27
II Matrizes e Sistemas Lineares ........................................................................31
2.1 Matrizes .....................................................................................................31
2.1.1 Operações com matrizes .................................................................34
2.1.2 Determinante ...................................................................................38
2.1.3 A inversa de uma matriz ................................................................46
2.1.4 Inversa de uma matriz e determinante .........................................47
2.2 Sistemas lineares algébricos de pequeno porte .....................................49
2.3 Operações elementares sobre matrizes ..................................................51
2.3.1 A forma escalonada .........................................................................54
2.3.2 Posto de uma matriz ........................................................................57
2.3.3 Matrizes elementares .......................................................................60
2.3.4 O método de Gauss-Jordan ............................................................62
2.4 Sistemas lineares algébricos .....................................................................65
2.4.1Sistemas homogêneos .......................................................................68
2.4.2 Sistemas triangulares .......................................................................70
2.4.3 O método de eliminação de Gauss ................................................73
– 8 –
2.4.4 Decomposição LU de matrizes quadradas ...................................77
2.5 Exercícios propostos .................................................................................90
III Programação Linear .......................................................................................95
3.1 O problema de Programação Linear .....................................................95
3.1.1 Obtenção do formato padrão .........................................................96
3.2 A geometria da Programação Linear.....................................................98
3.3 Método simplex primal ..........................................................................106
3.3.1 Mecanismo de mudança de base ..................................................113
3.3.2 O algoritmo simplex ......................................................................121
3.4 Dualidade em Programação Linear .....................................................127
3.4.1 Forma canônica da dualidade ......................................................129
3.4.2 Relações entre os problemas primal e dual .................................130
3.4.3 Relações entre as soluções ótimas dos problemas primal e dual ..134
3.4.4 Regras de escrita do problema dual a partir de um
 problemaprimal ............................................................................137
3.4.5 O teorema fundamental da dualidade ........................................139
3.4.6 Condições de Karush-Kuhn-Tucker para a Programação Linear ...139
3.4.7 Método dual simplex ..........................................................................140
3.5 Exercícios propostos ...............................................................................143
IV Distribuições de Probabilidade ...................................................................147
4.1 Probabilidade ..........................................................................................148
4.1.1 Probabilidade e frequência relativa .............................................152
4.2 Variável aleatória discreta......................................................................153
4.2.1 Esperança matemática e variância de uma variável
 aleatória discreta ............................................................................156
4.3 Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas ......157
4.3.1 Distribuição hipergeométrica .......................................................157
4.3.2 Distribuição binomial ....................................................................159
4.3.3 Distribuição uniforme discreta ....................................................161
– 9 –
4.3.4 Distribuição de Poisson .................................................................163
4.4 Variável aleatória contínua ....................................................................166
4.5 Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias contínuas ....170
4.5.1 Distribuição normal ......................................................................171
4.5.2 Distribuição retangular ou uniforme ..........................................179
4.5.3 Distribuição exponencial ..............................................................180
4.5.4 Distribuição de Erlang ..................................................................182
4.6 Teorema do limite central .....................................................................184
4.7 Exercícios propostos ...............................................................................188
V Processos de Markov ....................................................................................191
5.1 Def inição e caracterização de processos de Markov ..........................191
5.2 Relevância dos processos de Markov e possíveis aplicações ..............193
5.3 Processos de Markov de tempo discreto ..............................................194
5.3.1 Matriz de transição ........................................................................200
5.3.2 Cadeias de Markov ........................................................................202
5.3.3 Classificação das cadeias de Markov ...........................................203
5.3.4 Análise de cadeias finitas irredutíveis
 com estados aperiódicos ................................................................211
5.3.5 Análise de cadeias finitas com estados absorventes ...................216
5.3.6 Tempos médios de recorrência .....................................................223
5.4 Processos de Markov de tempo contínuo ............................................227
5.4.1 Cadeias de Markov homogêneas de tempo contínuo ................231
5.5 Exercícios propostos ...............................................................................243
VI Sistemas de Filas de Espera .........................................................................247
6.1 Elementos básicos de sistemas de f ilas e notação de Kendall-Lee ....248
6.2 Conceitos básicos e parâmetros de sistemas de f ilas ...........................251
6.3 Medidas de efetividade dos sistemas de f ilas .......................................256
6.3.1 Fórmula de Little ...........................................................................257
6.4 Sistemas de f ilas com chegadas e atendimentos do tipo markoviano .....258
– 10 –
6.4.1 Sistema de filas M / M / 1 ..............................................................259
6.4.2 Sistema de filas M / M / s ...............................................................268
6.4.3 Sistema de filas M / M / 1 / C ........................................................272
6.5 Relevância da teoria de filas em sistemas de comunicação ................279
6.6 Exercícios propostos ...............................................................................280
VII Simulação Monte Carlo ..............................................................................285
7.1 Geração de números aleatórios .............................................................287
7.2 Simulação Monte Carlo através da utilização de etiquetas ...............289
7.2.1 Exemplo em Programação Linear ...............................................293
7.2.2 Exemplo em sistemas de filas de espera ......................................294
7.3 Número de simulações necessárias para assegurar
 um erro máximo especif icado ...............................................................296
7.3.1 Confiança e intervalo de confiança ..............................................297
7.3.2 Fórmula para cálculo do número de simulações .......................299
7.4 Simulação Monte Carlo aplicada à solução
 de problema determinístico ...................................................................300
7.5 Exercícios propostos ...............................................................................303
Referências ..........................................................................................................309
– 11 –
S egundo a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional (SOBRAPO) – www.sobrapo.org.br/o_que_e_po.php –, a Pesquisa Operacional é uma 
ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais que, tendo como 
foco a tomada de decisões, aplica conceitos e métodos de várias áreas científi-
cas na concepção, no planejamento ou na operação de sistemas.
O presente livro apresenta uma introdução ao estudo da Pesquisa Ope-
racional. Baseia-se em cursos que ministramos, nos quais optamos por abor-
dar aqueles temas que, do nosso ponto de vista, fornecem o embasamento 
necessário em modelos determinísticos e probabilísticos para a formação de 
graduandos e pós-graduandos. Atuamos em cursos de graduação em Ciência 
da Computação, Engenharia de Computação, Engenharia Elétrica, Enge-
nharia de Produção e em cursos de mestrado em Engenharia Elétrica e de 
Computação, e Engenharia de Produção e Sistemas. Aqui, incluímos ainda 
a importância para a formação de futuros profissionais de Administração, 
Agronomia, Economia, Estatística e Matemática. Dessa forma, acreditamos 
que este livro pressupõe conhecimentos de programação de computadores 
e de conteúdo de Matemática equivalente ao estudado no primeiro ano de 
cursos de graduação, principalmente, nas áreas de ciências exatas, engenha-
rias e áreas correlatas. A propósito, acreditamos que o diferencial deste livro 
está na forma como os temas são apresentados: primeiro, são estabelecidos 
os conceitos, as definições, as terminologias, para, em um segundo momen-
to, apresentarem-se os procedimentos de cálculo. Ressaltamos, além disso, 
o apelo ao uso do computador, por meio de enunciados de algoritmos e da 
proposição de exercícios.
PREFÁCIO
– 12 –
No Capítulo I, tratamos sobre o processo de modelagem. Em particular, 
sobre a etapa de formulação de problemas. Formulamos problemas de Pro-
gramação Linear, Programação Linear Inteira e de Programação Não Linear, 
e discutimos modelos estocásticos.
No Capítulo II, tratamos sobre matrizes e sistemas lineares e, no Capí-
tulo IV, sobre distribuições de probabilidade. Ambos possuem o caráter de 
revisão de conteúdos para facilitar a compreensão dos temas abordados nos 
capítulos de soluções de modelos.
Introduzimosmodelos determinísticos no Capítulo III, em que trata-
mos sobre Programação Linear, enfatizando os seus fundamentos primal e 
dual, e o método simplex. Omitimos o método de pontos interiores que se 
mostra eficiente – algoritmos polinomiais – para os problemas de Programa-
ção Quadrática, Complementaridade Linear e Programação Semidefinida, 
todos sob certas hipóteses. Todavia, fazemos referência ao Laboratório de 
Programação Linear (LabPL), que possui, além da família de métodos de 
pontos interiores, várias outras famílias de métodos para resolver problemas 
de Programação Linear.
Nos demais capítulos, são apresentados modelos probabilísticos e simu-
lação. No Capítulo V, tratamos sobre processos de Markov com vistas à sua 
aplicação aos sistemas de filas. Os sistemas de filas markovianos são estudados 
no Capítulo VI, e a simulação de Monte Carlo, no Capítulo VII.
A notação utilizada no livro é independente por capítulo. Isto quer di-
zer, por exemplo, que vetores podem aparecer em parênteses em um capítulo, 
ou em colchetes em outro; S, como um conjunto qualquer em um capítulo, 
ou como um espaço amostral em outro; A, como uma matriz qualquer em 
um capítulo, ou como um conjunto de eventos; Z+, o conjunto dos números 
inteiros não negativos em um capítulo, ou Z, como uma variável aleatória da 
distribuição normal padronizada em outro; e, como o número de Euler em 
um capítulo, ou como um número qualquer em outro etc.
Este livro teve seus primeiros manuscritos preparados há vários anos, 
tendo iniciado por volta de 1999. De lá para cá demos vários cursos baseados 
em vários livros como referências básicas. Assim, vários exemplos foram re-
tirados dessas referências e alterados, melhorados. Criamos outros a partir 
desses, desenvolvemos novos. Dessa forma, no que nos foi possível, fizemos 
referência in loco dos exercícios que são de autoria de colegas e, na seção 7.2, 
em particular, referenciamos o livro que apresenta a mesma sequência de ra-
ciocínio e abordagem. 
– 13 –
Iniciamos a escrita deste livro propriamente dita através de um projeto 
entre Baleeiro, Marco e Francisco José Pfeilsticker Zimmermann. Este estu-
dou e nos apresentou o artigo de Wichmann e Hill sobre a geração de núme-
ros aleatórios e foi também quem revisou e discutiu as primeiras versões do 
ainda manuscrito. Agradecemos com carinho ao nosso colega e amigo Zim-
mermann pelas contribuições e pelo estímulo, pois, mesmo em Moçambique, 
ainda pergunta sobre o livro.
Em particular, Baleeiro agradece ao Professor Fujio Sato, pelas primei-
ras lições de Monte Carlo, e também ao Professor Rubén Augusto Romero 
Lázaro, pelas excelentes discussões em Otimização.
Agradecemos aos colegas professores: Edir Lopes de Oliveira, José Elmo 
de Menezes, Leizer de Lima Pinto, Rosângela Nunes Almeida de Castro e 
Thyago Carvalho Marques pelas contribuições valiosas. Não poderíamos nos 
esquecer de reconhecer o profissionalismo com que Nilton José Rodrigues e 
Félix Pádua trataram a revisão e a diagramação do texto e ao coordenador 
geral da Editora da PUC Goiás, o professor Gil Barreto Ribeiro pela atenção. 
Um especial agradecimento a nossos alunos de turmas de outrora que, ao ex-
ternarem suas críticas e dúvidas, trouxeram importantes contribuições.
Os Autores
– 15 –
I
Modelagem em Pesquisa Operacional
N este capítulo será estudado o processo de modelagem em Pesquisa Operacional (PO). O objetivo aqui não é obter soluções de problemas 
de PO, mas modelar problemas, em contraposição ao uso apenas da experiên-
cia e do bom senso.
Como referências básicas, sugerimos Hillier & Lieberman (1995) e 
Taha (2008).
A inf luência da Segunda Guerra Mundial foi decisiva para o res-
surgimento da PO, e os desenvolvimentos que se seguiram nas décadas 
que sucederam ao grande conf lito são devidos especialmente à difusão 
do computador nas universidades e empresas. Havia demandas da parte 
da indústria e dos governos – transportar, planejar, interceptar etc. Novos 
conhecimentos em Matemática, Engenharia, Estatística, Economia e Com-
putação eram publicados, e f inanciamentos de pesquisa nesta área de co-
nhecimento surgiam. O projeto Scientif ic Computation of Optimal Programs 
é um exemplo de relevante f inanciamento ocorrido na ocasião, que resultou 
na formação de um grupo para pesquisar a viabilidade em aplicar a Mate-
mática e técnicas correlacionadas à análise de problemas de planejamento e 
programação militar.
 
 
1.1 O processo de modelagem
 
Os responsáveis pela tomada de decisões nos mais variados campos da 
atividade humana defrontam-se com a necessidade de resolver algum pro-
– 16 –
blema específ ico de PO. A compreensão e a def inição do problema são de 
fundamental importância para o processo de modelagem.
O primeiro passo para a resolução de um problema de PO é a formu-
lação, que consiste em traduzir a realidade empírica para sentenças lógicas e 
dados objetivos, a partir dos quais é possível o estabelecimento de um modelo 
matemático. É aí que devemos decidir – julgamento humano – os aspectos do 
sistema real que devemos incorporar ao modelo e os que podem ser ignora-
dos, as suposições que podem ser consideradas e as que podem ser descarta-
das. Essa tradução está sujeita a erros e falhas de comunicação. Também não 
existem técnicas precisas, capazes de permitir o estabelecimento do modelo 
de um problema. 
O segundo passo é a dedução do modelo, isto é, a sua análise e resolução 
através de algoritmos específ icos. Essa solução, atenta aos métodos numéricos 
em computação, sugere uma tomada de decisão. Para a sua sustentação, recor-
remos ao terceiro passo, que é a interpretação de uma solução do modelo para 
uma solução do sistema real. Se não for validado, o modelo deve ser reformu-
lado, e assim por diante. A esse processo dá-se o nome de modelagem. Para 
maiores detalhes sobre o processo de modelagem, recomendamos Ravindran, 
Phillips & Solberg (1987).
A seguir, estudaremos o primeiro passo do processo, ou seja, a formula-
ção em Programação Matemática e exemplos de modelos probabilísticos, sem 
nos preocuparmos com a solução ou a validação.
1.2 Formulação de alguns problemas
Nesta seção, serão estudados três problemas de PO. Um da área agríco-
la, outro de administração e um de eletricidade. Também serão vistos alguns 
processos estocásticos. Em cada subseção, será enunciado um problema de PO 
e seu modelo correspondente. Ao f inal, com relação aos modelos probabilísti-
cos, apenas serão enunciados alguns problemas.
1.2.1 Um problema agrícola
Este problema foi extraído de Müller (2004) e trata da elaboração de um 
modelo de Programação Linear para planejamento de produção agrícola.
– 17 –
1.2.1.1 O problema
Consideremos um problema na agricultura para decidir que produtos e em 
que quantidade entre soja, milho, arroz e feijão devem ser plantados em uma 
determinada área, de forma a maximizar o lucro líquido de um produtor rural.
Esse produtor precisa colher no mínimo 2.500 sacas de soja, para produ-
zir semente encomendada; 3.000 sacas de milho, para pagar empréstimo em 
milho à cooperativa local; pretende plantar, no mínimo, 150 hectares de arroz 
em terra de primeiro ano (fraca) e, no máximo, 80 hectares de feijão, plantio 
de alto risco de perda, pois prefere, neste ano, não arriscar muito. A tabela 1.1 
resume os dados do problema.
Tabela 1.1: Dados gerais do problema
Gleba
Tamanho
(hectare)
Produção esperada
(sacas/hectare)
Renda líquida esperada
(reais/hectare)
Soja Milho Arroz Feijão Soja Milho Arroz Feijão
1 10 50 130 30 40 1.200 1.040 240 1.450
2 18 48 120 32 55 1.080 910 300 3.380
3 22 48 140 30 43 1.065 1.728 300 1.890
4 49 50 100 28 38 1.320 700 280 1.220
5 51 35 70 36 32 365 -120 600 610
6 54 32 65 37 30 160 -380 595 280
7 77 35 68 37 32 360 -171 620 585
8 69 38 95 39 36 610 410 665 900
Mínimo
(sacas ou hectares)
2.500
(sacas)
3.000
(sacas)
150
(hectares)
Máximo
(hectares)
80
(hectares)
Na tabela 1.1, “Produção esperada” diz respeito ao que se espera,em 
sacas por hectare, de cada gleba (porção de terra) para o cultivo de cada um 
dos alimentos. A “Renda líquida esperada” é a diferença entre o custo de 
produção e a renda bruta esperada por hectare. As duas últimas linhas for-
mam o conjunto de restrições imposto pelo proprietário da fazenda, que cor-
– 18 –
Neste caso, def inimos x
ij
, i = 1, 2, ..., 8 e j = 1, 2, 3, 4, as variáveis de deci-
são que pretendemos encontrar, se existirem, a saber: x
ij
, é a área em hectare por 
região i (i = 1, 2, ..., 8) para o plantio do alimento j ( j = 1, soja; j = 2, milho; j 
= 3, arroz; e j = 4, feijão). Como o que interessa é a maximização da renda da 
fazenda, serão utilizados os dados da “Renda líquida esperada” da tabela 1.1 
para construir o valor da chamada função objetivo do problema, a saber:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
51 52 53 54
61 62 63 64
71 72
1200 1040 240 1450
1080 910 300 3380
1065 1728 300 1890
1320 700 280 1220
365 120 600 610
160 380 595 280
360 171 62
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
+ + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ − + + +
+ − + + +
+ − + 73 74
81 82 83 84
0 585
610 410 665 900 .
x x
x x x x
+ +
+ + + +
O objetivo de maximização está sujeito a algumas restrições. A soma das 
áreas para o plantio dos quatro produtos em cada gleba não pode ultrapassar 
o tamanho total da gleba. Tem-se, então:
responde ao mínimo ou ao máximo de sacas que deseja colher de um certo 
tipo de produto, ou ao mínimo ou ao máximo de terra (em hectares) que 
deseja plantar.
1.2.1.2 Um modelo
Como já af irmamos, não existem regras precisas para o processo de mo-
delagem. Por isso, sugerimos a tentativa de encontrar inicialmente as variá-
veis de decisão. Também recomendamos verif icar as unidades de grandeza de 
cada dado, inclusive das variáveis de decisão.
– 19 –
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
51 52 53 54
61 62 63 64
71 72 73 74
81 82 83 84
10
18
22
49
51
54
77
69.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
Consideremos, ainda, que não pode haver área negativa para plantio. 
Para isso, temos:
0, 1, 2, , 8ijx i≥ = � e 1, 2, 3, 4j = .
Finalmente, devemos considerar as restrições impostas pelo proprietário 
da fazenda – produção para atendimento de encomenda, para pagamento de 
empréstimo e adequação às condições de qualidade do solo e risco de perdas 
em relação ao feijão. Assim, obtemos as seguintes desigualdades:
11 21 31 41 51 61 71 8150 48 48 50 35 32 35 38 2500x x x x x x x x+ + + + + + + ≥ ,
12 22 32 42 52 62 72 82130 120 140 100 70 65 68 95 3000x x x x x x x x+ + + + + + + ≥ , 
13 23 33 43 53 63 73 83
14 24 34 44 54 64 74 84
150
80.
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + + + + + ≥
+ + + + + + + ≤
e
Portanto, o nosso modelo matemático que tenta traduzir uma particular 
realidade da agricultura é dado pelo problema de PO:
maximizar
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
51 52 53 54
61 62 63 64
71 72
1200 1040 240 1450
1080 910 300 3380
1065 1728 300 1890
1320 700 280 1220
365 120 600 610
160 380 595 280
360 171 62
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
+ + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ − + + +
+ − + + +
+ − + 73 74
81 82 83 84
0 585
610 410 665 900
x x
x x x x
+ +
+ + + +
– 20 –
sujeito a: 11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
51 52 53 54
61 62 63 64
71 72 73 74
81 82 83 84
10,
18,
22,
49,
51,
54,
77,
69,
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
+ + + ≤
11 21 31 41 51 61 71 8150 48 48 50 35 32 35 38 2500x x x x x x x x+ + + + + + + ≥
12 22 32 42 52 62 72 82130 120 140 100 70 65 68 95 3000x x x x x x x x+ + + + + + + ≥
13 23 33 43 53 63 73 83
14 24 34 44 54 64 74 84
150 e
80,
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + + + + + ≥
+ + + + + + + ≤
0, 1, 2, , 8ijx i≥ = � e 1, 2, 3, 4j = .
A formulação discutida nesta seção refere-se a um modelo com fun-
ções af ins, isto é, lineares. Desta forma, chama-se este problema agrícola 
de Problema de Programação Linear (Contínua), que estudaremos no Ca-
pítulo III. 
1.2.2 Um problema de designação
O problema de designação (assignment problem, em inglês) é um proble-
ma clássico de Programação Linear Inteira.
1.2.2.1 O problema
Quatro pessoas – A, B, C e D – estão designadas para trabalhar em qua-
tro projetos diferentes – 1, 2, 3 e 4. A tabela 1.2 mostra quanto tempo – em 
dias – cada pessoa consegue f inalizar um específ ico projeto.
– 21 –
Tabela 1.2: Dados gerais do problema
Pessoas
Projetos
1 2 3 4
A 5 6 7 4
B 6 5 8 4
C 6 8 9 5
D 7 6 6 3
O pagamento diário, por pessoa, em uma jornada de quatro horas, é de 
60 reais. Suponha que cada pessoa é designada para realizar um projeto, e 
cada projeto só pode ser realizado por uma única pessoa.
1.2.2.2 Um modelo
Neste caso, def inimos ijx , 1, 2, 3, 4i = e j = 1, 2, 3, 4, as variáveis de 
decisão que pretendemos encontrar, se existirem, a saber: 
ijx =
 
Nosso interesse agora é minimizar o custo para a execução dos projetos. 
Assim, utilizamos os dados da tabela 1.2 para construir o valor da função 
objetivo, a saber:
60 5 6 7 4
6 5 8 4
6 8 9
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 3
( x x x x
x x x x
x x x
+ + + +
+ + + + +
+ + + 33 34
41 42 43 44
5
7 6 6 3
+ +
+ + + +
x
x x x x ).
Nosso objetivo de minimização está sujeito a algumas restrições. Sabe-
mos que cada pessoa é designada para realizar um único projeto, isto é,
1, se a pessoa i (i = 1, pessoa A ; i = 2, pessoa B; i = 3, pessoa C e i = 4, 
 pessoa D) for designada para o projeto j (j = 1, 2, 3, 4)
0, caso contrário.
1, se a pessoa i for (i = 1, pessoa ; i = 2, pessoa B; i = 3, pessoa C e i = 4, pessoa D)
 designada para o projeto jj=1, 2, 3, 4
0, caso contrÆrio.




– 22 –
4
1
1ij
j
x
=
=∑ , i = 1, 2, 3, 4;
e que cada projeto só pode ser realizado por uma única pessoa, isto é, 
xij
i=
∑ =
1
4
1 , j = 1, 2, 3, 4.
Portanto, o nosso modelo matemático que tenta traduzir uma particular 
realidade do problema de designação é dado pelo problema de PO:
minimizar
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
60 ( 5 6 7 4
6 5 8 4
6 8 9 5
7 6 6 3 )
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + +
sujeito a: 4
1
1ij
j
x
=
=∑ , i = 1, 2, 3, 4 
xij
i=
∑ =
1
4
1 , j = 1, 2, 3, 4
{ }0, 1ijx ∈ , i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2, 3, 4.
A formulação discutida nesta seção recebe o nome de Problema de Pro-
gramação Linear Inteira, por tratar-se de um modelo com funções lineares cujas 
variáveis de decisão são inteiras. Esse assunto não será objeto de estudo neste 
livro. Todavia, para os leitores interessados em aprofundar seus conhecimen-
tos nessa área, sugerimos os livros de Goldbarg & Luna (2005), Foulds (1984) e 
Garf inkel & Nemhauser (1972).
– 23 –
1.2.3 Um problema de amplif icador de tensão
A seguir apresentamos um problema de otimização que envolve um cir-
cuito elétrico.
1.2.3.1 O problema
Em Engenharia Elétrica é comum a utilização de circuitos amplif ica-
dores em aparelhos de áudio e vídeo. Esses circuitos recebem em sua entrada 
uma tensão elétrica e aumentam sua amplitude, disponibilizando na saída um 
sinal elétrico amplif icado.
O circuito da f igura 1.1 mostra de maneira simplif icada um amplif ica-
dor em que os estágios de entrada e saída são representados, respectivamente, 
por uma fonte de tensão, v, e por uma resistência de carga, cR , igual a 10 Ω 
( V AΩ = ). Esse circuito, para certos valores do parâmetro α, comporta-se 
como um amplif icador de tensão. Devem ainda ser respeitados os limites in-
ferior e superior de 12 V e 30 V , respectivamente, para a tensão na resistência 
de carga 10c cv i= .
Figura 1.1: Circuito básico para amplif icação da tensão v
– 24 –
A tensão abv é igual a 
61 10 i× , isto é, a queda de tensão no resistor de1 MΩ . A tensão v da fonte está restrita aos limites inferior e superior, res-
pectivamente, de 340 mV e 500 mV . O parâmetro α deve ser no mínimo 
igual a 120.
1.2.3.2 Um modelo
Neste caso, def inimos as variáveis de decisão que se pretende encontrar, 
se existirem, a saber:
i : corrente elétrica em amperes (A) suprida pela fonte;
ci : corrente elétrica em amperes (A) no lado da carga;
 v: tensão elétrica da fonte em volts (V);
α : parâmetro de controle da fonte dependente, que é adimensional.
O nosso interesse é operar o circuito da f igura 1.1 minimizando a perda 
de energia elétrica em watts (W = VA) nos resistores de resistências 0,7 MΩ, 
1 MΩ e 5 Ω, a saber:
6 2 21,7 10 5 ci i× + .
Na expressão da perda de energia elétrica não está incluída a resistência 
R
c
, porque esta representa a carga do circuito.
Nosso objetivo de minimização está sujeito a algumas restrições. De 
acordo com a Segunda Lei de Kirchhoff, que estabelece que a tensão aplicada 
a qualquer percurso fechado de um circuito é igual ao somatório das quedas 
de tensão naquele percurso, temos:
6 60,7 10 1,7 10abv i v i= × + = × ,
substituindo 61 10abv i= × . 
Procedendo de modo análogo para analisar o percurso fechado em que 
se encontra a resistência de carga, obtemos:
5ab c cv i vα = + .
– 25 –
Substituindo 10c cv i= e 
61 10abv i= × na última igualdade e desenvol-
vendo, obtemos
610 15 0ci iα − = .
Além disso, foi dado que:
0, 34 0,50v≤ ≤
e
12 10 30c cv i≤ = ≤ .
Dividindo essa última dupla desigualdade por dez, obtemos:
1, 2 3ci≤ ≤ .
Portanto, o nosso modelo matemático que tenta traduzir uma particular 
realidade do problema de minimização das perdas em um circuito amplif ica-
dor de tensão é dado pelo problema de PO:
minimizar 
6 2 21,7 10 5 ci i× +
sujeito a: 
61,7 10 0v i− × =
 
610 15 0ci iα − =
 1, 2 3ci≤ ≤
 0, 34 0,50v≤ ≤
 120α ≥ .
A formulação discutida nesta seção refere-se a um modelo com pelo me-
nos uma função não linear. Desta forma, chamamos este problema de am-
plif icador de tensão de um problema de Programação Não Linear, que não 
será objeto de estudo neste livro. Todavia, sugerimos a leitura de Bazaraa, 
Sherali & Shetty (2006) e Luenberger (2003).
1.2.4 Formulação em processos estocásticos
Processos estocásticos ou modelos probabilísticos são modelos mate-
máticos desenvolvidos para analisar sistemas dinâmicos sujeitos a incerteza, 
– 26 –
usando-se a linguagem da probabilidade. O termo “dinâmico” signif ica que a 
variável tempo geralmente está envolvida no processo de formulação. A prin-
cipal característica de um problema estocástico é que, associado a pelo menos 
uma de suas variáveis, temos um número que mede o grau de incerteza – ou 
de certeza – da ocorrência do valor da variável, dado pela probabilidade.
A formulação em processos estocásticos normalmente compreende a 
elaboração de sentenças lógicas, a interpretação de dados estatísticos sobre o 
problema e a identif icação da distribuição de probabilidade que governa as 
variáveis. Depois de construído, o modelo pode admitir soluções analíticas. 
Em casos de problemas complexos, a simulação computacional tem-se mos-
trado a melhor alternativa.
No Capítulo IV, serão estudadas distribuições de probabilidades. Assim, 
o passo da formulação será substituído pela descrição em linguagem natural 
para processos de Markov (Capítulo V), sistemas de f ilas de espera (Capítulo 
VI) e simulação Monte Carlo (Capítulo VII).
1.2.4.1 Processos de Markov
Muitos processos que ocorrem em sistemas reais podem ser estudados 
como se o sistema sob análise passasse, a partir de um estado inicial, por uma 
sequência de estados em que a transição de um determinado estado para o 
seguinte ocorreria segundo uma certa probabilidade. No caso em que essa 
probabilidade de transição depende apenas do estado em que o fenômeno se 
encontra e do estado a seguir, o processo será designado processo de Markov 
de primeira ordem, e uma sequência de estados seguindo esse processo será 
denominada cadeia de Markov.
Um conceito fundamental em processos de Markov é a noção de esta-
do. Propriedades em comum entre indivíduos ou objetos caracterizam o que 
chamamos de estado. Podemos apontar associações entre propriedade em co-
mum e estado: uma população da Região Norte que migra para o Sul; veícu-
los estacionados numa determinada área; máquinas numa grande linha de 
produção etc.
1.2.4.2 Sistemas de f ilas de espera
Um processo de f ilas consiste na chegada de usuários, por exemplo, 
a um estabelecimento de prestação de serviços e a consequente espera ali-
– 27 –
nhados em f ila. O usuário que chega ao estabelecimento ou aguarda aten-
dimento, se todos os atendentes estiverem ocupados, ou é prontamente 
atendido em caso contrário. Após receber o serviço, o usuário deixa o esta-
belecimento.
1.2.4.3 Simulação Monte Carlo
A simulação consiste em reproduzir o funcionamento de um sistema com 
o auxílio de um modelo. Toda simulação requer a construção de um modelo 
com o qual são feitos experimentos. No presente caso, esse modelo é def inido 
por um conjunto de relações lógico-matemáticas descritas geralmente por um 
programa de computador. A partir do modelo, as simulações permitirão testar 
algumas hipóteses sobre o valor de variáveis controladas. As conclusões são 
usadas, então, para melhorar o desempenho do sistema em estudo, proporcio-
nando suporte bem fundamentado para a tomada de decisões.
A simulação computacional surgiu a partir da ideia do Método Monte Carlo, 
durante uma conferência em Los Alamos, nos Estados Unidos, após a Segunda 
Guerra Mundial. Naquela ocasião, após serem apresentadas as experiências 
adquiridas com o ENIAC – Electronic Numerical Integrator Analyser and Computer 
–, Stanislaw Ulam pressentiu a potencialidade da nova máquina para técnicas de 
amostragem estocástica. John Von Neumann, pioneiro da Computação, também 
presente na conferência, foi um dos precursores desse método. Monte Carlo baseia-
se essencialmente na geração intensiva de números aleatórios para a solução por 
simulação computacional de problemas estocásticos (ULAM; RICHTMEYER; 
NEUMANN, 1947; METROPOLIS; ULAM, 1949).
Número aleatório é um número de uma sequência, cuja probabilidade 
de ocorrência é a mesma que a de qualquer outro. Métodos de simulação de 
problemas probabilísticos – não determinísticos – exigem a geração de núme-
ros aleatórios.
1.3 Exercícios propostos
1. (BOLDRINI et al., 1986) A Companhia Sovina de Investimentos possui seis 
milhões de reais, quantia que deverá ser aplicada em cinco tipos de investimen-
tos. Os retornos anuais para cada investimento são: investimento 1 (I
1
), 10%; 
investimento 2 ( 2I ), 8%; investimento 3 ( 3I ), 6%; investimento 4 ( 4I ), 5%; e 
investimento 5 ( 5I ), 9%.
– 28 –
O gerente dessa companhia deseja diversif icar os investimentos para ob-
ter o máximo de rendimento possível. Dado o elemento de risco envolvido, 
o gerente restringiu a quantia a ser aplicada em I
1
 a não mais que a soma das 
quantias aplicadas em 3I , 4I e I5. O total a ser aplicado em 2I e 5I , em con-
junto, deve ser pelo menos igual à quantia aplicada em 3I . O 2I deve estar 
limitado a um nível que não exceda à quantia aplicada em 4I . 
É preciso determinar a alocação ótima de investimento entre as cinco 
categorias, de forma que o retorno ao f inal do ano seja o máximo possível. 
Formular o problema.
2. (BOLDRINI et al., 1986) Uma empresa nacional possui fábricas em Cam-
pinas (SP) e em Belo Horizonte (MG). Essa empresa produz e distribui com-
putadores a comerciantes de várias cidades. Em uma determinada semana, 
a empresa tem em estoque: 30 unidades em Campinas e 40 em Belo Hori-
zonte. Nessa mesma semana, a empresa deve atender os seguintes pedidos: 
20 unidades para São Paulo (SP), 25 unidades para o Rio de Janeiro (RJ) e 25 
unidades para Vitória (ES). O problema consiste em distribuir as máquinas 
aos comerciantes de forma a atender os pedidos a um custo mínimo detrans-
porte. Os custos unitários de transporte são R$ 9,00 de Campinas para São 
Paulo; R$ 16,00, de Campinas para o Rio de Janeiro; R$ 25,00, de Campinas 
para Vitória; R$ 27,50 de Belo Horizonte para São Paulo; R$ 22,50 de Belo 
Horizonte para o Rio de Janeiro e R$ 21,00 de Belo Horizonte para Vitória. 
Formular o problema.
3. (HILLIER; LIEBERMAN, 1995) Uma multinacional decide instalar-se 
em Goiás e deve escolher, entre os municípios de Catalão e Rio Verde, aquele 
em que irá construir a fábrica e o armazém. A construção de fábricas e ar-
mazéns nessas cidades resulta nos índices de retornos indicados na tabela 1.3.
Tabela 1.3: Índices de retorno em unidades monetárias
Catalão Rio Verde
Fábrica 72 40
Armazém 48 32
– 29 –
Os seguintes critérios devem ser respeitados no processo de decisão: 
deverá ser escolhida apenas uma cidade para a construção da fábrica e do 
armazém; em unidades monetárias, o investimento requerido na construção 
de uma fábrica em Catalão é de 48 e em Rio Verde é de 24. O investimento 
requerido na construção de um armazém em Catalão é de 40 e em Rio Verde 
é de 16. A empresa dispõe-se a investir no máximo 80 unidades monetárias 
nas construções. Formular o problema de modo a maximizar o retorno do 
investimento. 
4. Considere o problema da seção 1.2.3 sobre a operação do amplif icador de 
tensão com mínimas perdas. Reescreva o modelo em função das variáveis de 
decisão α e v, que, para este problema, são de fato as variáveis de controle.
5. (BAZARAA; JARVIS; SHERALI, 1997) A qualidade do ar em uma re-
gião depende principalmente das emissões de ef luentes – 2CO , 2SO , 4CH 
etc. – na atmosfera pelas n indústrias existentes. Cada instalação industrial 
pode utilizar m diferentes tipos de combustível. Suponha que a energia total 
necessária à indústria j é jb calorias por dia e que ijc é a emissão de ef luentes 
por tonelada do combustível i pela indústria j . Além disso, suponha que o 
combustível do tipo i custa ic dólares por tonelada e que cada tonelada desse 
tipo de combustível gera ijα calorias na indústria j. O nível de poluição do 
ar na região não pode exceder a b microgramas por metro cúbico. Finalmente, 
seja jγ um parâmetro meteorológico que relaciona emissões da indústria j à 
qualidade do ar da região. Escrever o modelo do problema para determinar a 
mistura de combustíveis a ser utilizada em cada indústria. 
6. (ARENALES; ARMENTANO; MORABITO; YANASSE, 2007) Uma 
nova máquina deve ser instalada em uma fábrica cujo piso tem formato retan-
gular e os cantos opostos têm as seguintes coordenadas (unidade em metros): 
(– 40 – 40)T e (40 20) T. Existem quatro máquinas já instaladas nas posições: 
(0 0) T, (– 40 – 40)T, (– 30 – 10)T e (– 35 0)T. Formule um modelo matemáti-
co para determinar a localização ótima da nova máquina, considerando que 
a distância entra a nova máquina e as demais seja mínima. Use a distância 
– 30 –
“reticulada” (como se o deslocamento fosse pelas ruas de uma cidade), isto é, 
se x
1
 e x
2
 são as coordenadas da nova máquina, então a distância entre a nova 
máquina e outra instalada na posição (y
1
 y
2
)T é dada por: |x
1
 – y
1
| + |x
2
 – y
2
|.
7. Consulte a literatura sobre Pesquisa Operacional e forneça um exemplo de 
problema estocástico.
– 31 –
II
Matrizes e Sistemas Lineares
P raticamente em todos os campos de estudo da Pesquisa Operacio-nal utilizam-se matrizes, seja na representação de sistemas algébri-
cos lineares, em expressões contidas em passos de algoritmos de solução 
de problemas, e em representações algébricas de processos de Markov, 
entre tantas outras. A forma adequada de representar e manipular gran-
de quantidade de dados é a utilização de matrizes. Essencialmente, os 
algoritmos que realizam operações numéricas em computador, espe-
cialmente quando manipulam muitos dados, são implementados para 
operar com matrizes. As matrizes também são úteis quando se deseja 
simbolizar de forma concisa uma sequência sistemática de operações 
matemáticas.
Este capítulo aborda noções elementares de álgebra de matrizes que, 
de alguma maneira, estão associados aos tópicos de Pesquisa Operacional 
que serão abordados neste livro. A título de complementação, sugerimos a 
leitura de Boldrini et al. (1986), Campos (2001) e Ruggiero & Lopes (1996).
2.1 Matrizes
Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Aqui, 
trataremos de matrizes cujos elementos são números. Particularmente, nú-
meros reais. Denotamos uma matriz A que possui m linhas ( 1, 2, ,i m= � ) 
e n colunas ( 1, 2, ,j n= � ) assim:
– 32 –
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
1 2 3
[ ] .
j n
j n
ij
i i i ij in
m m m mj mn
a a a a a
a a a a a
A a
a a a a a
a a a a a
 
 
 
 
= =  
 
 
 
  
� �
� �
� � � � � � �
� �
� � � � � � �
� �
(2.1)
O elemento ija , 1, 2, ,i m= � e 1, 2, ,j n= � , encontra-se situado na 
linha de número i e na coluna de número j.
Duas matrizes A, m n× , e B, p q× , são iguais, A B= , quando o núme-
ro de linhas de A é igual ao número de linhas de B, o número de colunas de 
A é igual ao número de colunas de B e todos os seus elementos correspon-
dentes são iguais.
Serão apresentados agora, alguns tipos de matrizes. Seja dada a matriz A, 
m n× . Diz-se que A é uma matriz quadrada quando m n= . A é uma matriz 
nula quando 0ija = para todo 1, 2, ,i m= � e para todo 1, 2, ,j n= � . Se 
1n = , ou seja, apenas uma coluna existe, chamamos A de matriz coluna. Por 
igual raciocínio, se 1m = , denominamos A matriz linha. 
Um tipo especial de matriz quadrada é a matriz identidade, que possui 
elementos unitários na diagonal e zeros em todas as outras posições, mostrada 
em (2.2) para a ordem n n×
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
I
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
� �
� �
� � � � � � �
� �
� � � � � � �
� �
. (2.2)
Doravante, representaremos a matriz identidade pelo símbolo I. To-
davia, note que em outras bibliograf ias também se utiliza a notação nI para 
uma matriz identidade de ordem n n× .
Uma matriz quadrada A é dita matriz diagonal quando possui elemen-
tos 0ija = para todo i j≠ . Se A for uma matriz quadrada com 0ija = para 
– 33 –
todo i j> , A é chamada de matriz triangular superior. Se A for uma matriz 
quadrada com 0ija = para todo i j< , A recebe o nome de matriz triangular 
inferior. A seguir, estão mostrados exemplos de matrizes triangulares 4 4× , 
sendo A uma matriz triangular superior e B uma matriz triangular inferior.
1
2
1 1 4 1
0 0 1 3
0 0 1
0 0 0 2
A
− − 
 
 =
 
 
  
e
 
1 0 0 0
0 3 0 0
1 2 1 0
3 1 4 3
B
 
 
 =
 −
 
 
. (2.3)
As matrizes coluna e linha são designadas como vetores. Alguns autores 
as chamam também de vetor coluna ou vetor linha. Neste texto, para ho-
mogeneizar a notação e facilitar a compreensão das expressões que utilizam 
matrizes, a designação vetores será atribuída apenas a matrizes do tipo coluna. 
A expressão mostrada a seguir ilustra essa def inição
1
2
i
m
v
v
v
v
v
 
 
 
 
=  
 
 
 
  
�
�
. (2.4)
Em (2.4) tem-se uma matriz coluna, que é denotada pelo vetor v, com 
suas componentes 1 2, , , , ,i mv v v v� � . 
Quanto à quantidade de elementos não nulos que uma matriz apresen-
ta, é usual designar por matriz densa aquela em que a maior parte dos seus 
elementos é diferente de zero. As matrizes que apresentam grande quanti-
dade de elementos nulos são conhecidas como matrizes esparsas. Matrizes 
que aparecem em modelos de problemas de grande porte do mundo real 
normalmente são esparsas. Por exemplo, em certos estudos da área de En-
genharia Elétrica, matrizes de redes elétricas reais apresentam 99,5% de ele-
mentos nulos.
Uma peculiaridade interessante de matrizes é que essas estruturas de 
dados admitem operações de adição, subtração e multiplicação, praticamente 
– 34 –
como se faz com números; todavia, observam-se certas restrições para a reali-
zação dessasoperações.
2.1.1 Operações com matrizes
Dadas duas matrizes A e B, sob certas condições, as operações de adi-
ção, subtração e multiplicação são def inidas.
Para facilitar a compreensão e tornar a exposição mais didática, serão 
tratadas primeiramente as operações de adição e subtração, que exigem que 
as matrizes sejam de mesma ordem. 
Def inição 2.1 (Adição): Sejam ija o elemento genérico da matriz A e ijb o 
elemento genérico da matriz B, ambos os elementos situados na iésima linha 
e na jotaésima coluna de suas respectivas matrizes. Desde que as matrizes A 
e B tenham a mesma ordem, m n× , a matriz obtida da adição, A B+ , é uma 
matriz também de ordem m n× , tal que seus elementos são obtidos da soma 
do elemento ija de A e o elemento ijb de B. Portanto, a adição resulta numa 
matriz designada por C, de modo que: 
( , ) [ ] [ ] [ ] [ ]A B C A B c a b a bij ij ij ij ij� = + ⇒ = + = + .
Para exemplif icar a operação de adição, consideremos as matrizes dadas a seguir:
3 1
1
0
2
5 1
A
− 
 
 =
 
 −  
e
 
8 1
1
1
4
20 5
B
 
 
 = −
 
  
.
A adição A B+ resulta na matriz C, conforme indicamos a seguir:
3 1 8 1 3 8 1 1 11 0
1 1 1 1 3
0 1 0 1 1
2 4 2 4 4
5 1 20 5 5 20 1 5 15 6
A B C+ =
− + − +       
       
       + − = − + = −
       
       − − + +       
.
Observe que, a partir dos cálculos anteriores, a adição foi efetuada elemento 
a elemento, somando-se apenas elementos que ocupam a mesma posição. 
– 35 –
Def inição 2.2 (Subtração): Sejam ija e ijb , respectivamente, os elementos ge-
néricos das matrizes A e B, tal como estabelece a def inição 2.1. Desde que as 
matrizes A e B tenham a mesma ordem, m n× , a matriz obtida da subtra-
ção, A – B, é uma matriz também de ordem m n× , tal que seus elementos são 
obtidos ao subtrair-se o elemento ijb do elemento ija . Portanto, a subtração 
A – B resulta em uma matriz designada por C, de modo que: 
( , ) [ ] [ ] [ ] [ ]A B C A B c a b a bij ij ij ij ij� = − ⇒ = − = − .
Para exemplif icar a operação de subtração, consideremos as matrizes 
dadas no exemplo referente à def inição 2.1. Então, a subtração A B− resulta 
na matriz C indicada a seguir:
3 1 8 1 3 8 1 1 5 2
1 1 1 1 1
0 1 0 ( 1) 1
2 4 2 4 4
5 1 20 5 5 20 1 5 25 4
A B C− =
− − − − − −       
       
       − − = − − − =
       
       − − − − − −       
.
A operação de multiplicação de matrizes já não é tão trivial quanto as 
operações de adição e subtração.
Primeiramente, a condição de existência da multiplicação da matriz 
A pela B, cujas ordens respectivas são m n× e p q× , é que o número de 
colunas da matriz A precisa ser igual ao número de linhas da matriz B, isto 
é, n p= . A matriz produto, neste caso, tem ordem m q× .
A figura 2.1 ilustra duas situações: no primeiro exemplo, a multiplicação 
é possível e, no segundo, a multiplicação não é def inida, ou seja, é impossível. 
Nessa f igura, o símbolo * indica um elemento qualquer da matriz.
 [ ]
* * *
* * * * *
* * *
   
   =   
      
 3 1× 1 2× 3 2→ × 3 3× 2 2× 
possível impossível
Figura 2.1: Exemplos de situações de multiplicação de matrizes
* * *
* *
* * *
* *
* * *
 
  
      
– 36 –
Def inição 2.3 (Multiplicação de duas matrizes): Dadas duas matrizes A, m n× , e 
B, n q× , observada a condição de existência, a multiplicação de A por B resulta 
em uma matriz designada por C, de modo que: 
( , ) [ ]ilA B AB C c= =� ,
em que
1
n
il ik kl
k
c a b
=
= ∑ ,
 
1, 2, ,i m= �
 
e
 
1, 2, ,l q= � .
Em geral, AB BA≠ . De fato, para
0 0
1 1
A
 
=  −  
e
 
1
1
B
 
=  
 
,
0 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 0
AB
× + ×       
= = =       − − × + ×       
,
enquanto que BA não está def inida para a multiplicação de matrizes. Mas,
para 
1 0
0 1
B
 
=  
 
, obtemos AB BA= .
A transposição de matrizes é def inida conforme (2.5),
A A C cT ij� = = [ ], (2.5)
em que
ij jic a= ,
 
sendo
 
TA
 
a notação para a transposta da matriz
 
A.
Dizemos que A é uma matriz simétrica quando A é uma matriz qua-
drada com ij jia a= para todos os is e js. Uma matriz A é antissimétrica 
quando é uma matriz quadrada com elementos ij jia a= − . As matrizes simé-
– 37 –
trica e antissimétrica possuem as propriedades expressas em (2.6) e em (2.7), 
respectivamente,
TA A= (2.6)
e
.TA A= − . (2.7)
Consideremos uma matriz A, m n× , e uma matriz B, n q× . Então,
( ) .T T TAB B A=
Com efeito,
( )TAB =
 
11 12 111 12 1
21 22 221 22 2
1 21 2
T
qn
qn
n n nqm m mn
b b ba a a
b b ba a a
b b ba a a
   
   
    =   
   
     
��
��
� � � �� � � �
��
=
 
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
Tn n n
k k k k k kq
k k k
n n n
k k k k k kq
k k k
n n n
mk k mk k mk kq
k k k
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= = =
= = =
= = =
 
 
 
 
 
  =
 
 
 
 
 
 
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
�
�
� � � �
�
1 1 2 1 1
1 1 1
1 2 2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
n n n
k k k k mk k
k k k
n n n
k k k k mk k
k k k
n n n
k kq k kq mk kq
k k k
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= = =
= = =
= = =
 
 
 
 
 
 = =
 
 
 
 
 
 
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
�
�
� � � �
�
– 38 –
=
 
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
n n n
k k k k k mk
k k k
n n n
k k k k k mk
k k k
n n n
kq k kq k kq mk
k k k
b a b a b a
b a b a b a
b a b a b a
= = =
= = =
= = =
 
 
 
 
 
  =
 
 
 
 
 
 
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
�
�
� � � �
�
= BT AT.
A multiplicação de um número real por matrizes é def inida por:
( , ) [ ] [ ].ij ijA A a aα α α α= =�
A seguir estudaremos o determinante.
2.1.2 Determinante
Def inição 2.4 (Determinante): Seja nC o conjunto de todas as matrizes qua-
dradas de ordem n. Isto é, matrizes n n× , cujos elementos são números reais. 
Def inimos o determinante como a função
det :
det( ),
nC
A A
→ ℜ
�
em que, det( )A pode ser calculado de forma recursiva, da seguinte maneira:
a) 1n = ,
11 11[ ] det( ) .A a A a= ⇒ = 
b) 2n = ,
– 39 –
11 12
11 22 12 21
21 22
det( ) .
a a
A A a a a a
a a
 
= ⇒ = × − × 
  
c) 3n ≥ ,
1
[ ] det( ) ( 1) ,
n
i j
ij ij ij
j
A a A a M+
=
= ⇒ = −∑ para um dado i com 1, 2, , ,i n= �
em que ijM é o determinante da matriz (submatriz) que se obtém de A, reti-
rando a iésima linha e a jotaésima coluna. 
Exemplo 2.1: Considere
1 2 3
2 1 1
2 1 2
A
− 
 = − 
 − − 
.
Calcule det( )A .
Optaremos por f ixar a linha 1 e calcular o determinante de A aplicando 
a def inição 2.4, do seguinte modo:
1 2 3
det( ) det 2 1 1
2 1 2
A
 − 
  = − =  
  − −  
= × − × + − × − × + × −( ) ×+ + +1 1 2 1 3 11 1 11 1 2 12
1 3
13( ) ( ) ( )M M M
1 (1 2 ( 1) ( 1)) 2 (2 2 ( 2) ( 1)) 3 (2 ( 1) ( 2) 1) 5= × × − − × − + × × − − × − + × × − − − × = .
det( ) 5A∴ = .
A partir da def inição de determinante, não é difícil contar as multipli-
cações necessárias para se calcular o determinante de uma matriz de ordem n: 
– 40 –
para uma matriz de ordem 2, são necessárias 2 multiplicações. Para uma ma-
triz de ordem 3, é preciso calcular 3 determinantes de ordem 2 e multiplicar 
esses determinantes pelos elementos da linha escolhida, perfazendo, neste caso, 9 
multiplicações, e assim por diante. A fórmula recursiva p 
n
=n(p
n–1
+1), iniciando 
com p
1
=0, reproduz a quantidade requerida de multiplicações no cálculo do 
determinante de uma matriz de ordem n, quando aplicamos a def inição 2.4. 
Por exemplo: para matrizes de ordem 1, 2, 3, 4 e 5, obtemos p
1
=0, p
2
=2, p
3
=9, 
p
4
=40, p
5
=205, respectivamente. O número de multiplicações é muito elevado 
para matrizes de porte médio e, por esta razão, qualquer algoritmo que envol-
va o cálculo de determinantes não é praticável em implementações computa-
cionais. Por exemplo, o cálculo do determinantede uma matriz 10×10 exigirá 
6.235.300 multiplicações. Para efeito de comparação, a tabela 2.1 apresenta 
valores de p
n
 e de n!. 
Tabela 2.1: Comparação entre valores do número de multiplicações requeridas no 
cálculo do determinante e o fatorial da ordem da matriz
Ordem da matriz, n np !n
1 0 1
2 2 2
3 9 6
4 40 24
5 205 120
6 1.236 720
7 8.659 5.040
8 69.280 40.320
9 623.529 362.880
10 6.235.300 3.628.800
Podemos utilizar conhecimentos de Matemática Discreta e mostrar que 
1
1
!
( )!
n
n
k
n
p
n k
−
=
=
−∑ , comprovando, assim, que !np n≥ .
A seguir, enunciaremos algumas propriedades de determinante.
Proposição 2.1: Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. 
a) Se todos os elementos da iésima linha (ou coluna) de A forem nulos, então 
det( ) 0A = .
– 41 –
b) det( ) det( )TA A= .
c) det( ) det( ) det( )AB A B= × .
A última propriedade nos proporcionará, adiante, um método ef iciente 
para o cálculo do determinante de uma matriz, que se baseia na sua decom-
posição em duas matrizes triangulares. Uma def inição importante, que nos 
auxiliará na compreensão de outras def inições que têm conexão com determi-
nante, é a de submatriz principal líder.
Def inição 2.5 (Principais líderes): Seja A uma matriz quadrada de ordem n 
com elementos reais. Para 1, 2, ,k n= � , a kaésima submatriz principal líder 
de A é a matriz kA , obtida por meio da interseção das primeiras k linhas e 
colunas de A.
Para evitar ambiguidade na obtenção das submatrizes principais líderes, 
é necessário supor que a permutação de linhas e colunas da matriz A não seja 
admitida. 
A f igura 2.2 ilustra como são obtidas as submatrizes principais líderes de 
uma matriz de ordem 4 4× .
 
2A 3A 4A
Figura 2.2: Submatrizes principais líderes de uma matriz A de ordem 4 em hachura
Consequentemente, a enésima principal líder, nA , é a própria matriz A.
Os determinantes das submatrizes principais líderes são conhecidos 
como menores principais líderes.
Exemplo 2.2: Considere a matriz
4 1 2
1 4 1
3 3 2
A
− 
 =  
  
.
A
1
– 42 –
Determine as submatrizes principais líderes de A e os respectivos deter-
minantes.
Suprimimos a 2a linha e a 2a coluna, e também a 3a linha e a 3a coluna da 
matriz A, e obtemos a principal líder, A
1
:
A
1 
= [4],
o seu determinante é
1det( ) 4A = .
 
Suprimimos a 3a linha e a 3a coluna da matriz A, e obtemos a principal líder, 2A :
2
4 1
1 4
A
− 
=  
 
,
o seu determinante é 
2 2det( ) 4 4 ( 1) 1 det( ) 17A A= × − − × ⇒ = .
A principal líder 3A é a própria matriz A:
3
4 1 2
1 4 1
3 3 2
A A
− 
 = =  
  
.
O determinante de 3A pode ser obtido do seguinte modo:
3det( ) 4 4 2 3 1 2 1 ( 1) 3 3 4 2 ( 1) 1 2 4 3 1 1A = × × + × × + × − × − × × − − × × − × × = .
A def inição 2.5 conduz a outras def inições que são muito úteis em Pro-
gramação Matemática Não Linear, que pode ser considerado um ramo da 
Pesquisa Operacional. Uma dessas def inições é dada a seguir.
– 43 –
Def inição 2.6 (Matriz def inida positiva): Seja A uma matriz de números 
reais, quadrada, n n× , e simétrica. A matriz A é def inida positiva quando 
para todo nx ∈ℜ , com x não nulo, 0Tx Ax > .
Em particular, uma matriz simétrica real 2 2× , 
11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
,
é def inida positiva se,
11 12 1 2 2
1 2 11 1 22 2 1 2
21 22 2
[ ] 2 0T
a a x
x Ax x x a x a x x x
a a x
β   = = + + >   
   
, sendo a
12 
= a
21 
=b.
Exemplo 2.3: Mostre que a matriz 
2 1
1 1
A
 
=  
 
 é def inida positiva.
Suponhamos um vetor não nulo, x = [x
1
 x
2
]T, isto é, se uma das compo-
nentes for igual a zero, a outra terá de ser diferente de zero. Então,
1 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2 1
[ ] 2 2
1 1
T xx Ax x x x x x x
x
   
= = + +   
   
.
Completando os quadrados, obtemos:
2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 22 2 ( ) 0
Tx Ax x x x x x x x= + + = + + > .
A última expressão mostra claramente que, para quaisquer 1x e 2x reais 
diferentes de zero, o produto matricial Tx Ax será positivo. Isto implica que a 
matriz
 
2 1
1 1
A
 
=  
  
é def inida positiva.
Um fato que relaciona uma matriz def inida positiva e suas submatrizes 
principais líderes é expresso na proposição 2.2.
Proposição 2.2: Uma matriz def inida positiva possui todos os determinantes 
dos principais líderes positivos.
– 44 –
No estudo de funções quadráticas de ordem n, a def inição de matriz 
def inida positiva encontra muitas aplicações interessantes. A seguir são dados 
dois exemplos para ilustrar essas aplicações.
Exemplo 2.4: Represente graf icamente a função quadrática def inida como a 
seguir,
2:f ℜ → ℜ ,
 
1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 1
( , ) [ ] 2 2 .
1 1
x
f x x x x x x x x
x
   
= = + +   
   
A figura 2.3 ilustra o gráfico da função deste exemplo.
Figura 2.3: Gráf ico da função do exemplo 2.4
O próximo exemplo refere-se a uma função quadrática cuja matriz não 
é def inida positiva. 
Exemplo 2.5: Represente graf icamente a função quadrática def inida como a 
seguir:
– 45 –
f : ℜ → ℜ2 2 , [ ] 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2
2
1 1
( , ) 4 2 .
1 4
x
f x x x x x x x x
x
−   
= = − − +   −   
Escrevemos a função completando os quadrados, o que comprova que 
ela será sempre negativa, independentemente dos valores que 1x e 2x assu-
mirem, para x 2 não nulo,
2 2 2 231
1 2 1 2 2 1 12 44 2 (2 ) 0x x x x x x x− − + = − − − < .
Figura 2.4: Gráf ico da função do exemplo 2.5
No exemplo em que a matriz é def inida positiva, a concavidade da fun-
ção está voltada para cima, conforme podemos ver na figura 2.3, enquanto 
que, no exemplo correspondente ao caso em que a matriz não é def inida po-
sitiva – na verdade, a matriz é def inida negativa –, a concavidade da função 
está voltada para baixo (figura 2.4).
Do fato de a matriz ser def inida positiva há importantes implicações 
para estudos em diversas aplicações da Pesquisa Operacional. Tais implica-
ções, porém, não serão tratadas neste livro.
– 46 –
A seguir, trataremos da obtenção da inversa de uma matriz.
2.1.3 A inversa de uma matriz
Def inição 2.7 (Matriz inversa): Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
A é invertível quando existe uma única matriz 1A− , denominada matriz inver-
sa de A, tal que
1 1 .AA A A I− −= =
Exemplo 2.6: Considere
1 0
.
0 2
A
 
=  
 
Calcule 1A− , se existir.
11 12
21 22
1 0 1 0
0 2 0 1
b b
AB I
b b
     
= ⇒ = ⇒     
     
11 12
21 22
1 0
2 2 0 1
b b
b b
   
⇒ =   
   
.
Por igualdade de matrizes, obtemos
11 12 211, 0, 0b b b= = = e 
1
222b = .
Logo,
1
2
1 0 1 0 1 0
0 0 2 0 1
BA I
     
= = =     
     
.
Então,
1
1
2
1 0
0
A B−
 
= =  
 
é a única matriz inversa de A.
– 47 –
A matriz [0]A = não é invertível, uma vez que para 1 10 1AA A I− −= ≠ = , 
portanto, não existe A–1.
Consideremos as matrizes A , n n× , e B , n n× , e A–1 e 1B− as matrizes 
inversas de A e B, respectivamente. Então,
1 1 1( )AB B A− − −= .
Com efeito, usando a associatividade de matrizes, o fato de B ser inver-
tível e de AI A= ,
1 1 1 1 1( )( ) ( ) ( )AB B A A BB A A I A I− − − − −= = =
e, de maneira análoga, 
1 1 1 1 1 1( )( ) ( ) ( )B A AB B A A B B I B B B I− − − − − −= = = = .
Além disso,
1 1( )A A− − = .
Com efeito,
1 1A A I A A− −= = .
Isto é, a matriz inversa da matriz 1A− é a matriz A.
2.1.4 Inversa de uma matriz e determinante
Na def inição de determinante surgiu o número mostrado em (2.8),
( 1)i jij ijM
+∆ = − , (2.8)
em que ij∆ é denominado cofator do elemento ija .
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos 
cofatores, denotada por A, a matriz obtida de A, em que cada elemento é o 
cofator de seu respectivo em A, isto é:
– 48 –
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
A
∆ ∆ ∆ 
 ∆ ∆ ∆ =
 
 ∆ ∆ ∆ 
�
�
� � � �
�
.
Def inição 2.8 (Matriz adjunta): Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 
Def inimos a matriz adjunta de A, denotada por adj A, como
Tadj A A= .
Exemplo 2.7:Considere a matriz
1 1
2 1
A
 
=  
 
.
Calcule a matriz adjunta de A.
Temos que
1 1
11 11( 1) 1 det(1) 1,M
+∆ = − = × =
1 2
12 12( 1) ( 1) det(2) 2,M
+∆ = − = − × = −
2 1
21 21( 1) ( 1) det(1) 1,M
+∆ = − = − × = −
e
2 2
22 22( 1) 1 det(1) 1.M
+∆ = − = × =
Então, a matriz dos cofatores é
1 2
1 1
A
− 
=  − 
.
Portanto,
1 1
2 1
Tadj A A
− 
= =  − 
.
– 49 –
O próximo resultado relaciona determinante e matriz adjunta.
Teorema 2.1: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então,
det( )A adj A A I= .
Agora, relacionamos determinante e matriz inversa, através do teorema 
clássico a seguir.
Teorema 2.2: Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, det( ) 0A ≠ .
Os teoremas 2.1 e 2.2 propiciam um método de obtenção da inversa de 
uma matriz, a saber:
1
det( )
adj A
A
A
− = . (2.9)
A expressão (2.9) para cálculo da inversa de uma matriz pode ser 
utilizada para solucionar um sistema linear algébrico de poucas equações e 
incógnitas. Isto será tratado na seção a seguir. Nas seções posteriores, serão 
apresentados métodos computacionalmente mais ef icientes para resolver sis-
temas lineares de equações algébricas.
2.2 Sistemas lineares algébricos de pequeno porte
Para sistemas de pequeno porte, o cálculo do determinante é reali-
zável com um número razoável de operações aritméticas. Portanto, tais 
sistemas lineares algébricos podem ser resolvidos utilizando-se a regra de 
Cramer.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n invertível. Considere-se nb R∈ . 
O sistema linear
Ax b= (2.10)
pode ser expresso como
1x A b−= , (2.11)
– 50 –
uma vez que A é invertível e, consequentemente, 
det( ) det( )
Tadj A b A b
x
A A
= = , (2.12)
usando-se (2.9) e a def inição de matriz adjunta. A expressão (2.12) para a re-
solução do sistema de equações (2.10) é reconhecida como a regra de Cramer.
Desenvolvendo (2.12),
11 21 1 1
12 22 2 2
1 2
1
det( )
n
n
n n nn n
b
b
x
A
b
∆ ∆ ∆   
   ∆ ∆ ∆   =
   
   ∆ ∆ ∆   
�
�
� � � � �
�
,
para 1, 2, ,j n= � ,
1 1
1 1
( ) ( ( 1) )
det( ) det( )
n n
i j
j ij i i ij
i i
x b b M
A A
+
= =
= ∆ = −∑ ∑ .
De acordo com a def inição de determinante, concluímos que, para se 
obter a incógnita x
j
, basta calcular o determinante da matriz A após a troca da 
jotaésima coluna dessa matriz pelo vetor termo independente, b, e dividir o 
resultado encontrado pelo det( )A . De modo idêntico, devemos proceder para 
todas as demais incógnitas.
As igualdades a seguir ilustram o mecanismo de solução de um sistema 
de três incógnitas pela aplicação da regra de Cramer, a saber:
1 12 13 11 1 13 11 12 1
2 22 23 21 2 23 21 22 2
3 32 33 31 3 33 31 32 3
1 2 3
det det det
, , .
det( ) det( ) det( )
b a a a b a a a b
b a a a b a a a b
b a a a b a a a b
x x x
A A A
          
          
          
                    = = =
Tendo em vista a complexidade dos cálculos de determinantes e, por 
conseguinte, dos métodos de obtenção da inversa de uma matriz e de solução 
– 51 –
de sistemas por Cramer, estudados nas seções anteriores, nos sentimos compe-
lidos a estudar formas mais ef icientes de executar essas operações.
Os métodos computacionalmente mais ef icientes que os estudados até 
agora baseiam-se em operações elementares sobre matrizes, que serão abor-
dados a seguir.
2.3 Operações elementares sobre matrizes
Podemos realizar as seguintes operações, chamadas elementares, sobre 
as linhas ou as colunas de uma matriz.
1. ( )i jl l↔ Permutação das iésima e jotaésima linhas. Por exemplo:
2 3
1 0 1 0
4 1 ~ 3 4 .
3 4 4 1
l l
   
   − ↔ −   
   − −   
2. ( )i il lα← Multiplicação da iésima linha por um número não nulo α . Por 
exemplo:
2 2
1 0 1 0
4 1 3 ~ 12 3 .
3 4 3 4
l l
   
   − ← − × −   
   − −   
3. ( )i i jl l lα← + Substituir a iésima linha pela soma da iésima linha com a 
jotaésima linha multiplicada por um número não nulo α. Por exemplo:
2 2 1
1 0 1 0
4 1 3 ~ 7 1 .
3 4 3 4
l l l
   
   − ← + × −   
   − −   
Resumindo, as operações elementares realizadas sobre uma matriz são: (a) 
a permutação de duas linhas; (b) a multiplicação de uma linha por uma constan-
te diferente de zero; e (c) a adição de uma linha a um múltiplo de outra linha.
– 52 –
Ao utilizarmos as operações elementares, podemos fazê-lo com um pro-
pósito previamente def inido e, neste caso, haverá regras a serem cumpridas. 
Por exemplo, o objetivo pode ser verif icar se dois, dentre três vetores dados, 
são linearmente independentes. Neste caso, as operações serão usadas para 
fazer emergir vetores canônicos, conforme mostra o exemplo 2.8.
Exemplo 2.8: Verif ique, através de operações elementares, se existem dois ve-
tores linearmente independentes dentre os três vetores dados:
2
4
6
u
 
 =  
  
, 
1
2
3
v
 
 =  
  
 e 
1
5
4
w
 
 =  
  
 .
Disporemos os três vetores na forma de uma matriz e efetuaremos ope-
rações elementares sobre ela, assim:
2 1 1
4 2 5
6 3 4
 
 
 
  
.
Inicialmente, o nosso propósito será obter, com operações elementares, 
os vetores [1 0 0]T e [0 1 0]T nos lugares das duas primeiras colunas da 
matriz. Se tivermos sucesso, os vetores u e v são linearmente independentes; 
caso contrário, são dependentes. 
1 1 1
2 21 122 1 1 1
4 2 5 ~ 4 2 5
6 3 4 6 3 4
l l←   
   
   
      
,
1 1 1 1
2 2 2 2
2 2 1
3 3 1
1 1
4 2 5 4 ~ 0 0 3
6 3 4 6 0 0 1
l l l
l l l
   
   ← − ×   
   ← − ×   
.
Podemos ver que a hipótese de os vetores u e v serem linearmente in-
dependentes não se sustentou, porque não foi possível obter vetores canônicos 
nos lugares de suas colunas. O próximo passo é testar, de modo análogo, se 
dois outros vetores – u e w – são linearmente independentes, buscando obter 
– 53 –
vetores canônicos nos lugares de suas colunas. Aproveitando os cálculos já 
realizados, temos:
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2 23
1 1
0 0 3 ~ 0 0 1
0 0 1 0 0 1
l l
   
   ←   
      
,
11 1 1
2 2 21 1 22
3 3 2
1 1 0
0 0 1 ~ 0 0 1
0 0 1 0 0 0
l l l
l l l
← −   
   
   
   ← −   
.
A observação das colunas 1 e 3, que correspondem aos vetores u e w, 
comprova que tais vetores são linearmente independentes. De fato, na relação 
entre u e w mostrada a seguir
2 1
4 5
6 4
α
   
   =   
      
,
não existe um número real α que atenda à igualdade.
A lição que f ica do exemplo 2.8 é que as operações elementares foram 
empregadas com um propósito bem def inido – obter vetores canônicos – o 
que conduziu à realização de operações sobre as linhas da matriz em torno de 
elementos pivôs: o número 2 na primeira parte do exemplo e o número 3 na 
segunda, foram os pivôs usados.
A seguir estabeleceremos a def inição de equivalência de matrizes.
Def inição 2.9 (Matriz linha equivalente): Sejam A e B matrizes m n× . B é 
linha equivalente a A quando B é obtida de A através de um número f inito de 
operações elementares sobre as linhas de A.
Exemplo 2.9: Considere
1 0
4 1
3 4
A
 
 = − 
 − 
.
– 54 –
Encontre uma matriz B linha equivalente a A.
1 2
2 2
3 3 2
1 0 4 1 4 1 4 1
4 1 ~ 1 0 ~ 1 0 ~ 1 0
3 4 3 4 2 1 4 1 4
l l
A l l B
l l l
↔ − − −       
       = − ← − − =       
       − − ← + × − −       
.
Neste caso, podemos dizer que:
1 0
4 1
3 4
 
 − 
 − 
 ~ 
4 1
1 0
1 4
− 
 − 
 − 
.
Informações importantes sobre matrizes podem ser extraídas por meio 
da realização de operações elementares sobre suas linhas. Por exemplo, quan-
do precisamos verif icar se há equações redundantes entre as equações lineares 
algébricas que compõem um sistema. Um outro problema é saber se uma 
dada matriz quadrada possui ou não inversa. Nesses casos e em muitas outras 
situações, a forma escalonada de umamatriz A, m n× , será muito útil.
2.3.1 A forma escalonada
Def inição 2.10 (Matriz na forma escalonada): Matriz escalonada é aquela em 
que o primeiro elemento não nulo de cada uma de suas linhas está à esquerda 
do primeiro elemento não nulo de cada uma de suas linhas subsequentes. Em 
decorrência disso, as linhas nulas, se houver, estão abaixo das demais.
As matrizes
1 3 7 2
0 2 5 1
0 0 0 3
 
 
 
   
e
 
8 3 0 2
0 2 5 1
 
 
 
são matrizes escalonadas, enquanto a matriz
8 3 0 2
0 0 0 0
1 2 5 1
 
 
 
   
– 55 –
não é escalonada, porque o primeiro elemento não nulo da primeira linha não 
está à esquerda do primeiro elemento não nulo da terceira linha e, também, 
porque a segunda linha é nula enquanto a terceira não o é.
Exemplo 2.10: Obtenha a forma escalonada da matriz
1 2 3 0 1
4 1 1 4 2
3 1 4 4 3
A
− 
 = − 
  
.
Iniciaremos anulando os elementos da primeira coluna que estão abaixo 
do elemento da posição (1,1), usando 2 2 14l l l← + ×
2 2 1
1 2 3 0 1 1 2 3 0 1
4 1 1 4 2 4 ~ 0 7 13 4 6
3 1 4 4 3 3 1 4 4 3
l l l
− −   
   − ← + ×   
      
,
e 3 3 13l l l← + × , 
3 3 1
1 2 3 0 1
0 7 13 4 6
3 1 4 4 3 3l l l
− 
 
 
  ← + × 
 ~ 
1 2 3 0 1
0 7 13 4 6
0 7 13 4 6
− 
 
 
  
.
Em seguida, anulamos os elementos da segunda coluna que estão abaixo 
do elemento da posição (2,2), usando 3 3 21l l l← − ×
1 2 3 0 1
0 7 13 4 6
0 0 0 0 0
− 
 
 
  
.
A matriz
1 2 3 0 1
0 7 13 4 6
0 0 0 0 0
− 
 
 
  
é, portanto, a forma escalonada da matriz A.
– 56 –
Muitas vezes, é preciso utilizar a operação de permutação de linhas da 
matriz para obtermos a forma escalonada. Vejamos o exemplo a seguir.
Exemplo 2.11: Obtenha a forma escalonada da matriz
1 4 2
2 8 4
3 12 10
A
 
 = − − − 
  
.
Multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos o resultado à segun-
da linha ( 2 2 12l l l← + × ), obtendo:
1 4 2
0 0 0
3 12 10
 
 
 
  
.
Permutamos as linhas 2 e 3 ( 2 3l l↔ ):
1 4 2
3 12 10
0 0 0
 
 
 
  
.
Em seguida, realizamos a operação elementar 2 2 13l l l← − × para f inal-
mente obtermos a forma escalonada
1 4 2
0 0 4
0 0 0
 
 
 
  
.
Com a forma escalonada, conforme def inida e ilustrada através de 
exemplos, estamos a um passo da def inição de forma escalonada reduzida. 
A partir da forma escalonada de uma matriz, obtém-se a forma escalonada 
reduzida do seguinte modo: tornamos os primeiros elementos não nulos de 
cada linha iguais à unidade e anulamos os elementos que estiverem acima 
desses na mesma coluna. 
Vamos ao exemplo.
– 57 –
Exemplo 2.12: Obtenha a forma escalonada reduzida da matriz
1 2 3 0 1
4 1 1 4 2
3 1 4 4 3
A
− 
 = − 
  
.
Partindo da forma escalonada obtida no exemplo 2.10, temos:
1 1
1 13 64
7 7 72 27
1 2 3 0 1 1 1 2 3 0 1
0 7 13 4 6 ~ 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
l l
l l
− ← − × − − −   
   ← ×   
      
.
Anulando-se os elementos acima do elemento unitário da posição (2,2), 
temos:
5 8 5
7 7 71 1 2
13 6 13 64 4
7 7 7 7 7 7
1 2 3 0 1 2 1 0
0 1 ~ 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
l l l− − − ← + ×   
   
   
      
.
A matriz
5 8 5
7 7 7
13 64
7 7 7
1 0
0 1
0 0 0 0 0
 
 
 
  
é, portanto, a forma escalonada reduzida da matriz A.
Na próxima seção, será fornecida uma aplicação da forma escalonada 
que acabamos de estudar.
2.3.2 Posto de uma matriz
Em diversas situações nos deparamos com a necessidade de analisar se 
uma matriz quadrada possui inversa, ou se um sistema linear algébrico de 
equações possui solução única ou uma inf inidade de soluções. Essas questões 
são resolvidas com base na def inição de posto de uma matriz.
Para estabelecer as def inições nesta seção, serão supostos conhecimentos 
prévios em Álgebra Linear, em especial os conceitos de espaço vetorial, de-
– 58 –
pendência linear e subespaços de uma matriz. Além disso, considere a trans-
formação linear def inida pela matriz m nA ×∈ℜ . Dois subespaços importantes 
do espaço vetorial nℜ estão associados com essa transformação: o espaço nulo 
de A, def inido por
 
( ) { ; 0}nN A x Ax= ∈ℜ =
e seu complemento ortogonal, o espaço linha de A, def inido por
( ) { ; , }T n T mR A x x A z z= ∈ℜ = ∈ℜ .
Segue-se que qualquer vetor nv ∈ℜ pode ser unicamente decomposto – 
soma direta – como p pv v v= + � , em que ( )pv N A∈ e ( )
T
pv R A∈� .
Def inição 2.11 (Posto de uma matriz): A dimensão r do espaço linha de A é 
chamada de posto de A.
Para se caracterizar precisamente o espaço linha de uma matriz A, m n× , 
é necessário encontrar um conjunto linearmente independente (LI) de vetores 
linhas dessa matriz. O número desses vetores LI é a dimensão do espaço linha 
e, portanto, o posto de A. O procedimento para se obter a dimensão do espaço 
linha consiste em determinar a forma escalonada da matriz. Regra geral: o 
posto de A é o número de linhas não nulas da matriz na forma escalonada.
Façamos o exemplo a seguir.
Exemplo 2.13: Obtenha o posto da matriz
2 3 1
4 2 2
6 1 1
A
− 
 = − 
  
.
Efetuamos sobre A as operações elementares sobre as linhas de A, como 
indicado a seguir:
2 2 1
2 3 1
4 2 2 2
6 1 1
l l l
− 
 − ← − × 
  
 
3 3 1
2 3 1
~ 0 8 4 ~
6 1 1 3l l l
− 
 − 
  ← − × 
 
– 59 –
3 3 2
2 3 1
~ 0 8 4 ~
0 8 4 1l l l
− 
 − 
 − ← − ×  
2 3 1
0 8 4
0 0 0
− 
 − 
  
.
Concluído o escalonamento, verif icamos que as linhas [2 3 1]− e 
[0 8 4]− são linearmente independentes. Portanto, o posto de A é 2. De 
fato, observando as linhas da matriz A é possível ver que a terceira linha é a 
soma das duas primeiras. 
Uma conclusão interessante é que a matriz A do exemplo 2.13 não possui 
inversa, porque seu posto (2) é inferior ao seu número de linhas (3). Deno-
tamos por ‘posto def iciente’ uma matriz cujo posto é inferior ao número de 
linhas (ou colunas).
Uma aplicação prática da forma escalonada reduzida de uma matriz 
ocorre quando desejamos determinar o espaço coluna dessa matriz. Tal apli-
cação também está associada à determinação de posto. 
Def inição 2.12 (Espaço coluna de uma matriz): Seja A uma matriz m × n. 
Consideremos a transformação linear T, def inida por 
: ( ) ( )n mT V Vℜ → ℜ ,
tal que
( )T x Ax= .
O espaço coluna da matriz A é o subespaço R(A) de ( )mV ℜ gerado pelos veto-
res colunas de A, que identif icamos com o conjunto 
Imagem { ; ( )}nT Ax x V= ∈ ℜ .
Em outras palavras, o conjunto Imagem T é o subespaço de ( )mV ℜ ge-
rado pelos vetores colunas de A. Diante disso, a forma escalonada reduzida 
de uma matriz nos informa os vetores da base do espaço coluna da mesma 
matriz. 
Façamos um exemplo.
– 60 –
Exemplo 2.14: Determine os vetores da base do espaço coluna da matriz
1 2 1 0 1
1 1 0 2 2
2 0 3 2 4
A
− 
 = − − 
 − 
.
O nosso objetivo é eliminar um a um os vetores linearmente depen-
dentes, até que os vetores restantes formem um conjunto linearmente inde-
pendente. A maneira sistemática de se fazer isto é obter a forma escalonada 
reduzida da matriz A. Depois de aplicar operações elementares sobre as linhas 
da matriz A, com vistas à obtenção da forma escalonada reduzida, chegamos 
à seguinte matriz linha equivalente:
11
5
1
5
14
5
1 2 1 0 1 1 0 0 2
1 1 0 2 2 ~ 0 1 0 0
2 0 3 2 4 0 0 1 2
− −   
   − − −   
   − −   
.
Observamos que os vetores canônicos emergiram nas três primeiras co-
lunas da matriz. Isto signif ica que os vetores 
1
1
2
 
 − 
  
, 
2
1
0
− 
 
 
  
 e 
1
0
3
 
 
 
  
são os vetores geradores do espaço coluna da matriz A. Outra observação im-
portante é que são três os vetores. Esse número é o posto da matriz A.
Nas seções posteriores serão discutidas outras aplicações para o posto de 
uma matriz.
2.3.3 Matrizes elementares
Def inição 2.13 (Matriz elementar): Matriz elementar é aquela obtida a partir 
da matrizidentidade, por meio da aplicação de uma operação elementar com 
linhas.
 
A seguir, enunciaremos um resultado sobre matrizes elementares. Aqui, 
uma operação elementar com linhas, inversa a uma operação elementar 
– 61 –
com linhas efetuada na matriz identidade, signif ica que: para i j≠ , α ∈ℜ, 
0α ≠ , i jl l↔ temos i jl l↔ ; i il lα← temos 1i il lα← ; i i jl l lα← + temos 
i i jl l lα← − .
Teorema 2.3: Uma matriz elementar kE é invertível e sua inversa é a matriz 
elementar 1kE
− , que corresponde à operação elementar com linhas, inversa da 
operação efetuada para kE .
Vamos iniciar a discussão do teorema 2.3 pela apresentação de um 
exemplo. 
Exemplo 2.15: Considere a matriz identidade de ordem 3. Calcule cada ma-
triz elementar e sua matriz inversa para as operações elementares com linhas 
1 2l l↔ , 3 39l l← e 1 1 2l l l← + , respectivamente.
Temos, pela def inição de matriz elementar, que
1 21 0 0
0 1 0
0 0 1
l l
I
↔ 
 =  
   
~
 
1
0 1 0
1 0 0
0 0 1
E
 
  = 
  
,
3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1 9
I
l l
 
 =  
  ←  
~
 
2
1 0 0
0 1 0
0 0 9
E
 
  = 
  
e
1 1 21 0 0
0 1 0
0 0 1
l l l
I
← + 
 =  
   
~
 
3
1 1 0
0 1 0
0 0 1
E
 
  = 
  
.
Assim, pelo teorema 2.3, 1,E 2E e 3E possuem matrizes inversas calcu-
ladas da seguinte maneira:
– 62 –
1 21 0 0
0 1 0
0 0 1
l l
I
↔ 
 =  
   
~
 
1
1
0 1 0
1 0 0
0 0 1
E−
 
  = 
  
,
1
3 39
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
l l
 
 =  
  ←  
~
 
1
2
1
9
1 0 0
0 1 0
0 0
E−
 
  = 
  
e
1 1 21 0 0
0 1 0
0 0 1
l l l
I
← − 
 =  
   
~
 
1
3
1 1 0
0 1 0
0 0 1
E−
− 
  = 
  
.
Agora, estamos prontos para desenvolver um método para a determina-
ção da inversa de uma matriz, chamado método de Gauss-Jordan.
2.3.4 O método de Gauss-Jordan
Este método af irma que se A for uma matriz invertível – satisfaz o te-
orema 2.2 – e se uma sequência de operações elementares sobre suas linhas 
reduzir A à matriz identidade I, então aquela mesma sequência de operações 
sobre as linhas, quando aplicadas a I, produzirá a matriz inversa 1A− .
Exemplo 2.16: Considere a matriz
1 2 3
0 1 0
1 0 2
A
 
 =  
  
.
Determine a matriz inversa de A.
Empregando o método de Gauss-Jordan, temos a seguinte sequência de 
cálculos:
– 63 –
3 3 1
1 2 3 1 0 0
[ , ] 0 1 0 0 1 0
1 0 2 0 0 1
A I
l l l
 
 =  
  ← −  
~
~
 
1 1 21 2 3 1 0 0 2
0 1 0 0 1 0
0 2 1 1 0 1
l l l← − 
 
 
 − − −  
~
~
 3 3 2
1 0 3 1 2 0
0 1 0 0 1 0
0 2 1 1 0 1 2l l l
− 
 
 
 − − − ← +  
~
~
 3 3
1 0 3 1 2 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 2 1 l l
− 
 
 
 − − ← −  
~
~
 
1 1 31 0 3 1 2 0 3
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 2 1
l l l− ← − 
 
 
 − −  
~
~
 
1
1 0 0 2 4 3
0 1 0 0 1 0 [ , ]
0 0 1 1 2 1
I A−
− 
  = 
 − − 
.
 
Portanto,
1
2 4 3
0 1 0
1 2 1
A−
− 
 =  
 − − 
.
No exemplo 2.16, podemos observar que, ao realizarmos a operação ele-
mentar sobre linhas 3 3 1l l l← − , obtemos a matriz elementar 1E e a sua matriz 
inversa 11E
− , a saber:
– 64 –
1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
E
 
 =  
 −  
e
 
1
1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
E−
 
 =  
  
.
Da mesma forma, para 1 1 22l l l← − ,
2
1 2 0
0 1 0
0 0 1
E
− 
 =  
   
e
 
1
2
1 2 0
0 1 0
0 0 1
E−
 
 =  
  
,
para 3 3 22l l l← + ,
3
1 0 0
0 1 0
0 2 1
E
 
 =  
   
e
 
1
3
1 0 0
0 1 0
0 2 1
E−
 
 =  
 − 
,
para 3 3l l← − ,
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E
 
 =  
 −  
e
 
1
4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
E−
 
 =  
 − 
,
e para 1 1 33l l l← − ,
5
1 0 3
0 1 0
0 0 1
E
− 
 =  
   
e
 
1
5
1 0 3
0 1 0
0 0 1
E−
 
 =  
  
.
Assim, considerando o método de Gauss-Jordan, a partir da matriz A, 
realizamos a sequência de operações:
1E A , 2 1E E A , 3 2 1E E E A , 4 3 2 1E E E E A e 5 4 3 2 1E E E E E A I= ,
e, a partir da matriz identidade,
1E I , 2 1E E I , 3 2 1E E E I , 4 3 2 1E E E E I e 
1
5 4 3 2 1E E E E E I A
−= .
– 65 –
Estamos prontos para estudar métodos ef icientes de solução de sistemas 
lineares algébricos.
2.4 Sistemas lineares algébricos
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um 
conjunto de equações do tipo indicado em (2.13)
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
�
�
� � � � � � � � �
�
, (2.13)
em que, para todo 1, 2, ,i m= � e para todo 1, 2, ,j n= � , ija e ib são nú-
meros reais dados.
Uma solução do sistema (2.13) é uma ênupla ordenada da forma 
* * *
1 2[ ]
T
nx x x� que satisfaça simultaneamente as m equações.
Na notação matricial, def inindo
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 
�
�
� � � �
�
 
e
 
1
2
m
b
b
b
b
 
 
 =
 
 
 
�
,
devemos encontrar, se existir, um x em nℜ , tal que 
Ax b= . (2.14)
Classif icamos as soluções para o sistema linear (2.13) ou, equivalente-
mente, (2.14), assim:
a) Compatível determinado, isto é, quando admite uma única solução;
b) Compatível indeterminado, isto é, quando admite uma inf inidade de so-
luções; e
c) Incompatível, isto é, quando não admite solução.
– 66 –
Por exemplo, o sistema de equações lineares
1 2
1 2
2 5
3 6
x x
x x
+ =
 − =
é compatível determinado, porque possui uma única solução; ou seja, 
3
1
x
 
=  − 
. 
Ainda, o sistema de equação linear
{ 1 25 3 15x x+ =
é compatível indeterminado, porque possui uma inf inidade de soluções, ou seja, 
{ 2x ∈ℜ ; 12
15 5
3
x
x
−=
 
e 1x qualquer}.
Finalmente, o sistema de equações lineares
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 7
2 5
2 3 4
x x x
x x x
x x x
+ + =
 + − =
− + + =
é incompatível, porque o conjunto solução é vazio. Esse fato pode ser com-
provado através de operações elementares sobre a matriz aumentada, [ , ]A b , 
conforme mostra o exemplo dado a seguir.
Exemplo 2.17: Considere o sistema 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 7
2 5
2 3 4
x x x
x x x
x x x
+ + =
 + − =
− + + =
.
Mostre que esse sistema é incompatível. 
A matriz aumentada do sistema é
1 3 2 7
[ , ] 2 1 1 5
1 2 3 4
A b
 
 = − 
 − 
.
– 67 –
Efetuamos sobre [ , ]A b as seguintes operações elementares:
 3 3 1
1 3 2 7
[ , ] 2 1 1 5
1 2 3 4
A b
l l l
 
 = − 
 − ← + 
~
~
 
2 2 1
1 3 2 7
2 1 1 5 2
0 5 5 11
l l l
 
 − ← − × 
   
~
~
 3 3 2
1 3 2 7
0 5 5 9
0 5 5 11 l l l
 
 − − − 
  ← +  
~
 
~
 
1 3 2 7
0 5 5 9
0 0 0 2
 
 − − − 
  
.
Obtemos assim um sistema linha equivalente e, então, podemos rees-
crever o sistema de equações original a partir da forma escalonada da matriz 
aumentada [ , ]A b ,
1 2 3
2 3
3
3 2 7
5 5 9
0 2
x x x
x x
x
+ + =
 − − = −
 =
.
Do sistema linha equivalente, podemos concluir que não existe valor 
para 3x que satisfaça a última equação. Portanto, o sistema de equações é in-
compatível, ou seja, seu conjunto solução é vazio.
Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes, quan-
do possuem o mesmo conjunto solução.
– 68 –
2.4.1 Sistemas homogêneos
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas chama-
se homogêneo quando é da forma
0Ax = .
Observemos que 0 nx = ∈ℜ é sempre uma solução do sistema homogê-
neo, denominada solução trivial.
Um sistema homogêneo pode apresentar-se em uma das seguintes situa-
ções: (a) o sistema 0Ax = possui uma única solução, a solução trivial; ou (b) tal 
sistema possui uma inf inidade de soluções, inclusive a solução trivial.
Antes de passarmos aos exemplos, considere a proposição enunciada a 
seguir.
Proposição 2.3: O espaço solução de um sistema homogêneo 0Ax = tem di-
mensão n r− , em que n é o número de incógnitas e r é o posto da matriz A 
de coef icientes. Como consequência, um sistemahomogêneo 0Ax = com n 
incógnitas tem solução única 0 nx = ∈ℜ se, e somente se, o posto de A for 
igual a n.
Dessa proposição, observamos que, se r = n, a dimensão do espaço 
nulo de A, que é o conjunto solução do sistema homogêneo 0Ax = , é igual 
a 0n n− = , quer dizer, o caso indicado em (a). O caso indicado em (b) ocorre 
quando r n< .
Exemplo 2.18: Verif ique se o seguinte sistema homogêneo possui solução úni-
ca 30x = ∈ℜ .
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
2 0
0
x x x
x x x
x x x
+ + =
− + + =
 − − =
.
Vamos calcular o posto da matriz de coef icientes, obtendo a forma esca-
lonada, a saber:
– 69 –
2 2 1
3 3 1 3 3 2
1 2 1 1 2 1
1 1 2 ~ 0 3 3
1 1 1 0 3 2
l l l
l l l l l l
   
   − ← +   
   − − ← − − − ← +    ~ 
1 2 1
0 3 3
0 0 1
 
 
 
  
.
Concluímos que o posto da matriz de coef icientes é 3, portanto, igual 
ao número de linhas da matriz. Isto signif ica que a única solução do sistema 
é 1 2 3 0x x x= = = . Podemos concluir também que as colunas (e as linhas) da 
matriz de coef icientes são linearmente independentes.
Exemplo 2.19: Verif ique se o seguinte sistema homogêneo possui solução única.
1 2 3
1 2
1 2 3
2 3 0
2 0
3 0
x x x
x x
x x x
+ − =
 + =
 − + =
.
Primeiramente, vamos calcular o posto da matriz de coef icientes para 
verif icar se a única solução do sistema é a trivial ou não. Assim,
2 2 1
3 3 1 3 3 2
1 2 3 1 2 3
2 1 0 2 ~ 0 3 6
1 1 3 0 3 6
l l l
l l l l l l
− −   
   ← − × −   
   − ← − − ← −   
~ 
1 2 3
0 3 6
0 0 0
− 
 − 
  
.
A forma escalonada mostra que o posto da matriz de coef icientes é 2 
(matriz ‘posto def iciente’), portanto, o sistema homogêneo possui uma inf ini-
dade de soluções.
No restante deste capítulo estaremos interessados na solução do sistema 
(2.13), ou (2.14), para m n= , ou seja, a matriz de coef icientes é quadrada.
Dada uma matriz quadrada com coef icientes reais, A, n n× , e dado um 
vetor b em nℜ , queremos encontrar, se existir, x em nℜ , tal que Ax b= . Se A 
for invertível, então o sistema (2.13), ou (2.14), para m n= , possui uma única 
solução. Todavia, é desaconselhável calcular explicitamente a matriz inversa 
1A− e, em seguida, efetuar o produto 1A b− , uma vez que o número de opera-
ções envolvidas é grande, principalmente para sistemas de grande porte, ou 
seja, sistemas que envolvem grande número de equações e incógnitas.
Inicialmente, estudaremos alguns problemas com soluções, digamos, 
que podem ser facilmente obtidas.
– 70 –
2.4.2 Sistemas triangulares
Seja o sistema linear Ax b= em que A, n n× , é triangular inferior, com 
elementos da diagonal diferentes de zero, e b em nℜ . Escrevendo as equa-
ções desse sistema, temos:
11 1 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2n n nn n n
a x b
a x a x b
a x a x a x b
=
+ =
+ + + =
� � � � � � � � �
� .
(2.15)
Supondo todos os coef icientes ija não nulos, tais que i j= , a solução do 
sistema triangular inferior (2.15) é calculada pelas substituições sucessivas, a saber:
1
1
11
b
x
a
= ,
 
2 21 1
2
22
b a x
x
a
−= ,
 
� ,
 
1 1 2 2 1 1n n n nn n
n
nn
b a x a x a x
x
a
− −− − − −=
�
.
Regra geral: iniciando-se com 11
11
bx a= , obtém-se a incógnita ix pelo soma-
tório indicado em (2.16),
1
1
( )
i
i ij j
j
i
ii
b a x
x
a
−
=
−
=
∑
,
 
para
 
2, ,i n= � .
(2.16)
O seguinte algoritmo resolve o sistema triangular inferior (2.15).
Algoritmo 2.1: Substituições sucessivas ou diretas
Dados: uma matriz triangular inferior com elementos da diagonal diferen-
tes de zero, A, n n× , um vetor b em nℜ e n.
 1 1 11x b a←
 Para 2, ,i n= �
 0soma ←
 Para 1, , 1j i= −�
 ij j
soma soma a x← +
 
( )i i iix b soma a← −
– 71 –
Exemplo 2.20: Calcule a solução do sistema triangular inferior
1
2
3
1 0 0 1
2 3 0 0
4 3 6 1
x
x
x
     
     =     
     −     
usando o algoritmo de substituições sucessivas.
Usando o algoritmo 2.1, temos:
1 1 1 1x = =
2i = , 0soma = , 1j = , 0 2 1 2soma = + × = , 2 (0 2) 3 2 3x = − = −
3i = , 0soma = , 1j = , 0 4 1 4soma = + × = ; 
 2j = , 4 3 ( 2 3) 2soma = + × − = , 3 ( 1 2) 6 1 2x = − − = −
\ * [1 2 3 1 2]Tx = − − .
Agora, seja o sistema linear Ax b= em que A, n n× , triangular supe-
rior, com elementos da diagonal diferentes de zero, e b em nℜ . Escrevendo as 
equações desse sistema, temos:
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b
+ + + =
+ + =
=
�
�
� � � � �
.
(2.17)
Supondo todos os coeficientes a
ij
 não nulos, tais que i = j, a solução do 
sistema triangular superior (2.17) é calculada pelas substituições retroativas, 
a saber:
n
n
nn
b
x
a
= , � , 2 23 3 22
22
n nb a x a xx
a
− − −
=
�
, 1 12 2 11
11
n nb a x a xx
a
− − −
=
�
.
Regra geral: iniciando-se com nn
nn
bx a= , obtém-se a incógnita ix pelo soma-
tório indicado em (2.18),
1
( )
n
i ij j
j i
i
ii
b a x
x
a
= +
−
=
∑
, para 1, ,1i n= − � . (2.18)
– 72 –
Algoritmo 2.2: Substituições retroativas ou reversas
Dados: uma matriz triangular superior com elementos da diagonal dife-
rentes de zero, A, n n× , um vetor b em 
nℜ e n.
 n n nnx b a←
 Para 1, ,1i n= − �
 0soma ←
 Para 1, ,j i n= + �
 ij j
soma soma a x← +
 ( )i i iix b soma a← −
Exemplo 2.21: Calcule a solução do sistema triangular superior
1
2
3
4
1 0 0 1 1
0 2 3 4 2
0 0 1 0 4
0 0 0 2 0
x
x
x
x
     
     
     =
     −
     −     
usando o algoritmo de substituições retroativas.
Usando o algoritmo 2.2, temos:
4 0 ( 2) 0x = − =
3i = , 0soma = , 4j = , 0 0 (0) 0soma = + × = , 3 ( 4 0) 1 4x = − − = −
2i = , 0soma = , 3j = , 0 3 ( 4) 12soma = + × − = − ; 
 4j = , 12 4 (0) 12soma = − + × = − , 2 (2 ( 12)) 2 7x = − − =
1i = , 0soma = , 2j = , 0 0 (7) 0soma = + × = ; 
 3j = , 0 0 ( 4) 0soma = + × − = ; 
 4j = , 0 1 (0) 0soma = + × = , 1 (1 0) 1 1x = − =
\ * [1 7 4 0]Tx = − .
Finalmente, trataremos o problema (2.13), ou (2.14), para m n= , com a 
hipótese de o determinante da matriz A ser diferente de zero e que a matriz 
de coef icientes não está expressa na forma triangular. 
– 73 –
2.4.3 O método de eliminação de Gauss
O método de eliminação de Gauss consiste em transformar um siste-
ma de equações lineares, Ax b= , através de operações elementares, em um 
sistema triangular superior equivalente. A partir daí, usa-se o algoritmo de 
substituições retroativas.
A obtenção do sistema equivalente é feita operando-se sobre as linhas 
da matriz aumentada [ , ]A b objetivando-se sempre anular os elementos de 
uma dada coluna que estão imediatamente abaixo do elemento da diagonal, 
designado como pivô. Esse procedimento é repetido para as primeiras 1n − 
colunas do sistema.
Usaremos kija para denotar o coef iciente ija da matriz A no f inal da etapa k 
e kib para denotar a iésima coordenada do vetor b no f inal da etapa k. A etapa k 
é a fase em que se elimina a variável kx nas equações 1, 2, ,k k n+ + � . Supomos 
que det( ) 0A ≠ . Assim, podemos reescrever o sistema de equações lineares de for-
ma que o elemento 011 11a a= seja diferente de zero:
0 0 0 0
11 12 1 1
0 0 0 0
0 0 21 22 2 2
0 0 0 0
1 2
[ , ] [ , ]
n
n
n n nn n
a a a b
a a a b
A b A b
a a a b
 
 
 = =  
 
  
�
�
� � � � �
�
.
Na etapa 1, eliminamos a variável 1x das equações 2, ,i n= � , sub-
traindo da equação i a primeira equação multiplicada por 
0
1
01
11
i
i
am
a
= , para
2, ,i n= � , em que 011a é denominado pivô da etapa 1. Ao f inal dessa etapa, 
obteremos a matriz aumentada equivalente
1 1 1 1
11 12 1 1
1 1 1
1 1 22 2 2
1 1 1
2
0
[ , ]
0
n
n
n nn n
a a a b
a a b
A b
a a b
 
 
 =  
 
  
�
�
� � � � �
�
,
em que
– 74 –
1
ija =
0 0
1 1ij i ja m a− , para 2, ,i n= � e 1, 2, ,j n= � ,
1
ib =
0 0
1 1iib m b− , para 2, ,i n= � ,
1
1 ja =
0
1 ja , para 1, 2, ,j n= � ,
1
1b =
0
1b .
Na etapa 2, dado que det( ) 0A ≠ , sempre teremos o elemento 122 0a ≠ . 
Então, podemos reescrever a matriz 1A , sem alterar a posição da linha 1, de 
modo que o pivô da etapa 2, 122a , seja diferente de zero. Agora, eliminare-
mos a variável 2x das equações 3, ,i n= � , subtraindo da equação i a segunda 
equação multiplicada por 
1
2
12
22
i
i
am
a
= para 3, ,i n= � . Ao f inal dessa etapa, 
obteremos a matriz aumentada equivalente
2 2 2 2 2
11 12 13 1 1
2 2 2 2
22 23 2 2
2 2 2 2 2
33 3 3
2 2 2
3
0
[ , ] 0 0
0 0
n
n
n
n nn n
a a a a b
a a a b
A b a a b
a a b
 
 
 
 =  
 
 
  
…
…
…
� � � � � �
…
,
em que
2
ija =
1 1
2 2ij i ja m a− , para 3, ,i n= � e 2, ,j n= � ,
2
ib =
1 1
2 2i ib m b− , para 3, ,i n= � ,
2
ija =
1
ija , para 1, 2i = e 1, 2, ,j n= � ,
2
ib =
1
ib , para 1, 2i = .
Continuamos com este processo até a etapa 1n − , em cujo f inal obtere-
mos a matriz aumentada equivalente
1 1 1 1 1 1
11 12 13 1 1 1 1
1 1 1 1 1
22 23 2 1 2 2
1 1 1 1 1 1
33 3 1 3 3
1 1
0
[ , ] 0 0
0 0 0 0
n n n n n n
n n
n n n n n
n n
n n n n n n
n n
n n
nn n
a a a a a b
a a a a b
A b a a a b
a b
− − − − − −
−
− − − − −
−
− − − − − −
−
− −
 
 
 
 =  
 
 
  
�
�
�
� � � � � � �
�
.
– 75 –
Agora, o sistema linear equivalente é triangular superior. O sistema está 
pronto para a aplicação do algoritmo 2.2.
Os procedimentos descritos nesta seção são expressos na forma de um 
algoritmo, como a seguir.
Algoritmo 2.3: Eliminação de Gauss
Dados: uma matriz quadrada A, n n× , com det( ) 0A ≠ , um vetor b em nℜ e n.
Para 1, , 1k n= −�
 Para 1, ,i k n= + �
 
ik
kk
a
m a←
 
0ika ←
 Para 1, ,j k n= + �
 ij ij kj
a a ma← −
 i i k
b b mb← −
Em seguida, ilustraremos o algoritmo 2.3 resolvendo um exemplo nu-
mérico.
Exemplo 2.22: Reduza o seguinte sistema a um sistema triangular superior
1 2 3
1 2 3
1 2
2 3 0
4 5 6 1
2
x x x
x x x
x x
+ + =
 + + =
 − = .
Em notação matricial, temos
1 2 3 0
[ , ] 4 5 6 1
1 1 0 2
A b
 
 =  
 − 
.
Usando o algoritmo de eliminação de Gauss,
– 76 –
21
21
11
41, 2, 4, 01
ak i m aa= = = = = = ,
 22 22 12 222, , 5 4 (2) 3j a a ma a= ← − = − × = − ,
 23 23 13 233, , 6 4 (3) 6j a a ma a= ← − = − × = − ,
 2 2 1 2, 1 4 (0) 1b b mb b← − = − × = .
 
31
31
11
13, 1, 01
ai m aa= = = = = ,
 32 32 12 322, , 1 1 (2) 3j a a ma a= ← − = − − × = − ,
 33 33 13 333, , 0 1 (3) 3j a a ma a= ← − = − × = − ,
 3 3 1 3, 2 1 (0) 2b b mb b← − = − × = .
Neste ponto, obtemos
1 2 3 0
[ , ]~ 0 3 6 1
0 3 3 2
A b
 
 − − 
 − − 
.
Continuando o algoritmo 2.3,
32
32
22
32, 3, 1, 03
ak i m aa
−= = = = = =− ,
 33 33 23 333, , 3 1 ( 6) 3j a a ma a= ← − = − − × − = ,
 3 3 2 3, 2 1 (1) 1b b mb b← − = − × = .
Neste ponto, obtemos
1 2 3 0
[ , ]~ 0 3 6 1
0 0 3 1
A b
 
 − − 
  
.
Portanto, o sistema equivalente triangular superior é como a seguir
1 2 3
2 3
3
2 3 0
3 6 1
3 1
x x x
x x
x
+ + =
 − − =
 = .
– 77 –
Exemplo 2.23: Calcule a solução do sistema triangular superior obtido pela 
aplicação da eliminação de Gauss
1 2 3
2 3
3
2 3 0
3 6 1
3 1
x x x
x x
x
+ + =
 − − =
 = .
Pelo algoritmo de substituições retroativas, obtemos
3 1 3x = ,
1
32 (1 6 ( )) 3 1x = + × − = − ,
1
31 (0 3 ( ) 2 ( 1)) 1 1x = − × − × − = ,
\ * [1 1 1 3]Tx = − .
A próxima seção tratará do método usualmente mais indicado para re-
solver sistemas lineares de equações algébricas, que é a decomposição LU, 
também conhecida como fatoração LU.
2.4.4 Decomposição LU de matrizes quadradas
A seção 2.4.2, intitulada “Sistemas triangulares”, mostrou que um siste-
ma de equações em que a matriz de coef icientes se apresenta como uma ma-
triz triangular inferior ou como uma matriz triangular superior é facilmente 
solucionável por substituições diretas ou reversas. A seção 2.4.3 mostrou que 
é possível usar a eliminação de Gauss e transformar um sistema Ax b= para 
a forma triangular.
O método da decomposição LU associa as duas ideias: primeiro, obtém-
se a forma triangular superior da matriz A e, simultaneamente, armazenam-
se os multiplicadores usados nessa operação. Em seguida, alcança-se a solução 
do sistema, resolvendo-se dois sistemas triangulares através das substituições 
direta e reversa.
Inicialmente, trataremos da decomposição da matriz de coef icientes, 
sem contudo efetuar operações sobre o vetor independente, b, ao contrário do 
que foi feito na seção 2.4.3. O primeiro caso é quando não há troca de linhas 
durante a fatoração.
– 78 –
Exemplo 2.24: Obtenha uma decomposição LU da matriz
4 1 1 2
2 2 1 0
1 1 2 1
1 1 1 1
A
− 
 
 =
 −
 − 
.
O procedimento é o mesmo utilizado no processo de eliminação de 
Gauss. Efetuaremos operações elementares para anular elementos das colu-
nas da matriz, desde a coluna 1 até a coluna 3, sempre anulando as posições 
abaixo do elemento da diagonal correspondente. 
Anularemos a seguir os elementos que estão abaixo do elemento da po-
sição (1,1):
2 3 3
2 22 2 14
4 1 1 2 4 1 1 2
2 2 1 0 ( ) 0 1
 ~ 
1 1 2 1 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
l l l
− −   
   ← + − × −   
   − −
   − −   
,
multiplicador utilizado = 2 4− ,
3 3 3 3
2 2 2 2
1 5 9 1
4 4 23 3 14
4 1 1 2 4 1 1 2
0 1 0 1
~
1 1 2 1 ( ) 0
1 1 1 1 1 1 1 1
l l l
− −   
   − −   
   − ← + − × −
   − −   
,
multiplicador utilizado = 14− ,
3 3 3 3
2 2 2 2
5 9 5 91 1
4 4 2 4 4 2
1 5 5 1
4 4 24 4 14
4 1 1 2 4 1 1 2
0 1 0 1
~
0 0
( )1 1 1 1 0l l l
− −   
   − −   
   − −
   ← + − ×− −   
,
multiplicador utilizado 14= − .
A matriz triangular inferior, designada por L, no caso específ ico do mé-
todo LU, possui a diagonal principal constituída de elementos unitários, e os 
– 79 –
elementos que se situam abaixo da diagonal são o negativo dos multiplicadores 
utilizados nas operações elementares durante o processo de eliminação.
Dessa forma, após anular elementos na primeira coluna, a matriz pas-
sa a exibir a seguinte estrutura:
2
4
1
4
1
4
1 0 0 0
1 0 0
? 1 0
? ? 1
L
 
 
 =
 
 
 
.
Passaremos, em seguida, a anular os elementos da coluna 2 que estão 
abaixo da posição (2,2):
4 1 1 2
0 1
0
0
3
2
3
2
5
4
9
4
1
2
5
4
5
4
1
2
3 3
5
4
3
2
−
−
−
−












← +





×l l l22
3
2
3
2
7
2
1
3
5
4
5
4
1
2
4 1 1 2
0 1
0 0
0
~
−
−
−
−












,
multiplicador utilizado =
 
5
4
3
2
5
6
= .
4 1 1 2
0 1
0 0
0
3
2
3
2
7
2
1
3
5
4
5
4
1
2 4 4
5
4
3
2
2
−
−
−
−











 ← +





×l l l
~~
4 1 1 2
0 1
0 0
0 0
3
2
3
2
7
2
1
3
5
2
1
3
−
−
−











− ,
 
multiplicador utilizado =
 
5
4
3
2
5
6
= .
Depois de anular elementos na segunda coluna, a matriz L apresenta a 
seguinte estrutura:
2
4
51
4 6
51
4 6
1 0 0 0
1 0 0
1 0
? 1
L
 
 
 =
 −
 − 
.
– 80 –
Anularemos o elemento da coluna 3 que está abaixo da posição (3,3):
4 1 1 2
0 1
0 0
0 0
3
2
3
2
7
2
1
3
5
2
1
3 4 4
5
2
7
2
3
−
−
−











 ← + −





×− l l l
~~
4 1 1 2
0 1
0 0
0 0 0
3
2
3
2
7
2
1
3
2
21
−
−
−











− ,
multiplicador utilizado =
 
− = −
5
2
7
2
5
7
.
A matriz L exibe f inalmente a sua estrutura completa,
2
4
51
4 6
5 51
4 6 7
1 0 0 0
1 0 0
1 0
1
L
 
 
 =
 −
 − 
,
e a matriz U é a própria matriz triangular superior que resultou das opera-
ções de eliminação de Gauss,
3 3
2 2
7 1
2 3
2
21
4 1 1 2
0 1
0 0
0 0 0
U
−
− 
 − =
 −
 
 
.
O produto dasmatrizes L e U resulta na matriz original A, conforme 
está indicado a seguir,
LU A= ,
3 32
4 2 2
51 7 1
4 6 2 3
5 51 2
4 6 7 21
1 0 0 0 4 1 1 2 4 1 1 2
1 0 0 0 1 2 2 1 0
1 0 0 0 1 1 2 1
1 0 0 0 1 1 1 1−
− −     
     −     =
     − − −
     − −     
.
– 81 –
Dessa forma, está concluído o exemplo 2.24, no qual obtivemos uma 
decomposição da matriz A.
Os fundamentos matemáticos da decomposição LU provêm do concei-
to de matriz elementar (vide a def inição 2.13 e o teorema 2.3). No exemplo 
precedente, os passos para se obter a decomposição de A podem ser expressos 
usando-se matrizes elementares, do seguinte modo:
3 32
4 2 2
1
1 0 0 0 4 1 1 2 4 1 1 2
1 0 0 2 2 1 0 0 1
 
0 0 1 0 1 1 2 1 1 1 2 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
E A
− −     
     − −     = =
     − −
     − −     
,
3 32
4 2 2
2 1 5 91 1
4 4 4 2
1 0 0 0 1 0 0 0 4 1 1 2 4 1 1 2
0 1 0 0 1 0 0 2 2 1 0 0 1
 
0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
E E A
− −       
       − −       = =
       − − −
       − −       
2
4
3 2 1 1
4
1
4
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 4 1 1 2
0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 2 1 0
 
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 2 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1
E E E A
−       
       −       = =
       − −
       − −       
3 3
2 2
5 9 1
4 4 2
5 5 1
4 4 2
4 1 1 2
0 1
0
0
− 
 − =
 −
 − 
.
Assim, as multiplicações das seguintes matrizes elementares
4 5
6
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 0
0 0 0 1
E
 
 
 =
 
 
 
, 5
5
6
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1
E
 
 
 =
 
 
 
 e 6
5
7
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1
E
 
 
 =
 
 − 
,
– 82 –
sobre 3 2 1E E E A, na sequência 6 5 4 3 2 1E E E E E E A, conduzem à matriz triangu-
lar superior U, 
3 3
2 2
6 5 4 3 2 1 7 1
2 3
2
21
4 1 1 2
0 1
0 0
0 0 0
E E E E E E A U
−
− 
 − = =
 −
 
 
.
Ora, a inversa da matriz elementar do tipo usado na decomposição LU 
consiste apenas em trocar o sinal do elemento não nulo que está fora da diago-
nal, e a inversa da matriz elementar é também uma matriz elementar. 
Outro aspecto interessante da matriz elementar é que o produto de duas 
matrizes elementares que descrevem operações sobre o triângulo inferior 
goza da propriedade de superposição, observada a ordem das operações. Para 
exemplif icar a superposição, considere o produto 1 13 4E E
− − ,
1 1
3 4 5 5
6 6
1 1
4 4
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
E E− −
     
     
     = =
     − −
     
     
,
que equivale a
1 1
3 4 5 5
6 6
1 1
4 4
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
E E I− −
       
       
       + − = + − =
       − −
       
       
.
Consequentemente,
1 1
5 6
5 5
6 7
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1
E E− −
−
 
 
 =
 
 
 
, 
2
41 1
1 2 1
4
1 0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0 1
E E− −
 
 
 =
 
 
 
.
– 83 –
Daí, concluímos que o produto 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6E E E E E E
− − − − − − resultará na ma-
triz triangular inferior, L , como está mostrado a seguir,
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6A E E E E E E U
− − − − − −= ,
A LU= .
Precisamos de um procedimento sistemático para efetuar a decompo-
sição LU de uma dada matriz A. Suporemos inicialmente que não haverá 
necessidade de troca de linhas. O algoritmo 2.4 obtém a decomposição LU de 
A, n n× .
Algoritmo 2.4: Decomposição LU de A
 Dados: uma matriz quadrada A, n n× , e n.
 L I←
 Para 1, , 1k n= −�
 Para 1, ,i k n= + �
 
ik
kk
a
m a←
 0ika ←
 ikl m←
 Para 1, ,j k n= + �
 ij ij kja a ma← −
Ao término dos passos deste algoritmo, os elementos da matriz U esta-
rão armazenados nas posições originalmente reservadas à matriz A, portanto, 
perderemos os elementos de A.
Com a suposição de que não haverá troca de linhas, a decomposição LU 
pode falhar. O exemplo 2.25 ilustra essa situação. 
Exemplo 2.25: Obtenha a decomposição LU da matriz, sem efetuar troca de 
linhas:
2 1 1
2 1 2
4 1 1
A
 
 = − − 
  
.
– 84 –
Ao anularmos o elemento 2− da posição (2,1), verif icamos o surgimento 
do zero na posição diagonal (2,2),
2
2 2 12
2 1 1 2 1 1
2 1 2 ( ) ~ 0 0 3
4 1 1 4 1 1
l l l
   
   − − ← + ×   
      
.
A presença deste elemento zero impossibilita efetuar a operação de anu-
lar a posição (3,2), ocupada pelo elemento 1. Nessas condições, dizemos que a 
decomposição LU falhou.
Proposição 2.4: Seja A uma matriz, n n× . A existência das matrizes trian-
gulares L e U, na hipótese de não podermos efetuar troca de linhas (ou 
seja, a primeira operação elementar descrita na seção 2.3), tais que A = 
LU, é assegurada sempre que as submatrizes principais líderes de A forem 
invertíveis.
Entretanto, a operação elementar troca de linhas resolve esse impasse. 
No exemplo 2.26, efetuaremos a decomposição LU da matriz do exem-
plo precedente e, simultaneamente, construiremos uma matriz denominada 
matriz de permutação, simbolizada por P.
Exemplo 2.26: Obtenha a decomposição LU da matriz, com troca de linhas, 
se necessário:
2 1 2
2 1 2
4 1 1
A
− 
 = − − 
  
.
Ao verif icarmos o surgimento de zero na posição diagonal (2,2), decor-
rente da anulação do elemento –2, da posição (2,1), reiniciaremos o processo, 
trocando as linhas 1 e 3. Essa operação estará representada pela matriz ele-
mentar 1E :
1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
E
 
 =  
  
.
Teremos
– 85 –
1
4 1 1
2 1 2
2 1 2
E A
 
 = − − 
 − 
.
Anulamos, em seguida, o elemento 2− da posição (2,1):
2 51
2 22 2 14
4 1 1 4 1 1
2 1 2 ( ) ~ 0
2 1 2 2 1 2
l l l
   
   − − ← + × −   
   − −   
.
Anulamos o elemento 2, que está na posição (3,1):
 
 
4 1 1
0
2 1 2
4 1 1
0
0
1
2
5
2
3 3
2
4 1
1
2
5
2
1
2
5
2
−
−









 ← + − ×
−
−




l l l( )
~





,
e partimos, f inalmente, para anular o elemento 12 que se encontra na po-
sição (3,2):
5 51 1
2 2 2 2
51
2 2 3 3 2
4 1 1 4 1 1
0 ~ 0
0 ( 1) 0 0 0l l l
   
   − −   
   − ← + − ×   (1) × l2
5 51 1
2 2 2 2
51
2 2 3 3 2
4 1 1 4 1 1
0 ~ 0
0 ( 1) 0 0 0l l l
   
   − −   
   − ← + − ×   
.
A matriz triangular superior, U, é:
51
2 2
4 1 1
0
0 0 0
U
 
 = − 
  
,
e a matriz L, é
1
2
1
2
1 0 0
1 0
1 1
L −
 
 =  
 − 
,
com a ressalva de que uma troca de linhas ocorreu e está representada na 
matriz P, que é o produto de matrizes elementares que ref lete as trocas de 
linhas ocorridas:
– 86 –
0 0 1
0 1 0
1 0 0
P
 
 =  
  
.
Para concluirmos o exemplo, precisamos entender o papel da matriz P 
na decomposição LU. Se f izermos o produto LU não iremos obter a matriz 
A , isto é:
51 1
2 2 2
1
2
1 0 0 4 1 1 4 1 1
1 0 0 2 1 2
1 1 0 0 0 2 1 2
LU −
     
     = − = − −     
     − −     
.
Todavia, o produto obtido é a matriz A pré-multiplicada por P. Então, 
como regra geral, a decomposição LU, quando trocas de linhas estão repre-
sentadas por uma matriz P, é tal que
PA LU= ,
e
A PLU= .
O exemplo 2.26, solucionado anteriormente, além de mostrar como 
proceder quando há troca de linhas, também ilustra o caso em que a ma-
triz A não é invertível e a decomposição LU é realizada normalmente. 
Isto pode ser constatado no fato de o determinante da matriz U ser zero, 
que é igual ao determinante da matriz A, conforme estabelece a proposi-
ção 2.1, item a.
A solução de um sistema de equações lineares algébricas com n equa-
ções e n incógnitas, Ax b= , compatível determinado, é realizada sem dif icul-
dades se estivermos de posse da decomposiçãoLU da matriz de coef icientes. 
Suponhamos que na decomposição não houve troca de linhas. Então, a solu-
ção é obtida com os seguintes passos, uma vez que agora
( ) ( )Ax LU x L Ux b= = = :
(1) decomposição: A = LU;
– 87 –
(2) substituição direta: Ly=b,
1 0 0 0
1 0 0
1 0
1
21
11 12
1 2 1
�
�
� � � � �
�
�
l
l l
l l l
n n
n n nn
− −
−
















1 1
21 2 2
1,1 1,2 1 1
1 2 , 1
1 0 0 0
1 0 0
1 0
1
n n n n
n n n n n n
y b
l y b
l l y b
l l l y b
− − − −
−
     
     
     
     =
     
     
         
�
�
� � � � � � �
�
�
;
(3) substituição reversa: Ux=y,
u u u u
u u u
u u
u
n n
n n
n n n n
nn
11 12 1 1 1
22 2 1 2
1 1 1
0
0 0
0 0 0
�
�
� � � � �
�
�
−
−
− − −
















11 12 1, 1 1, 1 1
22 2, 1 2, 2 2
1, 1 1, 1 1
0
0 0
0 0 0
n n
n n
n n n n n n
nn n n
u u u u x y
u u u x y
u u x y
u x y
−
−
− − − − −
     
     
     
     =
     
     
          
�
�
� � � � � � �
�
�
.
 
As etapas que solucionam os sistemas triangulares são idênticas aos mé-
todos descritos na seção 2.4.2, e a solução de Ly b= é feita aplicando o algorit-
mo 2.1. A solução de Ux y= é feita aplicando-se o algoritmo 2.2. 
A seguir, adaptamos os algoritmos mencionados à notação utilizada 
nesta seção, para apresentar o algoritmo completo de solução de um sistema 
de equações Ax b= , compatível determinado, para o caso em que a troca de 
linhas não é necessária.
Algoritmo 2.5: Solução de Ax b= através da decomposição LU
 Dados: uma matriz quadrada A, n n× , um vetor de termos independentes 
b e n.
 L I←
 Para 1, , 1k n= −�
 Para 1, ,i k n= + �
 
ik
kk
a
m a←
 0ika ←
– 88 –
 ikl m←
 Para 1, ,j k n= + �
 ij ij kja a ma← −
 1 1y b←
 Para 2, ,i n= �
 0soma ←
 Para 1, , 1j i= −�
 ij jsoma soma l y← +
 i iy b soma← −
 n n nnx y a←
 Para 1, ,1i n= − �
 0soma ←
 Para 1, ,j i n= + �
 ij jsoma soma a x← +
 ( )i i iix y soma a← −
O leitor pode, em princípio, não ver vantagem na solução de sistemas 
com a decomposição LU, se comparada com a utilização do método de eli-
minação de Gauss. Entretanto, uma característica muito importante da de-
composição LU é notada quando desejamos resolver sistemas com a mesma 
matriz de coef icientes e diferentes vetores de termos independentes. Com as 
mesmas matrizes triangulares, L e U, obtidas da decomposição da matriz A, 
procederemos às etapas de substituição direta e reversa para cada vetor de 
termos independentes. Enquanto que, na eliminação de Gauss, o algoritmo 
opera sobre a matriz aumentada, [ , ]A b , de modo que, para cada vetor de 
termos independentes, todo o processo de eliminação terá de ser realizado 
desde o início.
Um aspecto extremamente importante quando tratamos da solução de 
sistemas algébricos de equações lineares é o número de operações requeridas 
para se chegar à solução do sistema. Vimos anteriormente que a solução via 
determinante – regra de Cramer – é extremamente onerosa em relação ao 
número requerido de operações. O método de Gauss-Jordan, e a subsequente 
multiplicação da inversa de A pelo vetor b, é visto aqui como um método de 
solução de sistemas algébricos de equações lineares. 
– 89 –
Primeiramente, analisaremos o número de operações necessárias para a 
decomposição LU de uma matriz A, n n× .
Aqui, assumimos um f lop como a unidade de operação de ponto 
f lutuan te que corresponde a um produto acompanhado de uma adição envol-
vendo números reais (ou seja, a b c d= + × ). Então, supondo a primeira linha 
da matriz inalterada, na obtenção dos zeros na primeira coluna, realizamos 
( 1)n n − f lops e, na segunda coluna, ( 1)( 2)n n− − f lops e, na terceira coluna, 
( 2)( 3)n n− − f lops e, assim por diante, resultando no seguinte somatório,
1
1
( 1)( )
n
k
n k n k
−
=
− + −∑ ,
cujo resultado é 
2 3( 1)
3 3
n n n n− −= . 
A obtenção da inversa da matriz A através do método de Gauss-Jordan 
requer a seguinte quantidade de f lops para anular as posições abaixo da dia-
gonal principal:
1
1
(2 1)( )
n
k
n k n k
−
=
− + −∑ , e 
1
1
( )( )
n
k
n k n k
−
=
+ −∑
f lops para anular as posições acima da diagonal principal, além de aproximada-
mente ( 1)n n+ f lops para tornar unitários os elementos da diagonal. Efetuando 
as somas indicadas, chegamos ao número aproximado de f lops requeridos na 
obtenção da inversa da matriz A através do método de Gauss-Jordan,
1
1
(2 1)( )
n
k
n k n k
−
=
− + −∑ +
1
1
( )( )
n
k
n k n k
−
=
+ −∑ + ( 1)n n+
33
2
n n+≅ .
As etapas de solução do método baseado na decomposição LU conso-
mem 22( 1)n − f lops e, no método de solução por Gauss-Jordan, as operações 
requeridas para multiplicar 1A− por b correspondem a 2n f lops. Negligencia-
dos os termos de menor ordem no cálculo do número de operações de ponto 
f lutuante, concluímos que os métodos sob análise possuem os desempenhos 
mostrados na tabela 2.2.
– 90 –
Tabela 2.2: Número aproximado de f lops requeridos para a solução de um sistema Ax=b, 
sendo A uma matriz n n× , nos métodos de Gauss-Jordan e decomposição LU
Gauss-Jordan Decomposição LU
inversa
33
2
n n+
decomposição
3
3
n n−
multiplicação 
1A b− 2n substituições 22( 1)n − 
total
3 2 33 2 3
2 2
n n n n+ + ≅ total
3 2 36 13 6
3 3
n n n n+ − + ≅
Percebemos imediatamente que, dentre os métodos apresentados neste 
texto, o que apresenta melhor desempenho é o método de solução baseado na 
decomposição da matriz em seus fatores triangulares L e U.
No próximo capítulo será estudado um tópico básico de Programação 
Matemática denominado Programação Linear.
2.5 Exercícios propostos
1. Programe a adição de duas matrizes, m n× .
2. Programe a transposição de uma matriz, m n× .
3. Programe a multiplicação de uma matriz m n× e uma matriz n q× .
4. Programe a regra de Cramer para o exemplo 2.16, com [1 2 3]Tb = − . 
5. Programe o algoritmo de substituições sucessivas para o exemplo 2.20.
6. Programe o algoritmo de substituições retroativas para o exemplo 2.21.
7. Programe o algoritmo de eliminação de Gauss com o algoritmo de substi-
tuições retroativas para o exemplo 2.22.
8. Utilize o comando rref do software MATLAB para a matriz do exemplo 2.12.
– 91 –
9. Utilize o comando rank do software MATLAB para a matriz do exemplo 2.13.
10. Utilize o comando rref do software MATLAB para a matriz do 
exemplo 2.14.
11. Utilize o comando null do software MATLAB para a matriz do 
exemplo 2.19.
12. Utilize o comando [P,L,U]=lu(A) do software MATLAB para a ma-
triz do exemplo 2.24.
13. Utilize o comando [P,L,U]=lu(A) do software MATLAB para a ma-
triz do exemplo 2.26.
14. Programe o algoritmo 2.5 e resolva o seguinte sistema de equações
1
2
3
1 2 3 1
0 1 0 2
1 0 2 1
x
x
x
−     
     =     
          
.
15. Utilize o comando x=A\b do software MATLAB para resolver o sistema 
do exercício anterior.
16. Calcule a inversa da matriz empregando o método da matriz adjunta
1 2 3
0 1 0
1 0 2
A
 
 =  
  
.
17. Obtenha o sistema linha equivalente a
1 2 3
1 2 3
1 2
2 3 0
4 5 6 1
2
x x x
x x x
x x
+ + =
 + + =
 − =
.
18. Determine o posto de cada uma das seguintes matrizes
– 92 –
a) 
1 1 1
1 1 1
A
 
=  
 
, 
b) 
1 2 4
1 2 4
2 4 8
B
 
 = − − − 
  
, 
c)
1 0 1
2 4 2
C
− 
=  
 
e
 
d)
1 2 2 1
0 2 1 1
1 3 1 1
D
− 
 =  
 − 
.
19. Dados os sistemas Ax b= abaixo, classif ique-os quanto à solução: (a) com-
patível determinado; (b) compatível indeterminado; e (c) incompatível (ou 
inconsistente).
a) 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
4 5 6 1
3 3 3 2
x x x
x x x
x x x
+ + =
 + + = −
 + + = −
,
b) 1 2 3
12 3
2 5
2
x x x
x x x
− + =
 + − =
,
c) 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
1
0
x x x
x x x
x x x
+ + =
 − + =
 + + =
e
 d) 1 2 3
1 2 3
1
1
x x x
x x x
− + =
 + − =
.
– 93 –
20. Mostre que o sistema
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 7
2 5
2 3 4
x x x
x x x
x x x
+ + =
 + − =
− + + =
não tem solução, ou seja, é incompatível.
21. Verif ique se as matrizes A e B são def inidas positivas ou não
a) 
3 1 0
1 2 2
0 2 3
A
− 
 = − 
  
e
b) 
1 3
2 1
B
− 
=  
 
.
22. Obtenha as inversas das matrizes elementares
a) 1
1 0 0
0 5 0
0 0 1
E
 
 =  
  
,
b) 2
1 0 0
0 1 0
2 0 1
E
 
 =  
  
e
c) 3
1 0 0
0 1 0
0 3 1
E
 
 =  
 − 
.
23. Utilize matrizes elementares para obter a inversa da matriz
1 2 3
0 1 0
1 0 2
A
 
 =  
  
.
– 94 –
24. Converta o sistema Ax=b à forma triangular e obtenha a solução x com os 
dados
1 1 1 1
0 0 0 2
0 3 2 2
0 1 1 3
A
 
 − =
 
 −  
e 
0
1
0
0
b
 
 
 =
 
 
 
.
25. Pesquise e descubra um método que não utilize o cálculo de determinan-
tes para determinar se uma matriz é ou não é def inida positiva.
– 95 –
III
Programação Linear
N este capítulo será introduzido o estudo sobre a Programação Matemáti-ca através da Programação Linear (PL). Def iniremos o problema de PL 
(PPL) e estudaremos os fundamentos da PL e o método simplex. Sugerimos 
as referências Arenales et al. (2007), Bazaraa, Jarvis & Sherali (1997); Bregalda, 
Oliveira & Bornstein (1988), Dantzig (1963), Goldfarb & Todd (1989), Gonzaga 
(1989), Machado (1975), Maculan & Pereira (1980), Maculan & Fampa (2006), 
Menezes (2010), Taha (2008) e Yoshida (1987).
Iniciamos o nosso propósito def inindo o problema de PL.
3.1 O problema de Programação Linear
Nesta seção, será def inido, em particular, o PPL na forma padrão, tendo 
em vista que qualquer PPL pode ser convertido para esse formato.
Consideremos os números inteiros m e n, tais que 0 m n< < . Dados uma 
matriz numérica com coef icientes reais ,A ,m n× , e vetores mb ∈ℜ e ,nc ∈ℜ 
o problema de Programação Linear no formato padrão é o problema de oti-
mização: 
(P)
 
minimizar 
sujeito a: 
 0.
Tz c x
Ax b
x
=
=
≥
 
Seguem-se algumas def inições associadas ao problema (P).
– 96 –
Def inição 3.1: Considere o PPL (P): 
a) A função linear Tx z c x=� é chamada função objetivo.
b) O conjunto { ; 0}nX x Ax b, x= ∈ℜ = ≥ é chamado conjunto viável, e um 
ponto x X∈ é denominado ponto viável.
c) O conjunto X P x X c x c xT T( ) { * ; *= ∈ ≤ , para todo x X∈ } é chamado con-
junto de soluções ótimas e um ponto ( )*x X P∈ é denominado solução 
ótima.
d) O problema (P) será chamado problema ilimitado quando existir uma se-
quência ( )kx , tal que kx X∈ e ,kTc x → −∞ quando k  .
e) O problema (P) será chamado problema inviável quando X for vazio.
Um caso para um problema ilimitado de PL poderá ser observado no exem-
plo 3.9, adiante, enquanto que, para um problema inviável, podemos recorrer ao 
exemplo 2.17, visto quando estudamos o sistema incompatível de equações lineares.
Exemplo 3.1: Sejam dados a matriz tecnológica ,A 2 3,× o vetor do lado 
direito 2b ∈ℜ e o vetor custo 3c ∈ℜ a saber:
2 4 1
1 0 1
A
− 
=  
 
,
 
5
7
b
 
=  
 
 
e
 
1
0
2
c
 
 =  
 − 
.
O PPL na forma padrão é o seguinte:
1 3
1 2 3
1 3
1 2 3
minimizar 2
sujeito a : 2 4 5
7
0.
 z x x
x x x
 
x x
x , x , x
= −
− + =
+ =
≥
3.1.1 Obtenção do formato padrão
Geralmente, pretendemos resolver um PPL no formato do problema 
(P). Isto é, o primeiro grupo de restrições envolve somente igualdades, e todas 
as variáveis do modelo são não negativas. Além disso, queremos minimizar o 
valor da função objetivo.
– 97 –
Na ocorrência de
maximizar 
sujeito a: ,
Tz c x
x X
=
∈
basta trocarmos o sinal no valor da função objetivo, a saber:
minimizar 
sujeito a: .
Tz c x
x X
− = −
∈
Para i = 1, ..., m, na ocorrência de desigualdades como as mostradas a 
seguir
1
n
ij j i
j
a x b
=
≤∑
 
ou
1
n
ij j i
j
a x b
=
≥∑ ,
 
basta tomar 0n ix + ≥ , tal que
1
n
ij j n i i
j
a x x b+
=
+ =∑
 
ou
1
n
ij j n i i
j
a x x b+
=
− =∑ ,
respectivamente e, assim, convertemos as restrições de desigualdade para 
igualdade. Dizemos que n ix + é uma variável de folga, quando adicionada na 
restrição, e variável de excesso, quando subtraída na restrição.
Agindo de outro modo, consideremos j = 1, ..., n. Sejam dados números 
reais jl e ,ju com 0.jl ≠ Na ocorrência de variáveis do tipo j jx l≥ ou j jx u≤ , 
podemos considerar j jx l≥ ou j jx u≤ como restrições do tipo ≥ ou ≤, respec-
tivamente. 
– 98 –
Na ocorrência de variáveis livres, isto é, jx ∈ℜ, para algum j=1, ..., n, 
basta realizar uma mudança de variáveis, def inindo
 ˆj j jx x x= − , com 0jx ≥ e ˆ 0jx ≥ .
Note-se que não consideramos desigualdades estritas. 
Exemplo 3.2: Para converter o PPL
1 2
1 2
2
maximizar 5
sujeito a : 2
 
0
 z x x
x x
x
= −
+ ≤
≥
para o formato padrão, devemos tomar 1 2 3 2x x x+ + = , com 3 0x ≥ , e def inir
 1 4 5x x x= − , com 4 0x ≥ e 5 0x ≥ ,
e trocar o sinal no valor da função objetivo. Assim, obtemos:
 
2 4 5
2 3 4 5
2 3 4 5
minimizar 5
sujeito a : 2
, , , 0.
z x x x
x x x x
x x x x
= − +
+ + − =
≥
A propósito, quando um problema de Otimização é um problema de PL? 
Quando as funções envolvidas – a função objetivo e as restrições do problema – são 
af ins (lineares) e contínuas e, além disso, as variáveis do problema são contínuas.
3.2 A geometria da Programação Linear
Nesta seção será tratado o estudo dos fundamentos da PL. O que faremos 
neste caminho, então, será reescrever o que já existe na literatura, dando uma pri-
– 99 –
meira olhada no conjunto viável como um poliedro e, em seguida, caracterizando-
o como um poliedro com um número f inito de pontos extremos e com pelo menos 
um ponto extremo quando não vazio. Além disso, será desenvolvido um método 
gráf ico para a solução de um PPL, e enunciado o teorema fundamental da PL.
Iniciamos nossa tarefa com alguns resultados de convexidade. Af inal, o 
que são poliedros?
Def inição 3.2: Sejam dados um vetor não nulo na ∈ℜ , denominado vetor nor-
mal, e um escalar δ ∈ℜ. 
a) O conjunto
H x a xn T= ∈ℜ ={ }; δ
é denominado um hiperplano.
b) Os conjuntos
H x a xl
n T= ∈ℜ ≤{ }; δ
e
H x a xu
n T= ∈ℜ ≥{ }; δ
são denominados semiespaços fechados.
c) Um poliedro é um conjunto formado pela interseção de um número f inito 
de semiespaços fechados.
Pela def inição de poliedro, observamos que o conjunto vazio é um polie-
dro, porque é a interseção de zero semiespaços fechados, por exemplo.
Exemplo 3.3: A figura 3.1 representa um hiperplano H, def inido pelo vetor 
normal a = [0,1 0,2]T e pelo número 0, 3δ = . Observe que o vetor a def ine a 
inclinação do hiperplano enquanto que δ def ine a posição de .H No senti-
do do vetor normal, obtemos uH , representado pela região hachurada, e, no 
sentido contrário, .lH Observe, também, que H é um poliedro, porque é a 
interseção de dois semiespaços fechados, lH e .uH
– 100 –
Figura 3.1: Representação de um hiperplano H e de semiespaços fechados Hl e uH
Agora, vejamos o que é um conjunto convexo.
Def inição 3.3: Sejam dados q vetores 1 2, , , q nx x x ∈ ℜ� .
a) Dizemos que nx ∈ℜ é uma combinação linear de 1 2 q nx , x , , x ∈ℜ… , 
quando existirem q escalares λ
1
, λ
2
, ..., λ
q
 1 2 q, , , λ λ λ ∈ℜ… , tais que
1 2
1 2
q
qx x x xλ λ λ= + + +… .
b) Dize-se que nx ∈ℜ é uma combinação convexa de x1, x2, ..., xq 1 2 q nx , x , , x ∈ℜ… , 
quando x for uma combinação linear e
1 2 1qλ λ λ+ + + =… e 1 2 [0,1]q, , , λ λ λ ∈… .
A notação [0, 1] signif ica intervalo fechado cujos extremos são 0 e 1.
– 101 –
c) Seja S um subconjunto do nℜ . Dizemos que S é um conjunto convexo, 
quando todas as combinações convexas de quaisquer dois pontos de S 
pertencerema S .
d) Seja S um subconjunto convexo do nℜ . Um ponto x em S é denomi-
nado ponto extremo de ,S quando x não for uma combinação convexa de 
quaisquer dois outros pontos distintos em .S
No exemplo a seguir, são ilustrados dois conjuntos: um convexo e um 
não convexo.
Figura 3.2: Exemplos de (a) um conjunto convexo e (b) um conjunto não convexo
Exemplo 3.4: Na figura 3.2(a) temos um conjunto convexo com quatro pontos 
extremos; a f igura 3.2(b) não é um conjunto convexo. São também mostrados 
dois pontos x1 e x2, pertencentes aos conjuntos, e x̂ , um ponto extremo da fi-
gura 3.2(a).
No conjunto da f igura 3.2(a), verif icamos que, dados quaisquer dois 
pontos desse conjunto, os que são uma combinação convexa desses dois pon-
tos também pertencem ao conjunto, o que não ocorre em relação ao conjunto 
da figura 3.2(b). Além disso, na figura 3.2(a) x̂ é um ponto extremo, porque 
não pode ser escrito como uma combinação convexa de dois pontos distintos 
dele em S, enquanto que na figura 3.2(b) não existe ponto extremo porque o 
conjunto não é convexo.
Agora, do ponto de vista computacional, vamos reescrever a def inição 
de ponto extremo de uma maneira mais operacional. Iniciamos com a seguin-
te def inição:
– 102 –
Def inição 3.4: Sejam dados uma matriz A, ,m n× 0 ,m n< < e um vetor 
b em mℜ . Consideremos um sistema de equações lineares ,Ax b= tal que 
posto ( A ) m= .
a) Uma matriz quadrada ,B ,m m× obtida de A, com m vetores coluna line-
armente independentes denomina-se matriz base de A. Uma matriz ,N 
( )m n m× − , obtida de A, com os n m− vetores coluna restantes denomi-
na-se matriz não base.
b) Consideremos uma matriz base ,B m m× . O conjunto de índices corres-
pondentes a essa matriz base ,B no sistema ,Ax b= chama-se conjunto de 
índices base. O conjunto com os demais n – m índices chama-se conjunto 
de índices não base. Denotamos o conjunto de índices base por BI e o con-
junto de índices não base por NI . Os conjuntos BI e NI têm cardinalidade 
m e n m− , respectivamente.
c) Consideremos uma matriz base ,B m m× . As variáveis correspondentes a 
essa matriz base ,B no sistema ,Ax b= são denominadas variáveis básicas. 
As demais n m− variáveis são as variáveis não básicas. Denotamos o vetor 
de variáveis básicas por Bx e o vetor de variáveis não básicas por Nx .
d) Anulando as n m− variáveis não básicas, obtemos um sistema compatível 
determinado, constituído de m equações e m incógnitas. Determinando o 
valor das variáveis básicas, obtemos uma solução básica. Ou seja, nx ∈ℜ 
é uma solução básica, quando 0Nx = e Bx é a solução do sistema linear 
BBx b= .
e) Uma solução básica em que as variáveis básicas são não negativas denomi-
na-se solução básica viável.
f) Uma solução básica viável em que existe ao menos uma variável básica 
nula denomina-se solução básica viável degenerada.
Por conveniência, suponhamos que 1 2, , ..., mx x x sejam as variáveis bá-
sicas, que são as coordenadas de Bx , e 1, ...,m nx x+ sejam as variáveis não bási-
cas, coordenadas de Nx . Então, neste caso, os conjuntos BI e NI são como a 
seguir:
{1, 2, , }BI m= � e { 1, 2, , }NI m m n= + + � .
Para a resolução do sistema Ax b= , buscamos exprimir Bx em função de 
Nx , a saber: 
– 103 –
[ ]
B
N
x
Ax b B N b
x
 
= ⇒ = 
  
⇒ BxB + NxN ⇒
 
1 1 .B Nx B b B Nx− −⇒ = − (3.1)
Para 0Nx = , 1Bx B b−= e x é uma solução básica. Se 1 0Bx B b−= ≥ para 
0Nx = , então x também é uma solução básica viável. 
Exemplo 3.5: Considere o sistema linear
1 2 3
1 4
1 2 3 4
3
3
0.
x x x 
x x
x , x , x , x 
+ + =
+ =
≥
Nesse exemplo, a matriz A e o vetor b são def inidos por
1 1 1 0
1 0 0 1
A
 
=  
 
 e 
3
3
b
 
=  
 
.
Primeiramente, tomamos a matriz base 
1 1
1 0
B
 
=  
 
,
obtida de A através da primeira e da segunda colunas. Segue-se que o conjun-
to de índices base e o conjunto de índices não base são, respectivamente, 
{1, 2}BI = e IN = {3, 4},
a solução básica é 
[3 0 0 0]Tx = ,
porque o vetor de variáveis não básicas é 3 4[ ] [0 0]
N T Tx x x= = , e o vetor 
de variáveis básicas é calculado por:
– 104 –
1
2
1 1 3
1 0 3
B xBx b
x
     
= ⇒ =     
      
1 2
1
3
3,
x x
x
+ =
⇒  =
isto é, 1 2[ ] [3 0]
B T Tx x x= = . Tanto a solução básica viável quanto a solu-
ção básica viável degenerada coincidiram com a solução básica ,x uma vez 
que 0Bx ≥ e, em particular, 2 0x = . Agindo de outro modo, tomando-se a 
matriz base 
1 0
0 1
B
 
=  
 
,
obtida de A através da terceira e da quarta colunas, segue-se que o conjunto 
de índices base e o conjunto de índices não base são, respectivamente, 
{3, 4}BI = e {1, 2}NI = ,
e a solução básica é 
[0 0 3 3]Tx = ,
porque o vetor de variáveis não básicas é 1 2[ ] [0 0]
N T Tx x x= = e o vetor 
de variáveis básicas é calculado por 
3
4
1 0 3
0 1 3
B xBx b
x
     
= ⇒ =     
     
 3
4
3
3,
x
x
=
⇒  =
isto é, 3 4[ ] [3 3]
B T Tx x x= = . Neste caso, a solução básica viável possui 
0Bx > , logo, não é uma solução básica viável degenerada. 
Se para um PPL um ponto extremo é uma solução básica viável e vice-
versa, então obteremos uma caracterização mais operacional para pontos extre-
mos, do ponto de vista computacional. É o que se af irma no próximo teorema.
Teorema 3.1: Consideremos o PPL (P). Um ponto viável x X∈ é ponto extre-
mo se, e somente se, x for uma solução básica viável.
– 105 –
Assim, podemos calcular pontos extremos através do cálculo de soluções 
básicas viáveis. Além disso, devemos observar que a correspondência entre 
pontos extremos e soluções básicas viáveis não é, em geral, um a um (veja-se, 
adiante, o exercício 4).
O próximo resultado caracteriza o conjunto viável de um PPL, formali-
zando, assim, a sua geometria. 
Teorema 3.2: Consideremos o PPL (P). Todo conjunto viável X é um poliedro 
com um número f inito de pontos extremos e, quando não vazio, possui ao 
menos um ponto extremo.
O exemplo que será apresentado a seguir corresponde a um método 
gráf ico para se solucionar um PPL.
Exemplo 3.6 (Um método gráf ico): Consideremos o PPL
 
minimizar z = x
1
 sujeito a: x
1
 + x
2
 = 2
 x
1
, x
2
  0.
Esse problema possui uma única solução ótima, * [0 2]Tx = , porque o 
menor valor que podemos ter para 1x é 1 0x = . Logo, 2 2x = .
Apesar da simplicidade com que obtivemos a solução ótima para esse 
problema, poderíamos, também, tê-la obtido pelo seguinte método gráf ico, 
conforme mostra a figura 3.3.
Devemos tomar pontos viáveis no conjunto viável X com o menor valor 
da função objetivo, uma vez que na solução ótima *x , *T T c x c x≤ para todo 
x X∈ . Desta forma, relembrando a def inição de hiperplano, o vetor dado 
,nc ∈ℜ não nulo, e o número Tc xδ = para cada ,x X∈ def inem um hi-
perplano para cada .x X∈ Na figura 3.3, por exemplo, para 1
2
0
x x
 
= =  
 
, 
1 2T c x = , e para 2
0,5
1,5
x x
 
= =  
 
, 2 0,5Tc x = ; e para 3
0
2
x x
 
= =  
 
, 3 0Tc x = . 
Aqui não é possível encontrar outro ponto x X∈ , tal que 0Tc x ≤ . Portanto, 
x* = x3 = [0 2]T é a solução ótima. Observemos que os hiperplanos percorrem 
o sentido contrário ao vetor custo c, quando na minimização.
– 106 –
Assim, estamos prontos para enunciar o teorema fundamental da Pro-
gramação Linear.
Teorema 3.3: Consideremos o PPL (P). Se (P) admite solução ótima, então 
uma solução ótima é atingida em ao menos um ponto extremo do conjunto 
viável.
Na próxima seção, será apresentado o desenvolvimento de um método 
para se resolver o problema (P).
3.3 Método simplex primal
Todo método advém da necessidade de resolvermos algum problema. 
Nesta seção, estamos interessados na solução dos problemas de PL através do 
estudo do método simplex, devido a Dantzig (1951).
Figura 3.3: Solução do exemplo 3.6 através de um método gráfico
– 107 –
Considere-se o PPL (P), no formato padrão,
(P) 
minimizar 
sujeitoa: 
 0,
Tz c x
Ax b
x
=
=
≥
em que são dados uma matriz ,A ,m n× e vetores mb ∈ℜ e ,nc ∈ℜ , com 
0 m n< < .
Sem perda de generalidade, consideramos a matriz A de posto comple-
to, ou seja, A possui uma submatriz quadrada invertível, e o vetor do lado 
direito 0b ≥ , ou seja, nenhum elemento de b é negativo. Se m n= , lançamos 
mão dos conteúdos estudados no Capítulo II, porque, neste caso, basta resol-
ver um sistema de equações lineares algébricas.
A ideia do método simplex consiste em caminhar pela fronteira do po-
liedro de um PPL, através de pontos extremos adjacentes com valores da fun-
ção objetivo sempre menores do que os valores anteriores.
Enunciamos, a seguir, um algoritmo denominado algoritmo mestre, na 
tentativa de exprimir, sob essa forma, as ideias do método simplex. 
Algoritmo 3.1: Algoritmo mestre
 Dados: 0x solução básica viável inicial associada a uma matriz base inicial 0B .
 0k ← .
 Repita
Escolha, se possível, uma nova variável básica daquelas variáveis não básicas.
 Escolha, se possível, uma nova variável não básica daquelas variáveis básicas.
 Atualize 1kB + e 
1kx + .
 1k k← + .
 Até que convirja.
Devemos agora responder a uma pergunta chave acerca do algoritmo 
mestre:
Como se determina uma solução básica viável inicial?
– 108 –
Esse problema – denominado problema de fase 1 ou, equivalentemen-
te, problema de viabilidade – consiste em encontrar um ponto viável inicial. 
Aqui, supomos que o ponto viável inicial é dado, porque a ideia do método 
simplex para a fase 2 – problema de otimalidade –, que desenvolvemos neste 
capítulo, é semelhante. Esta hipótese é forte, tendo em vista que não tratare-
mos problemas inviáveis de PL. 
Considere o problema de PL (P). Denotamos uma solução básica viável 
para (P), ˆ nx ∈ℜ , associada a uma matriz base ,B m m× . Denotamos, tam-
bém, uma matriz não base N , ( )m n m× − . Por def inição, 1ˆ 0Bx B b−= ≥ e 
ˆ 0Nx = .
De um modo geral, como não podemos garantir que os índices das va-
riáveis básicas e das variáveis não básicas estão ordenados, os conjuntos de 
índices base e de índices não base serão representados genericamente, como a 
seguir, respectivamente:
1 2{ , , , }B mI i i i= � e 1 2{ , , , }N n mI j j j −= � .
A matriz de coef icientes tecnológicos A, particionada, tem suas colunas 
da matriz base e da matriz não base conforme é mostrado a seguir, respecti-
vamente:
1 2
[ ]
mi i i
B A A A= �
 
e 1 2
[ ]
n mj j j
N A A A
−
= � ,
em que 
1 2
, , , ,
mi i i
A A A�
1 2
, , ,
n mj j j
A A A
−
� representam as colunas da matriz 
A correspondentes aos seus respectivos índices.
Analogamente à partição de ,A o vetor de custos f ica conforme a seguir:
1 2
[ ]
m
B T
i i ic c c c= � e 1 2[ ]n m
N T
j j jc c c c −= � .
Uma vez que uma matriz base é conhecida, todo ponto viável x, para (P), 
pode ser escrito com o vetor de variáveis básicas
1 2
[ ]
m
B T
i i ix x x x= �
e com o vetor de variáveis não básicas
1 2
[ ]
n m
N T
j j jx x x x −= � .
– 109 –
Desenvolvendo Ax b= , obtemos a expressão (3.1), já vista, a saber:
Ax b= B NBx Nx b⇒ + = ⇒
 1 1 .B Nx B b B Nx− −⇒ = −
(3.1)
Desenvolvendo Tc x e usando a última igualdade,
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )T B T B N T N B T N N T Nc x c x c x c B b B Nx c x− −= + = − +
 1 1( ) [( ) ( ) ] .T B T N T B T Nc x c B b c c B N x− −= + −
(3.2)
Portanto, de (3.1) e (3.2), e relembrando que 1ˆ 0Bx B b−= ≥ , podemos 
reescrever o problema (P) assim:
 
1 1
1 1
minimizar ( ) [( ) ( ) ]
sujeito a: 0, 0.
B T N T B T N
B N N
z c B b c c B N x
x B b B Nx x
− −
− −
= + −
= − ≥ ≥
(3.3)
Observe que o valor da função objetivo em (3.3) pode ser reescrito assim:
 
1
1
0
( ) .
( )
T B
T B T
N T B N
x
z c x c B b
c B N c x
−
−
  
= = +   −     
Def inição 3.5 (Custo reduzido): Designamos o vetor
1
0
( )N T B
s
c B N c−
 
=  − 
como vetor custo reduzido.
Cada componente do vetor s é a taxa de redução no valor da função ob-
jetivo com respeito à mudança na variável não básica. 
Historicamente, na publicação de Dantzig (1963), o método simplex foi 
formalizado através do formato tabular. Quer dizer, podemos representar o 
problema de PL (P) pelo seguinte quadro:
– 110 –
Quadro 3.1: Quadro do simplex
Base ( )B Tx ( )N Tx RHS
0Bs = 1( )N N T Bs c B N c−= − ˆTz c x− = −
ˆ Bx I 1B N− 1 0B b− ≥
No quadro 3.1, na primeira linha estão representadas as variáveis bási-
cas Bx e as variáveis não básicas Nx . Na segunda linha estão representados 
o vetor custo reduzido – conforme a def inição 3.5 – e o negativo do valor da 
função objetivo. Na terceira linha está representado o sistema Ax b= parti-
cionado assim:
1 1 1 1 1B N B N B NAx b Bx Nx b B Bx B Nx B b Ix B Nx B b− − − − −= ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒
[ 1 1, ,
B
N
x
I B N B b
x
− −
 
 =    
em que 1B b− é o vetor do lado direito do quadro simpex, denotado por RHS 
(right hand side). 
Exemplo 3.7: Considere o problema de PL no formato padrão
 minimizar z = 1 22x x− −
 
1 2 3
1 2 4
1 5
1 2 3 4 5
 sujeito a: 4
2 6
3
, , , , 0.
x x x
x x x
x x
x x x x x
+ + =
+ + =
+ + =
≥
Desejamos expressar o PPL no formato tabular segundo a matriz base 
def inida pelo conjunto de índices base, {2, 4, 5}BI = , e a matriz não base def i nida 
pelo conjunto de índices não base {1, 3}NI = .
– 111 –
A partição da matriz A que retrata a base corrente é a seguinte:
1 0 0
1 1 0
0 0 1
B
 
 =  
  
 e 
1 1
2 0
1 0
N
 
 =  
  
.
A sequência de cálculos seguirá o que está mostrado no quadro 3.1.
O vetor de variáveis básicas, 1Bx B b−= , 
1
1 0 0 4 1 0 0 4 4
1 1 0 6 1 1 0 6 2 ,
0 0 1 3 0 0 1 3 3
Bx
−
         
         = = − =         
                  
e a solução básica viável, x , 
2
4
5
1
3
4
2
3
0
0
B
N
x
x
x
x
x
x
x
   
   
    
   = = 
     
   
       
 
1
2
3
4
5
0
4
0
2
3
x
x
xx
x
x
   
   
   
   = =
   
   
      
.
O valor da função objetivo, Tz c x= ,
0
4
0[ 1 2 0 0 0] 8
2
3
z
 
 
 
 = − − = −
 
 
  
.
– 112 –
Para calcular o vetor custo reduzido, sB = 0 e
1
1
1 0 0 1 1 2
1
( ) 1 1 0 2 0 0
0
0 0 1 1 0 0
T
N N T Bs c B N c
−
−
  −     
−        = − = −                      
1 0 0 1 1 2
1
1 1 0 2 0 0
0
0 0 1 1 0 0
T
Ns
  −     
−        = − −                      
1 1 2
1 1 2 1
1 1 0 .
0 0 2 2
1 0 0
T
Ns
−   
− − −          = − − = − =           −              
Portanto, [1 0 2 0 0]Ts = é o vetor custo reduzido. 
Note-se que no cálculo anterior
1
1 1
1 1
1 0
B N−
 
 = − 
  
.
No quadro do simplex, quadro 3.2, temos:
Quadro 3.2: Quadro do simplex para o exemplo 3.7
Base 1x 2x 3x 4x 5x RHS
1 0 2 0 0 8=− z
2x 1 1 1 0 0 4
4x 1 0 1− 1 0 2
5x 1 0 0 0 1 3
– 113 –
Observe, no quadro 3.2, que a matriz identidade 1I B B−= está repre-
sentada pelas colunas de índices em {2, 4, 5}BI = , enquanto que 
1B N− pelas 
colunas de índices em {1, 3}NI = . O vetor do lado direito do quadro simplex é 
obtido por 1B b− e, na primeira linha, temos o vetor custo reduzido e o nega-
tivo do valor da função objetivo 8z− = .
O próximo teorema fornece uma condição suf iciente para que uma so-
lução básica viável seja uma solução ótima. 
Teorema 3.4: Se x̂ é uma solução básica viável com vetor custo reduzido não 
negativo, então x̂ é uma solução ótima para o problema (P).
Usando o teorema 3.4 no problema de PL do exemplo 3.7, verif icamos 
que [0 4 0 2 3]Tx = é uma solução ótima, porque o vetor custo redu-
zido [1 0 2 0 0]Ts = é não negativo, o que pode ser observado também 
na primeira linha do quadro simplex no quadro 3.2.
3.3.1 Mecanismo de mudança de base
Para se entender como o método simplexiterativamente produz uma 
nova solução básica viável a partir de uma solução básica viável conheci-
da, é preciso determinar uma direção que se deve seguir sobre uma aresta 
do poliedro convexo X. Observando-se o algoritmo 3.1, a escolha de uma 
nova variável básica daquelas variáveis não básicas signif ica verif icar se 
é possível melhorar o valor da função objetivo a partir da solução básica 
viável conhecida, o que é garantido pelo teorema 3.4. Isto é, deve existir 
alguma coordenada do vetor custo reduzido negativa. Do mesmo modo, 
a escolha, se possível, de uma nova variável não básica daquelas variáveis 
básicas signif ica que deve existir uma nova solução básica viável.
Def inição 3.6 (Direção viável): Seja S um subconjunto de n. Um vetor u  n 
é uma direção viável a partir de x  S, quando existe λ– > 0, tal que, para qual-
quer λ  [0, λ
– ], x + λ u pertence a S.
A Figura 3.4 ilustra duas direções viáveis de um politopo – poliedro 
limitado – de 0x a x
1 e a x2. Note-se que 2 0x x uλ= + , para algum λ real. 
Em particular, chamaremos a direção viável u de direção de aresta.
– 114 –
Figura 3.4: Direções de arestas num politopo do 2ℜ a partir de 0x
Suponhamos que, estando em um ponto extremo – solução básica viável 
– xk, para uma matriz base B, desejamos alcançar o ponto extremo adjacente 
1kx + e, para isto, uma variável básica deverá dar lugar a uma variável não 
básica. Isto signif ica que apenas uma variável não básica poderá crescer seu 
valor a partir de zero, à qual denominaremos hx , Nh I∈ .
Usando-se (3.1), sendo x x B bB Bk = = −1 o vetor de variáveis básicas asso-
ciado ao ponto extremo corrente, 1kBx + é o vetor de variáveis básicas associado 
ao ponto extremo adjacente, caracterizado como 
x x B A A A A
x
B B
j j h j
h
k k
n m
+
−
= −




















−1
1 2
1
0
0
0
[ ]� �
�
�
1 1k kB B
h hx x B A x
+ −= − .
De acordo com a def inição 3.6, 1 hB A
−− é uma direção de aresta no mℜ , 
enquanto que hx deverá ser o tamanho do passo a ser dado nessa direção, para 
x1
– 115 –
se obter um novo ponto extremo. Genericamente, o vetor direção de aresta, 
nu ∈ℜ , é expresso como
1
0
1
0
hB A
u
h
− −
 
 
 
=  
← 
 
 
  
�
�
.
(3.4)
Por conveniência, se designará 1 hB A
−− por hd− .
Neste ponto de nossa exposição, surge naturalmente a seguinte pergunta:
Quanto podemos “caminhar” seguindo a direção u
sem perder a viabilidade?
Para responder a essa questão, façamos a seguinte análise: o sistema
Ax b= é expresso da forma 1 1B Nx B b B Nx− −= − , como a seguir:
1 1
2 2
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ,
i i
m m
h
k k h
h
k k h
h
k k i h
h
k k m h
x b d x
x b d x
x b d x
x b d x
= −
= −
= −
= −
� � � �
� � � �
(3.5)
em que ˆ
ik
b é a iésima componente do termo 1B b− , pois i Bk I∈ . Precisamos 
determinar o máximo acréscimo que a variável hx poderá sofrer sem perder 
viabilidade. Ora, para valores d i mi
h > =0 1, , ,� , o crescimento de hx não pro-
vocará a saída da base de qualquer variável que se encontra no primeiro mem-
bro, dado que ˆ 0
ik
b ≥ , i Bk I∈ . Portanto, apenas quando d i mi
h > =0 1, , ,� , 
teremos a saída da base de uma das variáveis do primeiro membro. 
A questão agora é a seguinte: 
– 116 –
Qual variável sairá da base para dar lugar à variável hx que está entrando?
A análise da expressão 
ˆ
i ik k
hh h
i i
x b
x
d d
= − , para todo i Bk I∈ , i = 1, ..., m e 0
h
id > ,
mostra que a menor razão 
ˆ
ik
h
i
b
d
 indicará qual variável do primeiro membro 
sairá da base mediante o crescimento de hx . Esse critério é conhecido como 
teste da razão mínima, que é formalmente expresso no procedimento 3.1.
Procedimento 3.1 (Teste da razão mínima): Escolhida, para entrar na base, 
uma variável hx , sendo Nh I∈ , e calculado 
1h
i hd B A
−= com i = 1, ..., m, para 
determinar a variável a sair da base sem perder viabilidade, aplicamos o teste 
da razão mínima:
1,...,
ˆ ˆ
min ; 0, índiceq i
k k h
i i B qh hi m
q i
b b
d k I k
d d=
  = > ∈ ⇒ 
  
. (3.6)
O índice qk , que resulta do teste da razão mínima, é o índice da variável 
que sairá da base, com a garantia de não se perder viabilidade, ou seja, com a 
garantia de se alcançar uma nova solução básica viável.
Finalmente, as respostas para as duas perguntas propostas anteriormen-
te são: 
qk
x , q Bk I∈ , sairá da base e
ˆ
qk
h h
q
b
x
d
= ,
sendo 
ˆ
qk
h
q
b
d
 o valor que hx irá assumir ao entrar na base e também o tamanho 
do passo na direção de aresta obtida por (3.4).
Exemplo 3.8: Considere o PPL no formato padrão do exemplo 3.7 e, também, 
a solução básica viável com 3 4 5[ ] [4 6 3]
B T Tx x x x= = . Supondo que 
i=1, ..., m
– 117 –
2x tenha sido escolhida para entrar na base, calcule o vetor direção de aresta, 
2 3d ∈ℜ , e a nova solução básica viável.
A partição da matriz A e do vetor x que retrata a base corrente é a 
seguinte:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B
 
 =  
  
 e 
1 1
2 1
1 0
N
 
 =  
  
,
3
4
5
1
2
4
6
3
0
0
B
N
x
x
x
x
x
x
x
   
   
    
   = = 
     
   
      
⇒ 
1
2
3
4
5
0
0
4
6
3
x
x
xx
x
x
   
   
   
   = =
   
   
      
,
de modo que, {3, 4, 5}BI = e {1, 2}NI = .
Tomamos a coluna da variável 2x em A, designada por A2, e calculamos 
a direção 2d pela aplicação da expressão (3.4).
1 2
2
0 0
11
B A d
u
−   − −
   = =   
     
,
em que 1 22B A d
−− = − é
1
2
1 0 0 1 1
0 1 0 1 1
0 0 1 0 0
d
−
     
     = =     
          
.
– 118 –
Portanto, 
1
1
0
0
1
u
− 
 − 
 =
 
 
   
e
 
2
1
1
0
d
 
 =  
  
.
A nova solução básica viável é calculada depois de decidir, com base no 
teste da razão mínima, qual variável sairá da base sem perder viabilidade. 
Então, 
1
1, 2, 3
4 6
min , 4 índice 3
1 1 qi
k k
=
  = ⇒ = = 
 
 e 3 22
1
ˆ
4
b
x
d
= = ,
a variável 3x sairá da base e assumirá o valor 0 , enquanto 2x entrará na base 
com valor 4.
Finalizando o exemplo, calculamos a solução para a nova matriz base B̂: 
ˆ {2, 4, 5}BI = e ˆ {1, 3}NI = , 
1
ˆ
1 0 0 4
1 1 0 6
0 0 1 3
Bx
−
   
   =    
      
,
ˆ
[4 2 3]B Tx = e 
ˆ
[0 0]N Tx = ,
e a nova solução básica viável é
1
2
3
4
5
0
4
0
2
3
x
x
xx
x
x
   
   
   
   = =
   
   
      
.
– 119 –
O próximo teorema fornece um critério de possível melhoria para o va-
lor da função objetivo do problema (P). 
Teorema 3.5: Considere-se o PPL (P). Seja dada uma solução básica viável x̂ 
associada a uma matriz base B. Considere-se 0,hs < para algum ,Nh I∈ tal 
que exista 0hid > ao menos para algum i = 1, ..., m. Ainda, considere-se
1,...,
ˆ ˆ
min 0q i
k k h
i i Bh hi m
q i
b b
; d , k I
d d=
  = > ∈ 
  
.
 
(3.7)
Então, fazendo 
ˆ
qk
h h
q
b
x
d
= a nova variável básica, anulamos 
qk
x fazendo-a va-
riável não básica, obtendo assim uma nova solução básica viável x, tal que 
ˆ.T Tc x c x≤
Usando o teorema 3.5 no problema de PL do exemplo 3.8, verif icamos 
no quadro simplex, quadro 3.3, que {1, 2} Nh I∈ = e 1 1s = − e 2 2s = − . Além 
disso, os vetores 1 [1 2 1]Td = e 2 [1 1 0]Td = . Ao escolhermos 2h = 
( 2 2 0s = − < ) o índice para entrar no novo conjunto de índices base, cal-
culamos o mínimo do quociente entre os elementos da última coluna e da 
coluna dois, para as coordenadas positivas de 2d . Daí encontramos o índice 
3qk = , que é o índice para entrar no novo conjunto de índices não base. Obser-
vemos as duas setas no quadro 3.3: a seta vertical indica que 2x será a nova va-
riável básica e a seta horizontal indica que 3x será a nova variável não básica. 
Quadro 3.3: Quadro do simplex para o exemplo 3.8 para {3, 4, 5}BI =
↓
Base 1x 2x 3x 4x 5x RHS
1− 2− 0 0 0 0z− = l1
← x3 1 1 1 0 0 4 2l4x 2 1 0 1 0 6 3l
5x 1 0 0 0 1 3 4l
No quadro 3.3, o número 1 na interseção da linha 2l (seta horizontal) e 
coluna referente a 2x (seta vertical) é o elemento pivô. Assim, devemos zerar 
– 120 –
o restante dos elementos dessa coluna, usando as seguintes operações elemen-
tares: 3 3 2l l l← − e 1 1 22l l l← + . O próximo quadro do simplex, quadro 3.4, 
mostra o resultado, que coincide com o quadro 3.2 do exemplo anterior.
Quadro 3.4: Quadro do simplex para o exemplo 3.8 para ˆ {2, 4, 5}BI =
Base 1x 2x 3x 4x 5x RHS
1 0 2 0 0 8=− z
2x 1 1 1 0 0 4
4x 1 0 1− 1 0 2
5x 1 0 0 0 1 3
Exemplo 3.9: Considere o PPL no formato padrão
 
1
1 2
1 2
minimizar
sujeito a : 2
, 0.
x
x x
x x
−
− =
≥
Seja a solução básica viável com o vetor de variável básica 1 2
Bx x= = . Su-
pondo que 2x tenha sido escolhida para entrar na base, calcule o vetor direção 
da aresta, 2d ∈ℜ, e analise o PPL.
A partição da matriz A e do vetor x que retrata a base corrente é a 
seguinte:
1B = , 1N = − e 1
2
2
0
B
N
x x
x
xx
     
= = =     
     
,
de modo que, {1}BI = e {2}NI = .
Tomamos a coluna da variável 2x em A, designada por A2, e calculamos 
a direção 2d pela aplicação da expressão (3.4)
1 2
2
1 1
B A d
u
−   − −
= =   
   
,
em que 1 22B A d
−− = − é
2 1(1) ( 1) 1d −= − = − .
– 121 –
Portanto, 
1
1
u
 
=  
 
 e 2 1d = − .
Isto signif ica que não se pode obter uma nova variável básica. Concluímos 
que o PPL é ilimitado.
Esse fato, no exemplo 3.9, sugere o seguinte resultado:
Teorema 3.6: Considere o PPL (P). Seja dada uma solução básica viável ˆ,x as-
sociada a uma matriz base B. Se tivermos 0hs < e 0
hd ≤ , para algum ,Nh I∈ 
então (P) é um problema ilimitado.
Usando o teorema 3.6 no problema do exemplo 3.9, verif icamos, no qua-
dro do simplex, quadro 3.5, que {2} Nh I∈ = e 2 1 0s = − < . Todavia, o vetor 
2 1 0d = − < . Observemos no quadro 3.5 que 2x , como uma nova variável básica, 
melhora o valor da função objetivo, mas em uma direção que não conduz a uma 
nova solução básica viável, uma vez que o procedimento 3.1 não se verif ica.
Quadro 3.5: Quadro simplex para o exemplo 3.9 em que o PPL é ilimitado
Base 1x 2x RHS
0 1− 2z− =
1x 1 1− 2
Com base nas análises apresentadas aqui e nas seções precedentes, pode-
mos estabelecer os passos do algoritmo simplex. Para a entrada na base e para 
a saída da base, utilizaremos a regra do menor índice – ou regra de Bland – 
para garantirmos convergência.
3.3.2 O algoritmo simplex
Finalmente, estabeleceremos o algoritmo simplex revisado, fase 2, para 
resolver o PPL. No método simplex pode ocorrer um fenômeno denominado 
ciclagem, que consiste na volta para a mesma matriz base após um certo nú-
mero de iterações do algoritmo. Assim, enunciamos o algoritmo simplex com 
uma técnica anticiclagem, ou seja, com a regra de Bland (BLAND, 1977).
– 122 –
Algoritmo 3.2: Simplex
 Dados: uma solução básica viável 0x associada a uma matriz base inicial
 0 ,B um conjunto de índices base 0BI e um conjunto de índices não base 0NI .
 0k ← .
 Repita
Calcule o vetor multiplicador simplex ,my R∈ resolvendo o sistema linear
kBT
kB y c= .
Calcule o vetor custo reduzido ns R∈ , tal que
0ls = , para todo kBl I∈ ,
T
l l ls c y A= − para todo kNl I∈ .
Se 0s ≥ ,
então kx é uma solução ótima.
Senão, 
 entrada na base: calcule o novo índice base 
{ }min ; 0
Nk
l
l I
h l s
∈
= < .
 Calcule o vetor direção de aresta h md R ,∈ , resolvendo o sistema linear
h
k hB d A= .
 Se 0hd ≤ ,
 então, o problema é ilimitado.
 Senão, 
 saída da base: calcule o novo índice não base
0
0
0
0
1,...,
min min 0i i
k
i Bk
k k
k k h
q i i i Bh hk I i m
i i
x x
k k ; ; d , k I .
d d∈ =
    = = > ∈  
    
 Atualize os índices base e não base, respectivamente,
1
( { }) { }
k kB B q
I I h k
+
← ∪ −
– 123 –
1
( { }) { }
k kN N q
I I k h
+
← ∪ − .
 Atualize a matriz base: substitua a coluna 
qk
A de A em kB pela
 coluna hA de A, obtendo, assim, 1kB + .
 Calcule a nova solução básica viável 1 ,k nx R+ ∈ resolvendo o sistema
 linear
1
1
kB
kB x b
+
+ = ; xk
k
q
+ ←1 0.
 1k k← + .
 Até que 0s ≥ ou 0hd ≤ .
Temos algumas observações a fazer acerca deste algoritmo. Inicialmen-
te, observe que são dados os conjuntos de índices base 
0B
I e não base 
0
.NI Isto 
se deve à nossa conveniência de escrita e de implementação. Depois, o vetor 
custo reduzido s é calculado pela def inição em dois passos: primeiro, refe-
renciamos o vetor multiplicador simplex y; e, segundo, fazemos o cálculo das 
coordenadas de s associadas ao conjunto de índices não base da iteração cor-
rente usando o vetor multiplicador simplex em vez do cálculo de inversão de 
matrizes. Observe, também, que o critério de parada exibindo uma solução 
ótima é devido ao teorema 3.4, e o critério de parada certif icando o problema 
ilimitado é devido ao teorema 3.6. Ainda, quando possíveis, as escolhas tanto 
para a entrada na base quanto para a saída da base são devidas ao teorema 3.5, 
acrescido da técnica anticiclagem do menor índice – regra de Bland. Observe 
ainda que atualizamos a nova matriz base por uma troca de colunas na matriz 
A. Isto é o que caracteriza o método simplex revisado, isto é, o esforço compu-
tacional é muito menor do que no método simplex tradicional. Finalmente, 
é importante af irmar que, com a hipótese de X não vazio, o método simplex 
converge, tendo em vista que encontra uma solução ótima para (P), ou cer-
tif ica que o problema (P) é ilimitado. 
Exemplo 3.10: Determine a solução ótima do problema de PL, conhecida a 
solução básica viável inicial correspondente aos índices base {2, 3}BI = e não 
base {1, 4}NI = :
– 124 –
 minimizar z x x= +1 23
 
sujeito a: − + − =
+ − =
≥
x x x
x x x
x x x x
1 2 3
1 2 4
1 2 3 4
5
8
0, , ,
.
Vamos aplicar, passo a passo, o algoritmo simplex 3.2.
Inicialização:
0
{2, 3}BI = e 0 {1, 4}NI = ,
e a matriz base
0
1 1
1 0
B
− 
=  
 
,
a solução básica viável inicial é
0
1
2
3
1 1 5 0 1 5
1 0 8 1 1 8
B xx
x
−−         
= = =         −         
 ⇒ 0
8
3
Bx
 
=  
 
,
0 1
4
0
0
N xx
x
   
= =   
  
.
Quer dizer, 0 [0 8 3 0]Tx = .
Passo 1: Primeiro teste de convergência:
Na iteração 0k = , o vetor multiplicador simplex 2y ∈ℜ é
0 1
0
0 1
( ) [3 0] [0 3]
1 1
BT Ty c B−
 
= = = − 
.
O vetor custo reduzido é
– 125 –
0ls = , para todo {2, 3}l ∈ ,
e
T
l l ls c y A= − para todo {1, 4}l ∈ ,
1 1 1
4 4 4
T
T
s c y A
s c y A
 = −

= −
,
1 1
1
1 [0 3] 1 (0 ( 1) 3 1) 2 2
1
s s
− 
= − = − × − + × = − ⇒ = − 
 
4 4
0
0 [0 3] 0 (0 0 3 ( 1)) 3
1
s s
 
= − = − × + × − ⇒ = − 
.
A existência de uma componente do vetor custo reduzido negativa sig-
nif ica que a base corrente não é ótima. Então, passamos ao próximo passo.
Passo 2: Mudança de base ou segundo teste de convergência:
Escolhemos para entrar na base a variável x
1
, que tem custo reduzido negati-
vo, 1 2s = − . Então,
1índice h = .
A direção 1 2d R∈ é
1
1
1
2
1 1 1
1 0 1
d
d
 − −   
=    
     
 ⇒ 
11
1
1
2
1 1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 2
d
d
−  − − −         
= = =           −           
.
Em seguida, iremos escolher uma variável para sair da base, observando 
inicialmente o teste da razão mínima,
0 00
32
1 1 11,2 1,2
1 2
8 3 3
min , min ,
1 2 2
qk
i i
q
x xx
d d d= =
   = = =   
  
,
índice 2 3qk k= = .
Concluída a mudança de base, no próximo passo atualizaremos a solu-
ção básica viável.
– 126 –
Passo 3: Atualização da base:
Atualizamos os índices base e não base,
1
{2, 1}BI = ,
e
1
{3, 4}NI = .
Atualizamos a matriz base,
1
1 1
1 1
B
− 
=  
 
.
Calculamos a nova solução básica viável,
1
1 1 1
2 22
1 1
2 21
11 5 5
1 1 8 8
B xx
x
−−         
= = =         −         
 ⇒ 1
13
2
3
2
Bx
 
=  
 
,
1 3
4
0
0
N xx
x
   
= =   
  
.
Incrementamos k , 1k = , e retornamos ao passo 1.
Passo 1: Primeiro teste de convergência:
Na iteração 1k = , o vetor multiplicador simplex 2y ∈ℜ é
1 1
2 21
1 1 1
2 2
( ) [3 1] [1 2]T B Ty c B−
 
= = = − 
,
O vetor custo reduzido é
0ls = , para para todo {2, 1}l ∈ ,
e
T
l l ls c y A= − para todo {3, 4}l ∈ ,
3 3 3
4 4 4
T
T
s c y A
s c y A
 = −

= −
,
– 127 –
3 3
1
0 [1 2] 0 (1 ( 1) 2 0) 1 1
0
s s
− 
= − = − × − + × = ⇒ = 
 
4 4
0
0 [1 2] 0 (1 0 2 ( 1)) 2
1
s s
 
= − = − × + × − ⇒ = − 
.
Observamos que todas as componentes do vetor custo reduzido são não 
negativas, o que signif ica que a base corrente é ótima.
Finalmente, a solução ótima do PPL é 1x , com valor da função objetivo 
z, a saber:
1 3 13
2 2[ 0 0]
Tx = , 
1 [1 3 0 0]Tz c x= =
3
2
13
2
21.
0
0
 
 
  =
 
 
 
3.4 Dualidade em Programação Linear
A todo problema de Programação Linear podemos associar um outro 
problema, composto de variáveis distintas, mas que guarda estreita relação 
com o primeiro quanto à solução e à interpretação dos resultados. 
Ao problema de PL designado por (P) da seção 3.1, que doravante cha-
maremos de primal, está associado o problema (D) conhecido como problema 
dual, definido a seguir:
(D)
 
maximizar 
sujeito a: 
 irrestrita.
T
T
w b y
A y c
y
=
≤
Chamamos a atenção do leitor para o fato de que os dados do problema 
(D) são os mesmos do problema (P), embora existam diferenças nas relações 
lógico-matemáticas das restrições, dentre outras.
– 128 –
Para clareza da exposição, será solucionado um exemplo de obtenção de 
um problema dual dado um problema primal.
Exemplo 3.11: Considere o problema de PL do exemplo 3.7. Desejamos escre-
ver o problema de PL dual associado.
Em primeiro lugar, por comparação, constatamos que o PPL do exem-
plo 3.7 está escrito no formato padrão, tal como estabelecido na seção 3.1, e 
foi designado como problema (P). Para solucionar o exemplo, nos guiaremos 
pela forma matemática do problema (D). Portanto, os dados do problema são: 
a matriz de coeficientes tecnológicos, 3 5A ×∈ℜ , 
1 1 1 0 0
2 1 0 1 0
1 0 0 0 1
A
 
 =  
  
,
e os vetores c e b, de dimensões 5 1× e 3 1× , respectivamente,
1
2
0
0
0
c
− 
 − 
 =
 
 
  
,
 
4
6
3
b
 
 =  
  
.
Concluímos que o vetor y do problema dual tem dimensão 3 1× , sendo 
1
2
3
y
y y
y
 
 =  
  
.
Finalmente, o problema dual do PPL do exemplo 3.7, na forma matricial, é 
como apresentado a seguir:
– 129 –
(D)
 
maximizar [4 6 3]
1 2 1 1
1 1 0 2
1 0 0 0sujeito a: 
0 1 0 0
0 0 1 0
 irrestrita.
w y
y
y
=
−   
   −   
   ≤
   
   
      
,
y irrestrita significa que não são impostas quaisquer restrições às variáveis y
1
, y
2
 e y
3
.
Uma maneira de tratar a dualidade em Programação Linear é trabalhar 
com os problemas primal e dual em par, expressos nas chamadas formas ca-
nônicas. 
3.4.1 Forma canônica da dualidade
Suponha que o problema primal seja escrito na forma seguinte:
(PC)
 
minimizar 
sujeito a: 
 0.
Tz c x
Ax b
x
=
≥
≥
a qual denominamos de forma canônica primal, cuja sigla é PC.
A forma canônica do problema dual, DC, é como mostrada a seguir:
(DC)
 
maximizar 
sujeito a: 
 0.
T
T
w b y
A y c
y
=
≤
≥
Para os dois problemas (PC) e (DC), os dados representados pela matriz 
A e pelos vetores c e b possuem dimensões m n× , 1n× e 1m× , respectiva-
mente, sendo m n< .
;
– 130 –
Exemplo 3.12: Considere o PPL a que chamamos de primal
 
1 2
1 2
1 2
1 2
minimizar 4 3
sujeito a : 2 3
2
, 0.
z x x
x x
 
x x
x x
= +
+ ≥
+ ≥
≥
Desejamos obter o seu correspondente problema dual. 
Desde que o PPL do exemplo está escrito na forma canônica, a obtenção do 
problema dual é imediata, bastando nos orientarmos pelas formas dos problemas 
(PC) e (DC). O problema dual possui, então, a forma apresentada a seguir:
 
1 2
1 2
1 2
1 2
maximizar 3 2
sujeito a : 2 4
3
, 0.
w y y
y y
 
y y
y y
= +
+ ≤
+ ≤
≥
Existem interessantes relações matemáticas entre o problema primal e o 
problema dual. Este será o objeto da próxima seção.
3.4.2 Relações entre os problemas primal e dual
As relações entre um problema de PL e seu problema dual podem re-
velar-se extremamente úteis em inúmeras situações. Talvez a maior utilidade 
das relações existentes entre um problema primal e seu dual resida na possibi-
lidade de uso dessas relações em demonstrações de lemas, corolários e teore-
mas da Programação Linear. Apesar de demonstrações serem essenciais tanto 
na proposição de novas teorias quanto no desenvolvimento de novos métodos 
de solução, os desenvolvimentos e desdobramentos teóricos serão omitidos, 
tendo em vista a proposta deste texto.
As relações mais conhecidas entre os problemas (PC) e (DC) dizem res-
peito às suas funções objetivo. Enunciaremos primeiramente as propriedades 
conhecidas como ‘dualidade fraca’ e ‘dualidade forte’, numeradas por 3.1 e 
3.2, respectivamente.
– 131 –
Propriedade 3.1: Considere os problemas (PC) e (DC): se x̂ é uma solução viável 
do problema primal (PC) e ŷ é uma solução viável do problema dual (DC), então
 ˆ ˆ
T Tc x b y≥ .
É oportuno salientar que, para ŷ ser uma solução viável do problema 
(DC), é necessário apenas que as restrições TA y c≤ e 0y ≥ sejam satisfeitas, 
ou seja, ˆTA y c≤ e ˆ 0y ≥ sejam verificadas simultaneamente.
A propriedade da ‘dualidade forte’ relaciona as soluções ótimas de am-
bos os problemas.
Propriedade 3.2: Se x̂ é uma solução viável do problema primal (PC) e ŷ 
é uma solução viável do problema dual (DC), então existe *x , uma solução 
ótima para (PC), e *y , uma solução ótima para (DC), e a seguinte igualdade 
é verdadeira:
 * *
T Tc x b y= .
A primeira propriedade estabelece que a solução do problema (PC) é um 
limitante superior da solução do problema (DC), ou seja, o valor da função 
objetivo de (PC) é no mínimo igual ao respectivo valor para (DC). A ‘dua-
lidade fraca’ descreve a relação entre qualquer par de soluções do primal e 
do dual em que ambas sejam viáveis para seus respectivos problemas, não se 
exigindo que tais soluções sejam soluções básicas viáveis.
Por exemplo, em referência aos problemas do exemplo 3.12, são dados 
os vetores 'x e "x , e 'y e "y , relacionados aos problemas primal e dual, res-
pectivamente:
5
2
2
'x
 
=  
 
;
 
1
"
1
x
 
=  
 
;
 
1
'
1
y
 
=  
  
e
 
1
"
2
y
 
=  
 
.
Desejamos verificar a propriedade 3.1 para os problemas citados e para os 
respectivos vetores. A solução é como apresentada a seguir.
Primeiramente verificamos se os vetores são soluções viáveis dos seus 
problemas. Substituiremos os vetores 'x e "x no lado esquerdo das restrições 
do problema primal: 
– 132 –
 
1 2
1 2
1 2
2 3
2
, 0
x x
x x
x x
+ ≥
+ ≥
≥ ;
- para 'x ,
 
5 13
2 2
5 9
2 2
5
2
2 (2)
2
2, 0
× + =
+ =
> ;
- para "x ,
 
2 (1) 1 3
1 1 2
1 0
1 0.
× + =
+ =
>
> .
Os cálculos mostram que 'x e ''x são soluções viáveis do problema primal. 
De modo análogo, substituiremos os vetores 'y e ''y no lado esquerdo das 
restrições do problema dual:
 
1 2
1 2
1 2
2 4
3
, 0
y y
y y
y y
+ ≤
+ ≤
≥ ,
- para 'y ,
 
2 (1) 1 3
1 1 2
1, 1 0
× + =
+ =
> ,
- para "y ,
 
2 (1) 2 4
1 2 3
1 0
2 0.
× + =
+ =
>
> .
Os cálculos mostram que 'y e "y são soluções viáveis do problema dual. Para 
verificar a propriedade 3.1, devemos substituir as soluções viáveis nas funções 
objetivo dos problemas. Iniciamos com o problema primal.
– 133 –
 1 24 3z x x= + ,
- para 'x ,
 zz’ ( ) ( ) ’= × + × ⇒ =4 2 3 5 2 312 ,
- para "x ,
 z z" ( ) ( ) "= × + × ⇒ =4 1 3 1 7 .
De modo análogo, para o problema dual.
 1 23 2w y y= + ,
- para 'y ,
 w w’ ( ) ( ) ’= × + × ⇒ =3 1 2 1 5 ,
- para "y ,
 w w" ( ) ( ) "= × + × ⇒ =3 1 2 2 7 .
Consequentemente, mediante os resultados obtidos, concluímos que 
T Tc x b y≥ para as soluções viáveis dadas.
A propriedade 3.2, por sua vez, se aplica às soluções ótimas dos proble-
mas primal e dual. Para consolidar o conceito, considere o quadro do simplex 
3.6 com a solução ótima do problema primal do exemplo 3.12.
Quadro 3.6: Quadro do simplex ótimo para o problema primal do exemplo 3.12
Base 1x 2x 3x 4x RHS
0 0 1 2 7z− = −
1x 1 0 1− 1 1
2x 0 1 1 2− 1
Considerando os problemas nos formatos indicados no exemplo 3.12, ou 
seja, em que exibem apenas duas variáveis, a solução ótima extraída do qua-
dro 3.6 é: * [1 1]Tx = . Da propriedade 3.2, concluímos dos resultados "x e 
"y dos cálculos anteriormente feitos que a solução ótima do problema dual 
é * [1 2]Ty = . Ao substituirmos essas soluções ótimas nas funções objetivo, 
verificamos que * 7Tc x = e * 7Tb y = , consequentemente, * *T Tc x b y= . Isto 
ilustra a validade da propriedade 3.2 para os problemas primal e dual do exem-
plo 3.12.
– 134 –
Propriedade 3.3: Se um dos problemas primal ou dual for um problema ilimi-
tado, então o outro será um problema inviável. 
O leitor poderá verificar facilmente a propriedade 3.3, considerando o 
exemplo a seguir.
Exemplo 3.13: O seguinte PPL é ilimitado conforme exemplo 3.9
 
1
1
1
minimizar
sujeitoa: 2
0.
z x
x
x
= −
≥
≥
Desejamos obter o problema dual correspondente e analisar o seu conjunto 
solução, com vistas à verificação da propriedade 3.3. 
A obtenção do problema dual é imediata, porque o PPL está na forma 
canônica,
 
1
1
1
maximizar 2
sujeitoa: 1
0.
w y
y
y
=
≤ −
≥
A análise das restrições do problema dual obtido mostra claramente que 
é impossível atender às duas restrições. Portanto, o problema dual não possui 
solução, ou seja, é um problema inviável. A propriedade 3.3 está verificada.
As relações existentes entre o problema primal e o problema dual, par-
ticularmente quando admitem soluções ótimas, também se estendem ao 
processo de solução desses problemas. Este assunto será tratado na seção sub-
sequente.
3.4.3 Relação entre as soluções ótimas dos problemas primal e dual
Primeiramente iremos relembrar alguns passos do algoritmo simplex 3.2. 
Quando resolvemos um PPL primal através do algoritmo simplex 3.2, calcula-
mos em uma das etapas o vetor multiplicador simplex, o qual propositalmente 
designamos pelo vetor y . Para a iteração k e uma base específica, o vetor mul-
tiplicador das restrições do primal é obtido ao resolver o sistema linear
– 135 –
kBT
kB y c= .
No mesmo algoritmo, os custos reduzidos são calculados como a seguir:
0ls = , para todo kBl I∈ , e
T
l l ls c y A= − para todo kNl I∈ .
A condição de otimalidade é alcançada quando, para uma solução básica 
viável, os custos reduzidos são não negativos.
O que ocorre, na verdade, é que, ao resolvermos pelo método simplex 
(por exemplo, o algoritmo 3.2) um dado PPL primal, estamos paralelamente 
solucionando o PPL dual. Em outras palavras, os cálculos efetuados durante a 
execução dos passos do algoritmo contêm resultados que também pertencem 
ao problema dual.
A observação do quadro do simplex apresentado no quadro 3.6 revela 
interessante inter-relacionamento entre as soluções dos problemas primal e 
dual. Na linha 1l do quadro 3.6 é possível identificar os valores 0, 0, 1 e 2, que 
são os custos reduzidos referentes aos índices base e não base do PPL primal:
{1, 2}BI = e {3, 4}NI = . Vamos resolver um exemplo.
Exemplo 3.14: Considere o PPL primal no formato padrão
 minimizar z x x x x= + + +4 3 0 01 2 3 4 
 
sujeito a: 2 3
2
0
1 2 3
1 2 4
1 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
+ − =
+ − =
≥, , , .
Desejamos obter a solução do problema dual ao solucionar o PPL pri-
mal pela aplicação do algoritmo 3.2.
Partimos da base que está mostrada no quadro do simplex 3.6, isto é, 
{1, 2}BI = . A matriz base B e o vetor 
Bc são:
2 1
1 1
B
 
=  
 
;
 
4
3
Bc
 
=  
 
.
– 136 –
O objetivo é calcular o vetor multiplicador simplex correspondente aos índi-
ces base {1, 2}BI = . A matriz inversa de
TB e o produto dessa matriz com o 
vetor Bc são mostrados a seguir:
1
1 1
( )
1 2
TB −
− 
=  − 
;
 
1 1 4 1
1 2 3 2
−     
=     −     
.
Os custos reduzidos relativos a essa solução são:
1 0s = , 
2 0s = ,
s s3 30 1 2
1
0
1= −
−




 ⇒ =[ ] ,
s s4 40 1 2
0
1
2= −
−





 ⇒ =[ ] ,
mostrando que a base corrente é ótima. Por sua vez, o problema dual corres-
pondente é:
maximizar w = 3y
1
 + 2y
2
 + 0
1
 + 02 + 03 + 04
1 2 1
1 2 2
1 3
2 4
1
2
1 2 3 4
sujeito a: 2 4
3
0
0
irrestrita
irrestrita
, , , 0,
y y
y y
y
y
y
y
α
α
α
α
α α α α
+ + =
+ + =
− + =
− + =
≥
– 137 –
em que acrescentamos variáveis de folga, 1α , 2α , 3α e 4α . Agora, observe-
mos que o produto da matriz inversa de TB com o vetor Bc , calculado ante-
riormente, é o multiplicador simplex do algoritmo 3.2, que é a solução ótima 
do dual, isto é, * [1 2]Ty = . Ainda, consideremos o quadro do simplex 3.6. 
Os custos reduzidos lidos na primeira linha do quadro 3.6 são exatamente os 
valores das variáveis de folga, isto é, 1 0α = , 2 0α = , 3 1α = e 4 2α = .
Na seção 3.4.1 foram apresentados os dois problemas primal e dual que 
se apresentavam em suas formas canônicas. Entretanto, nem sempre o pro-
blema cujo dual desejamos obter está expresso na forma canônica. Uma regra 
simples e de aplicação direta pode ser utilizada para a obtenção do PPL dual 
a partir de um PPL primal.
3.4.4 Regras de escrita do problema dual a partir de um problema primal
De modo objetivo, as regras são resumidas no quadro 3.7.
Quadro 3.7: Regras de escrita do problema dual dado o problema primal
PPL de 
minimização
PPL de 
maximização
variáveis
≥ 0 ↔ ≤ 
restrições
≤ 0 ↔ ≥
irrestrita ↔ =
restrições
≥ ↔ ≥ 0
variáveis
≤ ↔ ≤ 0
= ↔ irrestrita
Para a aplicação das regras mostradas no quadro 3.7, é preciso associar a 
cada restrição do problema primal uma variável do problema dual e vice-versa.
Para ilustrar a aplicação dessas regras, apresentaremos a seguir um exemplo.
Exemplo 3.15: Escrever o problema dual correspondente ao problema primal 
dado a seguir
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
minimizar
sujeito a: 3 2
5 1
2 3
, 0.
z x x
x x
x x
x x
x x
= −
+ ≤
− + ≥
− =
≥
 
– 138 –
Concluímos de imediato que o problema dual possuirá três variáveis, sen-
do cada uma associada a uma restrição do problema primal, como mostrado:
1 2 3
1 2 1
1 2 2
1 2 3
3 2
5 1
2 3 .
col col col
x x y
x x y
x x y
↓ ↓ ↓
+ ≤ ←
− + ≥ ←
− = ←
Associamos também a cada uma das variáveis 1x e 2x do problema 
primal uma restrição do problema dual. Isto implica que o problema dual 
possuirá duas restrições, além das restrições de suas variáveis. Em seguida, 
consultamos o quadro 3.7 e, simultaneamente, observamos as associações des-
critas, para então escrever o problema dual:
- se o PPL primal é de minimização, o problema dual é de maximização, com 
função objetivo composta dos elementos da coluna 3,
1 2 3maximizar 2 3w y y y= + + ;
- se, para o problema de minimização, a primeira restrição é do tipo ≤, a va-
riável 1y será 1 0y ≤ ;
- se, para o problema de minimização, a segunda restrição é do tipo ≥, a vari-
ável 2y será 2 0y ≥ ;
- para a restrição de igualdade, a variável será irrestrita, portanto, 3y irrestrita;
- no problema de minimização, as variáveis são 1 0x ≥ e 2 0x ≥ , indicando 
conforme o quadro 3.7 que as restrições do problema dual (que é de maxi-
mização) são do tipo ≤;
- finalmente, lembrando da transposição da matriz de coeficientes e reunindo 
todas as informações, concluímos, para o exemplo,que o problema dual tem 
a seguinte forma:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2
3
maximizar 2 3
sujeito a : 2 1
3 5 1
0
0
irrestrita.
w y y y
y y y
y y y
y
y
y
= + +
− + ≤
+ − ≤ −
≤
≥
– 139 –
As propriedades apresentadas anteriormente e as relações entre as soluções, 
além dos exemplos resolvidos, nos habilitam a enunciar um importante teorema.
3.4.5 O teorema fundamental da dualidade
Neste ponto estamos preparados para enunciar o teorema fundamental 
da dualidade. 
Teorema 3.7: Em relação aos problemas primal e dual de Programação Line-
ar, apenas uma das assertivas é verdadeira:
1. Ambos possuem soluções ótimas, com valores das funções objetivos iguais.
2. Um problema é ilimitado e o outro é um problema inviável.
3. Ambos são problemas inviáveis.
Com base nesse importante teorema vemos que a dualidade nem sempre 
pressupõe simetria entre os dois problemas.
O estudo da dualidade em Programação Linear proporciona a compreen-
são de importantes conceitos dessa fascinante área da Pesquisa Operacional. Um 
desses conceitos, de crucial relevância em estudos mais aprofundados da teoria da 
Otimização, consiste nas condições de otimalidade, conhecidas como condições de 
Karush-Kuhn-Tucker, que foram estabelecidas em 1939, preliminarmente para a 
Programação Não Linear, portanto, antes do advento do algoritmo simplex.
A próxima seção irá tratar das condições de Karush-Kuhn-Tucker para 
a Programação Linear.
3.4.6 Condições de Karush-Kuhn-Tucker para a Programação Linear
Sejam os problemas (PC) e (DC) tal como definidos na seção 3.4.1. O 
enunciado das condições de Karush-Kuhn-Tucker é como segue: as condi-
ções necessárias e suficientes para o vetor *x ser uma solução ótima do (PC) é 
que exista um vetor *y tal que
1. *Ax b≥ , * 0x ≥
2. *TA y c≤ , * 0y ≥
3. ( * ) * 0TAx b y− = , 
( *) * 0T Tc A y x− = .
– 140 –
As condições 1 e 2 simplesmente requerem que *x e *y devem ser so-
luções viáveis dos problemas primal e dual, respectivamente, enquanto que 
a condição 3, também conhecida como condição de folgas complementares, 
fornece * *T Tc x b y= .
Estamos prontos para apresentar um método que teve origem na duali-
dade: o método dual simplex, proposto por Lemke, em 1954.
3.4.7 Método dual simplex
O método simplex, conforme estudado anteriormente, inicia com uma 
solução básica viável para o PPL e se ‘move’ sempre através de soluções bá-
sicas viáveis em direção a uma solução ótima, buscando satisfazer o teste de 
otimalidade (isto é, custos reduzidos não negativos). Por seu turno, o método 
dual simplex inicia com uma solução básica inviável para o PPL e ‘caminha’ 
na direção de uma solução ótima, esforçando-se para alcançar a viabilidade.
Neste texto abordaremos o método dual simplex apenas através do for-
mato tabular. Embora seja possível escrever um algoritmo dual simplex da 
mesma forma que foi apresentado o algoritmo simplex 3.2, essa tarefa será 
deixada para o leitor (veja o LabPL em http://www2.ucg.br/Institutos/Lab-
PL/Arquivos/Simplex_Dual.pdf).
Os passos principais do método dual simplex são como mostrados a se-
guir.
Algoritmo 3.3: Dual simplex tabular.
Dados: uma solução básica inviável 0x associada a um quadro do simplex em que 
 a linha de custos reduzidos tenha somente elementos não negativos, isto é, 0s ≥ .
Quadro 3.8: Quadro do dual simplex
Base ( )B Tx ( )N Tx RHS
0 0 0� �
1 q n mj j j
s s s
−
� � ˆTz c x− = −
1
ˆ
ˆ
ˆ
i
m
k
k
k
x
x
x
�
�
1 0 0
0 1 0
0 0 1
� �
� � � � �
� �
� � � � �
� �
1 1 1 1
1
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
q n m
i i q i n m
m m q m n m
k j k j k j
k j k j k j
k j k j k j
a a a
a a a
a a a
−
−
−
� �
� � � � �
� �
� � � � �
� �
1
ˆ
ˆ
ˆ
i
m
k
k
k
b
b
b
�
�
– 141 –
Por solução básica inviável entendemos que exista pelo menos um elemento
ˆ
ik
b negativo, ou seja, um ˆ 0
ik
x < .
Passo 1. Se todos os ˆ 0
ik
b ≥ , pare; a solução básica atual é ótima porque a via-
bilidade foi alcançada. Em caso contrário, selecione a linha r do pivô dentre 
aquelas que ˆ 0
ik
b < , { }
1
ˆ ˆˆ min ; 0
i ir k ki m
x b b
≤ ≤
= < . 
Passo 2. Denote por ˆ
qrj
a o elemento da linha r e da jotaqueésima coluna do 
quadro corrente. Se ˆ 0
qrj
a ≥ para todo qj , pare; o problema dual é ilimitado 
e o primal é inviável. Em caso contrário, selecione a coluna ej do pivô pelo 
seguinte teste da razão mínima: 
0
1 10
,..., ,...,
ˆmin min 0
ˆ ˆ
p q
q
p n m q n m
p q
j j
e p rj
j j j j j j
rj rj
s s
j j ; ; a
a a− −= =
    = − = − <  
    
.
Passo 3. Efetue o pivoteamento em torno de ˆ
erj
a e retorne ao passo 1.
Com o propósito de exemplificar a aplicação do método dual simplex 
tabular, será resolvido um exemplo.
Exemplo 3.16: Considere o PPL
 
1 2
1 2
1 2
1 2
minimizar 4 3
sujeito a : 2 3
2
, 0.
z x x
x x
 
x x
x x
= +
+ ≥
+ ≥
≥
Desejamos obter sua solução ótima por meio da aplicação do método dual 
simplex tabular.
O quadro 3.9 exibe uma solução básica inviável, porém com 0s ≥ .
Quadro 3.9: Quadro do simplex referente a uma solução básica inviável inicial
Base 1x 2x 3x 4x RHS
4 3 0 0 0 1l
3x 2− 1− 1 0 3− 2l
4x 1− 1− 0 1 2− 3l
– 142 –
A aplicação do método é como mostrada a seguir:
Quadro 3.10: Quadro do simplex após a execução dos passos 1 e 2 ( 2l é a linha do pivô)
↓
Base 1x 2x 3x 4x RHS
4 3 0 0 0
1l
← 3x 2− 1− 1 0 3− 2l
4x 1− 1− 0 1 2− 3l
Após efetuar o pivoteamento em torno de 2− obtemos o quadro 3.11.
Quadro 3.11: Quadro do simplex após o pivoteamento
Base 1x 2x 3x 4x RHS
0 1 2 0 6− 1l
1x 1 12 12− 0 3 2 2l
4x 0 12− 12− 1 12− 3l
De modo análogo, escolhemos a nova linha do pivô, 3l , e a variável para en-
trar na base, 2x .
Quadro 3.12: Quadro do simplex após a execução dos passos 1 e 2 ( 3l é a linha do pivô)
↓
Base 1x 2x 3x 4x RHS
0 1 2 0 6− 1l
1x 1 12 12− 0 3 2 2l
← 4x 0 12− 12− 1 12− 3l
Efetuamos o pivoteamento em torno de 12− e obtemos o quadro 3.13.
Quadro 3.13: Quadro do simplex após o pivoteamento com viabilidade alcançada
Base 1x 2x 3x 4x RHS
0 0 1 2 7− 1l
1x 1 0 1− 1 1 2l
2x 0 1 1 2− 1 3l
– 143 –
Constatamos no quadro 3.13 que a viabilidade foi alcançada (vide as 
duas últimas linhas da coluna RHS). Os custos reduzidos foram mantidos não 
negativos durante todo o processamento. Consequentemente, o quadro con-
tém a solução ótima do PPL, que é [ ]* 1 1 0 0 Tx = com o valor da função 
objetivo igual a 7.
Dentre as aplicações da dualidade em Programação Linear, destaca-se a 
análise de sensibilidade, também conhecida por análise pós-otimização. Nessa 
análise, partindo de um PPL resolvido, tendo acesso aos cálculos realizados, 
é possível avaliar o efeito de alterações nos dados do problema sem que seja 
necessário resolver o problema desde o início.
Outro aspecto extremamente interessante que decorre naturalmente do 
estudo da dualidade está na interpretação econômica dos problemas primal e 
dual e de suas soluções ótimas. 
Para estudo da análise de sensibilidade e da interpretação econômica 
sugerimos a leitura de (HILLIER; LIEBERMAN, 1995) e (BAZARAA; 
JARVIS; SHERALI, 1997).
No próximo capítulo iniciaremos o estudo de processos estocásticos, 
através das distribuições de probabilidades.
3.5 Exercícios propostos
1. Expresse os seguintes problemas de PL no formato padrão: 
a )
 
 
 
 
1
1 2
1 2
1 2
maximizar
sujeito a: 3
 2
 0.,
 x
 x x 
x x 
 x x 
+ ≤
+ ≥
≥
b)
 
1
1 2
minimizar
sujeito a: 2.
 x
 x x + =
c) 
 
1 2
1 2 3
2 3
2 3
maximizar 2
sujeito a: 0,005 3000
 1 
 0, 0,1 8.
 x x
 x x x 
x x
x x
−
+ + ≤
− ≥
≥ ≤ ≤
– 144 –
2. Quais dos seguintes problemas de otimização são problemas de PL? Jus-
tif ique.
a)
 
3
1 2 3
2
minimizar 5
sujeito a: 1
 0.
x
x x x 
x
− + ≤
≤
b) 
 
1
2
1 2
1 2
minimizar log( 1)
sujeito a: 2 2, 0.
x
x x 
x x
+
+ =
≥
 
 
c) 
 { }
1
1 2
1 2
minimizar 
sujeito a: 0
 , 0, 1 .
x
x x 
x x
−
− =
∈
3. Desenhe conjuntos com zero, um, dois e uma inf inidade de pontos extremos.
4. Considere o PPL
 1 2minimizar z x x= −
1 2
1
2
1 2
sujeito a: 3
2
3
, 0.
x x
x
x
x x
+ ≤
≤
≤
≥
Pede-se:
a) coloque o PPL no formato padrão;
b) verif ique que todos os pontos extremos são soluções básicas viáveis e vice-
versa; e
c) verif ique que o número de pontos extremos é menor do que ou igual ao 
número de soluções básicas viáveis.
5. Encontre um poliedro não vazio tal que um conjunto viável de qualquer 
PPL não possa assumir. Explique por quê.
– 145 –
6. Use o método gráf ico para construir exemplos para um PPL:
a) com uma única solução ótima;
b) com uma inf inidade de soluções ótimas;
c) ilimitado; e
d) inviável. 
7. Considere o PPL 
minimizar 
sujeito a: 
 
−
− =
x
x x 
1
1 2 2
 x , x1 2 0≥ .
Pede-se:
a) resolva graf icamente este problema;
b) para o conjunto de índices base {1}BI = e a solução básica viável x̂
T= [ ]2 0 , 
use o teorema 3.6 para concluir que este PPL é um problema ilimitado;
c) encontre a direção de aresta 2u ∈ℜ a partir de x̂, tal que u seja uma dire-
ção de descida, isto é, 0Tc u < ;
d) implemente o algoritmo 3.2 para este problema de PL.
8. Considere o PPL
1
1 2
1 2
minimizar 
sujeito a: 2
 0.
x
x x 
x , x
+ =
≥
Pede-se:
a) resolva graf icamente este problema.
b) para a solução básica viável x̂
T= [ ]2 0 , use o teorema 3.5 para concluir que 
a nova variável x possui ˆT Tc x c x≤ ; responda: quem é x ?
c) implemente o algoritmo 3.2 para este problema de PL.
9. Implemente o método simplex tabular para o problema do exemplo 3.10.
10. Considere o problema do exemplo 3.10, agora, com um vetor do lado direi-
to [2 10]Tb = . Resolva-o usando o algoritmo 3.2 e o método simplex tabular.
– 146 –
11. Consulte a página do Laboratório de Programação Linear (LabPL – 
<http://www2.ucg.br/Institutos/LabPL/PaginaPrincipal.html>), para resol-
ver alguns problemas de PL em geral. Pratique algumas de suas resoluções 
on-line e observe a existência de outros métodos de resolução.
12. Faça uma pesquisa na literatura em PL e compare o método simplex com 
o método simplex revisado.
13. Implemente o método simplex dual para o problema 3.10.
– 147 –
IV
Distribuições de Probabilidade
E ste capítulo aborda noções elementares de distribuições de probabilida-de que, de alguma maneira, estão associados aos tópicos de processos 
estocásticos em Pesquisa Operacional. Sugerimos as referências de Cancho 
(2004), Lopes (1999), Meyer (1980) e Morettin (1999).
Distribuição de probabilidade consiste em atribuir uma probabilida-
de a cada valor da variável aleatória ou a cada intervalo de valores. Quando 
tratamos com variáveis que podem assumir apenas valores discretos, a cada 
possível valor da variável podemos associar no máximo um valor de probabi-
lidade. Temos, assim, a noção de função de um conjunto para outro conjunto, 
de modo que o primeiro contém os valores possíveis da variável aleatória, e 
o segundo, as probabilidades. Para variáveis que assumem valores contínuos 
em , temos que as variáveis são def inidas em um dado intervalo de números 
reais, e as probabilidades pertencem ao intervalo [0, 1]. No caso discreto, para 
um certo valor x
i
 do primeiro conjunto, associamos diretamente a probabi-
lidade de sua ocorrência, que é designada por ( )iP x . Para o caso contínuo, 
não tem sentido o cálculo da probabilidade para um valor especif icado de x. 
Trabalhamos então com a noção de função densidade de probabilidade, que 
no caso unidimensional é uma função real, isto é, :f +ℜ → ℜ , que permite 
calcular as probabilidades associadas a uma variável aleatória contínua.
A exemplo dos modelos matemáticos determinísticos, nos quais as fun-
ções desempenham importante papel – por exemplo, a linear, a quadrática, a 
exponencial, a trigonométrica etc. –, verif icamos também que, na obtenção de 
modelos estocásticos para problemas do mundo real, algumas distribuições de 
probabilidade surgem mais frequentemente que outras. Neste capítulo serão 
– 148 –
estudadas as distribuições de probabilidade de variáveis discretas – a bino-
mial, a hipergeométrica, a uniforme e a distribuição de Poisson – e também as 
distribuições de probabilidade de variáveis contínuas – a retangular ou uni-
forme contínua, a normal, a exponencial e a distribuição de Erlang.
Antes de iniciarmos o estudo das distribuições de probabilidade, fa-
remos uma breve revisão do conceito de probabilidade. Após essa revisão, 
serão tratados os modelos empíricos e os modelos teóricos no estudo de pro-
babilidades.
4.1 Probabilidade
Um sonho humano sempre foi prever o futuro. No entanto, como esse 
intento não pode ser plenamente satisfeito, a existência de uma “medida” 
que permita verif icar as chances de ocorrerem determinados acontecimentos 
ou eventos é um passo importante. À medida da incerteza associada a um 
dado evento damos o nome de probabilidade. A primeira tarefa a ser em-
preendida trata-se de corretamente identif icar todos os eventos ou aconteci-
mentos que de fato sejam possíveis em relação à situação que examinamos. 
Estamos particularmente interessados em experiências cujos resultados são 
imprevisíveis e mutuamente exclusivos. Isto signif ica que, em cada repetição 
dessa experiência é impossível prever, com absoluta certeza, o resultado que 
será obtido. Além disso, a ocorrência de um resultado exclui a ocorrência de 
qualquer um dos demais, o que quer dizer que apenas um dos eventos pode 
acontecer a cada vez. Toda experiência com essas características é chamada 
de experimento aleatório, e seus possíveis resultados são chamados de even-
tos. Por último, resta-nos verif icar quais são os eventos que possuem maiores 
ou menores “chances” de ocorrer.
O conceito de probabilidade está diretamente associado ao conceito de 
conjunto e, também, à idéia de contagem dos elementos desse conjunto e dos 
elementos dos seus subconjuntos.
Para cada experimento aleatório e, def iniremos o espaço amostral S 
como o conjunto de todos os resultados possíveis de e. Dado um experimento 
aleatório, os métodos empíricos de cálculo de probabilidade caracterizam-se 
pela contagem ou enumeração exaustiva dos elementos do espaço amostral 
S com a f inalidade de se obter a frequência relativa de certo evento A, sendo 
A um subconjunto de S, ou seja, A S⊆ . O evento A relativo a um particular 
– 149 –
espaço amostral S associado a um experimento e é simplesmente um conjunto 
de resultados possíveis. 
Def inição 4.1 (Probabilidade): Seja um experimento aleatório e cujo espaço 
amostral é caracterizado pelo conjunto S. A cada evento A associa-se um nú-
mero real representado por ( )P A , denominado probabilidade de A, tal que
a) ( ) 1P S = ;
b) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + ; e
c) Se 1 2, , , nA A A� forem, dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, então
1 1
( ) ( )
nn
i i
i i
P A P A
= =
= ∑∪ .
Um caso particular dessa def inição se dá quando temos eventos equipro-
váveis, isto é, todos os elementos têm a mesma chance de ocorrer.
Def inição 4.2 (Probabilidade de eventos equiprováveis): Seja um experimen-
to aleatório e cujo espaço amostral é caracterizado pelo conjunto S, e seja A 
um conjunto caracterizando um evento aleatório. A probabilidade de ocor-
rência do evento A é a razão da cardinalidade de A e a cardinalidade de S, 
conforme estabelece a expressão 
| |
( )
| |
A
P A
S
= , (4.1)
em que A e S são a quantidade de elementos do conjunto A e a quantidade 
de elementos do conjunto S, respectivamente.
Apresentaremos a seguir um exemplo de aplicação da def inição 4.2. 
Neste ponto, estabelecemos a seguinte notação: o número kn
n
C
k
 
=  
é conhe-
cido como coef iciente binomial e é def inido pela relação (4.2):
!
!( )!
k
n
n n
C
k k n k
 
= =  − 
. (4.2)
Exemplo 4.1: A cesta ilustrada na figura 4.1 contém seis bolas, sendo duas 
pretas e quatro brancas.
– 150 –
Figura 4.1: Cesta com seis bolas
Realizaremos o experimento aleatório que consistirá em retirar simul-
taneamente duas bolas, anotar suas cores e em seguida devolvê-las à cesta. 
Qual é a probabilidade de neste experimento retirar-se uma bola preta e outra 
branca?
Suponhamos inicialmente que as bolas brancas sejam identif icadas por 
números de 1 a 4, e as pretas, por números de 1 a 2. Com o auxílio desse artifí-
cio, descreveremos o espaço amostral S associado a esse experimento aleatório, 
representando as bolas brancas por b
1
, b
2
, b
3
, b
4
 e, as pretas, por 1p e 2p :
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 1 1 2
2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2
{{ , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , },
{ , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }}.
S b b b b b b b b b b b b b p b p
b p b p b p b p b p b p p p
=
O número de elementos do espaço amostral, ou seja, | |S , é a combina-
ção simples de seis bolas tomadas duas a duas, isto é, 26 15C = . 
 O evento “uma bola preta e outra branca” é um subconjunto de S repre-
sentado pelo conjunto A, mostrado a seguir:
1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 4 2{{ , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }}.A b p b p b p b p b p b p b p b p=
 
Aplicamos a def inição 4.2 e obtemos a solução:
| | 8
( )
| | 15
A
P A
S
= = .
A fórmula geral para o cálculo da probabilidade de exatamente x even-
tos na amostra é
– 151 –
C C
C
N D
n x
D
x
N
n
−
−
,
em que N é o número de itens da coleção de objetos, D é o número desses 
objetos que gozam de certa propriedade e n é o número de elementos da 
amostra.
O problema solucionado anteriormente é um exemplo do modelo esto-
cástico hipergeométrico.
A principal conclusão que extraímos desse exemplo é que a probabi-
lidade depende diretamente do conjunto que def ine o espaço amostral e do 
subconjunto que descreve o evento que caracteriza objetivamente o processo 
em estudo.
A seguir, será resolvido um exemplo parecido com o exemplo 4.1, de 
modo que as alterações do enunciado levarão a um problema completamente 
diferente.
Exemplo 4.2: Considere a cesta ilustrada na figura 4.1. Realizaremos o ex-
perimento aleatório que consistirá em retirar uma bola anotar sua cor e 
devolvê-la à cesta e, em seguida, pegar uma segunda bola e proceder do 
mesmo modo. Qual é a probabilidade de, ao retirarmos duas bolas, apenas 
uma seja branca?
O número de elementos do espaço amostral S é 26 36= . Se fôssemos 
enumerar os elementos do espaço amostral, bastaria obter o produto cartesia-
no do conjunto 1 2 3 4 1 2{ , , , , , }b b b b p p com ele próprio. Neste caso, percebemos 
que a ordem de aparecimento do elemento, ou seja, qual cor ocorre em pri-
meiro lugar está em discussão, isto porque um elemento é retirado e depois é 
retirado outro, diferentemente do que foi feito no exemplo 4.1.
O evento “apenas uma branca” é um subconjunto de S representado por 
A, mostrado a seguir:
1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 4 2
1 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3 1 4 2 4
{( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}.
A b p b p b p b p b p b p b p b p
p b p b p b p b p b p b p b p b
=
Note que cada elemento do conjunto é um par ordenado, enquanto que, 
no exemplo anterior, cada elemento era um conjunto de dois elementos.
– 152 –
Aplicamos a def inição 4.2 e obtemos a solução:
| | 16
( )
| | 36
A
P A
S
= = ⇒ 4 9( )P A = .
Uma forma alternativa para solucionar o exemplo é a seguinte: as proba-
bilidades de retirar-se uma bola branca e de retirar-se uma preta são, respecti-
vamente, 2 3 e 13 . Se desenvolvermos o binômio 
22 1
3 3( )+ , obtemos:
2
3
1
3
2
3
1
3
2
2
3
1
3
2
3
2 2 0 1 1
+

 =







 +







 +







 = + +
0 2
1
3
4
9
4
9
1
9
..
A segunda parcela do desenvolvimento binomial corresponde à probabi-
lidade de se retirar uma bola branca e uma preta (vide os expoentes). O expoen-
te do binômio é o número de tentativas no experimento. A generalização desse 
procedimento nos levaria a uma fórmula geral para o cálculo de probabilidade 
com reposição. Este exemplo corresponde ao modelo estocástico binomial.
A probabilidade tal como estudada nesta seção não permite sua aplica-
ção em problemas complexos, uma vez que a contagem dos elementos do es-
paço amostral nem sempre é trivial, e a representação do fenômeno aleatório 
sob a forma de conjuntos não é praticável em muitas situações.
Uma forma de se trabalhar com probabilidade que permite o uso do 
computador é a sua interpretação como frequência relativa no contexto de um 
experimento aleatório.
 
4.1.1 Probabilidade e frequência relativa
Considere-se um experimento aleatório e um evento a ele associado, 
designado por A. São realizadas, inicialmente, k
1
 repetições do experimento; 
depois 1 2k k+ repetições; em seguida, 1 2 3k k k+ + , continuando dessa manei-
ra até realizarmos 1 2 3 rk k k k+ + + +� repetições do experimento. Seja n o 
número de repetições do experimento, isto é, 1 2 3 rn k k k k= + + + +� , e |A| o 
número de vezes que o evento A ocorre. Então, a frequência relativa de A, 
( )f A , é:
f A
A
n
( ) = . (4.3)
– 153 –
A frequência relativa ( )f A goza da seguinte propriedade: à medida que 
o número de repetições do experimento aleatório for aumentado, a frequência 
relativa baseada nesse número crescente de repetições tenderá a algum valor 
numérico def inido. Essa propriedade é descrita formalmente no teorema 4.1, 
que é atribuído a Bernoulli, 1713, e é conhecido como “primeira lei dos gran-
des números”.
Teorema 4.1: Quando o número de realizações de um experimento aleatório 
cresce muito, a frequência relativa do sucesso associado vai se aproximando 
cada vez mais de certo valor a que denominamos probabilidade.
Esse teorema nos fornece uma interpretação da probabilidade que é ade-
quada a cálculos com computador. Essa noção é explorada exaustivamente no 
capítulo deste livro que trata de simulações.
Os fenômenos aleatórios podem ser descritos através de métodos empí-
ricos ou por meio de modelos teóricos de probabilidade. A utilização de uma 
distribuição empírica de probabilidade, seja no processo de simulação, seja na 
solução de problemas de tomada de decisão, limita as possíveis ocorrências futu-
ras às condições válidas no passado. Alguns acontecimentos podem não ter tido 
oportunidade de ocorrência, o que impede sua reprodução no futuro. Ao usar-
mos uma distribuição teórica de probabilidade nas condições descritas, adicio-
namos informações ao comportamento da variável, o que torna o modelo mais 
apto a gerar estimativas. Dessa forma, sempre que houver condições favoráveis, 
devemos optar pelo uso do modelo teórico ajustado em vez do modelo empírico. 
A seguir, trataremos os métodos empíricos, para depois abordarmos os 
modelos teóricos.
4.2 Variável aleatória discreta
Com o objetivo de mostrar a relação entre a variável aleatória X e a 
probabilidade ( )P X , iniciaremos o estudo de distribuições de probabilidade 
analisando alguns casos empíricos. A propósito, variável aleatória é uma fun-
ção que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral 
um único número real. Para ser discreta, essa variável deve assumir valores 
em um conjunto enumerável.
– 154 –
Exemplo 4.3: Consideremos o lançamento simultâneo de duas moedas, cujo 
espaço amostral é {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}S Ca Ca Ca Co Co Ca Co Co= . A variável alea-
tória X representa o número de caras que aparecem. Na tabela 4.1, vemos a 
associação existente entre o evento “cara”, a variável aleatória X e a probabi-
lidade ( ).P X
Tabela 4.1: Relações entre evento, variável aleatória e probabilidade
Subconjunto Número de caras ( )X ( )P X( , )Ca Ca 2 14
( , )Ca Co , ( , )Co Ca 1
1 1 1
4 4 2+ =
( , )Co Co 0 14
Ao def inirmos a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma cor-
respondência entre os valores da variável aleatória e os valores da probabili-
dade. A função ( ) ( )i if x P X x= = determina a distribuição de probabilidade 
da variável aleatória X.
A f igura 4.2 ilustra a distribuição de probabilidade da tabela 4.1.
Figura 4.2: Distribuição de probabilidade do evento “número de caras”
O exemplo 4.4, que será apresentado a seguir, mostra a estreita relação 
existente entre distribuição de frequência e distribuição de probabilidade.
Exemplo 4.4: Após 30 dias de observações, o número de acidentes diários em 
um grande estacionamento de veículos foi catalogado. A tabela 4.2 mostra os 
dados obtidos.
– 155 –
Tabela 4.2: Distribuição de frequência de acidentes em um estacionamento
Número de acidentes Frequência ( if )
0 22
1 5
2 2
3 1
30ii f =∑
As probabilidades são obtidas dividindo-se as frequências pelo total de 
observações. A tabela 4.3 mostra a distribuição de probabilidade para este 
problema.
Tabela 4.3: Distribuição de probabilidade de acidentes em um estacionamento
Número de acidentes Probabilidade
0 0,73
1 0,17
2 0,07
3 0,03
( ) 1,00P X =∑
Devemos ressaltar que a associação entre frequência relativa e probabi-
lidade só é possível se o número de observações for suf icientemente grande.
Exemplo 4.5: No lançamento de dois dados são observados os números de 
pontos das faces que saem voltadas para cima. Def inimos uma variável alea-
tória X que é igual à soma dos pontos das faces de cima de ambos os dados. Os 
resultados possíveis são catalogados e estão apresentados na tabela 4.4.
Tabela 4.4: Distribuição de probabilidade de X
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
( )P X 136 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 136
A f igura 4.3 representa graf icamente ( )X P X× , sob a forma de histo-
grama.
– 156 –
Figura 4.3: Distribuição de probabilidade do evento “soma dos pontos das faces de 
dois dados”
A seguir, são apresentadas duas def inições fundamentais no estudo de 
processos estocásticos.
4.2.1 Esperança matemática e variância de uma variável aleatória discreta
Def inimos esperança matemática de uma variável aleatória discreta X 
como a soma de todos os produtos possíveis dos valores da variável aleatória 
pelas respectivas probabilidades. Através da expressão (4.4) def inimos a espe-
rança matemática ( )E X :
1
( ) ( ),i i
i
E X x P x
∞
=
= ∑ (4.4)
em que ( )E X é a média ponderada dos possíveis valores de X, cada um pon-
derado por sua probabilidade. 
No contexto do estudo de probabilidades, esperança (ou valor esperado) 
possui o mesmo signif icado de média. Por isso, é muitas vezes designado por 
x , quando se trata de amostra, e por µ para uma população.
Def inimos variância de uma variável aleatória como a esperança mate-
mática do quadrado da diferença entre a variável aleatória e sua média, ou seja,
2( ) (( ( )) )V X E X E X= − . (4.5)
– 157 –
Usando-se algumas propriedades da esperança matemática, pode-se ex-
pressar a def inição de variância conforme se vê em (4.6).
2 2( ) ( ) [ ( )]V X E X E X= − , (4.6)
em que 2 2( ) ( )i iE X x P x= ∑ e 2[ ( )]E X é o quadrado da esperança matemática 
( )E X .
Ressaltamos que a variância é igual ao quadrado do desvio padrão; isto 
é, 2( )V X s= , em que s é o desvio padrão amostral.
4.3 Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas
Nesta seção, serão estudadas as principais distribuições de probabilidade 
de variáveis aleatórias discretas, que são: distribuição hipergeométrica, dis-
tribuição binomial, distribuição uniforme discreta e distribuição de Poisson. 
Iniciaremos o estudo de distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias 
discretas com a distribuição hipergeométrica.
4.3.1 Distribuição hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica é a distribuição de probabilidade dis-
creta mais elementar. Ela é aplicável aos casos de amostragens sem reposição. 
Consideremos uma coleção de N itens, sendo que D desses itens tenham cer-
ta propriedade, e o restante, N D− , não tenha essa propriedade. Se a amostra 
de n itens for retirada sem reposição, então a probabilidade de exatamente x 
eventos na amostra é obtida pela relação (4.7):
( )
n x x
N D D
n
N
C C
P X x
C
−
−= = . (4.7)
O valor esperado de uma variável hipergeométrica é dado pela expres-
são (4.8):
( )
D
E X n
N
= . (4.8)
– 158 –
A variância de uma variável hipergeométrica é dada pela expressão (4.9):
( ) 1
1
D D N n
V X n
N N N
−   = −      −
. (4.9)
Apresentamos a seguir um exemplo para ilustrar a aplicação da distri-
buição de probabilidade hipergeométrica.
Exemplo 4.6: Em um lote de doze peças do mesmo modelo, quatro são de-
feituosas. Ao se retirar aleatoriamente duas peças, qual é a probabilidade de 
ambas serem defeituosas?
A primeira pergunta que surge é se o experimento é feito sem reposição 
ou com reposição. Vamos resolver o problema considerando a primeira hipó-
tese, que é o caso da distribuição hipergeométrica. Primeiramente, analisemos 
a retirada de duas peças por meio de um processo empírico.
Para utilizarmos o método empírico direto, estabelecemos as seguintes 
def inições:
evento A ={ primeira peça defeituosa }; 
evento B = { segunda peça defeituosa }.
A probabilidade de retirarmos uma peça defeituosa é
4
( )
12
P A = .
Supondo que os eventos A e B sejam dependentes, ou seja, a peça re-
tirada no evento A afeta a probabilidade de retirada da segunda peça, a pro-
babilidade de retirarmos simultaneamente duas peças defeituosas é o produto 
da probabilidade do evento A e a probabilidade do evento B tendo em vista 
que A ocorreu. Assim,
4 3 1
( ) ( ) ( )
12 11 11
P A B P A P B A∩ = × = × = .
Agora, resolveremos o mesmo problema (exemplo 4.6) aplicando a 
def inição de distribuição hipergeométrica.
Supondo que não haja reposição no experimento, teremos a distribuição 
hipergeométrica. O experimento aleatório em que são retiradas peças defei-
– 159 –
tuosas de um lote de peças é um exemplo típico de aplicação da distribuição 
hipergeométrica.
Pela def inição dada no início de seção 4.3.1, a propriedade referida pode 
ser “o defeito das peças”. Portanto, temos 4D = peças com esta propriedade; 
12N = peças no lote. 
Desejamos calcular a probabilidade de se retirar duas peças com defei-
to, sem reposição, então: a amostra retirada tem 2n = itens; como queremos 
duas defeituosas implica que o número de eventos é 2x = ; portanto, a pro-
babilidade é 
2 2 2 0 2
8 4 8 4
2 2
12 12
1 6 1
( 2)
66 11
C C C C
P X
C C
− ×= = = = = .
Um método de verif icação dos resultados obtidos pressupõe a enumera-
ção dos elementos do espaço amostral. Denominamos método empírico enu-
merativo esse método, que será apresentado a seguir.
Suponhamos que as peças sejam representadas pelas letras a, b, 
c, d, e, f, g, h, i, j, k, l. Imaginemos que as peças a, b, c, d sejam as qua-
tro defeituosas do lote. Formando subconjuntos de duas peças, teremos 
o espaço amostral S. O total de elementos de S é 212
12!
66
2!(12 2)!
C = =
−
 ele-
mentos, uma vez que a ordem que as peças aparecem no grupo não é im-
portante. O evento “duas peças defeituosas” é representado pelo subconjunto
{{ , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }}A a b a c a d b c b d c d= . Aplicamos a def inição 4.2 e obte-
mos 
6 1
( )
66 11
P A = = . Esta é a probabilidade de retirar, sem reposição – retirar 
uma peça, não repô-la no lote e depois retirar uma segunda peça – exatamente 
duas peças defeituosas.
 
4.3.2 Distribuição binomial
Antes de introduzir a distribuição binomial, primeiramente vamos re-
lembrar o desenvolvimento do binômio ( )p q+ elevado ao expoente inteiro 
n. Segundo o teorema binomial, temos o somatório:
0
( )
n
n k k n k
n
k
p q C p q −
=
+ = ∑ .
– 160 –
Def inimos a variável aleatória X como o número de sucessos nas n 
tentativas. Logo, X pode assumir os valores 0,1, 2, 3, ..., n. Para X x= , temos 
x sucessos e n x− fracassos, então a distribuição binomial é expressa pela 
relação (4.10):
( ) x x n xnP X x C p q
−= = , (4.10)
em que:
( )P X x= é a probabilidade de exatamente x eventos em n tentativas 
 independentes;
p é a probabilidade do evento em uma tentativa;
q é a probabilidade de que o evento não ocorra na mesma tentativa, 
q + p = 1.
Ao aplicarmos as expressões (4.4) e (4.5), concluímos que o valor espera-
do da distribuição binomial é np, e sua variância é npq.
As condições para a aplicação da distribuição binomial são as seguintes: 
os eventos devem ser independentes e complementares, a probabilidade de 
sucesso de uma tentativa, p, e a probabilidade do insucesso, q, devem ser co-
nhecidas e devem manter-se constantes no decorrer do experimento – isto é, 
deve haver reposição.
A distribuição binomial de probabilidade é adequada aos experimentos 
que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou fracasso. A exigência que 
as probabilidades p e q sejam constantes é satisfeita tirando-se amostras e as 
repondo no universo amostral. 
Para ilustrar a distribuição binomial, consideremos o exemplo 4.7, que 
é o mesmo exemplo 4.6 com a diferença de que a primeira peça é reposta no 
lote antes de se retirar a segunda.
Exemplo 4.7: Em um lote de doze peças do mesmo modelo, quatro são defei-
tuosas. São retiradas aleatoriamente duas peças, uma após a outra, com repo-
sição. Qual é a probabilidade de ambas as peças serem defeituosas?
Consideremos que o sucesso consiste em retirar uma peça defeituosa do 
lote de doze, em que existem quatro defeituosas. Então, a probabilidade do 
sucesso é
4 1
12 3
p = = para uma tentativa. Não retirar uma peça defeituosa cor-
– 161 –
responde à probabilidade complementar,
 
1 2
1 1
3 3
q p= − = − =
 
ou
 
8
12q = .
Identif icamos os parâmetros 2 tentativas, 2 eventos.n x= = São duas 
tentativas porque retiramos uma peça e depois a outra. Aplicamos a expres-
são (4.10) para o cálculo da probabilidade de ocorrer exatamente duas peças 
defeituosas,
2 0
2
2
1 2 1
( 2)
3 3 9
P X C    = = =      
.
Eis mais um exemplo de aplicação do modelo binomial:
Exemplo 4.8: Considere um processo de fabricação em que a probabilidade de 
ocorrência de um item defeituoso é de 0,2. Se tirarmos uma amostra de vinte 
itens, qual é a probabilidade de ocorrerem menos de três itens defeituosos na 
amostra?
A probabilidade de ocorrência de menos de três itens signif ica o seguin-
te: nenhum item defeituoso, um item ou dois itens defeituosos. Portanto, apli-
caremos a distribuição binomial conforme a seguir:
0 0 20 1 1 19 2 2 18
20 20 20
( 3) ( 0) ( 1) ( 2),
( 3) (0, 2) (0,8) (0, 2) (0,8) (0, 2) (0,8) ,
( 3) 0, 206.
P X P X P X P X
P X C C C
P X
< = = + = + =
< = + +
< =
A soma de termos de probabilidades exibida anteriormente é denomina-
da probabilidade conjunta.
4.3.3 Distribuição uniforme discreta
Para um conjunto com 1n+ elementos, a distribuição uniforme de pro-
babilidade é dada pela relação (4.11):
1
( )
1
P X x
n
= =
+
. (4.11)
– 162 –
A relação (4.11) é válida para os seguintes valores de X: 
, 1, 2, , ( 1),X x a a a a n a n= = + + + − +� .
A média e a variância são, respectivamente,
( )
2
n
E X a= + (4.12)
e
( 2)
( )
12
n n
V X
+= . (4.13)
O exemplo 4.9 mostra como são feitos os cálculos de probabilidades com 
a distribuição uniforme discreta.
Exemplo 4.9: Considere uma variável aleatória discreta que pode assumir os 
valores 3, 4, 5, 6 e 7. Supondo-se que a distribuição de probabilidade dessa 
variável seja uniforme, qual é a probabilidade de que a variável aleatória te-
nha o valor 4? Qual é a probabilidade de que a variável tenha valores menores 
ou iguais a 6? Determine também a média e a variância.
Para este exemplo, com o auxílio da relação (4.11) determinamos o valor 
de n:
, 1, 2, , ( 1), ,
3, 3 1, 3 2, 3 ( 1), 3 ,
3, 4, 5, 6, 7 4.
x a a a a n a n
x n n
x n
= + + + − +
= + + + − +
= ⇒ =
�
Dado que a distribuição é uniforme, a probabilidade de que uma variá-
vel aleatória tenha um valor particular dentre os valores possíveis para X é a 
mesma para qualquer outro valor. Neste exemplo, a probabilidade de que a 
variável tenha valor 4 é:
1 1 1
( 4) 0, 20
1 4 1 5
P X
n
= = = = =
+ +
.
– 163 –
A probabilidade de que a variável aleatória X tenha valores menores ou 
iguais a 6 é a probabilidade de termos os números 3, 4, 5 ou 6, 
( 6) 0, 20 0, 20 0, 20 0, 20 0,80P X ≤ = + + + = .
A média é
4
( ) 3 5
2 2
n
x E X a= = + = + = .
A variância é
4(4 2)
( ) 2
12
V X
+= = .
4.3.4 Distribuição de Poisson
Em muitos casos, conhecemos o número de sucessos; porém, torna-se 
difícil e, às vezes, sem sentido determinar o número de fracassos ou o número 
total de tentativas. Por exemplo, considere automóveis que passam num cru-
zamento. Podemos, em um dado intervalo de tempo, anotar quantos carros 
com uma determinada característica passaram pelo cruzamento específ ico. 
Porém, o número de carros que deixaram de passar pela esquina não poderá 
ser determinado. 
A distribuição de Poisson é usada nas situações probabilísticas em que a 
área de oportunidade de ocorrência de um evento é grande, mas a oportuni-
dade de ocorrência em um intervalo particular – ou em um ponto particular 
– é muito pequena. Os experimentos de Poisson fornecem valores numéricos 
de uma variável aleatória X que representam o número de sucessos que ocor-
rem durante um dado intervalo de tempo ou em uma região especif icada. Se 
for tempo, o intervalo de tempo pode ser de qualquer ordem de grandeza, 
como um minuto, um dia, uma semana, um mês ou mesmo um ano. Se for 
uma medida geométrica, a região especif icada pode ser um segmento de reta, 
o volume de um sólido, um pedaço de material etc.
Assim, um experimento de Poisson pode gerar observações para a variá-
vel aleatória X que representa o número de chamadas telefônicas por hora 
– 164 –
recebidas em um escritório, ou o número de horas que uma escola f ica sem 
luz elétrica. Em outras palavras, a distribuição de Poisson descreve o número 
de vezes que ocorre um evento que, embora certamente possa ocorrer muitas 
vezes, é pouco provável que ocorra em um particular instante de observação. 
Essa característica é típica de chegadas em uma f ila de espera.
A probabilidade de x ocorrências em um processo de Poisson com pa-
râmetro α é def inida pela relação (4.14):
( )
!
x
P X x e
x
αα −= = , x Z+∈ . (4.14)
O parâmetro  permite empregar o modelo de Poisson seja para tempo, 
para distância, para área etc. Quando trabalhamos com tempo, o parâmetro  
é def inido como  =lDt, em que l é uma taxa na unidade de tempo.
Os histogramas mostrados na f igura 4.4 ilustram distribuições de probabi-
lidade de Poisson para quatro diferentes valores de . A abscissa é a variável x.
Figura 4.4: Histogramas da distribuição de Poisson para quatro valores do parâmetro 
– 165 –
Na distribuição de Poisson, a média e a variância são, respectivamente,
( )E X = (4.15)
e
( )V X = . (4.16)
Iremos, a seguir, interpretar f isicamente os parâmetros da distribuição 
de Poisson através de exemplos.
Exemplo 4.10: Uma f ila de atendimento de um pronto-socorro recebe em 
média quatro acidentados por hora. Qual é a probabilidade de chegar em uma 
hora até dois acidentados?
Obteremos primeiro a taxa l. A taxa de chegada é 
acidentados
4
hora
l= , 
sendo o tempo de observação D t = 1 hora. Vamos calcular as probabilidades 
dos eventos 0, 1, 2x x x= = = , ou seja, ninguém chega, chega um e chegam 
dois acidentados no intervalo de uma hora:
nenhuma chegada, 
0
4 1(4 1)( 0) 0,018
0!
P X e- ´
´
= = = ,
uma chegada, P X e( )
!
, ,= =
×( ) =− ×1 4 1
1
0 072
1
4 1
duas chegadas, P X e( )
!
, .= =
×( ) =− ×2 4 1
2
0 144
2
4 1
A probabilidade de ocorrerem chegadas de até dois acidentados em uma 
hora é a probabilidade conjunta dos eventos analisados anteriormente:
P X P X P X P X
P X
P X
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) , , , ,
(≤ = = + = + =
≤ = + +
≤
2 0 1 2
2 0 018 0 072 0 144
2)) , .= 0 234
Exemplo 4.11: Em um processo de fabricação de componentes eletrônicos em 
que o número médio de defeitos por componente é dois, qual é a probabilidade 
de um componente ter exatamente seis defeitos?
– 166 –
Dos dados, temos que o número médio de defeitos por componente é 
α = 2, e o número de eventos é 6.x = Portanto, a solução é imediata:
P X e( )
!
,= = =−6 2
6
0 012
6
2 .
Exemplo 4.12: Uma companhia de seguros estima que 0,005% de uma popu-
lação sofra a cada ano de certo tipo de acidente. Qual é a probabilidade de a 
companhia ter de pagar a mais do que três pessoas, dentre as dez mil segura-
das contra este tipo de acidente, em um dado ano?
A probabilidade de uma pessoa acidentar-se é 0,00005. Isto signif ica que 
a taxa anual de ocorrências desse tipo de acidentes é
pessoas
ano
0,00005 10.000
0,5
1
λ ×= = .
O número médio de ocorrências é 0,5tλ ∆ = , e o número de eventos é 
3.x =
0,53
0
0,5
( 3, 1) 1 ( 3, 1) 1 ,
!
( 3, 1) 1 0,998 0,002.
xx
x
e
P X t P X t
x
P X t
-=
=
´
> D = = - £ D = = -
> D = = - =
å
Nas seções seguintes, serão analisadas as distribuições de probabilidade 
de variáveis contínuas mais importantes do ponto de vista da Pesquisa Ope-
racional. Porém, antes de iniciar o estudo, serão estabelecidas def inições de 
grande utilidade para a compreensão dessas distribuições.
4.4 Variável aleatória contínua
Certos experimentos aleatórios requerem que a variável aleatória, X, 
assuma valores reais. Por exemplo, se estivermos estudando a altura de pes-
soas em um conjunto especif icado de uma comunidade, a variável X não é 
– 167 –
mais restrita a valores discretos. As alturas podem ser 1,89 metros ou 2,01 
metros etc. Outro exemplo é se precisarmos medir uma temperatura ou uma 
tensão elétrica, que certamente não são representadas por números inteiros. 
Isto nos leva à consideração das variáveis aleatórias contínuas, que podem ser 
def inidas em todo o conjunto real, ou em intervalos especif icados do mesmo 
conjunto. 
Para tratarmos das distribuições contínuas, considere as seguintes 
def inições:
Def inição 4.3 (Variável aleatória contínua): Dizemos que X é uma variá-
vel aleatória contínua se existir uma função :f +ℜ → ℜ , denominada função 
densidade de probabilidade (fdp) de X, que satisfaça às seguintes condições:
(a) ( ) 0f x ≥ para todo x ∈ℜ ; e
(b) ( ) 1f x dx
∞
−∞
=∫ .
Por essa def inição, observamos que para quaisquer números reais 1x e 
2x , tais que 1 2x x< , 
2
1
1 2( ) ( )
x
x
P x X x f x dx≤ ≤ = ∫ .
Assim, temos uma maneira de calcular a probabilidade associada a uma variá-
vel aleatória contínua X, que corresponde à área delimitada pelo gráf ico da 
função f, o eixo dos X e pelas retas 1X x= e 2X x= .
Def inição 4.4 (Função de probabilidade acumulada): Seja X uma variável 
aleatória contínua. Dizemos que F é uma função de probabilidade acumula-
da, se
0
0 0( ) ( ) ( )
x
F x P X x f x dx
-¥
= £ = ò .
– 168 –
Podemos estender as def inições que envolvem variáveis aleatórias dis-
cretas para variáveis aleatórias contínuas, como é o caso da esperança mate-
mática e da variância.
Def inição 4.5 (Esperança matemática e variância associadas às variáveis ale-
atórias contínuas): Seja X uma variável aleatória contínua com função densi-
dade de probabilidade f. O valor esperado de X é
( ) ( )E X xf x dx
¥
-¥
= ò , (4.17)
e a variância de X é
2 2( ) ( ) [ ( )]V X x f x dx E X
¥
-¥
= -ò . (4.18)
Compare a expressão (4.18) com a expressão (4.6).
Exemplo 4.13 (inspirado em Meyer (1980): Verif ique se a função f tal que 
2 , se 0 1
( )
0, caso contrário
x x
f x
< ≤
= 
 ,
é uma fdp. Se f for uma função densidade de probabilidade de uma variável 
aleatória X, então calcule 12(0 )P X≤ ≤ e determine a esperança matemática 
de X e a variância de X. Além disso, se possível, obtenha a função de proba-
bilidade acumulada F.
De acordo com a def inição 4.3, devemos mostrar que: 
a) Pela def inição de f, ( ) 0f x ≥ para todo x ∈ℜ, porque para (0,1]x ∈ (0, 1], 
f x x( ) = >2 0 e para 0x ≤ e 1x > , f x( ) = 0 .
b) Uma vez que ( ) 0f x ≥ para x ∈ℜ , 
– 169 –
f x dx xdx x( ) = = =
−∞
∞
∫ ∫ 2 12 01
0
1
.
Então, f é uma fdp. Agora, seja X uma variável aleatória contínua, tal 
que f é uma fdp de X. Assim, 
0,5
0,52 11
2 40
0
(0 ) 2P X xdx x£ £ = = =ò .
A esperança matemática é
1
12 32 2
3 30
0
( ) ( ) 2E X xf x dx x dx x
¥
-¥
= = = =ò ò .
Temos que:
1
12 3 42 1
4 20
0
( ) 2x f x dx x dx x
∞
−∞
= = =∫ ∫ .
Segue-se que a variância é:
2 2 21 2 1
2 3 18( ) ( ) [ ( )] ( )V X x f x dx E X
¥
-¥
= - = - =ò .
Finalmente, usando a def inição 4.4:
0 0
02 2
0 0 00
0
( ) ( ) ( ) 2
x x
x
F x P X x f x dx xdx x x
−∞
= ≤ = = = =∫ ∫ .
Logo, a função de probabilidade acumulada F é def inida por: 
2
0, se 0
( ) , se 0 1
1, se 1.
x
F x x x
x
ì £ïïïï= < £íïï >ïïî
Representando graf icamente a função f e a função F do exemplo an-
terior, respectivamente, pelas f iguras 4.5 e 4.6, podemos observar que a área 
sob o gráf ico de f e o eixo X é igual a 1, enquanto que a 1 12 4(0 )P X£ £ = . 
Além disso, a função F é derivável no intervalo (0, 1).
– 170 –
Figura 4.5: Gráf ico da f ( fdp de X)
Figura 4.6: Gráf ico da função de probabilidade acumulada F
4.5 Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias contínuas
Nesta seção, serão estudadas as principais distribuições de probabilidade 
de variáveis aleatórias contínuas, que são: distribuição normal, distribuição 
retangular ou uniforme, distribuição exponencial e distribuição de Erlang. 
Iniciaremos o estudo de distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias 
contínuas com a distribuição normal.
– 171 –
4.5.1 Distribuição normal
Uma das distribuições mais importantes é a distribuição normal. Uma 
das razões dessa importância é que a distribuição normal, comumente, re-
presenta com boa aproximação as distribuições de frequência observadas em 
diversos fenômenos naturais. Outra razão é que a distribuição normal pode 
ser relacionada com a maioria das distribuições de probabilidade existentes 
por meio do teorema do limite central (vide seção 4.6). Além disso, para um 
número grande de tentativas, as distribuições normais servem como aproxi-
mação de probabilidades binomiais.
A distribuição normal é também conhecida como distribuição de Gauss. 
A distribuição de Gauss é contínua e simétrica em torno da média, e sua curva 
estende-se de menos inf inito ( −∞ ) a mais inf inito ( ∞ ).
Matematicamente, uma variável aleatória contínua X tem distribuição 
normal de probabilidades quando a sua função densidade de probabilidade 
(fdp) é dada por (4.19):
x f x e
x
∈ −∞ ∞( ) =
− −
, ( )
( )

1
2
2
2 2
σ π
µ
σ . (4.19)
Em (4.19), os símbolos possuem os seguintes signif icados:
: média da população;
: desvio padrão;
: número irracional cujo valor aproximado é 3,1415;
e: número irracional cujo valor aproximado é 2,71828.
O parâmetro  é a média da distribuição normal. Esse valor é a média 
populacional. Ela e a variância populacional,  2, são valores supostamente 
conhecidos. A notação N(,  2) simboliza uma distribuição normal de mé-
dia  e variância  2. É importante fazer neste ponto um paralelo entre  e 
a média x , def inida anteriormente. Seja uma população de tamanho N, de 
que vamos retirar todas as possíveis amostras simples de tamanho n, para 
cada uma das quais vamos calcular a média x . A f igura 4.7 ilustra a relação 
existente entre  e x .
– 172 –
Figura 4.7: Ilustração da relação entre  e x
As relações da média, do desvio padrão e da variância para uma amostra 
e para uma população são apresentadas na tabela 4.5.
Tabela 4.5: Relações dos parâmetros com amostra e população
Parâmetro Amostra População f inita
Quantidade de elementos n N
Média x 
Desvio padrão s 
Variância 2s  2
O gráf ico de f ( ( )G f ), mostrado na f igura 4.8, é denominado curva 
normal. Observe que X=  é o ponto de máximode f e, como f é uma fdp, 
( ) 0f x ≥ para todo x ∈ℜ e a área sob a curva normal é igual a 1.
Figura 4.8: Gráf ico da fdp normal de X
– 173 –
A probabilidade de uma variável aleatória contínua normalmente dis-
tribuída ser menor do que ou igual a um número a é a área sob a curva normal 
de −∞ a a. Matematicamente, essa probabilidade é dada pela relação (4.20):
P X a e dx
xa
( )
( )
≤ =
−
−∞
−
∫
1
2
2
2 2
σ π
µ
σ
, (4.20)
ilustrada na figura 4.9.
Figura 4.9: Área sob a curva normal em X, ( )P X a≤
Do mesmo modo, a probabilidade de uma variável aleatória normal-
mente distribuída ser maior do que um valor dado a é, 
( ) 1 ( )P X a P X a> = − ≤ .
É essencial reconhecer que uma distribuição normal é uma distribuição 
teórica. Assim, por exemplo, os valores reais não variam entre −∞ e ∞. As 
limitações do instrumento que se usa nas medições eliminam efetivamen-
te outros valores potenciais. Não obstante, tais def iciências são amplamente 
contrabalançadas pela facilidade de utilização da distribuição normal na 
obtenção de probabilidades e pelo fato de a referida distribuição ainda cons-
tituir uma boa aproximação de dados reais. Assim, quando dizemos que 
uma variável aleatória é distribuída normalmente, essa af irmação deve ser 
interpretada como uma implicação de que a distribuição de frequência de 
seus resultados possíveis pode ser satisfatoriamente bem aproximada pela 
– 174 –
Figura 4.10: (a) Área sob a curva normal em X , ( )P X x−∞ < ≤ ; (b) área sob a curva 
normal padronizada – com escala – em Z, ( )xP Z z µσ
−−∞ < ≤ =
As tabelas 4.6 e 4.7, a seguir, apresentam valores das áreas sob a curva 
normal padronizada. 
distribuição normal de probabilidades. Logo, a curva normal é um modelo. 
Em simulações computacionais, é comum o emprego da distribuição nor-
mal truncada.
Como a integração indicada na equação (4.20) não pode ser efetuada 
diretamente pelos métodos triviais de Cálculo Diferencial e Integral, usamos 
tabelas para determinar as áreas sob a curva normal. Uma forma de facilitar 
a obtenção das probabilidades normais é utilizar a forma normal padroniza-
da e apresentar os valores em tabelas. Utilizamos a variável normal padroni-
zada dada pela relação (4.21):
x
z
µ
σ
−= . (4.21)
A tabela dá a área sob a curva – ou seja, a probabilidade de 
um valor cair naquele intervalo – entre −∞ e valores escolhidos de 
z, isto é, ( )P Z z−∞ < ≤ . Temos, então, que se X é uma variável 
aleatória com distribuição normal de média  e desvio padrão , podemos escre-
ver ( ) ( )P X x P Z z−∞ < ≤ = −∞ < ≤ em que Z é uma variável aleatória, 
tal que 
x
z
µ
σ
−= . A partir dessa transformação, a distribuição resultante 
tem média igual a zero e desvio padrão igual a um. Assim, a distribuição normal 
padronizada é denotada por N(0, 1). Veja as f iguras 4.10(a) e 4.10(b).
(a) (b)
– 175 –
Tabela 4.6: Áreas sob a curva normal padronizada de −∞ a z , 0z ≤
x µ
σ
− 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00
−3,5 0,00017 0,00017 0,00018 0,00019 0,00019 0,00020 0,00021 0,00022 0,00022 0,00023
−3,4 0,00024 0,00025 0,00026 0,00027 0,00028 0,00029 0,00030 0,00031 0,00033 0,00034
−3,3 0,00035 0,00036 0,00038 0,00039 0,00040 0,00042 0,00043 0,00045 0,00047 0,00048
−3,2 0,00050 0,00052 0,00054 0,00056 0,00058 0,00060 0,00062 0,00064 0,00066 0,00069
−3,1 0,00071 0,00074 0,00076 0,00079 0,00082 0,00085 0,00087 0,00090 0,00094 0,00097
−3,0 0,00100 0,00104 0,00107 0,00111 0,00114 0,00118 0,00122 0,00126 0,00131 0,00135
−2,9 0,0014 0,0014 0,0015 0,0015 0,0016 0,0016 0,0017 0,0017 0,0018 0,0019
−2,8 0,0019 0,0020 0,0021 0,0021 0,0022 0,0023 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026
−2,7 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030 0,0031 0,0032 0,0033 0,0034 0,0035
−2,6 0,0036 0,0037 0,0038 0,0039 0,0040 0,0041 0,0043 0,0044 0,0045 0,0047
−2,5 0,0048 0,0049 0,0051 0,0052 0,0054 0,0055 0,0057 0,0059 0,0060 0,0062
−2,4 0,0064 0,0066 0,0068 0,0069 0,0071 0,0073 0,0075 0,0078 0,0080 0,0082
−2,3 0,0084 0,0087 0,0089 0,0091 0,0094 0,0096 0,0099 0,0102 0,0104 0,0107
−2,2 0,0110 0,0110 0,0113 0,0116 0,0119 0,0122 0,0125 0,0129 0,0136 0,0139
−2,1 0,0143 0,0146 0,0150 0,0154 0,0158 0,0162 0,0166 0,0170 0,0174 0,0179
−2,0 0,0183 0,0188 0,0192 0,0197 0,0202 0,0207 0,0212 0,0217 0,0222 0,0228
−1,9 0,0233 0,0239 0,0244 0,0250 0,0256 0,0262 0,0268 0,0274 0,0281 0,0287
−1,8 0,0294 0,0301 0,0307 0,0314 0,0322 0,0329 0,0336 0,0344 0,0351 0,0359
−1,7 0,0367 0,0375 0,0384 0,0392 0,0401 0,0409 0,0418 0,0427 0,0436 0,0446
−1,6 0,0455 0,0465 0,0475 0,0485 0,0495 0,0505 0,0516 0,0526 0,0537 0,0548
−1,5 0,0559 0,0571 0,0582 0,0594 0,0606 0,0618 0,0630 0,0643 0,0655 0,0668
−1,4 0,0681 0,0694 0,0708 0,0721 0,0735 0,0749 0,0764 0,0778 0,0793 0,0808
−1,3 0,0823 0,0838 0,0853 0,0869 0,0885 0,0901 0,0918 0,0934 0,0951 0,0968
−1,2 0,0985 0,1003 0,1020 0,1038 0,1057 0,1075 0,1093 0,1112 0,1131 0,1151
−1,1 0,1170 0,1190 0,1210 0,1230 0,1251 0,1271 0,1292 0,1314 0,1335 0,1357
−1,0 0,1379 0,1401 0,1423 0,1446 0,1469 0,1492 0,1515 0,1539 0,1562 0,1587
−0,9 0,1611 0,1635 0,1660 0,1685 0,1711 0,1736 0,1762 0,1788 0,1814 0,1841
−0,8 0,1867 0,1894 0,1922 0,1949 0,1977 0,2005 0,2033 0,2061 0,2090 0,2119
−0,7 0,2148 0,2177 0,2207 0,2236 0,2266 0,2297 0,2327 0,2358 0,2389 0,2420
−0,6 0,2451 0,2483 0,2514 0,2546 0,2578 0,2611 0,2643 0,2676 0,2709 0,2743
−0,5 0,2776 0,2810 0,2843 0,2877 0,2912 0,2946 0,2981 0,3015 0,3050 0,3085
−0,4 0,3121 0,3156 0,3192 0,3228 0,3264 0,3300 0,3336 0,3372 0,3409 0,3446
−0,3 0,3483 0,3520 0,3557 0,3594 0,3632 0,3669 0,3707 0,3745 0,3783 0,3821
−0,2 0,3859 0,3897 0,3936 0,3974 0,4013 0,4052 0,4090 0,4129 0,4168 0,4207
−0,1 0,4247 0,4286 0,4325 0,4364 0,4404 0,4443 0,4483 0,4522 0,4562 0,4602
−0,0 0,4641 0,4681 0,4721 0,4761 0,4801 0,4840 0,4880 0,4920 0,4960 0,5000
– 176 –
Tabela 4.7: Áreas sob a curva normal padronizada de −∞ a z , 3,5z ≤
x µ
σ
− 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
+0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
+0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
+0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
+0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
+0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
+0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
+0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
+0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
+0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8079 0,8106 0,8133
+0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
+1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
+1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
+1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
+1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
+1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
+1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
+1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
+1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
+1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
+1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
+2,0 0,9773 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
+2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
+2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
+2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
+2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
+2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
+2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
+2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
+2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,99770,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
+2,9 0,9981 0,9982 0,9983 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
+3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99899 0,99893 0,99896 0,99900
+3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99915 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929
+3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950
+3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965
+3,4 0,99966 0,99967 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976
+3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983
– 177 –
O exemplo 4.14 mostra como calcular a probabilidade com distribuição 
normal, utilizando-se a variável z e as tabelas.
Exemplo 4.14: Em um laboratório, repetidas medições executadas em uma 
peça utilizando-se certo instrumento eletrônico resultam em uma sequência 
de valores. Os erros de medição comportam-se de forma aleatória, segundo 
a distribuição de Gauss. A média da distribuição é 20, e o desvio padrão é 8. 
Qual é a probabilidade de medir valores menores que 14?
Temos: 20; 8; 14aµ σ= = = , que é o maior valor da variável aleatória x.
Aplicamos a fórmula (4.21) para variável normal padronizada:
z14
14 20
8
0 75=
−
= , .
Chamamos z
14
 o valor – 0,75, por tratar-se de um valor específico da 
variável z. Desejamos obter a probabilidade ( 14)P X ≤ . Na verdade, com a 
transformação, vamos buscar na tabela a área sob a curva normal modif icada 
de – ∞ a z
14
.
Consultamos a tabela 4.6. Localizamos na primeira coluna o valor 0,7− 
e, no cruzamento dessa linha com a coluna de 0,05, encontramos o número 
0,2266. Portanto, a probabilidade procurada é ( 14) 0, 2266.P X ≤ = O valor 
0,2266 pode ser interpretado como a proporção dos valores menores do que 14.
Exemplo 4.15: Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com 
média 65,3 kg e variância 30,25 2kg . Determine o número de estudantes que 
pesam: (a) entre 60 kg e 70 kg ; e (b) mais de 63,2 kg.
Vamos considerar primeiro o cálculo da probabilidade para estudan-
tes que pesam entre 60 e 70 kg. Suporemos também que µ= x e s= s . A 
variân cia é o quadrado do desvio padrão:
( ) 30, 25 5,5V X kgσ σ= ⇒ = = .
Vamos calcular a probabilidade de a variável aleatória estar entre 60 kg 
e 70 kg, que é:
– 178 –
(60 70)P X≤ ≤ .
Raciocinando em termos da área da curva normal, vamos calcular a área 
de −∞ a 70 e subtrair desse valor a área que vai de −∞ a 60,
(60 70) ( 70) ( 60)P X P X P X≤ ≤ = ≤ − ≤ .
Temos de calcular as variáveis normais padronizadas 70 60ez z . Para 
isso, temos de empregar a relação (4.21), a saber:
70
60
70 65, 3
0,85,
5,5
60 65, 3
0,96.
5,5
z
z
−= =
−= = −
e
70
60
70 65, 3
0,85,
5,5
60 65, 3
0,96.
5,5
z
z
−= =
−= = −
Consultamos as tabelas 4.6 e 4.7, entrando com os valores de z, e acha-
mos os seguintes números:
70
60
( 70) 0,8023,
( 60) 0,1685,
(60 70) 0,8023 0,1685 0,6338.
z P X
z P X
P X
→ ≤ =
→ ≤ =
≤ ≤ = − =e
70
60
( 70) 0,8023,
( 60) 0,1685,
(60 70) 0,8023 0,1685 0,6338.
z P X
z P X
P X
→ ≤ =
→ ≤ =
≤ ≤ = − =
O número esperado de estudantes com pesos compreendidos entre 60 kg 
e 70 kg é o produto 0,6338 600 380× ≅ estudantes.
A probabilidade de termos estudantes com mais que 63,2 kg é obtida 
do seguinte modo. Vamos calcular a probabilidade de a variável aleatória ser 
menor do que ou igual a 63,2 kg:
( 63, 2)P X ≤ .
Como a área total sob a curva normal é igual a um, vamos subtrair dessa 
área o resultado obtido, ( 63, 2)P X ≤ , já que queremos calcular a probabilida-
de ( 63, 2)P X > :
– 179 –
( 63, 2) 1 ( 63, 2),
63, 2 65, 3
0, 38.
5,5
P X P X
z
> = − ≤
−= = −
e
( 63, 2) 1 ( 63, 2),
63, 2 65, 3
0, 38.
5,5
P X P X
z
> = − ≤
−= = −
z63 2
63 2 65 3
5 5
0 38,
, ,
,
, .=
−
=−
Consultamos a tabela 4.6 e obtemos:
( 63, 2) 0, 3520P X ≤ = .
Concluímos que a probabilidade de, neste universo, encontrarmos estu-
dantes com mais de 63,2 kg é
( 63, 2) 1 ( 63, 2) 1 0, 352 0,648P X P X> = − ≤ = − = .
Desse modo, esperamos que 0,648 600 389× ≅ estudantes tenham peso 
superior a 63,2 kg.
4.5.2 Distribuição retangular ou uniforme
A distribuição retangular ou uniforme é aplicável em situações nas quais 
as probabilidades de todos os sucessos são iguais. 
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição contínua retangu-
lar ou uniforme de probabilidades quando a sua função densidade de proba-
bilidade (fdp) é dada por (4.22):
0,
1
( , ) ( ) ,
0,
x a
x f x a x b
b a
x b
<
∈ −∞ ∞ = ≤ ≤ −
>
� . (4.22)
Notemos que a área do retângulo ilustrado na f igura 4.11 é igual a um, 
como deve ser para qualquer função densidade de probabilidade.
– 180 –
Figura 4.11: Gráf ico da fdp retangular ou uniforme de X
A probabilidade de que uma variável aleatória X tenha um valor me-
nor do que ou igual a um número 1x que pertença ao intervalo [ , ]a b é:
1 1
1
1( ) ( )
x x
a a
x adx
P X x f x dx
b a b a
−≤ = = =
− −∫ ∫ ,
em que 1( )P X x≤ é a probabilidade acumulada da variável aleatória X de a até x1. 
A média e a variância das variáveis aleatórias da distribuição uniforme são 
obtidas pelas expressões (4.23) e (4.24), de acordo com a def inição (4.5):
( )
2
a b
E X µ += = (4.23)
e
2
2 ( )( )
12
b a
V X σ −= = . (4.24)
A notação U(0, 1) é usada para simbolizar uma distribuição uniforme 
com a = 0 e b = 1.
4.5.3 Distribuição exponencial
Considere 0β > . Uma variável aleatória contínua X tem distribuição 
exponencial de probabilidades se a sua função densidade de probabilidade 
(fdp) for dada por (4.25):
– 181 –
x f x x
e xx∈ −∞ ∞ ={ <≥−( , ) ( ) , , 0 00b b . (4.25)
Essa forma de distribuição de probabilidade é conhecida mais espe-
cif icamente como distribuição exponencial negativa e, nessa forma, é fre-
quentemente usada para descrever tempos de serviço em modelos de f ila de 
espera. Nesse tipo de aplicação, a variável aleatória X representa o tempo.
Em aplicações na teoria de f ilas, o parâmetro β da relação (4.25) é o 
número de ocorrências na unidade de tempo. Por exemplo, β pode ser a taxa 
de atendimento de usuários por unidade de tempo.
O gráf ico de f em (4.25) é mostrado na f igura 4.12. Observe que 
(0) 0f β= > e
0
0
1x xe dx eβ ββ
∞
∞− −= − =∫ .
Figura 4.12: Gráf ico da fdp exponencial de X
A média e a variância das variáveis aleatórias da distribuição exponen-
cial são obtidas pelas relações (4.26) e (4.27):
1
( )E X µ
β
= = ,
(4.26)
β
– 182 –
V X( ) = =σ
β
2
2
1
. (4.27)
A probabilidade acumulada exponencial desde zero até um instante em 
que tenha transcorrido um tempo t∆ , isto é, a função de distribuição acumu-
lada, é dada por (4.28):
( ) 1 tP X t e β− ∆≤ ∆ = − . (4.28)
A função de distribuição acumulada é obtida integrando-se a função f, 
de (4.25), em x, de 0 a .t∆ O valor acumulado mede a probabilidade de o 
intervalo entre duas ocorrências consecutivas ser menor do que ou igual ao 
intervalo de tempo t∆ .
Exemplo 4.16: Numa linha de montagem de televisores, localizada na Zona 
Franca de Manaus, obtivemos a informação de que o tempo de serviço médio 
por aparelho é de duas horas. Qual é a probabilidade de ocorrer um tempo de 
serviço de menos de 1h 40min?
A média é igual a horas aparelho
1
2
β
= o que implica em 0,5.β = O inter-
valo requerido de execução do serviço é 1h 40min 
40 5
1h40min 1 horas.
60 3
= + =
 
A proba-
bilidade de termos intervalos de execução do serviço inferiores a 1h 40min horas é:
5
0,5 0,833343
5
( ) 1 1
3
5
( ) 0,5654.
3
P X e e
P X
− × −≤ = − = −
≤ =
4.5.4 Distribuição de Erlang
Esta distribuição de probabilidade leva o nome do seu criador, o ma-
temático e engenheiro dinamarquês Erlang Agner Krarup (1878-1929). As 
contribuições das pesquisas desse pioneiro se estendem à teoria das filas e à 
– 183 –
área de tráfego de informações em telecomunicações. Uma variável aleatória 
contínua X tem distribuição de Erlang de probabilidades se a sua função den-
sidade de probabilidade (fdp) fordada por (4.29):
x f x
x e
m a
x
x
m
m
x a
∈ −∞ ∞ =
−
≥
<








− −
( , ) ( )
( )!
,
,
�
1
1
0
0 0
,
(4.29)
em que: 
a: parâmetro de escala ou coef iciente de variação, 0a > ;
m: parâmetro de fôrma ( m é um número inteiro positivo).
Após uma comparação entre as distribuições exponencial negativa e de 
Erlang, é imediata a constatação de que em (4.29), para 1m = e 1 a β= , tere-
mos a fdp exponencial def inida em (4.25).
A média e a variância das variáveis aleatórias da distribuição de Erlang 
são obtidas pelas relações (4.30) e (4.31):
( )E X amµ= = (4.30)
e
2 2( )V X a mσ= = . (4.31)
A função de probabilidade acumulada da fdp de Erlang, calculada des-
de zero até um valor especif icado x, é dada por (4.32):
P X x e
i
x a
x
a
i
i
m
( )
( )
!
≤ = −






−
=
−∑1 0
1
. (4.32)
A distribuição de Erlang é usada como uma extensão para a distribuição 
exponencial se o coef iciente de variação for menor do que 1 (isto é, 1a < ), por 
exemplo, nas seguintes aplicações:
– 184 –
a) na modelagem de tempos de atendimento – ou de serviço – de sistemas de f ilas; 
b) na modelagem do tempo de reparo e tempo entre falhas de equipamentos 
e sistemas.
Na primeira aplicação mencionada, um servidor com tempos de serviço 
cuja distribuição seja Erlang (a, m) pode ser representado como se fosse uma 
série de m servidores com tempos de serviço de distribuição exponencial. 
Especif icamente em sistemas de telecomunicações, a distribuição de 
Erlang é empregada na modelagem do tráfego de chamadas telefônicas.
Para m não muito grande, a utilização do computador para o cálculo 
do fatorial nas expressões (4.29) e (4.32) requer certos cuidados por parte do 
programador, em face das limitações de representação da aritmética inteira 
das máquinas atualmente disponíveis. Todavia, existem métodos para se con-
tornarem essas dif iculdades, tal como apresentado em Qiao (1998).
Em simulações com o uso do computador, a distribuição de Erlang é ge-
rada a partir de variáveis uniformemente distribuídas, seguindo-se os passos 
apresentados no algoritmo 4.1 (JAIN, 1991). Denotamos ln como o logaritmo 
natural. Aqui, U(0, 1) é um número aleatório uniforme do intervalo [0, 1].
Algoritmo 4.1: Obtenção de variáveis de Erlang a partir da distribuição con-
tínua uniforme U(0, 1)
 Dados: os parâmetros m e a.
 Faça 1P ←
 Para 1, ,i m= �
 u Ui ← ( , )0 1
 iP P u← ×
 ( , ) ln( )Erlang a m a P← − ×
Na seção seguinte será estudado um teorema de capital importância 
para simulações em computador, que encontra muitas aplicações em Pesquisa 
Operacional.
4.6 Teorema do limite central
Este teorema af irma que, sob determinadas condições, as somas e as mé-
dias das amostras de medidas aleatórias extraídas de uma população tendem 
– 185 –
a apresentar uma distribuição aproximadamente bem comportada, desde que 
a amostragem seja repetida. O signif icado dessa af irmação pode ser melhor 
ilustrado com um exemplo.
Exemplo 4.17: Considere a população referente à experiência de se jogar um 
dado não viciado um número grande de vezes. A distribuição de probabilida-
de é dada pelo histograma da f igura 4.13.
Figura 4.13: Distribuição de y, que é o número obtido ao se jogar um dado
Extraímos uma amostra de n = 5 medidas – jogamos o dado cinco vezes –, 
obtendo assim a amostra desejada. Por exemplo, suponhamos que os números 
anotados nessa primeira amostra sejam y=3, 5, 1, 3 e 2. Calculemos a soma dessas 
cinco medidas e também a média da amostra, y . A título de experiência, vamos 
repetir a amostragem cem vezes. Os resultados para cem amostras estão par-
cialmente indicados na tabela 4.8, juntamente com os valores corresponden-
tes de 
5
1
i
i
y
=
∑ e y . 
Tabela 4.8: Exemplos de medidas contidas na amostra, a soma e a média
Número da 
amostra
Medidas contidas
na amostra iy∑ y
1 3, 5, 1, 3 ,2 14 2,8
2 3, 1, 1, 4, 6 15 3,0
. . . . . . . . . . . .
100 2, 4, 3, 4, 6 19 3,8
– 186 –
Construiremos um histograma de frequências de y – ou de 
5
1
i
i
y
=
∑ – para 
essas cem amostras e teremos uma representação gráf ica da distribuição em-
pírica. Observaremos um resultado interessante: embora os valores de y, na 
população – 1, 2, 3, 4, 5, 6y = –, sejam equiprováveis – vide figura 4.13 – e, 
por conseguinte, possuam uma distribuição uniforme, as médias das amostras 
– ou somas – apresentam uma distribuição não uniforme.
Em termos formais, um enunciado do teorema do limite central é como 
apresentado a seguir.
Teorema 4.2: Se amostras aleatórias com n observações forem extraídas de 
uma população com média µ e desvio padrão σ, então, quando n for gran-
de, a média amostral será normalmente distribuída com média µ e desvio 
padrão 
n
σ
.
A aproximação aludida no teorema 4.2 será tanto mais perfeita quanto 
maior for o valor de n.
Para ilustrar esse teorema, foi elaborado no ambiente Matlab um có-
digo para simular o lançamento do dado por cinco vezes consecutivas. Esse 
experimento foi repetido mil vezes. O histograma de frequências resultante 
é conforme ilustrado na f igura 4.14, em que o eixo das abscissas representa a 
variável aleatória y , e o eixo das ordenadas, a frequência absoluta.
Figura 4.14: Histograma de frequências de y que se apresenta com o aspecto de uma 
normal
– 187 –
O código escrito com instruções do Matlab é mostrado na f igura 4.15.
n = input('Entrar com o tamanho da amostra: ');
m = input('Entrar com a quantidade de simulações: ');
for k = 1:m,
 soma = 0;
 for i = 1:n,
 y(i) = f ix(1 + 6*rand); % rand é U(0,1)
 soma = soma + y(i);
 end;
 media(k) = soma/n;
end;
maior = norm(media, inf); menor = norm(media, -inf);
h = (maior - menor)/m;
x = menor: h: maior; 
hist(media, x)
Figura 4.15: Código em Matlab para verif icação do teorema do limite central
Chamamos a atenção do leitor para a forma do histograma da f igura 
4.14, que lembra a forma de sinusoidal, típica da distribuição normal.
Ressaltamos que o teorema do limite central não especif ica a distribui-
ção da população. Na realidade, a distribuição da população pode se apresen-
tar sob uma vasta gama de distribuições de probabilidade, e é isso que torna 
esse teorema notável e de grande aplicabilidade. 
Formalmente, o teorema 4.2 pode ser enunciado como a seguir: sejam y
1
, 
y
2
, ... y
n
, n variáveis aleatórias independentes e sejam, respectivamente,  = E(Y) 
e  2=V(Y) o valor esperado e a variância. Ao se obter X x yj i
i
n
= =
=
∑ ,
1
o valor 
esperado e a variância de X são, respectivamente, E(X) = n e V(X)=n 2; para n 
grande, tem-se que Z
x n
n
=
− µ
σ 
tem aproximadamente a distribuição normal 
padronizada.
No restante deste livro, serão utilizadas distribuições de probabilidades 
com bastante frequência. O estudo de modelos probabilísticos – processos es-
tocásticos – será iniciado no próximo capítulo, com processo de Markov.
– 188 –
4.7 Exercícios propostos
1. Resolva os problemas a seguir, supondo distribuição binomial:
a) Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a proba-
bilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.
b) Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabili-
dade de o time A ganhar 4 jogos. (Lembre-se que a probabilidade de um 
time ganhar uma partida é 13 ).
c) Considere um processo de fabricação em que a probabilidade de ocorrência 
de um item defeituoso é de 0,05. Se tirarmos uma amostra de 10 itens, cal-
cule a probabilidade de menos de três itens defeituosos na amostra. 
2. Resolva o problema abaixo, supondo distribuição hipergeométrica:
Uma empresa possui 8 diretores, dos quais 5 são homens e 3 são mulheres. 
Uma comissão de 3 diretores deve ser constituída através de sorteio para repre-
sentar a empresa em um congresso que acontecerá em Cancun. Qual é a pro-
babilidade de ser sorteada uma comissão que tenha exatamente 2 mulheres?
3. Suponha um jogo de 25 números inteiros, de 1 a 25, no qual são escolhi-
dos 15números. Apenas o acerto dos 15 números dá um excelente prêmio 
ao felizardo. No sorteio, os números são retirados de um mesmo globo, sem 
reposição. Um esperançoso apostador está intrigado porque ele normalmente 
acerta 10 ou 11 pontos e nunca fez os 15. Como podemos explicar isto para o 
apostador, usando o modelo hipergeométrico? Será que acertar poucos pontos 
é difícil também? Faça cálculos e, se for necessário, um gráf ico também.
4. Resolva o problema abaixo, supondo distribuição de Poisson:
Num semáforo de uma avenida, por meio de observações feitas num dia típi-
co, o especialista constatou que, durante 6 horas, dos 10.000 automóveis que 
ali trafegaram 0,3% não respeitou o sinal vermelho. Qual é a probabilidade 
de que, em ½ hora, pelo menos dois motoristas sejam multados por ultrapas-
sarem o sinal vermelho?
5. Resolva o exemplo 4.8 usando o modelo de Poisson com parâmetro α igual a 4. 
6. Prove a expressão (4.15) do valor esperado para o modelo de Poisson dado 
pela expressão (4.14).
– 189 –
7. Resolva os problemas abaixo, supondo distribuição normal:
a) Um teste de escolaridade tem distribuição normal com média igual a 100 
e desvio padrão igual a 10. Determine a probabilidade de um indivíduo 
submetido ao teste ter nota: (1) maior que 120; (2) entre 85 e 115.
b) Uma lâmpada eletrônica tem duração média de 850 dias e desvio padrão 
de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuída, calcule a 
probabilidade de uma lâmpada desse tipo durar: (1) entre 780 e 901 dias; 
(2) menos de 780 dias.
8. Entrando no sistema de auto-atendimento de um banco, os clientes com 
seus automóveis acessam o caixa-rápido. Os tempos de utilização são expo-
nencialmente distribuídos com uma média de 45 segundos. Qual é a pro-
babilidade de ocorrer um tempo de acesso ao caixa-rápido de menos de 30 
segundos?
9. Resolva o problema proposto, supondo distribuição uniforme discreta. 
Uma tabela de 100 números (00 a 99) dispostos aleatoriamente. Fecha-se o 
olho e, ao acaso, aponta-se para um dos números da tabela. Qual é a probabili-
dade de apontar-se o número 24? Qual é a probabilidade de acertar o número 
correspondente à sua idade nessa tabela? Supondo-se que ninguém na sala 
tenha menos de 20 e mais de 45 anos, qual é a probabilidade de se apontar 
números na faixa de idade do pessoal da sala? Qual é a média dos números 
dessa tabela? Qual é a variância? Qual é o desvio padrão?
10. Na mesma linha do algoritmo 4.1, apresentado na seção 4.5.4, escreva os 
passos de um algoritmo para gerar a distribuição exponencial a partir de va-
riáveis uniformemente distribuídas. Para isto, suponha que a probabilidade 
acumulada F(x)= 1 – e– x = U(0, 1) e, para se ter variáveis aleatórias exponen-
cialmente distribuídas, explicite x na expressão de F(x).
– 191 –
V
Processos de Markov
E ste capítulo aborda processos de Markov de primeira ordem, nas catego-rias discreto e contínuo. Como fonte complementar, sugerimos a leitura 
de Billinton (1970), Bronson (1985), Hillier & Lieberman (1995), Shamblin & 
Stevens Jr. (1989) e Trivedi (2002). 
Neste capítulo trataremos de uma sequência de estados que segue um 
processo de Markov, tal que a probabilidade da próxima ocorrência dependa 
apenas da ocorrência imediatamente anterior. Isto é, trataremos de cadeias de 
Markov de primeira ordem. 
Processos de Markov constituem um tipo especial de processo estocástico 
que possui a propriedade de as probabilidades associadas com o processo em um 
dado instante do futuro dependerem somente do estado presente, sendo, portan-
to, independentes dos eventos no passado. Desse modo, os processos markovia-
nos são caracterizados pelo que se designa como “falta de memória”.
Para caracterizar processos de Markov de maneira precisa, é necessário 
estabelecer uma def inição formal.
5.1 Def inição e caracterização de processos de Markov
Antes de apresentar a def inição de processos de Markov, é necessário 
expor um conceito mais abrangente, que é o de processo estocástico.
Def ine-se processo estocástico como uma coleção indexada de variáveis 
aleatórias { }tX , em que o índice t pertence a um dado conjunto T. Se o con-
junto T for composto de números inteiros não negativos, dizemos que o pro-
– 192 –
cesso é discreto. Se T é um intervalo real, dizemos que o processo é de tempo 
contínuo. Em geral, Xt representa uma característica mensurável de interesse 
em um instante de tempo t. Formalmente, a notação indicada pela expressão 
(5.1) def ine processo estocástico sobre um dado espaço de probabilidade:
{ ; }tX t TÎ . (5.1)
Os valores assumidos pela variável aleatória tX são chamados estados, e 
o conjunto de todos os possíveis valores forma o espaço de estado do processo.
Como exemplo de um processo estocástico, podemos citar o tráfego de 
dados em uma rede local de computadores que se encontra interligada à 
internet. Nesse sistema, enviam-se e recebem-se mensagens eletrônicas en-
quanto se fazem downloads de arquivos. A taxa de transferência de bits por 
unidade de tempo em um dado servidor dessa rede é uma variá vel incerta 
que depende da intensidade de uso do sistema pelos usuários conectados na-
quele momento. Podemos, nesse sistema, caracterizar a variável aleatória 
tX como a velocidade de transferência de dados em bits segundo , em que t é o 
instante de tempo pertencente ao intervalo [0, )T = ¥ , ou seja, o processo 
{ }tX é um processo estocástico contínuo. O espaço de probabilidade nesse 
exemplo corresponde à função densidade de probabilidade que rege o com-
portamento da variável aleatória tX , por exemplo, uma distribuição normal.
 
Def inição 5.1 (Processo de Markov): Um processo estocástico { ; }tX t TÎ é 
chamado um processo de Markov se, para qualquer tempo 0 1 nt t t t< < < < , 
a distribuição condicional de tX para os valores dados de 0 1, , , nt t tX X X depen-
dem somente de 
nt
X :
– se tX assumir valores discretos, essa def inição é expressa como
1 01 0
( | , , , )
n nt t n t n t
P X x X x X x X x
- -
= = = = = ( | )
nt t n
P X x X x= = , (5.2)
– se tX assumir valores contínuos, essa def inição é expressa como
1 01 0
( | , , , )
n nt t n t n t
P X x X x X x X x
- -
£ = = = = ( | )
nt t n
P X x X x£ = . (5.3)
Nessas expressões, 0 1 1, , , nt t t - representam o passado, e t e nt são o 
futuro e o presente respectivamente.
É interessante estabelecer claramente como é lida, por exemplo, a ex-
pressão (5.2), que é como segue: a probabilidade de a variável X ter valor 
– 193 –
igual a certo valor x no tempo t, dado que a variável aleatória tenha assumi-
do os valores nx , 1, ,nx -  0x , respectivamente, nos tempos nt , 1, ,nt -  0t , 
é igual à probabilidade de a variável X ter valor igual a um certo valor x no 
tempo t, dado apenas que a variável tenha assumido o valor nx no tempo nt .
A def inição 5.1 pode ser traduzida para a linguagem natural como se-
gue: um processo estocástico é um processo de Markov se o estado futuro do 
processo, conhecido o estado presente, é independente do passado.
É fundamental no estudo de processos de Markov a noção de estado. 
Propriedades em comum entre indivíduos ou objetos caracterizam o que se 
designa por estado. A seguir, apresentam-se exemplos de objetos ou coisas que 
possuem propriedades em comum:
– máquinas em uma linha de produção, cujos estados podem ser máquina 
funcionando, máquina parada e em reparo, máquina parada aguardando 
por reparo;
– uma população que migra de uma região para outra, podendo encontrar-se 
em um dos seguintes estados: população ociosa, população empregada;
– safras de soja na região Centro-Oeste do Brasil, considerando-se as possibi-
lidades de estado: safra boa, safra ruim ou safra razoável.
Os processos de Markov sempre envolvem a variável tempo, considera-
da na forma discreta – em que a variação se dá em saltos, ou seja, em interva-
los regulares –, ou na forma contínua, podendo assumir valores reais.
Nos exemplos citados anteriormente, podemos notar que o tempo está 
presente.Uma máquina, ao estragar, requer tempo para ser consertada e 
pode, portanto, exibir alteração em seu estado, se observada a intervalos re-
gulares de tempo. Povos que migram de um lugar a outro fazem isto com 
certa periodicidade. Safras ocorrem em meses determinados que diferem em 
função da região e da cultura considerada.
 
5.2 Relevância dos processos de Markov e possíveis aplicações
 
Em todas as áreas da atividade humana, busca-se quantif icar eventos 
que possuem certo grau de incerteza de ocorrência. Isso implica de certa for-
ma a necessidade de “prever o futuro”. Modelos matemáticos probabilísticos 
são concebidos para auxiliar o homem nas tomadas de decisão.
– 194 –
No mundo real há diversos sistemas dinâmicos que podem ser modela-
dos como processos de Markov. Eis alguns exemplos de aplicações:
– planejamento de sistemas de atendimento a f ilas de espera, que são nor-
malmente modelados como processos de “nascimento e morte”;
– dimensionamento de recursos computacionais para servir a processos que 
compartilham tempo e espaço;
– avaliação de equipamentos em operação em uma linha de produção indus-
trial ou em instalações complexas;
– estudo de fenômenos econômicos e movimentos sociais;
– análise de processos biológicos, como a evolução de certas espécies vivas, 
seja para f ins de exploração comercial ou para a preservação;
– análise da evolução de certa epidemia em uma comunidade.
Na bibliograf ia de Pesquisa Operacional encontram-se aplicações de 
processos de Markov que compreendem desde o estudo de sistemas móveis 
de comunicação, passando pelo tráfego de sinais digitais e o desenvolvimento 
de técnicas que objetivam disponibilizar o serviço a usuários, bem como a 
análise da evolução de corporações e sistemas sociais com o passar do tempo. 
Em todas as aplicações, nota-se um traço comum: o tempo.
Conforme estabelece a def inição 5.1, há duas categorias de processos de 
Markov: (1) os processos de tempo discreto, em que o índice t assume apenas 
valores inteiros não negativos, ou seja, t = 0, 1, 2, ...; e (2) os processos nos quais 
a variável tempo é contínua, ou seja, [0, )tÎ ¥ . Em ambas as categorias, os 
estados são caracterizados por números inteiros não negativos, def inidos com 
base nos valores que a variável aleatória X pode assumir.
5.3 Processos de Markov de tempo discreto
Um processo de Markov está completamente especif icado se forem co-
nhecidas as probabilidades de transição e a distribuição inicial de probabili-
dades dos estados.
Toda vez que um estado suceder a outro, dizemos que o processo esto-
cástico markoviano deu um passo. O passo pode representar um período de 
tempo que resulte em outro estado possível. Se o número de passos é zero, tal 
situação representa o presente; se igual a um, estará representando um possí-
vel estado no próximo passo, e assim por diante.
– 195 –
Pode-se iniciar o estudo de processos de Markov de tempo discreto 
def inindo probabilidades de transição.
Def inição 5.2 (Probabilidades de transição): As probabilidades condicionais
1( | )t tP X j X i+ = = , para t = 0, 1, 2, ...,
são chamadas de probabilidades de transição. Se, para cada i e j,
1 1 0( | ) ( | )t tP X j X i P X j X i+ = = = = = , para todo t = 0, 1, 2, ...,
então as probabilidades de transição para um passo são ditas estacionárias, ten-
do em vista que independem do tempo. Usualmente são denotadas por ijp .
A probabilidade de transição do estado i ao estado j, em um passo, simbo-
lizada por ijp , é a probabilidade de um objeto que se encontra no estado i, após 
um intervalo de tempo f ixo predeterminado, ser encontrado no estado j.
Para n passos à frente, como extensão da def inição 5.2, é possível escre-
ver as probabilidades de transição para cada i e j, com n = 0, 1, 2, ..., conforme 
a expressão:
0( | ) ( | )t n t nP X j X i P X j X i+ = = = = = , para todo t = 0, 1, 2, ... . (5.4)
Para simplif icar a notação, usaremos a seguinte simbologia:
1 0( | ) ijP X j X i p= = =
e
0( | ) ( )n ijP X j X i p n= = = .
A notação ( )ijp n , introduzida anteriormente, implica que, para n=0, 
(0)ijp é 0 0( | )P X j X i= = , sendo igual a 1 se i j= e igual a 0 em caso con-
trário.
As probabilidades de estados são def inidas como a seguir.
Def inição 5.3 (Probabilidade de estado no instante n): A probabilidade do 
estado i tomada no instante n é a probabilidade de um objeto ocupar o estado 
– 196 –
i após um número n f inito de passos. Formalmente, para 1M + estados,
( ) ( )i np n P X i= = , para i = 0, 1, 2, ..., M.
Especif icamente para o instante inicial, tem-se a distribuição inicial de 
probabilidades de estados, a qual é representada por um vetor linha (0)p , 
cujas componentes são as probabilidades ( )ip n , i = 0, 1, 2, ..., M,
0 1 2(0) [ (0) (0) (0) (0)]Mp p p p p=  . (5.5)
Conhecidas as def inições estabelecidas até aqui, estamos prontos para a 
apresentação de um exemplo numérico.
Exemplo 5.1: Em uma certa região, durante o período de chuvas, que dura 
cerca de seis meses a cada ano, os estados observados são dois: dias ensolarados 
e dias chuvosos, os quais serão designados pelos índices 0 e 1, respectivamente. 
Com base em observações históricas, foram obtidas para um passo, ou seja, 
um dia, as probabilidades de transição supostas constantes. A um dia chuvoso 
sucederá um dia chuvoso com probabilidade igual a 3 4 ou um dia ensolarado, 
com probabilidade 14. A dias ensolarados tanto pode suceder dias ensolarados 
ou chuvosos, com probabilidades iguais de 12 . Desejamos estudar o regime de 
chuvas dessa região, modelando o processo estocástico descrito como um pro-
cesso de Markov. Como primeira informação desse estudo, precisamos inferir 
sobre o número esperado de dias chuvosos na estação das chuvas, se a tendên-
cia descrita pelas probabilidades permanecer inalterada.
Primeiramente vamos identif icar os dados fornecidos no enunciado 
com as probabilidades def inidas anteriormente. Sendo 0 o número associado 
ao estado “sol” e 1 o número associado ao estado “chuva”, temos as probabili-
dades condicionais seguintes para um passo:
– dia chuvoso sucede a dia chuvoso → 3 41 0 11( 1| 1)P X X p= = = = ;
– dia ensolarado sucede a dia chuvoso → 141 0 10( 0 | 1)P X X p= = = = ;
– dia chuvoso sucede a dia ensolarado → 121 0 01( 1| 0)P X X p= = = = ;
– dia ensolarado sucede a dia ensolarado → 121 0 00( 0 | 0)P X X p= = = = .
– 197 –
Para encontrar a probabilidade do estado 0 em um passo, 0 (1)p , pode-
mos utilizar o conceito de probabilidade total (MORGADO et al., 2004), o 
qual para dois estados possui a seguinte expressão:
0 1 1 0 0 1 0 0(1) ( 0) ( 0 | 0) ( 0) ( 0 | 1) ( 1)p P X P X X P X P X X P X= = = = = = + = = = ,
0 00 0 10 1(1) (0) (0)p p p p p= + .
Na última expressão observamos 0 (0)p e 1(0)p , que são as probabilida-
des iniciais dos estados (vide a def inição 5.3). 
Procedendo de modo análogo, para encontrar a probabilidade do estado 
1 em um passo, 1(1)p , utilizamos novamente o conceito de probabilidade total:
1 1 1 0 0 1 0 0(1) ( 1) ( 1 | 1) ( 1) ( 1 | 0) ( 0)p P X P X X P X P X X P X= = = = = = + = = = ,
1 11 1 01 0(1) (0) (0)p p p p p= + .
Se for de interesse determinar as probabilidades dos estados 0 e 1 em 
dois passos, respectivamente, 0 (2)p e 1(2)p , tendo em vista que as probabi-
lidades de transição são constantes, basta escrever as expressões conforme se 
mostra a seguir:
0 00 0 10 1(2) (1) (1)p p p p p= +
e
1 11 1 01 0(2) (1) (1)p p p p p= + .
Se prosseguirmos com essa forma de calcular, o cálculo se revelará enfa-
donho, e haverá grande possibilidade de confusão com tantos índices.
Uma forma alternativa e muito mais funcional consiste no emprego da 
representação matricial. Das expressões de cálculo de 0 (1)p e 1(1)p , obtém-se 
a representação matricial mostrada a seguir:
00 01
0 1 0 1
10 11
[ (1) (1)] [ (0) (0)]
p p
p p p p
p p
é ù
ê ú= ê úë û
.
– 198 –
Analogamente, das expressões de cálculo de 0 (2)p e 1(2)p , extraímos a 
representação matricial mostrada a seguir:00 01
0 1 0 1
10 11
[ (2) (2)] [ (1) (1)]
p p
p p p p
p p
é ù
ê ú= ê úë û
.
Ora, se substituirmos o vetor 0 1[ (1) (1)]p p da última expressão pelo 
mesmo vetor da expressão precedente, obteremos o seguinte:
00 01 00 01
0 1 0 1
10 11 10 11
[ (2) (2)] [ (0) (0)]
p p p p
p p p p
p p p p
é ù é ù
ê ú ê ú= ê ú ê úë û ë ûe
2
00 01
0 1 0 1
10 11
[ (2) (2)] [ (0) (0)]
p p
p p p p
p p
é ù
ê ú= ê úë û
.
Finalmente, ao empregarmos o princípio da indução matemática (MOR-
GADO et al., 2004; SCHEINERMAN, 2003), é imediata a conclusão de que 
uma expressão para n passos pode ser escrita conforme se indica a seguir:
00 01
0 1 0 1
10 11
[ ( ) ( )] [ (0) (0)]
n
p p
p n p n p p
p p
é ù
ê ú= ê úë û
.
Essa expressão resolveria o exemplo em pauta se conhecêssemos a dis-
tribuição inicial, isto é, o vetor 0 1[ (0) (0)]p p . No entanto, veremos à frente, 
neste capítulo, que, sob certas condições, as probabilidades dos estados a longo 
prazo são independentes da distribuição inicial, sendo esta outra propriedade 
inerente à maioria dos processos de Markov.
Retornemos então ao exemplo 5.1. Para resolvê-lo, lançamos mão de 
um artifício conhecido por árvore de probabilidades. A f igura 5.1 ilustra o 
diagrama em árvore, partindo do estado 0, em que são considerados apenas 
quatro passos. Outro diagrama poderia ser construído; porém, partiria do 
estado 1.
– 199 –
Figura 5.1: Diagrama em árvore de probabilidades iniciando no estado 0
O modo como se calcula a probabilidade do estado 1 após quatro passos, 
isto é, 1(4)p será mostrado. Note-se na árvore de probabilidades (figura 5.1) 
que, dado que os eventos são independentes, é necessário multiplicar todas as 
probabilidades dos “caminhos” que levam ao estado 1 para calcular a proba-
bilidade do estado 1 em quatro passos. 
– 200 –
A tabela 5.1 mostra em detalhes os cálculos para a obtenção de 1(4)p .
Tabela 5.1: Planilha de cálculo da probabilidade do estado 1
Produtos de probabilidades de transição Probabilidades parciais
00 00 00 01p p p p =
1 1 1 1
2 2 2 2
1
16
00 00 01 11p p p p =
31 1 1
2 2 2 4
3
32
00 01 10 01p p p p =
1 1 1 1
2 2 4 2
1
32
00 01 11 11p p p p =
3 31 1
2 2 4 4
9
64
01 10 00 01p p p p =
1 1 1 1
2 4 2 2
1
32
01 10 01 11p p p p =
31 1 1
2 4 2 4
3
64
01 11 10 01p p p p =
31 1 1
2 4 4 2
3
64
01 11 11 11p p p p =
3 3 31
2 4 4 4
27
128
Probabilidade total (probabilidade do estado 1 
em quatro passos)
85
128 0,664»
Se construirmos uma tabela para mostrar os cálculos da probabi-
lidade do estado 0 para quatro passos, chegaremos sem dúvida no valor 
43
1280 (4) 0, 336p = » . Se estendermos os cálculos para mais passos, não é difí-
cil concluir que a probabilidade do estado 1 encaminhará para 2 3 , enquanto 
que a probabilidade do estado 0 será de 13, preservadas as condições. 
Com esses cálculos, podemos responder à questão formulada no enun-
ciado do exemplo 5.1. Portanto, espera-se que, em seis meses, 120 dias serão 
chuvosos ( 23180 120´ = ), e 60 dias serão ensolarados.
5.3.1 Matriz de transição
Uma notação conveniente para representar probabilidades de transição 
para n passos é a forma de matriz. Denominaremos matriz de transição ou, 
analogamente, matriz de probabilidades de transição.
Def inição 5.4 (Matriz de probabilidades de transição para n passos): Seja 
{ }0, 1, ,S M=  o conjunto f inito de estados e seja o par de estados (i, j), 
tal que ( , )i j S SÎ ´ . Associe a cada par ( , )i j um número real ( )ijp n , de modo 
que sejam satisfeitas as condições 0 ( ) 1ijp n£ £ para todo ( , )i j S SÎ ´ e 
– 201 –
( ) 1ij
j S
p n
Î
=å para todo i ∈ S. Com esse procedimento, def ine-se a matriz 
de transição para n passos como, 
00 01 0
10 11 1
0 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
M
Mn
M M MM
p n p n p n
p n p n p n
P
p n p n p n
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ë û


   

. (5.6)
Especif icamente, para um passo, a matriz de probabilidades de transi-
ção é como representada em (5.7), em que é omitido o índice n, por ser 1,
00 01 0
10 11 1
0 1
M
M
M M MM
p p p
p p p
P
p p p
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ë û


   

. (5.7)
Em particular, para 0n= , tem-se como consequência natural que 0P 
é a própria matriz identidade, I, de ordem ( 1) ( 1)M M+ ´ + , o que está de 
acordo com o fato de que (0)ijp é igual a 0 0( | )P X j X i= = e
p
i j
i jij
( )
,
,
0
1
0
=
=
≠




se
se
.
Com base no teorema da probabilidade total e na def inição de probabi-
lidade de transição para n passos, 1( ) ( | )ij n np n P X j X i-= = = , tem-se a ex-
pressão (5.8) para o cálculo da probabilidade do estado j em n passos
( ) ( ) (0) ( )j n i ij
i
p n P X j p p n= = = å . (5.8)
– 202 –
Com base na expressão (5.8) podemos concluir que a matriz nP é rela-
cionada à distribuição inicial de probabilidades, (0)p , def inida pela expressão 
(5.5), e ao vetor de probabilidades de estados no instante n (para n passos), 
através da expressão (5.9):
( ) (0) np n p P= . (5.9)
Essa expressão pode ser deduzida pela aplicação do princípio da indução 
matemática, a exemplo do que foi feito durante a solução do exemplo 5.1 para 
o caso particular de um processo de dois estados.
Em relação à expressão (5.9), se o espaço de estados S do processo de 
Markov { }nX for f inito, então o cálculo de P
n é relativamente fácil. Para pro-
cessos de Markov com espaços de estados contáveis, porém inf initos, o cálculo 
de Pnnão é trivial. Contudo, existem métodos para se determinar o comporta-
mento assintótico, isto é, quando n® ¥ , de ( )p n e Pn.
5.3.2 Cadeias de Markov
Uma forma visual conveniente para representar um processo de Markov 
é por meio de um grafo que se compõe de nós, que são os estados, e arcos dire-
cionados que simbolizam as transições entre os estados. Esse grafo é denomi-
nado diagrama de transição.
Def inição 5.5 (Cadeia de Markov): A sequência ( )nX , 0, 1, 2,n= , é cha-
mada de cadeia de Markov homogênea de tempo discreto, com espaço de esta-
dos {0, 1, 2, , }S M=  , e matriz de probabilidades de transição, [ ]ijP p= , se, 
para todo 0, 1, 2,n= , a condição
1 1 0( | ) ( | )n n ijP X j X i P X j X i p-= = = = = =
é satisfeita para todo ( , )i j S SÎ ´ .
Observe o exemplo apresentado a seguir.
Exemplo 5.2: Considere o problema enunciado no exemplo 5.1. Desejamos 
utilizar a representação sob a forma de diagrama de transição de uma cadeia 
de Markov para expressar o problema daquele enunciado.
– 203 –
Identif icamos dois estados, portanto, 1M = , e o espaço de estados é
{0, 1}S= . O produto cartesiano, S S´ , é {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}. A matriz de 
probabilidades de transição para um passo é a seguinte:
1 1
2 200 01
31
4 410 11
p p
P
p p
é ù é ù
ê ú ê ú= =ê ú ê úë û ë û
.
O grafo que corresponde à cadeia de Markov para esse exemplo é ilus-
trado na f igura 5.2.
Figura 5.2: Diagrama de transição de uma cadeia de Markov com dois estados
A análise de cadeias de Markov utilizando-se matriz de probabilidades 
de transição pode ser efetuada tomando-se certas precauções, tendo em vista 
que nem todos os processos de Markov de tempo discreto comportam-se de 
modo semelhante à medida que o número de passos aumenta. 
Surge então a necessidade de uma classif icação das cadeias de Markov.
5.3.3 Classif icação das cadeias de Markov
Os estados de um processo de Markov são divididos em transitório e 
recorrente. Essa classif icação está relacionada à probabilidade de o processo 
retornar a um dado estado i, do qual tenha partido.
Seja iif a probabilidade de um processo retornar ao estado i, dado que 
tenha partido desse estado; então, segue a def inição de estado recorrente.
Def inição 5.6 (Estado recorrente): Um estado i é recorrente se, partindo-se 
do estado i, eventualmente retorna-se ao estado i, com probabilidade 1iif = .
– 204 –
O processo cuja cadeia de Markov foi apresentada no exemplo 5.2 pos-
sui ambos os estados recorrentes, porque, se considerarmos o estado 0i = , 
conforme a figura 5.2, nopróximo passo podemos percorrer o arco com pro-
babilidade 00p , obtendo 00 1f = ; e, para 1i = , ainda na figura 5.2, podemos 
percorrer o arco com probabilidade 10p , e depois o de probabilidade 01p , re-
tornando para o mesmo estado 1i = , obtendo 11 1f = .
Estados transitórios, também conhecidos como não recorrentes, são 
aqueles que, partindo do estado i, há uma probabilidade positiva de o proces-
so não retornar a esse estado (isto é, 1iif < ). Estados recorrentes e transitó-
rios podem coexistir em uma mesma cadeia de Markov. A caracterização de 
estados transitórios não é trivial e, por essa razão, os detalhes de processos de 
Markov desse tipo não serão enfatizados neste livro.
Um tipo especial de estado recorrente é o estado absorvente, cuja def ini-
ção é estabelecida a seguir.
Def inição 5.7 (Estado absorvente): Um estado i é dito absorvente se a pro-
babilidade iip é igual a 1.
É importante ressaltar que só é possível “escapar” de um estado absor-
vente se o processo for reiniciado; ou seja, se o processo partir novamente de 
qualquer outro estado que não seja absorvente. A apresentação de um exem-
plo torna mais claras essas def inições.
Exemplo 5.3: Considere um navio com dois sistemas propulsores, que são duas 
turbinas idênticas. Seja Xn a variável aleatória tal que seu valor é o número de 
turbinas em operação normal no passo n. Se uma das turbinas falhar, o navio 
continua em operação, enquanto ela poderá ser consertada. Porém, se ambas fa-
lharem, o navio para, mas ainda haverá a possibilidade de que uma das turbinas 
seja consertada, sendo esta a reignição do processo de Markov e não a transição 
para outro estado. As probabilidades são as seguintes: se uma turbina que nunca 
passou por reparo é boa no tempo 1nt - , ela tem conf iabilidade de 90% no tempo 
tn; porém, uma turbina que se estragou no tempo 1nt - , após reparada, é apenas 
60% conf iável no tempo tn. Suponha as probabilidades independentes e modele 
o problema como um processo de Markov de tempo discreto.
Os valores possíveis para a variável Xn são: 0, 1 e 2, sendo, respectiva-
mente, duas turbinas estragadas, apenas uma operando e ambas operando. 
– 205 –
O modelo de probabilidades sugerido é o binomial, já que os eventos são 
independentes; ou seja, a falha de uma turbina não implica a falha da outra, e 
cada turbina só pode ser encontrada em uma dentre duas condições.
As probabilidades de transição são calculadas como a seguir:
– ambas em operação,
1 22( 2 | 2)n nP X X p-= = = , 
22 0,9 0,9 0,81p = ´ = ;
– uma turbina boa e a outra estragada, dado que ambas estavam em operação,
1 21( 1 | 2)n nP X X p-= = = ,
21 0,9 0,1 0,1 0,9 0,18p = ´ + ´ = ;
– ambas estragadas, dado que as duas estavam boas,
1 20( 0 | 2)n nP X X p-= = = ,
20 22 211 0,01p p p= - - = ;
– uma em operação e a outra entra em operação após o reparo, 
1 12( 2 | 1)n nP X X p-= = = ,
12 0,9 0,6 0,54p = ´ = ;
– nenhuma em operação, dado que apenas uma estava boa, 
1 10( 0 | 1)n nP X X p-= = = ,
10 0,1 0, 4 0,04p = ´ = ;
– uma em operação, dado que uma delas estava estragada, 
1 11( 1 | 1)n nP X X p-= = = ,
11 12 101 0, 42p p p= - - = .
– 206 –
O estado i é absorvente uma vez que entrando nele não se pode aban-
doná-lo, exceto se o processo partir novamente, portanto, 00 1p = .
A matriz de probabilidades de transição para um passo f ica conforme 
se mostra:
0 1 2
0 1 0 0
1 0,04 0, 42 0,54
2 0,01 0,18 0,81
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
.
O grafo associado à matriz P é ilustrado na f igura 5.3.
Figura 5.3: Diagrama de transição de uma cadeia de Markov para o exemplo 5.3
As análises de sistemas cujos modelos são representados por processos 
de Markov de tempo discreto para elevado número de passos trazem infor-
mações importantes. No entanto, nem todos os processos comportam-se de 
maneira idêntica para n® ¥ e, por isso, não permitem que certas conclusões 
sejam extraídas.
Daí advém a necessidade de se estabelecer objetivamente sob quais con-
dições as probabilidades limites existem e se possuem ou não algum signif ica-
do físico.
0,04
– 207 –
Def inição 5.8 (Probabilidade limite ou probabilidade estacionária): Para 
o estado j de uma cadeia de Markov, o elemento jv , para 0, 1, ,j M=  , é 
def inido como a probabilidade limite v p nj
n
j= →∞lim ( ) . Dizemos, também, que 
v
j 
 é a probabilidade do estado j em regime estacionário. Em consequência, o 
vetor 0 1[ ]Mv v v v=  é o vetor de regime estacionário.
Nos desenvolvimentos que se seguem, será mostrado que, para determi-
nadas cadeias, nem sempre é possível obter o vetor de probabilidades limites. 
Uma propriedade requerida para a existência de v
j
, tal como def inida ante-
riormente, é que a cadeia seja aperiódica.
Def inição 5.9 (Periodicidade de estados): Partindo do estado i, se retornar-
mos a esse estado em um número par ou ímpar de passos maior do que 1, di-
zemos que o estado i é periódico, com período igual ao menor número inteiro 
de passos que for necessário para alcançarmos novamente o estado i. A uma 
cadeia com estados periódicos designamos cadeia periódica. Por raciocínio 
análogo, será aperiódica a cadeia em que todos os estados forem aperiódicos.
Uma forma de verif icar a periodicidade de estados é visualizar o proces-
so como uma árvore de probabilidades. Por exemplo, a cadeia cuja matriz é
0 1
0 0 1
1 1 0
P
é ù
ê ú= ê úë û
,
é periódica com período 2. A árvore de probabilidades ilustrada na f igura 5.4 
mostra isso claramente.
Figura 5.4: Árvore de probabilidades de uma cadeia de Markov com dois estados 
periódicos
0 1
0 0 1
1 1 0
P
é ù
ê ú= ê úë û
1o passo 2o passo 3o passo
– 208 –
Um exemplo de cadeia com estados aperiódicos é a cadeia cuja árvore 
está ilustrada na f igura 5.1. Na árvore dessa f igura, é fácil visualizar que, 
partindo-se do estado 0, é possível alcançar-se o estado 0 em um passo; de 
modo análogo, se a partida for do estado 1 alcança-se o mesmo estado em 
um passo.
Em contraposição aos estados absorventes, se todos os estados de uma 
dada cadeia de Markov se comunicam, a matriz de probabilidades de transi-
ção dessa cadeia exibirá propriedades especiais. A def inição de estados ‘comu-
nicantes’ é dada em seguida.
Def inição 5.10 (Estados comunicantes): O estado i se comunica com o estado 
j, se partindo-se do estado i, for possível alcançar-se o estado j direta ou indi-
retamente, observando-se o sentido do arco que os une.
Exemplo 5.4: Dadas as matrizes de transição P
1
 e 2P associadas às cadeias de 
Markov, 
 
1
0 1 2
0 * 0 *
1 * * *
2 * * *
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
 
e
 
2
0 1 2
0 * * *
1 0 * 0
2 * * 0
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
,
identif icar se os estados se comunicam ou não. As posições marcadas com as-
terisco representam números positivos – probabilidades de transição para um 
passo. Observe-se que os estados das cadeias de Markov das matrizes P
1
 e P
2
 
são representados pelos números 0, 1 e 2 .
Considerando-se a segunda linha da matriz P
1
, isto é, partindo-se do 
estado 1, é possível chegar diretamente a qualquer um dos estados. Na pri-
meira linha, de 0, não conseguimos chegar diretamente ao estado 1. Todavia, 
de 0, podemos chegar ao estado 2 e daí alcançarmos o estado 1. Portanto, 
na cadeia de Markov que a matriz P
1
 representa, todos os seus estados se 
comunicam. 
A partir da matriz P
2
 é possível construir o diagrama de transição da ca-
deia, na qual a existência de seta indica elemento positivo na matriz. A f igura 
5.5 ilustra o diagrama de transição que corresponde à última matriz.
1
0 1 2
0 * 0 *
1 * * *
2 * * *
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
1
0 1 2
0 * 0 *
1 * * *
2 * * *
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
– 209 –
Figura 5.5: Diagrama de transição de uma cadeia de Markov em que o estado 1 é 
absorvente
Ao analisarmos a cadeia do diagrama da figura 5.5, é imediata a consta-
tação de que os estados 0 e 2 se comunicam e que o estado 1 não se comunica 
com os demais.
As cadeias de Markov em que todos os estados podemser alcançados 
a partir de todos os outros estados em um número f inito de passos, são cha-
madas de cadeias irredutíveis (ou cadeias regulares). Assim, as cadeias dos 
exemplos 5.2 e 5.4 para a matriz de transição 1P são irredutíveis e aperiódicas.
O próximo teorema fornece uma regra prática para a identif icação de 
cadeias irredutíveis. Ao elevarmos a matriz P da cadeia que queremos iden-
tif icar a potências n, podemos verif icar se existe algum n para o qual ( ) 0ijp n > 
para todo i e j. Em caso af irmativo, a cadeia é irredutível. 
Teorema 5.1: Uma condição suf iciente para se identif icar se uma cadeia é ir-
redutível é verificar a existência de algum número n inteiro não negativo, tal 
que ( ) 0ijp n > para todo i e j.
Exemplo 5.5: Dadas as matrizes seguintes:
a) 
* * 0
* 0 *
0 * *
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
; e b) 
* 0 * 0
0 * 0 *
* 0 * 0
0 * 0 *
P
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ë û
;
– 210 –
verif ique, por meio da aplicação do teorema 5.1, se elas correspondem a ca-
deias irredutíveis ou equivalentemente regulares.
Tomamos a matriz P do caso (a) e a elevamos ao quadrado, obtendo:
2
* * 0 * * 0 * * *
* 0 * * 0 * * * *
0 * * 0 * * * * *
P
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú= =ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
.
Efetuando o produto simbólico P por P, verif icamos que todas as posi-
ções com elementos nulos são preenchidas; portanto, é correto af irmar que a 
cadeia é irredutível ou regular.
Tomamos a matriz P do caso (b) e a elevamos ao quadrado, obtendo:
2
* 0 * 0
0 * 0 *
* 0 * 0
0 * 0 *
P
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ë û
.
De posse de 2P , é imediata a constatação que a matriz 3P exibe o mes-
mo padrão de preenchimentos com elementos positivos observado em P. 
Consequentemente, todas as potências, 4P , 5 , , nP P exibirão padrões se-
melhantes ao de P. É possível concluir que não existe n tal que ( ) 0ijp n > . Isso 
implica que a cadeia em questão não é irredutível. Conclusão idêntica pode 
ser extraída se aplicarmos o resultado do teorema 5.1 à matriz 2P do exem-
plo 5.4, conf irmando-se assim a identif icação feita pelo método dos estados 
comunicantes.
Para complementar a seção que trata da classif icação das cadeias de 
Markov, considere-se a def inição de estado recorrente positivo.
Def inição 5.11 (Estado recorrente positivo): O estado i é recorrente positivo 
se, partindo-se do estado i, o tempo esperado para o processo visitar nova-
mente esse estado for f inito. Se, porém, ao partir do estado i, o tempo espe-
rado para o processo voltar a visitar esse estado não for f inito, o estado é dito 
recorrente nulo.
– 211 –
Estados recorrentes positivos que são aperiódicos são chamados de esta-
dos ergódicos. Consequentemente, cadeias que têm todos os estados ergódicos 
são designadas cadeias ergódicas.
5.3.4 Análise de cadeias f initas irredutíveis com estados aperiódicos
As cadeias f initas de Markov cujos estados são recorrentes positivos e 
aperiódicos gozam de uma propriedade singular, que está expressa no teore-
ma 5.2.
Teorema 5.2: Para uma cadeia irredutível e aperiódica, com todos os estados 
recorrentes positivos, o vetor de probabilidades limites, 0 1[ ]Mv v v v=  , 
tal que v p nj
n
j= →∞lim ( ) , é o único vetor de probabilidades de regime estacioná-
rio e satisfaz às relações (5.10) e (5.11), a saber:
v vP= (5.10)
e
0
1
M
j
j
v
=
=å , 0jv ³ . (5.11)
O cálculo do vetor v pode ser efetuado usando-se o computador, atra-
vés da equação iterativa ( 1) ( )k kv v P+ = , para 0, 1, 2,k =  , arbitrando-se um 
vetor de estimativa inicial (0)v , até que a convergência seja alcançada. Uma 
maneira alternativa para a obtenção de v é o método analítico: constrói-se 
o sistema (5.10) e troca-se-lhe uma das 1M + equações lineares pela relação 
(5.11), para, em seguida, solucionar o sistema de equações resultante.
Com a aplicação do resultado do teorema 5.2, podemos calcular as pro-
babilidades estacionárias dos estados do sistema do exemplo 5.1.
Exemplo 5.6: Dado que a cadeia do exemplo 5.1 atende às condições do teo-
rema 5.2, isto é, é irredutível e aperiódica com estados recorrentes positivos, 
calcule as probabilidades de regime estacionário.
Primeiramente, utilizamos a equação de iteração, tomando o vetor ini-
cial (0) [1 0]v = , que, para este exemplo, f ica conforme se vê a seguir:
– 212 –
1 1
2 2( 1) ( 1) ( ) ( )
0 1 0 1 31
4 4
[ ] [ ] ,k k k kv v v v+ +
é ù
ê ú= ê úë û
com (0) [1 0]v = .
A tabela 5.2 resume os cálculos iterativos.
Tabela 5.2: Iterações para obtenção do vetor de probabilidades de regime estacionário
k ( )kv ( 1)kv + ( 1) ( )k kv v+ -
0 [1 0] [0,500 0,500] [ 0,500 0,500]-
1 [0,500 0,500] [0, 375 0,625] [ 0,125 0,125]-
2 [0, 375 0,625] [0, 344 0,656] [ 0,031 0,031]-
3 [0, 344 0,656] [0, 336 0,664] 3 3[ 8 10 8 10 ]- -- ´ ´
4 [0, 336 0,664] [0,334 0,666] 3 3[ 2 10 2 10 ]- -- ´ ´
Em função da precisão requerida nos cálculos, mais iterações podem ser 
realizadas. Recomendamos que o leitor repita o procedimento iterativo mostra-
do anteriormente, tomando qualquer outro vetor (0)v como estimativa inicial.
A f igura 5.6 ilustra a evolução das probabilidades dos estados 0 e 1 à 
medida que o número de passos aumenta. Ressaltamos nestes cálculos a coin-
cidência entre o número de passos n e o contador de iterações k.
Figura 5.6: Probabilidades dos estados em função do número de passos para dois 
vetores de probabilidades iniciais distintos
– 213 –
Os gráf icos ilustrados na figura 5.6 merecem alguns comentários. No da 
esquerda, o vetor de probabilidades iniciais é (0) [1 0]p = , enquanto que no 
gráf ico da direita, tal vetor é (0) [0 1]p = . Observa-se que o vetor de probabili-
dades de regime estacionário obtido independe do vetor de probabilidades iniciais.
Regra geral: para qualquer cadeia irredutível aperiódica, as probabili-
dades limites dos estados v p n p nj
n
j
n
ij= =→∞ →∞lim ( ) lim ( ) existem e são indepen-
dentes do vetor de probabilidades iniciais p(0).
O leitor é convidado a voltar ao exemplo 5.1 e traçar um paralelo entre 
a solução obtida aqui através do processo iterativo e os cálculos efetuados na-
quele exemplo.
Agora, o cálculo das probabilidades estacionárias será feito analitica-
mente. Para tal, com base na expressão (5.10), obtemos o sistema de equações:
1 1
2 2
0 1 0 1 31
4 4
[ ] [ ]v v v v
é ù
ê ú= ê úë û
 Þ 
1 1
0 12 4
1 1
0 12 4
0
0
v v
v v
ì - =ïïíï- + =ïî
.
Como as equações são linearmente dependentes, substitui-se a segunda – 
arbitrou-se a segunda, mas poderia ser a primeira – pela equação (5.11). O siste-
ma de equações assim obtido é o seguinte:
1 1
0 12 4
0 1
0
1
v v
v v
ì - =ïïíï + =ïî
.
A solução desse sistema nos fornece 1 23 3[ ]v = , que é a mesma solução 
para a qual converge o método iterativo.
Ao estudar processos de Markov, é natural a expectativa do leitor por 
conhecer as aplicações dessa interessante teoria na solução de problemas do 
mundo real. A interpretação física dos resultados obtidos com os cálculos e a 
tradução desses resultados para a linguagem natural são etapas essenciais para 
a compreensão do comportamento do sistema sob análise.
Neste contexto, apresentamos em seguida algumas interpretações rele-
vantes:
– a probabilidade de regime estacionário, iv , é a porcentagem do tempo total 
considerado que o processo permanece no estado i;
– para cadeias ergódicas, o recíproco da probabilidade de regime estacionário, 
designado por iim , é o tempo esperado de recorrência do estado i, isto é, 
– 214 –
1
ii
iv
m = , para
 
i = 0, 1, 2, ..., M, (5.12)
em que, iim é o tempo médio do processo revisitar o estado i ;
– seja f uma função da variável aleatória X, por exemplo, custos f inanceiros 
associados aos estados. As probabilidades estacionárias iv podem ser utili-
zadas para calcular a esperança matemática de f(X), assim:
0
( ( )) ( )
M
i
i
E f X v f i
=
= å . (5.13)
Em seguida, apresentamos um exemplo que permite a interpretação dos 
resultados obtidos de maneira mais prática.Exemplo 5.7: Uma fábrica possui duas máquinas idênticas, essenciais ao pro-
cesso de manufatura, que são operadas continuamente, exceto quando estão 
quebradas. Devido ao fato de serem muito sensíveis e quebrarem frequente-
mente, é necessário remunerar em tempo integral um técnico para reparar as 
máquinas quando ocorrer alguma falha. Suponha que o intervalo de tempo 
de observação seja de um dia e que a variável aleatória nX representa o núme-
ro de máquinas quebradas no dia n. Os valores possíveis para a variável alea-
tória são 0, 1nX = e 2. Admita que durante cem dias de observações foram 
anotadas as situações das duas máquinas, chegando-se às probabilidades de 
transições dos estados para um dia que estão mostradas na matriz P:
1
100
0 1 2
0 20 20 60
1 40 40 20
2 40 20 40
P
é ù
ê ú
ê ú= Þê ú
ê ú
ë û
0 1 2
0 0, 2 0, 2 0,6
1 0, 4 0, 4 0, 2
2 0, 4 0, 2 0, 4
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
.
Outro dado importante é que os custos de estar nos estados 0, 1 e 2 são, 
respectivamente, $0,00, $1.500,00 e $10.000,00, e há também o custo f ixo de re-
muneração do técnico, que é $100,00 ao dia. O custo de duas máquinas paradas é 
alto porque implica a parada da linha de produção, podendo causar sérios trans-
tornos à fábrica. A partir das probabilidades de regime estacionário, calcule:
– 215 –
a) na ocorrência de ambas as máquinas fora de operação, o número de dias 
esperado para que esta situação ocorra novamente;
b) o número esperado de dias de ociosidade do técnico;
c) o custo por dia a longo prazo para manter as máquinas.
Com base na matriz, conclui-se que a cadeia é irredutível e aperiódica, 
com estados recorrentes positivos. Por isso, podemos aplicar o teorema 5.2 
para calcular o vetor v, do qual obtemos, por algum dos métodos usados no 
exemplo anterior:
v = [0,3333 0,2500 0,4167].
O item (a) pede o tempo de recorrência para o estado 2. Basta calcular
22
2
1
v
m = , conforme (5.12), resultando no seguinte valor:
1
0,333322m = Þ µ22 3= dias.
Para o item (b), o número esperado de dias de ociosidade do técnico cor-
responde aos dias em que ambas as máquinas f icam em operação, ou seja, é o 
tempo de recorrência do estado 0,
µ µ00 10 4167 00 2 4= ⇒ =, , dias.
Finalmente, para o item (c), o custo por dia a longo prazo para manter as 
máquinas é a esperança matemática da função custo em regime estacionário, 
conforme (5.13).
E f X( ( )) , , , . , , . ,= × + × + ×0 3333 0 00 0 25 1 500 00 0 4167 10 000 00 Þ
E f X( ( )) . ,= 4 542 00 .
Devemos adicionar ao valor obtido anteriormente o custo f ixo de remu-
neração do técnico. Portanto, o custo por dia a longo prazo para manter as 
máquinas é $ 4.642,00.
As cadeias de Markov analisadas nesta seção exibem a propriedade espe-
cial de que a potência Pn, para n tendendo ao inf inito, resulta em uma matriz 
cujas linhas são todas iguais. A expressão (5.14) exprime a mencionada pro-
priedade de forma mais clara:
– 216 –
0 1
0 1
0 1
lim
M
Mn
n
M
v v v
v v v
P
v v v
®¥
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ë û


   

. (5.14)
Por exemplo, a matriz do exemplo 5.6, ao ser elevada a expoentes cada 
vez mais altos, resulta na seguinte matriz:
1 1 1 2
2 2 3 3
31 1 2
4 4 3 3
lim lim
n
n
n n
P
®¥ ®¥
é ù é ù
ê ú ê ú= =ê ú ê úë û ë û
.
Esta é uma propriedade inerente às cadeias f initas irredutíveis e aperió-
dicas. No entanto, cadeias que possuem estados absorventes constituem uma 
classe especial de processos que não exibem tal propriedade. Por exemplo, a 
matriz do exemplo 5.3 é um caso que não atende a essa propriedade.
5.3.5 Análise de cadeias f initas com estados absorventes
O estudo das cadeias de Markov f initas com estados absorventes requer 
que a matriz de probabilidades de transição P seja expressa de modo especial. 
Isto implica que as linhas de P que correspondem aos estados não absorventes 
devem ser arranjadas em primeiro lugar e, em seguida, nas últimas linhas, 
f iguram os estados absorventes.
A expressão (5.15) mostra uma representação na forma canônica da ma-
triz de probabilidades de transição quando há estados absorventes:
11 1 1 1 1
1 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1
r r s
r rr rr rs
q q c c
q q c c Q C
P P
I
+
+
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú é ùê ú ê ú= Þ =ê ú ê úë ûê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û
 
     
 
 
     
 
, (5.15)
em que as linhas referentes às matrizes Q e C correspondem aos estados não ab-
sorventes Q e C e, as demais linhas (matrizes 0 e I), aos estados absorventes 0 e I.
– 217 –
A justificativa do cálculo da potência nP passa pelo seguinte desenvolvi-
mento: primeiramente, para k natural, prova-se que kP é igual à identidade 
em (5.16):
0
k
k Q CP
I
é ù
ê ú= ê ú
ë û

, (5.16)
em que, o elemento da posição ( , )i j da matriz kQ denota a probabilidade de 
se chegar ao estado não absorvente j após k passos, partindo-se do estado não 
absorvente i, enquanto C denota a submatriz C após k passos.
Uma das informações mais relevantes na análise de cadeias absorventes 
é o número esperado de passos em que o processo f icará no estado não absor-
vente i antes da absorção. Considere-se o seguinte teorema.
Teorema 5.3: Para uma cadeia de Markov com pelo menos um estado absor-
vente, o número esperado de passos para a absorção partindo-se do estado não 
absorvente i é o somatório dos elementos da iésima linha da matriz 1( )I Q -- .
O resultado desse teorema decorre do seguinte fato: para alcançar a ab-
sorção, o processo deve transitar antes por todos os estados não absorventes 
nos passos 0, 1, 2, . Assim, o número esperado de passos antes da absorção, 
se o processo partiu do estado não absorvente i, é dado pelo somatório dos 
elementos da iésima linha da matriz:
0 2
0
k
k
Q Q Q Q
¥
=
= + + +å  ,
observando-se que 0Q I= (e que a norma da matriz Q seja menor do que 1).
Finalmente, recorremos às séries convergentes, neste caso, aplicadas a 
matrizes, que nos permitem concluir que o somatório anterior é igual à ma-
triz 1( )I Q -- .
A matriz 1( )I Q -- , designada como matriz fundamental, é uma rica 
fonte de informação sobre cadeias de Markov. Os elementos dessa matriz dão 
o número de passos – ou o número de vezes – que o processo visita os estados 
não absorventes antes de alcançar a absorção.
– 218 –
Antes de passarmos a um exemplo de aplicação, observe-se o estabeleci-
mento de mais um conceito importante sobre cadeias absorventes. Suponha-
se que o processo tenha partido do estado não absorvente i e que desejamos 
calcular a probabilidade de absorção no estado j. Note-se que aqui o índice j 
indica um estado absorvente.
Teorema 5.4: Para uma cadeia de Markov com pelo menos um estado absor-
vente, a probabilidade de o processo que partiu do estado não absorvente i 
ser absorvido no estado j é o elemento da posição ( , )i j da matriz que resulta 
do produto 1( )I Q C-- .
Uma forma possível para se concluir pela validade do teorema 5.4 é mos-
trar que o lim n
n
P
®¥ 
comporta-se como se mostra a seguir:
10 ( )
lim lim
0 0
n
n
n n
Q C I Q C
P
I I
-
®¥ ®¥
é ùé ù -ê úê ú= = ê úê úë û ë û
. (5.17)
Estamos de posse de métodos e informações que permitem resolver um 
exemplo de aplicação.
Exemplo 5.8: Considere o problema do enunciado do exemplo 5.3. Ambas 
as turbinas em falha constituem um estado absorvente, do qual só se pode 
escapar se uma das turbinas puder ser consertada enquanto o navio estiver 
completamente parado ou se, de algum modo, turbinas novas puderem ser 
instaladas no navio. Desejamos determinar o tempo médio – ou seja, o nú-
mero de passos – para o navio paralisar totalmente suas máquinas, supondo 
que ele se encontra com ambas as turbinas operando normalmente. Calcule 
também as probabilidades de absorção.
Do exemplo 5.3, temos que a matriz de probabilidades de transição para 
este problema é a seguinte:
0 1 2
0 1 0 0
1 0,04 0, 42 0,54
2 0,01 0,18 0,81
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
,
– 219 –
de que, pela expressão (5.15), obtemos:
2 1 0
2 0,81 0,18 0,01
1 0,54 0, 42 0,040 0 0 1
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
.
De acordo com a expressão (5.15), as matrizes Q, C e I são como dadas 
a seguir:
0,81 0,18
0,54 0, 42
Q
é ù
ê ú= ê úë û
,
 
0,01
0,04
C
é ù
ê ú= ê úë û 
e [ ]1I = .
A primeira pergunta refere-se ao número de passos necessários para al-
cançarmos o estado absorvente 0, tendo partido do estado 2. Portanto, neces-
sitamos calcular a matriz 1( )I Q -- , a saber:
1 0 0,81 0,18 0,19 0,18
0 1 0,54 0, 42 0,54 0,58
I Q
é ù é ù é ù-
ê ú ê ú ê ú- = - =ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û
,
( )
, ,
, ,
, ,
,
I Q− =
−
−







 =
−
−
1
1
0 19 0 18
0 54 0 58
44 6154 13 8462
41 5385 114 6154,







 .
A matriz fundamental 1( )I Q -- é, então, da seguinte forma:
2 1
2
1
44 6154 13 8462
41 5385 14 6154
1( )
, ,
, ,
I Q− =








− .
A resposta à primeira questão é a soma dos elementos da primeira linha 
da matriz fundamental (teorema 5.3), que resulta em 44,6154 + 13,8462 = 
58,4616. Isto signif ica que, se duas turbinas estiverem em operação, o nú-
mero esperado de passos até que as duas se estraguem é de 58,5 unidades de 
tempo.
– 220 –
As probabilidades de absorção são calculadas com base no teorema 5.4:
( )
, ,
, ,
,
,
,
I Q C− =
−
−















 =
−
−
1
1
0 19 0 18
0 54 0 58
0 01
0 04
44 61154 13 8462
41 5385 14 6154
0 01
0 04
1 000
1 0
,
, ,
,
,
,
,















 = 000








,
1
0
2 1,000
( )
1 1,000
I Q C-
é ù
ê ú- = ê úë û
.
Partindo-se do estado com duas turbinas operando normalmente, a pro-
babilidade de absorção é igual a 1. Do mesmo modo, partindo-se do estado 
com uma turbina, a probabilidade de absorção é também igual a 1.
As probabilidades para se alcançar a absorção partindo-se de qualquer 
um dos estados não absorventes nem sempre são iguais à unidade. Isto ocorreu 
neste exemplo, porque, na cadeia de Markov analisada, há apenas um estado 
absorvente. O exemplo que será apresentado a seguir considera uma cadeia 
com dois estados absorventes e tem por objetivo principal mostrar uma forma 
alternativa ao teorema 5.3 de se calcular os tempos médios para absorção.
Exemplo 5.9: O reservatório de uma usina hidrelétrica é utilizado com a f ina-
lidade de prover renda adicional à população que habita suas vizinhanças, por 
meio da atividade pesqueira. Periodicamente, a companhia que detém a con-
cessão supre o reservatório com alevinos, que se tornarão adultos, procriarão e 
também servirão ao propósito da pesca. Estudos mostraram que existem dois 
bons estados para pesca, os quais serão designados por 2s e 3s . No entanto, 
se a atividade pesqueira for intensif icada, a população de peixes pode cair a 
níveis em que a pesca precise ser interrompida por certo tempo. Além disso, 
em decorrência de causas naturais, o crescimento excessivo da população de 
plantas aquáticas – algas e outras – pode alcançar um nível que prejudique a 
pesca, levando também à suspensão da atividade, que somente será retomada 
após a limpeza do lago. Esse sistema físico foi modelado como um processo 
de Markov em que o período de tempo considerado razoável para ser toma-
do como unidade de tempo é um mês – isto signif ica que um passo equivale 
ao tempo de um mês. O estado que corresponde à inserção de alevinos no 
reservatório é um estado transitório, que é denotado por 1s . Os estados de in-
– 221 –
terrupção da pesca por redução do número de peixes e por poluição aquática 
são simbolizados, respectivamente, por 4s e 5s , e são estados absorventes. As 
probabilidades de transição foram levantadas por métodos estatísticos e estão 
indicadas na matriz na forma canônica (5.15) mostrada a seguir:
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
0 0,8 0 0,1 0,1
0 0,1 0,7 0,1 0,1
0 0,5 0, 2 0, 2 0,1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
s s s s s
s
s
sP
s
s
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ê úê úë û
.
Desejamos conhecer o comportamento desse processo no regime esta-
cionário. Determine os tempos esperados para alcançar os estados absorven-
tes, partindo de estados não absorventes. Calcule também a probabilidade de 
absorção no estado 4s , se o processo partiu do estado transitório.
O grafo da cadeia de Markov desse exemplo é representado pela f igura 
5.7, a título de ilustração apenas. Note-se nessa f igura o estado transitório 1s e 
os estados absorventes 4s e 5s .
Figura 5.7: Diagrama de transição da cadeia de Markov do modelo de piscicultura de 
um reservatório de hidrelétrica
– 222 –
Os tempos médios para se alcançar a absorção, que são os números es-
perados de meses para atingir os estados absorventes, podem ser calculados 
pela aplicação do teorema 5.3, de maneira análoga ao que foi feito no exemplo 
anterior, isto é:
1 0 0 0 0,8 0 1 0,8 0
0 1 0 0 0,1 0,7 0 0,9 0,7
0 0 1 0 0,5 0, 2 0 0,5 0,8
I Q
é ù é ù é ù-
ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú- = - = -ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú ê ú-ë û ë û ë û
e
1
1
1 0,8 0
( ) 0 0,9 0,7
0 0,5 0,8
I Q
-
-
é ù-
ê ú
ê ú- = - Þê ú
ê ú-ë û
1
1
2
3
1 1,73 1,51
( ) 0 2,16 1,89
0 1, 35 2, 43
s
I Q s
s
-
é ù
ê ú
ê ú- = ê ú
ê ú
ë û
.
Os passos esperados antes da absorção são mostrados na tabela 5.3, atra-
vés da matriz fundamental 1( )I Q -- .
Tabela 5.3: Cálculos dos passos esperados antes da absorção a partir dos elementos da 
matriz fundamental
Estado não absorvente de partida Passos esperados antes da absorção
1s 1 1,73 1,51 4, 24+ + = meses
2s 2,16 1,89 4,05+ = meses
3s 1,35+2,43=3,78 meses
Os passos calculados na tabela 5.3 são os tempos para absorção partindo-
se de estados não absorventes, também chamados de tempos de primeira pas-
sagem (vide a seção 5.3.6).
As probabilidades de absorção são obtidas aproveitando-se a matriz fun-
damental com base no procedimento proposto no teorema 5.4, a saber:
1
1 1,73 1,51 0,1 0,1
( ) 0 2,16 1,89 0,1 0,1
0 1, 35 2, 43 0, 2 0,1
I Q C-
é ù é ù
ê ú ê ú
ê ú ê ú- = ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
,
– 223 –
s s
I Q C
s
s
s
4 5
1
1
2
3
0 58 0 42
0 59 0 41
0 62 0 38
( )
, ,
, ,
, ,
− =












− .
A probabilidade de absorção no estado 4s , se o processo partiu do estado 
transitório s
1
, é 0,58.
Os números que f iguram na matriz obtida anteriormente podem ser ob-
tidos aplicando-se o processo iterativo estabelecido na seção 5.3.4, também utili-
zado no exemplo 5.6. Arbitrando-se o vetor inicial [ ](0) 1 0 0 0 0v = , após 
trinta iterações, obtém-se o vetor [ ](30) 0 0,0001 0,0001 0,5756 0, 4243v = . 
Os dois últimos elementos de (30)v referem-se aos estados absorventes.
5.3.6 Tempos médios de recorrência
Nas seções anteriores, estudamos procedimentos de cálculo de tempo 
médio de permanência em um dado estado i em processos de Markov apli-
cáveis para cadeias f initas irredutíveis, com estados aperiódicos e para cadeias 
f initas com estados absorventes. No entanto, os resultados obtidos da expres-
são (5.12) e do método do teorema 5.3 podem ser alcançados no caso geral pelo 
método que será estudado a seguir. 
O tempo esperado para um processo revisitar o estado i, também conhe-
cido como tempo médio de recorrência, é def inido pela esperança matemática 
indicada pela expressão (5.18)
1
( )ii ii
n
nf nm
¥
=
= å , para 
1
( ) 1ii
n
f n
¥
=
=å , (5.18)
em que ( )iif n é a probabilidade de se revisitar o estado i em n passos.
O tempo esperado para um processo que tenha partido do estado i, após 
n passos, retorne ao estado j, também conhecido como tempo de primeira 
passagem, é def inido conforme a expressão (5.19):
1
( )ij ij
n
nf nm
¥
=
= å , (5.19)
– 224 –
em que ( )ijf n é a probabilidade de, em n passos, visitar o estado j, se o processo 
partiu do estado i.
Dado que 
1
( ) 1ij
n
f n
¥
=
=å para ( , )i j S SÎ ´ , em que, {0,1, 2, , }S M=  , 
as probabilidades ( )ijf n podem ser calculadas pelas relações recursivas (5.20)
(1) (1)ij ij ijf p p= = ,
(2) (2) (1)ij ij ij jjf p f p= - ,

( ) ( ) (1) ( 1) (2) ( 2) ( 1)ij ij ij jj ij jj ij jjf n p n f p n f p n f n p= - -- - - - .
(5.20)
Inicialmente será resolvido um exemplo que ilustrará as relações recur-
sivas (5.20).
Exemplo 5.10: Considerando o exemplo 5.7, se ambas as máquinas se estra-
gam, qual é a probabilidade de o tempo para consertar uma dessas máquinas 
seja de dois dias?
Para responder a essa questão, precisamos calcular a probabilidade de o 
tempo de primeira passagem do estado 0 ao 1 ser igual a 2 dias, ou seja, a proba-
bilidade 01(2)f . Utilizamos então as relações recursivas (5.20) para obter 01(2)f
01 01(1) 0, 2f p= = ,
01 01 01 11(2) (2) (1)f p f p= - .
Para concluir, precisamos calcular 01(2)p , a saber:
P2
0 2 0 2 0 6
0 4 0 4 0 2
0 4 0 2 0 4
0 2 0 2 0 6
0 4 0 4 0=












, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,,
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
2
0 4 0 2 0 4
0 36 0 24 0 40
0 36 0 28 0 36
0 32 0 24 0












=
,, 44












 .
Portanto, a probabilidade de que o tempo para consertar uma dessas 
máquinas seja de dois dias é igual a:
01 01 01 11 01(2) (2) (1) 0, 24 0, 2 0, 4 (2) 0,16f p f p f= - = - ´ Þ = .
01(2) 0, 24p =Þ
– 225 –
Vamos exemplificar o uso da fórmula (5.19) e das relações recursivas 
(5.20) na solução do item do exemplo 5.9, que pede o número de passos espe-
rados antes da absorção, o qual foi resolvido através da matriz fundamental.
Exemplo 5.11: Considerando o exemplo 5.9, supondo que o processo tenha 
partido do estado 1, calcule os tempos médios de primeira passagem para os 
estados 4 e 5.
Supondo s
1
 o estado de partida, ou seja, 1.i = :
Para 4j = , temos: 14 14(1) (1) 0,1f p= = ,
14 14 14 44(2) (2) (1) 0,18 0,1 1f p f p= - = - ´ Þ 14 (2) 0,08f = ,
14 14 14 44 14 44(3) (3) (1) (2) (2) 0, 3 0,1 1 0,08 1f p f p f p= - - = - ´ - ´ Þ 14 (3) 0,12f = ,
14 14 14 44 14 44 14 44(4) (4) (1) (3) (2) (2) (3)f p f p f p f p= - - - 
14 (4) 0, 3624 0,1 1 0,08 1 0,12 1f = - ´ - ´ - ´ Þ 14 (4) 0,0624f = ,
14 14 14 44 14 44 14 44 14 44(5) (5) (1) (4) (2) (3) (3) (2) (4)f p f p f p f p f p= - - - -
14 (5) 0, 4207 0,1 1 0,08 1 0,12 1 0,0624 1f = - ´ - ´ - ´ - ´ Þ 14 (5) 0,0583,f = ;
para j=5:
15 15(1) (1) 0,1f p= = ,
15 15 15 55(2) (2) (1) 0,18 0,1 1f p f p= - = - ´ Þ 15 (2) 0,08f = ,
15 15 15 55 15 55(3) (3) (1) (2) (2) 0, 244 0,1 1 0,08 1f p f p f p= - - = - ´ - ´ Þ
15 (3) 0,064f = ,
15 15 15 55 15 55 15 55(4) (4) (1) (3) (2) (2) (3)f p f p f p f p= - - -
15 (4) 0, 2896 0,1 1 0,08 1 0,064 1f = - ´ - ´ - ´ Þ 15 (4) 0,0456f = ,
– 226 –
Obviamente, os cálculos devem continuar até que se alcance um valor 
de n considerado alto. A tabela 5.4 mostra os resultados parciais obtidos com 
o uso do computador. 
Tabela 5.4: Valores de 14 ( )f k e 15 ( )f k para k=1, 2, ..., 30
14 ( )f k f15(k)
0,1000 0,0091 0,0005 0,1000 0,0058 0,0003
0,0800 0,0068 0,0004 0,0800 0,0043 0,0002
0,1200 0,0050 0,0003 0,0640 0,0032 0,0002
0,0624 0,0037 0,0002 0,0456 0,0024 0,0001
0,0583 0,0028 0,0001 0,0348 0,0018 0,0001
0,0381 0,0021 0,0001 0,0255 0,0013 0,0001
0,0307 0,0015 0,0001 0,0191 0,0010 0,0001
0,0218 0,0011 0,0001 0,0142 0,0007 0,0000
0,0167 0,0009 0,0000 0,0106 0,0005 0,0000
0,0122 0,0006 0,0000 0,0078 0,0004 0,0000
Aplicamos então a expressão (5.19) duas vezes, resultando em 14m e em 15m ,
14 2,5448m = e 15 1,6981m = .
Adicionando os dois tempos médios, encontramos o número esperado 
de passos antes da absorção, partindo do estado s
1
, 2,5448 1,6981 4, 2429+ = 
meses. Esse resultado é o mesmo obtido anteriormente por meio da matriz 
fundamental (vide a tabela 5.3).
15 15 15 55 15 55 15 55 15 55(5) (5) (1) (4) (2) (3) (3) (2) (4)f p f p f p f p f p= - - - -
15 (5) 0, 3244 0,1 1 0,08 1 0,064 1 0,0456 1f = - ´ - ´ - ´ - ´
Þ 15 (5) 0,0348,f = .
– 227 –
Conforme já se mencionou no início deste capítulo, existem processos 
estocásticos com características de processos de Markov em que o tempo não 
é uma variável discreta, embora os estados sejam discretos. Essa classe de pro-
cessos markovianos será estudada na seção seguinte.
5.4 Processos de Markov de tempo contínuo
Processos de Markov de tempo contínuo são similares aos processos de 
Markov de tempo discreto, exceto pelo fato de as transições entre estados po-
derem ocorrer a qualquer momento. Isto é, enquanto processos de Markov de 
tempo discreto são processos cujos estados mudam ao longo do tempo em um 
intervalo de tempo predef inido – chamado passo –, os processos de Markov 
de tempo contínuo são aqueles cujos estados mudam ao longo do tempo em 
qualquer instante. O conjunto que denota o espaço de estados do processo, a 
exemplo dos processos de Markov estudados anteriormente, é discreto e pode 
ser f inito ou inf inito.
Com o objetivo de caracterizar precisamente os processos markovianos 
de tempo contínuo, serão formalmente estabelecidas, a seguir, as relações que 
regem o seu comportamento.
Em primeiro lugar, a def inição 5.1 se aplica aos processos de Markov 
de tempo contínuo, em particular a expressão (5.3), ambas dadas anterior-
mente.
Def inição 5.12 (Probabilidade de transição): Considere o instante de tempo 
u, tal que 0 u t£ £ , e os estados i e j, i=0, 1, 2, ... e j=0, 1, 2, ... . A probabili-
dade de transição ( , )ijp u t é def inida pela probabilidade condicional
p u t P X j X iij t u( , ) ( | )= = =
e
1, se
( , )
0, seij
i j
p t t
i j
ì =ïï=íï ¹ïî
.
Essa def inição pode ser interpretada conforme a figura 5.8. Observamos 
que a f igura 5.8(a) possui o mesmo signif icado da figura 5.8(b).
– 228 –
Figura 5.8: Probabilidade de transição de tempo contínuo
Para def inirmos completamente um processo de Markov de tempo con-
tínuo é preciso def inir as probabilidades dos estados, ( )jp t no instante t, para 
j=0, 1, 2, ... .
Def inição 5.13 (Probabilidade de estado): A probabilidade de o processo ser 
encontrado no estado j no instante de tempo t é def inida por:
p t P X jj t( ) ( )= = .
Com base no teorema da probabilidade total, podemos relacionar a pro-
babilidade de estado ( )jp t e a probabilidade de transição ( , )ijp u t , para 0 u t£ £ , 
por meio do somatório (5.21), a seguir:
( ) ( , ) ( )j ij i
i
p t p u t p u= å , para j=0, 1, 2, ... . (5.21)
Suporemos o instante inicial em u=0, a expressão (5.21) reduz-se à se-
guinte forma:
( ) (0, ) (0)j ij i
i
p t p t p= å , para j=0, 1, 2, ...,
que associa probabilidades de transição entre dois instantes, 0 e t, e as proba-
bilidades de estado correspondentes aos mesmos instantes.
Nas análises de cadeias de Markov de tempo contínuo, necessitamos da 
def inição de taxa de transição entre dois estados, o que difere dos processos de 
tempo discreto, estudados na seção anterior.
– 229 –
Def inição 5.14 (Taxa de transição e taxa de estado no instante de tempo): 
A taxa de transição do estado i para o estado j é def inida pela função não 
negativa
0
( , )
[0, ) ( ) lim ijij
t
p t t t
t T g t
tD ®
+D
Î = ¥ =
D
 , i j¹ ,
e
( ) ( )ii ij
i j
g t g t
¹
=-å .
Dizemos que a taxa de estado i no instante de tempo t é a função def inida por 
[0, ) ( ) ( )i iit T g t g tÎ = ¥ =- .
Isto é, ( )ig t é o somatório das taxas de transição do estado i aos estados 
adjacentes.
As taxas e as probabilidades de estado def inidas anteriormente para ca-
deias de Markov de tempo contínuo são relacionadas por meio da equação de 
Kolmogorov, mostrada em (5.22):
( )
( ) ( ) ( ) ( )j j j ij i
i j
dp t
g t p t g t p t
dt ¹
=- +å , para j=0, 1, 2, ... . (5.22)
Nessa expressão, o primeiro membro é a derivada da probabilidade do 
estado j, que pode ser escrita como 
0
( , )
lim j
t
p t t t
tD ®
+D
D
.
A seguir, apresentaremos um exemplo para ilustrar a utilização da equa-
ção de Kolmogorov. 
Exemplo 5.12: Considere o diagrama de transição de uma cadeia de dois 
estados e suas taxas de transição constantes, ilustrados na f igura 5.9. De-
termine as taxas dos estados e escreva as equações de Kolmogorov para os 
estados 0 e 1.
– 230 –
Figura 5.9: Diagrama de transição de uma cadeia deMarkov de tempo contínuo
Observamos o diagrama da figura 5.9 e, de acordo com a def inição 5.14, obte-
mos as taxas dos estados:
0 01( ) ( ) 2g t g t= = e 1 10( ) ( ) 3g t g t= = .
Escrevemos em seguida, para cada estado, a equação (5.22):
0
0 0 10 1
( )
( ) ( ) ( ) ( )
dp t
g t p t g t p t
dt
=- +
e
1
1 1 01 0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
dp t
g t p t g t p t
dt
=- + .
Após substituirmos os valores numéricos, obtemos as equações diferenciais de 
primeira ordem com coef icientes constantes:
0
0 1
( )
2 ( ) 3 ( )
dp t
p t p t
dt
=- +
e
1
1 0
( )
3 ( ) 2 ( )
dp t
p t p t
dt
=- + .
Ao resolvermos as equações diferenciais, obtemos as probabilidades instantâ-
neas dos estados 0 e 1, respectivamente, 0 ( )p t e 1( )p t . Para tal, usaremos a 
seguinte propriedade, que deve verificar-se: para qualquer instante t, a soma 
0 1( ) ( ) 1p t p t+ = . Depois de realizadas substituições, chegamos às seguintes 
equações diferenciais de primeira ordem:
– 231 –
0
0
( )
5 ( ) 3
dp t
p t
dt
+ =
e
1
1
( )
5 ( ) 2
dp t
p t
dt
+ = .
Embora equações diferenciais constituam um tema muito vasto da Ma-
temática, as equações diferenciais como as obtidas aqui são simples e admitem 
soluções na forma de funções exponenciais. Supondo-se que o processo tenha 
partido do estado 0, isto é, 0 (0) 1p = e 1(0) 0p = , obtemos as soluções, que são 
as probabilidades instantâneas dos estados:
5
0
3 2
( )
5 5
tp t e-= +
e
5
1
2 2
( )
5 5
tp t e-= - .
Se calcularmos os limites das funções 0 ( )p t e 1( )p t para t ® ¥ , obtere-
mos as probabilidades estacionárias 0v e 1v :
0 0lim ( )
t
p t v
®¥
=  0
3
5
v =
e
1 1lim ( )
t
p t v
®¥
=  1
2
5
v = .
A partir deste ponto, este texto restringir-se-á ao estudo de processos de Markov 
de tempo contínuo, com foco para o próximo capítulo, sobre sistemas de f ilas 
de espera.
5.4.1 Cadeias de Markov homogêneas de tempo contínuo
As cadeias de Markov {X
t 
; t ≥ 0} são designadas cadeias tempo-homogê-
neas, ou cadeias de Markov homogêneas de tempo contínuo, quando as proba-
bilidades de transição ( , )ijp u t dependem somente da diferença de tempos t – u.
Essa diferença de tempos tem a propriedade de tornar discreto o tempo. 
Dessa forma, em cadeias de Markov tempo-homogêneas, as taxas de transição 
– 232 –
são constantes com o passar do tempo. O exemplo 5.12 trata, portanto, de uma 
cadeia de Markov tempo-homogênea.
Uma propriedade inerente às cadeias de Markov de tempo contínuo do 
tipo tempo-homogêneas é que o futuro do processo é completamente def inido 
no estado presente. Portanto, a distribuição da variável aleatória tempo de 
permanência de um processo em um dado estado deve ser “sem memória”. 
Designando Y tal variável aleatória, a seguinte probabilidade condicional
( | ) ( )P Y t r Y t P Y r£ + ³ = £
descreve objetivamente essa propriedade. A f igura 5.10 ilustra no eixo dos 
tempos as localizações de t e de r, sendo [ , ]Y t t rÎ + . 
Figura 5.10: Localização de variáveis no eixo dos tempos
Neste ponto, é interessante ressaltar que a propriedade conhecida como 
“sem memória” implica que a fdp de Y para cadeias de Markov tempo-homo-
gêneas é uma exponencial negativa com taxa constante.
O que nos interessa é a análise de cadeias de Markov de tempo contínuo 
no regime estacionário, que possuam taxas de transição constantes. Do ponto 
de vista das equações, os modelos serão independentes da variável tempo e, 
consequentemente, não serão tratados com equações diferenciais, embora os 
modelos tenham origem na equação de Kolmogorov. 
Dentre as consequências das restrições impostas ao tratamento das ca-
deias de Markov de tempo contínuo, conforme estabelece o parágrafo prece-
dente, temos:
• vj é a probabilidade estacionária para o estado j e é dada por lim ( )j j
t
v p t
®¥
= ; 
portanto, usaremos jv em lugar da notação ( )jp t ;
• omitiremos o argumento t na notação das taxas de transição e de estado, 
uma vez que tais taxas serão supostas constantes; e
• omitiremos o argumento t na notação das probabilidades de transição.
– 233 –
Nas condições descritas, a equação de Kolmogorov para o jotaésimo es-
tado é conforme mostra a expressão (5.23), tendo em vista que a derivada da 
probabilidade de estado em regime estacionário reduz-se a zero:
0=− +
≠
∑g v g vj j ij i
i j
, para j=0, 1, 2, ..., M. (5.23)
Para possibilitar a análise de cadeias de Markov tempo-homogêneas em 
regime estacionário, usaremos a notação matricial. O primeiro passo consis-
tirá naturalmente em estabelecer procedimentos sistemáticos para a obtenção 
das matrizes apropriadas ao estudo.
A partir da equação (5.23), substituindo-se jg por jjg- de acordo com 
a def inição 5.14, obtemos a seguinte expressão:
0
0
M
ij i
i
g v
=
=å , para j=0, 1, 2, ..., M, (5.24)
que, para uma cadeia de Markov de 1M + nós, resultará em 1M + equações 
lineares algébricas.
5.4.1.1 Matriz taxa de transição e matriz de transição
Considere-se a cadeia de Markov {X
t 
; t ≥ 0} com matriz taxa de transição 
[ ]ijG g= ,
e com matriz de transição
[ ]ijP p= ,
para ijg conforme a def inição 5.14 e para ijp conforme a def inição 5.12. En-
tão, um procedimento para a obtenção da matriz de transição é o seguinte:
• se 0iig < , as probabilidades de transição ijp são:
– 234 –
 
,
0;
ij
ij
ii
ii
g
p i j
g
p
ìïï = - ¹ïïïïïíïï =ïïïïïî
• se 0iig = , as probabilidades de transição ijp são:
 
0,
1;
ij
ii
p i j
p
ì = ¹ïïïïíïï =ïïî
e o estado i é um estado absorvente, tal como no caso discreto.
Exemplo 5.13: Determine a matriz de transição para o processo de Markov 
tempo-homogêneo representado no diagrama da f igura 5.11.
Figura 5.11: Diagrama de transição de uma cadeia de Markov de tempo contínuo e 
tempo-homogênea
– 235 –
Utilizaremos o procedimento a saber: pela def inição 5.14, para i, 
j=0, 1, 2,
00 0 01 02
0
( )j
j
g g g g
¹
=- =- +å 00 (1 0) 1gÞ =- + =- ,
11 1 10 12
1
( )j
j
g g g g
¹
=- =- +å 11 (2 3) 5gÞ =- + =-
e
22 2 20 21
2
( )j
j
g g g g
¹
=- =- +å 22 (0 0) 0gÞ =- + = .
Segue-se que, como 00 1 0g =- < ,
00 0p = , 
01
01
00
1
g
p
g
=- = , 0202
00
0
g
p
g
=- = ;
como 11 5 0g =- < ,
11 0p = , 
10
10
11
2
5
g
p
g
=- = , 1212
11
3
5
g
p
g
=- = ;
como 22 0g = ,
22 1p = , 20 21 0p p= = .
Portanto, a matriz de transição é
0 1 2
0
1
2
0 1 0
0
0 0 1
2
5
3
5P=












.
Note que o estado 2 é absorvente. Observe, também, que a matriz 
taxa de transição é dada por G, que no caso homogêneo é constante, a saber:
– 236 –
0 1 2
0 1 1 0
1 2 5 3
2 0 0 0
G
é ù-
ê ú
ê ú= -ê ú
ê ú
ë û
.
Então, a matriz de transição P possui vetor de probabilidades em cada 
linha com soma igual a um, enquanto que na matriz taxa de transição G a 
soma dos elementos de cada linha é igual a zero.
5.4.1.2 Equação de Kolmogorov em regime estacionário e matriz estocástica
A matriz taxa de transição def inida na seção anterior e a forma particu-
lar da equação de Kolmogorov expressa por (5.24) nos levam a uma expressão 
matricial homogênea que está indicada em (5.25):
0vG= , (5.25)
que pode ser solucionada para a obtenção de v com o auxílio da relação com-
plementar (5.26),
0
1
M
i
i
v
=
=å . (5.26)
Outra matriz de grande utilidade pode ser obtida ao manusear a equa-
ção (5.25), designada matriz estocástica, denotada pelo símbolo E (BILLIN-
TON, 1970).
Para um nó j de uma cadeia de Markov temos, conforme a equação 
(5.24), a equação
0
0
M
ij i
i
g v
=
=å ⇒ 0jj j ij i
i j
g v g v
¹
+ =å ,
que, após a adição de jv em ambos os membros, reduz-se a
(1 )jj j ij i j
i j
g v g v v
¹
+ + =å .
0 1 2
0 1 1 0
1 2 5 3
2 0 0 0
G
é ù-
ê ú
ê ú= -ê ú
ê ú
ë û
– 237 –
Da def inição 5.14 resulta a seguinte expressão:
(1 )ij j ij i j
i j i j
g v g v v
¹ ¹
- + =å å para j=0, 1, 2, ..., M.
Para um nó j, temos a relação detalhada
0 0 1 1 (1 )j j j j ij M Mj
i j
v v g v g v g v g
¹
= + + + - + +å  .
Concluímos, então, que a relação matricial mostrada a seguir pode ser 
escritaem função da matriz estocástica a saber:
0 1
1
1
0
0
01 0 0
10 1
1
1 1
0
� �
� �
� �
� � � � � �
j M
v v
g g g g
g g g g
g
j
j
j M
j
j
j M
i=
−
−
≠
≠
∑
∑
gg g g
g g g g
g g g g
i ij iM
j j ij
i j
jM
M M Mj
1
0 1
0 1
1
1
� �
� � � � � �
� �
� � � � � �
� �
−
−
≠
∑
MMj
M j≠
∑












































,
v vE= , (5.27)
em que v é o vetor
0 1[ ]j Mv v v v v=   .
0
1
i
j
M
...
...
...
– 238 –
Diante do exposto, a matriz estocástica [ ]ijE e= tem seus elementos 
def inidos como a seguir:
 
,
1 .
ij ij
ii ij
i j
e g i j
e g
¹
ìïï = ¹ïïïïíïï = -ïïïïî
å
Exemplo 5.14: Determine a matriz estocástica para o processo de Markov 
tempo-homogêneo do exemplo anterior.
Resolveremos este exemplo usando o seguinte procedimento: os elemen-
tos fora da diagonal da matriz estocástica E são as próprias taxas de transição
01 01 1e g= = , 02 02 0e g= = ,
10 10 2e g= = , 12 12 3e g= =
e
20 20 0e g= = , 21 21 0e g= = .
Cada elemento da diagonal é obtido subtraindo-se da unidade a soma 
das taxas dos arcos que deixam o nó correspondente:
00 01 021 ( )e g g= - + Þ 00 1 (1 0) 0e = - + = ,
11 10 121 ( )e g g= - + Þ 11 1 (2 3) 4e = - + =- ,
e
22 20 211 ( )e g g= - + Þ 22 1 (0 0) 1e = - + = .
Finalmente, a matriz estocástica então obtida é mostrada a seguir:
0 1 2
0 0 1 0
1 2 4 3
2 0 0 1
E
é ù
ê ú
ê ú= -ê ú
ê ú
ë û
.
– 239 –
Note que cada linha da matriz estocástica E tem soma igual a um; po-
rém, seus elementos não são probabilidades.
Quanto às cadeias, a mesma classif icação apresentada nas seções que 
trataram de processos discretos no tempo é válida, exceto o conceito de 
periodicidade, que está associado ao conceito de passos. Assim, teremos, 
como antes, cadeias com estados recorrentes e cadeias com estados transi-
tórios. A classe das cadeias recorrentes compreende também as cadeias ab-
sorventes. Um estado i é considerado absorvente se 0ijg = para i j¹ , de 
modo que, uma vez que entra nesse estado, o processo é destinado a per-
manecer nele. Como def inimos anteriormente, em uma cadeia irredutível, 
todo estado pode ser alcançado, partindo-se de qualquer outro estado. 
Os processos de Markov homogêneo de tempo contínuo encontram apli-
cações em diversas áreas. A seguir será apresentado para estudo um exemplo 
de aplicação à conf iabilidade, inspirado em Billinton (1970). 
Exemplo 5.15: É usual em subestações de energia elétrica utilizarem-se 
dois transformadores idênticos em paralelo, de modo que a potência de 
cada um seja suf iciente para atender à instalação. A motivação para isso 
é o aumento da conf iabilidade da subestação relativamente à alternativa 
de usar um único transformador. A f igura 5.12 ilustra o esquema elétrico 
simplif icado para a análise de falha. A seta da f igura indica o sentido do 
f luxo de energia.
Figura 5.12: Dois transformadores idênticos em paralelo
– 240 –
Figura 5.13: Diagrama de transição da cadeia de Markov de dois transformadores 
em paralelo
No esquema com dois transformadores em paralelo, a indisponibilidade do 
sistema ocorrerá apenas se ambas as máquinas estiverem fora de operação, 
porque implicará a interrupção do f luxo de energia. Os estados possíveis para 
os transformadores são: ambos em operação (0 em falha), um em operação e o 
outro em falha (1 em falha) e os dois fora de operação (2 em falha). A taxa de 
falha é l e a taxa de reparo é m, ambas associadas a distribuições exponen-
ciais independentes. Suponhamos também que, se os dois transformadores 
estiverem em operação, não é possível que ambos falhem simultaneamente, 
e nem é possível consertar os dois ao mesmo tempo. O diagrama de transição 
do processo está representado na f igura 5.13.
Supondo que as condições de regime estacionário sejam verif icadas, de-
termine as seguintes informações:
a) a probabilidade de falha;
b) a disponibilidade do sistema; e
c) o tempo médio para o sistema falhar, dado que se encontra em plena ope-
ração.
Para solucionar o exemplo, montamos a matriz estocástica a partir do 
diagrama da f igura 5.13:
0 1 2
0 1 2 2 0
1 1 ( )
2 0 2 1 2
E
l l
m l m l
m m
é ù-
ê ú
ê ú= - +ê ú
ê ú-ë û
.
– 241 –
Para obter as respostas às duas primeiras questões, precisamos calcular 
as probabilidades estacionárias dos estados. Para tal, utilizamos as relações 
v vE= e 
0
1
M
j
j
v
=
=å , que são solucionadas pelo método analítico:
2
0 2( )
v
m
l m
=
+
,
1 2
2
( )
v
lm
l m
=
+
e
2
2 2( )
v
l
l m
=
+
.
Dado que qualquer um dos transformadores é capaz de suprir a ins-
talação, a probabilidade de falha corresponde aos dois equipamentos em 
falha, 
v2
2
2
=
+
λ
λ µ( )
.
A disponibilidade do sistema, no caso do sistema em paralelo, é a pro-
babilidade de que ao menos uma unidade esteja em operação (ou seja, dispo-
nível),
2
0 1 2
2
( )
v v
m lm
l m
+
+ =
+
.
A resposta ao item (b) está intimamente relacionada à natureza do pro-
blema sob análise; neste caso, depende essencialmente da forma como são 
ligados os transformadores. Por exemplo, se os transformadores estivessem 
em série (o que não é usual), a disponibilidade implicaria necessariamente a 
operação de ambos.
Para responder à última questão formulada, lançamos mão de um ar-
tifício: supomos que o estado 2 é absorvente e calculamos, a partir da matriz 
estocástica modif icada, o tempo para alcançar a absorção, partindo do estado 
0 – ambos em operação. No contexto do estudo da conf iabilidade, o tempo 
– 242 –
para alcançar a falha total do sistema é designado MTTF, que é a sigla para 
mean time to failure (cuja tradução é tempo médio para a falha).
Supondo-se o estado 2 um estado absorvente, a matriz estocástica, E, é 
como segue:
0 1 2
0 1 2 2 0
1 1 ( )
2 0 0 1
E
l l
m l m l
é ù-
ê ú
ê ú= - +ê ú
ê ú
ë û
.
A exemplo dos estudos anteriores, na seção 5.3.5, identif icamos na ma-
triz estocástica E a submatriz Q,
0 1
0 1 2 2
.
1 1 ( )
Q
l l
m l m
é ù-
ê ú= ê ú- +ë û
Calculamos a matriz fundamental 1( )I Q -- :
1
2
21
( )
22
I Q
l m l
m ll
-
é ù+
ê ú- = ê úë û
.
Partindo do estado 0 – que é o sistema em plena operação –, o MTTF 
(tempo antes do estado absorvente) é 
MTTF =
1
2
2
2λ
λ µ λ( )+ + ⇒ MTTF =
2
(3 )
2
l m
l
+
.
Em aplicações a casos reais, os valores típicos de l e  são, respectiva-
mente, 0,2 falhas por ano e 6 reparos por ano, o que resulta um tempo médio 
para a falha de 82,5 anos.
No próximo capítulo daremos continuidade ao estudo de modelos proba-
bilísticos – processos estocásticos – através do tópico sistemas de f ilas de espera.
– 243 –
Para concluir o estudo deste capítulo, sugerimos a solução dos exercícios 
propostos.
5.5 Exercícios propostos
1. (BRONSON, 1985) Um recenseamento econômico revelou que, em uma 
dada população, as famílias são divididas em dois grupos: (1) as economica-
mente estáveis; e (2) aquelas em depressão. Depois de um período de 10 anos, 
a probabilidade de que uma família estável assim permaneça é de 0,92, en-
quanto a probabilidade de ela entrar em depressão é de 0,08. A probabilidade 
de que uma família em depressão se torne estável é 0,03, enquanto a probabi-
lidade de que ela assim permaneça é de 0,97. Calcule a probabilidade de uma 
família estável estar em depressão a longo prazo. Obtenha também o tempo 
médio que uma família estável permanece nessa condição.
2. (ACKOFF; SASSIENI, 1977) Um representante comercial visita seus clien-
tes a cada mês. A experiência passada mostra que, se um cliente fez um pedido 
no último mês, a probabilidade de um novo pedido no mês corrente é 0,3; se 
não foi efetuado pedido algum no mês passado, a probabilidade é 0,6. Assim, 
em cada um dos meses subsequentes ao primeiro, cada cliente deve encontrar-
se em um dos dois estados:
• estado 0: nenhum pedido no mês passado; e
• estado 1: um pedido no mês passado.
Dessa forma, com base nas probabilidades de transição, podemos predizer o 
comportamento no futuro.Para um cliente do universo dos que não f izeram 
pedidos no mês anterior, determine a probabilidade de que o tempo transcor-
rido para efetuar um novo pedido seja de 3 meses.
3. (SHAMBLIN & STEVENS JR., 1989) Suponhamos que fabricantes de 
automóveis das marcas Ford, Chevrolet e Plymouth tenham colhido os da-
dos constantes da tabela 5.5, sobre as probabilidades de futuras compras de 
seus clientes. Essa tabela apresenta a probabilidade de um cliente que ago-
ra, 0,n= possui uma dessas marcas vir a adquirir um Ford (estado s
1
), um 
Chevrolet (estado 2s ) ou um Plymouth (estado 3s ) na próxima vez, isto é, no 
próximo passo, 1n= . 
– 244 –
Tabela 5.5: Probabilidade (%) de compras em função do estado atual
Situação atual
( 0n= )
Próxima compra ( 1n= )
% compra Ford % compra Chevrolet % compra Plymouth
Ford 40 30 30
Chevrolet 20 50 30
Plymouth 25 25 50
Modele o problema como uma cadeia de Markov de tempo discreto com pas-
so igual a um ano. E, determine:
a) a matriz de probabilidades de transição para esse processo;
b) a classif icação dessa cadeia;
c) as probabilidades estacionárias;
d) o tempo médio que o comprador de um Ford permanece com essa marca; e
e) o número esperado de anos em que o cliente que atualmente possui um 
Ford compre um Plymouth.
Como sugestão para resolver a questão (e), faça artif icialmente do estado 
3s um estado absorvente e calcule o tempo esperado para a absorção.
4. Dadas as matrizes de transição para um passo, classif ique cada uma das 
cadeias.
(a) 
0, 2 0,1 0,7
0,1 0, 3 0,6
0, 3 0, 4 0, 3
P
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
; (b)
1 1 1 1
3 6 4 4
1 1 1 1
8 8 4 2
0 0 0 1
0 0 1 0
P
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ë û
.
5. Em 1993, a utilização do solo em uma cidade de 130 quilômetros quadrados 
de área ocupada apresentava os seguintes índices:
uso residencial 30% ® estado 1s ;
uso comercial 20% ® estado 2s ;
uso industrial 50% ® estado 3s .
– 245 –
a) Calcule os percentuais de ocupação do solo nessa cidade em 2003, assu-
mindo que as probabilidades de transição para intervalos de cinco anos são 
dadas pela seguinte matriz:
1 2 3
1
2
3
0 8 0 1 0 1
0 1 0 7 0 2
0 0 1 0 9
s s s
s , , ,
P s , , ,
s , ,
é ù
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ë û
.
b) Encontre as probabilidades limites dos estados de utilização do solo nessa 
cidade. 
6. Em relação ao exercício anterior sobre ocupação do solo da cidade, suponha 
que uma área destinada à indústria f ique imprestável para uso residencial 
ou comercial. Imaginando-se o estado 3s como estado absorvente, determine 
o número esperado de passos (em anos) para que uma região residencial se 
torne industrial.
7. As sociedades ocidentais são estratif icadas em função do poder aquisitivo 
das famílias. Suponha-se que as classes sociais sejam: (a) classe A – ricos; (b) 
classe B – classe média; (c) classe C – pobres; e (d) classes D, E etc. – miserá-
veis. No Brasil, o Instituto Brasileiro de Geograf ia e Estatística, IBGE, realiza 
periodicamente um censo econômico, que, com base em amostragem, traça 
um perf il razoavelmente preciso da população com o foco na sua condição 
socioeconômica. A cada censo são observadas as mudanças das famílias entre 
as classes. Modele o processo como uma cadeia de Markov de tempo discreto, 
em que os estados são as classes indicadas anteriormente, e o estado do item 
(d) é um estado absorvente. Para análise, considere os dados que constam da 
matriz de probabilidades de transição P, dada. Se o passo é o intervalo de tem-
po igual a dez anos, calcule o número de passos antes da absorção se o processo 
partir do estado “rico”. Ao usar a matriz, considere as seguintes associações:
pobre ® 0;
miserável ® 1;
médio ® 2;
rico ® 3;
– 246 –
0 1 2 3
0 0, 4 0, 4 0,1 0,1
1 0 1 0 0
2 0, 3 0,1 0,5 0,1
3 0,1 0 0,6 0, 3
P
é ù
ê ú
ê ú
ê ú= ê ú
ê ú
ê ú
ë û
.
8. Elabore um programa de computador para calcular ( )ijf k , sendo 1i = e 
4, 5j = , de modo que, com base nos dados do exemplo 5.9, sejam reproduzi-
dos os resultados que constam da tabela 5.4.
9. (BILLINTON, 1970) Dois equipamentos idênticos são instalados e operam 
em série. Admita que é possível um equipamento falhar enquanto a outra unida-
de está em falha. Suponha três estados para modelar o processo como uma cadeia 
de Markov de tempo contínuo com taxas l e m , respectivamente, para falha e re-
paro. Mostre que a disponibilidade do sistema vale 
2
2( )
m
l m+
 e que a MTTF 
é igual a 12l (MTTF é o tempo médio para a falha).
10. Um sistema com um único servidor aberto ao público tem seus tempos de 
atendimento distribuídos exponencialmente com taxa igual a m . Os tempos en-
tre chegada dos usuários que demandam pelos serviços desses guichês também 
exibem a distribuição exponencial com taxas iguais a l . Os usuários que acessam 
o sistema surgem segundo o modelo de Poisson. O estado é caracterizado pelo 
número de usuários presentes, 0 , 1 , 2 ,. Nessas condições, o sistema se enqua-
dra como um processo de nascimento e morte, podendo ser descrito como uma 
cadeia de Markov inf inita de tempo contínuo. Desenhe o diagrama de transição 
dessa cadeia e escreva as equações de Kolmogorov para o regime estacionário. 
Supondo-se que l m< , com base em séries convergentes, prove que a expressão 
para a probabilidade estacionária 0v em função do quociente l mr= é
0 1v r= - ,
em que, v
0
 é a probabilidade de encontrar o sistema vazio, ou seja, livre de 
usuários. Neste exercício, será preciso usar o resultado da série:
x x x x
x
i
i=
∞
∑ = + + + = −0
0 1 2 1
1

, se 0 1x< < .
– 247 –
VI
Sistemas de Filas de Espera
E ste capítulo aborda sistemas de f ilas de espera com chegadas e atendi-mentos tipo markoviano. Sugerimos a leitura de Hillier & Lieberman 
(1995), Jain, (1991), Nelson, R. (1995), Shamblin & Setevens Jr. (1989) e Fogliat-
ti & Mattos (2007). 
Uma f ila de espera ocorre sempre que a demanda por um serviço excede, 
em um dado instante, a capacidade do sistema para prover o serviço. Um sistema 
de f ila de espera é um conceito mais geral do que simplesmente pessoas aguar-
dando em f ila para receberem atendimento em um estabelecimento de prestação 
de serviços. Podemos citar alguns exemplos de sistemas de f ilas de espera, como: 
atendimento de chamadas telefônicas de uma companhia, o sistema de atendi-
mento ao consumidor – normalmente designado pela sigla SAC –, processos 
esperando, em f ila, por execução em uma rede de computadores e aviões que 
chegam e solicitam permissão para aterrissagem em um aeroporto, entre outros.
Em análises de sistemas de f ilas de espera, normalmente se deseja ob-
ter informações objetivas sobre a capacidade de serviço que se deve dispo-
nibilizar aos usuários e os custos operacionais envolvidos desde a espera até 
o atendimento. Se, por um lado, a capacidade de serviço for insuf iciente, 
tempos de espera excessivos podem implicar custos adicionais por perda 
de consumidores e ociosidade da parte de quem espera, por outro, oferecer 
muita capacidade de serviço requer investimentos e pode levar ociosidade 
ao sistema de atendimento. A teoria de f ilas de espera trabalha, portanto, 
com objetivos conf litantes. Dado um modelo, a principal motivação para 
seu estudo está na busca de soluções que representem um ponto de equilí-
brio entre os conf litos.
– 248 –
Há um grande número de modelos matemáticos de f ilas de espera que 
permite descrever diferentes situações observadas na prática. Existem mode-
los elementares para descrever sistemas de f ilas com um único atendente, em 
que o número máximo de consumidores permitido no sistema é ilimitado, 
assim como também aqueles sistemas que são tão complexos que se mostram 
mais adequados para solução por meio de simulação computacional, em vez 
da utilização de modelos analíticos.
Normalmente, quando se estudam sistemas de f ilas, procuram-se res-
postas sob a forma de medidas objetivas, capazes de orientar o projetista do 
sistema. As grandezas mais comuns são:
– o tempo médio que um usuário aguardapelo atendimento;
– o grau de ociosidade do sistema de atendimento;
– o número médio de usuários no sistema;
– o número médio de usuários na f ila.
Uma característica normalmente exibida pelos sistemas de f ilas mais 
complexos é a incerteza dos dados de entrada. Por exemplo, na maioria dos 
sistemas de f ilas, não é possível precisar exatamente em que instante um 
usuário irá acessar o sistema, nem tampouco quanto tempo vai durar o seu 
atendimento. Um sistema desse tipo é dito de natureza estocástica, e o seu 
funcionamento é descrito como um processo estocástico.
Com o objetivo de descrever os principais modelos analíticos de sistemas 
de f ilas de espera, apresentamos, a seguir, uma notação universalmente aceita: 
a notação de Kendall-Lee. Também serão apresentados elementos básicos de 
sistemas de f ilas.
6.1 Elementos básicos de sistemas de f ilas e notação de Kendall-Lee
Em qualquer sistema de f ilas, podemos identif icar os seguintes elementos:
– a f ila propriamente dita, que é constituída por aqueles indivíduos que não 
são atendidos assim que chegam e podem esperar pelo serviço;
– o servidor que tem a função de prover o serviço ao usuário, que pode ou 
não seguir uma sistemática de atendimento, identif icando-se aí o atendente 
e o mecanismo de serviço;
– a fonte de usuários do sistema de f ilas.
A f igura 6.1 ilustra os elementos básicos de um sistema de f ilas de espera.
– 249 –
Figura 6.1: Elementos básicos de um sistema de f ilas
A fonte de usuários do sistema de f ilas é composta pelos consumidores 
potenciais do serviço oferecido pelo sistema. Uma característica da fonte de 
usuários é o seu tamanho. Por exemplo, o escritório de uma seguradora de 
veículos oferece atendimento aos seus segurados em uma cidade. O número 
de usuários que demandam pelos serviços oferecidos pelo escritório é um 
pequeno subconjunto da população da cidade. Não devemos confundir o 
tamanho da fonte de usuários com a capacidade do sistema de f ila. A capaci-
dade do sistema está associada ao número máximo de usuários que o sistema 
pode comportar em um dado período de seu funcionamento. Em uma mo-
delagem simplif icada, geralmente se supõe que a fonte e a capacidade do sis-
tema sejam ilimitadas, e a razão para isso é que as expressões resultam mais 
simples e conduzem a cálculos mais fáceis. Todavia, pode-se ter um modelo 
em que a capacidade do sistema é limitada, e a fonte de usuários, mesmo não 
sendo inf inita, mas, por ter um tamanho muito grande, é suposta inf inita. 
Nesse último caso, as expressões serão mais complexas que na abordagem 
simplif icada.
O comportamento estatístico dos consumidores para acessarem o siste-
ma de f ilas pode ser descrito por uma distribuição de probabilidades empírica 
que pode ser representada por um modelo analítico conhecido de probabili-
dade. O modelo de Poisson é comumente usado para descrever a forma como 
os consumidores são gerados pela fonte e, para def inir completamente essa 
distribuição, é necessário ter apenas a taxa média de chegadas.
Um aspecto importante associado à f ila é a ordem em que os usuários 
são selecionados para o atendimento. Isto é referido como disciplina da f ila. 
Por exemplo, o critério adotado pode ser “primeiro a chegar, primeiro a ser 
atendido”, ou alguma outra ordem. 
O tempo transcorrido desde o começo do atendimento a um consumidor 
até a sua conclusão é o tempo de serviço. Para descrever o atendimento, deve-
– 250 –
mos especif icar uma distribuição de probabilidade para os tempos de serviço. 
A distribuição mais comumente especif icada para tempos de serviço é a dis-
tribuição exponencial.
Diante do exposto, percebemos que pode haver uma grande variedade 
de combinações de características de sistemas de f ilas, e que cada uma dessas 
combinações implicará um modelo diferente. Daí, surge a notação atribuída a 
Kendall e a Lee. O uso dessa notação tem a f inalidade de descrever os sistemas 
de f ilas de espera de modo claro e objetivo.
A notação de Kendall-Lee consiste em rótulos dispostos em forma se-
quencial, como mostra a f igura 6.2, de modo que cada rótulo possui um sig-
nif icado.
 
– / – / – / – / – / –
Distribuição 
dos tempos 
entre 
chegadas
Distribuição 
dos tempos 
de serviço
Número de
servidores
Disciplina 
da f ila
Número 
máximo de 
usuários no 
sistema
Tamanho 
da fonte de 
usuários
Figura 6.2: Notação de Kendall-Lee
Nos dois primeiros campos, são descritos o processo de chegada e o 
modelo estatístico do atendimento. As letras mais usadas são as seguintes: 
M, G e E. A letra M é uma alusão ao termo “markoviano” e implica dis-
tribuição exponencial para tempos entre chegadas e tempos de serviço, e 
distribuição de Poisson para o número de usuários que emergem da fonte 
e da f ila. Nesse caso em particular, podemos associar a distribuição de 
tempos a taxas de transição e o número de usuários aos estados, correspon-
dendo a um processo de Markov de tempo contínuo, conforme vimos no 
capítulo anterior. Assim, M no primeiro campo signif ica que o processo 
de chegada é do tipo Poisson, e os tempos entre chegadas têm distribuição 
exponencial. M no segundo campo, quer dizer que o atendimento segue o 
modelo de Poisson, e os tempos de atendimento obedecem à distribuição 
exponencial. As demais letras têm os seguintes signif icados: G é uma dis-
tribuição genérica e E é a distribuição de Erlang. Por exemplo, um sistema 
de f ilas do tipo M / G / 1 / FIFO / ∞ / ∞ tem distribuição exponencial dos 
tempos entre chegadas, os tempos de atendimento possuem distribuição 
genérica, o sistema possui um atendente, a disciplina da f ila é FIFO (f irst-
– 251 –
in-f irst-out), que signif ica “primeiro a chegar, primeiro a ser atendido”, a 
capacidade do sistema é inf inita, e a fonte de usuários é ilimitada. Neste 
caso podemos denotá-lo simplesmente M / G / 1, porque, de uma maneira 
geral, quando a disciplina da f ila for FIFO, a capacidade do sistema for 
inf inita e a fonte de usuários for ilimitada, podemos omitir os três últimos 
campos.
A disciplina da f ila, além de FIFO, pode ser LIFO, que signif ica “último 
a chegar, primeiro a ser atendido”, ou PRI, se, para o atendimento, é observa-
da alguma prioridade.
Na próxima seção, serão estudados os principais conceitos e parâmetros 
de sistemas de f ilas. Posteriormente, serão obtidas expressões analíticas de cál-
culo de desempenho de sistemas de f ilas, iniciando-se o estudo pelo modelo 
mais simples, que é o M / M / 1.
6.2 Conceitos básicos e parâmetros de sistemas de f ilas
Conhecer a terminologia empregada nos estudos de sistemas de f ilas é o 
primeiro passo no estudo dessa área da Pesquisa Operacional. Serão def inidos 
a seguir, alguns termos básicos sobre f ilas de espera.
Def inição 6.1 (Cliente): Elemento que chega e requer atendimento. Os clien-
tes podem ser requisições de impressões em uma rede de computadores, tor-
cedores que vão comprar ingressos, cartas que chegam e devem ser entregues, 
carros estacionados etc.
Alguns sinônimos são usados para o termo cliente, tais como consumi-
dor e usuário.
Def inição 6.2 (Canal de atendimento): Processo ou pessoa que realiza o aten-
dimento do cliente. É comum usar o termo “atendente” para referir ao canal 
de atendimento. Os canais de atendimento podem ser: a impressora que exe-
cuta as requisições de impressões em uma rede de computadores, os vendedo-
res de ingressos, os carteiros, o estacionamento etc.
Quanto à capacidade do sistema e ao número de atendentes, os sistemas 
de f ilas podem ser classif icados como ilustra o esquema da f igura 6.3.
– 252 –
Figura 6.3: Esquema com uma classif icação de sistemas de f ilas
Os usuários ou clientes chegam ao sistema a uma razão, que é determi-
nada pela quantidade de usuários dividida pelo intervalo de tempo de obser-
vação. Essa taxa, designada “taxa de chegada”, é representada pela letra l e é 
calculada conforme (6.1):
número de usuários que chegam
intervalo de tempo
l= . (6.1)
A frequência ou a velocidade em queos usuários são atendidos ou rece-
bem o serviço é denominada de taxa de atendimento. Essa taxa é representada 
pela letra m e é calculada pela expressão (6.2):
número de usuários atendidos
intervalo de tempo
m= . (6.2)
Para tornar mais claras as def inições dos parâmetros l e , propomos a 
resolução do seguinte exemplo:
Exemplo 6.1: Em um intervalo de 5 minutos, 6 clientes chegam a um posto de 
atendimento. Qual é a taxa de chegada l? Se, no atendimento, em média, um 
usuário demanda 40 segundos, qual é a taxa de atendimento? 
– 253 –
Aplicando-se a expressão (6.1) para calcular l, obtemos:
6 clientes
1, 2 clientes minuto
5 minutos
l= = .
Para determinarmos a taxa de atendimento, podemos usar o seguinte ra-
ciocínio: se, em média, um atendimento é completado em 40 segundos, quan-
tos clientes serão atendidos no tempo de um minuto? 
 
tempo clientes atendidos
40 1
60 x
®
®
 40 60 1x´ = ´ Þ
60
1,5
40
x = = .
Portanto, a taxa de atendimento é 1,5 clientes minutom= . 
Os problemas de f ilas de espera consistem em ajustar adequadamente 
a taxa de atendimento do processo com a taxa de chegada do trabalho a ser 
feito. Do ponto de vista do projetista, isso é feito por meio do correto dimen-
sionamento do número de servidores do sistema de f ilas. Para se entender 
melhor os parâmetros l e , suponham-se as seguintes situações extremas 
para um sistema com um único atendente:
• Um sistema de f ila e atendimento possui uma taxa de chegada l maior do 
que a taxa de atendimento ;
• Outro sistema raramente recebe clientes e, quando um cliente aparece, é 
imediatamente atendido. Neste caso, a taxa de chegada é muito baixa e 
menor do que a taxa de atendimento.
As situações imaginadas merecem alguns comentários. A primeira situa-
ção não pode, em princípio, ser resolvida da forma como está: sendo l m> , 
não há sistema de atendimento capaz de absorver a demanda, e a f ila tende 
a crescer indef inidamente. Uma solução possível é instalar mais guichês de 
atendimento, e, dessa forma, adequar a taxa de atendimento às condições da 
taxa de chegada (isto é, tornar l m< ). Outra solução, embora ruim para o 
cliente, mas aparentemente mais econômica, é limitar o número de clientes 
– 254 –
que chegam ao sistema. Quanto ao sistema que recebe poucos clientes, segun-
da situação, que são rapidamente atendidos, podemos supor que não haverá 
formação de f ilas. Esse é, com certeza, um sistema mal dimensionado. Neste 
caso, naturalmente, algo deve ser feito para adequar l e m . 
O parâmetro l é um dado muito importante nas análises de sistemas 
de f ilas. Por essa razão, merece discussão mais aprofundada. Inicialmente 
suponhamos a chegada de, por exemplo, cinco usuários a um sistema de 
f ilas hipotético. Vamos supor também que foram anotados os instantes de 
chegada dos usuários, denotados por it , com i = 1, 2, 3, 4 e 5, medidos a 
partir do instante zero. Esses tempos são marcados no eixo dos tempos, 
como ilustra a f igura 6.4.
Figura 6.4: Instantes de chegada de usuários a um sistema de f ilas
Identif icamos na f igura 6.4 os tempos entre as chegadas consecutivas, 
de modo que, para cada usuário, é possível associar um único desses tempos. 
Nesse exemplo, associamos os tempos transcorridos entre a chegada de cada 
usuário e a chegada do seu subsequente, na seguinte ordem:
1o usuário: T
1
 = t
1
 – 0
2o usuário: T
2
 = t
2
 – t
1
3o usuário: T
3
 = t
3
 – t
2
4o usuário: T
4
 = t
4
 – t
3
5o usuário: T
5
 = t
5
 – t
4
.
Os tempos decorridos entre chegadas são representados pela letra T 
(maiúscula), para evitar confusão de notação, conforme ilustra a figura 6.5.
tempo
– 255 –
Figura 6.5: Tempos entre as chegadas de usuários a um sistema de f ilas
Se aplicarmos aos dados deste exemplo a expressão (6.1), calculamos o 
parâmetro l dividindo o número de usuários pelo intervalo de tempo: 
número de usuários que chegam
intervalo de tempo
l=
1 2 3 4 5
5
 
T T T T T
lÞ =
+ + + +
.
Ora, partindo-se da análise da última expressão, é imediata a consta-
tação de que a taxa de chegada l é o inverso da média dos tempos entre 
chegadas. 
Podemos expressar formalmente essa conclusão por meio da expressão 
(6.3), em que TMC é o tempo médio entre chegadas – que é o mesmo que a 
média dos tempos entre chegadas –,
1
TMC
l= . (6.3)
Uma expressão análoga à expressão (6.3) relaciona a taxa de atendimen-
to m e a média dos tempos de serviço, TMS ,
1
TMS
m= . (6.4)
Diante do exposto, a segunda parte do exemplo 6.1 poderia ser resolvida 
de forma direta, ou seja, pela aplicação da expressão (6.4), assim,
40 segundos TMS = Þ
1
40
m= ,
que, ao ser convertida para atendimentos por minuto, assume o seguinte 
valor:
– 256 –
60
1,5 clientes minuto
40
m= = .
É interessante notar quanto aos parâmetros l e , que o parâmetro l 
em geral não permite qualquer controle por parte do projetista do sistema de 
f ilas, uma vez que é um valor determinado pela fonte de usuários. Já o parâ-
metro , embora fortemente dependente da natureza e do volume do serviço 
demandado pelo usuário, pode ser de algum modo inf luenciado pelo projetis-
ta do sistema de f ilas; por exemplo, em função da sistemática de atendimento 
e da habilidade do atendente para realizar o serviço podemos manipular o 
valor de .
Depois de levantados os dados l e  de um determinado sistema de 
f ilas, é preciso obter grandezas que representem medidas objetivas da situa-
ção operacional da f ila em regime estacionário. Tais grandezas são designadas 
medidas de efetividade dos sistemas de f ilas.
6.3 Medidas de efetividade dos sistemas de f ilas
As mais primitivas medidas de efetividade são as esperanças matemá-
ticas da variável aleatória tempo que os usuários permanecem na f ila e da 
variável aleatória tempo que os usuários permanecem no sistema.
Os símbolos T, Q e S representam as variáveis aleatórias “tempo no sis-
tema”, “tempo na f ila” e “tempo de serviço”, respectivamente, para um usuá-
rio qualquer. Os respectivos valores esperados dessas variáveis aleatórias são 
( )E T , ( )E Q e ( )E S .
O tempo de espera é o tempo gasto na f ila antes de receber o serviço 
e, após o qual, o usuário é imediatamente atendido. Assim, o tempo de per-
manência no sistema – sistema é entendido aqui como um processo cliente 
e canal de atendimento – é calculado pela soma indicada na expressão (6.5):
( ) ( ) ( )E T E Q E S= + . (6.5)
A esperança matemática do tempo de serviço, ( )E S , é igual a 1m , uma 
vez que esses tempos são exponencialmente distribuídos – vide expressão 
(4.26), observando que β é a taxa de atendimento. Além disso, ( )E Q é desig-
nado por qW – do inglês waiting time in the queue –, e ( )E T , pela letra W. A 
expressão (6.5) pode então ser reescrita como a seguir:
– 257 –
W Wq= +
1
µ
. (6.6)
É importante frisar que a expressão (6.6) é geral; ou seja, sua validade 
independe do modelo de f ilas estudado e de suas características intrínsecas.
A medida de efetividade referente ao número médio de usuários no sis-
tema é designada como L – do inglês length. Se n for o número de usuários no 
sistema e P
n
, a probabilidade de que existam n usuários no sistema, dado que 
a variável aleatória é discreta, a esperança matemática ( )E X n= é calculada 
conforme (4.4) pela expressão (6.7):
0
( ) n
n
E X n L nP
¥
=
= = = å . (6.7)
Seja s o número de atendentes. O número médio de usuários na f ila é 
designado por qL – do inglês, length of the queue – e é def inido como a espe-
rança matemática, ( )qE X n= , obtida pela expressão (6.8):
( ) ( )q q n
n s
E X n L n s P
¥
=
= = = -å . (6.8)
As medidas de efetividade, W , qW , L e qL , formam uma espécie de 
f igura de mérito do desempenho de um sistema de f ilas e, a partir de seus 
valores, é possível emitir um parecer consubstanciado sobre a condição ope-
racional do sistema. Por exemplo, a partir dessas medidas, podemos obter um 
indicativo da necessidade ou não de ajustar o sistema de atendimento, comampliações ou cortes de custos. 
Há relações matemáticas entre as medidas de efetividade de tempo e as 
medidas de efetividade do número de usuários. Tais relações foram demons-
tradas por J. D. C. Little (1961).
6.3.1 Fórmula de Little
Para qualquer processo de f ilas em regime estacionário, a igualdade (6.9),
L = l– W (6.9)
é conhecida por fórmula de Little.
– 258 –
De maneira análoga, temos uma relação entre L
q
 e W
q
, nos seguintes 
termos:
Lq = l
– Wq , (6.10)
em que l
– 
 é a taxa média de chegada.
Para o enésimo estado, a taxa de chegada é l
n
, sendo a probabilidade 
correspondente dada por P
n
. A taxa de chegada é uma variável aleatória do 
processo estocástico. Dessa forma, a taxa média de chegada a longo prazo 
l
–
 deve ser calculada como o valor esperado, ou seja, l l=
=
∞
∑ n n
n
P
0
, sendo P
n
 
a proporção do tempo em que o processo está no estado n. Nos casos em que 
as taxas de chegada l
0
, l
1
, ..., l
n
 forem constantes e iguais a l e, além disso, 
Pn
n
=
=
∞
∑ 1
0
, teremos que l
–
 = l.
As expressões (6.6), (6.9) e (6.10) são extremamente importantes por-
que relacionam as quatro quantidades fundamentais, que são determinadas 
na medida em que qualquer uma delas é encontrada. Além disso, essas rela-
ções são genéricas, ou seja, são válidas para todo tipo de modelo de sistemas 
de f ila. Ao combinarmos as três equações obtemos uma quarta equação:
L Lq= +
λ
µ
. (6.11)
De posse dos conceitos básicos, das def inições das medidas de efetivida-
de e das relações fundamentais, podemos desenvolver e estudar modelos de 
f ilas de espera. Iniciaremos o estudo pelos modelos estocásticos de f ilas mais 
simples e depois passaremos à análise de modelos mais complexos.
Na próxima seção, serão estudados os sistemas de f ilas em que as che-
gadas e os atendimentos ocorrem segundo o modelo estocástico de Poisson, e 
tanto os tempos entre chegadas quanto os tempos de atendimento seguem a 
distribuição exponencial.
6.4 Sistemas de f ilas com chegadas e atendimentos do tipo markoviano
A f im de tornar didático o estudo a seguir, esta seção será dividida nos 
seguintes tópicos:
– 259 –
– sistemas de f ilas / / 1M M , que têm apenas um atendente (ou seja, um ser-
vidor ou um canal de atendimento) e capacidade inf inita;
– sistemas de f ilas / /M M s, que têm s atendentes e capacidade inf inita;
– sistemas de f ilas / / 1 /M M C, que têm um atendente e capacidade f inita C ;
– sistemas de f ilas / / /M M s C, que têm s atendentes e capacidade f inita C .
O segundo e o quarto tópico são designados como sistemas multicanal. 
Em todos os tópicos que serão abordados, a disciplina da f ila – ou das f ilas – é 
FIFO, e a fonte de usuários possui um número ilimitado de usuários poten-
ciais. Em um sistema com capacidade f inita C, o usuário que chegar e encon-
trar o sistema em sua capacidade máxima é automaticamente descartado.
6.4.1 Sistema de f ilas / / 1M M
Seja Xt o número de usuários no sistema no instante t . Suponhamos
l m< , e taxas l e m constantes. Dado que o tempo entre as chegadas e o 
tempo de atendimento são variáveis aleatórias com distribuição exponencial, 
o processo cujo estado é caracterizado por Xt é um processo de Markov. 
Portanto, podemos desenvolver o estudo de sistemas de f ilas / / 1M M 
com base nos procedimentos apresentados na seção 5.4.1. Iniciaremos o estu-
do a partir da representação do sistema de f ilas pelo diagrama de transição da 
f igura 6.6.
Figura 6.6: Diagrama de transição de um sistema de f ilas do tipo M / M / 1
A interpretação dada para a f igura 6.6 é a seguinte: cada esta-
do é caracterizado pelo número de usuários no sistema, que pode ser 0, 1, 
, 1, , 1,n n n- +  . As chegadas de clientes e os atendimentos são as tran-
sições entre os estados. A taxa de transição de um estado ao estado adjacente, 
ijg , para estados vizinhos i e j, representa a taxa de chegada, se i j< , e a taxa 
de atendimento, se i j> . 
... ...
– 260 –
Em particular, o sistema de f ilas M / M / 1 pode ser visualizado pela f igu-
ra 6.6, observando-se que M é “markoviano” e 1 trata-se de um atendente, que 
pode ser notado pela taxa m. Processos de Markov como o que está ilustrado 
no diagrama da f igura 6.6 são conhecidos como processos de ‘nascimento e 
morte’. 
Primeiramente, procuraremos obter uma expressão para a probabilida-
de de serem encontrados n usuários no sistema, designados por P
n
.
Partindo da lei de formação da matriz estocástica E, conforme a expres-
são (5.27),
elemento da posição ( , )i j = ijg , i j¹ (arco orientado de i para j),
elemento da posição ( , )j j = 1 ij
i j
g
¹
-å ,
e analisando o diagrama da f igura 6.6, identif icamos os seguintes elementos 
diferentes de zero das posições fora da diagonal:
01e l=
10e m= ...
1,n ne l- =
, 1n ne m- =
, 1n ne l+ =
1,n ne m+ = ... .
Nas posições da diagonal principal, obtemos os seguintes elementos:
00 1e l= -
11 1 ( )e l m= - + ...
1, 1 1 ( )n ne l m- - = - +
, 1 ( )n ne l m= - +
1, 1 1 ( )n ne l m+ + = - + ... .
– 261 –
Finalmente, o sistema de equações para a obtenção das probabilidades 
estacionárias f ica da seguinte forma:
v vE= ,
0 1 1 1 0 1 1 1[ ] [ ]n n n n n nv v v v v v v v v v E- + - +=    ,
e as probabilidades limites, v
0
, v
1
, ..., v
n–1
, v
n
, v
n+1
,... , são as probabilidades dos 
estados, 0 1 1 1, , , , , ,n n nP P P P P- +  ,
0 1 1 1 0 1 1 1[ ] [ ]n n n n n nP P P P P P P P P P E- + - +=    ,
cuja matriz estocástica E com um número inf inito de estados é:
 0 1 . . . n–1 n n+1 . . .0 1 1 1
0 1 0 0 0
1 1 ( ) 0 0 0
1 0 0 1 ( ) 0
0 0 1 ( )
1 0 0 0 1 ( )
n n n
nE
n
n
l l
m l m
l m l
m l m l
m l m
- +
é ù-
ê ú
ê ú- +ê ú
ê ú
ê ú
ê ú- - += ê ú
ê ú- +ê ú
ê ú+ - +ê ú
ê ú
ê úë û
 
 
 
       
 
 
 
       
.
A equação do estado zero é a seguinte:
0 0 1(1 )P P Pl m= - + ,
que nos permite escrever 1 0P P
l
m
= .
Para 1n³ , a enésima equação é dada por:
1 1[1 ( )]n n n nP P P Pl l m m- += + - + + .
Partindo de 1 0P P
l
m
= e da enésima equação para 1n= calculamos 2P :
2
2 0P P
l
m
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
.
– 262 –
Continuamos com esse procedimento e obtemos a solução procurada, P
n
,
0
n
nP P
l
m
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø 
para 1, 2,n=  , (6.12)
em que, nP é a probabilidade do estado n ; ou seja, a probabilidade de se en-
contrar exatamente n usuários no sistema.
A expressão para o cálculo de 0P é obtida usando-se o fato de que, para 
o modelo M / M / 1, 
0
1n
n
P
¥
=
=å :
0
0
1
n
n
P
l
m
¥
=
=
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷è øå
. (6.13)
Considerando a hipótese 1
l
m
< , a série do denominador de (6.13)
converge para 
1
1 lm-
. Consequentemente obtemos uma expressão sucinta
para a probabilidade do estado zero; isto é,
0 1P l m= - . (6.14)
0P é a probabilidade de se encontrar o sistema ocioso. Portanto, da aná-
lise da expressão (6.14), concluímos que l m é a probabilidade de encontrar o 
sistema ocupado. A razão l m é simbolizada pela letra grega r . 
A expressão da probabilidade de n usuários no sistema f ica então da 
forma indicada pela expressão (6.15):
(1 )nnP r r= - para 1, 2,n=  . (6.15)
Dessa forma, concluímos a determinação da probabilidade de se encon-
trar n usuários no sistema, conforme nos propusemos no início desta seção.
Cabe ressaltar aqui o signif icado do parâmetror . Esse parâmetro admi-
te algumas interpretações de grande utilidade nas análises, a saber:
– r é a proporção do tempo em que o sistema está ocupado ( 01 Pr= - );
– r é a intensidade de tráfego ou o fator de utilização do sistema.
No contexto de aplicação de r como intensidade de tráfego, a unidade 
usada é o erlang, que é uma unidade usual em sistemas de f ilas em geral.
Vamos resolver um exemplo para tornar mais claros os conceitos desen-
volvidos.
– 263 –
Exemplo 6.2: Um pronto-socorro médico presta serviços de atendimento a 
acidentados durante as24 horas do dia. Em média, em um dia típico, 42 pa-
cientes recorrem aleatoriamente ao atendimento desse pronto-socorro. Um 
paciente requer em média 25 minutos para receber os primeiros socorros, ser-
viço que é feito por uma única equipe de prof issionais. Suponha que o modelo 
é de uma f ila / / 1M M e efetue os seguintes cálculos:
a) a taxa média de chegada;
b) a taxa média de atendimento;
c) a probabilidade de que, em um intervalo de tempo de 1,5 horas, 2 pacien-
tes cheguem ao pronto-socorro;
d) a probabilidade de que um paciente selecionado aleatoriamente encontre 
o pronto-socorro desocupado;
e) o percentual do tempo em que o pronto-socorro está ocupado;
f) se a única sala de espera do pronto-socorro comporta apenas um paciente, 
qual é a probabilidade de algum paciente ter de esperar no corredor pelo 
atendimento?
As taxas l e m são determinadas aplicando-se os procedimentos da se-
ção 6.2, isto é,
42
1,75 pacientes hora
24
l= = ,
1
0,04pacientes minuto
25
m= = 0,04 60 2, 4 pacientes horamÞ = ´ = .
Como o modelo de chegada de pacientes é uma distribuição de Poisson 
com taxa média igual a l, e o intervalo de tempo é conhecido, vamos aplicar 
a fórmula (4.14)
( )
!
x
P X x e
x
 -= = , x Z+Î ,
 
para 1,75 1,5 2,625t l= D = ´ = . Fazendo 2x = , temos a seguinte proba-
bilidade:
2
2,6252,625( 2)
2!
P X e-= = ⇒ P(X=2) ≅ 0,2496.
– 264 –
Então, em um intervalo de tempo de uma hora e meia, há uma probabi-
lidade de 24,96% de que cheguem dois pacientes ao pronto-socorro.
A probabilidade de um paciente encontrar o pronto-socorro desocupa-
do é dada por P
0
, que é a probabilidade do sistema vazio. Aplicamos então a 
fórmula (6.14),
0 0
1,75
1 1 0, 2708
2, 4
P Pl m= - Þ = - @ .
 
O percentual do tempo em que o pronto-socorro está ocupado é dado por ,
1,75
0,7292
2, 4
l
mr r= Þ = @ .
Isto signif ica que cerca de 73% do tempo – no caso, 24 horas, implica 
17 horas e meia – o pronto-socorro está ocupado. O parâmetro  é também a 
intensidade de tráfego, que é expressa como 0,7292 erlangs.
Finalmente, se há apenas uma sala de espera, e a sala comporta um pa-
ciente e outro paciente está sob os cuidados da equipe, então se o número 
de pacientes no sistema for superior a dois teremos pacientes no corredor do 
pronto-socorro. Portanto, precisamos calcular a probabilidade de encontrar 
mais de dois pacientes no sistema, isto é:
2 0 1 21 ( )nP P P P> = - + + .
Uma vez que conhecemos o valor de 0P pelo item (d) e o valor de r pelo 
item (e), basta aplicarmos a fórmula (6.15), (1 )nnP r r= - para 1, 2n= . Segue-
se que
2 1 (0, 2708 0,1975 0,1440)nP > = - + + 2 0, 3877nP >Þ = .
6.4.1.1 Medidas de efetividade do modelo de f ilas / / 1M M
a) Número esperado de usuários no sistema, L:
Para determinarmos o número esperado de usuários em um sistema L, 
recorremos à expressão (6.7), que def ine L, e também à expressão (6.15): 
– 265 –
0 0 0
(1 ) (1 )n nn
n n n
L nP n L nr r r r
¥ ¥ ¥
= = =
= = - Þ = -å å å .
O somatório é identif icado como uma conhecida série convergente, uma vez 
que 1r< . Consequentemente, o número esperado de usuários no sistema L 
é dado pela expressão (6.16):
1
L
r
r
=
-
. (6.16)
b) Tempo médio de permanência do usuário no sistema, W:
Usamos a fórmula de Little (6.9) e obtemos a seguinte expressão para o 
cálculo de W:
(1 )
L
W W
r
l l r
= Þ =
-
. (6.17)
c) Tempo médio de espera na f ila, qW :
Para calcular qW , podemos usar a expressão (6.6) combinada com a fór-
mula para o cálculo de W, do seguinte modo:
1 1
(1 ) (1 )q
W W
r r r
m l r m l r l
= - = - = -
- -
,
(1 )
(1 ) (1 )q
W
r r r r r
l r l l r
- -
= - =
- -
,
2
(1 )q
W
r
l r
=
-
. (6.18)
– 266 –
d) Número médio de usuários na f ila, qL :
Calculamos esse número recorrendo à expressão (6.8) para 1s = e tam-
bém à expressão (6.15), 
1
1 1
1 1
( 1)
(1 ) (1 )
q n
n
n n
n n
n n
n n
L n P
nP P
nr r r r
¥
=
¥ ¥
= =
¥ ¥
= =
= -
= -
= - - -
å
å å
å å
2
(1 ) (1 ) ,
(1 ) 1
(1 )
.
1 1
r r
r r
r r
r r r
r r
= - - -
- -
-
= -
- -
O número médio de usuários na f ila é calculado pela expressão (6.19):
2
1q
L
r
r
=
-
. (6.19)
A seguir, apresentamos a resolução de um exemplo com a aplicação das 
grandezas cujas expressões foram obtidas.
Exemplo 6.3: Um centro de processamento de dados (CPD) é operado por um 
processador. As demandas do processo ao sistema seguem uma distribuição 
de Poisson, com uma taxa média de chegada de 12 processos por minuto. Os 
processos são atendidos em base FIFO, e os processos que chegam e encon-
tram o processador ocupado esperam pelo atendimento. O tempo gasto para 
executar um processo é estimado como exponencialmente distribuído, com 
uma média de atendimento de 3 segundos. Determine:
a) o número de processos no sistema;
b) o tamanho médio da f ila;
c) o tempo esperado que um processo deve aguardar na f ila;
d) o tempo médio que um processo deve f icar no processador (CPU).
– 267 –
Primeiramente, vamos calcular os parâmetros do sistema a partir dos 
dados de entrada. A taxa de chegada é processos minuto12l= . O tempo médio de
atendimento é 
1
m
, que foi dado como 3 segundos, portanto, a taxa de aten-
dimento é processos segundo
1
3
m= . A taxa l está em processos minuto e a taxam está
expressa em processos segundo . É preciso tornar coerentes as unidades dessas taxas. 
Vamos exprimir l em processos segundo , tal comom . Assim,
e 
processos
segundo
processos
segundo
1
5
1
3
l
m
=
=
 
Segue-se que o valor de r é 3 5l mr= = .
Concluída a fase preparatória dos dados, estamos prontos para aplicar as 
fórmulas e solucionar os itens pedidos, uma vez que 1r< , conforme a nossa 
hipótese.
O número médio de usuários no sistema é calculado pela aplicação de 
(6.16):
3 5 3
21 1 3 5
L L
r
r
= Þ = =
- -
processos.
O tamanho médio da f ila é dado pela expressão (6.19),
2 23
5
3
5
( ) 9
0,9
1 1 10q q q
L L L
r
r
= Þ = = Þ @
- -
processos.
O tempo esperado que um cliente deve aguardar na f ila é dado pela 
expressão (6.18),
W W Wq q q= −
⇒ =
−
= ⇒ =
ρ
λ ρ
2 3
5
2
1
5
3
51 1
9
2
4 5
( )
( )
( )
, segundos.
O tempo médio que um processo permanece no processador é o tempo 
médio do sistema. Vamos aplicar a expressão (6.17),
W W W=
−
⇒ =
−
= ⇒ =
ρ
λ ρ( ) ( )
,
1 1
15
2
7 5
3
5
1
5
3
5
 segundos.
– 268 –
6.4.2 Sistema de f ilas / /M M s
Como na seção anterior, obteremos uma expressão para a probabilidade 
de se encontrarem exatamente n usuários no sistema nP . Para tal, usaremos a 
modelagem do sistema de f ilas multicanal como um processo de Markov de 
nascimento e morte, cujo diagrama de transição está ilustrado na f igura 6.7.
Figura 6.7: Diagrama de transição de um sistema de f ilas do tipo / /M M s
Com a suposição de que a taxa média de atendimento de cada servidor 
é m, a taxa média global de atendimento de n servidores é nm . Quando todos 
os servidores estiverem ocupados, ou seja, quando n s³ , a taxa média global 
de atendimento é sm .
Um procedimento alternativo àquele utilizado no desenvolvimento 
apresentado na seção 6.4.1 para obter nP consiste em escrever as equações de 
Kolmogorov para os jotaésimos estados – vide equação (5.23) – do diagrama 
da f igura 6.7. Para facilitar o emprego desse método, basta escrever as equa-
ções de balanço para o processo de nascimento e morte, como está indicado a 
seguir:
Estado Taxa de saída = Taxa de entrada
0
0 1P Pl m= ,
1
1 0 2( ) 2P P Pl m l m+ = + ,
2
2 1 3( 2 ) 3P P Pl m l m+ = + ,... ...
1s-
1 2[ ( 1) ] s s ss P P s Pl m l m- -+ - = + ,
s
1 1( ) s s ss P P s Pl m l m- ++ = + ,
n s³
1 1( ) n n ns P P s Pl m l m- ++ = + .
... ...
– 269 –
A partir das equações escritas anteriormente, para n s£ , temos que:
( )
0!
n
nP Pn
l
m= , para 1, 2, ,n s=  (6.20)
e, para n s³ , temos que:
( )
0!
s
n n s
P P
s s
l
m
-= . (6.21)
Usamos do fato que 
0
1n
n
P
¥
=
=å e das relações (6.20) e (6.21), para obter-
mos a probabilidadede se encontrar o sistema vazio, 0P :
( ) ( )
0
1
0
1
! !(1 )
n s
s
n
P
n s
l l
m m
r
-
=
=
é ù
ê ú +ê ú -ê úë û
å
,
(6.22)
em que sl mr= , que é menor do que a unidade.
Precisamos obter uma medida de efetividade para que todas as outras se-
jam encontradas. Optamos por aplicar a expressão (6.8), que def ine qL :
( )
02!(1 )
s
qL Ps
l
m r
r
=
-
. (6.23)
O número médio de usuários no sistema é calculado pela expressão (6.24):
( )
02!(1 )
s
L P
s
l
m r l
r m
= +
-
. (6.24)
O tempo médio de permanência do usuário no sistema é calculado pela 
expressão (6.25):
( )
02
1
!(1 )
s
W P
s s
l
m
m r m
= +
-
. (6.25)
– 270 –
O tempo médio de permanência do usuário no sistema é calculado pela 
expressão (6.26):
( )
02!(1 )
s
qW Ps s
l
m
m r
=
-
. (6.26)
Se ao chegar ao sistema um usuário encontrar pelo menos s usuários, 
concluirá que o sistema está ocupado. A probabilidade de se encontrar o sis-
tema ocupado é o somatório das probabilidades para se encontrar pelo menos 
n usuários no sistema,
( )
0!
s
n s n n s
n s n s
P P P
s s
l
m
¥ ¥
³ -
= =
= =å å ,
que resulta na expressão (6.27):
( )
0!(1 )
s
n sP Ps
l
m
r³
=
-
. (6.27)
Em outras palavras, n sP ³ é a probabilidade de que uma chegada ao sis-
tema tenha de esperar.
Iremos resolver a seguir um exemplo para consolidar os conceitos desen-
volvidos nesta seção.
Exemplo 6.4: Um centro de distribuição de mercadorias distribui seus produ-
tos por intermédio de caminhões que são carregados em dois postos de carre-
gamento. Os caminhões são carregados à medida que chegam e às vezes têm 
de esperar pelo atendimento. Após observações, foram colhidos os seguintes 
dados: taxa média de chegada de 2 veículos por hora e tempo médio de 20 
minutos para se carregar um caminhão. Responda:
a) Qual é a probabilidade de um caminhão chegar ao centro de distribuição 
e ter de esperar para ser atendido?
b) Qual é o número médio de caminhões na f ila?
c) Qual é o número esperado de caminhões no sistema?
– 271 –
A taxa de atendimento por servidor, m , é obtida do tempo médio de aten-
dimento. Portanto, caminhões hora3m= . A taxa de chegada é veículos hora2l= e, 
do enunciado, concluímos que s = 2 e r=
×
=
2
2 3
1
3
.
Aplicamos a expressão (6.22) para calcular 0P : 
( ) ( )
0
1
0
1
! !(1 )
n s
s
n
P
n s
l l
m m
r
-
=
=
é ù
ê ú +ê ú -ê úë û
å
 
( ) ( )
( )
0 21 2 2
3 3
1
30
1
! 2! 1
n
n
P
n=
Þ =
é ù
ê ú +ê ú -ê úë û
å
,
( ) ( ) ( )
( )
0 00 1 22 2 2
3 3 3
1
3
1 1
2 2
1
3 60! 1! 2! 1
P P= Þ =
+ ++ +
-
,
0 0,5P = .
qL é a probabilidade de se encontrar o sistema vazio. É importante res-
saltar que 0P é o valor chave nos cálculos de sistemas M / M / s, uma vez que 
as medidas de efetividade têm suas expressões dependentes desse valor.
A probabilidade de um caminhão que chegue ao centro de distribuição 
ter de esperar para ser atendido é 2nP ³ , isto é,
( )223
2 0,52!(1 1 3)n
P ³ = ´ Þ-
 2 0,1667nP ³ @ .
O número esperado de caminhões na f ila é qL . Aplicamos a expressão (6.23),
( )
02!(1 )
s
qL Ps
l
m r
r
= Þ
-
 
( )22 13 3
2
0,5 0,083 clientes
2!(1 1 3)q
L = ´ @
-
.
O número esperado de caminhões no sistema é L. Aplicamos a expres-
são (6.24),
( )
02!(1 )
s
L P
s
l
m r l
r m
= + Þ
-
 
1 2
0,75 clientes
12 3
L = + = .
– 272 –
À primeira vista, o leitor pode estranhar os valores decimais obtidos 
para as grandezas L
q
 e L, uma vez que as medidas possuem aparentemente 
a conotação de grandezas inteiras. Entretanto, os valores decimais podem ser 
explicados por se tratar de esperanças matemáticas que resultam de produtos 
de probabilidades por números inteiros.
A teoria das f ilas de espera propicia uma ferramenta valiosa para orien-
tar o projetista no planejamento de sistemas de atendimento a usuários em 
geral. O dimensionamento de um call center, por exemplo, requer conheci-
mentos de sistemas de f ilas. Neste contexto, sugerimos ao leitor a resolução 
do exercício 6 deste capítulo, que trata do dimensionamento de um sistema 
telefônico.
Na próxima seção serão estudados os sistemas de f ilas do tipo markovia-
no com um único atendente e capacidade do sistema f inita, dada pela quan-
tidade especif icada C.
6.4.3 Sistema de f ilas / / 1 /M M C
Neste modelo, um usuário que chega e encontra o sistema já com C 
usuários, não é atendido e é imediatamente descartado. Isto signif ica que o 
número de consumidores no sistema não pode exceder ao número especif ica-
do C. Em relação aos modelos estudados nas seções 6.4.1 e 6.4.2, a principal 
modif icação é que a taxa de chegada de usuário será l para todos os estados 
1n C£ - e será zero para n C³ ; consequentemente, l
– 
≠l .
O diagrama de transição é parecido com aquele mostrado na f igura 6.6, 
exceto pelo fato de o processo parar no estado n C= . A f igura 6.8 ilustra o 
diagrama do modelo / / 1 /M M C.
Figura 6.8: Diagrama de transição de um sistema de f ilas do tipo / / 1 /M M C
...
– 273 –
Da análise do diagrama é imediata a constatação de que Pn
n
C
=
=
∑ 1
0
.
A exemplo do desenvolvimento apresentado para sistemas M / M / 1, para 
o sistema / / 1 /M M C temos a probabilidade de serem encontrados n usuários 
no sistema dada pela fórmula (6.28):
0
n
nP P
l
m
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
, para n = 0, 1 ..., C. (6.28)
 Supondo 1l mr= < , o cálculo de 0P passa pela avaliação do somatório 
0
0
1
C
n
n
Pr
=
=å , que é uma progressão geométrica de 1C+ termos, que resulta
na expressão:
0 1
1
1 C
P
r
r +
-
=
-
. (6.29)
As relações (6.28) e (6.29) implicam a expressão (6.30):
1
1
1
n
n C
P
r
r
r +
-
=
-
, para n = 0, 1, ..., C. (6.30)
As medidas de efetividade , , qL W W e qL são então obtidas calculan-
do-se primeiramente a grandeza L, conforme se mostra em (6.31):
1
1
( 1)
1 1
C
C
C
L
r r
r r
+
+
+
= -
- -
. (6.31)
As demais medidas de efetividade são obtidas utilizando-se as seguintes 
relações:
qL L r= - ,
LW
l
= ,
e
q
q
L
W
l
= ,
– 274 –
em que, de acordo com a seção 6.3.1,
1
0
(1 )
C
n C
n
P Pl l l l
-
=
= Þ = -å . (6.32)
P
C
 é a probabilidade de um usuário encontrar o sistema em sua capacidade 
máxima, que é calculada pela expressão (6.33):
1
(1 )
1
C
C C
P
r r
r +
-
=
-
, para 1r< .
(6.33)
A obtenção de W e qW 
a partir de L e qL , respectivamente, requer 
para o modelo / / 1 /M M C o emprego do parâmetro l , que é a esperança 
matemática da taxa de chegada. Essa exigência é inerente aos processos de 
f ilas cujos sistemas têm capacidades limitadas. A explicação para isto é a se-
guinte: para f ins de simplif icação das expressões, adotamos a suposição de que 
as taxas independem dos estados 0, 1, 2,n=  e são iguais a l. Para siste-
mas com capacidade ilimitada temos 
0
n
n
Pl l l
¥
=
= =å ; porém, para sistemas 
limitados, em geral, l l¹ , como é o caso mostrado na expressão (6.32).
 A resolução de um exemplo esclarece a aplicação do modelo estudado 
nesta seção.
 
Exemplo 6.5: Um laboratório de radiologia possui apenas um equipamento e 
atende pacientes numa base FIFO. Por razões de limitação de espaço físico, o 
laboratório comporta no máximo 4 pacientes. Os pacientes chegam de acordo 
com um processo de Poisson, a uma taxa média de 1 paciente por hora. O tem-
po necessário para atender um paciente é exponencialmente distribuído com 
uma média de 45 minutos. Determine:
a) o número médio de pacientes presentes no laboratório;
b) a probabilidade de um paciente escolhido ao acaso não conseguir sequer 
espaço na sala de espera;
c) o tempo médio que um paciente deve esperar para ser atendido.
 As taxas de chegada e atendimento são 1 paciente horal= e 
4
3 pacientes horam= , respectivamente. A intensidade de tráfego oferecida 
no sistema é 3 4l mr= = erlang. 
– 275 –
 Dado que C = 4 e foi pedido o número médio de pacientes no laborató-
rio, L , aplicamos a fórmula (6.31),
1
1
( 1)
1 1
C
C
C
L
r r
r r
+
+
+
= -
- -
,
5
5
0,75 5 0,75
1 0,75 1 0,75
L
´
= -
- -
,
1,444L @ pacientes.
Encontrar o laboratório ocupado é encontrar 4 pacientes no sistema. 
Daí, calcula-se essa probabilidade do seguinte modo:
1
(1 )
1
C
C C
P
r r
r +
-
=
-
,
4
4 5
(1 0,75)0,75
1 0,75
P
-
=
-
,
P
4
  0,104.
 O tempo médio que um paciente deve esperar para ser atendido é qW , 
que requer o cálculo de l e qL , a saber:
(1 )CPl l= - ,
l = −1 1 0 104( , ) Þ l = 0 896, pacientes hora ;
L Lq = −
λ
µ
,
L Lq q= − ⇒ ≅1 444 0 672 0 772, , , pacientes;
W Wq q= = ⇒ =0 672 0 896 0 75 45, , , hora minutos.
 Portanto, o tempo médio de espera de pacientes no laboratório é apro-
ximadamente de 45 minutos.
 A seguir, serão estudados os sistemas de f ilas do tipo markoviano com 
múltiplos servidores de atendimento e capacidade f inita.
– 276 –
6.4.4 Sistema de f ilas M / M / s / C
A dedução da fórmula para o cálculo da probabilidade de serem encontra-
dos n usuários no sistema para o modelo M / M / s / C f ica trivial em vista dos 
desenvolvimentos anteriores. A suposição mais forte é que o número de servi-
dores ou atendentes é no máximo igual à capacidade do sistema, ou seja, s C£ .
Neste modelo, para o estado n, n = 0, 1, 2, ..., C –1, a taxa de chegada l
n
 
é igual a l e l
n
= 0, para n = C. A taxa de atendimento n é n
 
= n para 
n = 0, 1, 2, ..., s –1 e, n
 
= s, para o estado n de s a C.
Para um número n de usuários menor do que o de servidores s, a proba-
bilidade nP é a mesma calculada pela expressão (6.20). Mas, para s n C£ £ , a 
probabilidade nP é a mesma calculada pela expressão (6.21). Para n C> , 0nP = , 
pois não mais se admitem usuários no sistema. Isto quer dizer:
P
n
P n s
s s
P n s s C
n
n
n
n s
=
( )
= −
( )
= +−
λ
µ
λ
µ
!
, , , , ,
!
, , , ,
0
0
1 2 1
1
para
para

 ,,
, .0 para n C>





(6.34)
Além disso, ρ λ µ= < =
=
∑s Pn
n
C
1 1
0
e .
A expressão para o cálculo da probabilidade do sistema ocioso é dada por:
( ) ( ) ( )
0
0 1
1
! !
n s
s C
n s
s
n n s
P
n s
l l
m m l
m
-
= = +
=
+å å
.
(6.35)
 Como para n s£ não há f ila, obtemos a fórmula para o cálculo do nú-
mero médio de usuários na f ila efetuando o desenvolvimento da seguinte ex-
pressão:
( )
0( ) !
n
C
q n s
n s
L n s P
s s
l
m
-
=
= -å .
– 277 –
Para n s j- = ,
( )
0
0 !
s j
C s
q j
j
L j P
s s
l
m
+
-
=
= å ,
( ) ( )0
0!
C ss j
q s
j
P
L j
s
l l
m m
-
=
= å ,
( ) 0
0!
C ss j
q
j
P
L j
s
l
m r
-
=
= å ,
( ) 10
0!
C ss j
q
j
P
L j
s
l
m r r
-
-
=
= å .
Mas, 1
j
jd j
d
r
r
r
-= . Então,
( ) 0
0!
jC ss
q
j
P d
L
s d
l
m
r
r
r
-
=
= å ,
( ) 0
0!
C ss j
q
j
P d
L
s d
l
m r rr
-
=
= å ,
( )
1
0 1
! 1
C s
s
q
P d
L
s d
l
m
r
r
r r
+ +æ ö- ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç -è ø
.
A última expressão é válida para 1r< . Conclui-se o desenvolvimento 
efetuando-se a derivada que compõe a expressão. Consequentemente, a ex-
pressão para cálculo de qL para o modelo de f ilas / / /M M s C é dada por 
(6.36),
( )
02
1 ( ) (1 )
!(1 )
s
C s C s
qL C s Ps
l
m r r r r
r
- -é ù= - - - -ë û-
. (6.36)
– 278 –
De posse do valor L
q
, o número médio de usuários no sistema, L, pode 
ser calculado pela expressão (6.37).
L L s n s Pq
n
s
n= + + −( )
=
−
∑
0
1
, (6.37)
em que 
( )
0!
n
nP Pn
l
m= .
Uma fórmula alternativa de obtenção de L é
 
L Lq= +
λ
µ
, (6.38)
em que, l l= −( )1 PC e
 
P
s s
PC
C
C s=
( )
−
λ
µ
!
.0
As demais medidas de efetividade são obtidas pela aplicação das seguin-
tes expressões:
LW
l
= ,
e
 q
q
L
W
l
= .
Um sistema de fila derivado do modelo estudado nesta seção é o M / M / s / s, 
em que não é permitida a formação de fila. Essa propriedade decorre da condição 
s = C, que especifica que não há espaço destinado para a espera. As fórmulas desse 
modelo podem ser obtidas a partir do modelo M / M / s / C, fazendo-se s = C nas 
expressões. Dessa forma,
P
n
P n sn
n
=
( )
≤ ≤
λ
µ
!
, ,0 0 (6.39)
– 279 –
 
P
n
n
n
s
0
0
1
=
( )
=
∑
λ µ
!
.
 
 
(6.40)
A probabilidade de uma chegada encontrar o sistema ocupado, ou de 
rejeição, é obtida impondo-se n = C na expressão de P
n
.
6.5 Relevância da teoria de filas em sistemas de comunicação
A importância do estudo de sistemas de f ilas de espera em áreas aplica-
das é inquestionável. Como exemplo, citamos o seguinte fato: em uma lista 
telefônica da companhia Pacif ic Bell, que atende a região da Califórnia, nos 
EUA, lê-se a seguinte frase: “30 second response time to 90% of customer service 
phone calls”. Isto quer dizer que, em 90% das chamadas feitas pelos clientes 
que usam o sistema da companhia, o tempo de resposta esperado é de 30 se-
gundos. Esta informação só é possível porque algum método que usa a teoria 
de f ilas foi aplicado no planejamento do sistema telefônico.
 Na área de telefonia, o modelo de f ilas mais usado é o modelo de Erlang 
– vide seção 4.5.4. Em sistemas de comunicações, a intensidade de tráfego é 
um dado que varia aleatoriamente com o tempo, podendo experimentar pe-
ríodos de ociosidade e de congestionamento. O projeto de um dado sistema 
telefônico deve garantir que a probabilidade de haver congestionamento seja 
menor do que ou no máximo igual a um certo valor considerado razoável. 
Essa probabilidade é denominada probabilidade de bloqueio, designada pelo 
símbolo bP . Dentre os modelos estocásticos de tráfego, o modelo conhecido 
como Erlang-B é o indicado para medir a taxa de bloqueio de requisições 
quando o tráfego é aleatório e não existe f ila de espera. Esse é o caso em que 
a requisição de chamada, ao encontrar o sistema ocupado, abandona-o e não 
forma f ila.
No modelo de Erlang, as chamadas chegam a um enlace conforme um 
processo de Poisson de taxa conhecida, l , que é uma medida do número 
médio de chamadas por unidade de tempo. Os tempos de serviços seguem 
a distribuição exponencial, com taxa m . O tráfego é caracterizado pela re-
– 280 –
lação l m , designada por r . O enlace é composto por circuitos – troncos ou 
linhas –, e uma chamada é bloqueada e perdida se todos os circuitos estive-
rem ocupados. Em caso contrário, a chamada é aceita e utiliza um circuito 
durante o seu tempo de retenção. Estudos sobre a distribuição estatística de 
Poisson para cálculo da probabilidade de bloqueio podem ser sintetizados 
na fórmula B de Erlang, ou fórmula de perda de Erlang, que é dada pela 
expressão (6.41):
!
!
0
N
k
N
b N
k
k
P
r
r
=
=
å
. (6.41)
 
Cabe notar que o modelo de Erlang é apenas parte de uma área do es-
tudo conhecido como teoria de f ilas. Tal área é capaz de tratar problemas 
complexos de tráfego em redes compartilháveis pelos mais diversos tipos de 
informação, tais como voz, dados e multimídia. No caso do tráfego de chama-
das telefônicas, o modelo de Erlang-B se aplica sem restrições.
 A avaliação numérica da probabilidade P
b
 por meio da aplicação direta 
da fórmula (6.41) oferece dif iculdades, uma vez que o número N de linhas 
pode assumir valores muito altos. O problema advém tanto do cálculo do fa-
torial quanto do cálculo das potências de  à medida que N cresce. Um méto-
do que contorna a ocorrência de overflow no cálculo numérico desta expressão 
é proposto por Qiao & Qiao (1998).
No próximo capítulo serão estudadas simulações. 
6.6 Exercícios propostos
1. O modelo de chegadas de carros que seguem por uma via estreita e única a 
um banco caixa rápido segue um processo de Poisson, com taxa média de um 
carro por minuto. Os tempos de utilização são exponencialmente distribuí-
dos, com uma média de 45 segundos. Considerando que um carro esperará o 
quanto for necessário, determine:
a) o número esperado de carros aguardando por utilização do caixa rápido;
b) o tempo médio que um carro espera pela utilização do serviço;
– 281 –
c) o tempo médio que um carro gasta no sistema; e
d) a probabilidade de que existam carros esperando na rua, se o estabeleci-
mento do banco pode somente comportar um máximode 5 automóveis.
2. Uma rede de computadores possui apenas um roteador para fazer o ro-
teamento dos datagramas ou pacotes. A memória ou buffer desse roteador 
comporta no máximo 2.000 datagramas. Os datagramas chegam ao rotea-
dor de acordo com um processo de Poisson, a uma taxa de chegada de 540 
datagramas
minuto . O tempo médio exponencialmente distribuído de atendimento 
de um datagrama é de 0,1 segundo. Determine:
a) o tempo médio que um datagrama deve esperar para ser atendido;
b) o número médio de datagramas presentes na memória do roteador.
3. Um sistema de atendimento ao cliente de uma pequena empresa comercial 
é operado por uma pessoa por meio de uma central telefônica. As demandas 
dos clientes ao sistema seguem uma distribuição de Poisson, com uma taxa 
média de chegada de 10 solicitações por hora. Os clientes são atendidos em 
base FIFO e os que ligam e encontram o sistema ocupado esperam pelo aten-
dimento. Isto faz que às vezes existam chamadas em espera; ou seja, forma-se 
uma f ila. O tempo gasto para atender a um cliente é estimado como exponen-
cialmente distribuído e dura, em média, 4 minutos. Determine:
a) o número médio de clientes no sistema;
b) o número médio de clientes em espera – ou seja, ouvindo música;
c) o tempo esperado que um cliente deve aguardar pelo atendimento;
d) o tempo médio que um cliente permanece no sistema de atendimento.
4. Veículos chegam em f ila única a um semáforo com duas opções de mo-
vimento, seguir em frente ou virar à direita. As chegadas obedecem a um 
processo de Poisson, com taxa média de 9 veículos a cada 2 minutos. Os tem-
pos de utilização são exponencialmente distribuídos, com uma média de 25 
segundos – utilização é quando um veículo recebe permissão de passagem. 
Supondo taxas iguais para as demandas e para as duas opções de movimento, 
e considerando que um carro esperará o quanto for necessário, determine: 
a) a probabilidade de encontrar o sistema ocioso;
b) o número esperado de carros aguardando pela sua vez de passagem;
c) o tempo médio que um carro espera pela passagem;
– 282 –
d) o tempo médio que um carro permanece no sistema; e
e) a probabilidade de que um carro tenha de parar nesse cruzamento.
5. Uma companhia telefônica instalou 3 cabinas em um aeroporto. A deman-
da de uso dos aparelhos é estimada como uma distribuição de Poisson de 
modo que, em média, a cada 2,4 minutos chega um novo usuário. Os tempos 
gastos nas chamadas telefônicas têm uma distribuição exponencial tal que, em 
média, a cada 2 horas 18 usuários concluem suas ligações. Pergunta-se:
a) Qual é o fator de utilização das cabinas?
b) Qual é a probabilidade de um usuário encontrar as cabinas vazias, ou seja, 
o sistema desocupado?
c) Qual é o número médio de usuários no sistema?
d) Qual é a probabilidade de que um usuário, ao chegar para utilizar o servi-
ço, tenha de esperar pelo atendimento?
6. (SHAMBLIN & STEVENS JR., 1989) Uma companhia telefônica planeja 
instalar cabinas em um novo aeroporto. Ela traçou a norma de que uma pessoa 
não deve esperar mais que 10% das vezes em que tentar usar o telefone nesse 
sistema. A demanda de uso é estimada como uma distribuição de Poisson com 
uma média de 30 usuários por hora, isto é, usuários hora30l= . A chamada tele-
fônica tem uma distribuição exponencial com um tempo médio de 5 minutos, 
isto é, usuários hora12m= . Como l é menor do que sm, pois estamos no sistema 
/ /M M s e não sabemos qual é o valor de s, o número de cabinas não pode ser 
menor do que 3 ( 30 3 12< ´ ). A tabela 6.1 apresenta os valores de 0P e 3nP ³ .
Tabela 6.1: Valores de 0P e n sP ³ para diversos valores supostos de s
Número de 
servidores,
s
Probabilidade do sistema 
ocioso, 0P
Probabilidade do sistema ocupado, 
n sP ³
3 0,0449 0,702 ® 70,2%
4 0,0737 0,320 ® 32%
5 0,0801 0,130 ® 13%
6 0,0816 0,047 ® 4,7%
Com base nesses dados, responda: quantas cabinas telefônicas deverão 
ser instaladas?
– 283 –
7. Os aviões requisitam permissão para aterrissar em um aeroporto de pista 
única a uma média de um a cada 4 minutos; a distribuição das requisições se 
aproxima da distribuição de Poisson. Os aviões recebem permissão em uma 
base FIFO, e aqueles que não têm condições de pouso imediato devido a con-
gestionamento de tráfego aéreo são colocados em espera. Mas, por restrições do 
espaço aéreo da cidade, apenas 3 aviões podem permanecer em espera. O tempo 
requerido para pouso varia com a experiência do piloto e é exponencialmente 
distribuído com média de 3 minutos. Determine:
a) o número médio de aviões em espera;
b) o tempo médio que um avião aguarda até conseguir a permissão de pouso;
c) a probabilidade de que existam mais de dois aviões no sistema.
8. Resolva o exercício anterior supondo que haja duas pistas no aeroporto, ou 
seja, / / 2 / 4M M .
9. Em relação ao modelo de f ila estudado na seção 6.4.4, complete a dedução 
da expressão de cálculo de qL que deve resultar em (6.36). Mostre também 
que as expressões (6.37) e (6.38) conduzem ao mesmo resultado.
10. Faça uma comparação entre os sistemas de f ilas / / 1M M e / / 1 /M M C , 
e verif ique que as fórmulas de cálculo das medidas de efetividade do primeiro 
modelo podem ser obtidas a partir das fórmulas correspondentes do modelo 
com capacidade f inita, ao considerar o limite para C ® ¥ .
11. A partir das expressões (6.39) e (6.40) obtenha a fórmula (6.41) da proba-
bilidade de bloqueio.
12. Utilize como fonte bibliográf ica inicial o artigo de Qiao e Qiao (1998) 
e procure compreender a proposta desses autores para avaliar a expressão 
(6.41), contornando as dif iculdades numéricas computacionais verif icadas 
quando o cálculo dessa expressão é efetuado de forma direta.
– 285 –
VII
Simulação Monte Carlo
E ste capítulo aborda simulação Monte Carlo. Como fonte suplementar, sugerimos a leitura de Cancho (2004), Hillier & Lieberman (1995), Jain 
(1991), Lopes (1999), Nelson, B. (1995) e Shamblin & Stevens Jr. (1989).
Para se estudar um sistema de qualquer natureza, é preciso descrevê-lo 
por meio de um modelo. Isto vale para sistemas socioeconômicos, mecânicos, 
elétricos, biológicos etc. O modelo pode ser de natureza matemática – consti-
tuído de equações, inequações e relações lógico-matemáticas – ou até mesmo 
de natureza física – como, por exemplo, um protótipo. Em muitos casos, a 
tentativa de se obter um modelo é frustrada porque as relações presumidas 
entre duas ou mais variáveis do problema não são conhecidas ou porque há 
variáveis estocásticas cujas distribuições de probabilidades não são conheci-
das. Pode ser que, ao tentarmos descrever um sistema por um modelo mate-
mático, descubramos que o sistema é tão complexo que o modelo não possui 
representação analítica, ou seja, não é possível encontrar respostas matemati-
camente bem def inidas que relacionem as variáveis do problema. Tanto nos 
casos de desconhecimento de relações entre variáveis do problema quanto na-
queles em que a complexidade do sistema é uma característica marcante, a 
simulação computacional pode tornar-se uma ferramenta valiosa na obtenção 
de uma resposta para um problema particular.
Há vários modelos de simulação, dentre os quais podemos citar:
 – programas para computador (um simulador de voo é um exemplo);
 – redes elétricas em escala reduzida, para estudos de operação;
 – usinas em escala reduzida, que simulam o funcionamento de um sistema 
real;
– 286 –
 – circuitos elétricos que descrevem circuitos hidráulicos;
 – circuitos eletroeletrônicos que são projetados para descrever o comporta-
mento dinâmico de sistemas mecânicos;
 – modelos matemáticos.
Na análise de alguns modelos de sistemas físicos, como, por exemplo, 
os modelos de circuitos elétricos não lineares, a simulação numérica com o 
emprego do computador é a forma mais adequada para se obter respostas. 
A razão disso é que, mesmo que esses sistemas sejam expressos por meio de 
equações matemáticas, tais equações podem não admitir soluções analíticas.
Simular signif ica reproduziro funcionamento de um sistema real com o 
auxílio de um modelo. A simulação corresponde à realização de experimentos 
numéricos com modelos lógico-matemáticos. Esses experimentos envolvem 
geralmente um grande volume de cálculos repetitivos e, por isso, requerem 
uso intensivo do computador. Nas últimas décadas, o computador tem-se re-
velado a ferramenta mais ef icaz no estudo de problemas complexos, prin-
cipalmente os problemas de grande porte e aqueles que possuem variáveis 
aleatórias em suas formulações.
A simulação por computador pode ser aplicada tanto na solução de pro-
blemas estocásticos como de problemas determinísticos. Independentemente 
do fato de o problema possuir variável estocástica ou determinística, a simu-
lação estocástica consiste no uso de números aleatórios de maneira intensiva. 
A simulação que se baseia no emprego de números aleatórios é denominada-
simulação Monte Carlo.
Neste capítulo, interessa-nos a abordagem da simulação baseada no 
uso do computador e no emprego de números aleatórios. Portanto, o seu 
enfoque é a simulação Monte Carlo. Trata-se de uma simulação de siste-
mas que incorpora elementos aleatórios e é também denominada método de 
Monte Carlo. Tendo em vista que essa simulação necessita do processamen-
to de grande quantidade de dados, esse tipo de cálculo requer a utilização 
do computador.
 Historicamente, o método de Monte Carlo data da época do surgimento 
do primeiro computador eletrônico ENIAC (Electronic Numerical Integrator 
Analyser and Computer) e do advento do projeto para o desenvolvimento de 
armas nucleares. Seus precursores foram os pesquisadores John von Neu-
mann, Stanislaw Ulam e Nicholas Metropolis.
– 287 –
7.1 Geração de números aleatórios
Simulação é uma modalidade experimental de pesquisa que procura 
tirar conclusões baseadas no uso de modelos matemáticos que representam 
um sistema real. Os modelos matemáticos podem conter apenas a parte 
lógica e real do sistema, expressa por meio de equações, ou ter, adicional-
mente, um componente aleatório que permita medir o comportamento do 
sistema em prova quando eventos com certa probabilidade de ocorrência 
intervêm no resultado f inal do exercício de simulação. Para a geração do 
componente probabilístico envolvido nos modelos, é necessário que os 
sistemas computacionais ou as linguagens de programação possuam uma 
rotina de geração de números equiprováveis – números aleatórios unifor-
mes. Embora seja a regra geral nas linguagens atuais, tal condição possui, 
de forma geral, baixa ef iciência, por ser de ciclo muito curto. A função 
random(.) na linguagem C ou C++ tem um ciclo que corresponde ao dos 
números inteiros, isto é, entre 0 e 32.767. Outras linguagens têm funções 
um pouco melhores, mas, em geral, não o suf iciente para garantir ao pes-
quisador uma ef iciência adequada.
Para atender as necessidades dos pesquisadores, as funções devem gerar 
números entre 0 e 1, que possuam ciclos de ordem elevada, de forma a ga-
rantir que milhares ou mesmo milhões de simulações sejam feitas sem que se 
encontre repetição dos números gerados.
Antes do advento do computador, números aleatórios eram gerados 
por algum tipo de dispositivo, tais como roletas, dados especiais, cartões 
numerados retirados manualmente etc. Esses métodos eram adequados so-
mente para casos em que eram necessários poucos números. Com a neces-
sidade de gerar números aleatórios em grande quantidade e, obviamente, 
com grande rapidez, foram construídos dispositivos eletrônicos para essa 
f inalidade. O mais conhecido foi o equipamento desenvolvido pela Rand 
Corporation, no qual se usava um gerador eletrônico de pulso, comandado 
por uma fonte de ruído. Um milhão de números aleatórios gerados por esse 
dispositivo foi publicado em 1955 (“A Million Random Digits with 100.000 
Normal Deviates”). Entretanto, a utilização dos resultados obtidos desse 
dispositivo, que era, também, disponível em f ita magnética, apresentava 
dif iculdades operacionais.
Com o advento do computador, foram desenvolvidos métodos ma-
temáticos para gerar esses números aleatórios no próprio computador. 
– 288 –
Introduz-se no programa principal uma rotina geradora de números ale-
atórios que é acionada toda vez que for necessária durante o processo de 
simulação. Desse modo, são gerados números pseudoaleatórios. Uma se-
quência pseudoaleatória de números não é rigorosamente aleatória por-
que é obtida pelo uso de uma regra matemática pref ixada, totalmente 
determinística.
O conceito de congruência para números inteiros pode ser formulado 
como segue: sejam dados a, r e m números inteiros. Diz-se que a é congruente a 
r módulo m, e escreve-se a ≡ r (mod m), quando existe um número inteiro q tal 
que r = a – qm. Do ponto de vista computacional, denotaremos r ← a mod m.
A fórmula empregada por esses geradores, chamada de congruencial, 
tem a seguinte forma: kx
i 
≡ 
 
x
i+1
(mod m), para cada i=1, 2, ..., que será deno-
tado por
xi+1 ← k xi mod m,
(7.1)
isto é, x
i+1 é o resto da divisão de kxi por m, de forma que, dados os valores k 
e m e o valor inicial – chamado semente – x
1
, pode-se gerar uma sequência de 
valores equiprováveis independentes. A escolha dos valores k e m é crucial na 
ef iciência e no tamanho do ciclo de valores gerados. Muitos autores sugerem 
para essas variáveis, em geral, valores que sejam elevados, ímpares e de pre-
ferência primos.
Wichmann & Hill (1982) apresentam um gerador desse tipo, que, se-
gundo os autores, apresenta um ciclo que excede 2,78 × 1013. Para se ter uma 
ideia do tamanho desse ciclo, se um computador gerasse continuamente mil 
números por segundo, a sequência não se repetiria em um tempo inferior a 
880 anos!
A função de geração de números pseudoaleatórios proposta por Wichmann 
& Hill (WH) produz números uniformemente distribuídos entre 0 e 1 e tem seus 
passos conforme descreve o algoritmo 7.1.
Algoritmo 7.1: Sequência de números aleatórios uniformes de WH
 Dados: três números inteiros, i
x
, i
y
 e i
z
, situados no intervalo [1, 30.000] e o
 número que representa a quantidade de números da sequência, n:
 Para i = 1, ..., n
 i
x
 ← 171i
x
 mod 30.269
 i
y
 ← 172i
y
 mod 30.307
– 289 –
 i
z
 ← 170i
z
 mod 30.323
 x
i
 ← parte fracionária da soma i i ix y z
30 269 30 307 30 323. . . .+ +






7.2 Simulação Monte Carlo através da utilização de etiquetas
Esta seção é inspirada na bibliografia de Shamblin & Stevens Jr. (1989).
O método de Monte Carlo é diferente de métodos analíticos porque não 
resolve o problema solucionando diretamente equações matemáticas do mo-
delo. Dentre as suas vantagens, podemos citar as seguintes: extensão – pode 
ser aplicado mesmo em problemas para os quais não exista solução analítica; 
flexibilidade – pode-se aplicar aos mais variados problemas; e rapidez, devido 
à simplicidade dos cálculos. Sua desvantagem é a baixa precisão. O uso in-
tensivo do computador para a execução de várias simulações e se tomar uma 
média constitui uma alternativa para melhorar a precisão.
Um importante benefício do processo de modelagem em simulação 
computacional é o seu caráter evolutivo. Assim, começando com um mode-
lo relativamente simples, iremos, gradativamente, identif icando de maneira 
mais clara as peculiaridades do problema. Em função desse aprendizado, te-
remos também condições de aperfeiçoar o modelo, incorporando novas vari-
áveis e relações, aproximando-o cada vez mais da realidade. 
Os procedimentos para a simulação Monte Carlo são os seguintes:
• estabelecer a função de probabilidade acumulada, ou seja, a distribuição 
de frequência relativa acumulada;
• construir o quadro de etiquetas, isto é, classes que representam a distribui-
ção acumulada, de modo que as etiquetas possuam o mesmo número de 
dígitos das casas decimais da representação numérica da probabilidade;
• usar um gerador de números aleatórios, como, por exemplo, o algoritmo 7.1;
• obter a previsão.