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INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
As matrizes são uma ferramenta para a resolução de sistemas de equações lineares, transformações
geométricas entre outras aplicações. Seu estudo é fundamental para o entendimento de diversas áreas da
matemática e da ciência em geral.
Veremos como nomear e identi�car os elementos que a compõe, conhecendo seus tipos e a importância para
futuras aplicações.
comoveremos como efetuar as operações já conhecidas entre os conjuntos numéricos, utilizando-as.
Para aplicação, resolveremos probleas e de que forma as matrizes podem ser aplicadas para compreender,
interpretar e resolver problemas do cotidiano e em outras áreas.
As aplicações são diversas, aprofunde seus estudes para conhecê-las.
Aula 1
MATRIZES: DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES
As matrizes são uma ferramenta para a resolução de sistemas de equações lineares, transformações
geométricas entre outras aplicações.
23 minutos
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
 Aula 1 - Matrizes: de�nição e operações
 Aula 2 - Determinantes
 Aula 3 - Sistemas lineares
 Aula 4 - Matrizes inversas
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
117 minutos
MATRIZES
Matrizes são estruturas matemáticas muito importantes em diversas áreas da ciência e tecnologia, como a
física, engenharia,  economia e a computação. Elas consistem em um arranjo retangular, em geral formada de
números dispostos em linhas e colunas.
A de�nição formal de uma matriz é a seguinte: uma tabela retangular de números reais (ou complexos),
dispostos em m linhas e n colunas.
Nas matrizes, as linhas são numeradas de “cima para baixo” e, as colunas, da “esquerda para a direita”.
Identi�ca-se a matriz, nomeando-a por letras maiúsculas.
Essa matriz, possui 3 linhas e 3 colunas e está indicada por A .
Se uma matriz m linhas e n colunas, então a matriz é de ordem  (m por n), indicada por A .
m indica a quantidade de linhas. n indica a quantidade de colunas.
Uma matriz m x n é denotada por , elemento da matriz, em que o índice i varia de 1 a m e o índice j varia de 1
a n.
Cada elemento da matriz ocupa uma posição indicada pelos índices (i, j) na tabela.
Assim, observe os exemplos a seguir, como se faz a leitura da posição dos elementos:
a → elemento está localizado na primeira linha e primeira coluna.
a → elemento está localizado na segunda linha e primeira coluna.
a → elemento está localizado na terceira linha e segunda coluna.
Uma matriz  se diz quadrada quando tem o mesmo número de linhas e colunas. Exemplos de matrizes
quadradas:
[ ] → linhas
↓
Coluna
0 1
2 −1
A3x3 =
↑ ↑ ↑
⎡⎢⎣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎤⎥⎦← 1ªlinha
← 2ªlinha
← 3 ªlinha
⎤⎥⎦
1ª 2ª 3ª
coluna coluna coluna
3x3
mxn
A =
⎡⎢⎣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎤⎥⎦11
21
32
Em uma matriz quadrada, tem-se os seguintes elementos:
Figura 1 | Elementos de uma matriz quadrada
Fonte: elaborada pelo autora.
É possível construir uma matriz, observando a quantidade de linhas e colunas. Veja um exemplo:
Construir a matriz , para a qual  .
Comentários: Para construir essa matriz, ela deve ter 3 linhas e 2 colunas (3×2), assim, o primeiro passo é
organizar a forma que ela terá:
Substitui-se os valores i e j, conforme a posição de cada elemento:
Após os cálculos, é o momento de construir a matriz:
Tipos de matrizes:
Matriz linha: é formada por uma única linha.
Matriz coluna: é formada por uma única coluna.
A3x3 = A2x2 = [ ]
⎡⎢⎣1 −9 7
4 0 −3
2 −7 −8
⎤⎥⎦ 4 5
0 1
A = [aij]3x2 aij = i² − j
A =
⎡⎢⎣a11 a12
a21
a31
a22
a32
⎤⎥⎦aij = (i)² − j
a11 = (1)² − 1 = 0 a12 = (1)² − 2 = − 1
a21 = (2)² − 1 = 3 a22 = (2)² − 2 = 2
a31 = (3)² − 1 = 8 a32 = (3)² − 2 = 7
A =
⎡⎢⎣0 −1
3
8
2
7
⎤⎥⎦A1x4 = [ ]−1 0 3 10
B4x1 =
⎡⎢⎣ 0
5
−6
12
⎤⎥⎦
Matriz nula: todos os elementos são todos iguais a zero.
Matriz identidade: é uma matriz quadrada de ordem n, , os elementos. ,
que constituem sua diagonal principal.
Indica-se por I .
Figura 2 | Matriz identidade
Fonte: elaborada pelo autora.
Uma matriz quadrada, na qual os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos
são iguais a zero, chama-se matriz identidade:
Igualdade de matrizes
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem, um elemento  da matriz A e um elemento  da matriz B, dizem-se
correspondentes se ocuparem a mesma posição nas respectivas matrizes.
Observe como identi�car os elementos correspondentes:
São correspondentes:
Se , determine os elementos da matriz A.
I é uma matriz quadrada com duas linhas e duas colunas, logo, é possível escrever a seguinte igualdade:
, logo, a=1; b=0; c=0 e d=1
Potências de matrizes
Sejam duas matrizes quadradas A e a matriz identidade I, de mesma ordem.
M = [ ]
0 0
0 0
A = [aij] a11, a22, a33, ..., ann
3
I3 = I2 = [ ]
⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦ 1 0
0 1
A = [ ] e B = [ ]
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
a11 e b11 a12 e b12
a21 e b21 a22 e b22
A = [ ] e A = I2
a b
c d
2
A = [ ] = [ ]
a b
c d
1 0
0 1
As potências inteiras A0, A , A , A , ... da matriz são de�nidas assim:
E assim sucessivamente.
Matriz inversa
As operações entre matrizes possuem uma analogia com as operações de adição, subtração e multiplicação
em relação aos números reais.
Se A e B são matrizes n×n e se AB=AB=I , então, tem-se que B é a inversa de A, e indica-se por B=A .
Se existe a inversa de A, então A é invertível.
1 2 3
A0 = I
A1 = A
A2 = A.
A3 = A.A.A
n
-1
OPERAÇÕES COM MATRIZES
As operações entre matrizes são uma parte fundamental da matemática e da álgebra linear.
Lembrando que uma matriz é um conjunto retangular de números organizados em linhas e colunas e as
operações entre matrizes envolvem a manipulação desses números para realizar cálculos úteis em diversas
áreas, como ciências, engenharia, economia e computação.
As operações básicas entre matrizes são a adição e a multiplicação.
Matriz transposta:  a transposta de uma matriz A é denotada por A , e é obtida trocando as linhas pelas
colunas da matriz original.
Adição
A soma de duas matrizes A e B do mesmo tamanho (m x n) é outra matriz C, também m x n, em que cada
elemento c , é dado pela soma dos elementos correspondentes de A e B: 
Para efetuar a adição ou a subtração, as duas matrizes devem ter a mesma ordem:
a. Determinar A+B: a soma entre duas matrizes é obtida somando-se os elementos correspondentes nas
duas matrizes.
Propriedade da adição:
Comutativa: A+B = B+ A
Associativa: (A+B)+C = A+(B+C) = A +B+ C
Elemento neutro: A+0 = 0+A =A
Oposto: A+(-A) = 0
Subtração
t
A = [ ] → AT =
−9 4 1
0 5 2
⎡⎢⎣−9 0
4
1
5
0
⎤⎥⎦ij cij = aij + bij
A =
⎡⎢⎣0 5
4 6
2 8
⎤⎥⎦B =
⎡⎢⎣ 7 − 3
10 − 5
−2 10
⎤⎥⎦+ = =
⎡⎢⎣0 5
4 6
2 8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 7 − 3
10 − 5
−2 10
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ (0 + 7) (5 − 3)
(4 + 10) (6 − 5)
(2 − 2) (8 + 10)
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣7 2
14 1
0 18
⎤⎥⎦
Para toda matriz , existe uma matriz indicada por -A, para a qual tem-se ,
assim, a matriz -A chama-se oposta de A.
b. Determinar A-B: a subtração entre duas matrizes é obtida somando os elementos correspondentes nas
duas matrizes.
Multiplicação de matrizes por um número
Para calcular essa multiplicação, cada elemento da matriz deve ser multiplicado por esse número.
Multiplicação de matrizes
Inicialmente, para que o produto seja possível, somente será possível quando o número de colunas de A for
igual ao número de linhas da matriz B:
Assim, com essas condições, o produto AB será uma matriz de ordem m×k
O produto é obtido ao multiplicar cada elemento da linha da primeira matriz pelos elementos
correspondentes da coluna da segunda matriz.
Veja como se obtém o produto entre duas matrizes:
Sejam , determinar, se possível o produto AB.
Comentários: Inicialmente veri�car se o produto é possível:
A = [aij]mxn A + (−A) = 0mxn
− = =
⎡⎢⎣0 5
4 6
2 8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 7 − 3
10 − 5
−2 10
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ (0 − 7) [5 − (−3)]
(4 − 10) [6 − (−5)]
[2 − (−2)] (8 − 10)
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣−7 8
−6 11
4 − 2
⎤⎥⎦(−3). [ ] = [ ]
1
2 . =
−9 0
1 −4
27 0
−3 12
⎡⎢⎣5 6 −7
0 3 1
1
4 −5 8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 5
2 3 − 7
2
0 3
2
1
21
8 − 5
2 4
⎤⎥⎦
A = [ ] e B = [ ]
1 2
−1 0
−1 4 1
0 3 6
A2x2 . B2x3
↑ ↑

colunas e
linhas iguais
Logo o produto é possível.
Aa Figuras 3 e 4 apresentam o passo a passo para calcular a multiplicação entre matrizes.
Figura 3 | Multiplicação em matrizes I
Fonte: elaborada pelo autora.
Figura 4 | Multiplicação em matrizes II
Fonte: elaborada pela autora.
Logo, tem-se o produto .
Considerando as matrizes iniciais, analise se o produto B.A:
Entende-se, portanto, que o produto não é possível, pois o número de colunas de B é diferente do número de
linhas da matriz A.
Propriedades da multiplicação
Considere A, B e C matrizes e as condições para que seja possível o produto, tem-se:
Associativa: A(BC)=(AB)C
Distributiva: A(B+C)=AB+Ac
Existência de uma matriz identidade (I): e quando multiplicada por outra matriz A resulta em A: IA=AI=A
A.B = [ ]
−1 10 13
1 − 4 − 1
B2x3 . A2x2
↑ ↑

colunas e
linhas diferentes
MATRIZES NA PRÁTICA
Agora é momento de colocar em prática o que aprendeu sobre matrizes até aqui.
Inicialmente, você vai explorar alguns conceitos e em seguida realizar as operações entre matrizes na
resolução de problemas.
1. Seja a matriz
a. Qual é a ordem da matriz?
Comentários: Trata-se de uma matriz quadrada, pois o número de linhas é igual ao número de colunas.
Essa matriz é de ordem 3x4, ou matriz de terceira ordem.
b. Quantos elementos ela possui?
Comentários: Nessa matriz tem-se 12 elementos.
c. Identi�que a , a , a .
Comentários: Para localizar os elementos, o primeiro número do índice indica a localização da linha e o
segundo da coluna.
a =1, a =0, a =4
d. Se a , seriam esses os valores possíveis para i, j?
Comentários: identi�car os elementos iguais a zero, e então veri�car em qual linha e qual coluna está
localizado:
(i, j) = (1; 2), (i; j) = (2; 3), (i; j) = (3; 1)
e. Quais são os elementos de A para os quais i3×3
A regra de Sarrus é uma técnica utilizada para calcular o determinante de uma matriz 3×3. Ela é baseada em
um arranjo especí�co dos elementos da matriz.
Seja a matriz: , calcular seu determinante.
Observe que se trata de uma matriz quadrada, do tipo 3×3, logo para encontrar o determinante, aplica-se a
Regra de Sarrus, com as seguintes etapas:
1. Escrever a matriz na forma de determinante.
2. Repita as duas primeiras colunas da matriz à direita da terceira coluna.
A = [ ]
a b
c d
det A = = ad − bc∣a b
c d∣A = [ ]
6 −3
2 3
det A = = (6. 3)− [2 . (−3)] = 24∣6 −3
2 3 ∣A =
⎡⎢⎣a b c
d e f
g h i
⎤⎥⎦det A = ∣a b c
d e f
g h i ∣
3. Multiplique os elementos na diagonal principal da matriz original, começando no canto superior
esquerdo e descendo até o canto inferior direito, e anote o produto.
Figura 1 | Matriz explicativa do passo 3
Fonte: elaborada pelo autora.
4. Multiplique os elementos na diagonal secundária da matriz original, começando no canto superior direito
e descendo até o canto inferior esquerdo, e anote o produto.
Figura 2 | Matriz explicativa do passo 4
Fonte: elaborada pela autora.
Some os produtos obtidos nas etapas 3 e 4 considerando:
De forma geral, esse é o processo para aplicar a Regra de Sarrus para determinantes de matrizes de ordem 3.
det A = ∣a b c
d e f
g h i ∣ ∣a b
d c
g h∣
[(a. e. i)  +  (b.f.g  +   (c. d.h)]  −   [(c. e. g)  +   (a. f.h)  +   (b. d. i)]
Exemplo: Dada a matriz A, calcule seu determinante:
Como se trata de uma matriz do tipo 3×3, aplica-se a Regra f Sarrus:
Copiar as duas primeiras colunas:
Figura 3 | Aplicação da Regra de Sarrus
Fonte: elaborada pelo autora.
Identi�car a diagonal principal e as duas paralelas, multiplicando os elementos de cada linha e realizar a soma:
Figura 4 | Identi�cação da diagonal e das paralelas
Fonte: elaborada pela autora.
Identi�car a diagonal secundária e as duas paralelas, multiplicando os elementos de cada linha e realizar a
soma:
Figura 5 | Identi�cação da diagonal secundária
Fonte: elaborada pela autora.
Para �nalizar, subtrai-se o resultado obtido pela diagonal principal do resultado da diagonal secundária:
A =
⎡⎢⎣ 1 0 3
4 2 3
−1 1 2
⎤⎥⎦ A =
⎡⎢⎣ 1 0 3
4 2 3
−1 1 2
⎤⎥⎦ 1
4
−1
0
2
1
det A = 16 − (−3) = 19
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Existem várias propriedades importantes associadas ao determinante de uma matriz quadrada que são
essenciais para entender seu comportamento e suas aplicações, podendo ser classi�cadas em:
Determinante da Transposta: o determinante de uma matriz A e o de sua transposta são iguais:
Exemplo: 
Esta garante que qualquer propriedade de determinantes que envolve linhas de uma matriz é igualmente
válida se trocar “linhas” por “colunas”.
Matriz multiplicada por um número
Sejam a matriz A, n×n, e k um número, então: 
Exemplo: Sejam a matriz  e k um número. A matriz k.A é dada por 
Fila nula: se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é nula, o seu determinante é igual a zero.
Exemplo: 
Determinante de produto de matrizes
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então: .
Teorema de Laplace
O Teorema de Laplace, descoberto pelo matemático francês Pierre-Simon Laplace no �nal do século XVIII, é
um importante resultado matemático que se aplica ao cálculo de determinantes de matrizes quadradas. .
Neste teorema,  o valor de um determinante de uma matriz quadrada pode ser calculado por meio da soma
dos produtos dos elementos de uma  linha (ou coluna) qualquer pelos seus respectivos cofatores, sendo
muito útil porque permite calcular determinantes de matrizes grandes sem a necessidade de calcular todos os
elementos da matriz.
Cofator: o cofator de uma matriz n×n, com n>2, é dado por  , onde D é o determinante
da matriz que se obtém de A, suprimindo-se sua i-ésima linha e sua j-ésima coluna.
Exemplo: Seja a matriz  .
1º passo: A é o determinante da matriz obtida suprimindo-se a 1ª linha e a 2ª coluna de A:
det A = det At
.
=∣a b
c d∣ ∣a c
b d∣ det (k.A) = kn . det A
A = [ ]
a b
c d
k . A = ∣ka kb
kc kd∣= 0 . = 0∣a b
0 0∣ ∣0 b
0 d∣ det (A . B) = det A . det B
Cij = (−1)i+ j. Dij ij
A =
⎡⎢⎣ 2 3 −1
0 2 4
−2 5 6
⎤⎥⎦12
2º passo: Calcular o determinante dos elementos que não foram suprimidos:
3º passo: Calcula-se o cofator associado ao elemento A :
Esse é o processo para o cálculo do cofator.
Conhecendo o cálculo do cofator, estude como aplicar o Teorema de Laplace na resolução de determinantes
de matrizes n×n.
Dada a matriz: 
Comentários: registrar na forma de determinante:
Escolha preferencialmente uma linha ou coluna que possua uma maior quantidade de zeros, pois o
determinante será o produto de cada elemento pelo seu cofator:
Figura 6 | Matriz demonstrativa da coluna com maior número de zeros
Fonte: elaborada pela autora.
DetA = →∣ 2 3 −1
0 2 4
−2 5 6 ∣
A12 = = 0 − (−8) = 8∣ 0 4
−1 6∣ 12
Cij = (−1)i+ j. Dij
C12 = (−1)1+2. A12 = (−1)3 . 8 = − 8
A =
⎡⎢⎣3 1 0 1
0 −1 3 4
1 1 0 2
0 1 1 −1
⎤⎥⎦A = → detA =
⎡⎢⎣3 1 0 1
0 −1 3 4
1 1 0 2
0 1 1 −1
⎤⎥⎦ ∣3 1 0 1
0 −1 3 4
1 1 0 2
0 1 1 −1∣
Obter o produto entre cada elemento da linha (ou coluna) selecionada e o cofator, e somar os resultados.
Chamando de C o cofator, tem-se: 
Suprimir a linha e a coluna do elemento indicado, para encontrar o determinante:
Cálculo do cofator: C
Figura 7 | Cálculo do cofator C
Fonte: elaborada pela autora.
Calcular o determinante A , aplicando a Regra de Sarrus:
Diagonal principal: 
Diagonal secundária: 
Calcular a diferença entre os produtos: 
Calculando o cofator: 
Calcular o cofator: C
Suprimir a linha e a coluna do elemento indicado, para encontrar o determinante, elemento A :
Figura 8 | Cálculo do cofator C
Fonte: elaborada pela autora.
Calcular o determinante A , aplicando a Regra de Sarrus:
Diagonal principal: 
0 . C13 + 3 . C23 + 0 . C33 + 1 . C43
23
23
23
A23 = ∣3 1 1
1 1 2
0 1 −1∣ 3 1
1 1
0 1∣[3 . 1 (−1)] + (1 . 2 . 0) + (1 .1 .1) = − 3 + 0 + 1 = − 2
(1 . 1 .0) + (3 . 2 . 1) + [(1.1.(−1)] = 0 + 6 − 1 = 5
DetA23 = − 2 − (5) = − 7
C23 = (−1)2+3. (−7) → C23 = (−1) . (−7) = 7
43
43
43
43
DetA43 = ∣3 1 1
0 −1 4
1 1 2∣ 3 1
0 − 1
1 1 ∣[3 . (−1).2] + (1 . 4 . 1) + (1 .0 .1) = − 6 + 4 + 0 = − 2
Diagonal secundária: 
Calcular a diferença entre os produtos: 
Calculando o cofator: 
Portanto, substituindo os valores encontrados, tem-se 
Com o Teorema de Laplace, para encontrar o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem, é
preciso reduzir a um determinante de 2ª ou 3ª ordem, sem precisar trabalhar com todos os elementos.
Caso algum elemento seja igual a zero, escolhendo a linha ou a coluna que contém a maior quantidade de
zeros, os cálculos são reduzidos.
APLICAÇÕES DOS DETERMINANTES
Este será o momento de aplicar o que aprendeu até aqui.
1. Sejam as matrizes  e , determine os valores de x, de forma que
.
Comentários: Calcule os determinantes de cada uma das matrizes.
Substituindo em: 
Resposta: 
2. Veri�cação da existência da matriz inversa:
Uma matriz é invertível, isto é, existe A , se .
Veri�que se a matriz  é invertível.
[1 . (−1) . 1) + (3 . 4 .1) + [(1.0.2] = − 1 + 12 + 0 = 11
DetA23 = − 2 − (11) = − 13
C43 = (−1)4+3. (−13) → C43 = (−1) . (−13) = 13
0 . C13 + 3 . C23 + 0 . C33 + 1 . C43
det A = 0 . 1 + 3 . 7 + 0 . 2 + 1 . (13) = 21 + 13 = 34
A = [ ]
1 2x
x −8
B =
⎡⎢⎣ 0 5 0
−2 0 x
−1 0 −5
⎤⎥⎦det A = det B
det A = = [1.(−8)] − [ 2x.(x)] = − 8 + 2x²∣1 2x
x −8∣det B =
[0 − 5x + 0] − [0 + 0 + 50] = − 5x − 50∣0 5 0
−2 0 x
−1 0 −5∣ 0 5
−2 0
−1 0∣det A = det B
−8 − 2x² = − 5x − 50
−2x² + 5x = − 50 + 8
−2x² + 5x + 42 = 0
2x² − 5x − 42 = 0
Δ = (−5)² − 4(2)(−42)
Δ = 361
x = −(−5)±19
4 = x′= 6 ou x′′= − 14
2 = − 7
2
x′= 6 ou x′′ − 7
2
-1 det A ≠ 0
A =
⎡⎢⎣1 2 3
0 −2 4
3 0 −1
⎤⎥⎦
Comentários: Será preciso calcular o determinante dessa matriz. Como se trata de uma matriz de ordem
3, então, aplica-se a Regra de Sarrus.
Logo, a matriz é invertível, pois .
Sabendo que a matriz A é invertível, obter a matriz inversa.Para obter a matriz inversa, inicialmente é preciso construir a matriz dos cofatores da matriz A, indicando essa
matriz por C. Essa matriz é obtida, substituindo cada elemento a pelo seu cofator A .
Agora, construa a matriz C a partir desses resultados:
A inversa da matriz A é dada pela fórmula: , onde C é a matriz transposta da matriz C.
Então, sendo , tem-se:
3. Calcule x de modo que a matriz  seja invertível.
Comentários: A condição deve considerar que detA deve ser diferente de zero para que a matriz seja
invertível.
Para que A seja invertível, , assim:
det A = = 2 + 24 + 0 − −18 + 0 + 0 = 26 + 18 = 44∣1 2 3
0 −2 4
3 0 −1∣ 1 2
0 − 2
3 0 ∣ ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦det A = 44
ij ij
A11 = (−1)1+1. = 2      A12 = (−1)1+2 . = 12    A13 = (−1)1+3 . = 6
A21 = (−1)2+1 . = 2       A22 = (−1)2+2 . = − 10     A23 = (−1)2+3 . = 6
A31 = (−1)3+1 . = 14      A32 = (−1)3+2 . = − 4    A33 = (−1)3+3 . = − 2∣−2 4
0 −1∣ ∣0 4
3 −1∣ ∣0 −2
3 0 ∣∣2 3
0 −1∣ ∣1 3
3 −1∣ ∣1 2
3 0∣∣2 3
−2 4∣ ∣1 3
0 4∣ ∣1 2
0 −2∣C =
⎡⎢⎣ 2 12 6
2 −10 6
14 −4 −2
⎤⎥⎦ A−1 = 1
det A . C T T
det A = 44
A−1 = 1
44 .
T
= 1
44 . =
⎡⎢⎣ 2 12 6
2 −10 6
14 −4 −2
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 2 2 14
12 −10 −4
6 6 −2
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 1
22
1
22
7
22
3
22 − 5
22 − 1
22
3
22
3
22 − 1
22
⎤⎥⎦A =
⎡⎢⎣1 + x 0 1
1 1 − x 0
2 0 x
⎤⎥⎦det A =
= [(1 + x) . (1 − x) . x ] + 0 + 0 − [1 .2 (1 − x) + 0 + 0]
= (1 + x) . (1 − x) . x + 2(1 − x)
= (1 − x) [(1 + x). x − 2]
= (1 − x)(x² + x − 2)∣1 + x 0 1
1 1 − x 0
2 0 x∣det A ≠ 0
O determinante se resolve aplicando a Regra de Sarrus no cálculo da expressão a fatoração por evidência e
resolve-se as duas equações, substituindo o sinal de igual, pelo sinal de diferente, pois se x assumir um desses
valores, o determinante resulta em zero, e assim, a matriz não será invertível.
4. Cálculo de área por determinante
Conhecido os vértices de um triângulo é possível calcular a área, aplicando a resolução de determinantes.
Figura 9 | Cálculo da área
Fonte: elaborada pelo autora.
Para calcular a área de um triângulo, dados seus vértices, usa-se  (metade do valor do
determinante me módulo).
Determine a área de um triângulo, sabendo que seus vértices são (4,0), (0,0) e (2,2).
Comentários: Organize as coordenadas para escrever o determinante de ordem 3.
Aplicando a Regra de Sarrus:
, logo a área do triângulo é de 4 unidades de área.
1 − x ≠ 0 e x² + x − 2 ≠ 0
x ≠ 1 e x ≠ − 2
S = 1
2 |D|
D = ∣x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1∣D = ∣4 0 1
0 0 1
2 2 1∣D = = 0 + 0 + 0 − 0 + 8 + 0 = − 8∣4 0 1
0 0 1
2 2 1∣4 0
0 0
2 2∣ ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣S = 1
2 |D| = 1
2 |−8| = 1
2 . 8 = 4
VÍDEO RESUMO
O determinante é uma ferramenta fundamental da álgebra linear que tem muitas aplicações em várias áreas
da matemática e da ciência.
Neste vídeo você irá conhecer e estudar sobre as propriedades dos determinantes de 2ª e 3ª ordem e
determinantes de ordens maiores. O cálculo de determinantes implica em conhecer a Regra de Sarrus e o
Teorema de Laplace.
 Saiba mais
Para complementar seus estudos, con�ra o material intitulado A Matemática em planilhas eletrônicas:
Determinantes, que aborda a Regra de Sarrus e sua aplicação em planilhas eletrônicas. 
Boa leitura!
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Sistemas lineares são um conjunto de equações que descrevem um conjunto de variáveis que estão
relacionadas de forma linear. Um sistema linear pode ser representado na forma matricial AX=B e pode ter
uma ou várias soluções.
Composto por equações lineares, a resolução implica em conhecer alguns métodos que auxiliam quando se
tem um sistema com várias equações.
Apresentaremos métodos de resolução desses sistemas para qualquer quantidade de equações a �m e
compreender como aplicá-los de modo escalonado.
Esse estudo requer atenção e dedicação pois qualquer método de resolução apresenta o passo a passo,
tornando mais compreensível o algoritmo para resolver esses sistemas.
Aula 3
SISTEMAS LINEARES
Sistemas lineares são um conjunto de equações que descrevem um conjunto de variáveis que estão
relacionadas de forma linear.
22 minutos
https://www.ticsnamatematica.com/2016/01/A-Matematica-em-planilhas-eletronicas-determinantes.html
https://www.ticsnamatematica.com/2016/01/A-Matematica-em-planilhas-eletronicas-determinantes.html
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistemas lineares são formados por duas ou mais equações lineares. Estes, por sua vez, têm uma importante
relação com a teoria de matrizes.
Através da teoria das matrizes, é possível estudar muitas propriedades e características dos sistemas lineares,
como suas soluções, condições de existência de soluções e outros aspectos importantes.
As equações lineares possuem algumas características importantes em que é possível identi�cá-las.
Equações lineares
Seja a equação: x+3y=8, sendo x e y incógnitas, pode ser considerado um exemplo de equação linear.
Importante veri�car que os expoentes das incógnitas são iguais a 1.
A equação: x +3x -x =10, é uma equação linear, a três incógnitas.
Numa equação linear não aparecem termos da forma 2x ou 4xy ou 5x , assim, uma equação linear possui
expoentes das incógnitas iguais a 1, e em cada termo, aparece no máximo uma incógnita.
Não são equações lineares:
a.  a incógnita , possui expoente igual a 3.
b.  é um produto entre duas incógnitas.
c. , a incógnita é um radicando.
De forma geral, uma equação linear é da forma:
Sendo: , são incógnitas e  e b, são números conhecidos, denomina-se
equação linear a n incógnitas.
Os números , denominam-se coe�cientes da equação e b é o termo constante ou
independente da equação.
Seja a equação linear: 
Ao substituir as incógnitas por: , obtém-se a sentença:
 que é verdadeira, logo o conjunto de valores: ,
que é uma solução da equação.
Sistemas de equações lineares
Considere um par de equação:
, denomina-se sistema de equações lineares a 2 incógnitas.
Para essas equações, o par de valores: x =2 e x =1, satisfaz cada uma das equações do sistema:
1 2 3
2 -1
3x1 + 4x3
2 − x3 = 0 →
4x1 x2 + x3 − x4 = 8 →
x1 + √x2 + x3 − x4 = 1 →
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
x1, x2, x3, ...,xn a1, a2, a3, ..., an
a1, a2, a3, ..., an
x1 + 2x2 − x3 = − 6
x1 = 1; x2 = − 2, x3 = 3
1 + 2.(−2) − 3 = − 6 x1 = 1; x2 = − 2 e x3 = 3
{
2x1 − 3x2 = 1
5x1 + 2x2 = 12
1 2
Então, o conjunto solução x =2 e x =1, é solução do sistema.
De modo geral, um sistema de equações lineares pode ser formado por m equações lineares a n incógnitas:
Onde  são as incógnitas.
Os números (coe�cientes)  são conhecidos. O par de índices (i; j)
indica que a é o coe�ciente da incógnita x , na i-ésima equação; por exemplo, a é o coe�ciente de n na 3ª
equação.
O conjunto de valores , é uma solução do sistema linear (S) se
for solução da m equações de (S), isto é, satisfaz as m equações do sistema. Essa solução pode ser
representada por .
Com essas informações cima, e lembrando da de�nição de produto de matrizes, o sistema linear S, pode ser
escrito na forma matricial.
Matriz dos coe�cientes é formada pelos coe�cientes da equação.
Matriz das incógnitas é uma matriz coluna em que se registra as incógnitas da equação linear.
Matriz dos termos independentes, é uma matriz coluna, registrando todos os valores dos termos
independentes.
Exemplos:
2x1 − 3x2 = 1 → 2(2) − 3(1) = 1 → 1 = 1
5x1 + 2x2 = 12 → 5(2) + 2(1) = 12 → 12 = 12
1 2
S =
⎧⎪⎨⎪⎩a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
....................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
x1 , x2 , x3 , ... ,xn
aij e bi, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
ij j 32 2
x1 = α1, x2 = α2, x3 = α3, ...,xn = αn
(α1, α2, α3, ...,αn)
1. O sistema linear , pode ser escrito na forma matricial:
2. O sistema linear , pode ser escrito na forma matricial:
3. O sistema linear , pode ser escrito na forma matricial:
Essa forma matricial será aplicada na resolução dos sistemas lineares.
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES
A resolução de um sistema linear envolveencontrar os valores de x que satisfazem todas as equações
simultâneas do sistema.
Alguns métodos para resolver um sistema linear são práticos até em um sistema que possui um número de
equações pequeno, porém quando se trata de um sistema com várias equações, o método do escalonamento
pode ser mais simples em relação aos demais. 
Sistemas equivalentes
Dois sistemas S e S são equivalentes se eles têm o mesmo conjunto de soluções, isto é, quando toda solução
de S é também solução de S e vice-versa.
Se os sistemas S  e S  são equivalentes, indica-se: S  ~ S .
Dado um sistema linear S , para obter um sistema linear S , equivalente a S , deve efetuar as seguintes
transformações em S .
Trocar as posições entre duas equações quaisquer.
Multiplicar todos os termos de uma equação por um número .
Somar membro a membro, uma equação uma outra, esta previamente multiplicada por um número.
Um sistema de equações é um sistema escalonado ou, ainda, que está na forma escalonada quando:
Em cada equação existe pelo menos um coe�ciente não nulo.
O número de coe�cientes nulos, antes do primeiro coe�ciente não nulo, cresce “da esquerda para a
direita, de equação para equação”.
{
2x + y = 3
−x + 6y = − 3
[ ] [ ] = [ ]
2 1
−1 6
x
y
3
−2
{
3x + y − z = 8
2x + 5y + 4z = 0
[ ] = [ ]
3 1 − 1
2 5 4
⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦ 8
0
⎧⎪⎨⎪⎩ x + y = 8
2x + 5y = 1
3x − 2y = 0
[ ] =
⎡⎢⎣1 1
2 5
3 − 2
⎤⎥⎦ x
y
⎡⎢⎣ 8
1
0
⎤⎥⎦
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1
1
k, k ≠ 0
Para resolução de um sistema escalonado, há duas situações a serem examinadas:
1. No sistema linear há tantas equações quanto incógnitas:
Comentários: São três equações e três incógnitas. E esse tipo de sistema é simples para resolver,
iniciando da equação 3:
Substituindo z na equação 2:
Substituindo z e y na equação 1:
Logo, o sistema admite uma única solução (1; 3; 1), então o sistema é possível e determinado. O conjunto
solução é dado por: .
2. No sistema linear há menos equações do que incógnitas.
Comentários: Para resolver esse sistema, devemos fazê-lo recair no caso anterior.
Inicialmente, as incógnitas que não aparecem “no começo” de nenhuma das equações do sistema,
chamadas de variáveis livres, devem ser passadas para os segundos membros das equações.
Observe que a única incógnita que não aparece “no começo” de nenhuma das equações é , ou seja, é a
única variável livre. Assim, deve-se passar  para os segundos membros das equações, obtendo o sistema
S’:
Agora o sistema S’ deve ser considerado como um sistema contendo apenas as incógnitas que estão nos
primeiros membros das equações.
Para continuar, atribui-se à variável livre z, um determinado valor, obtendo um sistema possível e
determinado.
Fazendo , tem-se 
Esse sistema é possível e determinado para cada valor particular de .
Substituindo (2) em (1):
⎧⎪⎨⎪⎩x + 2y − 3z = 4 (1)
y + 4z = 7 (2)
2z = 2 (3)
2z = 2 → z = 2
2 → z = 1
y + 4z = 7 → y + 4(1) = 7 → y = 3
x + 2y − 3z = 4 → x + 2(3) − 3(1) = 4 → x = 1
S = {(1; 3; 1)}
{
x + y + 2z = 2 (1)
y + z = 3 (2)
(S′) {
x + y = 2 − 2z (1)
y = 3 − z (2)
z = α {
x + y = 2 − 2α (1)
y = 3 − α (2)
α
x + 3 − α = 2 − 2α
x = − 1 − α
As soluções do sistema são os in�nitos conjuntos de valores do tipo:
.
Exemplos de soluções do sistema:
Sistema linear homogêneo
É o sistema em que os termos independentes de todas as equações são iguais a zero:
Uma solução evidente do sistema homogêneo é ,denominada solução
nula ou trivial.
Logo, um sistema linear homogêneo é sempre trivial. Se o sistema for determinado, possuirá uma única
solução: a trivial; se for indeterminado, possuirá in�nitas soluções: a trivial e outras, distintas da trivial.
APLICANDO O QUE APRENDEU
Agora será o momento para aplicar o que aprendeu até aqui!
Após veri�car as duas situações para resolver um sistema escalonado, esse é o momento de escalonar um
sistema linear por completo.
1. Resolva o sistema:
Comentários: Para iniciar a resolução, organize o sistema.
Escolha para 1ª equação aquela em que o coe�ciente da 1ª incógnita x, seja 1 (ou 1). Essa escolha
simpli�ca os cálculos que vêm em seguida:
V = {( − 1 − α; 3 − α; α), α ∈ R}
α = 0 : (−1; 3; 0)
α = 1 : (−2; 2; 1)
α = 2 : (− 3; 1; 2)
S =
⎧⎪⎨⎪⎩a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = 0
....................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = 0
x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; ...; xn = 0
S
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎧⎪⎨⎪⎩2x1 + x2 − 2x3 = 2
4x1 − 3x2 + 2x3 = 30
x1 + x2 + x3 = 1
Substitui-se as 2ª e 3ª equações pela soma de cada uma com a 1ª equação multiplicada por um número
“conveniente”: o número “conveniente”, deve ser tal qual anulem os coe�cientes da 1ª incógnita , , em
todas as demais equações.
Trocar a 3ª equação pela 2ª, pois a 3ª possui o primeiro coe�ciente igual a (-1).
Repetir o processo: multiplicar a 2ª equação por um número conveniente e somar com a 3ª equação:
O sistema escalonado, é do 1º tipo, isto é, possui o mesmo número de equações e de incógnitas, logo é um
sistema possível e, determinado, e possui uma única solução. Resolvendo as equações:
Logo, .
Assim, de maneira geral, escalonar um sistema de equações lineares signi�ca aplicar uma série de operações
elementares sobre as equações do sistema com o objetivo de simpli�cá-lo e obter sua forma escalonada ou
forma triangular. Essas operações elementares incluem:
Trocar duas equações entre si.
Multiplicar uma equação por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair uma equação a outra equação multiplicada por um número diferente de zero.
Ao aplicar essas operações, o sistema de equações é transformado em um novo sistema equivalente que
possui a mesma solução, mas cujas equações estão organizadas de uma maneira mais simples e sistemática.
S ~
⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎧⎪⎨⎪⎩x1 + x2 + x3 = 1
− 7x2 − 2x3 = 26
− x2 − 4x3 = 0
⎧⎪⎨⎪⎩ x1 + x2 + x3 = 1
− x2 − 4x3 = 0
− 7x2 − 2x3 = 26
26x3 = 26 → x3 = 1
−x2 − 4x3 = 0 → − x2 − 4 (1) = 0 → − x2 = 4 → x2 = 4
x1 + x2 + x3 = 1 → x1 − 4 + 1 = 1 → x1 = 4
S = {(4; − 4; 1)}
A forma escalonada de um sistema de equações lineares é uma forma em que as equações são organizadas
em linhas sucessivas, em que a primeira linha tem mais zeros à esquerda do que a segunda linha, a segunda
linha tem mais zeros à esquerda do que a terceira linha, e assim por diante, até que todas as linhas restantes
tenham apenas zeros à esquerda.
A forma triangular é uma forma escalonada em que todos os coe�cientes abaixo da diagonal principal são
iguais a zero.
VIDEO RESUMO
Olá, estudante!
Neste vídeo, você vai aprender o conceito de equações lineares e como os sistemas lineares são formados por
essas equações. 
Um sistema linear pode ser formado por duas ou mais equações lineares, e resolver um sistema é encontrar o
conjunto de solução que satisfaça simultaneamente todas as equações, tornando as igualdades verdadeiras.  
Assim, você vai aprender um método que pode tornar os cálculos menos complexos e pode ser aplicado para
sistemas de n equações, o escalonamento. Acompanhe o passo a passo na aplicação desse método para
resolver sistemas lineares.
 Saiba mais
Os sistemas lineares são classi�cados de acordo com o número de soluções que ele pode apresentar.
O sistema será possível, se possuir ao menos uma solução. O sistema será impossível se não possuir
solução.
Se o sistema é possível e admite uma única solução, ele é determinado; se é possível e admite mais de
uma solução, ele é indeterminado.
Para complementar seus estudos, leia o artigo: Sistemas lineares. Programa de Educação Tutorial,
publicado pelo programa de Educação Tutorial em Física. 
Boa leitura!
http://r1.ufrrj.br/mntpeaf/wp-content/uploads/2016/06/SISTEMAS-LINEARES.pdf
INTRODUÇÃO
Olá, estudante!
Para se obter a matriz inversa, é preciso aprender que existem alguns procedimentos, e cada um vai
depender da situação em que os cálculos podem ser facilitados.
As matrizes inversas têm muitas aplicações como na resoluçãode sistemas lineares, encontrando o conjunto
solução e, também, na codi�cação e decodi�cação de mensagens. Existem outras aplicações em que o uso da
matriz inversa contribui para a resolução de problemas.
MATRIZ INVERSA: DEFINIÇÃO
Uma matriz inversa é de�nida apenas para matrizes quadradas e é denotada como A , onde A é a matriz
original.
Uma matriz quadrada de ordem do tipo 2×2, , admite inversa se ,  e a
inversa é dada por .
Para conhecer como encontrar a inversa de uma matriz do tipo n×n, é preciso estabelecer uma condição para
a existência da inversa.
Teorema:
Uma matriz é invertível, isto é, existe A , se 
Uma outra condição para identi�car a matriz inversa.
Teorema:
-1
A = [ ]
a b
c d
det A = ad − bc ≠ 0
A−1 = 1
det A = [ ]
d −b
−c a
-1 det A ≠ 0
Aula 4
MATRIZES INVERSAS
Para se obter a matriz inversa, é preciso aprender que existem alguns procedimentos, e cada um vai
depender da situação em que os cálculos podem ser facilitados.
23 minutos
Se A é inversível, então é única a matriz B tal que 
Demonstração:
Admita que exista uma matriz C tal que . Daí, tem-se: 
Exemplo 1: A matriz  é inversível e , pois:
Exemplo 2: Qual a inversa da matriz ?
Inicialmente deve ser encontrada a matriz A : 
Aplicando a de�nição de igualdade de matriz, tem-se:
 e 
Agora, a partir desses resultados, iremos construir a matriz A
Pois dessa forma, tem-se também:
Exemplo 3: A matriz  é singular (não inversível) pois se 
Vem que:
, ao aplicar a de�nição de igualdade
 e 
Exemplo 4: Qual a inversa da matriz 
AB = BA = In
AC = BC = In
C = InC = (BA)C = B (AC) = BIn = B
A = [ ]
1 3
2 7
A−1 = [ ]
7 −3
−2 1
AA−1 = [ ] [ ] = [ ] = I2
1 3
2 7
7 −3
−2 1
1 0
0 1
A−1A = [ ] [ ] = [ ] = I2
7 −3
−2 1
1 3
2 7
1 0
0 1
A = [ ]
3 7
5 11
-1 A−1 = [ ]
a b
c d
AA−1 = I2 ⇒ [ ] [ ] = [ ] ⇒ [ ] = [ ]
a b
c d
3 7
5 11
1 0
0 1
3a + 5b 7a + 11b
3c + 5d 7c + 11d
1 0
0 1
{ ⇒ a = − 11
2 b = 7
2
3a + 5b = 1
7a + 11 b = 0
{ ⇒ c = 5
2 d = − 3
2
3c + 5d = 0
c + 11 d = 1
-1
A−1 = [ ] ⇒ A−1 = [ ]
a b
c d
− 11
2
7
2
5
2 − 3
2
AA−1 = [ ] [ ] = [ ] = I2
3 7
5 11
− 11
2
7
2
5
2 − 3
2
1 0
0 1
[ ]
1 2
4 8
A−1 = [ ]
a b
c d
[ ] [ ] = [ ] ⇒ [ ] = [ ]
1 2
4 8
a b
c d
1 0
0 1
a + 2c b + 2d
4a + 8c 4b + 8d
1 0
0 1
{ ⇒ impossível
a + 2c = 1
4a + 8c = 0
{ ⇒ impossível
b + 2d = 0
4b + 8d = 1
?
⎡⎢⎣1 1 1
2 3 1
4 9 1
⎤⎥⎦
Inicialmente encontrar a A : 
Aplicando a multiplicação de matrizes:
Aplicando a igualdade de matrizes:
Para encontrar a inversa:
A matriz inversa também pode ser obtida aplicando a matriz dos cofatores.
Teorema: Se uma matriz é invertível n×n, então para cada matriz b de tamanho n×1, o sistema de  equações
Ax=b, tem exatamente uma solução: x=A b.
Exemplo 1: Considere o sistema linear 
Escrever o sistema na forma matricial, onde A é a matriz dos coe�cientes, X a matriz das incógnitas e b, será a
matriz dos termos independentes.
Pelo exemplo 1, visto anteriormente, tem-se que A é invertível.
Considerando o teorema, aplica-se:
-1 A−1 =
⎡⎢⎣a b c
d e f
g h i
⎤⎥⎦A−1A = I3 ⇒ =
⎡⎢⎣a b c
d e f
g h i
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1 1 1
2 3 1
4 9 1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦=
⎡⎢⎣a + 2b + 4c a + 3b 9c a + b + c
d + 2e + 4f d + 3e + 9f d + e + f
g + 2h + 4i g + 3h + 9i g + h + i
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦=
⎡⎢⎣a + 2b + 4c a + 3b 9c a + b + c
d + 2e + 4f d + 3e + 9f d + e + f
g + 2h + 4i g + 3h + 9i g + h + i
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦⇒ d = 1, e = − 3
2 , f = 1
2
⎧⎪⎨⎪⎩d + 2e + 4f = 0
d + 3e + 9f = 1
d + e + f = 0
⇒ g = 3, e = − 5
2 , f = 1
2
⎧⎪⎨⎪⎩g + 2h + 4i = 0
g + 3h + 9 = 0
g + h + i = 1
A−1 = ⇒ A−1 =
⎡⎢⎣a b c
d e f
g h i
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣−3 4 −1
1 − 3
2
1
2
3 − 5
2
1
2
⎤⎥⎦-1
⎧⎪⎨⎪⎩ x + 2y + 3z = 5
2x + 5y + 3z = 3
x + 8z = 17
A = x = b =
⎡⎢⎣1 2 3
2 5 3
1 0 8
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 3
5
17
⎤⎥⎦A−1 =
⎡⎢⎣−40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1
⎤⎥⎦
 aplicando a multiplicação entre matrizes, obtém-se:
, logo x= 1. y= -1 e z = 2.
Esse método, aplica-se somente quando o sistema tem o mesmo número de equações e incógnitas e a matriz
de coe�cientes é invertível.
PROCEDIMENTOS PARA OBTER A INVERSA
Para encontrar a inversa de uma matriz, usando as operações sobre as linhas, é preciso reduzir a matriz
original a uma matriz identidade realizando operações sobre linhas e, simultaneamente, aplicar essas
operações para obter A .
O processo deve adjuntar a matriz identidade à direita da matriz A, indicando da seguinte forma: [A|I], na
sequência, aplica-se as operações sobre linhas da matriz até que o lado esquerdo seja reduzido a uma matriz
identidade. Com essas operações, o lado direito será a matriz A , de modo que ao �nal, terá a seguinte forma:
[I|A ].
Logo, as operações com as linhas, tem como objetivo transformar a matriz do lado esquerdo em uma matriz
identidade e a matriz obtida do lado direito, será a matriz inversa.
Exemplo 1: Determinar a matriz inversa de 
Comentários:
Escrever uma matriz identidade à direita de mesma ordem.
 (multiplicar a primeira linha por (-2) e somar à segunda
linha).
Obtendo:
 (multiplicar a primeira linha por (-1) e somar à
terceira linha), obtendo:
 (multiplicar a segunda linha por 2 e somar à terceira) linha,
obtendo:
x = A−1b → x = →
⎡⎢⎣−40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 5
3
17
⎤⎥⎦x = =
⎡⎢⎣−40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 5
3
17
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 1
−1
2
⎤⎥⎦
-1
-1
-1
A =
⎡⎢⎣1 2 3
2 5 3
1 0 8
⎤⎥⎦→ L2 = −2 . L1 + L2
⎡⎢⎣1 2 3
2 5 3
1 0 8 ∣ 1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠→ L3 = −1 . L1 + L3
⎡⎢⎣1 2 3
0 1 −3
1 0 8 ∣ 1 0 0
−2 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠→ L3 = −1 . L3
⎡⎢⎣1 2 3
0 1 −3
0 0 −1 ∣ 1 0 0
−2 1 0
−5 2 1
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠
 (multiplicar a terceira linha por (-1), obtendo:
 (multiplicar a terceira linha por 3 e somar à
segunda linha), obtendo:
 (multiplicar por (-3) a terceira linha e somar à
primeira linha), obtendo:
 (multiplicar por (-2) a segunda linha e somar à
primeira linha), obtendo:
 A matriz do lado esquerdo se transformou em uma matriz identidade e a
matriz do lado direito é a inversa. Assim,
Inicialmente, não é possível determinar se uma matriz é invertível ou não, mas se uma matriz n×n não é
invertível, então ela não pode ser reduzida a I (matriz identidade de ordem n×n). Logo, ao aplicar o
procedimento, e em algum momento aparecer numa linha de zeros no lado esquerdo, então conclui-se que a
matriz não é invertível e encerra-se os cálculos.
Exemplo 2: Considere a matriz , encontrar, se possível, a matriz inversa.
Comentários: Usando as operações sobre linhas, tem-se:
Escrever a matriz identidade de mesma ordem do lado direito.
 (multiplicar a primeira linha por (-2) e somar à
segunda linha), obtendo:
 (somar a primeira linha com a terceira linha),
obtendo:
→ L3 = −1 . L3
⎡⎢⎣1 2 3
0 1 −3
0 0 −1 ∣ 1 0 0
−2 1 0
−5 2 1
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠→ L2 = 3 . L3 + L2
⎡⎢⎣1 2 3
0 1 −3
0 0 1 ∣ 1 0 0
−2 1 0
5 −2 −1
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠→ L1 = −3 . L3 + L1
⎡⎢⎣1 2 3
0 1 0
0 0 1 ∣ 1 0 0
13 −5 −3
5 −2 −1
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠→ L1 = −2 . L2 + L1
⎡⎢⎣1 2 0
0 1 0
0 0 1 ∣−14 6 3
13 −5 −3
5 −2 −1
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠→
⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1 ∣−40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1
⎤⎥⎦A−1 =
⎡⎢⎣−40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1
⎤⎥⎦ n 
A =
⎡⎢⎣ 1 6 4
2 4 −1
−1 2 5
⎤⎥⎦A = → L2 = −2 . L1 + L2
⎡⎢⎣ 1 6 4
2 4 −1
−1 2 5 ∣1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠A = → L3 = L1 + L3
⎡⎢⎣ 1 6 4
0 −8 −9
−1 2 5 ∣ 1 0 0
−2 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦
 (somar a segunda linha com a terceira linha),
obtendo:
 Foi obtida uma linha de zeros do lado esquerdo, logo a matriz A não é
invertível, assim, encerra-se os cálculos.
Considerando os procedimentos para calcular a matriz inversa, em seguida você vai ver como resolver
sistemas lineares usando a matriz inversa.
Aplicando, ainda, a matriz inversa com as operações sobre linhas, é possível resolver dois sistemas de uma vez
só, se os dois sistemas lineares tiverem a mesma matriz de coe�cientes.
Essa resolução consiste em escrever no formato matricial, aumentando do lado direito com as colunas dos
termos independentes de cada sistema linear.
Exemplo 3: Resolvaos sistemas: 
Os dois sistemas possuem a mesma matriz dos coe�cientes.
Escrever ao lado da matriz, as matrizes dos coe�cientes dos dois sistemas lineares.
Aplicando as operações por linhas para transformar a matriz à direita em uma matriz identidade.
Reduzindo a matriz de forma escalonada reduzida por linha, obtém-se:
Observando as duas últimas colunas, obtém-se a solução dos sistemas lineares.
a.    x = 1, y = 0, z = 1
b.    x = 2, y= 1, z = -1
Mais adiante, você vai conhecer um método para codi�car e decodi�car mensagens. Observe que serão
apresentadas duas matrizes de ordem n, A e A , formadas por elementos inteiros.
MATRIZ INVERSA E A CRIPTOGRAFIA
Agora será o momento para ampliar que aprendeu até aqui!
A = → L3 = L2 + L3
⎡⎢⎣1 6 4
0 −8 −9
0 8 9 ∣ 1 0 0
−2 1 0
1 0 1
⎤⎥⎦A = →
⎡⎢⎣1 6 4
0 −8 −9
0 0 0 ∣ 1 0 0
−2 1 0
−1 0 1
⎤⎥⎦
a b
⎞⎟⎠⎧⎪⎨⎪⎩ x + y + z = 4
2x + 5y + 3z = 5
x + 8z = 9
⎞⎟⎠⎧⎪⎨⎪⎩x + y + z = 1
2x + 5y + 3z = 6
x + 8z = −6
⎡⎢⎣1 1 1
2 5 3
1 0 8 ∣ 459 ∣ 1
6
−6
⎤⎥⎦⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1 ∣ 101 ∣ 2
1
−1
⎤⎥⎦ -1
Você aprendeu até aqui alguns métodos para resolver sistemas lineares. Conhecendo o conceito de matriz
inversa, é possível resolver sistemas por inversão de matrizes. O Exemplo 1, a seguir, foi adaptado de Kuerten
(2002):
Exemplo 1: Dadas as matrizes 
Todos os elementos da matriz A, são números inteiros, da mesma forma que os da matriz A .
Para codi�car uma mensagem, o remetente vai usar a matriz A. Para decodi�car a mensagem, o destinatário
deve utilizar a matriz A .
Para aplicar os códigos de decodi�cação, as partes envolvidas devem combinar como será a correspondência
entre números e letras ou outros símbolos.
Ao aplicar esse método, o objetivo é o de que mensagem original seja codi�cada, utilizando pares de
caracteres.
Para decodi�car uma mensagem, utiliza-se as correspondências do Quadro 1 para fazer a conversão da forma
alfabética para a forma numérica.
Quadro 1 | Correspondência alfanumérica
A ou  Ã B C ou Ç D E F G H I J
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
K L M N O ou Õ P Q R S T
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
U V W X Y Z . , #
21 22 23 24 25 26 27 28 29
Fonte: elaborado pela autora.
O símbolo # vai indicar o espaço entre as palavras.
O desa�o é o de codi�car a mensagem: PLANO EM AÇÃO.
Inicialmente deve ser feita a correspondência entre letras e números.
Quadro 2 | Correspondência entre letras e números
P L A N O # E M # A Ç Ã O
A = [ ] e A−1 = [ ]
3 1
2 1
1 −1
−2 3
-1
-1
16 12 01 14 15 29 05 13 29 01 03 01 15
Fonte: elaborado pela autora.
Como a matriz codi�cada A é uma matriz 2 x 2, a sequência dos números deve ser organizada como
elementos de uma matriz com duas linhas.
A quantidade de elementos é ímpar, então completa-se o último elemento da 2ª linha com o símbolo #.
Para codi�car a mensagem, multiplica-se a matriz M à esquerda pela matriz codi�cadora A:
Realizando a multiplicação entre matriz, obtém-se:
Os elementos da matriz N, constituem a mensagem codi�cada. Para registrar esse código, os elementos
devem ser separados por vírgulas, para ter clareza da mensagem:
61, 65, 04, 45, 46, 102, 44, 45, 53, 03, 31, 31, 73, 39. 
Quando a mensagem codi�cada chegar ao destinatário, deve ser utilizada a matriz decodi�cadora A , para
obter a matriz do remetente.
Observe:
Convertendo os elementos obtidos em letras, obtém-se a decodi�cação:
Quadro 3 | Decodi�cação
16 12 01 14 15 29 05 13 29 01 03 01 15 29
P L A N O # E M # A Ç Ã 0 #
Fonte: elaborado pela autora.
Muitas mensagens importantes, são codi�cadas, assim, o remetente codi�ca a mensagem e o destinatário
decodi�ca, utilizando a matriz inversa, importante lembrar que os dois, remetente e destinatário precisam ter
a mesma relação de correspondência entre letras e números.
M = [ ]
16 12 01 14 15 29 05
13 29 01 03 01 15 29
N = AM = [ ] [ ]
3 1
2 1
16 12 01 14 15 29 05
13 29 01 03 01 15 29
N = [ ]
61 65 04 45 46 102 44
45 53 03 31 31 73 39
-1
A−1N = [ ] [ ] = [ ]
1 −1
−2 3
61 65 04 45 46 102 44
45 53 03 31 31 73 39
16 12 01 14 15 29 05
13 29 01 03 01 15 29
Mensagens criptografadas são muito utilizadas na atualidade, em aplicativos de mensagens, senha de banco e
informações com dados pessoais. A complexidade dos cálculos sempre vai depender do tipo de mensagem a
ser criptografada, assim você estudou uma aplicação importante para aplicação e o estudo de matrizes
inversa.
VIDEO RESUMO
Olá, estudante!
Neste vídeo, você aprenderá métodos para calcular matrizes inversas, aplicando o conceito de matriz
identidade. Existem alguns procedimentos diferentes para se obter a matriz inversa, mostraremos um deles
com as etapas de resolução.
As matrizes inversas podem ser utilizadas para resolver sistemas lineares, cuja representação matricial seja
uma matriz quadrada.
 Saiba mais
Aprenda a obter a matriz inversa utilizando uma planilha eletrônica acessando o seguinte material: 
Excel - Matriz Inversa | Função Matriz.Inverso | Como encontrar a matriz inversa no Excel.
Bons estudos!
SISTEMAS LINEARES
Olá, estudante!
Nesta unidade você estudou sobre conceitos de matrizes em que os números são dispostos em linhas e
colunas formando uma tabela indicada por A , em que m indicada a quantidade de linha e a quantidade de
colunas. De acordo com a quantidade de linha e colunas, as matrizes podem ser classi�cadas como:
Matriz linha: , a matriz possui uma única linha.
mxn
A1x4 = [ ]3 −4 0 6
Aula 5
REVISÃO DA UNIDADE
25 minutos
https://www.newbieaulas.com.br/2020/12/excel-matriz-inversa-funcao.html
Matriz coluna: , a matriz possui uma única coluna.
Matriz quadrada: , o número de linhas e colunas são iguais.
Matriz identidade: , matriz quadrada, onde os elementos da diagonal principal são todos
iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero.
As operações envolvendo matrizes devem seguir algumas propriedades:
Adição e subtração: as matrizes devem ser do mesmo tipo, pois a operação é realizada adicionando ou
subtraindo os elementos correspondentes.
Exemplo:    e , determinar A + B : 
Multiplicação: para multiplicar matrizes, é preciso veri�car se o número de colunas da primeira matriz é igual
ao número de linhas da segunda matriz. Essa veri�cação precisa ser feita antes de iniciar a operação, pois
entre matrizes, nem sempre o produto é possível.
Exemplo: 
Além disso, a multiplicação se dá pela soma dos produtos de cada linha da primeira matriz pela coluna da
segunda matriz. Assim, todos os elementos de cada linha, multiplica os elementos de cada coluna da segunda
matriz.
Na sequência, você estudou sobre determinantes que estão associados às matrizes. Ao calcular um
determinante, obtém-se um número que a partir da matriz que foi dada.
Para encontrar esse número, existem alguns procedimentos que podem ser aplicados de acordo com o tipo
de matriz, lembrando que só é possível calcular o determinante se a matriz for quadrada.
Matriz de segunda ordem: o determinante é obtido pela diferença do produto dos elementos da diagonal
principal pelo produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo: Dada a matriz , calcular seu determinante.
Matriz de terceira ordem: para os determinantes de terceira ordem, aplica-se a Regra de Sarrus.
Exemplo: Dada a matriz , encontrar o determinante.
A3x1 =
⎡⎢⎣ 1
2
−3
12
⎤⎥⎦A3x3 =
⎡⎢⎣4 −8 4
0 2 4
3 7 8
⎤⎥⎦I3x3 =
⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦A =
⎡⎢⎣ 2
−3
4
−3
4
5
⎤⎥⎦ B =
⎡⎢⎣ 7
−1
0
−4
6
3
⎤⎥⎦ A + B =
⎡⎢⎣ 9
−4
4
−7
10
8
⎤⎥⎦A2x4 . B4x3
↑ ↑

colunas e
linhas iguais
A = [ ]
−2 10
11 3
detA = = − 6 − (110) = − 116∣−2 10
11 3 ∣ A =
⎡⎢⎣2 −8 5
1 0 2
4 5 1
⎤⎥⎦
Aplicando a Regra de Sarrus:
O Teorema de Laplace para cálculo do determinante pode ser aplicado em matrizes de qualquer ordem.
Neste caso, é preciso calcular o cofator: o cofator de uma matriz n×n, com , é dado por
, onde D  é o determinante da matriz que se obtém de A, suprimindo-se sua i-ésima
linha e sua j-ésima coluna
Calcula-se o determinante, multiplicando o elemento da matriz pelo seu respectivocofator e, na sequência,
obter a soma desses valores.
Na resolução de sistemas de m equações lineares, você aprendeu que é possível aplicando o escalonamento,
realizando cálculos fundamentais, entre as linhas.
E, �nalmente, você aprendeu como calcular a inversa de uma matriz, aplicando a relação: ,
sendo importante veri�car se a matriz possui inversa, uma vez que só vai ter inversa se .
produto dos elementos da diagonal principal.
produto dos elementos da diagonal secundária.
detA = − 39 − (12) = − 51
n ≥ 2
Cij = (−1)i+ j. Dij ij
AB = BA = In
det A ≠ 0
REVISÃO DA UNIDADE
Neste vídeo, você vai estudar alguns pontos importantes sobre conceito de matrizes e as operações entre
elas. Retomar o conceito determinante de uma matriz quadrada e sua relação para revolver sistemas lineares
formados por m equações lineares, que tem um conceito especí�co sobre sua estrutura, determinando o
conjunto solução. Aplique esses conhecimentos para encontrar a inversa de uma matriz.
ESTUDO DE CASO
Uma das aplicações das matrizes inversas está relacionada à criptogra�a. Cada vez mais mensagens
criptografadas são importantes para manter a segurança de mensagens que são trocadas entre pessoas. 
Esse sistema de criptogra�a consiste em um conjunto de regras e técnicas utilizadas para cifrar, decodi�car a
escrita, transformando-a num tipo de código incompreensível para quem não está autorizado para ter acesso
ao conteúdo.
A origem da criptogra�a remonta a séculos atrás, quando civilizações antigas utilizavam métodos
rudimentares para cifrar mensagens importantes. No entanto, foi durante o século XX que a criptogra�a se
tornou uma ciência mais so�sticada, com o advento das máquinas criptográ�cas e dos algoritmos
matemáticos avançados.
A criptogra�a moderna se baseia na ideia fundamental de transformar uma mensagem original (texto simples)
em uma forma ilegível (texto cifrado) por meio de um algoritmo. A única maneira de reverter esse processo e
obter o texto original é conhecer a chave correta para decifrar a mensagem.
Dessa forma, a criptogra�a se torna uma ferramenta e�caz para proteger informações con�denciais durante o
armazenamento, transmissão e processamento.
Existem dois principais tipos de criptogra�a: simétrica e assimétrica. Na criptogra�a simétrica, a mesma chave
é usada tanto para criptografar quanto para descriptografar a mensagem. Isso torna o processo de
criptogra�a e descriptogra�a mais rápido, mas requer uma distribuição segura da chave para garantir a
con�dencialidade.
Por outro lado, a criptogra�a assimétrica utiliza um par de chaves: uma chave pública para criptografar a
mensagem e uma chave privada correspondente para descriptografá-la. Esse método elimina a necessidade
de compartilhar chaves secretas, mas é computacionalmente mais intensivo.
A criptogra�a também é amplamente utilizada em transações �nanceiras on-line, como compras e operações
bancárias. Os protocolos de segurança, como o SSL (Secure Sockets Layer) e o TLS (Transport Layer Security),
são baseados em criptogra�a para estabelecer conexões seguras entre clientes e servidores.
Veja que é preciso aplicar um algoritmo para transformar uma mensagem. Um possível é a utilização de uma
matriz inversa, conhecido como método de criptogra�a de Hill.
Nesse método, cada letra do texto original é representada por um número de acordo com sua posição no
alfabeto. Em seguida, uma matriz chave é multiplicada por blocos de letras para gerar o texto cifrado.
Para decifrar o texto, a matriz inversa da matriz chave é multiplicada pelo texto cifrado.
Importante lembrar que quem codi�cou a mensagem deve ter a mesma chave do receptor.
Imagine que você vai fazer um teste para decodi�car uma mensagem, a partir da Tabela 1:
Tabela 1| Tabela alfanumérica
A B C D E F G H I J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
K L M N O P Q R S T
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
U V X W Y Z . ! #
21 22 23 24 25 26 27 28 29
Fonte: elaborado pela autora.
Mensagem após a conversão de letras por números:
Para isso, a matriz  foi utilizada para codi�car, assim use a matriz  para
decodi�car.
 Re�ita
Considerando que o processo de codi�car ou decodi�car mensagens de textos �ca cada vez mais
complexo, para garantir a segurança, encontre a mensagem codi�cada. Em seguida, mostre como se faz
a decodi�cação.
Descreva uma breve conclusão sobre a aplicação das matrizes inversas na criptogra�a.
Crie uma mensagem e faça a codi�cação e a decodi�cação, aplicando as matrizes inversas.
13 5 21 29 6 21 20 21 18 15 29 4 5 16 5 14 4 5 29 4 5 29 13 9 13
A = [ ]
3 1
2 1
B = [ ]
1 −1
−2 3
RESOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO
Acompanhe a resolução do estuda de caso com atenção e depois veri�que uma sugestão para escrever sua
conclusão sobre esse assunto.
Uma forma de se usar matrizes na criptogra�a é envolver matrizes inversas. Considere as matrizes A e B,
sendo que B é a matriz inversa de A.
Para escrever a sequência na forma de matriz, observe que foram dadas as matrizes de ordem 2, então a
sequência de números deve ser disposta em uma matriz de duas linhas, se tivesse um número ímpar de
elementos, completar com o símbolo # (vazio).
Para codi�car a mensagem, multiplica-se a matriz A por M, tal que N= AM.
Lembrando que a multiplicação entre matrizes se dá pela soma do produto dos elementos da linha da
primeira matriz, pelos elementos correspondentes da coluna da segunda matriz.
Aplicando a multiplicação de matrizes novamente, observa-se que o produto é possível, pois o número de
colunas da primeira matriz, é igual ao número de colunas da segunda matriz.
Assim, a matriz N apresenta a mensagem codi�cada:
Para fazer a decodi�cação, deve-se usar a matriz B, sabendo que: B.N=B.A.M=I.M=M, tem-se que M=B.N.
Multiplica-se a matriz B por N, obtendo o seguinte resultado:
Chegando assim à mensagem original. Para descobrir a mensagem, utiliza-se novamente a tabela
alfanumérica:
É importante notar que ao fazer a conversão da mensagem utilizando a tabela alfanumérica, a sequência de
números obtidas, é imediata, não trazendo segurança para a criptogra�a da mensagem.
Ao aplicar o conceito de matriz inversa, o código obtido é mais complexo e sua decodi�cação não é um
processo simples.
M = [ ]
13 5
16 5
21 29
14 4
6 21
5 29
20 21
4 5
18 15
29 13
29 4
9 13
5
30
N = [ ] . [ ]
3 1
2 1
13 5
16 5
21 29
14 4
6 21
5 29
20 21
4 5
18 15
29 13
29 4
9 13
5
30
N = [ ]
55 20
42 15
77 91
56 62
23 92
17 71
64 68
44 47
83 58
65 43
96 25
67 21
45
40
55, 20, 77, 91, 23, 92, 64, 68, 83, 58, 96, 25, 45, 42, 15, 56, 62, 17, 71, 44, 47, 65, 43, 67, 21, 40
M = [ ] [ ]
1 −1
−2 3
55 20
42 15
77 91
56 62
23 92
17 71
64 68
44 47
83 58
65 43
96 25
67 21
45
40
M = [ ]
13 5
16 5
21 29
14 4
6 21
5 29
20 21
4 5
18 15
29 13
29 4
9 13
5
30
13 5 21 29 6 21 20 21 18 15 29 4 5 16 5 14 4 5 29 4 5 29 13 9 13
M E U # F U T U R 0 # D E P E N D E # D E # M I M
Assim, é possível utilizar criptogra�a com matrizes sendo uma forma muito segura de criptografar mensagens
com chaves de segurança, para que somente o remetente e o destinatário tenham acesso às mensagens
originais.
Para criar a mensagem, você deve seguir os mesmos passos e se desejar utilize a mesma tabela alfanumérica.
Se desejar poderá elaborar sua própria tabela alfanumérica relacionado as letras com os números.
RESUMO VISUAL
Fonte: elaborada pela autora.
Aula 1
CERVELIN, B. H. Álgebra linear e vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2018.
DANESI, M. M.; SILVA, A. R. R.; PEREIRA JÚNIOR, S. A.  A. Álgebra linear. Porto Alegre: SAGAH, 2019.
REFERÊNCIAS
2 minutos
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
 KUERTEN, C. Algumas Aplicações de Matrizes. 2001. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - UFSC, [S.
l.], 2001. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?
sequence=1. Acesso em: 28 jun. 2023.
Aula 2
CERVELIN, B. H. Álgebra linear e vetorial. Londrina: Editora eDistribuidora Educacional S.A., 2018.
DANESI, M. M.; SILVA, A. R. R.; PEREIRA JÚNIOR, S. A. A. Álgebra linear. Porto Alegre: SAGAH, 2019.
Aula 3
CERVELIN, B. H. Álgebra linear e vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2018.
DANESI, M. M.; SILVA, A. R. R.; PEREIRA JÚNIOR, S. A. A. Álgebra linear. Porto Alegre: Sagah, 2019.
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar, 4: sequências, matrizes, determinantes,
sistemas. São Paulo: Atual, 2004.
Aula 4
CERVELIN, B. H. Álgebra linear e vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2018.
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar, 4: sequências, matrizes, determinantes,
sistemas. São Paulo: Atual, 2004.
KUERTEN, C. Algumas aplicações de matrizes. 2002. TCC – Curso de Matemática -  Universidade Federal de
Santa Catarina- Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Departamento. de Matemática.  Florianópolis, 2002.
Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?
sequence=1. Acesso em: 29 jun. 2023.
RORRES, A. Álgebra Linear com aplicações. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
Aula 5
CERVELIN, B. H. Álgebra linear e vetorial. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2018.
DANESI, M. M.; SILVA, A. R. R.; PEREIRA JÚNIOR, S. A. A. Álgebra linear. Porto Alegre: SAGAH, 2019.
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matemática Elementar, 4: sequências, matrizes, determinantes,
sistemas. São Paulo: Atual, 2004.
https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?sequence=1
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