Oscilações livres - 1

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INTRODUÇÃO
Muitos fenômenos físicos apresentam movimentos que se repetem em intervalos regulares. Esses movimentos são chamados de Movimentos Harmônicos Simples (MHS). O movimento harmônico simples pode ser convenientemente descrito por um bloco preso em uma mola (de massa desprezível) e que obedece a lei de Hooke (F = −kx). O nome harmônico vem do fato de que o movimento é descrito por uma função senoidal ou (cossenoidal) simples.
	A partir do experimento seguinte, pretende-se obter a constante elástica (k) de uma mola através do método estático e, posteriormente, pelo método dinâmico.
3. PARTE TEÓRICA
Um corpo executa um movimento oscilatório harmônico quando está vinculado a uma posição de equilíbrio por intermédio de uma força cujo módulo cresce proporcionalmente com o afastamento do corpo dessa posição de repouso. Desta maneira, um pêndulo que oscila com pequena amplitude executa um movimento harmônico.
 
	
Figura 1: Exemplo de movimento harmônico.
Pode-se obter o movimento harmônico, projetando-se um movimento circular uniforme sobre um dos diâmetros do círculo, como detalhado na figura acima.
Num movimento circular a posição do ponto material P é dada pelo ângulo φ. Como velocidade angular w definimos, por analogia com a velocidade usual (linear):
w = dφ/dt
Sendo w = const. (movimento circular uniforme) então φ cresce proporcionalmente ao tempo t: 
φ = w.t
Se o ponto P percorrer a circunferência n vezes por segundo, num intervalo de tempo igual a t segundos, ele descreverá a trajetória circular n. t vezes. Em cada volta completa, o ângulo φ cresce de 2P.
Assim temos:
φ = 2Pn.t = w.t 
w = 2Pn
sendo n o número de oscilações por segundo ou frequência, e w, velocidade angular, sendo igual ao número de oscilações em 2P segundos (chamada também “pulsação”). Projetando-se o ponto P sobre um diâmetro obtém-se: 
x = a.senφ = a.senwt.
O diagrama posição-tempo no caso do movimento harmônico tem o seguinte aspecto:
	
Figura 2: posição-tempo em MHS.
É urna curva senoidal, que se repete, portanto, periodicamente. O ponto material move-se sobre um segmento de reta ora num sentido, ora no oposto, a partir da posição de repouso, sendo o seu maior afastamento dessa posição de equilíbrio, denominado amplitude do movimento, a.
O intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do ponto material numa determinada posição da trajetória, em idênticas condições de movimento, é chamado período de oscilação, T. Será:
T = 1/n = 2p/w
Um fenômeno desse tipo, por exemplo, o movimento pendular para pequenas amplitudes ou ainda a vibração de um diapasão, pode ser facilmente registrado sobre uma placa de vidro enegrecida por uma chama de vela, quando a esta se dá uma translação uniforme sob o pêndulo (como ilustrado a seguir), ou então se arrasta sobre a placa o diapasão percutido.
	
Figura 3: translação uniforme sob um pêndulo.
Também um pêndulo de mola, ou um pêndulo de torção, executa um movimento harmônico. No pêndulo de mola, um corpo P é mantido em sua posição de repouso por meio de duas molas. Ao ser afastado dessa posição de equilíbrio a uma distância x, aparecerá nele uma força F (tendendo a levá-lo à posição primitiva) que é proporcional a x (força elástica):
F = - k.x
, onde k é chamado “constante da mola” e representa numericamente a força que age sobre P para que esta se afaste de sua posição inicial. O sinal negativo leva em consideração que a força contraria o movimento (força de restituição).
Temos, então, segundo Newton:
Figura 4: Eq. diferencial do MH.
Esta é a equação diferencial do movimento harmônico. Sua solução fornece:
x = x(t) = a.sen(wo.t + φo)
Sendo φo a constante de fase arbitrária, determinada pelas condições iniciais.
Levando-se a solução acima na equação diferencial obtém-se ainda a seguinte condição:
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Para realização dos experimentos foram utilizados os seguintes materiais:
· 1x mola;
· 1x porta peso de 10g;
· 5x massas de 50g;
· 1x régua graduada com dois cursores;
· Prendedores;
· Hastes;
· Garra de montagem;
· Cronômetro digital.
O experimento foi dividido em duas partes, em ambas iniciamos montando o seguinte esquema:
Figura 5: materiais utilizados em ambos os experimentos.
EXPERIMENTO 1 (método estático):
a) Colocamos os cursores da régua de tal modo a medir o comprimento da mola;
 Figura 6: Cursores medindo a mola.
b) Posteriormente, fomos adicionando os pesos de 50g, um a um, e anotando as, respectivas, distensões;
 Figura 7: Sistema com os cinco pesos de 50g cada.
EXPERIMENTO 2: Utilizamos o mesmo sistema do experimento anterior e dessa vez com um cronômetro digital.
Figura 8: Interface do cronômetro.
a) Inicialmente colocamos um peso de 50 g no porta-peso;
Figura 9: Momento anterior à distensão da mola.
b) Distendemos a mola em 3 cm e cronometramos o tempo de 10 oscilações completas, dividimos o tempo total por 10 e anotamos o resultado;
c) Repetimos o procedimento três vezes para cada peso de 50 g, a fim de uma maior precisão no tempo de cada oscilação.
Figura 10: Momento anterior à distensão da mola com cinco pesos.
5. RESULTADOS
EXPERIMENTO 1 (método estático):
Posição de equilíbrio da mola na ausência de massas: 18cm = 0.18m. Como desprezamos a posição inicial da mola com o porta-peso, foi necessário considerar a massa de 10 g = 0.01 kg do porta-peso na realização dos cálculos.
Observamos a seguir na Tabela 1 com os dados obtidos durante a realização deste experimento.
	Massa (kg)
	Força Peso (N)
	Posição da mola (m)
	Distensão y da mola (m)
	0.06
	0.588
	0.213
	0.033
	0.11
	1.078
	0.236
	0.056
	0.16
	1.568
	0.260
	0.080
	0.21
	2.058
	0.284
	0.104
	0.26
	2.548
	0.310
	0.130
Tabela 1: Medidas da massa, força e distensão “y” da mola.
· Cálculo da Força Peso (N)
F = m.g 
Considerando g = 9.8 m/s², temos:
(a) F = 0.06 x 9.8 = 0.588 N
(b) F = 0.11 x 9.8 = 1.078 N
(c) F = 0.16 x 9.8 = 1.568 N
(d) F = 0.21 x 9.8 = 2.058 N
(e) F = 0.26 x 9.8 = 2.548 N
· Cálculo da distensão y da mola
Os valores das distensões da mola correspondem à diferença entre a posição final (y1) e a posição inicial (y0) da mola. Consideramos y0= 0.18 m.
(a) y = 0.213 – 0.18 = 0.033 m
(b) y = 0.236 – 0.18 = 0.056 m
(c) y = 0.260 – 0.18 = 0.080 m 
(d) y = 0.284 – 0.18 = 0.104 m
(e) y = 0.310 – 0.18 = 0.130 m
No gráfico abaixo colocamos os valores das distensões da mola no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas estão os da Força e com isso, observamos a relação linear que há entre essas medidas. Como sabemos, o método estático para determinar a constante elástica (k) é baseado na Lei de Hooke:
F = kx 
Onde:
K = constante elástica; ∆F = variação da força; ∆x = y = distensão da mola.
Portanto, é possível encontrar o valor da constante elástica a partir do coeficiente angular da reta que é obtido através da regressão linear, como podemos notar no gráfico a seguir:
 (
Gráfico
 
1
: Relação entre a Força Peso e a Distensão da mola
.
)
Analisando o gráfico acima temos que o valor encontrado para a constante elástica é k = 20,23826 N/m ± 0,25549.
Questões
1-Que tipo de curva você obteve?
É uma reta.
2-De que forma seus resultados foram afetados por se considerar a massa da mola desprezível?
Não foram afetados, pois a massa da mola pode ser desprezada porque se comparada com a massa do objeto comparado na mesma é relativamente menor.
EXPERIMENTO 2 (método dinâmico):
Para obter os dados que estão na tabela que se segue, o tempo cronometrado correspondeu a 10 oscilações. Com o objetivo de obter a melhor precisão possível, medimos 3 vezes os tempos de oscilações da mola para diferentes massas e, em seguida, encontramos o tempo médio.
	Massa (kg)
	t1 (s)
	t2 (s)
	t3 (s)
	tmédio (s)
	T(s)
	0.06
	03.87
	03.24
	03.67
	03.60
	0.360
	0.11
	04.38
	04.68
	04.82
	04.63
	0.463
	0.16
	05.84
	05.65
	05.90
	05.80
	0.580
	0.21
	06.39
	06.62
	06.69
	06.57
	0.657
	0.26
	06.97
	06.61
	06.35
	06.64
	0.664
 
Tabela 2: Dados obtidos durante a determinaçãoda constante elástica de forma dinâmica.
· Cálculo do tempo médio 
tmédio = 
(a) tmédio=(03.87 + 03.24 + 03.67) / 3 = 03.60 s
(b) tmédio=(04.38 + 04.68 + 04.82) / 3 = 04.63 s
(c) tmédio=(05.84 + 05.65 + 05.90) / 3 = 05.80 s
(d) tmédio=(06.39 + 06.62 + 06.69) / 3 = 06.57 s
(e) tmédio=(06.97 + 06.61 + 06.35) / 3 = 06.64 s
· Cálculo do período 
T = tmédio/ 10
Onde:
T = período; tmédio = tempo médio; 10 = número de oscilações.
(a) T = 03.60 / 10 = 0.360 s
(b) T = 04.63 / 10 = 0.463 s
(c) T = 05.80 / 10 = 0.580 s
(d) T = 06.57 / 10 = 0.657 s
(e) T = 06.64 / 10 = 0.664 s
Sabemos que o período de um movimento harmônico simples executado pelo sistema massa-mola é dado por:
Então, aplicando o logaritmo nos dois lados da equação do período, temos:
 (
Y
 A B X
)
	
No gráfico a seguir, colocamos os valores das massas no eixo das abscissas e no eixo das ordenadas estão os valores do período de oscilação. É importante ressaltar que o gráfico está em escala logarítmica. 
Figura 2: Relação entre o período T de oscilação e as diferentes massas.
Após realizarmos a regressão linear, obtemos o coeficiente linear da reta que é o parâmetro A no gráfico e, através dele poderemos determinar o valor da constante elástica k.
Ao analisarmos o Gráfico 2, percebemos que há um ponto que não ficou adequado à reta, com isso, foi realizado também o cálculo para determinar a constante elástica não levando em consideração esse ponto. Podemos observar tal situação no Gráfico 3, a seguir.
Gráfico 3: Período x Massa, desprezando o último ponto experimental.
CONCLUSÃO
Conclui-se que o objetivo de se calcular a constante elástica através dos dois métodos foi alcançado, contudo o primeiro método ou método estático revelou-se ser mais preciso, porque a natureza dos dados obtidos são de caráter proporcional, observou-se na inserção de cada massa ao porta peso e nas anotações de posição e distensão da mola.
Com a curva do gráfico completamente linear, a constante elástica foi obtida com mais precisão.
O método 2 ou método dinâmico revelou-se menos preciso, devido ao fato dos dados coletados da experiência serem de caráter não-proporcional, como na determinação da média aritmética dos tempos para cada massa, pois para cada massa repetia-se o experimento três vezes. O gráfico obtido não apresentou a linearidade desejada, principalmente devido ao último ponto da curva do gráfico. Isso explica o fato do cálculo da constante elástica, ter apresentado uma margem de erro grande, ao se considerar esse ponto, do que em relação à margem de erro, desconsiderando esse ponto.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
RELATORIO DE LABORATORIO DE FISICA EXPERIMENTAL lll
EXPERIMENTO: OSCILAÇÕES LIVRES
MANAUS – AM
2016
WILLIAM BITAR BARROSO DOS SANTOS – 21550240
RELATORIO DE LABORATORIO DE FISICA EXPERIEMNTAL lll
EXPERIMENTO: OSCILAÇÕES LIVRES
Relatório solicitado com o objetivo de relatar os procedimentos e resultados da aula prática sobre OSCILAÇÕES LIVRES. Requerido pelo professor OLEG GRIGORIEVICH BALEV como forma de obter uma das notas parciais da disciplina de Laboratorio de Fisica Experimental lll da Universidade Federal do Amazonas. 
MANAUS – AM
2016