Aula- Algebra das proposições

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Álgebra de Proposições
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1.! Álgebra de Proposições ................................................................................................................................... 2!
2.! Conjunção ....................................................................................................................................................... 3!
3.! Disjunção Inclusiva .......................................................................................................................................... 4!
4.! Relações entre a Conjunção e a Disjunção ....................................................................................................... 5!
Lista de Questões sem Comentários ........................................................................................................................ 8!
Gabaritos .............................................................................................................................................................. 10!
Lista de Questões com Comentários ...................................................................................................................... 11!
Considerações Finais ............................................................................................................................................. 16!
 
 
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1.!ÁLGEBRA DE PROPOSIÇÕES 
Vamos estudar nesta aula álgebra de proposições. 
Rigorosamente, já temos ferramentas para resolver as questões sobre álgebra de proposições. 
Assim, se você já sabe as principais equivalências lógicas e construção de tabelas-verdade, você já 
tem capacidade de resolver questões que envolvem álgebra de proposições. 
Ah, Guilherme, e pra que eu vou estudar então? 
Para ganhar tempo. Algumas questões são resolvidas com mais velocidade se você tem 
conhecimento de algumas propriedades que vamos estudar nessa aula. 
Vou partir do pressuposto de que você já sabe construir tabelas-verdade, sabe o que são 
tautologias, contradições, contingências e que você também já sabe todo aquele arsenal de 
equivalências lógicas (incluindo as fórmulas de negação). 
 
Para entender (e não precisar decorar) algumas fórmulas da álgebra de proposições, é importante 
fazer uma equiparação entre alguns conceitos da teoria dos conjuntos e das proposições. 
Lógica Proposicional Teoria dos Conjuntos 
Tautologia Conjunto Universo 
Contradição Conjunto Vazio 
Disjunção Inclusiva � ∨ � União de conjuntos � ∪ � 
Conjunção � ∧ � Interseção de Conjuntos � ∩ � 
 
Existem outras relações, mas que não são importantes aqui. 
Doravante, uma proposição tautológica será designada por � e uma contradição será designada por 
�. 
É importante notar que: 
~(~�) ⟺ � 
~� ⟺ � 
~� ⟺ � 
 
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2.!CONJUNÇÃO 
Comecemos pela propriedade idempotente. 
(� ∧ �) ⟺ � 
Você pode provar esta propriedade com uma tabela-verdade ou pensar em conjuntos. 
 
Se estivéssemos calculando � ∩ �, que resultado seria obtido? Ora, a interseção de um conjunto 
com ele mesmo é o próprio conjunto. 
Assim, sempre que nos depararmos com uma conjunção entre � e �, podemos simplificar por �. 
Obviamente isso funciona para uma proposição qualquer. 
(� ∧ �) ⟺ � 
(� ∧ �) ⟺ � 
E assim por diante. 
Outra propriedade importante, que já estudamos, é a propriedade comutativa. 
� ∧ � ⟺ � ∧ � 
Na verdade, todos os conectivos são comutativos com exceção do “se..., então...”. 
Esta propriedade diz que podemos trocar a ordem dos componentes de uma conjunção sem 
alterar o sentido lógico da proposição composta. 
 
Temos ainda a propriedade associativa. 
(� ∧ �) ∧ � ⟺ � ∧ (� ∧ �) 
Isso quer dizer que podemos indiferentemente operar primeiro p com q e depois o resultado com r 
ou primeiro q com r e depois o resultado com p. Na verdade, como a conjunção é comutativa, você 
ainda poderia fazer p com r e o resultado com q. Fique à vontade. 
 
Temos ainda a propriedade identidade: 
 
� ∧ � ⟺ � 
Lembre-se que aqui � é uma tautologia. 
Se � é verdade, a composta � ∧ � é verdade. Se � é falsa, a composta � ∧ � é falsa. Assim, o valor 
lógico de � ∧ � é idêntico ao valor lógico de �. 
Outra maneira de pensar é fazendo uma analogia com a teoria dos conjuntos. A interseção entre 
um conjunto P qualquer e o conjunto universo é o próprio conjunto P. 
É importante também notar que a conjunção de � com uma contradição � é uma contradição. 
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� ∧ � ⟺ � 
Seria o análogo de calcular a interseção de um conjunto P qualquer com o conjunto vazio: o 
resultado é o conjunto vazio. 
Ora, como � é contraditória, então seu valor lógico é F. Se um dos componentes é falso, o 
resultado será sempre falso. 
 
 
 
3.!DISJUNÇÃO INCLUSIVA 
Comecemos pela propriedade idempotente. 
(� ∨ �) ⟺ � 
Você pode provar esta propriedade com uma tabela-verdade ou pensar em conjuntos. 
 
Se estivéssemos calculando � ∪ �, que resultado seria obtido? Ora, a união de um conjunto com 
ele mesmo é o próprio conjunto. 
Assim, sempre que nos depararmos com uma disjunção entre � e �, podemos simplificar por �. 
Obviamente isso funciona para uma proposição qualquer. 
(� ∨ �) ⟺ � 
(� ∨ �) ⟺ � 
E assim por diante. 
Outra propriedade importante, que já estudamos, é a propriedade comutativa. 
� ∨ � ⟺ � ∨ � 
Esta propriedade diz que podemos trocar a ordem dos componentes de uma conjunção sem 
alterar o sentido lógico da proposição composta. 
 
Temos ainda a propriedade associativa. 
(� ∨ �) ∨ � ⟺ � ∨ (� ∨ �) 
 
Temos também a propriedade identidade: 
 
� ∨ � ⟺ � 
Lembre-se que aqui � é uma contradição. 
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Basta pensar: quem é a união entre um conjunto qualquer P e o conjunto vazio? É o próprio 
conjunto P. 
 
 
É importante também notar que a disjunção de � com uma tautologia � é uma tautologia. 
� ∨ � ⟺ � 
Seria o análogo de calcular a união de um conjunto P qualquer com o conjunto universo: o 
resultado é o conjunto universo. 
Outra forma seria pensar que uma tautologia é sempre V. Como um dos componentes é V, o 
resultado será sempre V. 
 
4.!RELAÇÕES ENTRE A CONJUNÇÃO E A DISJUNÇÃO 
Duas importantes relações entre a conjunção e a disjunção são dadas pelas leis de DeMorgan. 
~(� ∧ �) ⟺ ~� ∨ ~� 
~(� ∨ �) ⟺ ~� ∧ ~� 
Já estudamos exaustivamente essas propriedades. 
Outras duas propriedades importantes são as propriedades distributivas. 
� ∧ (� ∨ �) ⟺ (� ∧ �) ∨ (� ∧ �) 
� ∨ (� ∧ �) ⟺ (� ∨ �) ∧ (� ∨ �) 
 
Essas equivalências podem facilmente ser demonstradas com o uso de tabelas-verdade. Uma 
maneira legal de memorizar essas fórmulas é lembrar da propriedade distributiva da multiplicação 
em relação à adição. 
� ∙ (� + �) = � ∙ � + � ∙ � 
O detalhe é que aqui podemos distribuir a conjunção em relação à disjunção e também a disjunção 
em relação à conjunção. 
 
Há aindaas propriedades de absorção: 
� ∨ (� ∧ �) ⟺ � 
� ∧ (� ∨ �) ⟺ � 
Essas duas propriedades (absorção) são facilmente entendidas com o auxílio de conjuntos. 
 
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A primeira diz que vamos reunir o conjunto P com a interseção entre P e Q. O resultado é o próprio 
conjunto P. 
 
A segunda corresponde à interseção entre o conjunto P e a união entre os conjuntos P e Q. 
Novamente temos como resultado o próprio conjunto P. 
 
 
(ANPAD 2018) 
 
Sejam �, � e � proposições lógicas simples e considere �(�, �, �) a proposição lógica composta 
definida por 
�(�, �, �): � ∧ (� → �) 
 
A proposição �(�, �, �) é logicamente equivalente à proposição: 
a) (� → �) → [(~�) ∨ (~�)] 
b) [(~�) ∨ (~�)] → (� → �) 
c) ;� ∨ (~�)< ∧ (� ∨ �) 
d) (� → �) → (� ∧ �) 
e) (� ∧ �) → (� → �) 
Resolução 
Foi dada a proposição composta � ∧ (� → �). 
A proposição condicional � → � pode ser transformada em uma disjunção. Para transformar uma 
condicional em uma disjunção, basta negar o primeiro componente. 
Assim, a proposição dada equivale a: 
� ∧ (~� ∨ �) 
 
Agora podemos aplicar a propriedade distributiva. A proposição acima equivale a: 
 
(� ∧ ~�) ∨ (� ∧ �) 
 
Temos uma proposição composta pelo conectivo “ou”. O primeiro componente é (� ∧ ~�) e o 
segundo componente é (� ∧ �). 
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Para transformar essa proposição composta pelo “ou” em um “se..., então...”, devemos negar o 
primeiro componente. 
Assim, a proposição acima equivale a: 
~(� ∧ ~�) → (� ∧ �) 
O primeiro componente do condicional ~(� ∧ ~�) corresponde à negação de uma proposição 
composta pelo conectivo “e”. Há duas formas de negar o conectivo “e”: usando “ou” (lei de 
DeMorgan) ou usando o conectivo “se..., então...” (lembre-se que para negar o conectivo “e” 
usando “se..., então...” devemos repetir a primeira, colocar o condicional, e negar o segundo 
componente. 
Portanto, ~(� ∧ ~�) equivale a � → �. 
Portanto, a proposição ~(� ∧ ~�) → (� ∧ �) equivale a 
 
(� → �) → (� ∧ �) 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
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LISTA DE QUESTÕES SEM COMENTÁRIOS 
 
 
01.!(CESGRANRIO 2018/TRANSPETRO) 
A proposição � ∧ ¬(� ∧ �) é equivalente a: 
a) (� ∧ ¬�) ∧ (� ∧ ¬�) 
b) (� ∨ ¬�) ∧ (� ∧ ¬�) 
c) (� ∧ ¬�) ∨ (� ∧ ¬�) 
d) (¬� ∨ �) ∧ (¬� ∧ �) 
e) (¬� ∧ �) ∨ (¬� ∧ �) 
 
02.!(IBFC 2017/TJ-PE) 
 
As expressões �>: (� ∧ �) ∨ (~� ∧ �) e �?: (� ∨ �) ∧ (~� ∨ �) são compostas pelas quatro 
proposições lógicas �, �, � e �. Os valores lógicos assumidos pela expressão �> ∧ �? são os mesmos 
valores lógicos da expressão: 
 
a) � ∨ � 
b) ~� ∧ ~� 
c) ~� ∨ � 
d) � ∨ ~� 
e) � ∧ � 
 
03.!(VUNESP 2016/Prefeitura de Alumínio) 
Considere a afirmação: Sueli é professora e, pratica ginástica ou pratica corrida. Uma afirmação 
equivalente é 
a) Sueli é professora e pratica ginástica e pratica corrida. 
b) Se Sueli é professora, então ela não pratica ginástica e não pratica corrida. 
c) Sueli é professora e pratica ginástica, ou é professora e pratica corrida. 
d) Se Sueli não pratica ginástica ou não pratica corrida, então ela é professora. 
e) Sueli pratica ginástica e pratica corrida, ou é professora. 
 
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04.!(ESAF 2013/DNIT) 
A proposição composta � → � ∧ � é equivalente à proposição: 
a) � ∨ � 
b) � ∧ � 
c) � 
d) ~� ∨ � 
e) � 
 
05.!(ANPAD 2018) 
Sejam � e � proposições lógicas simples e �(�, �) uma proposição composta a partir de p e/ou q, 
tais que [(� → �) ∧ ~(� ∧ �)] ⟷ �(�, �) é uma contradição. A proposição composta �(�, �) é 
logicamente equivalente à proposição 
a) ~� 
b) � 
c) ~� 
d) � 
e) � ∨ � 
 
 
 
 
 
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GABARITOS 
 
01.!C 
02.!E 
03.!C 
04.!D 
05.!B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE QUESTÕES COM COMENTÁRIOS 
 
01.!(CESGRANRIO 2018/TRANSPETRO) 
A proposição � ∧ ¬(� ∧ �) é equivalente a: 
a) (� ∧ ¬�) ∧ (� ∧ ¬�) 
b) (� ∨ ¬�) ∧ (� ∧ ¬�) 
c) (� ∧ ¬�) ∨ (� ∧ ¬�) 
d) (¬� ∨ �) ∧ (¬� ∧ �) 
e) (¬� ∧ �) ∨ (¬� ∧ �) 
Resolução 
O primeiro passo é aplicar a lei de DeMorgan. 
 
A proposição dada equivale a: 
 
� ∧ (¬� ∨ ¬�) 
 
Vamos agora aplicar a propriedade distributiva. A proposição acima equivale a: 
 
(� ∧ ¬�) ∨ (� ∧ ¬�) 
Gabarito: C 
 
02.!(IBFC 2017/TJ-PE) 
 
As expressões �>: (� ∧ �) ∨ (~� ∧ �) e �?: (� ∨ �) ∧ (~� ∨ �) são compostas pelas quatro 
proposições lógicas �, �, � e �. Os valores lógicos assumidos pela expressão �> ∧ �? são os mesmos 
valores lógicos da expressão: 
 
a) � ∨ � 
b) ~� ∧ ~� 
c) ~� ∨ � 
d) � ∨ ~� 
e) � ∧ � 
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Resolução 
 
Observe que as proposições �> e �? podem ser escritas de uma forma mais simples utilizando a 
propriedade distributiva de “trás pra frente” juntamente com a propriedade comutativa. 
 
�>:		� ∧ (� ∨ ~�) 
 
�?: � ∨ (� ∧ ~�) 
 
Neste ponto, você deveria lembrar que � ∨ ~� é uma tautologia famosa e que � ∧ ~� é uma 
contradição famosa. Portanto, podemos simplificar as proposições acima. 
 
�>:		� ∧ � 
 
�?: � ∨ � 
 
A propriedade identidade indica que � ∧ � equivale a �. Basta pensar que a interseção entre um 
conjunto R e o universo é o próprio conjunto R. 
 
Além disso, a reunião de um conjunto S com o conjunto vazio é o próprio conjunto vazio. Fazendo 
a analogia, concluímos que � ∨ � equivale a s. 
 
Portanto, 
�>:		� 
 
�?: � 
 
Logo, a expressão �> ∧ �? equivale a � ∧ �. 
 
Gabarito: E 
 
03.!(VUNESP 2016/Prefeitura de Alumínio) 
Considere a afirmação: Sueli é professora e, pratica ginástica ou pratica corrida. Uma afirmação 
equivalente é 
a) Sueli é professora e pratica ginástica e pratica corrida. 
b) Se Sueli é professora, então ela não pratica ginástica e não pratica corrida. 
c) Sueli é professora e pratica ginástica, ou é professora e pratica corrida. 
d) Se Sueli não pratica ginástica ou não pratica corrida, então ela é professora. 
e) Sueli pratica ginástica e pratica corrida, ou é professora. 
Resolução 
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Vamos dar nomes aos bois. 
 
Sejam �, � e � as seguintes proposições, respectivamente: 
 
�: �����	é	����������. 
�: �����	�������	������� 
�:�����	�������	������� 
 
A proposição dada no enunciado pode ser escrita como: 
 
� ∧ (� ∨ �) 
 
Aplicando a propriedade distributiva, temos: 
 
(� ∧ �) ∨ (� ∧ �) 
 
Esta proposição, por sua vez, encontra-se na alternativa C. 
 
Gabarito: C 
 
04.!(ESAF 2013/DNIT) 
A proposição composta � → � ∧ � é equivalente à proposição: 
a) � ∨ � 
b) � ∧ � 
c) � 
d) ~� ∨ � 
e) � 
Resolução 
Como apenas duas proposições simples estão envolvidas, a resolução por tabela-verdade não seria 
tão demorada assim. 
Entretanto, vamos treinar um pouco a álgebra de proposições. 
Para transformar a proposição condicional dada em uma disjunção, devemos negar o primeiro 
componente. 
~� ∨ (� ∧ �) 
 
Vamos agora aplicar a propriedade distributiva. 
 
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(~� ∨ �) ∧ (~� ∨ �) 
 
A proposição ~� ∨ � é uma tautologia. 
 
� ∧ (~� ∨ �) 
 
Lembre-se da analogia com a teoria dos conjuntos. A tautologia corresponde ao conjunto universo 
e a conjunção corresponde à interseção. A interseção do conjunto universo (tautologia) com um 
conjunto qualquer A é o próprio conjunto A. Portanto, a proposição acima pode ser simplificada 
para 
~� ∨ � 
 
Essa simplificação foi baseada na propriedade identidade � ∧ � ⟺ �. 
 
Gabarito: D 
!
05. (ANPAD 2018) 
Sejam � e � proposições lógicas simples e �(�, �) uma proposição composta a partir de p e/ou q, 
tais que [(� → �) ∧ ~(� ∧ �)] ⟷ �(�, �) é uma contradição. A proposição composta �(�, �) é 
logicamente equivalente à proposição 
a) ~� 
b) � 
c) ~� 
d) � 
e) � ∨ � 
Resolução 
A proposição [(� → �) ∧ ~(� ∧ �)] ⟷ �(�, �) é uma contradição. Como é uma composta 
bicondicional (se e somente se), então seus componentes [(� → �) ∧ ~(� ∧ �)] e �(�, �) deverão 
ter valores lógicos opostos, ou seja: 
�(�, �) ⟺ ~[(� → �) ∧ ~(� ∧ �)] 
 
Nosso objetivo agora será simplificar a proposição ~[(� → �) ∧ ~(� ∧ �)] 
Queremos negar uma proposição composta pelo conectivo “e”. vamos aplicar a Lei de DeMorgan. 
 
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~[(� → �) ∧ ~(� ∧ �)] ⟺ 
 
⟺ ~(� → �) ∨ ~~(� ∧ �) 
 
⟺ (� ∧ ~�) ∨ (� ∧ �) 
 
Vamos agora colocar � em evidência (é como usar a propriedade distributiva de trás para frente). 
 
⟺ � ∧ (� ∨ ~�) 
A proposição � ∨ ~� é uma tautologia. 
⟺ � ∧ � 
Pela propriedade identidade, a proposição acima equivale a �. 
 
⟺ � 
 
Portanto, 
�(�, �) ⟺ � 
Gabarito: B 
 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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