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Livro Eletrônico Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 Guilherme Neves 97596017029 - vanderson dutra silva Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 1 33 Intervalos Reais ....................................................................................................................................................... 3 1. Sentenças Abertas ........................................................................................................................................... 4 1.1. Conjunto Universo e Conjunto Verdade ........................................................................................................... 6 2. Operações Lógicas com Sentenças Abertas ...................................................................................................... 8 2.1. Conjunção ........................................................................................................................................................ 8 2.2. Disjunção ....................................................................................................................................................... 10 2.3. Negação ........................................................................................................................................................ 11 3. Quantificação ................................................................................................................................................ 12 Lógica de Primeira Ordem ..................................................................................................................................... 14 Quantificação ......................................................................................................................................................... 17 Dedução na Lógica de Primeira Ordem .................................................................................................................. 19 Instanciação Universal (I.U.) .......................................................................................................................... 19 Generalização Existencial (G.E.) .................................................................................................................... 20 Deduções ................................................................................................................................................................ 20 Lista de Questões de Concursos Anteriores ........................................................................................................... 24 Gabarito sem comentário ...................................................................................................................................... 26 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ............................................................................... 27 Considerações Finais ............................................................................................................................................. 33 Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 2 33 Fala, pessoal! Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! Vamos começar a nossa aula sobre Lógica de Primeira Ordem? Para tirar dúvidas e ter acesso a dicas e conteúdos gratuitos, acesse minhas redes sociais: Instagram - @profguilhermeneves https://www.instagram.com/profguilhermeneves Canal do YouTube – Prof. Guilherme Neves https://youtu.be/gqab047D9l4 E-mail: profguilhermeneves@gmail.com Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 3 33 Vamos relembrar alguns conceitos sobre intervalos numéricos. INTERVALOS REAIS Vamos considerar a e b números reais tais que 𝑎 ≤ 𝑏. Os seguintes subconjuntos definidos a seguir são chamados intervalos reais. Observações: - É comum escrever ℝ = (−∞,+∞). - Os símbolos +∞ e −∞ não representam números reais. São apenas parte da notação de intervalos ilimitados. - A bola fechada indica que o número na extremidade pertence ao intervalo. A bola aberta indica que o número na extremidade não pertence ao intervalo. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 4 33 1. SENTENÇAS ABERTAS Vimos que “proposições” são orações declarativas que podem ser classificadas em V ou F, mas não ambas. Vimos também que as sentenças abertas (ou funções proposicionais) são orações declarativas, mas que não podem ser julgadas em V ou F, porque algum (ou alguns) de seus elementos são indeterminados. Quando a sentença possui uma ou mais variáveis, nós dizemos que ela é uma sentença aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou falso. Logo, não é proposição. Exemplo: “Ele ganhou o Oscar de melhor ator em 2001”. Ora, não sabemos quem é “ele”. Portanto, não podemos classificar esta frase em V ou F. Se “ele” for Russel Crowe, então a frase é verdadeira. Se “ele” for qualquer outra pessoa que não Russel Crowe, então a frase é falsa. Como não sabemos quem é “ele”, não podemos classificar a frase e, portanto, não é considerada uma proposição. A frase acima será V ou F conforme a quem se refira o pronome “ele”. Analogamente, 𝑥 + 𝑦 = 10 é uma sentença aberta com duas variáveis. Esta sentença nem é V nem é F. Substituindo-se as variáveis por valores específicos, obtemos uma proposição que pode ser classificada em V ou F. As sentenças abertas se parecem com frases “incompletas”. ____________ ganhou o Oscar de melhor ator em 2001. Por isso tais frases com variáveis recebem o nome de sentenças abertas (há livros que empregam a nomenclatura “função proposicional” ou “função sentencial”). Uma mesma variável pode surgir várias vezes em uma sentença aberta: 𝑥0 − 5𝑥2 + 6𝑥 + 7 = 9 Em casos como esse, a substituição da variável exige o mesmo valor em todos os locais em que ela ocorre. Em outras palavras, não são permitidas substituições diferentes em diferentes ocorrências da mesma variável. Também é possível que apareçam variáveis diferentes em uma sentença aberta: Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 5 33 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧2 > 5 𝑥 é 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑦 Conforme mencionamos, sentenças abertas são satisfeitas para certos objetos. A restrição do universo de discurso pode afetar a questão de satisfatoriedade da sentença aberta. Por exemplo, 𝑥 + 2 = 0 é uma sentença aberta que não pode ser satisfeita no universo dos números naturais ℕ = {0, 1, 2, 3, … }, mas é satisfeita no universo dos números inteiros ℤ = {… ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … }. Se, por exemplo, o universo é o conjunto dos números naturais, dizemos que 𝑥 é uma variável em ℕ. Assim, 𝑥 + 3 = 9, onde 𝑥 é uma variável em ℕ é uma sentença aberta. Dependendo do valor associado a𝑥, a função proposicional pode se tornar uma proposição V ou F. Tomemos como exemplo a sentença aberta 𝑥 + 3 = 9 em que 𝑥 é uma variável em ℕ. Se 𝑥 for igual a 10, teremos uma proposição falsa. Se 𝑥 for 6, teremos uma proposição verdadeira. Uma expressão 𝑝(𝑥) é denominada uma sentença aberta em um dado conjunto quando 𝑝(𝑥) se torna uma proposição (verdadeira ou falsa) sempre que se substitui a variável 𝑥 por um elemento do dado conjunto. É importante notar que uma sentença aberta pode conter mais de uma variável. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 6 33 As equações e inequações, em Matemática, são exemplos de sentenças abertas que exprimem relações de igualdade e desigualdade, respectivamente. Entretanto, o conceito de sentença aberta é mais amplo do que equação/inequação. Por exemplo, “𝑥 é irmão de 𝑦” é uma sentença aberta e não é uma equação nem uma inequação. 1.1. CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO VERDADE Chamamos de conjunto universo (ou domínio) ou simplesmente universo o conjunto ao qual pertencem todos os possíveis elementos de uma teoria ou situação problema. O conjunto-verdade (ou conjunto-solução) de uma sentença aberta 𝑝(𝑥) de em um conjunto universo 𝑈 é o subconjunto de 𝑈 de todos os elementos 𝑎 tais que 𝑝(𝑎) é uma proposição verdadeira. Quase sempre a resposta para algumas questões depende do conjunto universo que é considerado. Por exemplo: Resolva a equação 𝑥 + 5 = 2 considerando como conjunto universo o conjunto dos números naturais. O conjunto dos números naturais é o conjunto 𝑁 = {0,1,2,3,4, … }. Ora, resolver a equação 𝑥 + 5 = 2 significa encontrar um número que somado ao número 5 resulte no número 2. Como estamos considerando como conjunto universo o conjunto dos números naturais, podemos afirmar que não existe número natural tal que 𝑥 + 5 = 2. Podemos então dizer que, considerando como conjunto universo o conjunto dos números naturais, o conjunto-verdade da sentença aberta 𝑥 + 5 = 2 é o conjunto vazio. 𝑉 = 𝜙 Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 7 33 Assim, a sentença-aberta 𝑥 + 5 = 2 é impossível em ℕ. Vejamos outro exemplo: Resolva a equação 𝑥 + 5 = 2 considerando como conjunto universo o conjunto dos números inteiros. O conjunto dos números inteiros é o conjunto ℤ = {…− 3,−2,−1 0,1,2,3, … }. Ora, resolver a equação 𝑥 + 5 = 2 significa encontrar um número que somado ao número 5 resulte no número 2. Como estamos considerando como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, podemos afirmar que a solução desta equação é o número −3. Isto porque −3 + 5 = 2. Neste caso, o conjunto-verdade é o conjunto 𝑉 = {−3}. Vejamos um exemplo bem ilustrativo. Considere os dias da semana. Quais os dias que começam pela letra Q? Neste caso, o conjunto universo é o conjunto A e o conjunto-verdade é o conjunto B. É possível também que o próprio conjunto universo seja o conjunto-verdade da sentença aberta. Tomemos como exemplo a sentença aberta 𝑥 + 10 > 1 no conjunto dos números naturais. Ora, se substituirmos a variável 𝑥 por qualquer número natural, teremos uma proposição verdadeira. Portanto, 𝑉 = ℕ Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 8 33 Considere os conjuntos 𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e 𝐵 = {4, 5, 6}. Determine o conjunto verdade da sentença aberta 𝑝(𝑥, 𝑦) dada por 𝑥 + 𝑦 > 9 em que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵. Resolução Quando escrevemos (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 queremos dizer que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵, ou seja, 𝑥 é um elemento de A e 𝑦 é um elemento de B. Os pares ordenados (𝑥, 𝑦) que satisfazem a inequação 𝑥 + 𝑦 > 9 são (4,6), (5,5) 𝑒 (5, 6). Portanto, o conjunto-verdade da sentença aberta é 𝑉 = {(4,6), (5,5), (5,6). 2. OPERAÇÕES LÓGICAS COM SENTENÇAS ABERTAS Vamos considerar duas sentenças abertas 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥). A partir dessas sentenças abertas, vamos construir outras sentenças abertas utilizando os operadores lógicos. Sabemos que sentenças abertas não são proposições e, portanto, não podem ser classificadas em V ou F. Ora, se não podemos classificar as sentenças em V ou F, como poderemos realizar operações lógicas (conjunção, disjunção, negação, ...)? O que queremos, na verdade, é construir uma nova sentença aberta e então determinar o seu conjunto-verdade. Vejamos. 2.1. CONJUNÇÃO Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) duas sentenças abertas em um conjunto A. É possível construir uma sentença aberta composta pelas sentenças abertas utilizando o operador lógico da conjunção “e”, cujo símbolo é ∧. Dizemos que a conjunção 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞(𝑥) é verdadeira para um elemento 𝑎 ∈ 𝐴 se esse elemento 𝑎 satisfaz simultaneamente as sentenças abertas 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥). Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 9 33 O conjunto verdade de 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞(𝑥) é dado pela interseção dos conjuntos-verdade das sentenças abertas 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥). 𝑉S∧T = 𝑉S ∩ 𝑉T Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) sentenças abertas em ℤ dadas por 𝑝(𝑥): 𝑥2 − 9 = 0 𝑞(𝑥): 𝑥 > 0 Determine o conjunto verdade de 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞(𝑥). Resolução O conjunto-verdade da sentença aberta 𝑝(𝑥) é {3, −3}, pois 32 − 9 = 0 (−3)2 − 9 = 0 Assim, 𝑉S = {3, −3} O conjunto-verdade de 𝑞(𝑥) é formado por todos os números inteiros (pois esse é o conjunto universo) positivos (pois 𝑥 > 0). Assim, o conjunto-verdade da sentença aberta 𝑞(𝑥) é 𝑉T = {1, 2, 3, 4, 5, … } O conjunto-verdade da sentença aberta 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞(𝑥) é dado pela interseção dos conjuntos 𝑉S e 𝑉T. 𝑉S∧T = 𝑉S ∩ 𝑉T 𝑉S∧T = {3, −3} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, … } 𝑉S∧T = {3} O número 3 é o único número inteiro que satisfaz simultaneamente as duas sentenças abertas. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 10 33 2.2. DISJUNÇÃO Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) duas sentenças abertas em um conjunto A. É possível construir uma sentença aberta composta pelas sentenças abertas utilizando o operador lógico da disjunção “ou”, cujo símbolo é ∨. Dizemos que a disjunção 𝑝(𝑥) ∨ 𝑞(𝑥) é verdadeira para um elemento 𝑎 ∈ 𝐴 se esse elemento 𝑎 satisfaz pelo menos uma das sentenças abertas 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥). Assim, o conjunto verdade de 𝑝(𝑥) ∨ 𝑞(𝑥) é dado pela união dos conjuntos-verdade das sentenças abertas 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥). 𝑉S∧T = 𝑉S ∪ 𝑉T Sejam 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) sentenças abertas em ℕ dadas por 𝑝(𝑥): 𝑥2 − 9 = 0 𝑞(𝑥): 2𝑥 − 8 > 0 Determine o conjunto verdade de 𝑝(𝑥) ∨ 𝑞(𝑥). Resolução Observe que o conjunto universo de cada sentença aberta é o conjunto dos números naturais. Assim, apesar de os números −3 e 3 satisfazerem a sentença aberta 𝑝(𝑥), seu conjunto verdadeé dado por: 𝑉S = {3} Vamos manipular algebricamente a sentença aberta 𝑞(𝑥). 2𝑥 − 8 > 0 2𝑥 > 8 𝑥 > 4 Assim, o conjunto-verdade de 𝑞(𝑥) é formado por todos os números inteiros maiores do que 4. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 11 33 𝑉T = {5, 6, 7, 8, 9, … } O conjunto-verdade da sentença aberta 𝑝(𝑥) ∨ 𝑞(𝑥) é dado pela união dos conjuntos 𝑉S e 𝑉T. 𝑉S∨T = 𝑉S ∪ 𝑉T 𝑉S∨T = {3} ∪ {5, 6, 7, 8, 9, … } 𝑉S∨T = {3, 5, 6, 7, 8, 9, … } 2.3. NEGAÇÃO Seja 𝑝(𝑥) uma sentença aberta em um conjunto A. É possível construir uma sentença aberta utilizando o operador lógico da negação, cujo símbolo é ~ ou ¬. Dizemos que ~𝑝(𝑥) é verdadeira para um elemento 𝑎 ∈ 𝐴 se esse elemento 𝑎 não satisfaz a sentença aberta 𝑝(𝑥). O conjunto solução de ~𝑝(𝑥) é dado pelo complementar do conjunto-verdade 𝑉S em relação ao universo A. 𝑉~S = 𝐴 − 𝑉S Seja 𝑝(𝑥) uma sentença aberta em ℕ dada por 𝑝(𝑥): 3𝑥 − 9 ≥ 0 Determine o conjunto solução de ~𝑝(𝑥). Resolução Vamos desenvolver a inequação. 3𝑥 − 9 ≥ 0 3𝑥 ≥ 9 Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 12 33 𝑥 ≥ 3 Assim, o conjunto solução de 𝑝(𝑥) é formado por todos os números naturais maiores do que ou iguais a 3. 𝑉S = {3, 4, 5, 6, 7, … } O conjunto-solução de ~𝑝(𝑥) é dado pelo complementar de 𝑉S em relação a ℕ. 𝑉~S = ℕ − 𝑉S 𝑉~S = ℕ − {3, 4, 5, 6, 7, … } 𝑉~S = {0, 1, 2} Outra forma de encontrar esse conjunto-verdade seria obter a expressão que define a sentença- aberta ~𝑝(𝑥). Ora, como 𝑝(𝑥) é definida por 3𝑥 − 9 ≥ 0, então ~𝑝(𝑥) é definida por: 3𝑥 − 9 < 0 Desenvolvendo a inequação acima, temos: 3𝑥 < 9 𝑥 < 3 Assim, o conjunto solução de ~𝑝(𝑥) é dado pelos números naturais que são menores do que 3. 𝑉~S = {0, 1, 2} 3. QUANTIFICAÇÃO Vimos que sentenças abertas não são proposições e que atribuir valores à variável é uma forma de torná-la uma proposição. Há outra maneira de tornar uma sentença aberta em proposição: utilizar quantificadores. Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum, todo, cada, pelo menos um, nenhum. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 13 33 Note que os dicionários, de modo geral, não registram “quantificador”. Esse termo, no entanto, é de uso comum na Lógica. Frases como “todo homem é mortal”, “alguns animais são peixes”, “existe pelo menos um estudante esforçado” envolvem expressões que indicam quantidade. Tomemos como exemplo a sentença aberta 𝑥 foi presidente do Brasil. Se substituirmos 𝑥 por Neymar, teremos uma proposição falsa. 𝑁𝑒𝑦𝑚𝑎𝑟 foi presidente do Brasil. Entretanto, podemos utilizar quantificadores para transformar a sentença aberta em proposição. Observe: Nenhuma pessoa foi presidente do Brasil. A proposição geral “Nenhuma pessoa foi presidente do Brasil” difere das proposições singulares pelo fato de não conter nomes de indivíduos específicos. Tomemos como exemplo o conjunto 𝐴 = {5, 6, 7, 9, 11}. Podemos dizer que: - Todo elemento de A é um número natural. - Existe elemento de A que é um número primo. - Existe um único elemento de A que é par. - Nenhum elemento de A é um múltiplo de 10. Utilizamos símbolos especiais para representar as expressões acima. Basicamente, há dois tipos de quantificadores: universal e particular (ou existencial). • Quantificador Universal: símbolo ∀ (lê-se “qualquer que seja”, “para todo”) • Quantificador Particular: símbolo ∃ (lê-se “existe”, “existe algum”, “existe pelo menos um”...). Para negar que existe, utilizamos o símbolo ∄, que se lê “não existe”. Se queremos dizer que “existe um único”, utilizamos o símbolo ∃|. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 14 33 Vamos agora representar com símbolos as proposições acima acerca do conjunto A. ∀𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑥 ∈ ℕ - ∃𝑥 ∈ 𝐴 |𝑥 é primo - ∃| 𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑥 é par. - ∄𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑥 é múltiplo de 10. É comum também que o conjunto universo seja omitido. - (∀𝑥)(𝑥 é 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙) - (∃𝑥)(𝑥 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜) - (∃| 𝑥)(𝑥 é 𝑝𝑎𝑟) - (∄𝑥)(𝑥 é 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 10) Em suma, quantificadores são utilizados para transformar sentenças abertas em proposições. LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM Nas aulas anteriores desenvolveu-se uma lógica dos conectivos. A notação empregada consistiu de certos símbolos, parêntese e letras isoladas, que representavam enunciados. Não é difícil perceber que um aparato como esse é insuficiente para fazer, até mesmo, certas distinções elementares: não há recursos para simbolizar verbos, pronomes, etc. É claro que não nos comprometemos a desenvolver uma lógica adequada a todas as sutilezas da linguagem corrente. De forma alguma! Mas é desejável dispor de aparelhamento para exprimir um dado conjunto sistemático de fatos. Com tal objetivo, penetraremos agora um pouco mais fundamente na estrutura das frases. Consideraremos as variáveis simplesmente como letra (x, y, ...) cuja função gramatical é análoga à dos pronomes e nomes (substantivos comuns), na linguagem cotidiana. Assim, a frase Tudo é quadrado ou não é quadrado. é equivalente a Para todo x, x é quadrado ou não é quadrado. O uso de “x” corresponde ao de “coisa” (tudo=toda coisa). A variável “x” não tem particular significação e se poderia usar “y”, “z”, etc., no lugar de “x”. Serão empregadas letras “a”, “b”, ... para representar os nomes próprios. Pondo, por exemplo, a = Adão, pode-se traduzir “Adão foi o primeiro homem” por “a foi o primeiro homem”. Convém salientar que descrições definidas como “o primeiro homem”, “o rei da Inglaterra”, “o homem Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva ==160f21== Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 15 33 mais rico do mundo”, e outras análogas, funcionam como nomes próprios e podem também ser representadas pelas letras “a”, “b”,... Assim, o exemplo dado se traduziria, pondo b=primeiro homem, simplesmente por “a é b”, ou ainda a=b notando que “é” funciona aqui como identidade. Nomes próprios e descrições definidas são chamadas constantes. Assim, “Sócrates”, “o autor de Hamlet”, etc., são constantes. Variáveis e constantes constituem o que se chama de termos. Empregaremos letras maiúsculas para os predicados. Para simbolizar, por exemplo, “feliz” em “Artur é feliz”, usaremos “F”, de modo que a frase se põe na forma “Fa”. Frases em que o mesmo predicado se aplique serão simbolicamente representadas de modo análogo. Assim, “Guilherme é feliz”, “Manuella é feliz”, “Bernardo é feliz”, se põem na forma “Fg”, “Fm”, “Fb” e assim por diante, empregandoletras minúsculas para denotar os indivíduos aos quais o predicado se aplica. Ao lado dos predicados “simples”, chamados monádicos (de um lugar), que se aplicam a um indivíduo, há também predicados diádicos, triádicos, etc. Assim, para exemplificar, quando diz “Platão foi amigo de Sócrates”, estabeleceu-se uma relação entre os dois indivíduos. Não se poderia considerar o predicado “é amigo”, representá-lo por “A” e escrever “Ap.As” (ou seja, Platão é amigo e Sócrates é amigo). O predicado “A” exige que o empreguemos com dois indivíduos, escrevendo-se “Ap.s”, para simbolizar o exemplo considerado. Quando se diz, por outro lado, “Eduarda é bonita e alegre”, tem-se um predicado composto. Com letras adequadas se escreveria “Be.Ae”. Mas também se pode preferir (dependendo do contexto) esta abreviação. Pe Onde “P” está no lugar de “é bonita e alegre”. Qual das maneiras se vai usar é, afinal, ditada pelo contexto. Examinando a formulação simbólica de várias proposições singulares com o mesmo predicado, nota-se que apresentam um padrão semelhante. Assim, “Guilherme é bom”, “João é bom”, “Antonio é bom”, ... se formulam como “Bg”, “Bj”, Ba”,..., isto é, com o símbolo “B” seguido de uma constante. Empregaremos a expressão “Bx” para simbolizar o padrão comum aos vários enunciados particulares, que afirmam que indivíduos particulares têm a propriedade de serem bons. A variável “x” é simplesmente um marcador de lugar, que se presta a indicar o local que uma constante deve ser colocada, para que resulte um enunciado particular. Podemos utilizar esta linguagem ainda em sentenças abertas. Por exemplo, “Se ele é bom, então ele é honesto”, pode ser representado por 𝐵𝑥 → 𝐻𝑥, usando as letras convenientes para os predicados. Lembrando o que foi dito em aulas passadas: as sentenças abertas não são nem V nem F. Ao substituir nas sentenças abertas as variáveis por nomes, obtém-se uma instanciação da sentença aberta, um enunciado que é V ou F. Este processo de instanciação (ou especificação) consiste, pois, Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 16 33 na substituição das variáveis de um aberto por constantes. Variáveis iguais são substituídas por nomes iguais nesse processo de instanciação. Uma sentença aberta como “Pxy”, digamos “x gosta de y”, dá origem a variantes que precisam ser coerentemente usadas com o significado de “P”. Assim, Pby significa b gosta de y. Pxb significa x gosta de b. Pyx significa y gosta de x. Pxx significa x gosta de x. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 17 33 QUANTIFICAÇÃO Enunciados como “tudo é quadrado”, “alguns homens são ilustres”, “existe pelo menos um homem que é careca”, envolvem expressões que indicam, de modo óbvio, quantidade. O estudo de tais expressões, chamadas quantificadores, contribui para melhor compreensão do discurso. Acabamos de falar que ao substituir uma variável por uma constante, transformamos a sentença aberta em proposição. Todavia, não é só com substituição que os abertos levam a proposições. Os quantificadores também se prestam para tanto. Por exemplo, da sentença aberta (ou aberto) “x é sábio” obtemos a proposição “Existe x tal que x é sábio”, cujo significado é idêntico ao da frase mais familiar “Existe pessoa sábia”. Do mesmo modo, a partir da sentença aberta dada, obtém-se um enunciado antepondo “para todo x”. “Para todo x, x é sábio”, cujo significado, em palavras mais usuais, seria “Todos são sábios”. As proposições gerais como “Tudo é mortal” e “Algo é mortal”, diferem das proposições singulares pelo fato de não conter nomes de nenhum indivíduo particular. Como se observou agora, elas podem, entretanto, ser consideradas como oriundas de sentenças abertas, por esse processo de quantificação. Assim, “tudo é mortal” se exprime como: Dada qualquer coisa do universo, ela é mortal. Dado qualquer x do universo, x é mortal. Representando “x é mortal” por Mx e abreviando “dado qualquer x do universo” por ∀𝑥, ∀(𝑀𝑥) O símbolo ∀ significa “todo”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc. (quantificador universal). De modo análogo, “Algo é mortal” se põe, usando agora ∃𝑥 para simbolizar “Existe um x tal que”, nas formas: Existe pelo menos uma coisa que é mortal. Existe um x tal que x é mortal. Existe um x tal que Mx. ∃𝑥(𝑀𝑥) Quantificação universal e existencial estão intimamente ligadas, quando ao significado, através da negação (lembra das fórmulas de negação de proposições quantificadas?). Se escrevemos “Px” para significar que x é um P, então (∃𝑥)𝑃𝑥 pode ser interpretado como “existe P”. Em consequência, a negação ~(∃𝑥)𝑃𝑥 significa “P não existe” ou “não há P”. Mas dizer que não há P é o mesmo que dizer que tudo vem a ser não P. Assim, são equivalentes as expressões: ~(∃𝑥)𝑃𝑥 ⟺ (∀𝑥)~𝑃𝑥 Em aulas anteriores vimos que para negar a proposição particular afirmativa, devemos substituir por uma universal negativa. Por outro lado, uma vez que (∀𝑥)𝑃𝑥 pode ser lido como “tudo é P”, segue-se que sua negação ~(∀𝑥)𝑃𝑥 significa “nem tudo é P”, “existe não P”, ou seja, (∃𝑥)~𝑃𝑥. Resulta que a combinação de sinais ~(∃𝑥) tem o mesmo efeito que (∀𝑥)~, o que mostra que um dos quantificadores é dispensável. Todavia, empregam-se os dois por questão de comodidade. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 18 33 Exemplificando, eis dois enunciados quantificados verdadeiros para os universos indicados. Convém observar que uma expressão simbólica (∀𝑥)(𝑃𝑥 → 𝑄𝑥) pode ser usada não só uma frase particular como “Todos os homens são sábios”, mas para representar toda uma “família” de frases do mesmo tipo “Todo A é B”. (Senado Federal 2002/CESPE-UnB) A fórmula ~∀𝒙p𝑨(𝒙) → 𝑩(𝒙)s é equivalente ∃𝒙p𝑨(𝒙) ∧ ~𝑩(𝒙)s. Resolução Estamos querendo negar uma sentença que utiliza o quantificador universal ∀𝑥. O primeiro passo é trocá- lo pelo quantificador existencial ∃𝑥. O segundo passo é negar o resto da frase. Ora, como negamos o condicional 𝐴(𝑥) → 𝐵(𝑥)? Devemos afirmar o primeiro, negar o segundo e colocar o conectivo “e”. Assim, ficamos com ∃𝑥p𝐴(𝑥) ∧ ~𝐵(𝑥)s. O item está certo. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 19 33 DEDUÇÃO NA LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM Vamos fazer um estudo relativamente minucioso das deduções no cálculo monádico de predicados, citando alguns dos mais importantes teoremas desse cálculo. Vamos ampliar as noções já conhecidas. Diremos que um argumento é uma coleção de K+1 fórmulas, sendo K premissas e 1 conclusão. O argumento será simbólico ou da língua portuguesa, de acordo com o tipo de fórmulas presentes. Dado um argumento no português, uma simbolização desse argumento (com base em certo esquema abreviador) é um argumento simbólico, em que as premissas e a conclusão são as simbolizações (com base no esquema dado) das premissas e da conclusão do argumento no português. A fim de validar um argumento teremos, como no casoda lógica proposicional, que deduzir a conclusão das premissas. Essa dedução tem o mesmo caráter que a dedução já comentada. A diferença reside no fato de que agora teremos fórmula (no lugar de sentenças) e novas regras, especialmente introduzidas para dar conta da presença dos quantificadores (que poderiam ser facilmente resolvidas com a utilização dos diagramas de Venn). Vamos começar nossa análise falando das novas regras. INSTANCIAÇÃO UNIVERSAL (I.U.) A regra I.U. é de um conteúdo intuitivo facilmente compreensível. Diz, nada mais, que “se todos os objetos têm uma propriedade, um objeto particular também tem essa propriedade”. Poderíamos também dizer que “o que é verdade para tudo é verdade também para qualquer coisa particular”. Lendo, por exemplo, “G” como “x é bom”, a regra diz que “se tudo é bom, este objeto y é bom”. O argumento seguinte tem suas conclusões obtidas por I.U.: Se ∀𝑥𝐺𝑥, então 𝐺𝑦. (Se todo x é tal que x é bom, então y é bom). Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 20 33 GENERALIZAÇÃO EXISTENCIAL (G.E.) Essa regra afirma que se um objeto x tem a propriedade G, então há pelo menos um objeto com a propriedade G (lógico, não?). Em geral, o que é verdadeiro para um dado objeto é verdadeiro para pelo menos um objeto. Os argumentos seguintes têm suas conclusões obtidas por G.E. 𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑥, logo ∃𝑦(𝐹𝑦 ∧ 𝐺𝑦) 𝐺𝑥 → 𝐹𝑥, logo ∃𝑦(𝐺𝑦 → 𝐹𝑦) DEDUÇÕES Para deduzir uma conclusão de certas premissas dadas, teremos que proceder de maneira análoga àquela adotada no cálculo sentencial (proposicional). As variações são pequenas, comentadas apenas para dar conta das novidades que a nossa nova linguagem introduziu. Em síntese, eis agora o que chamaremos de dedução: uma sequência de fórmulas 𝜑w, 𝜑2, … , 𝜑x Onde cada 𝜑y é uma premissa. Um argumento simbólico é válido, se pudermos deduzir a sua conclusão, partindo de premissas oferecidas. As deduções – seguindo à risca as instruções agora dadas – podem ser abreviadas com algumas considerações semelhantes àquelas que já fizemos ao tratar do cálculo sentencial. Vamos autorizar, neste ponto, uma abreviação: chamaremos de instanciação de uma tautologia sentencial a qualquer fórmula simbólica obtida dessa tautologia por substituição uniforme das letras sentenciais por fórmulas (simbólicas). Exemplo: Considere a tautologia (𝑃 ∧ 𝑄) ⟷ ~(𝑃 → ~𝑄). Aconselho que agora você construa a tabela verdade dessa proposição e verifique que, de fato, é uma tautologia. Pois bem, quaisquer expressões como (𝐹𝑥 ∧ 𝐺𝑦) ⟷ ~(𝐹𝑥 → ~𝐺𝑦) serão instanciações de (𝑃 ∧ 𝑄) ⟷ ~(𝑃 → ~𝑄). Ao invés de incluir na dedução todos os passos que constituem a demonstração da instanciação empregada, nós abreviaremos o processo indicando a tautologia indicada e a substituição feita (se não for óbvia). Vamos fazer uma dedução. A partir das premissas: ∀𝑥(𝑃𝑥 → ~𝐷𝑥) ∀𝑥(𝐸𝑥 → 𝐷𝑥) Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 21 33 ∀𝑥(𝐴𝑥 → 𝑃𝑥) Vamos concluir que ∀𝑥(𝑃𝑥 → ~𝐸𝑥) Por I.U., temos: 𝑃𝑦 → ~𝐷𝑦 𝐸𝑦 → 𝐷𝑦 𝐴𝑦 → 𝑃𝑦 Se colocarmos Py como verdade... 𝑃𝑦~ � → ~𝐷𝑦 Como não podemos ter VF no condicional, então ~Dy será verdade. Portanto, Dy será falso. Como Dy é falso, então Ey também será falso. Assim, se Py for verdade, então Ey será falso. Ou seja, 𝑃𝑦 → ~𝐸𝑦 Assim, por generalização universal, concluímos que ∀𝑥(𝑃𝑥 → ~𝐸𝑥). Como assim generalização universal? Ora, nós escolhemos um y arbitrário e conseguimos demonstrar. Assim, para qualquer outro y escolhido também conseguiríamos. Um exemplo clássico de generalização universal (para você se convencer da validade desta regra). Quando seu professor no Ensino Médio foi provar que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a 180º, ele escolheu um triângulo qualquer (justamente o que ele desenhou) e provou que a soma dos ângulos DAQUELE triângulo era 180º. Daí por diante, você passou a aceitar que a soma dos ângulos de QUALQUER triângulo também seria 180º. Naquele momento seu professor utilizou generalização universal (mesmo que ele nem soubesse do que se tratava..rss). Professor, que viagem. Estou odiando estes símbolos!! Calma, veja que coisa boa. Você pode fazer várias deduções da lógica de primeira ordem simplesmente utilizando diagramas de Venn. Frases do tipo 𝐴 → 𝐵 são representadas como “Todo A é B”. Vamos fazer novamente a dedução? ∀𝑥(𝑃𝑥 → ~𝐷𝑥) ∀𝑥(𝐸𝑥 → 𝐷𝑥) ∀𝑥(𝐴𝑥 → 𝑃𝑥) A primeira frase ∀𝑥(𝑃𝑥 → ~𝐷𝑥) é lida como Todo P não é D, ou seja, Nenhum P é D. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 22 33 A segunda frase pode ser entendida como Todo E é D. A terceira frase pode ser entendida como Todo A é P. E a nossa conclusão, qual é? ∀𝑥(𝑃𝑥 → ~𝐸𝑥) Que significa Todo P não é E. Esta conclusão é demais óbvia (olhando o diagrama). Portanto, o argumento é válido. Observe que com a construção do diagrama, poderíamos ter feito outras conclusões de forma que o argumento fosse igualmente válido. Por exemplo: Todo P não é E. Todo A não é E. Todo A não é D. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 23 33 Todo E não é P. E assim por diante. Podemos criar uma tabela relacionando as frases mais comuns da lógica de primeira ordem com as respectivas proposições categóricas (para a construção do diagrama de Venn. Proposição categórica Representação Simbólica Todo A é B ∀𝑥(𝐴𝑥 → 𝐵𝑥) Algum A é B ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥) Nenhum A é B ~∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ 𝐵𝑥) ou ∀𝑥(𝐴𝑥 → ~𝐵𝑥) Algum A não é B ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ ~𝐵𝑥) Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 24 33 LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 01. (ESAF 2010/SMF-RJ) Considere x um número real. A negação da proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é: a) –1 < x ≤ 2/3. b) –1 ≤ x < 2/3. c) x ≤ –1 e x > 5/3. d) x ≤ –1 ou x > 5/3. e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3. 02. (ANPAD 2018) Para 𝑥 ∈ 𝑈 = [0,7[⊂ 𝑅, considere definidas as sentenças abertas 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥), cujos conjuntos- verdade são, respectivamente, os intervalos ]1,3] e ]2,4[. O conjunto-verdade da sentença ~(𝐹 ∨ 𝐺)(𝑥) é: a) [0,1] ∪ [3,7[ b) [0,1] ∪ [4,7[ c) [0,2] ∪ [4,7[ d) ] − ∞, 0[∪ [7, +∞[ e) ]1,4[ Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 25 33 03. (ANPAD 2018) Dada uma proposição P, definimos o valor lógico de 𝑃 por[𝑃] = 0, se 𝑃 for falsa, e [𝑃] = 1, se 𝑃 for verdadeira. Considere as seguintes sentenças abertas definidas no conjunto dos números inteiros: 𝑃y(𝑥): 𝑥 ≤ 5 𝑃yy(𝑥): 𝑥 ≥ 3 𝑃yyy(𝑥): 𝑥 é í𝑚𝑝𝑎𝑟. 𝑃y�(𝑥): 𝑥 ≥ 6 A equação 𝑥 = [𝑃y(𝑥)] + 2 ∙ [𝑃yy(𝑥)] + 3 ∙ [𝑃yyy(𝑥)] + 4 ∙ [𝑃y�(𝑥)] tem quantas soluções? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 04. (ANPAD 2018) Considere a seguinte proposição: Dado um número inteiro qualquer, tem-se que, se ele é ímpar, então o seu quadrado também é um número ímpar.” Sobre o conjunto dos números inteiros (𝑛 ∈ ℤ), considere a sentença 𝑃(𝑛) definida por: 𝑃(𝑛): 𝑛 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟. A proposição apresentada inicialmente pode ser corretamente reescrita de forma simbólica por: 𝑎) ∃𝑛, [𝑃(𝑛) → 𝑃(𝑛2)]. 𝑏) ∀𝑛, [𝑃(𝑛) → 𝑃(𝑛2)] 𝑐) ∄𝑛, [𝑃(𝑛2) → 𝑃(𝑛)] 𝑑) ∃𝑛, �p~𝑃(𝑛)s → (~𝑃(𝑛2))� 𝑒) ∀𝑛, [(~𝑃(𝑛)) → (~𝑃(𝑛2)] Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 26 33 GABARITO SEM COMENTÁRIO 01. D 02. B 03. C 04. E Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 27 33 LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 01. (ESAF 2010/SMF-RJ) Considere x um número real. A negação da proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é: a) –1 < x ≤ 2/3. b) –1 ≤ x < 2/3. c) x ≤ –1 e x > 5/3. d) x ≤ –1 ou x > 5/3. e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3. Resolução Houve um abuso de linguagem da banca ao falar “proposição”. Temos, na verdade, uma sentença aberta. A sentença aberta 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 representa a união de dois intervalos. Sempre que tivermos conectivo “ou” envolvendo conjuntos, devemos pensar em UNIÃO. Se tivermos conectivo “e”, devemos pensar em interseção. Outra dica: quando temos o símbolo de ≤ 𝑜𝑢 ≥, o intervalo é fechado, ou seja, inclui as extremidades. Quando temos símbolo de < ou >, o intervalo é aberto, ou seja, exclui as extremidades. O primeiro intervalo começa em 2/3 e vai até 5/3. O outro intervalo começa em -1 e vai até 1. Observe que o número 1 está entre 2/3 e 5/3. Assim, podemos unir os dois intervalos em um só: o intervalo que começa em -1 (sem incluir -1, porque o intervalo é aberto) e que vai até 5/3 (incluindo 5/3, porque o intervalo é fechado). Assim, a sentença aberta do enunciado (2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1) é equivalente a −1 < 𝑥 ≤ 5/3, ou seja, 𝑥 > −1 𝑒 𝑥 ≤ 5/3. Escrevemos a proposição do enunciado de uma maneira mais simples, só isso. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 28 33 Queremos negar esta sentença aberta, ou seja, queremos negar 𝑥 > −1 𝑒 𝑥 ≤ 5/3. Para tanto, vamos negar os dois componentes e trocar o conectivo “e” pelo conectivo “ou”. A negação pedida é 𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑥 > 5/3. Poderíamos pensar de outra forma: negar a sentença aberta acima é a mesma que calcular o “complementar” do intervalo dado, ou seja, dizer quais são os pontos que não pertencem àquele intervalo. Gabarito: D 02. (ANPAD 2018) Para 𝑥 ∈ 𝑈 = [0,7[⊂ 𝑅, considere definidas as sentenças abertas 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥), cujos conjuntos- verdade são, respectivamente, os intervalos ]1,3] e ]2,4[. O conjunto-verdade da sentença ~(𝐹 ∨ 𝐺)(𝑥) é: a) [0,1] ∪ [3,7[ b) [0,1] ∪ [4,7[ c) [0,2] ∪ [4,7[ d) ] − ∞, 0[∪ [7, +∞[ e) ]1,4[ Resolução O conjunto universo é o intervalo real [0,7[. O conectivo “ou” corresponde à operação de união. Assim, a sentença (𝐹 ∨ 𝐺)(𝑥) corresponde à reunião dos intervalos ]1,3] e ]2,4[. Na figura a seguir, o intervalo ]1,3] está representado pela cor azul, o intervalo ]2,4[ está representado pela cor vermelha e a reunião deles está sobre a reta real representado pela cor verde. Lembre-se que colchete fechado inclui o extremo do intervalo e colchete para fora (aberto) exclui o extremo do intervalo. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 29 33 Portanto, ]1,3] ∪ 2,4[=]1.4[ Queremos calcular ~(𝐹 ∨ 𝐺)(𝑥). A negação corresponde ao complementar de um conjunto em relação ao universo. Queremos saber, portanto, o que falta ao intervalo verde ]1,4[ para ser igual ao universo [0,7[. Devemos, portanto, calcular a diferença entre os intervalos [0,7[ e ]1,4[. Na figura a seguir, o conjunto universo [0,7[ está representado pelo segmento azul. O intervalo ]1,4[ está representado pelo segmento vermelho. A diferença entre eles é o segmento verde, que está sobre a reta real. Assim, a sentença ~(𝐹 ∨ 𝐺)(𝑥) corresponde à reunião dos dois segmentos verdes. [0,1] ∪ [4,7[ Gabarito: B Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva www.rateioninja.org Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 30 33 03. (ANPAD 2018) Dada uma proposição P, definimos o valor lógico de 𝑃 por [𝑃] = 0, se 𝑃 for falsa, e [𝑃] = 1, se 𝑃 for verdadeira. Considere as seguintes sentenças abertas definidas no conjunto dos números inteiros: 𝑃y(𝑥): 𝑥 ≤ 5 𝑃yy(𝑥): 𝑥 ≥ 3 𝑃yyy(𝑥): 𝑥 é í𝑚𝑝𝑎𝑟. 𝑃y�(𝑥): 𝑥 ≥ 6 A equação 𝑥 = [𝑃y(𝑥)] + 2 ∙ [𝑃yy(𝑥)] + 3 ∙ [𝑃yyy(𝑥)] + 4 ∙ [𝑃y�(𝑥)] tem quantas soluções? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resolução O menor valor da expressão [𝑃y(𝑥)] + 2 ∙ [𝑃yy(𝑥)] + 3 ∙ [𝑃yyy(𝑥)] + 4 ∙ [𝑃y�(𝑥)] ocorre quando todas as sentenças são falsas e o maior valor ocorre quando todas as sentenças são verdadeiras. Assim, o menor valor possível é: 0 + 2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 0 O maior valor possível é: 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 + 4 ∙ 1 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Assim, vamos testar os valores de 𝑥 de 0 a 10. Vamos calcular os valores lógicos de cada uma das sentenças abertas 𝑃y(𝑥), 𝑃yy(𝑥), 𝑃yyy(𝑥) e 𝑃y�(𝑥) para cada valor de x de 0 a 10 e, em seguida, vamos calcular o valor da expressão 𝐸(𝑥) = [𝑃y(𝑥)] + 2 ∙ [𝑃yy(𝑥)] + 3 ∙ [𝑃yyy(𝑥)] + 4 ∙ [𝑃y�(𝑥)]. Observe que: [𝑃y(𝑥)] = 1 se o número for menor do que ou igual a 5. Caso contrário, [𝑃y(𝑥)] = 0. Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 31 33 [𝑃yy(𝑥)] = 1 se o número for maior do que ou igual a 3. Caso contrário, [𝑃yy(𝑥)] = 0. [𝑃yyy(𝑥)] = 1 se o número for ímpar. Caso contrário, [𝑃yyy(𝑥)] = 0. [𝑃y�(𝑥)] = 1 se o número for maior do que ou igual a 6. Caso contrário, [𝑃y�(𝑥)] = 0. 𝒙 𝑷𝒊(𝒙) 𝑷𝒊𝒊(𝒙) 𝑷𝒊𝒊𝒊(𝒙) 𝑷𝒊𝒗(𝒙) [𝑷𝒊(𝒙)] + 𝟐 ∙ [𝑷𝒊𝒊(𝒙)] + 𝟑 ∙ [𝑷𝒊𝒊𝒊(𝒙)] + 𝟒 ∙ [𝑷𝒊𝒗(𝒙)] 0 1 0 0 0 1 + 2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 1 1 1 0 1 0 1 + 2 ∙ 0 + 3 ∙ 1 + 4 ∙ 0 = 4 2 1 0 0 0 1 + 2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 1 3 1 1 1 0 1 + 2 ∙ 1 +3 ∙ 1 + 4 ∙ 0 = 6 4 1 1 0 0 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 0 = 3 5 1 1 1 0 1 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 + 4 ∙ 0 = 6 6 0 1 0 1 0 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 1 = 6 7 0 1 1 1 0 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 + 4 ∙ 1 = 9 8 0 1 0 1 0 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 1 = 6 9 0 1 1 1 0 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 + 4 ∙ 1 = 9 10 0 1 0 1 0 + 2 ∙ 1 + 3 ∙ 0 + 4 ∙ 1 = 6 Observe que a primeira coluna 𝑥 só coincidiu com a última coluna [𝑃y(𝑥)] + 2 ∙ [𝑃yy(𝑥)] + 3 ∙ [𝑃yyy(𝑥)] + 4 ∙ [𝑃y�(𝑥)] para 𝑥 = 6 e 𝑥 = 9. Portanto, a equação possui apenas duas soluções. Gabarito: C 04. (ANPAD 2018) Considere a seguinte proposição: Dado um número inteiro qualquer, tem-se que, se ele é ímpar, então o seu quadrado também é um número ímpar.” Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva www.rateioninja.org Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 32 33 Sobre o conjunto dos números inteiros (𝑛 ∈ ℤ), considere a sentença 𝑃(𝑛) definida por: 𝑃(𝑛): 𝑛 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟. A proposição apresentada inicialmente pode ser corretamente reescrita de forma simbólica por: 𝑎) ∃𝑛, [𝑃(𝑛) → 𝑃(𝑛2)]. 𝑏) ∀𝑛, [𝑃(𝑛) → 𝑃(𝑛2)] 𝑐) ∄𝑛, [𝑃(𝑛2) → 𝑃(𝑛)] 𝑑) ∃𝑛, �p~𝑃(𝑛)s → (~𝑃(𝑛2))� 𝑒) ∀𝑛, [(~𝑃(𝑛)) → (~𝑃(𝑛2)] Resolução Como estamos trabalhando sobre o universo dos números inteiros, a negação de ser um número par corresponde a ser um número ímpar (isso não seria verdade, por exemplo, no âmbito dos números reais). Lembre-se que ∃ corresponde ao quantificador particular afirmativo (existe, algum...), ∄ corresponde a “não existe” e ∀ corresponde ao quantificador universal afirmativo (para todo). A proposição dada é: Dado um número inteiro qualquer, tem-se que, se ele é ímpar, então o seu quadrado também é um número ímpar.” A parte inicial “dado um número inteiro qualquer” pode ser representada por ∀𝑛. Não precisamos especificar que é inteiro, pois já foi dado no comando da questão que 𝑛 é inteiro. Caso contrário, deveríamos escrever ∀𝑛 ∈ ℤ. Vamos agora representar o condicional: “se o número é ímpar, então o seu quadrado também é ímpar. Isso pode ser reescrito como “Se 𝑛 não é par, então 𝑛2 não é par”. Assim, em símbolos, o condicional fica ~𝑃(𝑛) → ~𝑃(𝑛2). Juntando, tudo, ficamos com: ∀𝑛, [(~𝑃(𝑛)) → (~𝑃(𝑛2)]. Gabarito: E Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva Prof. Guilherme Neves Aula 00 Matemática Financeira para Liquigás www.estrategiaconcursos.com.br 33 33 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no nosso fórum de dúvidas. Você também pode nos encontrar no instagram @profguilhermeneves e @profbrunnolima ou entrar em contato diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. Um forte abraço e até a próxima aula!!! Guilherme Neves Guilherme Neves Aula 04 Raciocínio Quantitativo p/ Teste Preparatório ANPAD (Orientação Acadêmica) - Março/2020 www.estrategiaconcursos.com.br 1445665 97596017029 - vanderson dutra silva www.rateioninja.org
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