circuitos_trifasicos

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO 
FACULDADE DE ENGENHARIA - DEP. DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
ELE 0941 - ELETROTÉCNICA 
 
 
CAPÍTULO 3 - CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
 
 
1.0 Definições Gerais 
 
 Sistema de tensões polifásico simétrico e equilibrado 
 
 Seja n o número de fases: 
 
 
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
=
n
ntEe
n
itEe
n
tEe
tEe
Mn
Mi
M
M
12cos
12cos
12cos
cos
2
1
πω
πω
πω
ω
M
M 
 
 
 Para o caso de sistema trifásico (n =3): 
 
 1
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
=
3
4cos
3
2cos
cos
3
2
1
πω
πω
ω
tEe
tEe
tEe
M
M
M
 
 
 
 
Figura 1 - Sistema de tensão trifásico 
 
 
 Em termos fasoriais: 
 
 
Figura 2 – Representação fasorial nos eixos real e imaginário 
 2
o
yx EjEEE θ=+=1& 
onde 
θ
θθ
senEE
E
EtgarcEE
EEEj
y
x
y
x
yx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
+=−=
cos
1 22
 
 
deste modo no sistema trifásico 
 
o
o
o
EjEsenj
EjEsenj
120
2
3
2
1
3
2
120
2
3
2
1
3
2
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−=⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+
π
π
EE
EE
EjEE
3
2cos
3
2cos
00
3
2
1
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
=+=
π
π
&
&
&
 
 
onde 
 2
MEE =
 
 
 
 
1.1 Definições 
 
Sistema de tensões trifásico simétrico: Três tensões senoidais de mesma magnitude, 
defasadas entre si de 120o. 
 
Sistema de tensões trifásico assimétrico: Sistema trifásico em que não atendem a pelo 
menos uma das condições acima. 
 
 3
Linha (ou rede) trifásica equilibrada: Linha (ou rede) constituída por 3 ou 4 fios 
(incluído o neutro ou retorno), com: 
 
impedâncias próprias iguais ( pCCBBAA ZZZZ === ) 
 
impedâncias mútuas iguais ( MCABCAB ZZZZ ===
r
); 
 
MCGBGAG ZZZZ
'===
r
 
 
 Um circuito trifásico esta em equilíbrio se as três tensões senoidais tiverem a 
mesma magnitude e freqüência e cada tensão estiver 120o fora de fase com as outras 
duas. As correntes na carga também devem estar em equilíbrio. 
 
 
Linha (ou rede) trifásica desequilibrada: Linha (ou rede) trifásica em que não se verifica 
alguma das condições de equilíbrio. 
 
Carga trifásica equilibrada: Carga trifásica constituída por três impedâncias iguais 
ligadas em estrela (Y) ou triângulo (Δ). 
 
Carga trifásica desequilibrada: Carga trifásica em estrela (Y) ou triângulo (Δ) em que 
não se verifica pelo menos umas das condições de equilíbrio. 
 
 
 
1.2 Seqüência de fases 
 Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade ω constante em um 
campo magnético uniforme surge uma tensão dada por 
 
( )θω += tEe M cos 
 
 Considere-se então 3 bobinas deslocadas entre si de 
3
2π rad em um mesmo eixo. 
 4
 
 
Figura 3 - Obtenção de um sistema de tensão trifásico 
 
 
Seqüência de fase: A ordem pela qual as tensões passam por máximo. 
 
Na figura: A-B-C ( B-C-A; C-A-B ) – seqüência direta (positiva) 
C-B-A ( B-A-C; A-C-B ) – seqüência inversa (negativa) 
 
 
 
Figura 4 – Seqüência de fase, direta e inversa, dos fasores de tensões 
 
É comum na literatura também o emprego das letras RST em analogia as fases ABC. 
 5
Exemplo 1: Um sistema trifásico simétrico tem seqüência de fase B-A-C e 
o
CV 70220=& V. Determinar as tensões das fases A e B. 
 
 
1.3 Operador α 
 Define-se α como o seguinte fasor: 
 
o1201=α 
 
 
 Propriedades de α: 
 
oooo 12012401120112012 −==⋅=⋅= ααα 
 
αααα
ααα
=⋅=
=⋅−=⋅=
34
23 0112011201 ooo
 
 
( ) ( )
223
13
33 0101
αα
αα
αα
=
=
===
+
+
n
n
ononn
 
 
01 2 =++ αα 
 
 
 
Exemplo 2: Calcular: 
 
1- 2α
 6
αα −2 
 
( )22 1 αα − 
 
1−α 
 
( )21 αα − 
 
 
1.4 Seqüências 
 Seqüência: conjunto ordenado de três fasores. 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
C
B
A
A
M
M
M
M
&
&
&
r
 
 
 
 
Tabela 1 – conjunto ordenado de três fasores para seqüência positiva, negativa e zero 
Seqüência direta (positiva) Seqüência inversa (negativa) Seqüência zero 
 
11
2
1
1
1
2
1
1
1
SVV
V
V
V
V
r
&&
&
&
&
r
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α
α
α 
 
 
22
2
2
2
2
2
2
2
1
SVV
V
V
V
V
r
&&
&
&
&
r
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α
α
α
 
 
000
0
0
0
0
1
1
1
SVV
V
V
V
V
r
&&
&
&
&
r
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
 
 
 
 
Exemplo 3 – Como fica na notação acima o sistema de fasores do exemplo 1 
 
 
 
1.4 Padronização de sub índice duplo 
 7
 
Figura 5 – Representação das tensões e correntes em fonte e em carga 
 
 
 
2.0 Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com carga 
equilibrada, seqüência direta 
 
 
2.1 Ligações em estrela ou Y 
 Sejam as bobinas da figura 3 alimentando cargas de impedância 
 
jXRZZ +== ϕ 
 
 
 
Figura 6 - Três circuitos monofásicos para conexão estrela 
 8
 As correntes que circulam nos circuitos são 
 
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−+=
+
==
−−=
−
==
−===
120
120
120
120
0
Z
E
Z
E
Z
E
I
Z
E
Z
E
Z
E
I
Z
E
Z
E
Z
E
I
o
NC
C
o
NB
B
o
NA
A
C
B
A
&
&
&
&
&
&
 
 
 
 
• Os circuitos são eletricamente independentes, então os pontos NA, NB, e NC podem 
ser conectados em um ponto N. 
 
• Os pontos N’A, N’B, e N’C estão ao mesmo potencial de N e podem ser igualmente 
conectados. 
 
• A corrente que circula no condutor N-N’ é 0' =++= CBANN IIII &&&&
 
 
 
 O circuito trifásico pode ser redesenhado como segue. 
 
 9
 
Figura 7 - Sistema trifásico com fontes e cargas ligados em Y 
 
 
Definições: 
 
1. Tensão de fase: medida entre qualquer terminal do gerador ou carga e o 
centro-estrela; 
 
2. Tensão de linha: medida entre quaisquer dois terminais do gerador ou da 
carga, nenhum deles sendo o centro-estrela; 
 
3. Corrente de fase: corrente que percorre cada das bobinas do gerador ou da 
impedância da carga; 
4. Corrente de linha: corrente que percorre os condutores que conectam o gerador 
á carga, excetuado o neutro. 
 
 
 
2.1.1 Relações entre os valores de linha e fase para a ligação Y 
 
 10
 
Figura 8 - Tensões e correntes de fase e linha em um sistema trifásico com gerador e carga ligados 
em Y 
 
 
 
 
Tabela 2 – Grandezas de fase e linha (em módulo) num trifásico simétrico e equilibrado ligado em Y 
Valores de fase Valores de linha 
Gerador Carga Gerador Carga 
Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão 
INA VAN IA’N’ VA’N’ IA VAB IA VA’B’
INB VBN IB’N’ VB’N’ IB VBC IB VB’C’
INC VCN IC’N’ VC’N’ IC VCA IC VC’A’
 
 
 
2.1.1.1 Correntes: 
 
CCNNC
BBNNB
AANNA
III
III
III
&&&
&&&
&&&
==
==
==
´´
´´
``
 
 
 
2.1.1.2 Tensões: 
 11
 Dadas às tensões de fase 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α 2
1
AN
CN
BN
AN
AN V
V
V
V
V &
&
&
&
r
 
 
 As tensões de linha são 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
1
1
1
2
22
2
α
αα
α
α
α
α
α ANANAN
AN
CN
BN
CN
BN
AN
CA
BC
AB
AB VVV
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V &&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
r
 
Onde: 
( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=→
=−=−
=−=−
=−
α
α
αααα
ααααα
α
2
2
2222
2
1
303
30311
3031
3031
AN
o
AB
o
o
o
VV &
r
 
 
 
 Em uma formulação geral, considerando na referência e seqüência direta, 
pode-se escrever a seguinte relação entre valores de fase e de linha: 
ANV&
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α
α 200
1
30|330|3 Fase
CN
BN
AN
CA
BC
AB
V
V
V
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
&
 
 
 12
 O diagrama fasorial, com a tensão de fase na referência, correspondente é 
 
 
 
 
Figura 9 - Diagrama fasorial com relação entre as tensões de linha e fase, seq. direta (ligação Y), 
tensão de fase ( ) na referência ANV&
 
 
2.1.1.3 Deslocamento de neutro 
 Considere-se uma tensão VNN’ como ilustrado na figura10. 
 
 
 
Figura 10 - Deslocamento de neutro 
 13
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=+=
1
1
1
''' NN
CN
BN
AN
NNANAN V
V
V
V
VVV &
&
&
&
rrr
 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α
α
α
α
α
2
'
2
2
'
'
'
'
'
'
1
303
1
1
1
1
1
1
1
1
AN
o
NNANAN
AN
VN
BN
CN
BN
AN
CA
BC
AB
AB
V
VVV
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
&
&&&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
r
 
 
1. A tensão VNN’ não afeta as tensões de linha. 
 
2. Dadas as tensões de linha, as tensões fase-terra estão indeterminadas, ou seja, 
o
AB
AN
V
V
303'
&
& = se e somente se for garantido que o trifásico é simétrico. 
 
 
Exemplo 4 :Uma Carga equilibrada ligada em Y é alimentada por um sistema trifásico 
simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta. Sabendo-se que 058|220=BNV& V, 
pede-se determinar: 
a) As tensões de fase na carga 
b) As tensões de linha na carga 
 
 
2.1.2 Resolução de circuitos com gerador e carga em Y 
 Considere-se o circuito a seguir sendo conhecidas às tensões de fase do gerador 
e as impedâncias da linha e da carga. Sejam as malhas indicadas. 
 
 14
 
Figura 11 - Circuito trifásico em Y 
 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
αθ 2
1
E
V
V
V
V
CN
BN
AN
AN
&
&
&
r
; '''; ϕϕ ZZZZ == 
 
 
)'(
2)'(2)'(
)'(
2)'()'(2
ZZ
VV
ZZZZVV
ZZ
VV
ZZZZVV
CNBN
CNBN
BNAN
BNAN
+
−
=+−→+++−=−
+
−
=−→+−+=−
&&
&&
&&
&&
βγβγ
βγβγ
 
 
 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )'3'3
12
'3
1
ZZ
V
V
ZZ
VVV
ZZ
AN
ANCNBNAN +
=
+
=+−
+
=
&
&&&&γ 
 
 
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )'3'3
12
'3
1
ZZ
V
V
ZZ
VVV
ZZ
CN
CNBNANCN +
−
=−
+
=++−
+
=
&
&&&&β 
 15
( )
( ) ( ) ( )
( )'
'''
'
ZZ
V
I
ZZ
V
ZZ
V
ZZ
V
I
ZZ
V
I
CN
C
BNANCN
B
AN
A
+
=−=
+
=
+
−
+
−=−=
+
==
&
&
&&&
&
&
&
β
γβ
γ
 
 
 
( )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α
θ
α
αθ 22
1
'
1
ZZ
E
I
I
I
IE
V
V
V
V
C
B
A
A
CN
BN
AN
AN
&
&
&
r
&
&
&
r
 
 
 
 Outra resolução: 
 
VNN’ = 0 → imediatamente ( )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α
θ
2
1
'ZZ
E
I
I
I
I
C
B
A
A
&
&
&
r
 
 
 Ou seja, tudo se passa como se o circuito a resolver fosse: 
 
 
Figura 12 - Circuito monofásico equivalente (Y) 
 
 
 16
 A resolução de um sistema trifásico simétrico e equilibrado, com gerador e caga 
em Y, resume-se à solução de um circuito monofásico representado pelo gerador ligado 
a uma das cargas. Os outros valores das fases têm o mesmo módulo e ângulos defasados 
de 1200 
 
Observação: Com relação ao subscrito duplo, por Exemplo VAN, significa a tensão no 
ponto A em relação ao ponto N, quanto a corrente IAN representa a corrente que flui de 
A para N. 
 
 
Exemplo 5 : Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica 
equilibrada. Gerador e carga ligados em Y, seqüência direta. São dados : 
1) A tensão de linha do gerador – 380V 
2) A freqüência do gerador – 60Hz 
3) O número de fios da linha – 3 
4) A resistência e a reatância indutiva de cada fio da linha (desprezar as indutâncias 
mútuas entre os fios da linha) – R=0,20Ω XL=0,50Ω 
5) A impedância da carga – ZC= 3 + j 4 Ω 
 
Pede-se: 
a) As tensões de fase e de linha no gerador 
b) As correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador 
c) As tensões de fase e de linha na carga 
d) A queda de tensão na linha (valores de fase e de linha) 
e) O diagrama de fasores 
 
 
 
2.2 Ligações em triângulo ou Δ 
 Retomando os geradores monofásicos que compõem o trifásico e conectando-os 
como ilustrado: 
 
 17
 
Figura 13 - Três circuitos monofásicos para conexão Δ 
 
 
Cada malha é independente → podem-se interligar os pontos 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
B
C
NeC
NeA
 
Note-se que → B e N0=++=
ACBA ANCNBNBN
VVVV &&&& A podem ser interligados. 
 
Analogamente 0)( '''''''' =++= ABBA NANBNBNB IIIZV &&&& e B’ e N’A podem ser interligados 
 
 
Finalmente, podem-se interligar os pontos 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
B
A
C
NeC
NeB
NeA
''
''
''
 
Então o circuito fica como segue. 
 18
 
 
Figura 14 - Circuito trifásicos com gerador e carga em Δ 
 
 
2.2.1 Relações entre as grandezas de fase e de linha na ligação Δ 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
CA
BC
AB
CN
BN
AN
V
V
V
V
V
V
C
B
A
&
&
&
&
&
&
 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
'´
''
''
''
''
''
'
'
'
'
CB
BA
AC
AC
BB
BA
CC
BB
AA
AA
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
&
&
&
&
&
&
&
&
&
r
 
 
Seja 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α 2''
''
''
''
''
1
BA
AC
CB
BA
BA I
I
I
I
I &
&
&
&
r
 
 
então 
 
 19
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
2
''
'
'
'
' 1
1
α
α
α
αBA
CC
BB
AA
AA I
I
I
I
I &
&
&
&
r
 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α
α 2''
0
'
'
' 1
303 BA
CC
BB
AA
I
I
I
I
&
&
&
&
 
 
 
 
2.2.3 Resolução de circuitos trifásicos em Δ 
 
 
Figura 15 - Circuito trifásico em Δ 
 
 
( )
( )
γβα
γβα
γβα
ZZZ
ZZZZV
ZZZZV
AB
CA
30
'2
''2
+−−=
−++−=
−−+=
&
&
 
 
de onde se podem determinar β, e γ 
 20
Por outro lado, 
 
( ) ''' BABAAB IZIIZV &&&& +−= 
 
E, explorando a simetria e o equilíbrio: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α
α
α 20
'
'
'
2
''
''
''
''
1
303;
1
F
CC
BB
AA
F
AC
cB
BA
BA I
I
I
I
I
I
I
I
I &
&
&
&
&
&
&
&
r
 
têm-se 
 
( ) FFFBA IIIII &&&&& 33033031303 0020 =−=−−=− α 
de onde 
 
( )
ZZ
VIIIZZV ABFBAFAB +
==→+=
'3
'3 ''
&
&&&& 
e, finalmente: 
 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
α
α 2
''
''
''
''
1
'3 ZZ
V
I
I
I
I AB
AC
cB
BA
BA
&
&
&
&
r
 
 
 
 
O diagrama fasorial , corrente de fase ( ) na referência, correspondente é ABI&
 
 
 21
 
 
Figura 16 - Diagrama fasorial com relação entre correntes de linha e fase (ligação Δ), corrente de 
fase na referência 
 
 
 
3.0 Transformações equivalentes Δ - Y (carga) 
 Para um grande número de problemas necessitamos transformar cargas ligadas 
entre delta e estrela e vice-versa. 
 
 O critério para identificar as duas ligações é que se tomando a impedância entre 
dois pontos quaisquer correspondentes nos dois circuitos, eles devem ser iguais. 
 
 Na figura 17 queremos determinar a relação entre os componentes da estrela e 
do delta, de modo que sejam equivalentes. 
 
 
 22
 
 
Figura 17 - Transformação Δ - Y 
 
 
 
 A impediência vista entre os pontos A e B deve ser igual nos dois casos, 
portanto 
 
 
( )
( )
( )
Δ
Δ
Δ
+
=+
+
=+
+
=+
Z
ZZZ
ZZ
Z
ZZZ
ZZ
Z
ZZZ
ZZ
BCABCA
AC
CAABBC
CB
BCCAAB
BA
&
&&&
&&
&
&&&
&&
&
&&&
&&
 
 
 
onde: 
 
CABCAB ZZZZ &&&& ++=Δ 
 
 23
 
 Temos portanto um sistema com três equações e três incógnitas, somando a 
primeira equação com a terceira e subtraindo a segunda achamos . Os valores de 
e são determinados de forma análoga, assim, 
AZ& BZ&
CZ&
 
Δ
Δ
Δ
=
=
=
Z
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
BCCA
C
ABBC
B
CAAB
A
&
&&
&
&
&&
&
&
&&
&
 
 
 As equações acima correspondem à transformação de delta para estrela. Para 
fazer a transformação contrária (estrela para delta) definimos por YZ
 
CBAY ZZZZ &&&&
1111
++= 
 
Multiplicando por e , obtemos AZ& BZ&
 
AB
CABCAB
ABCABCBCCA
2
BCCAABBCCAAB
2
222
Y
BA
Z
ZZZ
ZZZ
Z
ZZ
ZZ
Z
ZZ
Z
ZZ
Z
Z
 ZZ 
&
&&&
&&&
&
&&&
&&
&
&&
&
&&
&
&
&&&
&
&&
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
Δ
ΔΔΔ
Δ
AB
BCCAAB
Z
Z
ZZZ
 
 
logo 
 
 24
Y
AC
CA
Y
CB
BC
Y
BA
AB
Z
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
&
&&
&
&
&&
&
&
&&
&
=
=
=
 
 
 
 O observar-se que se a carga for equilibrada, para passar de Y para Δ basta 
multiplicar o valor da impedância por três e, para passar de Δ para Y dividir a 
impedância por 3. 
 
 
Exemplo 6: Um transformador alimenta uma carga em Y (Z2) e uma carga em Δ (Z1) 
através de uma linha (ZL). Pedem-se as tensões de linha no transformador de modo que 
a tensão de linha na carga seja igual a 220V. Considerar os seguintes dados: 
 
Ω+=
Ω+=
Ω+=
00,4j00,5
50,2j10,2
 1,00 j 0,50 Z
2
1
L
Z
diretasequênciaZ 
 
 
 
4.0 Resumo de circuitos trifásicos equilibrados (carga) com 
transformação Δ-Y 
 
 A tabela 3 nos apresenta um resumo das ligações Y e Δ com as relações fasoriais 
entre grandezas de fase e de linha, para um circuito trifásico simétrico e equilibrado 
com seqüência de fase direta e inversa, bem como a transformação de impedâncias de 
carga na ligação Δ para Y e na ligação de Y para Δ. 
 25
Tabela 3 – Carga trifásica simétrica e equilibrada 
 S 
E 
Q 
U 
Ê 
N 
C 
I 
A 
 
G 
R 
A 
N 
D 
E 
Z 
A 
 
 
I 
fL II && = 30|3 −= fL II && 
 
DIR 
 V 30|3 fL VV && = FL VV && = 
I 
fL II && = 30|3 fL II && = 
 
INV 
V 30|3 −= fL VV && FL VV && = 
Trans- 
forma- 
ção 
 
de 
 
impe-
dâncias 
osanáZZ
ZZZZ
Z
ZZ
Z
CB
CABCAB
CAAB
A
log, &&
&&&&
&
&&
&
++=
=
Δ
Δ
 
osanáZZ
ZZZZ
CABC
CBAY
log,
1111
Z
ZZZ
Y
BA
AB
&&
&&&&
&
&&
&
++=
=
 
 
 
 
 
5.0 Potência em sistemas trifásicos 
 
5.1 Expressão da potência 
A potência aparente complexa monofásica é dada por: 
 
∗= IVS &&& 
 26
onde 
 
 
∗I& se refere ao complexo conjugado de , isto é, se I& ImRe| IjIII i +== θ& , então 
ImRe| IjIII i −=−=
∗ θ& 
 
 
QjPS += 
 
 Nos circuitos trifásicos, a potência aparente total é a soma das potências aparente 
individual das três fases, ou seja: 
 
∗∗∗
Φ ++= fCfCfBfBfAfA IVIVIVS &&&&&&&3 
 
considerando seqüência direta temos ainda que: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α
α
α
α 22
11
f
fC
fB
fA
f
fC
fB
fA
I
I
I
I
V
V
V
V
&
&
&
&
&
&
&
&
 
 
donde chega-se à: 
 
( ) ( )
∗
Φ
∗∗∗
Φ
∗∗∗
Φ
=
++=
++=
ff
ffffff
ffffff
IVS
IVIVIVS
IVIVIVS
&&&
&&&&&&&
&&&&&&&
33
33
3
22
3
αα
αααα
 
 
 Essa expressão nos dá a potência transmitida pelo trifásico em função de valores 
de fase, para uma carga equilibrada. 
 
 27
 Em termos de potência ativa e reativa 
 
ΦΦΦ += 333 QjPS 
 
 Em valores de fase (módulo) temos que: 
 
 
Carga conectada em Y fLLf VVeII 3==→ 
 
=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA) 
 
Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W) 
 
Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr) 
 
 
Carga conectada em Δ fLfL VVeII ==→ 3 
 
=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA) 
 
Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W) 
 
Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr) 
 
 
 Em qualquer dos dois casos, 
 
=Φ3S LL IV3 → Potência Aparente trifásica (VA) 
 
Φ3P = ϕcos3 LL IV → Potência Ativa trifásica (W) 
 28
Φ3Q = ϕsen3 LL IV → Potência Reativa trifásica (VAr) 
 
 
 Em módulo: 
 
FFLL
LL IVIV
IV
S 33
3
3
3 ===φ 
 
a expressão nos dá o módulo sendo que a defasagem entre e poderá ser 
determinada através do fator de potência e da seqüência de fase. 
FV& FI&
 
 
 
5.1.1 Triângulo da potência 
 Considere os valores das potências em valores trifásicos 
 
 
 
 
Figura 18 - Triângulo das potências em um sistema trifásico 
 
 
 29
5.2 Correção fator de potência 
 Instalações industriais apresentam uma gama muito grande de carga que por sua 
vez necessitam de grandes quantidades de potência. Cargas típicas industriais podem 
ser, por exemplo, conjunto de motores de indução, ou seja na maioria das vezes cargas 
com características indutivas. Muitas vezes, por imposições normativas deve se 
proceder à correção do fator de potência (fp). 
 
 Para se efetuar a correção do fp à técnica aqui apresentada será a mesma já 
utilizada para os sistemas monofásicos, com as ressalvas dos valores agora serem 
trifásicos. 
 
 
 
Figura 19 - Ilustração da técnica para correção do fator de potência 
 
 
 O valor da potência reativa trifásica necessária para levar o fator de potência de 
φ para φ’ é calculada da seguinte forma. 
 
'
333 ΦΦΦ −= QQQ cbco 
 
 
 O valor por fase do banco de capacitor (ligados em Y) para tal potência será: 
 
 30
 
)(
23 2
3 F
Vf
Q
c
f
c μ
π
Φ=
 
 
 
 
Exemplo 7 : Um motor trifásico em Δ, com potência 5 HP, fator de potência 0,8 
indutivo, rendimento de 0,85, tem tensão de linha 
00|220=ABV& V. Considerando 
seqüência de fase direta, determine as correntes nos cabos de alimentação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Malange 
 
 31
	UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO 
	1.0 Definições Gerais 
	1.4 Seqüências 
	Tabela 1 – conjunto ordenado de três fasores para seqüência positiva, negativa e zero
	Seqüência zero
	2.0 Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com carga equilibrada, seqüência direta 
	Tabela 2 – Grandezas de fase e linha (em módulo) num trifásico simétrico e equilibrado ligado em Y
	Figura 12 - Circuito monofásico equivalente (Y) 
	Figura 13 - Três circuitos monofásicos para conexão ( 
	Figura 14 - Circuito trifásicos com gerador e carga em ( 
	Tabela 3 – Carga trifásica simétrica e equilibrada 
	5.0 Potência em sistemas trifásicos