Reatores atividade

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MODELAGEM, SIMULAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS 
Baseado na questão 3.18 do Levenspiel. 
 
A enzima E catalisa a transformação do reagente A no produto R, como segue: 
 
𝐴
𝑒𝑛𝑧𝑖𝑚𝑎
→ 𝑅 
 
−ra =
200. CaCEO
2 + Ca
.
mol
l.min
 
 
Se introduzirmos a enzima (CE0=0,001 mol/l) e o reagente (CAO=10 mol/l) 
em um reator em batelada e deixarmos a reação ocorrer, encontre o tempo 
necessário para a concentração do reagente cair para 0,025 mol/l. Note que a 
concentração da enzima permanece constante durante a reação. 
 
Considerações: 
• Reator batelada ideal; 
• Temperatura constante; 
• Fluido incompressível. 
 
Por meio do balanço de massa, temos: 
Entra – Sai – Consumo = Acúmulo 
Por se tratar de um reator batelada não há vazão de entrada e nem de 
saída de material, sendo assim: 
Consumo = - Acúmulo 
−𝑟𝑎. 𝑉 = −
𝑑𝑁𝑎
𝑑𝑡
 
−𝑟𝑎 = −
𝑑𝐶𝑎
𝑑𝑡
 
200. CaCEO
2 + Ca
= −
𝑑𝐶𝑎
𝑑𝑡
 
𝑑𝐶𝑎
𝑑𝑡
= −
200. CaCE0
2 + Ca
 
Substituindo o valor da concentração da enzima : 
 
𝑑𝐶𝑎
𝑑𝑡
= −
0,2. Ca
2 + Ca
 Equação 1 
 
Como temos uma EDO podemos utilizar o Método de Runge Kutta 4° para 
montar um gráfico de Ca em função do tempo. 
O modelo de Runge Kutta 4° Ordem é regido pelas seguintes equações: 
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +
ℎ
6
(𝑐1 + 2. 𝑐2 + 2. 𝑐3 + 𝑐4) 
𝑐1 = 𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 
𝑐2 = 𝑓(𝑥𝑛 +
ℎ
2
, 𝑦𝑛 +
ℎ
2
. 𝑐1) 
𝑐3 = 𝑓(𝑥𝑛 +
ℎ
2
, 𝑦𝑛 +
ℎ
2
. 𝑐2) 
𝑐2 = 𝑓(𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + ℎ. 𝑐3) 
Aplicando à Equação 1: 
𝐶𝑎𝑛+1 = 𝐶𝑎𝑛 +
ℎ
6
(𝑐1 + 2. 𝑐2 + 2. 𝑐3 + 𝑐4) 
Onde Ca0=10mol/l e h=0,1 
𝑐1 = 𝑓(𝑡, Ca𝑛) = −
0,2. Ca𝑛
2 + Ca𝑛
 
 
𝑐2 = −
0,2. (Ca𝑛 +
ℎ. 𝑐1
2 )
2 + (Ca𝑛 +
ℎ. 𝑐1
2 )
 
𝑐3 = −
0,2. (Ca𝑛 +
ℎ. 𝑐2
2 )
2 + (Ca𝑛 +
ℎ. 𝑐2
2 )
 
𝑐4 = −
0,2. (Ca𝑛 + ℎ. 𝑐3)
2 + (Ca𝑛 + ℎ. 𝑐3)
 
Lançando no Excel temos foi possível obter uma tabela com as seguintes 
colunas: 
n t(min) c1 c2 c3 c4 Can+1 
0 0 -0,167 -0,167 -0,167 -0,167 9,983 
1 0,1 -0,167 -0,167 -0,167 -0,167 9,967 
2 0,2 -0,167 -0,167 -0,167 -0,167 9,950 
3 0,3 -0,167 -0,167 -0,167 -0,167 9,933 
4 0,4 -0,166 -0,166 -0,166 -0,167 9,917 
5 0,5 -0,166 -0,166 -0,166 -0,167 9,900 
6 0,6 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,883 
7 0,7 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,867 
8 0,8 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,850 
9 0,9 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,834 
10 1 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,817 
11 1,1 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,800 
12 1,2 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,784 
13 1,3 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,767 
14 1,4 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,750 
15 1,5 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,734 
16 1,6 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,717 
17 1,7 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,701 
18 1,8 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,684 
19 1,9 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,668 
20 2 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,651 
21 2,1 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,634 
22 2,2 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,618 
23 2,3 -0,166 -0,166 -0,166 -0,166 9,601 
24 2,4 -0,166 -0,165 -0,165 -0,166 9,585 
25 2,5 -0,165 -0,165 -0,165 -0,166 9,568 
26 2,6 -0,165 -0,165 -0,165 -0,166 9,552 
27 2,7 -0,165 -0,165 -0,165 -0,165 9,535 
28 2,8 -0,165 -0,165 -0,165 -0,165 9,519 
29 2,9 -0,165 -0,165 -0,165 -0,165 9,502 
30 3 -0,165 -0,165 -0,165 -0,165 9,486 
 
A solução não foi realizada apenas até o tempo de 3 minutos mas assim 
até 109,7 minutos. A tabela completa está na planilha do Excel. 
Plotando os dados apresentados na planilha foi possível obter o seguinte 
gráfico: 
 
Dessa forma temos que o tempo necessário para a concentração do 
reagente cair para 0,025 mol/l é de 109,7 minutos. 
 
 
 
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
10,000
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120
Concentração no reator ao longo do tempo