Sistema Mecânico 2 - PPC

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
 ENGF79 - PRINCÍPIOS DOS PROCESSOS CONTÍNUOS
MODELAGEM DE SISTEMA MECÂNICO
Autores: BIANCA AGUIAR
 		 ERIC PING
 		 MATHEUS COSTA
 		 LUIZ MARQUES
 		 VIVIAN BESERRA
Turma: 010000
Salvador
2021
1. Introdução
A necessidade de fazer a modelagem de fenômenos que ocorrem no nosso cotidiano sempre existiu. Modelar um sistema significa basicamente obter as equações diferenciais que regem o comportamento do sistema que se pretende estudar. O objetivo, ao fazer a modelagem de um sistema, é chegar a modelos matemáticos, que possam representar, com a precisão que for possível, o comportamento do sistema real.
Os sistemas mecânicos são compostos por massas, molas e amortecedores, conectados a uma estrutura fixa ou entre si. Esses sistemas normalmente são construídos para alguma finalidade única, a partir de blocos básicos que são representações simplificadas de fenômenos físicos que ocorrem nos sistemas reais. Diversos sistemas, como os de elevadores, ventiladores, escadas rolantes, sistemas de aquecimento e ar condicionado fazem parte dos serviços de soluções mecânicas.
O funcionamento dos sistemas mecânicos é explicado pelos princípios das Leis de Newton. Newton foi responsável pela explicação matemática para o movimento dos corpos. Juntas, as três leis de Newton são usadas para descrever a dinâmica dos corpos, isto é, as causas que podem alterar seu estado de movimento. Em termos simples, as leis de Newton tratam de situações em que os corpos permanecem ou não em equilíbrio.
O agente responsável pela mudança no estado de movimento dos corpos é chamado de força, uma grandeza vetorial cuja unidade é o kg*m/s² (Newton). Quando um corpo está sujeito a uma resultante não nula de forças, ele adquire uma aceleração (variação de velocidade). A aceleração é inversamente proporcional à sua massa, de forma que quanto maior for a massa, menor será a aceleração adquirida pelo corpo.
A Primeira Lei de Newton é chamada de Lei da Inércia. Seu enunciado afirmava: “Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele.”.
A Segunda Lei de Newton, também conhecida como Lei da Superposição de Forças ou como Princípio Fundamental da Dinâmica e afirmava que: “A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada.”. Essa lei informa que o módulo da aceleração produzida sobre um corpo é diretamente proporcional ao módulo da força aplicada sobre ele e inversamente proporcional à sua massa.
A Terceira Lei de Newton recebe o nome de Lei da Ação e Reação. Essa lei diz que todas as forças surgem aos pares: ao aplicarmos uma força sobre um corpo (ação), recebemos desse corpo a mesma força (reação), com mesmo módulo e na mesma direção, porém com sentido oposto. O enunciado da lei é: “A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.
2. Metodologia
Neste trabalho é realizada pela equipe a modelagem de um sistema mecânico massa-mola-amortecedor, sem nenhuma aplicação prática conhecida pela equipe.
As chamadas “Funções de Transferência'' são funções usadas para caracterizar as relações entre entrada e saída de componentes ou sistemas que possam ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo. 
A representação de sistemas pela função de transferência pressupõe o emprego das transformadas de Laplace às equações diferenciais lineares que descrevem o modelo matemático do sistema dinâmico. Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada numa equação algébrica composta por um numerador e um denominador, em função de uma variável complexa. Outro modo de representar os sistemas dinâmicos é através das equações de estado em que são definidas quatro matrizes que caracterizam o modelo. 
O diagrama de blocos de um sistema é uma representação que permite ilustrar quais as funções desempenhadas por cada um dos componentes e fluxos de sinais. Tal diagrama indica as relações que existem entre os vários componentes.
Para a análise de sistemas mecânicos é necessário possuir uma base de comparação do desempenho de vários desses sistemas. Esta pode ser obtida, através do recurso a diferentes sinais de teste de entrada e comparando-se as respostas dos vários sistemas. Os sinais de entrada de teste típicos habitualmente utilizados são as funções degrau.
Figura 1 – Sistema escolhido pela equipe.
O sistema escolhido é composto por duas massas e , os graus de liberdade escolhidos e ), dois elementos de rigidez ou molas e ) e dois elementos de dissipação de energia, representados pelo amortecedor e . Temos também a força atuando em . Com isso representamos o modelo no espaço de estados e obtemos a função de transferência.
2.1 Equação Diferencial
Para a modelagem de equação diferencial, vamos realizar o diagrama de corpo livre para entender quais são as forças que estão atuando em cada massa: 
Percebe-se que na massa de estão atuando as forças e na horizontal com sentido para direita, ee na horizontal com sentido para esquerda. No m2 estão atuando as forças na horizontal para esquerda e. Vale ressaltar que estamos adotando o sentido de e para direita. 
Aplicando a segunda lei de Newton, temos o sistema de equação abaixo:
Isolando as acelerações, temos as seguintes equações abaixo:
2.2 Espaço de Estados:
O espaço de estados tem como propósito, retratar um sistema e seus processos em função do tempo t, utilizando equações de primeira ordem apresentadas de forma matricial. Este método é conhecida hoje como controle moderno, e possui este nome pois parte do principio que tendo conhecimendo dos imputs do processo e das variáveis de estado no tempo inicial, podemos deduzir as variáveis de saída em qualquer instante t.
Um sistema dinâmico tem seu estado definido como o menor conjunto de variáveis conhecidas no inicio de um processo, que junto com os imputs do processo, torna possível determinar o comportamento do processo no futuro.
Dessa forma, estabelecemos que o espaço de estados deve ter o seguinte formato, com objetivo de obter uma representação matricial das variáveis de estados que descrevem um sistema, com o seguinte formato:
E definindo que os estados são as posições de velocidades, que a entrada u é a força e a saída . Adotamos uma mudança de variável para encontrar os estados do sistema, sendo e ; e .
O que nos leva as seguintes matrizes A, B, C e D:
Dessa forma, obtemos a seguinte representação de espaço de estados para o sistema:
2.3 Função de Transferência
Dado o sistema de equações abaixo, para obter a função de transferência dada por , aplicaremos transformada de Laplace na segunda equação afim de isolar e assim substituir o termo na primeira equação do sistema.
Transformada de Laplace na segunda equação do sistema:
Transformada de Laplace na primeira equação do sistema:
Substituindo encontrado na segunda equação na primeira equação temos:
Colocando o termo em evidencia temos:
Fazendo manipulações matematicas encontramos a função de tranferencia que é dada por:
2.4 Conversão de espaço de estados para função de transferência
Para validarmos a função de transferência encontrada por Laplace, iremos utilizar a conversão do espaço de estados para chegar no mesmo termo. Para isso iremos utilizar a fórmula abaixo: 
Para facilitação dos cálculos adotamos algumas mudanças de variáveis ; ; ; n; . O primeiro passo é calcular a subtração da Matriz Is – Matriz A.
Matriz Is : - Matriz A : 
Is-A: 
Após feito a subtração realizamos a inversa: 
 :
Matriz C: 
Calculando Matriz C ×, temos: 
Matriz B: 
Calculando (Matriz C ×) × Matriz B temos: 
Voltando as variáveis iniciais, temos que a equação encontrada por conversão do espaço de estados exatamenteigual a FT. 
3. Resultados: Simulação e Análise
É necessário conhecer os valores dos parâmetros físicos do sistema estudado, dados os elementos característicos obtidos com sua modelagem. Para tanto, serão considerados os parâmetros abaixo:
Substituindo os valores na função de transferência encontrada, temos:
Os polos do sistema que correspondem as raízes do denominador da FT, são:
Nota-se, pela Equação dos polos acima, que a parte real dos dois pares de polos complexos é
negativa. Portanto, o sistema analisado é estável.
Figura 2: Modelagem Simulink
4. Conclusão
Com este trabalho foi possível entender melhor o funcionamento, além da física e matemática por trás de um sistema mecânico com massa mola e amortecedor, através da sua modelagem e simulação.
O sistema Massa-Mola-Amortecedor apresentado é um sistema em malha aberta, ou seja, não apresenta qualquer tipo de realimentação. A análise deste sistema incidiu apenas no seu comportamento no tempo em relação a impulsos de entrada e variações de parâmetros e qual o seu comportamento na frequência. Foram adotados valores baseados em pesquisas realizadas, não correspondendo a nenhum caso específico.
Considerando as equações e gráficos obtidos, concluímos que o nosso sistema se comporta como um filtro que passa baixas frequências e atenua altas frequências, como é possível verificar nos gráficos.
5. Referências
SMITH, Carlos A.; CORRIPIO, Armando B. Princípios e Práticas do Controle Automático de Processo, 3ª edição.
Site Brasil Escola. Leis de Newton. Disponível em < https://brasilescola.uol.com.br/fisica/leis-newton.htm>. Acesso em 19 de abril de 2021.
UFABC, Modelagem II - 1) Representação no espaço de estados. Disponível em < https://www.youtube.com/watch?v=QJP6_bzf_mM&t=278s >. Acesso em 23 de abril de 2021.