modulo 2 circuitos eletricos

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UNIVERSIDADE PAULISTA
Instituto de Cieˆncias Exatas e Tecnologia (ICET)
Redes de Bipolos e Leis de
Kirchhoff: Mo´dulo 2
Alexandre B. de Lima
Direto´rio
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Atualizado em: 2 de fevereiro de 2009 Versa˜o 1.0
Tabela de Conteu´do
1. Redes de Bipolos e Grafos
2. Primeira Lei de Kirchhoff
2.1. Generalizac¸a˜o
2.2. Matriz de Incideˆncia
3. Segunda Lei de Kirchhoff
3.1. Expressa˜o Matricial da Segunda Lei
3.2. Tenso˜es Nodais
3
1. Redes de Bipolos e Grafos
Os bipolos podem ser associados interligando seus terminais por con-
dutores perfeitos (equipotenciais). Uma associac¸a˜o qualquer de bipo-
los sera´ designada por rede de bipolos. Os pontos em que se juntam
os terminais de va´rios bipolos sera˜o designados por no´s da rede, e os
bipolos sera˜o os seus ramos.
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 4
As interconexo˜es dos bipolos de uma rede podem ser indicadas
geometricamente pelo seu grafo 1, em que cada bipolo e´ representado
por um arco de curva. Estas curvas sera˜o os ramos ou arestas do grafo.
Os pontos de encontro dos terminais dos bipolos sera˜o representados
por pontos, designados como no´s ou ve´rtices do grafo.
Definic¸a˜o 1. Um grafo e´ um conjunto de no´s e ramos, tais que os
ramos interligam exatamente dois no´s.
Um grafo orientado ou d´ıgrafo orienta a colocac¸a˜o dos amper´ımetros.
Note que os sentidos de refereˆncia positivos das correntes nos ramos
do grafo sa˜o arbitra´rios.
1A Teoria dos Grafos foi iniciada por Euler em 1736 ao resolver o problema de
Ko¨nigsberg.
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 5
Um grafo pode ser conexo ou na˜o conexo. Um grafo e´ conexo
quando e´ poss´ıvel determinar pelo menos um caminho entre dois no´s
quaisquer. Um grafo na˜o conexo tem pelo menos duas partes separa-
das.
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 6
Subgrafo de um grafo dado e´ qualquer conjunto de no´s e ramos dele
extra´ıdo. Um subgrafo constitu´ıdo por um u´nico no´ e´ dito degenerado.
A a´rvore de um grafo conexo e´ qualquer subgrafo, tambe´m conexo,
que conte´m todos os no´s do grafo original e um nu´mero de ramos
apenas suficiente para interligar todos os no´s. Consequentemente,
na˜o existe um percurso fechado numa a´rvore.
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 7
Num grafo com nt no´s e com um so´ ramo entre cada par de no´s
podem-se extrair nnt−2t a´rvores distintas. Cada uma das a´rvores teˆm
o mesmo nu´mero n = nt − 1 de ramos.
Definida uma a´rvore num grafo , os ramos desse grafo se dividem
em duas classes:
• ramos de a´rvore, pertencentes a` a´rvore;
• ramos de ligac¸a˜o (ou elos), na˜o pertencentes a` a´rvore.
Considere que um grafo tenha r ramos e nt no´s. Sendo n o nu´mero
de ramos de a´rvore e l o nu´mero de ramos de ligac¸a˜o, vale a relac¸a˜o
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 8
l + n = r. Logo
l = r − n = r − nt + 1 (1)
Lac¸o de um grafo e´ qualquer subgrafo conexo tal que dois, e ape-
nas dois, de seus ramos incidem em cada no´ e precisamente dois no´s
pertencem a cada ramo. Intuitivamente, um lac¸o e´ uma trajeto´ria
fechada que passa uma so´ vez em cada no´.
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 9
Note que a´rvores na˜o possuem lac¸os. Por outro lado, se colocarmos
um so´ ramo de ligac¸a˜o numa a´rvore criamos uma e so´ uma trajeto´ria
fechada, correspondente a um u´nico lac¸o. Este lac¸o sera´ chamado de
lac¸o fundamental, associado ao ramo de ligac¸a˜o introduzido. A cada
a´rvore correspondem l lac¸os fundamentais.
Conjunto de corte ou corte de um grafo conexo e´ um conjunto de
ramos tal que: a) a remoc¸a˜o de todos os ramos do corte faz com que o
grafo se decomponha em duas partes separadas; b) removendo todos
os ramos do corte, menos um, o grafo continua conexo.
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 10
Teorema 1 (Teorema Ba´sico das A´rvores). Uma a´rvore qualquer de
um grafo conexo de nt no´s e r ramos tem as seguintes propriedades:
1. ha´ sobre a a´rvore um caminho u´nico entre qualquer par de no´s
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 11
a ela pertencentes;
2. ha´ nt − 1 ramos de a´rvore e r − nt + 1 ramos de ligac¸a˜o;
3. cada ramo de ligac¸a˜o determina um u´nico lac¸o fundamental,
constitu´ıdo pelo ramo de ligac¸a˜o e pelos ramos de a´rvore que
compo˜em uma trajeto´ria u´nica entre os no´s do ramo de ligac¸a˜o;
4. cada ramo de a´rvore determina um u´nico corte fundamental,
constitu´ıdo pelo ramo de a´rvore e alguns ramos de ligac¸a˜o.
Sec¸a˜o 1: Redes de Bipolos e Grafos 12
Observe que ha´ outros cortes que na˜o sa˜o fundamentais.
Um grafo conexo e´ dito planar quando for poss´ıvel desenha´-lo num
plano (ou numa superf´ıcie esfe´rica) de modo que seus ramos na˜o se
cruzem em nenhum ponto que na˜o seja um no´ do grafo.
13
2. Primeira Lei de Kirchhoff
A Primeira Lei de Kirchhoff (1845) aplica-se aos no´s e afirma que,
em cada instante, a soma das correntes ele´tricas que entram ou saem
de um no´ e´ igual a zero:∑
k
±ik(t) = 0, ∀t (2)
Note que as correntes aparecem com um sinal positivo ou negativo.
Este sinal dependera´ de uma convenc¸a˜o (arbitra´ria) de sinal, como,
por exemplo, fixar que as correntes que saem do no´ sa˜o positivas e as
que entram no no´ sa˜o negativas. Na˜o haveria qualquer problema se
adota´ssemos a regra contra´ria.
Passos para aplicar a primeira lei:
1. orientar os ramos do circuito (lembre que os sentidos de re-
fereˆncia fornecem uma regra para ligar os amper´ımetros aos ra-
mos: a flecha de refereˆncia deve entrar pelo terminal “+” do
aparelho);
2. estabelecer uma regra para escolher em (2) os sinais positivos ou
Sec¸a˜o 2: Primeira Lei de Kirchhoff 14
negativos de acordo com a orientac¸a˜o adotada para os ramos.
Aplicando a Primeira Lei de Kirchhoff ao no´ da figura acima ob-
temos
−i1 − i2 + i3 + i4 − i5 = 0,
que mostra que na˜o ha´ acumulac¸a˜o de cargas ele´tricas nos no´s das
redes. De fato, a Primeira Lei e´ baseada na Lei da conservac¸a˜o da
carga ele´trica.
Sec¸a˜o 2: Primeira Lei de Kirchhoff 15
2.1. Generalizac¸a˜o
A Primeira Lei pode ser aplicada aos ramos que constituem um con-
junto de corte qualquer da rede. Para fazer esta aplicac¸a˜o e´ necessa´rio
orientar o corte.
i1 − i2 + i3 = 0
Note que podemos chegar ao mesmo resultado aplicando a Pri-
meira Lei aos no´s 1 e 2:
−i1 − i4 = 0 (no´ 1)
i4 + i2 − i3 = 0 (no´ 2)
Sec¸a˜o 2: Primeira Lei de Kirchhoff 16
Multiplicando as duas equac¸o˜es por -1 e fazendo a combinac¸a˜o linear
obtemos
i1 − i2 + i3 = 0,
o que confirma a validade da Primeira Lei Generalizada de Kirchhoff.
Sec¸a˜o 2: Primeira Lei de Kirchhoff 17
2.2. Matriz de Incideˆncia
Considere o circuito da figura abaixo e o seu respectivo grafo.
Sec¸a˜o 2: Primeira Lei de Kirchhoff 18
A sua matriz de incideˆncia aumentadaAa esta´ representada abaixo.
Dada uma rede cujo grafo tenha nt no´s e r ramos, sua matriz de
incideˆncia aumentada Aa caracteriza-se por:
1. a matriz tera´ nt linhas e r colunas;
Sec¸a˜o 2: Primeira Lei de Kirchhoff 19
2. o elemento gene´rico aij de Aa sera´ definido por:
(a) aij = +1, se o ramo j incidir no no´ i e sua orientac¸a˜o for
sainte ou eferente;
(b) aij = −1, se o ramo j incidir no no´ i e sua orientac¸a˜o for
entrante ou aferente;
(c) aij = 0, se o ramo j na˜o incidir no no´ i.
A matrizAa e´ uma maneira alternativa de apresentar a informac¸a˜o
das interconexo˜es do grafo orientado, adequada para ca´lculos compu-
tacionais.
Observe que a soma por colunas de todas as linhas de Aa da´ zero,
o que indica que estas linhas na˜o sa˜o linearmente independentes (LI).
A informac¸a˜o contida numa so´ linha pode assim ser obtida das demais
linhas.
A matriz que se obte´m suprimindo uma linha qualquer e´ chamada
matriz de incideˆncia (reduzida) e sera´ indicada porA. Retirando, por
exemplo, a 5a linha da matriz anterior obtemos a matriz de incideˆncia
Sec¸a˜o 2: Primeira Lei de Kirchhoff 20
A =

+1 +1 0 0 0 0
−1 0 +1 −1 0 0
0 0 0 +1 −1 0
0 0 0 0 +1 +1

O no´ correspondente a` linha suprimida e´ designado por no´ de
refereˆncia. Normalmente, corresponde ao no´ terra do circuito.
O nu´mero n de linhas da matriz de incideˆncia reduzida e´ igual ao
nu´mero de ramos de a´rvore do grafo do circuito, ou seja
n = nt − 1, (3)
que, na˜o por mero acaso, e´ igual ao nu´mero de linhas (ou equac¸o˜es)
LI da matriz Aa.
Indicando por i1, i2, . . . , ir as va´rias correntes da rede, podemos
compor o vetor de correntes
Sec¸a˜o 2: Primeira Lei de Kirchhoff 21
i =

i1
i2
i3
...
ir

E a´ı temos a Primeira Lei na sua forma matricial
A i = 0 (4)
onde 0 e´ o vetor nulo.
Considerando o exemplo dado e efetuando o produto indicado por
(4), resulta o sistema de equac¸o˜es
ia + ib = 0
−ia + ic − id = 0
id − ie = 0
ie + if = 0
(5)
22
que sa˜o as equac¸o˜es da Primeira Lei para os no´s na˜o de refereˆncia da
rede. Obtivemos 4 equac¸o˜es LI porque o posto (ou caracter´ıstica) da
matriz A e´ igual a n = nt − 1 = 4.
Voceˆ podera´ verificar que a equac¸a˜o
−ib − ic − if = 0
e´ uma combinac¸a˜o linear das Eqs. (5).
3. Segunda Lei de Kirchhoff
Considere um lac¸o qualquer de uma rede ele´trica, o qual e´ constitu´ıdo
por l bipolos. A Segunda Lei de Kirchhoff afirma que
l∑
i=1
±vi(t) = 0, ∀t (6)
A Segunda Lei nos diz que o trabalho l´ıquido necessa´rio para que
uma carga ele´trica percorra um caminho fechado e´ nulo. Esta lei esta´
relacionada a` lei f´ısica de Conservac¸a˜o da Energia.
Aplicac¸a˜o:
Sec¸a˜o 3: Segunda Lei de Kirchhoff 23
1. fixar todos os sentidos de refereˆncia de tensa˜o nos bipolos que
compo˜em o lac¸o (com isso estabelecemos uma regra para a ligac¸a˜o
dos volt´ımetros para a medida das tenso˜es de ramos);
2. orientar o lac¸o (arbitra´rio), estabelecendo um sentido positivo
de percurso;
3. estabelecer uma convenc¸a˜o para os sinais das tenso˜es. Por exem-
plo: adotar sinal positivo para tensa˜o discordante da orientac¸a˜o
do lac¸o e negativo para tensa˜o concordante da orientac¸a˜o do
lac¸o.
Sec¸a˜o 3: Segunda Lei de Kirchhoff 24
Aplicando a Segunda Lei ao circuito da Fig. anterior obtemos
v1 − v2 + v3 − v4 = 0 (+) p/ tensa˜o discordante
ou
−v1 + v2 − v3 + v4 = 0 (+) p/ tensa˜o concordante
3.1. Expressa˜o Matricial da Segunda Lei
Uma possibilidade de obter uma expressa˜o matricial que contenha o
maior nu´mero poss´ıvel de equac¸o˜es LI decorre da aplicac¸a˜o da Segunda
Lei a todos os lac¸os fundamentais correspondentes a uma dada a´rvore
do grafo da rede; assim, cada equac¸a˜o difere das demais ao menos por
uma tensa˜o de ramo de ligac¸a˜o, o que torna o conjunto de equac¸o˜es
LI.
Vamos assumir que os lac¸os fundamentais foram orientados e que
o sentido positivo de circulac¸a˜o coincide com a orientac¸a˜o do ramo de
ligac¸a˜o que define o lac¸o fundamental.
Suponhamos enta˜o escolhida uma a´rvore da rede dada, suposta
com grafo conexo, e vamos definir a matriz B, matriz dos lac¸os fun-
damentais associados a` a´rvore
Sec¸a˜o 3: Segunda Lei de Kirchhoff 25
1. a matriz B tem um nu´mero de linhas igual ao nu´mero de lac¸os
fundamentais e tantas colunas quantos forem os ramos da rede.
Assim, a cada linha de B correspondera´ um lac¸o e a cada coluna
correspondera´ um ramo;
2. o elemento gene´rico bij de B sera´ definido por:
(a) bij = +1, se o ramo j pertencer ao lac¸o i e sua orientac¸a˜o
for concordante com o lac¸o;
(b) bij = −1, se o ramo j pertencer ao lac¸o i e sua orientac¸a˜o
for discordante com o lac¸o;
(c) bij = 0, se o ramo j na˜o pertencer ao lac¸o i.
Por esta construc¸a˜o resulta que o posto (ou caracter´ıstica) da ma-
triz B e´ igual ao nu´mero l de ramos de ligac¸a˜o.
Seja o vetor das tenso˜es de ramo
v = [v1v2 . . . vr]T
onde os vi, i = 1, 2, . . . , r, sa˜o as tenso˜es de ramo e o expoente T
denota a operac¸a˜o de transposic¸a˜o do vetor. E´ fa´cil enta˜o verificar
que as equac¸o˜es da 2a Lei para os lac¸os fundamentais esta˜o contidas
na equac¸a˜o matricial
Sec¸a˜o 3: Segunda Lei de Kirchhoff 26
B v = 0 (7)
onde 0 e´ o vetor nulo.
Sec¸a˜o 3: Segunda Lei de Kirchhoff 27
B v =
+1 0 0 +1 −1 00 +1 0 0 +1 −1
0 0 +1 −1 0 +1


v1
v2
v3
v4
v5
v6
 = 0 (8)
3.2. Tenso˜es Nodais
Considere o grafo orientado e conexo de uma rede. Escolha um no´
como no´ de refereˆncia (que, pode ser o terra do circuito). As tenso˜es
nodais ek da rede sera˜o as tenso˜es medidas entre cada um dos no´s e o
no´ de refereˆncia, com o “-” do volt´ımetro ligado ao no´ de refereˆncia.
Sec¸a˜o 3: Segunda Lei de Kirchhoff 28
Aplicando a Segunda Lei a uma curva fechada que passa pelo no´
de refereˆncia e pelo ramo d, obtemos
e1 + vd − e3 = 0 → vd = e3 − e1.
As relac¸o˜es entre as tenso˜es nodais e as tenso˜es de ramos de uma
rede podem se exprimir por uma relac¸a˜o matricial que envolve a matriz
Sec¸a˜o 3: Segunda Lei de Kirchhoff 29
de incideˆncia reduzida do grafo da rede. Deve-se tomar o mesmo no´
de refereˆncia para construir a matriz e para definir as tenso˜es nodais.
Dada uma rede com n+1 no´s, definimos o vetor das tenso˜es nodais
por
e = [e1e2 . . . en]T .
Sendo v o vetor das tenso˜es de ramo, vale a relac¸a˜o
AT e = v. (9)
No circuito com o grafo da figura anterior temos:
A =
 1 0 1 −1 0 0−1 1 0 0 −1 0
0 0 0 1 1 1

Sec¸a˜o 3: Segunda Lei de Kirchhoff 30
Portanto, a relac¸a˜o entre as tenso˜es de ramo e as tenso˜es nodais
sera´
AT e =

1 −1 0
0 1 0
1 0 0
−1 0 1
0 −1 1
0 0 1

e1e2
e3
 =

e1 − e2
e2
e1
−e1 + e3
−e2 + e3
e3
 =

vd
vb
vc
vd
ve
vf

Refereˆncias
[1] L. Q. Orsini, D. Consoni, Curso de Circuitos Ele´tricos - Volume
1. 2a ed., Editora Edgard Blu¨cher Ltda, 2002.
	Tabela de Conteúdo
	1 Redes de Bipolos e Grafos
	2 Primeira Lei de Kirchhoff
	2.1 Generalização
	2.2 Matriz de Incidência
	3 Segunda Lei de Kirchhoff
	3.1 Expressão Matricial da Segunda Lei
	3.2 Tensões Nodais