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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I BELO HORIZONTE / MG CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES ............................................................................................... 3 A FUNÇÃO AFIM................................................................................................................... 5 A FUNÇÃO QUADRÁTICA .................................................................................................... 7 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 01 ATÉ 03 ................................................. 9 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .........................................................................................15 FUNÇÕES EXPONENCIAIS .................................................................................................18 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ..............................................................................................19 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 05 ATÉ 07 ..................................................20 DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI ....................................................................24 LIMITES .............................................................................................................................26 LIMITES LATERAIS E CONTINUIDADE ...............................................................................29 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO ....................................................................................31 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA AULA 09 ATÉ 12 .......................................................33 UM LIMITE FUNDAMENTAL ................................................................................................35 DOIS LIMITES FUNDAMENTAIS .........................................................................................36 ASSÍNTOTAS .......................................................................................................................38 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 14 ATÉ 16 ..................................................39 DERIVADAS .........................................................................................................................40 REGRAS DE DERIVAÇÃO ...................................................................................................42 REGRA DA CADEIA .............................................................................................................44 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 18 ATÉ 20 ..................................................45 REGRA DE L’HOSPITAL ......................................................................................................48 DERIVADAS SUCESSIVAS E INTERVALOS DE CRESCIMENTO .......................................51 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS .........................................................................................53 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ...........................................................................................54 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 22 ATÉ 25 ..................................................55 INTEGRAL INDEFINIDA .......................................................................................................59 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO .............................................................................................60 INTEGRAL DEFINIDA ..........................................................................................................61 ÁREAS .................................................................................................................................63 ÁREAS ENTRE CURVAS .....................................................................................................64 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 27 ATÉ 31 ..................................................65 BIBLIOGRAFIA BÁSICA .......................................................................................................69 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: .....................................................................................69 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES O Cálculo Diferencial e Integral, que passamos a estudar agora, pode ser entendido como o estudo do comportamento das funções, permeando os conceitos, que estudaremos a seguir, de derivada e de integral. As funções que serão objeto de nosso estudo, neste primeiro momento, são funções reais de uma variável real. O que seria isso? No ensino fundamental e no médio (ou antigos ginasial e colegial), tivemos contato com expressões como: (1) 𝑦 = 5𝑥 − 3 (2) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 (3) 𝑠 = 23 + 5𝑡 (4) 𝑀(𝑡) = 300. (1 + 0,04𝑡) Em todas elas, temos uma variável que depende de outra. Por exemplo, na expressão (1) o valor de 𝑦 depende do valor de 𝑥; em (2) temos que 𝑓(𝑥) depende do valor de 𝑥; em (3), 𝑠 depende de 𝑡 e, finalmente, em (4), 𝑀(𝑡) depende de 𝑡. Podemos também dizer que: Em (1), 𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a variável dependente; Em (2), 𝑥 é a variável independente e 𝑓(𝑥) é a variável dependente; Em (3), 𝑡 é a variável independente e 𝑠 é a variável dependente; Em (4), 𝑡 é a variável independente e 𝑀(𝑡) é a variável dependente. Exemplo 1: Se 𝑔(𝑥) = 𝑥² − 3𝑥, determine 𝑔(5) e 𝑔(𝑎 + 1). Para calcular 𝑔(5) basta substituir 𝑥 por 5 em 𝑔(𝑥) = 𝑥² − 3𝑥. Assim, temos que 𝑔(5) = 5² − 3.5 = 10. Da mesma maneira, para obter 𝑔(𝑎 + 1), substituímos 𝑥 por 𝑎 + 1. Portanto, 𝑔(𝑎 + 1) = (𝑎 + 1)² − 3. (𝑎 + 1) = 𝑎² + 2𝑎 + 1 − 3𝑎 − 3 = 𝑎² − 𝑎 − 2. Exemplo 2: A receita com a venda de 𝑥 unidades de determinado produto é dada por 𝑅(𝑥) = 115,95𝑥 e o custo para produzir 𝑥 unidades é 𝐶(𝑥) = 95𝑥 + 750. Para que haja lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo. Para que valores de 𝑥 esse produto dará lucro? Para obter lucro, devemos ter 𝑅(𝑥) > 𝐶(𝑥). Assim, 115,95𝑥 > 95𝑥 + 750. Resolvendo a inequação temos: Portanto, para obter lucro devemos vender, pelo menos, 36 unidades. Exemplo 3: Um automóvel novo custa 𝑅$ 22.000,00. Suponhamos que nos 8 primeiros anos ele sofra uma desvalorização linear de 𝑅$ 2.000,00 ao ano. a) Escreva a expressão que relaciona o valor do automóvel (em reais) com o tempo decorrido (em anos). b) Qual será o valor do automóvel após 4 anos de uso? c) Quanto tempo leva para que seu valor seja 𝑅$ 10.000,00? a) Neste problema temos duas variáveis que são o valor do automóvel e o tempo decorrido. Chamando o valor do automóvel de 𝑉 e o tempo de 𝑡, podemos dizer que 𝑉 = 22000 − 2000. 𝑡, ou seja, após 𝑡 anos o carro valerá 22.000 reais subtraído de 2.000 vezes a quantidade de anos que se passaram, que é a desvalorização. Duas maneiras alternativas de escrever esta expressão seriam 𝑉(𝑡) = 22000 −2000. 𝑡 e 𝑉(𝑡) = 22 − 2𝑡 com 𝑉(𝑡) em milhares de reais. b) O valor do automóvel após 4 anos será 𝑉(4) = 22000 − 2000.4 = 14.000 reais. c) Para saber após quantos anos o automóvel valerá 10.000 reais, fazemos Exemplo 4: Na expressão (fórmula para converter graus Celsius em graus Fahrenheit e vice-versa) temos 𝑡𝑐 (variável dependente) em função de 𝑡𝑓 (variável independente). De forma análoga poderíamos escrever onde 𝑡𝑓 (agora variável dependente) está em função de 𝑡𝑐 (agora variável independente). Em termos mais formais, podemos definir uma função de um conjunto A em um conjunto B como sendo uma relação 𝑓 entre os elementos de A e B que faz corresponder a cada elemento do conjunto A um único elemento de B. • Domínio e imagem de uma função O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores da variável independente e o conjunto imagem é composto por todos os valores da variável dependente. As definições de domínio e imagem ficarão mais clarasnas próximas aulas, quando tratarmos de cada um dos tipos de função. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4 Gráfico de uma função Como temos dois conjuntos de valores (o domínio e a imagem) podemos representar cada par ordenado (variável independente, variável dependente) no plano cartesiano, que é um sistema de coordenadas no qual temos uma reta real horizontal denominada eixo 𝑥 e uma reta real vertical denominada eixo 𝑦. Assim, por exemplo, para a função 𝑦 = 3𝑥² − 5 podemos determinar quantos pontos do seu gráfico desejarmos determinando, para isso, pares ordenados (𝑥, 𝑦). Podemos fazer isso atribuindo valores a 𝑥 obtendo os respectivos valores de 𝑦. Se escolhemos 𝑥 = −1, então 𝑦 = 3. (−1)² − 5 = −2. Logo, temos o par ordenado (−1, −2) e sabemos que o gráfico da função dada passa pelo ponto (−1, −2) conforme a figura a seguir. Escolhendo outros valores para 𝑥, podemos determinar outros valores de 𝑦 e esboçar o gráfico da função. Evidentemente, este não é um método prático para esboçar gráficos de funções. Conforme veremos na próxima aula, conhecendo o tipo de função, podemos abreviar este trabalho e esboçar gráficos de funções a partir de pontos escolhidos estrategicamente. Exercícios propostos: 03) Uma empresa reembolsa seus empregados em R$ 150,00 ao dia por despesas de hotel e alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro percorrido. a) Escreva uma equação linear para o reembolso R em termos de x, o número de quilômetros percorridos. b) Qual o valor do reembolso se 𝑥 = 550 𝐾𝑚? c) Um funcionário foi reembolsado em R$ 218,00. De quantos quilômetros foi sua viagem? 04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 uma máquina que tem uma vida útil de 8 anos. O valor da máquina como sucata ao final dos 8 anos é de R$ 2.000,00. Escreva uma equação linear que descreva o valor depreciado da máquina a cada ano que passa. 05) Um microempresário compra um computador por R$ 1.025,00. Depois de 5 anos, o computador está ultrapassado e não tem mais valor comercial. Escreva uma equação linear para o valor V do computador em termos do tempo t em anos. 06) Uma universidade tem 2546 alunos em 1998 e 2702 alunos em 2000. Se o número de alunos matriculados variar de forma linear, quantos alunos terá a universidade em 2004? 07) Um homem apara seu gramado toda quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da grama como uma função do tempo no decorrer do período de 4 semanas. 08) Dada a função 𝑦 = 3𝑥 + 1 determine o valor de 𝑦 para: 09) Considerando a função dada por 𝑦 = 1 − 2𝑥, responda: a) Para 𝑥 = 5 quanto vale 𝑦? b) Para 𝑥 = −6 quanto vale 𝑦? c) Para quanto vale 𝑦? d) Para que valor de 𝑥 se tem 𝑦 = −15? 10) Considerando a função dada por 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6, responda: a) Para x = 5 quanto vale y? b) Para x=-6 quanto vale y? c) Existe x tal que y = 0? d) Para que valores de x se tem y = 6? e) Para que valor real de x se tem y = - 8? 11) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 3𝑥 + 5𝑦 = 10. a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥 (Isole 𝑦). b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦 (Isole 𝑥). 12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 𝑥 − 7𝑦 = 11. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 5 a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥 (Isole 𝑦). b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. (Isole 𝑥). A FUNÇÃO AFIM Uma função afim se caracteriza por uma expressão do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏) onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. Exemplo 1: As expressões a seguir representam funções afins. (1) 𝑦 = 3𝑥 − 5, onde 𝑎 = 3 e 𝑏 = −5 (2) 𝑓(𝑥) = −𝑥, onde 𝑎 = −1 e 𝑏 = 0 (3) 𝑣(𝑡) = 10 + 7𝑡, onde 𝑎 = 7 e 𝑏 = 10 Em uma função dada por 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, se tivermos 𝑎 ≠ 0, a raiz (ou zero) da função é o valor de 𝑥 que faz com que o valor da função (𝑦) seja nulo. Exemplo 2: Seja função dada por 𝑦 = 2𝑥 + 10, temos que −5 é a raiz da função, já que 2. (−5) + 10 = 0. Para determinar a raiz, basta que façamos 𝑦 = 0. No caso do exemplo anterior, teríamos 2𝑥 + 10 = 0 → 2𝑥 = −10 → 𝑥 = −5. De maneira geral, temos que se 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑎 ≠ 0 então a raiz será pois . Exemplo 3: A raiz da função afim dada por implica que 5𝑥 = 2 e, portanto, . A representação gráfica de uma função afim é uma reta e podemos obter a reta a partir de dois de seus pontos. Para isso, atribuímos dois valores distintos para 𝑥 obtendo dois valores para 𝑦 ou vice-versa. O fato de que por dois pontos distintos passa uma única reta nos garante que, desta maneira, a representação gráfica da função afim estará determinada. Exemplo 4: Representar no plano cartesiano as funções seguintes: a) 𝑦 = 3𝑥 − 4 b) 𝑦 = −5𝑥 + 1 c) 𝑦 = −3 a) Tomando valores arbitrários para 𝑥 determinamos os respectivos valores de 𝑦 e, consequentemente, os pares ordenados desejados. Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑦 = 3.0 − 4 e, portanto, 𝑦 = 3.0 − 4. Temos, então, o par ordenado (0, −4). Para organizar melhor os resultados, façamos uma tabela com os valores de entrada (𝑥) e os valores de saída (𝑦). Agora, fazendo 𝑥 = 1 e efetuando os cálculos necessários, teremos 𝑦 = −1. Finalmente, vamos localizar no plano cartesiano os pontos (0, −4) e (1, −1) e traçar a reta que passa por estes pontos. b) Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑦 = −5.0 + 1 e, portanto, 𝑦 = 1. Temos, então, o par ordenado (0,1). Agora, fazendo 𝑥 = 1 e efetuando os cálculos necessários, teremos 𝑦 = - 4 Localizando no plano cartesiano os pontos (0,1) e (1, −4) e traçando a reta que passa por estes pontos, obtemos a seguinte representação gráfica. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 6 c) Neste caso, 𝑦 = −3 para qualquer valor de 𝑥. Portanto, temos a seguinte representação. Notemos que, com relação ao domínio da função afim, será sempre o conjunto dos números reais. Já a imagem é também o conjunto ℝ, exceto quando temos uma função constante, como a do exemplo anterior. Neste caso, a imagem é composta apenas por essa constante. Então se 𝑦 = 𝑐, a imagem da função é o conjunto unitário {𝑐}. Exemplo 5: O inventor de um jogo de computador estima que o custo variável para produzir o jogo é de 𝑅$ 0,95 por unidade e que o custo fixo é de 𝑅$ 6.000,00. a) Expresse o custo total em função de 𝑥, a quantidade de jogos vendidos. b) Escreva uma expressão para o custo médio unitário, ou seja, . c) O preço de venda de cada jogo é 𝑅$ 1,69. Quantos jogos devem ser vendidos para que o custo médio unitário seja menor que o preço de venda? a) O custo total será a soma dos 𝑅$ 6.000,00 fixos com a quantidade de unidades produzidas, multiplicada por 𝑅$ 0,95, que é o custo variável. Assim, 𝐶(𝑥) = 0,95𝑥 + 6000. b) O custo médio é igual ao custo total dividido pela quantidade de unidades produzidas. Portanto, . c) A condição é que o custo médio seja menor que o preço de venda que é de 𝑅$ 1,69. Temos então e inequação Logo, é necessário que a quantidade produzida seja de, no mínimo, 8109 unidades. Exercícios propostos 01) Uma indústria fabrica peças e semanalmente possui um custo fixo de R$3500. Se o custo para o material é de R$ 47,00 por peça e seu custo total da semana foi de R$13.370, quantas peças foram produzidas nesta semana? 02) O preço p por unidade de um produto quando x unidades (em milhares) são produzidas é modelado pela função 𝑝 = 12 − 0,025. 𝑥 a) Qual o preço do produto, caso sejam produzidas 40 000 unidades? b) Para que o preço seja R$ 8,90 quantas peças devem ser produzidas? 03) Uma máquina industrial custa R$ 240.000 e sofre a cada ano uma depreciação linear de R$ 25.000. Obtenha: a) A expressão que relaciona o valor da máquina (V) em relação à sua idade(t). b) O valor da máquina após 6 anos. c) Quanto tempo leva para a máquina ter um valor de R$ 165 000? 04) Uma empresa investe 𝑅$ 98.000,00 em máquinas para fabricar um novo produto. Cada unidade do produto custa 𝑅$ 12,30 para ser fabricada e é vendida por 𝑅$ 17,98. Seja 𝑥 a quantidade de unidades produzidas e vendidas. a) Escreva uma expressão para o custo total em função de 𝑥. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 7 b) Escreva uma expressão para a receita 𝑅 em função de 𝑥. c) Escreva uma expressão para o lucro 𝐿 em função de 𝑥. 05) Uma fábrica produz placas de aço na forma de retângulos. As medidas variam. No entanto, a medida do comprimento tem sempre 5cm a mais do que a medida da largura. a) Expresse a área do retângulo em função da medida da largura. b) Qual deve ser a medida da largura para que a área da peça seja de 104cm2? 06) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um canil retangular com 40m2 de área. Para cercar os outros três lados, uma tela de arame de 18m de comprimento será dividida em três pedaços, conforme o esquema abaixo. a) Chamando de 𝑥 a medida da lateral do canil, qual será o comprimento em função de 𝑥? b) Expresse a área em função de 𝑥. c) Quanto deverá medir cada um dos três pedaços da tela? 07) Um móvel se desloca em movimento retilíneo uniforme. Quando 𝑡 = 0𝑠 ele está na posição 𝑠= 60𝑚 e em 𝑡 = 2𝑠 sua posição é 𝑠 = 90𝑚. a) Qual a velocidade do móvel em 𝑚/𝑠? b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 08) Um carro trafega em uma estrada retilínea com uma velocidade constante de 75 𝐾𝑚/ℎ. Quando 𝑡 = 0ℎ ele está no 𝐾𝑚 12 indo no sentido crescente da via. a) Em que Km ele estará após 2 horas? b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 09) Um móvel se desloca em movimento retilíneo com velocidade constante de 22𝑚/𝑠 e posição inicial 𝑠 = 125𝑚. a) Em que posição ele estará após 5 segundos? b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣.𝑡. c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. A FUNÇÃO QUADRÁTICA A função quadrática (ou função polinomial do 2º grau) se caracteriza por uma expressão do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais e 𝑎 ≠ 0. Exemplo 1: As expressões a seguir representam funções quadráticas. Assim como na função afim, os valores de 𝑥 que fazem com que o valor da função (𝑦) seja nulo são chamados de raízes da função quadrática. Aqui, falamos em raízes e não apenas em raiz, porque no caso da função quadrática, resolveremos uma equação do 2º grau para encontrar as raízes e, como já sabemos, uma equação deste tipo pode ter até duas soluções reais. Exemplo 2: Seja função dada por temos que −3 e 5 são raízes da função, já que: e Novamente, para determinar as raízes, basta que façamos 𝑦 = 0. No caso do exemplo anterior, teríamos . Resolvendo esta equação obtemos o conjunto solução 𝑆 = {−3,5}. A representação gráfica de uma função quadrática é uma parábola e podemos obter a parábola a partir de alguns de seus pontos: as raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola. • A intersecção com o eixo y e o vértice Para obter a intersecção do gráfico com o eixo 𝑦, basta fazermos 𝑥 = 0. Assim, em uma função dada por a intersecção com o eixo 𝑦 será em Exemplo 3: Determine a intersecção com o eixo y em cada caso. • O vértice da parábola CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 8 Este importante ponto da parábola será estudado com mais detalhe nas aulas de máximos e mínimos. Neste ponto, a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Para determinar o vértice de uma parábola que representa uma função quadrática, utilizamos a fórmula , onde Exemplo 4: Determine as raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola dada por A seguir, esboce o gráfico. As raízes são dadas pelas soluções da equação que são 2 e 4. A intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto (0,8) pois 𝑐 = 8. O vértice da parábola pode ser calculado obtendo . Para obter o valor de 𝑦𝑣 = podemos usar a fórmula ou, simplesmente, substituir 𝑥 por 3 em obtendo 𝑦 = 32 − 6.3 + 8 = −1. Logo, o vértice da parábola é o ponto 𝑉 = (3, −1). Portanto, a representação gráfica é: Note que a concavidade está voltada para cima. Isso ocorre porque o valor do coeficiente 𝑎 é positivo. Caso fosse negativo, teríamos a concavidade para baixo. Exemplo 5: Determine as raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola dada por A seguir, esboce o gráfico. As raízes são dadas pelas soluções da equação que é 3. Aqui só temos uma raiz. Assim, a parábola terá apenas uma intersecção com o eixo 𝑥. A intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto (0, −9). A abscissa do vértice da parábola é dada . Para obter o valor de 𝑦𝑣 vamos substituir 𝑥 por 3 em 6𝑥 − 9 obtendo Logo, o vértice da parábola é o ponto 𝑉 = (3,0). É importante observar aqui que o fato de a função ter apenas uma raiz faz com que não necessitemos calcular o vértice da parábola, já que a intersecção com o eixo 𝑥 coincidirá com o vértice da parábola, ou seja, o ponto (3,0). Portanto, a representação gráfica é: Agora a concavidade está voltada para baixo, pois 𝑎 = −1 < 0. Exemplo 6: Determine as raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola dada por A seguir, esboce o gráfico. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 9 As raízes são dadas pelas soluções da equação Como esta equação não possui soluções reais, não temos raízes. Assim, a parábola não terá intersecções com o eixo 𝑥. A intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto (0,5). A abscissa do vértice da parábola é dada Para obter o valor de 𝑦𝑣 vamos substituir 𝑥 por 2 em obtendo Logo, o vértice da parábola é o ponto 𝑉 = (2,1). Portanto, a representação gráfica é: Assim como na função afim, o domínio é o próprio conjunto ℝ e a imagem é determinada pelo vértice da parábola. Assim, se a parábola tem a concavidade para cima, a imagem é o intervalo [𝑦𝑣, +∞[ e se tem a concavidade voltada para baixo, a imagem é [- ∞, yv]. Exercícios propostos: 01) Seja , calcule: a) 𝑓(0) b) 𝑓(1) c) 𝑓(3) −𝑓(2) d) 𝑓(−3) + 𝑓(−1) 02) Para a função , determine: a) As raízes, se existirem. b) O vértice. c) O esboço do gráfico. 03) Esboce o gráfico das funções. 04) Dada a função determine: a) 𝑔(2) b) 𝑔(−2) 05) Qual o vértice da parábola definida por ? 06) Se o vértice da parábola dada por é o ponto (2,5), então qual o valor de m? 07) Para que valor de 𝑥 a função dada por , tem um valor máximo? 08) Qual o valor máximo que a função dada por assume? 09) Para que valor de 𝑥 a função dada por , tem um valor mínimo? 10) Qual o valor mínimo que a função dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 16𝑥 + 1 assume? RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 01 ATÉ 03 01) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3, calcule: a) 𝑓(0) = 2.0 − 3 = −3 b) 𝑓(−3) = 2. (−3) − 3 = −6 − 3 = −9 c) 𝑓(𝑥 − 1) = 2. (𝑥 − 1) − 3 = 2𝑥 − 2 − 3 = 2𝑥 − 5 d) 𝑓(1 + ℎ) = 2. (1 + ℎ) − 3 = 2 + 2ℎ − 3 = 2ℎ − 1 02) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 + 2, calcule: 03) Uma empresa reembolsa seus empregados em R$ 150,00 ao dia por despesas de hotel e CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 10 alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro percorrido. a) Escreva uma equação linear para o reembolso R em termos de x, o número de quilômetros percorridos. Para calcular o reembolso multiplicamos a quantidade de quilômetros por 0,34 e somamos 150 reais. Assim, podemos escrever 𝑅(𝑥) = 0,34. 𝑥 + 150 𝑜𝑢 𝑅(𝑥) = 150 +0,34. 𝑥 b) Qual o valor do reembolso se 𝑥 = 550 𝐾𝑚? Bastasubstituir x por 550 em 𝑅(𝑥) = 150 + 0,34. 𝑥. Assim, 𝑅(𝑥) = 150 + 0,34.550 = 150 + 187 = 337 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 c) Um funcionário foi reembolsado em R$ 218,00. De quantos quilômetros foi sua viagem? Uma forma é substituir R(x) por 218 em 𝑅(𝑥) = 150 + 0,34. 𝑥. Assim, temos Outra forma é subtrair os 150 reais fixos de 218 reais, obtendo 68 reais. Esses 68 reais correspondem aos quilômetros percorridos multiplicados por 0,34. Assim, podemos obter a quantidade de quilômetros dividindo 68 por 0,34. 04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 uma máquina que tem uma vida útil de 8 anos. O valor da máquina como sucata ao final dos 8 anos é de R$ 2.000,00. Escreva uma equação linear que descreva o valor depreciado da máquina a cada ano que passa. A desvalorização da máquina foi de 10.000 reais (12.000 − 2.000) em um período de 8 anos, ou seja, de 1.250 reais por ano. Logo, o valor da máquina após certo tempo é de 12.000, menos 1.250 vezes a quantidade de anos que se passaram. Então, 𝑉(𝑡) = 12000 − 1250. 𝑡 05) Um microempresário compra um computador por R$ 1.025,00. Depois de 5 anos, o computador está ultrapassado e não tem mais valor comercial. Escreva uma equação linear para o valor V do computador em termos do tempo t em anos. A desvalorização do computador foi de 1.025 reais em um período de 5 anos, ou seja, de 205 reais por ano. Logo, o valor do computador após certo tempo é de 1.025, menos 205 vezes a quantidade de anos que se passaram. Então, 𝑉(𝑡) = 1025 − 205. 𝑡 06) Uma universidade tem 2546 alunos em 1998 e 2702 alunos em 2000. Se o número de alunos matriculados variar de forma linear, quantos alunos terá a universidade em 2004? A diferença na quantidade de alunos de 1998 a 2000 foi de 156, ou seja, de 78. Como foi suposto que o crescimento é linear, temos um aumento estimado de 78 alunos por ano. Assim, em 2004 teremos 2702 + 78.4 = 2702 + 312 = 3014 alunos. 07) Um homem apara seu gramado toda quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da grama como uma função do tempo no decorrer do período de 4 semanas. Suponhamos que a grama aparada tenha certa altura (não importa quanto). Ao longo da semana a altura da grama vai aumentando e podemos inferir que o gráfico tenha a seguinte forma: Na quarta-feira seguinte a grama volta a ter a altura inicial (grama aparada) e continua crescendo nas mesmas condições do período anterior. Logo, temos: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 11 08) Dada a função 𝑦 = 3𝑥 + 1 determine o valor de 𝑦 para: 09) Considerando a função dada por 𝑦 = 1 − 2𝑥, responda: a) Para 𝑥 = 5 quanto vale 𝑦? 𝑦 = 1 − 2.5 = 1 − 10 = −9 b) Para 𝑥 = −6 quanto vale 𝑦? 𝑦 = 1 − 2. (−6) = 1 + 12 = 13 c)Para quanto vale 𝑦? d)Para que valor de 𝑥 se tem 𝑦 = −15? −15 = 1 − 2𝑥 2𝑥 = 1 + 15 2𝑥 = 16 𝑥 = 8 10) Considerando a função dada por 𝑦 = 𝑥² − 7𝑥 + 6, responda: a) Para 𝑥 = 4 quanto vale 𝑦? b) Para 𝑥 = −1 quanto vale 𝑦? c) Existe 𝑥 tal que 𝑦 = 0? Substituindo y por 0, temos: Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 6, respectivamente. Assim, ∆= (−7)² − 4.1.6 = 49 − 24 = 25 d) Para que valores de 𝑥 se tem 𝑦 = 6? Substituindo y por 6, temos: Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 0, respectivamente. Assim, ∆= (−7)² − 4.1.0 = 49 Observação: Há outros métodos de resolução de equações do 2º grau. e) Para que valor real de 𝑥 se tem 𝑦 = −8? Substituindo y por –8, temos Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 14, respectivamente. Assim, ∆= (−7)² − 4.1.14 = 49 − 56 = −7 Como não existe um número real que seja a raiz quadrada de –7, a equação 𝑥² − 7𝑥 +14 = 0 não tem solução real e, logo, não existe valor de x que satisfaça a condição dada. 11) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 3𝑥 + 5𝑦 = 10. a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥. Para expressar y em função de x devemos isolar a variável y. b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. Para expressar x em função de y devemos isolar a variável x. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 12 12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 𝑥 − 7𝑦 = 11. a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥. b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. Exercícios da Aula 2: 1) Uma indústria fabrica peças e semanalmente possui um custo fixo de R$3500. Se o custo para o material é de R$ 47,00 por peça e seu custo total da semana foi de R$ 13 370, quantas peças foram produzidas nesta semana? Se subtrairmos 3500 reais (custo fixo) dos 13370 reais (custo total) ficamos com 9 870 reais, que corresponde ao custo variável. Como cada peça produz um custo de 47 reais, a quantidade de peças é o resultado da divisão de 9870 por 47. Logo, foram produzidas 210 peças. 2) O preço p por unidade de um produto quando x unidades (em milhares) são produzidas é modelado pela função 𝑝 = 12 − 0,025. 𝑥 a) Qual o preço do produto, caso sejam produzidas 40000 unidades? Como x está em milhares, para calcular o preço do produto quando são produzidas 40000 unidades, devemos substituir x por 40. Assim, 𝑝 = 12 − 0,025.40 → 𝑝 = 12 − 1 =11 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. b) Para que o preço seja R$ 8,90 quantas peças devem ser produzidas? Agora, basta substituir p por 8,90 e resolver a equação. Assim, 𝑥 = 124. Logo deverão ser produzidas 124000 unidades. 3) Uma máquina industrial custa R$ 240000 e sofre a cada ano uma depreciação linear de R$ 25 000. Obtenha: a) A expressão que relaciona o valor da máquina (V) em relação à sua idade (t). O valor da máquina após t anos será a diferença entre 240000 e t vezes 25000. Assim, V(t) = 240000 − 25000. t b) O valor da máquina após 6 anos. V(6) = 240000 − 25000.6 = 240000 − 150000 = 90000 reais c) Quanto tempo leva para a máquina ter um valor de R$ 165000? Substituindo V(t) por 165000 ficamos com a equação 165000 = 240000 − 25000. t 25000. t = 240000 − 165000 25000. t = 75000 t = 3 anos 04) Uma empresa investe R$ 98.000,00 em máquinas para fabricar um novo produto. Cada unidade do produto custa 𝑅$ 12,30 para ser fabricada e é vendida por 𝑅$ 17,98. Seja 𝑥 a quantidade de unidades produzidas e vendidas. a) Escreva uma expressão para o custo total em função de 𝑥. O custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. O custo fixo, neste caso é de 𝑅$ 98.000,00 e o custo variável é de 12,30. 𝑥 sendo 𝑥 a quantidade de unidades produzidas. Portanto, o custo total é dado por 𝐶(𝑥) = 98000 + 12,30𝑥. b) Escreva uma expressão para a receita 𝑅 em função de 𝑥. A receita é o valor recebido, ou seja, o preço de venda multiplicado pela quantidade de produtos. Logo, 𝑅(𝑥) = 17,98𝑥. c) Escreva uma expressão para o lucro 𝐿 em função de 𝑥. O lucro é a diferença entre a receita e o custo. Assim, 𝐿(𝑥) = 17,98𝑥 − (98000 + 12,30𝑥) = 5,68𝑥 − 98000. 05) Uma fábrica produz placas de aço na forma de retângulos. As medidas variam. No entanto, a medida do comprimento tem sempre 5cm a mais do que a medida da largura. a) Expresse a área do retângulo em função da medida da largura. Chamando a largura de l e sabendo que o comprimento tem 5cm a mais que a largura, temos: Assim, a área do retângulo (comprimento vezes largura) será dada por 𝐴(𝑙) = (𝑙 + 5). 𝑙 = 𝑙² + 5𝑙 b) Qual deve ser a medida da largura para que a área da peça retangular seja de 104cm2? Para que a área seja 104 cm2 teremos, substituindo A(l) por 104: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 13 Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, 5 e – 104, respectivamente. Assim, ∆= 5² − 4.1. (−104) = 25 + 416 = 441 Evidentemente a solução – 13 não faz sentido no contexto geométrico. Assim, o valor dalargura é 8cm. Realmente, fazendo a largura valer 8cm o comprimento vale 13cm (5cm a mais) e a área vale 8.13=104cm², conforme a condição dada no enunciado. 06) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um canil retangular com 40m² de área. Para cercar os outros três lados, uma tela de arame de 18m de comprimento será dividida em três pedaços, conforme o esquema abaixo. a) Chamando de a lateral do canil, qual será o comprimento em função de 𝑥? Como a largura é x temos que o comprimento é o que resta de 18 quando tiramos ambas as laterais (2x). Assim, o comprimento vale 18 − 2𝑥. b) Expresse a área em função de 𝑥. A área é dada por comprimento vezes a largura. Logo 𝐴(𝑥) = 𝑥. (18 − 2𝑥) c) Quanto deverá medir cada um dos três pedaços da tela? Como a área do canil deve ser de 40m2 podemos escrever 40 = 𝑥. (18 − 2𝑥) 40 = 18𝑥 − 2𝑥² 2𝑥² − 18𝑥 + 40 = 0 Os coeficientes a b e c neste caso são 2, –18 e 40, respectivamente. Assim, ∆= (−18)² − 4.2.40 = 324 − 324 = 4 Assim, a largura da cerca pode valer 4m ou 5m. Se a largura valer 4m, teremos um comprimento de 10m. Logo, as dimensões seriam 4, 4 e 10m. Se a largura valer 5m, teremos um comprimento de 8m. Logo, as dimensões seriam 5, 5 e 8m. Verifique que, em ambos os casos, o comprimento da cerca é de 18m e a área do canil é de 40m². 07) Um móvel se desloca em movimento retilíneo uniforme. Quando 𝑡 = 0𝑠 ele está na posição 𝑠 = 60𝑚 e em 𝑡 = 2𝑠 sua posição é 𝑠 = 90𝑚. a) Qual a velocidade do móvel em 𝑚/𝑠? b) Escreva a equação do movimento Como , a equação é 𝑠 = 60 + 15𝑡. c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 08) Um carro trafega em uma estrada retilínea com uma velocidade constante de 75 𝐾𝑚/ℎ. Quando 𝑡 = 0ℎ ele está no 𝐾𝑚 12 indo no sentido crescente da via. a) Em que Km ele estará após 2 horas? Após 1 hora ele estará no Km (12 + 75) = Km 87. Após 2 horas ele estará no Km (87 + 75) = Km 162. b) Escreva a equação do movimento Como 𝑠0 = 12 𝑘𝑚 e 𝑣 = 75 𝑘𝑚/ℎ, a equação é 𝑠 = 12 + 75𝑡. c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 14 09) Um móvel se desloca em movimento retilíneo com velocidade constante de 22𝑚/𝑠 e posição inicial 𝑠 = 125𝑚. a) Em que posição ele estará após 5 segundos? Após 5 segundos ele estará em 125 + 5.22 = 235m. b) Escreva a equação do movimento Como 𝑠0 = 125 𝑚 e 𝑣 = 22 𝑚/𝑠, a equação é 𝑠 = 125 + 22𝑡. c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. Exercícios da Aula 3: 01) Seja f(x)=3x² – x + 11, calcule: 02) Para a função f(x)= - x² + 6x - 5, determine: a) As raízes, se existirem. a=-1; b=6; c=-5 ∆=b2 - 4ac → ∆ = 62 - 4. (-1). (-5) = 36 – 20 = 16 . Assim, 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 5 b) vértice. 𝑦𝑣 = −32 + 6.3 − 5 = −9 + 18 − 5 = 4. Assim, 𝑉 = (3,4). c) O esboço do gráfico. 03) Esboce o gráfico das funções. a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 8 b) 𝑓(𝑥) = −𝑥² + 6𝑥 − 8 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 15 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 9 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 9𝑥 e) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6𝑥 + 10 04) Dada a função determine: 05) Qual o vértice da parábola definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 4𝑥 + 5? 𝑦𝑣 = 2. 1² − 4.1 + 5 = 2 − 4 + 5 = 3. Assim, 𝑉 = (1,3). 06) Se o vértice da parábola dada por 𝑦 = 𝑥² − 4𝑥 + 𝑚 é o ponto (2,5), então qual o valor de m? Substituindo x por 2 e y por 5, temos: 5 = 2² - 4.2 + m 5 – 4 + 8 = m m = 9 07) Para que valor de x a função dada por 𝑓(𝑥) = −x² + 12x + 20, tem um valor máximo? A função atinge seu valor máximo (ou mínimo) quando x é igual a . Logo 08) Qual o valor máximo que a função dada por f(x)=-x² + 8x + 1 assume? O valor máximo (ou mínimo) de uma função quadrática é dado por yv. Calculando primeiro xv, obtemos 𝑦𝑣 = −4² + 8.4 + 1 = −16 + 32 + 1 = 17. Assim, 17 é o valor máximo da função. 09) Para que valor de x a função dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 5𝑥 + 3, tem um valor mínimo? A função atinge seu valor mínimo quando x é igual a xv. Logo 10) Qual o valor mínimo que a função dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 16𝑥 + 1 assume? O valor mínimo de uma função quadrática é dado por yv. Calculando primeiro xv, obtemos 𝑦𝑣 = 2. (−4)² + 16. (−4) + 1 = 32 − 64 + 1 = −31. Assim, – 31 é o valor mínimo da função. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Trataremos nesta aula das funções seno e cosseno, abordando seus aspectos essenciais, em particular, suas representações gráficas, o domínio e a imagem de cada uma delas. • A função seno A função seno se caracteriza por associar a cada número real o valor do seu seno e pode ser denotada por 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Utilizando o ciclo trigonométrico ou uma calculadora científica podemos obter alguns pares ordenados para CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 16 essa função. Lembremos que: 𝑠𝑒𝑛 0 = 0 pois a projeção do ponto corresponde ao arco de 0 radianos no eixo dos senos tem ordenada zero. Em outras palavras, a “altura” deste ponto é zero , pois a “altura” deste ponto, em relação ao eixo vertical é 1. De maneira análoga, concluímos que 𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0 e que Assim, temos os pares da tabela a seguir. Poderíamos também considerar arcos negativos, ou seja, no sentido horário a partir de 0. Dessa maneira, teríamos: Representando estes pontos no plano cartesiano, temos o seguinte gráfico. Notemos que qualquer número real possui seno. Assim, o domínio da função seno é ℝ. As retas 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1 limitam a função seno no intervalo [−1,1] que é a imagem da função. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 17 Isso decorre do fato de que o raio do ciclo trigonométrico é 1. • A função cosseno A função cosseno se caracteriza por associar a cada número real o valor do seu cosseno e pode ser denotada por 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥). Assim como fizemos com a função seno, utilizaremos o ciclo trigonométrico para obter alguns pares ordenados para essa função. Lembremos que: 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 pois a projeção do ponto corresponde ao arco de 0 radianos no eixo dos cossenos (horizontal) tem abscissa 1. , pois a projeção do ponto corresponde ao arco de radianos no eixo dos cossenos (horizontal) tem abscissa 0. De maneira análoga, concluímos que cos 𝜋 = −1 e que . Assim, temos os pares da tabela a seguir. Considerando arcos no sentido horário. Dessa maneira, teríamos: Representando estes pontos no plano cartesiano, temos o seguinte gráfico. Como qualquer número real também possui cosseno, o domínio da função cosseno também é ℝ. Analogamente à função seno as retas 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1 limitam a função no intervalo [−1,1] que é a sua imagem. Exercícios propostos: 1) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 2) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 3) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1. 4) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = cos(𝑥) − 1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 18 5) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 6) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥). 7) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 8) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 9) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 10) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥). 11) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥). 12) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥). 13) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥). 14) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥). 15) Trace no papel (sem a ajuda dosoftware) o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥). 16) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥). FUNÇÕES EXPONENCIAIS Agora daremos ênfase a alguns problemas relacionados aos expoentes e os logaritmos. Situações nas quais temos multiplicações de fatores repetidos, como no caso dos juros compostos, por exemplo, nos levam a manipular expressões com variáveis no expoente e, consequentemente, a resolver equações exponenciais e logarítmicas. Nosso apelo aos logaritmos, nesta aula, se restringirá ao uso que faremos para resolver alguns desses problemas. Imaginemos que vamos aplicar certa quantia em dinheiro e que temos uma previsão da taxa mensal de juros a que estará sujeito este capital aplicado, digamos 1% ao mês. Se aplicarmos 4 000 reais teremos, ao final de um mês 4000.1,01 = 4040 reais. Após dois meses teremos esse valor multiplicado por 1,01, ou seja, 4000.1,01.1,01 = 4080,40.Como podemos representar por 4000.1,012, então para t meses de aplicação, teremos um montante . Nesta expressão a variável 𝑡 aparece no expoente, o que nos leva a resolver equações exponenciais caso tenhamos que determinar, por exemplo, quanto tempo levaria para que o montante seja de 4500 reais. De maneira mais formal, dizemos que uma função exponencial é dada por uma expressão do tipo , ou seja, ela associa a cada número real 𝑥 o número real positivo 𝑎𝑥 onde 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. Exemplo 1: Dada a função exponencial, calcule 𝑓(−2), 𝑓(0) e 𝑓(1). • Gráfico da função exponencial Tomemos como exemplo a função dada por . Vamos atribuir valores a 𝑥 e determinar suas respectivas imagens tabelando os valores. Assim, temos a seguinte representação gráfica: Pela representação gráfica e pela expressão algébrica da função podemos concluir que o domínio da função exponencial é ℝ e a imagem é . Tomemos agora o exemplo . Vamos atribuir valores a 𝑥 e determinar suas respectivas imagens tabelando os valores. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 19 Assim, temos a seguinte representação gráfica: Pela representação gráfica e pela expressão algébrica da função podemos concluir que o domínio da função exponencial é ℝ e a imagem é ℝ∗+. Vimos, pelos gráficos, que é crescente, enquanto que é decrescente. O que acontece é que a base 2, que é maior que 1, faz com que a potência cresça quando aumentamos o valor do expoente, o que acontece de maneira inversa quando a base é um número compreendido entre zero e 1, que é o caso de Exercício proposto: Esboce os gráficos das funções. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Você se lembra do problema que foi lançado no início desta aula? Pois bem, vamos relembrar: você aplicou 4000 reais a juros estimados de 1% ao mês e quer saber quanto tempo levaria, caso a taxa de juros se mantenha, para que seu montante atinja os 4500 reais. Já temos a expressão que relaciona montante com tempo, que é 𝑀(𝑡) =4000. . Para resolver nosso problema, substituamos 𝑀(𝑡) por 4500. Assim, obtemos a equação exponencial: 4500 = 4000. Se tentarmos isolar a incógnita 𝑡, dividindo ambos os membros da equação por 4000, ficamos com: Aí está o nosso problema, determinar 𝑡 para que o resultado de seja 1,125. Para isso, faremos uso dos logaritmos. Vamos a eles e, logo em seguida, voltamos. À resolução deste problema. • Logaritmos Se 𝑎 e 𝑏 são números reais positivos com 𝑎 ≠ 1 e , então 𝑥 é o logaritmo de 𝑏 na base 𝑎. Denotamos por 𝑥 = log𝑎 𝑏, onde b se chama logaritmando. No nosso problema ainda não resolvido devemos determinar 𝑡 para que seja igual a 1,125, ou seja, encontrar o log de 1,125 na base 1,01. Simbolicamente temos que . Uma das propriedades dos logaritmos nos permite resolver facilmente o problema. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 20 É a propriedade da Mudança de Base, que nos diz que: É convencional não escrevermos o 10 na base do log, portanto, o mais correto seria Por que escolhemos a base 10? Na verdade, poderíamos escolher qualquer base, mas a base 10 nos permite fazer o uso de uma calculadora científica de maneira prática e obter o valor desejado rapidamente. Temos então que 𝑙𝑜𝑔 1,125 ≅ 0,0511525224 e log𝑐 1,01 ≅ 0,0043213738 e, portanto, meses. Levaria, então, mais de 11 meses e menos de 1 ano para chegar ao montante de 4500 reais. Outra base encontrada nas calculadoras científicas é a base 𝑒. Logaritmos de base 𝑒 são chamados de logaritmos neperianos e representados por 𝑙𝑛. A resolução ficaria muito parecida com a que fizemos: meses. Exercícios propostos: 01) Devido a extração indiscriminada de açaizeiros em certas regiões do Estado, a produção de açaí decresce anualmente, segundo a função , onde x é o tempo em anos e y representa as toneladas de açaí produzidas anualmente. Nestas condições, daqui a 4 anos, qual será a produção de açaí, em toneladas? 02) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão . Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 03) A massa (em gramas) de uma certa substância radioativa em uma amostra é dada pela expressão com t em anos. Quantos gramas havia no início da contagem do tempo? E 10 anos depois? 04) A função é usada para determinar o valor, em euros, de um carro x anos depois da sua compra. Qual é o custo inicial do carro? Qual o valor do carro após 3 anos? 05) A população de uma colônia de fungos cresce exponencialmente de acordo com a fórmula , em que t representa o número de dias decorridos desde o instante inicial. Após quantos dias essa população dobra? Texto para as questões 6 a 9: O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão . Nessas condições: 06) Qual o número de bactérias após 5 horas? 07) Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá10300 bactérias? 08) Qual o número de bactérias após 10 horas? 09) Quanto tempo após o início do experimento o número de bactérias dobra? Texto para as questões 10 a 13: A massa (em gramas) de uma certa substância radioativa em uma amostra é dada pela expressão com t em anos. 10) Qual a massa da substância após 3 anos? 11) Quanto tempo leva para a massa ser de 400g? 12) Qual a massa da substância após 20 anos? 13) Quanto tempo leva para a massa ser de 300g? Texto para as questões 14 a 16: A função é usada para determinar o valor, em reais, de um carro t anos depois da sua compra. 14) Qual o valor do carro após 5 anos? 15) Depois de quantos anos o carro valerá 22000? 16) Qual o valor do carro após 10 anos? RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 05 ATÉ 07 Exercícios da Aula 05 1) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 21 Observe que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) foi deslocado uma unidade para cima para obter 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 2) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. Do que foi visto no exercício anterior, concluímos que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) deve ser deslocado 2 unidades para cima para obter o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 3) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1. 4) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = cos(𝑥) − 1. 5) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Observe que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) foi alongado verticalmente dobrando sua amplitude vertical. 6) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥). Neste caso teremos um alongamento que triplica a amplitude vertical do gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 7) Traceno Winplot o gráfico de 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). Observe que este gráfico é simétrico ao gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) em relação ao eixo horizontal. 8) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥). Neste caso, então, teremos a simetria e a expansão da amplitude vertical ocorrendo simultaneamente. 9) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 10) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 22 11) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥). 12) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥). 13) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥). 14) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥). Aqui também há um encolhimento, mas pela terça parte do gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 15) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥). 16) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥). Exercícios da Aula 6: 2) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 23 Exercícios da Aula 7: 1) Devido a extração indiscriminada de açaizeiros em certas regiões do Estado, a produção de açaí decresce anualmente, segundo a função , onde x é o tempo em anos e y representa as toneladas de açaí produzidas anualmente. Nestas condições, daqui a 4 anos, qual será a produção de açaí, em toneladas 2) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200. 20,4𝑡. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 3) A massa (em gramas) de uma certa substância radioativa em uma amostra é dada pela expressão com t em anos. Quantos gramas havia no início da contagem do tempo? E 10 anos depois? No início da contagem temos t=0. Assim, Após 10 anos temos t=10. Assim, 4) A função é usada para determinar o valor, em euros, de um carro x anos depois da sua compra. Qual é o custo inicial do carro? Qual o valor do carro após 3 anos? O custo inicial é obtido fazendo x=0. Assim, . Após 3 anos temos 5) A população de uma colônia de fungos cresce exponencialmente de acordo com a fórmula , em que t representa o número de dias decorridos desde o instante inicial. Após quantos dias essa população dobra? A população inicial é de 10000, portanto deve passar para 20000. Texto para as questões 6 a 9: O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão . Nessas condições: 6). Qual o número de bactérias após 5 horas? 7). Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá10300 bactérias? 8) Qual o número de bactérias após 10 horas? 9) Quanto tempo após o início do experimento o número de bactérias dobra? Texto para as questões 10 a 13: A massa (em gramas) de uma certa substância radioativa em uma amostra é dada pela expressão com t em anos. 10). Qual a massa da substância após 3 anos? CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 24 11). Quanto tempo leva para a massa ser de 400g? 12). Qual a massa da substância após 20 anos? 13). Quanto tempo leva para a massa ser de 300g? Texto para as questões 14 a 16: A função é usada para determinar o valor, em reais, de um carro t anos depois da sua compra. 14) Qual o valor do carro após 5 anos? 15) Depois de quantos anos o carro valerá 22000? 16) Qual o valor do carro após 10 anos? DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT- RUFFINI Em alguns casos podemos utilizar um algoritmo alternativo para divisão de polinômios, o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Poderemos lançar mão desse dispositivo quando o divisor for um polinômio do tipo 𝑥 − 𝑎, sendo 𝑎 um número real. Tomemos dois exemplos. Exemplo 1: Dividir 𝑝(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 11 por 𝑥 + 3. Neste caso, 𝑎 = −3. Montamos o dispositivo da seguinte maneira. Dispostos assim os números iniciamos o cálculo repetindo o primeiro dos coeficientes, neste caso o 1, na linha de baixo. Multiplicamos esse coeficiente por a, neste caso −3, e somamos o resultado com o próximo coeficiente, o −5, obtendo 1. (−3) + (−5) = −8. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 25 Agora fazemos o mesmo com o −8 e assim sucessivamente até completarmos o algoritmo. Obtemos os números 1, −8 e 35. Agora vamos interpretá-los. Como dividimos um polinômio de grau 2 por um polinômio de grau 1, o quociente será um polinômio de grau 1. Assim, o primeiro número obtido, 1, é o primeiro coeficiente de um polinômio de grau 1 e −8 o segundo coeficiente. Logo, o polinômio (quociente) é 𝑥 − 8. O outro número, 35, é o resto da divisão. Assim temos que (𝑥² − 5𝑥 + 11) = (𝑥 + 3). (𝑥 − 8) + 35, o que pode ser facilmente verificado. Exemplo 2: Dividir 𝑝(𝑥) = −𝑥³ − 5𝑥 + 150 por 𝑥 − 5. Neste caso, 𝑎 = 5. Montamos o dispositivo da seguinte maneira. Agora efetuamos os cálculos obtendo os coeficientes e o resto. Obtivemos os coeficientes −1, −5 e −30 e resto zero. Como dividimos um polinômio de grau 3 por um polinômio de grau 1, o quociente será um polinômio de grau 2. Assim, o primeiro número obtido, −1, é o primeiro coeficiente de um polinômio de grau 2. O segundo coeficiente será −5 e o terceiro, −30. Logo, o quociente é –𝑥² − 5𝑥 − 30. O outro número, 𝑧𝑒𝑟𝑜, é o resto da divisão. Assim temos que (−𝑥³ − 5𝑥 + 150) = (𝑥 − 5). (−𝑥² − 5𝑥 − 30). Se substituirmos 𝑥 por 5 na expressão (𝑥 − 5). (−𝑥2 − 5𝑥 − 30) obtemos zero como valor numérico. O Teorema de D’Alembert nos diz exatamente isso: “Um polinômio 𝑓 é divisível por 𝑥 − 𝑎 se, e somente se, 𝑎 é raiz de 𝑓”. Exemplo 3: Se dividirmos 𝑝(𝑥) = (𝑥² − 7𝑥 + 17) por (𝑥 − 3) obtemos o quociente (𝑥 − 4) e resto 5. Dessa maneira temos que 𝑝(𝑥) = (𝑥²− 7𝑥 + 17) = (𝑥 − 3). (𝑥 − 4) + 5. Conforme o Teorema de D’Alembert, o resto 5 corresponde a 𝑝(3) e isso é fácil de verificar. Basta calcular 𝑝(3) em 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 3). (𝑥 − 4) + 5. Substituindo x por 3, teremos 𝑝(3) = (3 − 3). (3 − 4) + 5 = 5. Generalizando, se 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑞(𝑥) + 𝑟, teremos: 𝑝(𝑎) = (𝑎 − 𝑎). 𝑞(𝑎) + 𝑟 = 𝑟, ou seja, 𝑝(𝑎) = 𝑟 Exercício proposto: Determine o quociente e o resto das seguintes divisões de polinômios: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 26 LIMITES Nesta aula, abordaremos o conceito de limite, de importância central ao estudo das derivadas e das integrais, objetos de estudo ao longo do nosso curso. No cotidiano, usamos a palavra limite para nos referir a algo que podemos atingir, mas não podemos superar ou ultrapassar. Na Matemática, o limite tem um significado parecido, quase idêntico ao do cotidiano. A diferença é que na Matemática o limite é algo que não se pode alcançar e, tampouco, ultrapassar. Vejamos como isso funciona matematicamente com uma abordagem intuitiva deste conceito. Consideremos a função dada por e vamos analisar seu comportamento numérica e graficamente. Se atribuirmos valores a 𝑥 e determinarmos suas respectivas imagens, obteremos a seguinte tabela de pares ordenados: Ao que parece, os valores de 𝑓(𝑥) são 3 unidades maiores que os valores de 𝑥. Em outras palavras, esta tabela seria a mesma se a função fosse dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3. Assim, se 𝑥 = 3, deveríamos ter 𝑓(𝑥) = 6, mas não é isso que ocorre! Por quê? Vejamos, em não podemos atribuir a 𝑥 o valor 3 já que não podemos ter denominador zero. Em outras palavras, dizemos que 3 não pertence ao domínio de 𝑓 ou que 𝑓 não está definida para 𝑥 = 3. Sendo assim, a função definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 não é exatamente a mesma que . E por que os valores da tabela são os mesmos, exceto para 𝑥 =3? Para responder a essa pergunta, basta verificarmos que e, para qualquer 𝑥 que não seja 3, (basta cancelar o fator 𝑥 − 3). Voltando ao comportamento numérico de e, sabendo que ela não está definida para 𝑥 = 3, quais são os valores de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se aproxima indefinidamente de 3? Podemos apelar para outra tabela, com valores de 𝑥 cada vez mais próximos de 3. Primeiro, pela esquerda, ou seja, indo de 2 para 3, por exemplo. Agora pela direita, indo de 4 para 3. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 27 Observando estes valores, parece que ao aproximarmo-nos de 3, os valores de 𝑓(𝑥) se aproximam de 6. Se isto se confirmar, diremos que o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 3 é 6 ou escreveremos . Para confirmar que 6 é mesmo o limite procurado, voltemos à álgebra e, em seguida, veremos que o comportamento gráfico da função nos indica qual é esse limite. Conforme vimos, para valores de 𝑥 diferentes de 3, . Assim, podemos escrever . Observe que podemos cancelar o fator 𝑥 − 3 porque ele não é nulo, já que quando estamos calculando o limite quando 𝑥 tende a 3, está implícito que 𝑥 não vale 3, apenas se aproxima de 3. O gráfico de 𝑓, como era de se esperar, é o mesmo de 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3, apenas diferindo quando 𝑥 = 3 onde 𝑓 não está definida. Portanto, o gráfico de 𝑓 é: Vejamos alguns exemplos de cálculo de limites: Exemplo 1: Calcule . Inicialmente, é importante verificar se a função está definida para o valor indicado no limite. Substituindo 𝑥 por −1 na função temos que é uma indeterminação. Quando isso ocorre, precisamos eliminar a indeterminação para calcular o limite procurado. Lembrando que 𝑥² − 1 = (𝑥 − 1). (𝑥 + 1), temos: Exemplo 2: Calcule Substituindo 𝑥 por 2 na função temos . Neste caso, não há indeterminação e o limite procurado é . Exemplo 3: Calcule Substituindo 𝑥 por 9 na função temos A propriedade que está por trás deste artifício é a do produto da soma pela diferença de dois termos que é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 28 , ou seja, uma indeterminação. Para eliminar a indeterminação e calcular o limite vamos racionalizar o numerador da fração, lembrando que, para racionalizar uma expressão do tipo devemos multiplica-la por , já que Exemplo 4: Calcule Substituindo 𝑥 por 2 na função temos que é uma indeterminação. Para eliminá-la, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração. Recordemos que (Diferença de cubos). Assim, temos: Para este exemplo, poderíamos também usar o dispositivo prático de Briot Rufinni e dividir 𝑥³ − 8 por 𝑥 − 2, obtendo 𝑥² + 2𝑥 + 4, ao invés de usar a fatoração da diferença de cubos. • Propriedades dos limites No cálculo de limites, é importante sabermos suas propriedades. Listamos a seguir algumas delas: Estas propriedades são válidas se existirem os limites e sendo 𝑘 um número real. Exemplo 5: Vimos no Exemplo 2 que e no Exemplo 4 vimos que 4. Assim, pela propriedade (I) . Exemplo 6: Vimos no Exemplo 1 que . Então, pela propriedade (II), Exemplo 7: Como e . Então, pela propriedade (III), e pela propriedade (IV), Exercícios Propostos: 1) Calcule . 2) Calcule . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 29 3) Calcule . 4) Calcule . 5) Seja a função 𝑓 definida por determine, se existir, . 6) Seja a função 𝑔 definida por determine, se existir, LIMITES LATERAIS E CONTINUIDADE Ao considerarmos , estávamos interessados no comportamento da função nos valores próximos de a. Entretanto, o comportamento de algumas funções, quando 𝑥 está próximo de a, mas assume valores menores que a, é diferente do comportamento da mesma função, quando 𝑥 está próximo de a assumindo valores maiores que a. Exemplo 1: Consideremos a função 𝑣(𝑡) = 2𝑡 + 5 que representa a velocidade (em m/s) de um veículo em função do tempo (em segundos). Podemos estar interessados em saber se, quando nos aproximamos do instante 𝑡 = 2 ,por exemplo, a velocidade do veículo estará próxima daquela que o veículo apresentava quando 𝑡 = 1,9 ou, ainda, quando 𝑡 = 2,1 o veículo apresentará velocidade próxima daquela que apresentava quando 𝑡 = 2. De acordo com o gráfico da função vemos que, quando t se aproxima de 2 segundos pela esquerda (ou seja, assumindo valores menores que 2), a velocidade do móvel aproxima-se de v (2) = 2.2 + 5 = 9 m/s, assumindo valores menores que 9 m/s. Em símbolos matemáticos escrevemos: Dizemos que o limite lateral à esquerda de 𝑣(𝑡) quando 𝑡 tende a 2 é 9. Por outro lado, quando 𝑡 se aproxima de 2 segundos pela direita (ou seja, assumindo valores maiores que 2) a velocidade se aproxima de 𝑣(2) = 2.2 + 5 = 9 𝑚/𝑠, assumindo valores maiores que 9 𝑚/𝑠. Simbolicamente escrevemos: Dizemos que o limite lateral direito de 𝑣(𝑡) quando 𝑡 tende a 2 é 9. Como os limites laterais coincidem, podemos dizer então que . Exemplo 2: Seja a função 𝑓 definida por . Observemos que neste caso lim e que . De onde vêm esses valores? Vejamos, se 𝑥 tende a 2 pela esquerda, então 𝑥 < 2 e, portanto, 𝑓(𝑥) = 𝑥² = 2² = 4. E se 𝑥 tende a 2 pela direita, então 𝑥 > 2 e, portanto, 𝑓(𝑥) = 5. Como os limites laterais são diferentes, dizemos que não existe. Exemplo 3: Agora seja 𝑓 definida por . Neste caso, e então podemos dizer que . • Continuidade: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 30 Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto I e 𝑎 um elemento de I. Dizemos que 𝑓 é contínua em . Para se falar em continuidade de uma função em um ponto é necessário que este ponto pertença ao domínio da função. Da definição decorre que se 𝑓 é contínua em 𝑎 então as três condições deverão ser satisfeitas: I) existe 𝑓(𝑎) II) existe III) Definição: Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto I e 𝑎 um elemento de I. Dizemos que 𝑓 é descontínua em 𝑎 se 𝑓 não for contínua em 𝑎. Observa-se também que quando falamos em descontinuidade de uma função em um ponto, é necessário que este ponto pertença ao domínio da função. Da definição decorre que se 𝑓 é descontínua em 𝑎, então as duas condições abaixo deverão ser satisfeitas: I) existe 𝑓(𝑎) II) não existe Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo. Definição: Seja 𝑎 um ponto do domínio de 𝑓. Diz- se que 𝑓 é contínua à direita de 𝑎 se . Analogamente se define a continuidade à esquerda de 𝑎. Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] se f for contínua no intervalo aberto] a, b[ e se também for contínua em 𝑎, à esquerda, e em 𝑏, à direita. • Propriedades das Funções Contínuas Se as funções 𝑓 e 𝑔 são contínuas em um ponto 𝑎, então se pode afirmar que: I) 𝑓 ± 𝑔 é contínua em 𝑎; II) 𝑓𝑔 é contínua em 𝑎; III) é contínua em 𝑎, desde que 𝑔(𝑎) ≠ 0. • Proposição a) Uma função polinomial é contínua para todo 𝑥 real. b) Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio; c) As funções trigonométricas 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e cos(𝑥) são contínuas para todo 𝑥 real. d) As funções exponenciais são contínuas para todo 𝑥 real. Exemplo 4: Avaliar a continuidade das funções dadas a seguir: No caso de 𝑓 a função não é contínua pois não está definida para 𝑥 = 1. A função 𝑔 está definida para qualquer número real, mas já que e 𝑔(1) = 1. Exercícios propostos: 1) Calcule, se existir, , sendo . 2) Calcule, se existir, , sendo . 3) Calcule, se existir, , sendo 4) Dada a função , com 𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2, determinar, se possível, .5) Considere a função dada 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6. Determine, se existirem, , 6) Classifique as funções em contínuas ou descontínuas. 7) Utilize as propriedades para justificar a continuidade das funções seguintes: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 31 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO Em alguns casos, quando calculamos o limite de uma função, estes não resultam em um número, pois a função em jogo cresce ou decresce indefinidamente. Em outras palavras, se quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 (𝑥 → 𝑎) tiver 𝑓(𝑥) crescendo ou decrescendo indefinidamente, diremos que ou, respectivamente. Tomemos dois exemplos. Exemplo 1: Considere a função dada por e determine . Se 𝑥 tende a 3 pela direita, então 𝑥 − 3 se aproxima de zero por valores positivos. Logo, o quociente cresce indefinidamente. Dizemos, então, que . Se 𝑥 tende a 3 pela esquerda, então 𝑥 − 3 se aproxima de zero por valores negativos. Logo, decresce indefinidamente. Dizemos, então, que . Em termos informais, se o numerador é um número positivo e o denominador se aproxima de zero, o resultado será um número cada vez maior (em módulo), ou seja, um número muito grande, positivo ou negativo. Então, 1 dividido por um número positivo muito pequeno resulta em um número positivo muito grande, ao passo que 1 dividido por um número negativo muito pequeno resulta em um número negativo muito grande. Note que o fato de o numerador ser 1 não difere, neste caso, dele ser qualquer outro número real, já que quando o denominador tende a zero, o resultado da divisão tende a infinito. Exemplo 2: Considere a função dada por e determine . Se 𝑥 tende a 0 pela direita, então 𝑥² se aproxima de zero por valores positivos. Logo, o quociente cresce indefinidamente. Dizemos, então, que . Se 𝑥 tende a 0 pela esquerda, então 𝑥2 se aproxima de zero também por valores negativos. Logo, o quociente cresce indefinidamente. Dizemos, então, que +∞. No Exemplo 1, temos que . Neste caso, dizemos que não existe Já no exemplo 2, temos Portanto, dizemos que • Limites no infinito: Existem limites de determinadas funções que ao serem resolvidos, obtém-se como resultado uma das expressões a seguir, Costuma-se dizer que estas expressões são indeterminadas, ou seja, correspondem a símbolos de indeterminação. Para a resolução de limites que apresentam como solução os símbolos acima, é necessário que se faça uso de artifícios algébricos, o que veremos agora. Consideremos que a temperatura de um objeto em função do tempo seja dada por 𝑓(𝑡). Se estivermos interessados em estudar o comportamento da temperatura do objeto quando esperamos um tempo suficientemente longo traduzimos isto matematicamente como: Também podemos imaginar que uma função 𝑔 represente a concentração de um medicamento introduzido por via endovenosa no sangue de um paciente. Suponha que estejamos interessados em estudar esta concentração após um tempo muito grande. Matematicamente estamos interessados no limite Exemplo 3: Seja , vamos calcular . Observemos que, para CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 32 valores de 𝑥 cada vez maiores (tendendo ao infinito), a expressão assume valores cada vez menores (tendendo a zero). O gráfico de evidencia o resultado encontrado. Conforme 𝑥 aumenta indefinidamente, o gráfico de 𝑓 se aproxima da reta 𝑦 = 3 sem nunca a intersectar. O comportamento numérico da função, mostrado na tabela a seguir, também nos indica que . Observemos que, à medida que 𝑥 tende ao infinito (assume valores cada vez maiores), o limite de 𝑓(𝑥) vai ficando arbitrariamente próximo de 3 (mas com valores estritamente maiores que três). A reta 𝑦 = 3 é denominada assíntota horizontal. Exemplo 4: Calcular . Substituindo o valor de 𝑥 por 4, obtém-se a indeterminação assim, para que o limite acima possa ser resolvido, é necessário dividir o numerador e o denominador por 𝑥 − 4, ou seja, efetua-se a divisão de polinômios. Exemplo 5: . Substituindo 𝑥 por zero, obtém-se a indeterminação Para eliminar esta indeterminação, vamos racionalizar o numerador multiplicando-o por seu conjugado, ou seja, Exemplo 6: Determinar Substituindo 𝑥 por ∞, obtém-se a indeterminação Neste caso, como temos polinômios, podemos “colocar em evidência” a maior das potências, no caso 𝑥², tanto no numerador quanto no denominador. Assim . Chegamos, então, a uma fração onde o numerador tende a 4 (pois tende a zero) e denominador tendendo a zero. Portanto, Também poderíamos usar um procedimento prático, considerando apenas a maior potência do numerador, no caso 𝑥² e a maior do denominador, no caso 𝑥, desprezando os demais termos. Assim, ficaríamos com . Exercícios Propostos: 1) Considerando os gráficos abaixo estime os valores de para cada dado. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 33 2) Seja e determine . 3) Seja e determine 4) Seja e determine 5) Seja e determine . 6) Seja e determine . 7) Calcular . 8) Calcular . 9) Calcule 10) Calcule RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA AULA 09 ATÉ 12 Exercícios da Aula 09: 1) (2𝑥³ + 12𝑥 − 7): (𝑥 + 1) 2) 4) Exercícios da Aula 10: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 34 5) Seja a função 𝑓 definida por determine, se existir, Portanto, não existe 6) Seja a função 𝑔 definida por determine, se existir, Portanto, . Exercícios da Aula 11: 1) Calcule, se existir, , sendo Portanto, não existe . 2) Calcule, se existir, , sendo Portanto, . 3) Calcule, se existir, e , sendo Portanto, Portanto, . 4) Dada a função , com 𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2, determinar, se possível, 5) Considere a função dada 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 6. Determine, se existirem, e 6) Classifique as funções em contínuas ou descontínuas. a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 Função contínua. b) 𝑦 = −𝑥² + 7𝑥 Função contínua. c) .Portanto 𝑓 é descontínua em 𝑥 = 6. d) Portanto 𝑓 é contínua. 7) Justificar a continuidade das funções seguintes: a) É contínua pois é polinomial. b) As funções seno e cosseno são contínuas, bem como a função exponencial. E o produto de funções contínuas é contínua. Exercícios da Aula 12: 1) Considerando os gráficos abaixo estime os valores de para cada dado. a) b) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 35 2) Seja e determine pois o numerador é positivo e o denominador se aproxima de zero por valores positivos. pois o numerador é positivo e o denominador se aproxima de zero por valores negativos. 3) Seja e determine e pois o numerador é negativo e o denominador se aproxima de zero por valores positivos. pois o numerador é negativo e o denominador se aproxima de zero por valores negativos. 4) Seja e determine pois o numerador é positivo e o denominador se aproxima de zero por valores positivos. pois o numerador é positivo e o denominador se aproxima de zero por valores positivos. 5) Seja e determine . pois o numerador é positivo e o denominador se aproxima de zero por valores positivos. pois o numerador é positivo e o denominador se aproxima de zero por valores negativos. 6) Seja e determine . pois o numerador é negativo e o denominador se aproxima de zero por valores positivos. pois o numerador é negativo e o denominador se aproxima de zero por valores positivos. 7) Calcular 8) Calcular 9) Calcule 10) Calcule UM LIMITE FUNDAMENTAL Nesta aula trataremos do limite do quociente quando 𝑥 tende a zero. Faremosuma abordagem intuitiva para concluir que . Primeiro vamos observar o gráfico da função . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 36 Evidentemente esta função não está definida para 𝑥 = 0, ainda que os softwares gráficos não explicitem isso, como foi o caso desta representação feita com o Winplot. Entretanto, parece razoável, pelo que vemos no gráfico, supor que quando 𝑥 se aproxima de zero, temos se aproximando de 1. E por que 1? Observemos o que acontece numericamente. Para isso, vamos atribuir valores para 𝑥 (em radianos) fazendo com que se aproximem de zero. Notemos que à medida que 𝑥 se aproxima de zero, os valores de 𝑥 e 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) vão se aproximando, de maneira que o quociente entre eles tende a 1. Exemplo 1: Calcule . Fazendo 4𝑥 = 𝑦 temos que: se 𝑥 → 0 então 4𝑥 → 0 e, logo, 𝑦 → 0. Assim, . Exemplo 2: Calcule . Exemplo 3: Calcule Exemplo 4: Calcule Exercício proposto: Calcule os limites. DOIS LIMITES FUNDAMENTAIS Agora trataremos de outros dois limites, um deles consequência do outro, também chamados de limites fundamentais. O primeiro deles é o limite que tem como resultado o número irracional 𝑒 ≅ 2,7183. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 37 O gráfico da função nos mostra que quando 𝑥 tende a infinito (positivo ou negativo), o valor da função tende a um número real entre 2 e 3, mais próximo do 3. De fato, este é o número irracional 𝑒 ≅ 2,7183, conforme vemos nas tabelas seguintes. O outro limite fundamental, consequência do anterior, é que também tem como resultado o número irracional 𝑒. Apesar da função não estar definida para 𝑥 = 0 o software nos dá uma indicação de que o limite que procuramos é também um número real entre 2 e 3. Novamente, este é mesmo o número irracional 𝑒 ≅ 2,7183, conforme vemos na tabela. Exemplo 1: Calcule Exemplo 2: Calcule . Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 → ∞ já que . Logo: Exemplo 3: Calcule . Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 → ∞ já que 𝑦 = 2𝑥. Logo: Exercício proposto: Calcule os limites. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 38 ASSÍNTOTAS Nesta aula trataremos das assíntotas horizontais e verticais de uma função e aplicaremos este conhecimento ao traçado de gráficos de funções. Assíntotas horizontais Exemplo 1: Consideremos o gráfico da função dada por 𝑓(𝑥) = Observemos que, quando 𝑥 tende a +∞, a função 𝑓 tende a zero, ou seja, Vemos também que Observamos que o gráfico de 𝑓 fica cada vez mais próximo da reta 𝑥 = 0 quando 𝑥 tende a +∞ e a −∞. A reta 𝑥 = 0 é denominada assíntota horizontal. Assíntotas verticais Agora consideremos o gráfico da função dada por 4. Observemos que, quando 𝑥 tende a 5 por valores maiores que 5 ou, ainda, pela direita, 𝑓 tende a +∞ e quando 𝑥 tende a 5 pela esquerda, 𝑓 tende a −∞. Temos que assume valores arbitrariamente grandes e positivos quando 𝑥 se aproxima de 5 pela direita) e assume valores arbitrariamente grandes e negativos quando 𝑥 se aproxima de 5 pela esquerda). Dizemos que a reta 𝑥 = 5 é uma assíntota vertical. Exemplo 2: Determine as assíntotas da função dada por . Determinamos as assíntotas horizontais estudando os limites Portanto, a reta 𝑦 = 3 é uma assíntota horizontal. Determinamos as assíntotas verticais estudando se há pontos que anulem o denominador da função. Neste caso, temos que 𝑥 = ±2 são os valores que anulam o denominador. Portanto, as retas 𝑥 = −2 e 𝑥 = 2 são assíntotas verticais. Vamos determinar os limites laterais de 𝑓 quando 𝑥 se aproxima de 2. . Para obter este limite devemos pensar em 𝑥 se aproximando de −2 pela esquerda. Usando inicialmente um valor arbitrário para 𝑥, por exemplo −2,1, veremos que CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 39 𝑥² será maior que 4 e, portanto, o denominador será positivo. Como o numerador também é positivo, concluímos que, à medida que à medida que 𝑥 se aproxima de −2 pela esquerda, o valor da fração cresce indefinidamente e com valores positivos, ou seja, tende a +∞. Evidentemente, o 3 não interfere neste resultado, já que ∞ + 3 = ∞. De maneira análoga, calculamos os demais limites que se seguem. Exercício proposto: Determine os limites e identifique as assíntotas horizontais e verticais. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 14 ATÉ 16 Exercícios da Aula 14 5) Conforme o exemplo anterior, . Exercícios da Aula 15: 3) Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 → ∞ já que . Logo, 4) Fazendo temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 → ∞ já que 𝑦 = −𝑥. Logo, 5) Fazendo , temos que se 𝑥 → ∞ então 𝑦 → ∞ já que 𝑦 = −2𝑥. Logo: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 40 6) Fazendo 2𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 então 𝑦 → 0. Logo, 7) 8) 9) Fazendo −𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 então 𝑦 → 0. Logo, 10) fazendo −3𝑥 = 𝑦, temos que se 𝑥 → 0 então 𝑦 → 0. Logo, Exercícios da Aula 16: Determine os limites e identifique as assíntotas horizontais e verticais. é uma assíntota vertical. é uma assíntota horizontal. é uma assíntota vertical. é uma assíntota horizontal. é uma assíntota vertical. é uma assíntota vertical é uma assíntota horizontal. DERIVADAS Quando um automóvel percorre 200 𝑘𝑚 em 2 horas dizemos que sua velocidade média é de 100 𝑘𝑚/ℎ. Esta velocidade é denominada Velocidade Média. A Velocidade Instantânea corresponde ao limite da Velocidade Média quando fazemos o tempo decorrido entre duas medições do espaço percorrido tender a zero. Simbolicamente temos: Podemos transferir a ideia de velocidade de um móvel para avaliarmos a velocidade de uma função qualquer. A este conceito mais geral denomina-se Taxa de Variação Média de uma função. De maneira geral, seja uma função 𝑓 dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) e sejam CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 41 e fazendo a Taxa de Variação Média será dada pela razão: Portanto, a Taxa de Variação Instantânea será: Exemplo 1: Considere a função dada por 𝑓(𝑥) = 5𝑥² − 2𝑥 + 3. a) Determine a taxa de variação média de 𝑓 nos intervalos [1, 1 + Δx] e [3, 3 + Δx]. b) Determine a taxa de variação instantânea nos pontos onde 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3. a) Em [1, 1 + ∆𝑥]. Em [3, 3 + ∆𝑥] b) Avaliação da taxa de variação instantânea no ponto de abscissa 1: Tomamos o resultado da Taxa de Variação Média no intervalo [1, 1 + ∆𝑥] e com Δx tendendo a zero. . Avaliação da taxa de variação instantânea no ponto de abscissa 3: • Reta Tangente, Derivada de uma Função num Ponto Agora veremos como encontrar a equação da reta tangente à curva num ponto dado, a partir da definição da inclinação da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥). Consideremos o gráfico a seguir de uma função 𝑓. Observe o comportamento das retas secantes (𝑟1, 𝑟2 𝑒 𝑟3) à medida que os pontos 𝑃1, 𝑃2 𝑒 𝑃3 se aproximam do ponto P. As retas secantes tornam-se cada vez mais próximas da reta tangente ao ponto P. • Coeficiente Angular da Reta Tangente No gráfico anterior, consideremos que as coordenadas do ponto 𝑃 sejam (𝑥0, 𝑦0) e que as coordenadas dos pontos 𝑃1, 𝑃2 𝑒 𝑃3 sejam (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) e (𝑥3, 𝑦3) respectivamente. Se quisermos saber a inclinação da reta 𝑟1, ou seja, o ângulo que ela forma com o eixo 𝑥, devemos calcular a tangente deste ângulo que é (aqui ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0). De maneira análoga, a inclinação da reta 𝑟2 é dada por e assim sucessivamente. Logo, a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes quando ∆𝑥 tende a zero. Chamando
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