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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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d) Como a receita pode ser estimada pelo 
produto PREÇO X DEMANDA, temos que 
A partir desta 
função da receita determine a receita para 
uma produção de 15000 hambúrgueres. 
e) Calcule a receita marginal (taxa de variação 
da receita) para uma venda mensal de 20000 
hambúrgueres. 
6) Para a produção de um determinado produto o 
custo de produção em reais é dado por 
 
a) Determine o custo para uma produção de 
2500 unidades. 
b) Determine a função custo marginal. 
c) Qual o custo marginal para uma produção de 
100 unidades? 
d) Qual o custo marginal para uma produção de 
10000 unidades? 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 22 ATÉ 25 
Exercícios da Aula 22: 
Determine limites a seguir utilizando a 
regra de L´Hospital. 
 
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Exercícios da Aula 23: 
Determine as derivadas sucessivas: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios da Aula 24: 
1) Determine se há pontos de inflexão para as 
funções seguintes. 
 . 
Há um ponto de inflexão em . 
. 
Há um ponto de inflexão em 𝑥 = 0. 
2) Utilize o teste da derivada segunda para 
determinar os máximos/mínimos locais de 
 
 
 
 
 
3) Para as funções a seguir utilize o critério da 
derivada segunda para determinar os 
extremos locais. Discuta a concavidade de 𝑓 
e determine os pontos de inflexão. 
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Para discutir a concavidade, estudemos os 
sinais da segunda derivada. 
 
• O gráfico de 𝒇′′ será do tipo 
 
Portanto, a concavidade será voltada 
para cima no intervalo e para baixo 
nos 
intervalos . 
 
• Concavidade: 
 
• O gráfico de 𝒇′′ será do tipo 
 
 
Portanto, a concavidade será voltada 
para baixo no intervalo e para cima 
nos intervalos . 
Exercícios da Aula 25: 
1) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha 
medindo 16 por 30 cm, destacando-se 
quadrados iguais dos quatro cantos e 
dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos 
quadrados para se obter uma caixa com o 
maior volume? 
 
Variável a ser maximizada: Volume. 
O volume é o produto das três dimensões da 
caixa (comprimento, largura e altura). 
Pela figura, vemos que o comprimento é 30 − 
2𝑥, a largura é 16 − 2𝑥 e a altura 𝑥. 
Assim, 𝑉(𝑥) = (30 − 2𝑥). (16 − 2𝑥). 𝑥 = 
(480 − 92𝑥 + 4𝑥²). 𝑥 = 480𝑥 − 92𝑥² +4𝑥³. 
Derivada do volume: 𝑉′(𝑥) = 480 − 184𝑥 + 
12𝑥². 
Igualando a zero, temos: 
 
 
Segunda derivada: 
𝑉′′(𝑥) = −184 + 24𝑥 
Teste da segunda derivada: 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
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Portanto, o volume será máximo se 
cm. 
2) Um terreno retangular deve ser cercado de 
duas formas. Dois lados opostos devem 
receber uma cerca reforçada que custa R$ 30 
o metro, enquanto os dois lados restantes 
recebem uma cerca padrão de R$ 20 o metro. 
Quais são as dimensões do terreno de maior 
área que pode ser cercado com R$ 6.000? 
Variável a ser maximizada: Área. 
 
A área é o produto 𝑐. 𝑙. Como temos duas 
variáveis usaremos a informação de que o 
custo total é de 𝑅$ 6.000,00 para determinar 
a relação entre essas variáveis. 
6000 = 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 30𝑙 + 30𝑙 + 20𝑐 + 20𝑐 = 
60𝑙 + 40𝑐 
Assim, 𝟔𝟎𝒍 + 𝟒𝟎𝒄 = 𝟔𝟎𝟎𝟎. Isolando 𝒍, temos 
 
Agora podemos expressar a área apenas em 
função de uma variável, substituindo 𝑙 por 
 ficando com: 
 
Derivada da área: 
 
Igualando a zero, temos: 
 
Segunda derivada: 
 
Teste da segunda derivada: 
 
Calculando 𝒍 
 
Portanto, as dimensões do terreno de área 
máxima são 75 e 50m. 
3) O lucro obtido com a venda de 𝑥 unidades de 
um determinado produto é dado por 
𝐿(𝑥) = 0,0002𝑥³ + 10𝑥. 
a) Qual o lucro para a venda de 50 unidades? 
b) Qual o lucro para a venda de 51 unidades? 
c) Calcule a taxa média de variação do lucro 
para uma venda de 50 a 51 unidades. 
d) Calcule a taxa de variação do lucro para uma 
venda de 50 unidades. Esta taxa de variação 
do lucro é chamada de LUCRO MARGINAL. 
a) L(50) = 0,0002.50³ + 10.50 = 525,00 reais 
b) L(51) = 0,0002.51³ + 10.51 = 536,53 reais 
c) A taxa média é dada por 
 . 
d) O lucro marginal é a derivada do lucro. 
𝐿′(𝑥) = 0,0006𝑥² + 10 
𝐿′(50) = 0,0006. 50² + 10 = 11,5. 
4) A função demanda de hambúrgueres de uma 
determinada lanchonete é dada por 𝑥 = 60000 
− 20000𝑝 onde 𝑥 é a quantidade de 
hambúrgueres e 𝑝 é o preço de cada 
hambúrguer em reais. 
a) Se o preço do hambúrguer for 𝑅$ 0,50 qual 
deve ser a produção mensal? 
b) Se o preço do hambúrguer for 𝑅$ 1,50 qual 
deve ser a produção mensal? 
c) Se o preço do hambúrguer for 𝑅$ 3,00 qual 
deve ser a produção mensal? 
a) x = 60000 − 20000.0,5 = 50000 hambúrgueres 
b) x = 60000 − 20000.1,5 = 30000 hambúrgueres 
c) x = 60000 − 20000.3 = 0 hambúrgueres 
5) Considere a função da questão anterior. 
a) Isole a variável 𝑝. 
b) A que preço deve ser vendido o hambúrguer 
para uma produção mensal de 20000 
hambúrgueres? 
c) Qual a receita obtida pela lanchonete para 
uma produção mensal de 20000 
hambúrgueres? 
d) Como a receita pode ser estimada pelo 
produto PREÇO X DEMANDA, temos que 
 A partir desta 
função da receita determine a receita para 
uma produção de 15000 hambúrgueres. 
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e) Calcule a receita marginal (taxa de variação 
da receita) para uma venda mensal de 20000 
hambúrgueres. 
 
 
c) A receita é o produto da quantidade vendida 
pelo preço unitário. Neste caso, R = 20000.2 
= 40000 reais. 
 
e) A receita marginal é a derivada da receita. 
 
6) Para a produção de um determinado produto 
o custo de produção em reais é dado por 
 
a) Determine o custo para uma produção de 
2500 unidades. 
b) Determine a função custo marginal. 
c) Qual o custo marginal para uma produção de 
100 unidades? 
d) Qual o custo marginal para uma produção de 
10000 unidades? 
 
 
 
 INTEGRAL INDEFINIDA 
Historicamente, foi da necessidade de 
calcular áreas de figuras planas cujos contornos 
não são segmentos de retas que brotou a noção 
de integral. Primeiramente, serão tratadas as 
integrais indefinidas, as quais consistem no 
processo inverso das derivadas. Em seguida, 
serão estudadas as integrais definidas, e suas 
relações com o cálculo de áreas e volumes de 
figuras planas. 
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥². Qual a 
função 𝑔 tal que 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥)? Uma função que 
satisfaz tal condição é . Outra 
função que satisfaz a condição dada é 
Na verdade, todas as funções 
da forma onde 𝐶 ∈ ℝ, 
satisfazem a condição de que sua derivada seja 
𝑥². 
Dizemos que a função 𝑔 tal que 𝑔′(𝑥) = 
𝑓(𝑥) é uma primitiva da função 𝑓. 
Definição: Uma função qualquer ℱ é 
denominada primitiva da função 𝑓 em um 
intervalo 𝐼, se para todo 𝑥 ∈ 𝐼, tem-se que ℱ′(𝑥) = 
𝑓(𝑥). 
Definição de Integral Indefinida: Se ℱ(𝑥) é uma 
primitiva de 𝑓, a expressão ℱ(𝑥) + 𝐶 é chamada 
integral indefinida da função 𝑓 e é denotada por: 
 
Exemplo 1: . 
Exemplo 2: . 
Exemplo 3: 
Exemplo 4: Se for uma primitiva de 
𝑓(𝑥), então 𝑓(𝑥) = 𝑥², já que: 
 
Exemplo 5: Como (𝑠𝑒𝑛𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥, dizemos que 
𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 é uma primitiva de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 e 
toda primitiva de 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 é da forma 𝐺(𝑥) = 
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶, 𝐶 ∈ ℝ. 
Exemplo 6: Determine as primitivas de 
 
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• Regra da potência 
Os exemplos anteriores podem ser 
compreendidos calculando a derivada do 
resultado e verificando se esta derivada 
corresponde à função dada inicialmente (o 
integrando). 
Mas podemos aplicar diretamente a 
regra da potência para resolver estas integrais. A 
regra da potência para integração nada mais é 
que a inversão da regra da potência para 
derivação. Para derivar uma potência do tipo , 
multiplicamos por 𝑛 e, em seguida, subtraímos 1 
de 𝑛. Na integração, fazendo o caminho inverso, 
ou seja, adicionamos 1 a 𝑛 e depois dividimos.

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