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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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software) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥). 
16) Trace no papel (sem a ajuda do software) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥). 
 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Agora daremos ênfase a alguns 
problemas relacionados aos expoentes e os 
logaritmos. Situações nas quais temos 
multiplicações de fatores repetidos, como no 
caso dos juros compostos, por exemplo, nos 
levam a manipular expressões com variáveis no 
expoente e, consequentemente, a resolver 
equações exponenciais e logarítmicas. Nosso 
apelo aos logaritmos, nesta aula, se restringirá ao 
uso que faremos para resolver alguns desses 
problemas. 
Imaginemos que vamos aplicar certa 
quantia em dinheiro e que temos uma previsão 
da taxa mensal de juros a que estará sujeito este 
capital aplicado, digamos 1% ao mês. Se 
aplicarmos 4 000 reais teremos, ao final de um 
mês 4000.1,01 = 4040 reais. Após dois meses 
teremos esse valor multiplicado por 1,01, ou seja, 
4000.1,01.1,01 = 4080,40.Como podemos 
representar 
por 4000.1,012, então para t meses de aplicação, 
teremos um montante . 
Nesta expressão a variável 𝑡 aparece no 
expoente, o que nos leva a resolver equações 
exponenciais caso tenhamos que determinar, por 
exemplo, quanto tempo levaria para que o 
montante seja de 4500 reais. 
De maneira mais formal, dizemos que 
uma função exponencial é dada por uma 
expressão do tipo , ou seja, ela 
associa a cada número real 𝑥 o número real 
positivo 𝑎𝑥 onde 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 
Exemplo 1: Dada a função exponencial, 
calcule 𝑓(−2), 𝑓(0) e 𝑓(1). 
 
• Gráfico da função exponencial 
Tomemos como exemplo a função dada 
por . Vamos atribuir valores a 𝑥 e 
determinar suas respectivas imagens tabelando 
os valores. 
 
Assim, temos a seguinte representação 
gráfica: 
 
 
Pela representação gráfica e pela 
expressão algébrica da função podemos concluir 
que o domínio da função exponencial é ℝ e a 
imagem é . 
Tomemos agora o exemplo 
. Vamos atribuir valores a 𝑥 e determinar suas 
respectivas imagens tabelando os valores. 
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Assim, temos a seguinte representação 
gráfica: 
 
 
Pela representação gráfica e pela 
expressão algébrica da função podemos concluir 
que o domínio da função exponencial é ℝ e a 
imagem é ℝ∗+. 
Vimos, pelos gráficos, que é 
crescente, enquanto que é decrescente. O 
que acontece é que a base 2, que é maior que 1, 
faz com que a potência cresça quando 
aumentamos o valor do expoente, o que 
acontece de maneira inversa quando a base é um 
número compreendido entre zero e 1, que é o 
caso de 
Exercício proposto: 
Esboce os gráficos das funções. 
 
 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Você se lembra do problema que foi 
lançado no início desta aula? Pois bem, vamos 
relembrar: você aplicou 4000 reais a juros 
estimados de 1% ao mês e quer saber quanto 
tempo levaria, caso a taxa de juros se mantenha, 
para que seu montante atinja os 4500 reais. Já 
temos a expressão que relaciona montante com 
tempo, que é 𝑀(𝑡) =4000. . 
Para resolver nosso problema, 
substituamos 𝑀(𝑡) por 4500. Assim, obtemos a 
equação exponencial: 
4500 = 4000. 
Se tentarmos isolar a incógnita 𝑡, 
dividindo ambos os membros da equação por 
4000, ficamos com: 
 
Aí está o nosso problema, determinar 𝑡 
para que o resultado de seja 1,125. Para 
isso, faremos uso dos logaritmos. Vamos a eles 
e, logo em seguida, voltamos. À resolução deste 
problema. 
• Logaritmos 
Se 𝑎 e 𝑏 são números reais positivos com 
𝑎 ≠ 1 e , então 𝑥 é o logaritmo de 𝑏 na 
base 𝑎. Denotamos por 𝑥 = log𝑎 𝑏, onde b se 
chama logaritmando. 
No nosso problema ainda não resolvido 
devemos determinar 𝑡 para que seja 
igual a 1,125, ou seja, encontrar o log de 1,125 
na base 1,01. 
Simbolicamente temos que
. 
Uma das propriedades dos logaritmos 
nos permite resolver facilmente o problema. 
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É a propriedade da Mudança de Base, 
que nos diz que: 
 
É convencional não escrevermos o 10 na 
base do log, portanto, o mais correto seria 
 
Por que escolhemos a base 10? Na 
verdade, poderíamos escolher qualquer base, 
mas a base 10 nos permite fazer o uso de uma 
calculadora científica de maneira prática e obter 
o valor desejado rapidamente. Temos então que 
𝑙𝑜𝑔 1,125 ≅ 0,0511525224 e log𝑐 1,01 ≅ 
0,0043213738 e, portanto, 
meses. Levaria, então, mais de 11 meses e 
menos de 1 ano para chegar ao montante de 
4500 reais. 
Outra base encontrada nas calculadoras 
científicas é a base 𝑒. Logaritmos de base 𝑒 são 
chamados de logaritmos neperianos e 
representados por 𝑙𝑛. 
A resolução ficaria muito parecida com a 
que fizemos: 
meses. 
Exercícios propostos: 
01) Devido a extração indiscriminada de 
açaizeiros em certas regiões do Estado, a 
produção de açaí decresce anualmente, 
segundo a função , onde x é o 
tempo em anos e y representa as toneladas 
de açaí produzidas anualmente. Nestas 
condições, daqui a 4 anos, qual será a 
produção de açaí, em toneladas? 
02) O número de bactérias de uma cultura, t 
horas após o início de certo experimento, é 
dado 
pela expressão . Nessas 
condições, quanto tempo após o início do 
experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 
03) A massa (em gramas) de uma certa 
substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão com t em 
anos. Quantos gramas havia no início da 
contagem do tempo? E 10 anos depois? 
04) A função é usada 
para determinar o valor, em euros, de um 
carro x anos depois da sua compra. Qual é o 
custo inicial do carro? Qual o valor do carro 
após 3 anos? 
05) A população de uma colônia de fungos 
cresce exponencialmente de acordo com a 
fórmula , em que t 
representa o número de dias decorridos 
desde o instante inicial. Após quantos dias 
essa população dobra? 
Texto para as questões 6 a 9: 
O número de bactérias de uma cultura, t 
horas após o início de certo experimento, é dado 
pela expressão . Nessas 
condições: 
06) Qual o número de bactérias após 5 
horas? 
07) Quanto tempo após o início do 
experimento a cultura terá10300 bactérias? 
08) Qual o número de bactérias após 10 
horas? 
09) Quanto tempo após o início do 
experimento o número de bactérias dobra? 
Texto para as questões 10 a 13: 
A massa (em gramas) de uma 
certa substância radioativa em uma amostra é 
dada pela expressão com t 
em anos. 
10) Qual a massa da substância após 3 
anos? 
11) Quanto tempo leva para a massa ser de 
400g? 
12) Qual a massa da substância após 20 
anos? 
13) Quanto tempo leva para a massa ser de 
300g? 
Texto para as questões 14 a 16: 
A função 
é usada para 
determinar o valor, em reais, de um carro t anos 
depois da sua compra. 
14) Qual o valor do carro após 5 anos? 
15) Depois de quantos anos o carro valerá 
22000? 
16) Qual o valor do carro após 10 anos? 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS 
AULAS 05 ATÉ 07 
Exercícios da Aula 05 
1) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 
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Observe que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) foi deslocado 
uma unidade para cima para obter 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
+ 1. 
 
 
2) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
Do que foi visto no exercício anterior, 
concluímos que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) deve 
ser deslocado 2 unidades para cima para 
obter o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
 
3) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1. 
 
4) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = cos(𝑥) − 1. 
 
5) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
Observe que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) foi 
alongado verticalmente dobrando sua 
amplitude vertical. 
6) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Neste caso teremos um alongamento que 
triplica a amplitude vertical do gráfico de 𝑦 = 
𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
7) Trace

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