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apostila CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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no Winplot o gráfico de 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
Observe que este gráfico é simétrico ao 
gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) em relação ao eixo 
horizontal. 
8) Trace no papel (sem a ajuda do software) o 
gráfico de 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Neste caso, então, teremos a simetria e a 
expansão da amplitude vertical ocorrendo 
simultaneamente. 
 
9) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
10) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
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11) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
12) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
13) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 
(2𝑥).
 
 
14) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥). 
 
 
 
Aqui também há um encolhimento, mas pela 
terça parte do gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
15) Trace no papel (sem a ajuda do software) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥). 
 
 
16) Trace no papel (sem a ajuda do software) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥). 
 
Exercícios da Aula 6: 
 
 
2) 
 
 
 
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Exercícios da Aula 7: 
1) Devido a extração indiscriminada de 
açaizeiros em certas regiões do Estado, a 
produção de açaí decresce anualmente, 
segundo a função , onde x é o 
tempo em anos e y representa as toneladas 
de açaí produzidas anualmente. Nestas 
condições, daqui a 4 anos, qual será a 
produção de açaí, em toneladas
 
 
2) O número de bactérias de uma cultura, t horas 
após o início de certo experimento, é dado 
pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200. 20,4𝑡. Nessas 
condições, quanto tempo após o início do 
experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 
 
3) A massa (em gramas) de uma certa 
substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão com t 
em anos. Quantos gramas havia no início da 
contagem do tempo? E 10 anos depois? 
No início da contagem temos t=0. Assim, 
Após 10 anos temos t=10. Assim, 
 
4) A função é usada 
para determinar o valor, em euros, de um 
carro x anos depois da sua compra. Qual é o 
custo inicial do carro? Qual o valor do carro 
após 3 anos? 
O custo inicial é obtido fazendo x=0. Assim,
 . 
Após 3 anos temos 
 
5) A população de uma colônia de fungos cresce 
exponencialmente de acordo com a fórmula
, em que t representa o 
número de dias decorridos desde o instante 
inicial. Após quantos dias essa população 
dobra? A população inicial é de 10000, 
portanto deve passar para 20000. 
 
 
Texto para as questões 6 a 9: 
O número de bactérias de uma cultura, t 
horas após o início de certo experimento, é dado 
pela expressão . Nessas 
condições: 
6). Qual o número de bactérias após 5 horas? 
 
 
7). Quanto tempo após o início do experimento a 
cultura terá10300 bactérias? 
 
8) Qual o número de bactérias após 10 horas? 
 
 
9) Quanto tempo após o início do experimento o 
número de bactérias dobra? 
 
 
Texto para as questões 10 a 13: 
A massa (em gramas) de uma certa 
substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão com t em 
anos. 
10). Qual a massa da substância após 3 anos? 
 
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11). Quanto tempo leva para a massa ser de 
400g? 
 
12). Qual a massa da substância após 20 anos? 
 
13). Quanto tempo leva para a massa ser de 
300g? 
 
Texto para as questões 14 a 16: 
 A função é usada 
para determinar o valor, em reais, de um carro t 
anos depois da sua compra. 
14) Qual o valor do carro após 5 anos? 
 
15) Depois de quantos anos o carro valerá 
22000? 
 
 
16) Qual o valor do carro após 10 anos? 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-
RUFFINI 
Em alguns casos podemos utilizar um 
algoritmo alternativo para divisão de polinômios, 
o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Poderemos 
lançar mão desse dispositivo quando o divisor for 
um polinômio do tipo 𝑥 − 𝑎, sendo 𝑎 um número 
real. 
Tomemos dois exemplos. 
Exemplo 1: Dividir 𝑝(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 11 por 𝑥 + 3. 
Neste caso, 𝑎 = −3. Montamos o dispositivo da 
seguinte maneira. 
 
Dispostos assim os números iniciamos o cálculo 
repetindo o primeiro dos coeficientes, neste caso 
o 1, na linha de baixo. 
 
 
Multiplicamos esse coeficiente por a, neste caso 
−3, e somamos o resultado com o próximo 
coeficiente, o −5, obtendo 1. (−3) + (−5) = −8. 
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Agora fazemos o mesmo com o −8 e assim 
sucessivamente até completarmos o algoritmo. 
Obtemos os números 1, −8 e 35. Agora vamos 
interpretá-los. Como dividimos um polinômio de 
grau 2 por um polinômio de grau 1, o quociente 
será um polinômio de grau 1. Assim, o primeiro 
número obtido, 1, é o primeiro coeficiente de um 
polinômio de grau 1 e −8 o segundo coeficiente. 
Logo, o polinômio (quociente) é 𝑥 − 8. O outro 
número, 35, é o resto da divisão. 
Assim temos que (𝑥² − 5𝑥 + 11) = (𝑥 + 3). (𝑥 − 8) 
+ 35, o que pode ser facilmente verificado. 
Exemplo 2: Dividir 𝑝(𝑥) = −𝑥³ − 5𝑥 + 150 por 𝑥 − 
5. Neste caso, 𝑎 = 5. Montamos o dispositivo da 
seguinte maneira. 
 
Agora efetuamos os cálculos obtendo os 
coeficientes e o resto. 
 
Obtivemos os coeficientes −1, −5 e −30 e resto 
zero. Como dividimos um polinômio de grau 3 por 
um polinômio de grau 1, o quociente será um 
polinômio de grau 
2. Assim, o primeiro número obtido, −1, é o 
primeiro coeficiente de um polinômio de grau 2. 
O segundo coeficiente será −5 e o terceiro, −30. 
Logo, o quociente é –𝑥² − 5𝑥 − 30. 
O outro número, 𝑧𝑒𝑟𝑜, é o resto da divisão. 
Assim temos que (−𝑥³ − 5𝑥 + 150) = (𝑥 − 5). (−𝑥² 
− 5𝑥 − 30). 
Se substituirmos 𝑥 por 5 na expressão (𝑥 − 5). 
(−𝑥2 − 5𝑥 − 30) obtemos zero como valor 
numérico. 
O Teorema de D’Alembert nos diz exatamente 
isso: 
“Um polinômio 𝑓 é divisível por 𝑥 − 𝑎 se, e 
somente se, 𝑎 é raiz de 𝑓”. 
Exemplo 3: Se dividirmos 𝑝(𝑥) = (𝑥² − 7𝑥 + 17) 
por (𝑥 − 3) obtemos o quociente (𝑥 − 4) e resto 5. 
Dessa maneira temos que 𝑝(𝑥) = (𝑥²− 7𝑥 + 17) = 
(𝑥 − 3). (𝑥 − 4) + 5. Conforme o 
Teorema de D’Alembert, o resto 5 corresponde a 
𝑝(3) e isso é fácil de verificar. Basta calcular 𝑝(3) 
em 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 3). (𝑥 − 4) + 5. 
Substituindo x por 3, teremos 𝑝(3) = (3 − 3). (3 − 
4) + 5 = 5. 
Generalizando, se 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑞(𝑥) + 𝑟, 
teremos: 
𝑝(𝑎) = (𝑎 − 𝑎). 𝑞(𝑎) + 𝑟 = 𝑟, ou seja, 𝑝(𝑎) = 𝑟 
Exercício proposto: Determine o quociente e o 
resto das seguintes divisões de polinômios: 
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LIMITES 
Nesta aula, abordaremos o conceito de 
limite, de importância central ao estudo das 
derivadas e das integrais, objetos de estudo ao 
longo do nosso curso. 
No cotidiano, usamos a palavra limite 
para nos referir a algo que podemos atingir, mas 
não podemos superar ou ultrapassar. Na 
Matemática, o limite tem um significado parecido, 
quase idêntico ao do cotidiano. A diferença é que 
na Matemática o limite é algo que não se pode 
alcançar e, tampouco, ultrapassar. Vejamos 
como isso funciona matematicamente com uma 
abordagem intuitiva deste conceito. 
Consideremos a função dada por 
 e vamos analisar seu 
comportamento numérica e graficamente. 
Se atribuirmos valores a 𝑥 e 
determinarmos suas respectivas imagens, 
obteremos a seguinte tabela de pares ordenados: 
 
 
Ao que parece, os valores de 𝑓(𝑥) são 3 
unidades maiores que os valores de 𝑥. 
Em outras palavras, esta tabela seria a 
mesma se a função fosse dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3. 
Assim, se 𝑥 = 3, deveríamos ter 𝑓(𝑥) = 6, 
mas não é isso que ocorre! Por quê? 
Vejamos, em não 
podemos atribuir a 𝑥 o valor 3 já que não 
podemos ter denominador zero. Em outras 
palavras, dizemos que 3 não pertence ao 
domínio de 𝑓 ou que 𝑓 não está definida para 𝑥 = 
3. Sendo assim, a função definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 
3 não é exatamente a mesma que 
. E por que os valores da tabela são os mesmos, 
exceto para 𝑥 =

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