AULA_01_REVISÃO E FUNÇÕES PARAMÉTRICAS

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Análise Matemática para Engenharia II
(Cálculo II)
AULA 1: REVISÃO
Prof. Alexandre Ramos
REVISÃO DE CÁLCULO 1
1) Principais derivadas
y = 𝑎 → 𝑦′ = 0
y = 𝑎𝑥 → 𝑦′ = 𝑎
y = 𝑎𝑥𝑛 → 𝑦′ = 𝑎𝑛𝑥𝑛−1
y =
𝑎
𝑏𝑥𝑛
→ 𝑦′ = −
𝑎𝑛
𝑏𝑥𝑛+1
y = 𝑓(𝑥) → 𝑦′ =
𝑓′(𝑥)
2 𝑓(𝑥)
y = 𝑁
𝐵
𝑥𝐴 → 𝑦′ =
𝑁𝐴
𝐵
𝑥(𝐴−𝐵)
𝐵
y =
𝑁
𝐵
𝑥𝐴
→ y = 𝑁
𝐵
𝑥−𝐴 → 𝑦′ = −
𝑁𝐴
𝐵
𝑥(−𝐴−𝐵)
𝐵
y = 𝑒𝑓(𝑥) → 𝑦′ = 𝑓′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)
y = 𝑎𝑥 → 𝑦′ = 𝑎𝑥𝐿𝑛(𝑎)
y = 𝐿𝑛(𝑓(𝑥)) → 𝑦′ =
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
y = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) → 𝑦′ = cos(𝑥)
y = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑦′ = −sen(𝑥)
y = 𝑡𝑔 𝑥 → 𝑦′ = sec2 𝑥
y = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) → 𝑦′ = sec 𝑥 . tg(𝑥)
y = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 → 𝑦′ = −cossec 𝑥 . ctg(𝑥)
y = 𝑐𝑡𝑔 𝑥 → 𝑦′ = −cossec2 𝑥
y = 𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥)) → 𝑦′ = 𝑓′(𝑥)cos(𝑓(𝑥))
REVISÃO DE CÁLCULO 1
Exemplos
y = 4 → 𝑦′ = 0
y = 5𝑥 → 𝑦′ = 5
y = 3𝑥4 → 𝑦′ = 12𝑥3
y =
2
3𝑥6
→ 𝑦′ = −
12
3𝑥7
y = 5𝑥3 → 𝑦′ =
15𝑥2
2 5𝑥3
y = 4
3
𝑥5 → 𝑦′ =
20
3
𝑥2
3
y =
6
4
𝑥2
→ y = 6
4
𝑥−2 → 𝑦′ = −
12
4
𝑥−6
4
→ 𝑦′ = −
12
4
4
𝑥6
y = 𝑒7𝑥
3
→ 𝑦′ = 21𝑥2𝑒7𝑥
3
y = 8𝑥 → 𝑦′ = 8𝑥𝐿𝑛(8)
y = 𝐿𝑛(4𝑥3) → 𝑦′ =
12𝑥2
4𝑥3
→ 𝑦′ =
3
𝑥
y = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) → 𝑦′ = 2cos(2𝑥)
y = 𝑐𝑜𝑠 𝑥3 → 𝑦′ = −3𝑥2sen(𝑥3)
y = 𝑡𝑔 𝑠𝑒𝑛(𝑥) → 𝑦′ = cos(𝑥)sec2 sen(𝑥)
y = 𝑠𝑒𝑐(𝑒𝑥) → 𝑦′ = sec 𝑒𝑥 . tg(𝑒𝑥)
y = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝐿𝑛(𝑥) → 𝑦′ = −
cossec 𝐿𝑛(𝑥) . ctg(𝐿𝑛(𝑥))
𝑥
y = 𝑐𝑡𝑔 7𝑥 → 𝑦′ = −7cossec2 7𝑥
REVISÃO DE CÁLCULO 1
- Seja uma função f(x) e outra função g(x). A derivada do produto entre elas é dada por: 𝐲 = 𝐟. 𝐠 → 𝒚′ = 𝒇′. 𝒈 + 𝒇. 𝒈′
2) Regra do Produto
- Seja uma função f(x) e outra função g(x). A derivada do quociente entre elas é dada por: 𝐲 =
𝒇
𝒈
→ 𝒚′ =
𝒇′.𝒈−𝒇.𝒈′
𝒇𝟐
3) Regra do Quociente
Exemplos
y = 3𝑥5𝑠𝑒𝑛 4𝑥 → 𝑦′ = 15𝑥4𝑠𝑒𝑛 4𝑥 + 12𝑥5𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
y = 𝑥4 cos 5𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 → 𝑦′ = 4𝑥3 cos 5𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − 5𝑥4 sen 5𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 3𝑥4 cos 5𝑥 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)
y =
𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
3𝑥2
→ 𝑦′ =
−2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 . 3𝑥2 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 . 6𝑥
9𝑥4
Exemplos
REVISÃO DE CÁLCULO 1
- Seja uma função f(x) composta por outra função g(x). A derivada dela é dada por: 𝐲 = 𝒇 𝒈 → 𝒚′ = 𝒈′. 𝒇′(𝒈)
4) Regra da Cadeia
Exemplos
a) y = 3𝑠𝑒𝑛5 𝑥2 → 𝑦′ = 2𝑥. 15𝑠𝑒𝑛4 𝑥2 cos(𝑥2)
b) y = 2𝐿𝑛3 𝑠𝑒𝑛2(4𝑥4) → 𝑦′ = 2. 3𝐿𝑛2 𝑠𝑒𝑛2(4𝑥4) .
1
𝑠𝑒𝑛2(4𝑥4)
. 2𝑠𝑒𝑛 4𝑥4 . 𝑐𝑜𝑠 4𝑥4 . 16𝑥3
REVISÃO DE CÁLCULO 1
5) Regras de Integração
𝑎) න𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑑𝑥 =
𝑥3
3
−
3𝑥2
2
+ 2𝑥 + 𝐶
𝑐) න
7𝑑𝑥
2𝑥3
= −
7
4𝑥2
+ 𝐶
𝑑) න
2𝑑𝑥
3𝑥4
𝑑𝑥 = −
2
9𝑥3
+ 𝐶
𝑏) න
2𝑑𝑥
3𝑥
=
2𝐿𝑛(𝑥)
3
+ 𝐶
𝑒) න 𝑥𝑑𝑥 =
2 𝑥3
3
+ 𝐶
𝑓) න
𝟕
𝑥4𝑑𝑥 =
𝟕
𝟕
𝑥11
11
+ 𝐶
ℎ) න
𝟓
𝑥3𝑑𝑥 =
𝟓
𝟓
𝑥8
8
+ 𝐶
𝑖) න
𝑑𝑥
𝟓
𝑥3
= න
𝟓
𝑥−3𝑑𝑥 =
5
5
𝑥2
2
+ 𝐶
𝑔) න
𝑑𝑥
𝑥7
= න 𝑥−7𝑑𝑥 =
2 𝑥−5
−5
= −
2
5 𝑥5
+ 𝐶
𝑘) න𝑠𝑒𝑛(3𝑥)𝑑𝑥 = −
cos(3𝑥)
3
+ 𝐶
𝑗) න cos(
𝑥
2
)𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛(
𝑥
2
) + 𝐶
𝑙) න 𝑒
2𝑥
7 𝑑𝑥 =
7𝑒
2𝑥
7
2
+ 𝐶
REVISÃO DE CÁLCULO 1
6) Integral Definida
- Seja uma função y(x) definida no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Calculamos a integral definida na forma: 
න
𝒂
𝒃
𝒚 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑰 𝒃 − 𝑰(𝒂)
𝑎)න
1
2
3𝑥
2
− 2𝑑𝑥 = อ
3𝑥2
4
− 2𝑥
1
2
=
3.22
4
− 2.2 −
3.12
4
− 2.1 = 3 − 4 −
3
4
+ 2 = 1 −
3
4
=
1
4
Exemplos: 
𝑏)න
0
1
𝑒2𝑥 − 𝑥𝑑𝑥 = อ(
𝑒2𝑥
2
−
𝑥2
2
)
0
1
=
𝑒2
2
−
1
2
−
𝑒0
2
−
02
2
=
𝑒2
2
−
1
2
−
1
2
−
02
2
=
𝑒2
2
− 1
FUNÇÃO VETORIAL 
- São funções representadas por vetores (𝑭) em que cada coordenada é representada por uma função escalar de uma outra 
variável (t), chamada de parâmetro. É dado por:
1) Definição
Exemplos
a) Ԧ𝐹 = (
𝑡
2
, t − 3)
Ԧ𝐹 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡))
𝑥 =
𝑡
2
→ 𝑡 = 2𝑥
𝑦 = t − 3 → 𝑡 = 𝑦 + 3
2𝑥 = 𝑦 + 3
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑭
𝒙
𝒚
0 ≤ t ≤ 8
Ԧ𝐹(0) = (0, −3)
Ԧ𝐹(8) = (4, 5)
−3
5
4
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑦(0) = 2𝑥 − 3
𝑦(0) = −3
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑦(4) = 8 − 3
𝑦(4) = 5
𝑷𝟏 = (𝟎,−𝟑)
𝑃2 = (4,5)
𝑃1
𝑃2
Ԧ𝐹 =
𝑡
2
Ԧ𝑖 + (t − 3)Ԧ𝑗
0
FUNÇÃO VETORIAL 
- São funções representadas por vetores (𝑭) em que cada coordenada é representada por uma função escalar de uma outra 
variável (t), chamada de parâmetro. É dado por:
1) Definição
Exemplos
b) Ԧ𝐹 = (𝑡, t + 1,3 − t)
Ԧ𝐹 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡))
𝑥 = 𝑡 → 𝑡 = 𝑥
𝑦 = t + 1 → 𝑡 = 𝑦 − 1
𝑦 − 1 = 𝑥 → 𝒚 = 𝒙 + 𝟏
1 ≤ t ≤ 3
Ԧ𝐹(1) = (1, 2, 2)
Ԧ𝐹(3) = (3, 4, 0)
𝑃1 = (1, 2, 2)
𝑃2 = (3, 4, 0) 𝑭
𝒙
𝒚
𝒛
z = 1 − t → 𝑡 = 1 − 𝑧
1 − 𝑧 = 𝑥 → 𝒛 = 𝟏 − 𝒙
𝟏
𝟐
𝟐 4
3
0
Ԧ𝐹 = 𝑡Ԧ𝑖 + t + 1 Ԧ𝑗 + (3 − t)𝑘
FUNÇÃO VETORIAL 
- São funções representadas por vetores (𝑭) em que cada coordenada é representada por uma função escalar de uma outra 
variável (t), chamada de parâmetro. É dado por:
1) Definição
Exemplos
c) Ԧ𝐹 = (cost, sent)
Ԧ𝐹 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡))
𝑥 = cos𝑡
𝑦 = sent
t ≥ 0
𝑥 = cos𝑡
𝑦 = sent
𝒙
𝒚
FUNÇÃO VETORIAL 
- São funções representadas por vetores (𝑭) em que cada coordenada é representada por uma função escalar de uma outra 
variável (t), chamada de parâmetro. É dado por:
1) Definição
Exemplos
d) Ԧ𝐹 = (cost, sent, t)
Ԧ𝐹 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡))
𝑥 = cos𝑡
𝑦 = sent
t ≥ 0
Ԧ𝐹(0) = (1, 0, 0)
𝑃1 = (1, 0, 0)
z = t
Ԧ𝐹 = 𝑐𝑜𝑠𝑡Ԧ𝑖 + sentԦ𝑗 + t𝑘
𝑥 = cos𝑡
𝑦 = sent
FUNÇÃO VETORIAL 
- São funções representadas por vetores (𝑭) em que cada coordenada é representada por uma função escalar de uma outra 
variável (t), chamada de parâmetro. É dado por:
1) Definição
Exemplos
e) Ԧ𝐹 = [(4 + sen20t)cost, 4 + sen20t sent, cos20t)]
Ԧ𝐹 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧(𝑡))
𝑥 = (4 + sen20t)cost
𝑦 = (4 + sen20t)sent
−∞ ≥ t ≥ ∞
z = cost20
FUNÇÃO VETORIAL 
Exemplos
f) Ԧ𝐹 = (𝑡, 𝑡2, 𝑡3)
𝑥 = t
𝑦 = 𝑡2
−2 ≥ t ≥ 2
z = 𝑡3
Ԧ𝐹(−2) = (0, 0, 0)
Ԧ𝐹(3) = (2, 4, 8)
𝑃1 = (−2, 4, −8)
𝑃2 = (2, 4, 8)
0 ≥ t ≥ 2
Ԧ𝐹(−2) = (0, 0, 0)
Ԧ𝐹(3) = (2, 4, 8)
𝑃1 = (−2, 4, −8)
𝑃2 = (2, 4, 8)
FIM