Cap1_Funcoes Vetoriais de varias variaveis

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Capítulo 11 
Funções Vetoriais de uma ou mais variáveis 
 
No decorrer deste capítulo, o estudante vivenciará os conceitos de cálculo de funções, 
limites e derivadas para as funções vetoriais de uma ou mais variáveis. 
 
Seção 1 
Funções vetoriais de uma variável 
Nesta seção as funções vetoriais de uma variável serão definidas e trabalhadas como um 
objeto de estudo do Cálculo Vetorial 
 
1.1 Definição 
Chamamos de função vetorial de uma variável real t, definida em um intervalo I, a 
função que a cada t I∈ associa um vetor 
→
f do espaço. Denotamos por )(tff
→→
= . 
O vetor )(tf
→
 pode ser escrito como: 
→→→→
++= ktfjtfitftf )()()()( 321 . 
A função vetorial 
→
f determina três funções escalares de t: 1 2 2 3( ), ( ) e ( )f t f f t f t= . 
Reciprocamente, as três funções escalares f1, f2 e f3 determinam a função vetorial ).(tf
→
 
 
1 Este capítulo é integrante do livro didático da UA de Noções de Cálculo Vetorial em fase de diagramação, 
escrito por FLEMMING, D.M.. Trata-se de uma adaptação do livro Cálculo C: Funções Vetoriais, Integrais 
Curvilíneas e Integrais de Superfície da Editora Makron Books, 3ª ed. De autorias de FLEMMING, D.M. 
e GONÇALVES, M.B. 
2 
 
Um ponto P( x, y, z) do espaço, possui um vetor posição dado por 
→→→→
++= kzjyixr 
A cada ponto P(x, y, z) corresponde um único vetor posição e vice-versa. 
 
Exemplos: 
(1) Podemos expressar o movimento de uma partícula P, sobre uma circunferência de 
raio 1, pela função vetorial 
→→→
+= jsentittf cos)( . Neste caso, a variável t representa o 
tempo e 1 2( ( ), ( ))P f t f t nos dá a posição da partícula em movimento (ver Figura 1.1). 
 
Figura 1.1 – Partícula em movimento 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2017. 
 
(2) Em Economia podemos estabelecer uma função vetorial preço. Consideremos 3 
mercadorias tais que a primeira tem preço t2, a segunda tem preço t - 2 e a terceira tem 
preço dado pela soma das duas primeiras. A função vetorial preço é 
3 
 
)2,2,()( 22 −+−=
→
tttttp 
 
(3) Exemplos diversos: 
a) 
→→→→
++++= kjtsenittf 5)1(2)1cos(2)( ; 
b) 
→→→→
++= ktjtittf 22)( ; 
c) 
→→→→
−++= ktjtittf )42()( . 
 
No decorrer de todo o texto vamos usar as seguintes notações para 
funções vetoriais: 
→→→→
++= ktfjtfitftf )()()()( 321 ou 
( ))(),(),()( 321 tftftftf =
→
. Vale observação similar para a representação 
de vetores bidimensionais ou tridimensionais. 
 
1.2 Hodógrafo de uma função vetorial 
O hodógrafo de uma função vetorial 
→→→→
++= ktfjtfitftf )()()()( 321 , t I∈ , é o lugar 
geométrico dos pontos P do espaço que têm vetor posição Ittf ∈
→
),( . 
Existe uma relação entre as funções vetoriais de uma variável real e as curvas no espaço. 
Por exemplo, se )(tf
→
 é o vetor posição de uma partícula em movimento, o hodógrafo de 
)(tf
→
 coincide com a trajetória da partícula. 
O Hodógrafo pode desenhado usando-se um esboço de da função vetorial, ou também 
pela intersecção de duas superfícies. 
 
 
4 
 
Exemplos: 
(1) Descrever a trajetória L de um ponto móvel P, cujo deslocamento é expresso por 
→→→→
++= kjtittf 3)( . 
Podemos descrever L traçando um esboço do gráfico da função vetorial, ou seja, 
construindo o hodógrafo de 
→→→→
++= kjtittf 3)( . Vamos construir uma tabela e assinalar 
os pontos correspondentes (Ver Tabela 1.1 e Figura 1.2). 
Tabela 1.1 – Vetores de 
→→→→
++= kjtittf 3)( para valores de t dados. 
Valores de t Valores de 
→→→→
++= kjtittf 3)( 
-2 (-2, -2, 3) 
-1 (-1, -1, 3) 
0 (0, 0, 3) 
1 (1, 1, 3) 
2 (2, 2, 3) 
Fonte: Elaboração da autora, 2017. 
 
Figura 1.2 - Hodógrafo da função 
→→→→
++= kjtittf 3)( 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 29) 
5 
 
(2) Fazer o Hodógrafo da função 
→→→→
−−+= ktjtittf )4()( 2 
Basta observarmos que os pontos P(x(t), y(t), z(t)) do hodógrafo de )(tf
→
 têm coordenadas 
x(t) = t 
y(t) = t 
z(t) = 4 – t2. 
Eliminando t, obtemos as superfícies y = x e z = 4 – x2, cuja intersecção nos dá o hodógrafo 
de )(tf
→
 (ver Figura 1.3). 
 
Figura 1.3 – Hodógrafo de 
→→→→
−−+= ktjtittf )4()( 2 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 44) 
 
 
6 
 
1.3 Operações com Funções Vetoriais 
Dadas as funções vetoriais 
→→→→
++= ktfjtfitftf )()()()( 321 e 
→→→→
++= ktgjtgitgtg )()()()( 321 , 
definidas para t I∈ , podemos definir novas funções vetoriais como segue: 
(1) Soma algébrica de funções vetoriais 
)()()( tgtfth
→→→
±= = 
→→→
±+±+± ktgtfjtgtfitgtf ))()(())()(())()(( 332211 
 
(2) Produto Vetorial de funções vetoriais 
)()()( tgtfth
→→→
×= 1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
i j k
f t f t f t
g t g t g t
=
  
 
)(th
→
2 3 3 2 3 1 1 3( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ))f t g t f t g t i f t g t f t g t j= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
 
 
1 2 2 1( ( ) ( ) ( ) ( ))f t g t f t g t k+ ⋅ − ⋅

. 
 
(3) Produto de uma função vetorial por um escalar 
( ) ( ) ( )v t p t f t= ⋅
 
 
1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p t f t i p t f t j p t f t k= ⋅ + ⋅ + ⋅
  
, 
onde p(t) é uma função escalar definida em I. 
 
7 
 
(4) Produto escalar entre duas funções vetoriais. 
( ) ( ) ( )h t f t g t= ⋅
 
 
1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f t g t f t g t= ⋅ + ⋅ + ⋅ . 
Exemplos: 
Dadas as funções vetoriais 
2( ) 5f t ti t j k= + +
   
 e 
3( )g t t i j= +
  
 
e a função escalar h(t) = t2 – 1, determinar: 
a) ( ) ( )f t g t+
 
¨ b) 2 ( ) ( )f t g t−
 
 c) ( ) ( )f t g t×
 
 
Temos, 
a) 3 2( ) ( ) ( ) ( 1) 5f t g t t t i t j k+ = + + + +
    
; 
b) 3 22 ( ) ( ) (2 ) (2 1) 10f t g t t t i t j k− = − + − +
    
; 
c) 2
3
( ) ( ) 5
1 0
i j k
f t g t t t
t
× =
  
 
3 55 5 ( )i t j t t k= − + + −
  
; 
 
1.4 Limite e continuidade 
Nesta seção vamos apresentar definição, propriedades e exemplos de limites e 
continuidade. 
 
1.4.1 Definição 
8 
 
Seja ( )f f t=
 
 uma função vetorial definida em um intervalo aberto I, contendo t0, exceto 
possivelmente no próprio t0. Demos que o limite de ( )f t

 quando t aproxima-se de t0 é a

, escrevemos 
0
lim ( )
t t
f t a
→
=
 
, se para todo 0ε > , existe 0δ > , tal que ( )f t a ε= <
 
 sempre 
que 00 | |t t δ< − < . 
 
Na Figura 1.4 apresentamos a visualização de que a direção, o sentido e o comprimento 
do vetor ( )f t

 tendem para os de a

, quando 0t t→ . 
Figura 1.4 – Visualização das tendências do limite 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 24) 
 
1.4.2 Proposição 
Seja 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k= + +
   
 e 1 2 3a a i a j a k= + +
   
. O 
0
lim ( )
t t
f t a
→
=
 
 se, e somente se, 
0
1 1lim ( ) , 1, 2,3t t f t a i→ = = . 
9 
 
Prova. Se 
0
lim ( )
t t
f t a
→
=
 
, então para 0ε > arbitrário um 0δ > , tal que ( )f t a ε− <
 
 
sempre que 00 | |t t δ< − < . 
Como 
1 1 2 2 3 3( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]f t a f t a i f t a j f t a k− = − + − + −
    
, temos que 
| ( ) | | ( ) |i if t a f t a ε− ≤ − <
 
, 
Para i = 1, 2, 3. Portanto 
0
lim ( )i it t f t a→ = . 
Reciprocamente, se 
0
lim ( )i it t f t a→ = , i = 1, 2, 3, para todo 0ε > , existirá 0δ > , tal que 
| ( ) | / 3i if t a ε− < quando 00 | |t t δ< − < . 
Usando a desigualdade triangular, vem 
1 1 2 2 3 3| ( ) | | [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] |f t a f t a i f t a j f t a k− = − + − + −
    
 
1 1 2 2 3 3| ( ) | | ( ) | | ( ) |f t a f t a f t a≤ − + − + − 
3 3 3
ε ε ε
< + + 
ε= . 
Logo 
0
lim ( )
t t
f t a
→
=
 
. 
 
1.4.3 Propriedades 
Sejam ( )f t

 e ( )g t

 duas funções vetoriais e h(t) uma função escalar, definidas em um 
mesmo intervalo. Se 
0 0 0
lim ( ) , lim ( ) e lim ( )
t t t t t t
f t a g t b h t m
→ → →
= = =
    
, então: 
a) 
0
lim[ ( ) ( )]
t t
f t g t a b
→
± = ±
   
; 
10 
 
b) 
0
lim ( ) ( )
t t
f t g t a b
→
⋅ = ⋅
   
; 
c) 
0
lim ( ) ( )
t t
f t g t a b
→
× = ×
   
; 
d) 
0
lim ( ) ( )
t t
h tf t ma
→
± =
 
. 
Prova. Estas propriedades podem ser mostradas a partir da proposição 1.4.2 e as 
propriedades de limite das funções escalares. Como exemplo, provaremos o item d). 
Prova do item d) 
0
lim ( ) ( )
t t
h t f t ma
→
=
 
. 
Sejam 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k= + +
   
 e 1 2 3a a i a j a k= = +
   
. 
Então, 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t f t h t f t i h t f t j h t f t k= + +
   
 e 
0 0 0 0
1 2 3lim ( ) ( ) lim[ ( ) ( )] lim[ ( ) ( )] lim[ ( ) ( )]t t t t t t t th t f t h t f t i h t f t j h t f t k→ → → →= + +
   
 
0 0 0 0
1 2[lim ( ) lim ( )] [lim ( ) lim ( )]t t t t t t t th t f t i h t f t j→ → → →= ⋅ + ⋅
 
0 0
3[lim ( ) lim ( )]t t t th t f t k→ →+ ⋅

 
1 2 3ma i ma j ma k= + +
  
 
ma=

. 
 
1.4.4 Exemplos 
(1) Calcular 2 2
2
lim ( ( 1) 2 )
t
t i t j k
→
+ − +
  
. 
Usando a proposição 1.4.2, temos 
→
→
→
→
→
→
→→→
→




+



 −+



=+−+ kjtitkjtit
tttt
2lim)1(lim)(lim2)1((lim
2
2
2
2
2
22
2
 
 =
→→→
++ kji 22 . 
11 
 
 
(2) Calcular 
0
lim ( )
t
f t
→

, onde sen( ) tf t i tj
t
= +
 
. 
Temos 
( )0 0 0sen lim ( ) lim lim t t ttf t i t jt→ → →
 = + 
 
  
i=

. 
 
(3) Calcular os seguintes limites: 
a) 
→→→
→
+−++ ktjtit
t
)3()1(lim
4
=
→→→
++ kji 425 . 
b) =


 +−++
−
→→→
→
ktjtit
tt
)3()1(
3
1lim
0
→
→
→
→
→
→






−
+





−
−
+





−
+ k
t
tj
t
ti
t
t
ttt 3
lim
3
3lim
3
1lim
000
 
 = 
→→
+− ji
3
1 . 
 
1.4.5 Definição de continuidade 
Uma função vetorial ( )f f t=
 
, definida em um intervalo I, é contínua em 0t I∈ , se 
0
0lim ( ) ( )t t f t f t→ =
 
. 
Da proposição 1.4.2 segue que ( )f t

 é contínua em t0 se, e somente se, suas componentes 
são funções contínuas em t0. 
 
1.4.6 Exemplos 
(1) Verificar se a função ( ) sen cosf t t i t j k= + +
   
 é contínua em t0 = π . 
12 
 
Sabemos que ( )f t

 é definida para t0 = π e 
lim ( ) lim (sen cos )
t t
f t t i t j k
π π→ →
= + +
   
j k= − +
 
( )f π=

. 
Portanto, ( ) sen cosf t t i t j k= + +
   
 é contínua em t0 = π . 
 
(2) Verificar se a função 
( )g t =

sen , 0
2 , 0
t i j t
t
i j t
 + ≠

 + =
 
 
 é contínua em t0 = 0. 
Essa função não é contínua em t0 = 0, pois 
0
sen lim
t
t i j i j
t→
 + = + 
 
   
 é diferente de
(0) 2g i j= +
  
. 
 
(3) Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções: 
a) 21( )g t i t j
t
= +
  
; 
b) ( ) ln 2h t t j k= +
  
. 
Temos: 
a) ( )g t

 é contínua em R – {0}, pois 1
1( )g t
t
= é contínua em R – {0} e 22 ( )g t t= é 
contínua em R. 
b) Como 1( ) lnh t t= é contínua em (0, ∞ ) e 2 ( ) 2h t = é contínua em R, segue que ( )h t

 
é contínua em (0, ∞ ). 
 
 
13 
 
1.5 Atividade de autoavaliação2 
1. posição de uma partícula no plano xy, no tempo t, é dada por x(t) = et, y(t) = tet. 
a) Escrever a função vetorial ( )f t

 que descreve o movimento desta partícula. 
b) Onde se encontrará a partícula em t = 0 e em t = 2? 
 
2. O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma lagoa pode ser 
expresso pela função vetorial 
1 cos sen ( ) 2t t tr t i t j
m m
− − = + + 
 
  
, 
onde m é a massa do besouro. Determinar a posição do besouro no instante 
t = 0 e t = π . 
 
3. Esboçar a trajetória de uma partícula P, sabendo que seu movimento é descrito por: 
a) 2( ) (2 1)f t ti t j= + −
  
 
b) ( ) lnv t ti t j k= + +
   
, t > 0 
c) ( ) 3 cos 3 sen (9 3 sen )w t ti t j t k= + + −
   
; [0, 2 ]t π∈ 
d) 2( ) (9 )r t ti t j t k= + − +
   
, t > 0 
e) ( ) (8 4 sen ) 2cos 4 sen r t t i t j tk= − + +
   
. 
 
4. Seja 2( )f t at bt= +
  
 e ( ) cos g t ti tk= +
  
, com a i j= +
  
 e 2b i j= −
  
; 0 2t π≤ ≤ . 
 
2 As atividades de autoavaliação estão na midiateca do EVA da UA de Noções de Cálculo Vetorial. 
14 
 
Calcular: 
a) ( ) ( )f t g t+
 
 b) ( ) ( )f t g t⋅
 
 c) ( ) ( )f t g t×
 
 
d) ( ) ( )a f t b g t⋅ + ⋅
   
 e) ( 1) ( 1)f t g t− + +
 
. 
 
5. Seja 2 3( ) 2 3f t ti t j t k= + +
   
 e 2( ) 2 3g t ti j t k= + −
   
, 0t ≥ . 
Calcular: 
a) 
1
lim ( ) ( )
t
f t g t
→
 + 
 
 b) 
1
lim ( ) ( )
t
f t g t
→
 − 
 
 
c) 
1
1lim 3 ( ) ( )
2t
f t g t
→
 −  
 
 d) 
1
lim ( ) ( )
t
f t g t
→
 ⋅ 
 
 
e) 
1
lim ( ) ( )
t
f t g t
→
 × 
 
 f) 
1
lim ( 1) ( )
t
t f t
→
 + 

 
 
6. Seja ( ) sen cos 2f t i j k= + +
   
 e ( ) 1/h t t= . Calcular, se existir, cada um dos seguintes 
limites: 
a) 
0
lim ( )
t
f t
→

 
b) 
0
lim ( ) ( )
t
h t f t
→
 ⋅ 

. 
 
7. Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável. 
a) 2lim (cos 5 )
t
ti t j k
π→
+ −
  
 b) 
3 2
2
4 4lim
( 2)( 3)t
t t t i j
t t→−
 + +
+ + − 
 
 
c) 2
2
1lim ( 4) ( 2)
2t
t i t j
t→
 − + − −
 
 d) 
1
1lim ( 1) ( 1)
1t
t i t j t k
t→
 −
+ − + + − 
  
 
15 
 
8. Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos 
indicados. 
a) 
2| 3 | , 3
3( )
0, 3
t i t j t
tf t
t
− + ≠ −= 
 =
 

 em t = 0 e t = 3. 
b) 
1sen cos , 0
( )
, 0
t i t j t
tf t
j t
 + ≠= 
 =
 


 t = 0. 
c) 
2 2 , 0
( )
2 , 0
tti j t
f t t
j t
 + −
+ ≠= 
 =
 


 t = 0. 
d) ( ) sen cosf t ti t j k= − +
   
 
e) 
2 4 5 , 1 2
1 2( )
0, 1 2
i j k t e t
t tf t
t e t
 + − ≠ ≠ − −= 
 = =
  


 em t = 1 e t = 2. 
 
9. Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais: 
a) ( ) sen cos em [0, 2 ]f t a t b t π= +
  
 onde ea i b i j= = +
    
 
b) 21( ) ( 1)g t i t j e k
t
′= + − +
   
 
 
 
 
 
 
16 
 
1.6 Derivada 
Seguem definições e exemplos no contexto da derivação da funções vetoriais de uma 
variável. 
1.6.1 Definição 
Seja ( )f t

 uma função vetorial. Sua derivada é uma função vetorial ( )f t′

, definida por 
0
( ) ( )( ) lim
t
f t t f tf t
t∆ →
+ ∆ −′ =
∆
 

, para todo t, tal que o limite existe. Se a derivada ( )f t′

 existe 
em todos os pontos de um intervalo I, dizemos que f

 é derivável em I. 
Se 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k= + +
   
, temos 
3 31 1 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f t t f tf t t f t f t t f t f t t f ti j k
t t t t
+ ∆ −+ ∆ − + ∆ − + ∆ −
= + +
∆ ∆ ∆ ∆
      
  
. 
Portanto, pela Proposição 1.4.2, segue que f

 derivável em um ponto t se, e somente se, 
as três funções escalares 1( )f t , 2 ( )f t e 3( )f t são deriváveis em t. Neste caso, temos 
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )f t f t i f t j f t k′ ′ ′′ = + +
   
. 
 
1.6.2 Exemplos 
(1) Se 2( ) cos (5 1)f t t i t j t k= + + −
   
, temos: 
( ) 2 sen 5f t ti j k′ = − +
   
. 
 
(2) Se 3 5( ) (2 3) tg t t i e j−= − +
  
, temos que 
2 5( ) 6(2 3) 5 tg t t i e j−′ = − −
  
. 
 
17 
 
1.6.3 Interpretação geométrica da derivada 
Seja ( )f t

 uma função vetorial derivável em um intervalo I. Quando t percorre I, a 
extremidade livre do vetor ( )f t

 descreve uma curva C no espaço. 
para cada , ( )t I f t∈

 é um vetor posição do correspondente ponto sobre a curva. Na 
Figura 1.4 temos a visualização geométrica. 
 
Figura 1.4 – Curva descrita por )(tf
→
 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 48) 
 
Sejam P e Q os pontos de C, correspondente aos vetores posição ( )f t

 e ( )f t t+ ∆

, 
respectivamente. A reta que passa por P e Q é secante à curva C e ovetor 
( ) ( )f f t t f t∆ = + ∆ −
  
 coincide com o segmento PQ (ver Figura 1.5). Como t∆ é 
escalar, f
t
∆
∆

 tem a mesma direção do segmento PQ . 
 
 
18 
 
Figura 1.5 - Secante à curva C 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 49) 
 
Na Figura 1.6 tem-se a representação de 0 ( )t Q P∆ → → , reta secante se aproxima da 
reta tangente à curva C em P. 
Figura 1.6 – Formação da reta tangente à curva 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 29) 
19 
 
 
Se ( ) 0, ( )f t f t′ ′≠
 
 é um vetor tangente à curva C. Seu sentido é o do 
movimento da extremidade livre do vetor ( )f t

 ao crescer t. 
 
1.6.4 Exemplos 
(1) Dada 2( )f t ti t j= +
  
¨, determinar ( )f t′

. Esboçar o hodógrafo de f

 e os vetores (1)f ′

, ( 1)f ′ −

 e (0)f ′

. 
Solução. Temos, ( ) 2f t i t j′ = +
  
. 
Na Figura 1.7 temos o hodógrafo de f, onde desenhamos os vetores 
(1) 2 , ( 1) 2 e (0)f i j f i j f i′ ′ ′= + − = − =
       
 
 
Figura 1.7 – Hodógrafo da função dada com vetores tangentes sinalizados 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 50) 
 
20 
 
(2) Determinar um vetor tangente ao hodógrafo de ( ) cos sen g t ti t j k= + +
   
, [0, 2 ]t π∈ , 
no ponto P(0, 1, 1). 
Solução. Temos, 
( ) sen cosg t ti t j′ = − +
  
. 
Necessitamos do valor de ( )g t′

 no ponto P. Para isso, precisamos determinar o 
correspondente valor de t. Como o vetor posição de P é j k+
 
, t deve satisfazer 
cos sen ti t j k j k+ + = +
    
. 
Portanto, cos 0t = e sen 1t = e dessa forma 
2
t π= . 
Um vetor tangente ao hodógrafo de ( )g t

 em P(0, 1, 1) é 
2
g iπ ′ = − 
 
 
. A Figura 1.8 ilustra 
este exemplo. 
Figura 1.8 – Hodógrafo da função ( ) sen cosg t ti t j′ = − +
  
 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 29) 
 
21 
 
1.6.5 Interpretação Física da derivada 
Consideremos uma partícula em movimento no espaço. suponhamos que no tempo t, ( )r t

 
é o vetor posição da partícula com relação a um sistema de coordenadas cartesianas. Ao 
variar t, a extremidade livre do vetor ( )r t

 descreve a trajetória C da partícula. 
Suponhamos que a partícula esteja em P no tempo t e em Q no tempo t t+ ∆ . Então 
( ) ( )r r t t r t∆ = + ∆ −
  
 representa o deslocamento da partícula de P para Q, ocorrido no 
intervalo de tempo t∆ (ver Figura 1.14). 
A taxa média de variação de ( )r t

 no intervalo t∆ é dada por ( ) ( )r t t r t
t
+ ∆ −
∆
 
 
e é chamada velocidade média da partícula no intervalo de tempo t∆ . A velocidade 
instantânea da partícula no tempo t, que denotamos ( )v t

, é definida pelo limite 
0
( ) ( )( ) lim
t
r t t r tv t
t∆ →
+ ∆ −
=
∆
 

, quando este limite existe. 
 
 
Portanto, quando ( )r t

 é derivável, a velocidade instantânea da partícula é 
dada por ( ) ( )v t r t′=
 
. Analogamente, se ( )v t

 é derivável, a aceleração da 
partícula é dada por ( ) ( )a t v t′=
 
. 
 
 
1.6.6 Regra de Derivação 
As REGRAS DE DERIVAÇÃO de funções vetoriais são similares às de funções 
escalares. Temos a seguinte proposição: 
Proposição: 
22 
 
Sejam ( )f t

 e ( )g t

 funções vetoriais e h(t) uma função escalar, deriváveis em um 
intervalo I. Então para todo t I∈ , temos: 
a) ( )( ) ( ) ( ) ( )f t g t f t g t′ ′ ′+ = +    
b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t f t h t f t h t f t′ ′ ′= +   
c) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f t g t f t g t′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅      
d) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t g t f t g t f t g t′ ′ ′× = × + ×      
 
1.6.7 Derivadas sucessivas 
Seja ( )f t

 uma função vetorial derivável em um intervalo I. Sua derivada ( )f t′

 é uma 
função vetorial definida em I. Se ( )f t′

 é derivável em um ponto t I∈ , a sua derivada é 
chamada derivada segunda de f

 no ponto t e é representada por ( )f t′′

. 
Analogamente, são definidas as derivadas de ordem mais alta. 
 
1.6.8 Exemplos 
(1) Sejam h(t) = t e ( ) cos sen f t ti t j= +
 
. 
a) Determinar ( )( ) ( )h t f t ′ . 
b) Mostrar que ( )f t′

 é ortogonal a ( )f t

. 
 
Solução de a): Pela Proposição enunciada no item 1.6.6, temos que 
23 
 
( )( ) ( ) (cos sen )h t f t t ti t j′ ′ = + 
  
¨ 
(cos sen ) ( ) (cos sen )t ti t j t ti t j′ ′= + + +
   
 
( sen cos ) (cos sen )t ti t j ti t j′= − + + +
   
 
(cos sen ) (sen cos )t t t i t t t j= − + +
 
. 
 
Solução de b): Para que ( )f t

 e ( )f t′

 sejam ortogonais, devemos ter 
( ) ( ) 0f t f t′⋅ =
 
¨. 
Temos, 
( ) ( ) (cos sen ) ( sen cos )f t f t ti t j ti t j′⋅ = + ⋅ − +
     
 
cos sen sen cost t t t= − + 
= 0. 
 
1.7 Atividades de autoavaliação 
1. Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais: 
a) 3 2( ) cos tg senf t ti t j tk= + +
   
 
b) 3 1( ) (2 )h t t i t j k
t
= − + −
   
¨ 
c) 2( ) t tf t e i e j k− −= + +
   
¨ 
d) ( ) lng t ti t j tk= + +
   
¨ 
24 
 
e) 25 2( ) ln (1 ) 5
2 1
th t i t j k
t
−
= + − +
+
   
. 
 
2. Determinar um vetor tangente ao hodógrafo das seguintes funções, nos pontos 
indicados. 
a) 2 3( ) ( , , ), ( 1, 1, 1)f t t t t P= − −

 
b) ( ) ( , ), (1, )tg t t e P e=

¨ 
c) 1( ) 1 , , ( 1, 1)
1
p t t P
t
 = − − − − 

 
 
3. Determinar dois vetores unitários, tangentes ao hodógrafo da função dada no ponto 
indicado. 
a) 2( ) ( , , 1); (1, 1, 1)t tf t e e t P−= +

 
b) 1( ) , 1, 1 ; (1, 3, 3)
2
h t t t t P = + + 
 

 
c) ( ) ( cos , sen , ); (0, / 2, / 2)r t t t t t t P π π= 
4. Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t. Determinar, 
ainda, o módulo desses vetores no instante dado. 
a) ( ) 2cos 5 sen 3 ; / 4r t ti t j k t π= + + =
   
¨ 
b) 2( ) ; ln 2t tr t e i e j t−= + =
  
 
c) ( ) cosh 3 senh ; 0r t ti t j t= + =
  
. 
 
5. No instante t, a posição de uma partícula no espaço é dada por 
25 
 
2 3( ) , ( ) 2 , ( ) 4x t t y t t z t t= = = . 
a) Escrever a função vetorial que nos dá a trajetória da partícula. 
b) Determinar um vetor tangente à trajetória da partícula no ponto P(1, 2, 4). 
c) Determinar a posição, velocidade e a aceleração da partícula para t = 4. 
 
6. Seja ( ) 2cos 4 sen r t wti wt j= +
  
, onde w é uma constante não nula. Mostrar que 
2
2
2
d r w r
dt
= −


¨. 
 
 
Seção 2 
Funções vetoriais de várias variáveis 
Nesta seção estudaremos os conceitos do Cálculo para as funções vetoriais de varias 
variáveis. Inicialmente, introduziremos alguns conceitos que serão utilizados no decorrer 
deste e dos próximos capítulos. 
 
2.1 Definição e exemplos iniciais 
2.1.1 Bola aberta 
Dados 30000 ),,( RzyxP ∈ e um número positivo r , a bola aberta 0( , )B P r , de centro 
em P0 e raio r , é definida como o conjunto de todos os pontos ( , , )P x y z que satisfazem 
0P P r− < . 
26 
 
Analogamente, definimos a bola em 2R . 
Na Figura 1.9 temos a visualização geométrica de 0( , )B P r em 
3R , ou seja, o interior de 
uma esfera. 
Na Figura 1.10 temos a visualização geométrica de 0( , )B P r em 
2R , ou seja, o interior 
de um disco centrado em P0. 
 
Figura 1.9 – Bola aberta em 3R 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 29) 
 
 
 
 
27 
 
Figura 1.10 – Bola aberta em 2R 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 29) 
 
2.1.2 Bola Fechada 
Dados 30000 ),,( RzyxP ∈ e um número positivo r , a bola fechada [ ]0 , B P r , de centro 
em 0P e um r . 
Analogamente, definimos a bola fechada em 2R . 
 
2.1.3 Exemplo 
O conjunto dos pontos ( , )P x y tais que 2 2( 2) ( 4) 16x y− + − ≤ é a bola fechada 
[ ]0 , 4B P , onde 0P (2,4) (Ver Figura 1.11). 
 
 
 
 
 
28 
 
Figura 1.11 – Bola Fechada 
 
Fonte: Elaboração da autora, 2017 
 
 
(2) O conjunto dos pontos ( , , )P x y z tais que 1)2()1()1(222 ≤−+−+− zyx é a bola 
fechada 0( , 1)B P onde 0P (1,1,2). 
 
Seja A um conjunto de pontos de 2R ou 3R . Dizemos que A é aberto, se 
para cada ponto 0 P A∈ , existe uma bola aberta 0( , )B P r totalmente 
contida em A. 
Observamos que, no estudo das funções vetoriais, um conjunto aberto no 
plano ou no espaço será denominado um domínio. Por exemplo: 
 O conjunto dos pontos interiores à uma curva fechada simples no 
2R ; 
 O conjunto dos pontos interiores de uma paralelepípedo é um 
domínio em 3R ; 
 2R e 3R são domínios. 
29 
 
 
2.2 Domínios Conexos 
Um domínio D de 2R ou 3R é dito conexo, se dados dois pontos quaisquer em D, eles 
podem ser ligados por uma linha poligonal contida em D. 
A Figura 1.12 mostra exemplos de conjuntos conexos no plano 2R , Podemos ver que, 
dados dois pontos no domínio D, sempre é possível ligá-los por meio de uma linha 
poligonal contida em D. 
Observe ainda que podemos ter exemplos com “buracos”. Quando os buracos não 
existem o domínio é dito simplesmente conexo. 
A Figura 1.13 mostra exemplos de domínios no espaço 3R . Nestes casos podemos 
também adotar a classificação do “simplesmente conexo” quando qualquer curva fechada 
simples em D pode ser reduzida de maneira contínua a um ponto qualquer de D sem sair 
de D. 
 
Figura 1.12 – Domínios conexos em 2R 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 71) 
30 
 
 
Figura 1.13 – Domínios conexos em 3R 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 71) 
 
Exemplos 
(1) 2R e 3R são simplesmente conexos. 
(2) Em 2R , { }2 2( , ) 4 16D x y x y= < + < é um domínio conexo que não é simplesmente 
conexo. 
(3) Em 2R , { }( , ) 1D x y x= > não é domínio conexo. 
(4) O interior de uma esfera com um número finito de pontos removidos é domínio 
simplesmente conexo em 3R . 
(5) O interior de um cubo com uma diagonal removida não é simplesmente conexo em 
3R . 
 
2.3 Definição de funções vetoriais de várias variáveis 
31 
 
Como no caso das funções vetoriais de uma variável, se 
→
f é uma função vetorial das 
variáveis x, y, z, definida em um domínio 3RD ⊂ , ela pode ser expressa na forma 
→→→→
++= kzyxfjzyxfizyxfzyxf ),,(),,(),,(),,( 321 , onde 1 2, f f e 3f são chamadas 
componentes da função vetorial 
→
f ou também funções coordenadas. 
Analogamente, se 
→
f é definida em um domínio 2RD ⊂ podemos escrever: 
→→→→
++= kyxfjyxfiyxfyxf ),(),(),(),( 321 . 
 
Exemplos 
(1) 
→→→→
−++++= kzxjzyxixyzyxf 3)(),,( é uma função vetorial definida em todos 
os pontos (x, y, z) de 3R tais que 0>− zx . Suas funções coordenadas são dadas por 
.3),,()(),,(;),,( 321 zxzyxfezyxzyxfxyzyxf −=++==
→→→
 
 
(2) 
→→→→
+−−+= kxjyxixyxf 1),( é uma função vetorial definida em todos os pontos 
de 2R tais que 01 >−− yx . As funções coordenadas são 
.),(1),(;),( 321 xyxfeyxyxfxyxf =−−==
→→→
 
 
2.4 Limite e continuidade 
2.4.1 Definição 
Seja 0 0 0 0( , , )P x y z um ponto de um domínio D e 0r

 seu vetor posição. Seja 
→
f uma 
função vetorial definida em D, exceto, possivelmente, em 0r

. Seja 1 2 3a a i a j a k= + +
   
 
um vetor constante. Se r

 é o vetor posição do ponto ( , , )P x y z , dizemos que 
32 
 
0
lim ( , , )
r r
f x y z a
→
=
 
 
 se para todo 0ε > , existe 0δ > tal que ( , , )f x y z a ε− <
 
 sempre 
que 00 r r δ< − <
 
. 
A desigualdade 00 r r δ< − <
 
 representa o interior (exceto 0P ) de uma esfera de raio δ 
e centro em 0P . Portanto, geometricamente, podemos visualizar essa definição na Figura 
1.14. 
Dada qualquer bola ( , )B A ε de raio ε , centrada em 1 2 3( , , )A a a a , existe uma bola 
0( , )B P δ de raio δ , centrada em 0 0 0 0( , , )P x y x , tal que os pontos de 0( , )B P δ (exceto, 
possivelmente, 0P ) são levados por 
→
f em pontos de ( , )B A ε . Assim, a direção, o sentido 
e o comprimento de ),,( zyxf
→
 tendem para os de a

 quando 0 0 0( , , ) ( , , )x y z x y z→ . 
 
Figura 1.14 – Visão geométrica da definição 2.5.1. 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 29) 
 
De forma análoga às funções vetoriais de uma variável, se 
1 2 3( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))f x y z f x y z f x y z f x y z=

 e 1 2 3( , , )a a a a=

, temos 
0 0 0 0 0 0
1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
 ( , , ) ( , , )lim lim i i
x y z x y z x y z x y z
f x y z a f x y z a
→ →
= ⇔ =
 
, para i=1, 2, 3. 
33 
 
Também as propriedades dos limites são análogas. 
 
2.4.2 Exemplos 
(1) Determinar o limite ))1((lim
0
→→→
→
+−+
→→
kxyzjxyix
r
. 
Temos: 
→→→→
→
→
→
→
→
→
→→→
→
−=+−=





+




 −+




=+−+
→→→→→→→→
jkji
kxyzjxyixkxyzjxyix
rrrr
010
lim)1(limlim))1((lim
0000 
 
(2) Se 1 2
( 1)( , , ) , ,3
1
x y xf x y z e xz
x
− − =  − 

 determinar 
( , , ) (1, 2, 1)
 ( , , )lim
x y z
f x y z
→

. 
Temos: 
1
2
( , , ) (1, 2, 1) ( , , ) (1, 2, 1) ( , , ) (1, 2, 1) ( , , ) (1, 2, 1)
( 1) ( , , ) , , 3lim lim lim lim1
x
x y z x y z x y z x y z
y xf x y z e xz
x
−
→ → → →
 −
=  − 

 
=(1,1,3). 
 
2.4.3 Definição de continuidade 
Seja ( , , )f x y z

 definida em um domínio D. Dizemos que f

 é contínua em um ponto 
0 0 0 0( , , )P x y z D∈ se 
0 0 0
0 0 0
( , , ) ( , y , z )
 ( , , ) ( , , )lim
x y z x
f x y z f x y z
→
=
 
. 
Se f

¨é contínua em cada ponto do domínio D, dizemos que f é contínua em D. 
De forma análoga às funções vetoriais de uma variável, temos que f

 é contínua em D 
se, e somente se, as três funções coordenadas 1 2, f f e 3f são contínuas em D. 
34 
 
 
 
2.4.4 Exemplos 
(1) A função 
→→→→
+−+= kxyzjxyixzyxf )1(),,( é contínua em todos os pontos do plano. 
(2) A função 1 2
( 1)( , , ) , ,3
1
x y xf x y z e xz
x
− − =  − 

 é contínua em todos os pontos 
3),,( Rzyx ∈ tais que 1x ≠ ± . 
(3) A função vetorial 3( , , )
krf x y z
r
−
=



, onde k é constante positiva e r

 é o vetor posição 
do ponto (x, y, z), é contínua em todos os pontos 3R , exceto na origem, ponto no qual a 
função não está definida. 
 
2.5 Derivadas Parciais 
2.5.1 Definição 
Seja ( , , )f f x y z=
 
 uma função vetorial. A derivada parcial de f

 em relação a x, que 
denotamos por f
x
∂
∂

, é definida por 
0
( , , ) ( , , )
lim
x
f f x x y z f x y z
x x∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
  
 para todo 
(x, y, z), tal que o limite existe. 
Analogamente, 
0
( , , ) ( , , )
lim
y
f f x y y z f x y z
y y∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
  
 e 
0
( , , ) ( , , )
lim
z
f f x y z z f x y z
z z∆ →
∂ + ∆ −
=
∂ ∆
  
. 
35 
 
Se 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z f x y z i f x y z j f x y z k= + +
      
¨, de maneira análoga à derivada 
de função vetorial de 1 variável, temos 
31 2 ff f fi j k
x x x x
∂∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂

  
; 
31 2 ff f fi j k
y y y y
∂∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂

  
 e 
31 2 ff f fi j k
z z z z
∂∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂

  
. 
 
2.5.2 Exemplos 
(1) Dada a função vetorial 2( , , ) 4 yzf x y z xi xyz j e k= + +
   
, determinar suas derivadas 
parciais. 
Temos, 
21
2
f i yz j
x x
∂
= +
∂

 
; 
2 4 yzf xz j ze k
y
∂
= +
∂

 
¨; 
2 4 yzf xyz j ye k
z
∂
= +
∂

 
¨. 
(2) Dada a função 2( , ) ( , )vf u v ue u v=

, determinar f
u
∂
∂

 no ponto (2,0) e f
v
∂
∂

 no ponto 
(-1,1). 
Temos, ( , 2 )vf e uv
u
∂
=
∂

, assim 0
(2,0)
( , 2.2.0)f e
u
∂
=
∂

=(1,0). 
36 
 
2( , );vf ue u
v
∂
=
∂

 
( 1,1)
( ,1).f e
v
−
∂
= −
∂

 
 
2.5.3 Interpretação geométrica 
Seja ( , , )f f x y z=
 
 uma função vetorial contínua. Se todas as variáveis, exceto uma, que 
podem ser tomada como parâmetro, permanecem fixas, então f

 descreve uma curva no 
espaço. 
A derivada parcial de f

 em relação a x no ponto 0 0 0 0( , , )P x y z é derivada da função 
0 0 0( ) ( , ,)g x f x y z=
 
 no ponto 0x . Portanto, como vimos na seção 1.6.3, se no ponto 
0 , 0
fP
x
∂
≠
∂

, este vetor é tangente à curva dada por ( )g x

. 
Analogamente, no ponto 0 ,
fP
y
∂
∂

 é um vetor tangente à curva dada por 
0 0( ) ( , , )h y f x y z=
 
 e f
z
∂
∂

 é um vetor tangente à curva dada por 0 0( ) ( , , )p z f x y z=
 
. 
Na figura 1.15 ilustramos a interpretação geométrica das derivadas parciais para uma 
função vetorial de duas variáveis ( , )f f x y=
 
. Denotamos por 1C a curva dada por 
0 0( ) ( , )g x f x y=
 
 e por 2C a curva dada por 0( ) ( , )h y f x y=
 
. A derivada parcial 
0 0( , )
f x y
x
∂
∂

 é tangente à curva 1C e a derivada parcial 0 0( , )
f x y
y
∂
∂

 é tangente à curva 
2C . 
 
 
 
 
37 
 
Figura 1.15 – Interpretação geométrica das derivadas parciais 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 153) 
 
2.5.4 Exemplos 
(1) Seja f

 a função dada por 2( , , ) cos senf x y z y i z x j z xk= + +
   
. 
a) Descrever a curva obtida fazendo y=0 e z=3. 
b) Representar nesta curva a derivada parcial f
x
∂
∂

 no ponto 0 , 0, 36
P π  
 
. 
Solução de (a). Fixando y=0 e z=3, obtemos a função vetorial 
( ) ( , 3)g x f x=
 
3cos 3senx j xk= +
 
, que descreve uma circunferência no plano yz. A 
variável x pode ser interpretada como um parâmetro. 
Solução de (b). A derivada parcial f
x
∂
∂

 é dada por sen cosf z x j z xk
x
∂
= − +
∂

 
. 
No ponto 0 , 0, 36
P π  
 
, temos 0( ) 3sen 3cos6 6
f P j k
x
π π∂
= − +
∂

 
. 
38 
 
Esta derivada parcial é a derivada da função ( ) 3cos 3seng x x j xk= +
  
, no ponto 0 6
x π= 
e, geometricamente, está representada na Figura 1.16. 
Figura 1.16 – Visualização gráfica do exemplo 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 153) 
 
(2) Seja f

 a função vetorial definida por 2( , ) ( cos , sen , 4 )f u v u v u v u= −

, para 
0 u 2, 0 v 2π≤ ≤ ≤ ≤ . 
a) Determinar as curvas obtidas fazendo 2u = e 
4
v π= , respectivamente. 
b) Determinar 2, 
4
f
u
π∂  
 ∂  

 e 2
4
f
v
π∂  
 ∂  

 representando-os geometricamente. 
Solução de (a). Fazendo 2u = , obtemos a curva 1C , dada por 
( ) ( 2, )h v f v=
 
 
 ( 2 cos , 2 , 2), 0 2v senc v π= ≤ ≤ . 
A curva 1C é uma circunferência de centro (0, 0, 2) e raio 2 , localizada no plano z=2 
e está representada na Figura 1.17. 
39 
 
Fazendo 
4
v π= , obtemos a curva 2C , dada por 
( ) , 
4
g u f u π =  
 
 
 
 22 2, , 4 , 0 2
2 2
u u u u
 
= − ≤ ≤  
 
. 
As equações paramétricas da curva 2C são: 
2
2
x u= 
2
2
y u= 
24z u= − . 
Eliminando o parâmetro u, temos 2, 4 2x y z x= = − . Isso nos mostra que a curva 2C é 
uma parábola contida no plano x=y. 
 
Figura 1.17 – Representação geométrica do exemplo 
 
Fonte: Flemming e Gonçalves (2007, p. 154) 
40 
 
 
Solução de (b). Temos, 
(cos , sen , 2 )f v v u
u
∂
= −
∂

 
( sen , cos , 0)f u v u v
v
∂
= −
∂

. 
Portanto, 
2 22, , , 2 2
4 2 2
f
u
π  ∂  = = −    ∂    

 e 
2, ( 1, 1, 0)
4
f
v
π∂  = = − ∂  

. 
Na Figura 1.17, representamos os vetores 1 2, 4
fv
v
π∂  =  ∂  


 e 2 2, 4
fv
u
π∂  =  ∂  


 que 
são tangentes às curvas 1C e 2C , respectivamente. 
 
2.5.5 Derivadas Parciais Sucessivas 
As derivadas parciais de uma função vetorial de várias variáveis f

 são também funções 
vetoriais de várias variáveis. Se as derivadas parciais destas funções vetoriais existem, 
elas são chamadas derivadas parciais de a2 ordem de f

. 
Se ( , )f f x y=
 
, temos quatro derivadas parciais de a2 ordem dadas por 
2 2
2 ; ;
f f f f
x x x y x y x
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= =   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
   
 
2 2
2 e .
f f f f
y x x y y y y
   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= =   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
   
 
41 
 
Se ( , , )f f x y z=
 
, cada uma das três derivadas parciais de a1 ordem origina três 
derivadas parciais de a2 ordem. 
Analogamente, obtêm-se as derivadas parciais de ordem maior. 
 
2.5.6 Exemplos 
(1) Dada a função 
( , , ) (sen( 2 ), sen , ln )xf x y z xy z e y x yz= +

 
Determinar 
2 3
 f f
z x y z x
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
. 
Temos, ( cos( 2 ), sen , ln )xf y xy z e y yz
x
∂
= +
∂

; 
2 12 sen( 2 ), 0, ;f y xy z
z x z
∂  = − + ∂ ∂  

 
3
( 2 cos( 2 ) 2sen( 2 ), 0, 0).f yx xy z xy z
y z x
∂
= − + − +
∂ ∂ ∂

 
(2) Dada a função 
4 2 4 4( , , ) ( , , ),f x y z x y y z xyz= +

 
Determinar 
2 2
 e f f
y x x y
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
 
 no ponto P(2, 1, 4). 
Temos, 3 2(4 , 0, )f x y yz
x
∂
=
∂

; 
2
3(8 , 0, )f x y z
y x
∂
=
∂ ∂

; 
42 
 
2
3( ) (8.2 .1, 0, 4)
(64, 0, 4);
f P
y x
∂
=
∂ ∂
=

 
4 3(2 , 4 , );f x y y xz
y
∂
=
∂

 
2
3(8 , 0, );f x y z
x y
∂
=
∂ ∂

 
2
( ) (64, 0, 4).f P
x y
∂
=
∂ ∂

 
Neste exemplo, podemos observar que 
2 2f f
y x x y
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
 
. Veja o teorema o enunciado do 
Teorema de Schwarz. 
 
 
2.5.7 Teorema de Schwarz 
Suponhamos que ( , )f f x y=
 
 seja obtida sobre uma bola aberta 0 0(( , ); )B x y r e que 
2 2
, , e f f f f
x y y x x y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
 também sejam definidas em B. Então, se 
2 2
 e f f
y x x y
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
 
 são 
também contínuas em B, temos 
2 2
0 0 0 0( , ) ( , )
f fx y x y
y x x y
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
 
. 
O teorema é conhecido como Teorema de Schwarz e também é válido, com as hipóteses 
adequadas, para funções de três ou mais variáveis. 
 
2.6 Atividades de autoavaliação 
1. Representar geometricamente as seguintes bolas: 
43 
 
a) 0 0
1( , ) (1, 2, 1) e 
3
B P r P r= − = 
b) [ ]0 0, ( 1, 1, 1) e 1B P r P r= − − − = 
 
2. Cada uma das inequações abaixo determina um conjunto de pontos em 2R ou 3R . 
Identificar as bolas abertas e as bolas fechadas determinando o centro e o raio. 
a) 2 2 2 1 3x y y+ − + < 
b) 2 2 2 2 2 2x y z x y z+ + ≤ + + 
c) 2 2 2x y z+ ≤ 
d) 2 2 1 0x y+ − > 
e) 2 24 5x x y+ + < 
 
3. Verificar quais dos conjuntos abaixo são conexos: 
{ }2 2 2( , ) IR 2 5 10A x y x y= ∈ + ≤ 
2 1 1( , ) IR
2 2
B x y x = ∈ − ≤ ≤ 
 
 
{ }3 2 2 2( , , ) IR 3 9 18C x y z x y z= ∈ + + ≥ 
2 1( , ) IR , 0D x y y x
x
  = ∈ > ≠ 
  
. 
 
4. Escrever a função vetorial que associa a cada ponto do espaço um vetor unitário com 
a mesma direção do vetor posição e sentido contrário. 
44 
 
 
5. Dar o domínio das seguintes funções vetoriais: 
a) 2 2( , ) 4f x y xi y j x y k= + + − −
   
 
b) 2 2( , ) ( , , )h x y x y x y xy= +

 
c) 2( , , )u x y z x yi y j z k= + +
   
 
d) 2 2 2 2( , , ) 2 1r x y z x y i x y j zk= − − + − − +
   
. 
 
6. Calcular o limite 
0
 ( , , )lim
r r
f x y z
→
 

, para as seguintes funções e 0
→
r dados: 
a) 2 2 02
2( , , ) , , ; (2, 1, 1)
4
xy xf x y z x y r
z x
− = + = − 
 
 
b) 0
1( , , ) , , ; 1, 0, 
2
x senyf x y z e x y z r
y
   = + + =   
  
 
 
c) 2 0( , , ) , , ; (2, 1, 4)
x yf x y z x z r
x y
 +
= = − 
 
 
 
7. Determinar os limites seguintes: 
a)
( , ) (1, 2)
1 , lim
x y
xy
xy→
 
 
 
 
b)
( , , ) 0, 1, 
4
sen , cos , tglim
x y z
x y x yz
y xπ → 
 
 
 
 
 
45 
 
c) 2
( , , ) (3, 4, 1)
, , lnlim 1x y z
xz xx y y z
z→
− 
 − 
. 
 
8. Analisar a continuidade das seguintes funções vetoriais: 
a) 2 2( , ) ( , , 2)f x y xy x y= −

 
b) 
2 1, sen , sen , 0
( , , )
( , sen , 0), 0
x y y xz z
g x y z z
x y y z
  ≠ =  
 =

 
c) ( , , ) ln 2xyp x y z e i xz j k= + +
   
 
d) 2( , , ) , , xq x y z z
x y x
 
=  − 

 
e) 2 2 2 2 2 2( , , ) ( , , )u x y z x y y z z x= + + +

. 
 
9. Calcular as derivadas parciaisde a1 ordem das seguintes funções: 
a) 2 2 2( , , ) xyzf x y z y i x y z j e k= + +
   
 b) ( , , ) , 2 , 3x yg x y z x
x y
 −
=  + 

 
c) ( , ) ( , ( ) ln )q x y x y x y y= −

 d) ( , , ) ln 2xyu x y z e i xz j k= + +
   
 
10. Seja f

 a função vetorial definida por 2( , ) ( cos , sen , 3 )f u v u v u v u= +

 para 
0 3, 0 2u v π≤ ≤ ≤ ≤ . 
a) Determinar as curvas obtidas fazendo 3u = e 
2
v π= , respectivamente. 
b) Determinar 3, 
2
f
u
π∂  
 ∂  

 e 3, 
2
f
v
π∂  
 ∂  

 representando-os geometricamente. 
	Funções Vetoriais de uma ou mais variáveis
	Seção 1
	Funções vetoriais de uma variável
	1.1 Definição
	Exemplos:
	1.2 Hodógrafo de uma função vetorial
	Exemplos:
	1.3 Operações com Funções Vetoriais
	Exemplos:
	1.4 Limite e continuidade
	1.4.1 Definição
	1.4.2 Proposição
	1.4.3 Propriedades
	1.4.4 Exemplos
	1.4.5 Definição de continuidade
	1.4.6 Exemplos
	1.5 Atividade de autoavaliação1F
	1.6 Derivada
	1.6.1 Definição
	1.6.2 Exemplos
	1.6.3 Interpretação geométrica da derivada
	1.6.4 Exemplos
	1.6.5 Interpretação Física da derivada
	1.6.6 Regra de Derivação
	Proposição:
	1.6.7 Derivadas sucessivas
	1.6.8 Exemplos
	1.7 Atividades de autoavaliação
	Seção 2
	Funções vetoriais de várias variáveis
	2.1 Definição e exemplos iniciais
	2.1.1 Bola aberta
	2.1.2 Bola Fechada
	2.1.3 Exemplo
	2.2 Domínios Conexos
	Exemplos
	2.3 Definição de funções vetoriais de várias variáveis
	Exemplos
	2.4 Limite e continuidade
	2.4.1 Definição
	2.4.2 Exemplos
	2.4.3 Definição de continuidade
	2.4.4 Exemplos
	2.5 Derivadas Parciais
	2.5.1 Definição
	2.5.2 Exemplos
	2.5.3 Interpretação geométrica
	2.5.4 Exemplos
	2.5.5 Derivadas Parciais Sucessivas
	2.5.6 Exemplos
	2.5.7 Teorema de Schwarz
	2.6 Atividades de autoavaliação