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Lista de Exercícios - Potenciação

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Lista de Exercícios - Potenciação 
 
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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo 
Matemática Zero 2.0 - Aula 14 - Potenciação ou Exponenciação - (parte 1 de 2) 
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=20lm2lx6r0g 
Gabaritos nas últimas páginas! 
 
Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Radiciação 
também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos 
muito ligados! 
Nota: Para todos os exercícios, considere U = ℝ 
 
E1: Simplifique:
E2: Simplifique: 
 
 
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E3: Mostre que �2� � ��2��. 
E4: Mostre que �2��� � 2�	. 
E5: O número	2��
 é par ou ímpar? Justifique. 
E6: Veja os itens a) e b) abaixo e responda: 
a) O número 3�
� é par? Justifique. 
b) E o número3���	? Justifique. 
E7: Um lago possui uma população de algas, em sua superfície, que dobra 
sua área de ocupação a cada dia. No dia 30 de março, as algas ocuparam 
exatamente toda a superfície do lago. Calcule em qual dia o lago possuía 
metade da área ocupada. 
E8: Reescreva 
�
���� livrando-se do expoente negativo. 
E9: Reescreva 
����
�	� livrando-se dos expoentes negativos. 
E10: Mostre que ��		⋅	����	⋅	���
�� � ��� 
E11: 
Se 	5���� � 8, então o valor de 5�� vale: 
a) 
�
�� b) 
�
�� c) 
�
�� d) 
�
�� e) 
�
�� 
 
E12: Calcule: ��� !��"��
	
 
 
 
 
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E13: Qual o último algarismo de 2�
? 
 
E14: 
Sendo n natural, qual das respostas abaixo NÃO É o último algarismo de 
2# ? 
a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 0 
 
E15: 
Colégio Naval) O valor aproximado de 
���$,��! √�,������
�
�	!	�,���…
 é: 
a) 0,045 b)0,125 c)0,315 d)0,085 e)0,25 
 
E16: 
Colégio Naval) Sejam 
( � )�!√�*" �!)��√�*" �� e + �
)�!√�*" ��	)��√�*" �
√� . Então o 
valor de 4(� � 3+� é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
E17: 
OBM) O valor da soma 
��$$�		⋅		-"$$"
�"$$"	⋅	��$$� . �
�$$�		⋅		-"$$"
�"$$"	⋅	��$$� é: 
a) 
�
� b) 
�
� c) 1 d) 
�
� e) 2 
 
 
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Gabarito 
E1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E2: 
 
 
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E3: Basta observar que: 
a) �2� � �/ ⋅ / � �0	
b) ��2�� � ��/���/� � 0	
No segundo caso, o sinal é afetado pela potência. No primeiro, não. 
E4: 
 
Como 2�� � 21�, concluímos que �2��� � 2�	 
E5: Para ser par, duas condições precisam ser atendidas: 
a) O número precisa ser inteiro. 
b) O número precisa ter na sua decomposição em fatores primos, pelo 
menos um fator 2. 
Note que 2��
 � 2 ⋅ 2 ⋅ 2… ⋅ 2 (567 fatores iguais a 2). Como todos 
os fatores são inteiros, o número resultante é inteiro. Como há pelo 
menos um fator 2 (na verdade, 567 fatores iguais a 2) então o 
número 2��
 é par. 
 
E6: (Veja a resolução anterior para entender melhor). 
O número 3�
� pode ser reescrito como 3 ⋅ 3 ⋅ 3… ⋅ 3233343335
�
�	6789:;<	�
. Note a ausência de 
um fator 2. Isso significa que 3�
� é um inteiro que, não sendo par, é ímpar. 
Da mesma forma, o número 3��� é um número ímpar, pois há a ausência de 
um fator 2 em seu desenvolvimento. 
 
E7: Bem simples. Se a população de algas dobra a cada dia, fica óbvio que, 
no dia anterior ao preenchimento do lago, as mesmas ocupavam a metade 
da área disponível. Assim sendo, no dia 29 de março, metade da área do 
lago estava ocupada. 
 
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E8: Dica: se a base “sobe” (vai para o numerador) ou “desce”(vai para o 
denominador) o sinal do expoente fica invertido. Conhecer essa 
transformação é essencial, principalmente para alunos que prestarão ITA e 
outras escolas militares. 
�
��� � 2� e 2��
 � ��"�	 
Nota: isso não ocorre se houver somas ou subtrações!!! 
Se tivermos 
�"�!�
� não podemos escrever 
	�
�	⋅	��"� 
Assim sendo, 
�
���� � 2�
 
 
 
E9: (Veja o comentário do exercício anterior!) 
Pela mesma razão que no exercício 8 (E8) podemos escrever: 
 
����
�	� � 
	�
��� 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E10: E11: 
 
E12: 
 
 
 
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E13: Questão Clássica! Vamos observar algumas potências de 2: 
2� � 1	, 2� � 2, 2� � 4, 2� � 8, 2� � 16, 2� � 32	 
2� � 64	, 2
 � 128, 21 � 256, 2- � 512,				 
É fácil notar que os últimos algarismos seguem uma lógica (exceto o 
2� � 1, justificável pelo fato de todo número elevado a zero dar 1). O 
padrão dos algarismos finais é 2 – 4 – 8 – 6 ... repetindo-se NESTA 
ORDEM. Assim sendo, todo expoente múltiplo de 4 terá final 6. Com isto, 
basta fazer a divisão do expoente por 4: se a divisão inteira for exata (resto 
zero) o último algarismo vale 6. Se for 3, então é o terceiro termo da 
sequência (8) e assim por diante. Vamos fazer a divisão: 
 Como o resto foi 1, então devemos considerar o primeiro termo 
da sequência: 2. Logo, o último algarismo de /?@ será 2. 
 
E14: ALTERNATIVA E 
 (Veja resolução anterior) 
Como vimos, na resolução anterior, o último algarismo possível para o 
desenvolvimento de /A (para n natural) será: 1, 2, 4, 8 ou 6. Assim sendo, 
é impossível que este algarismo final assuma (nestas condições) o valor 0. 
Observação: numa questão mais genérica – na qual n não seja 
necessariamente um natural – poderíamos ter qualquer algarismo final. Por 
exemplo, 2 elevado a 2,321928... (aproximadamente) dará 5. Isso será 
melhor visto em logaritmos. 
 
 
 
 
 
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E15: ALTERNATIVA D 
 
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E16: Alternativa D
 
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E17: Alternativa C