Análise de Sinais no Domínio da Frequência

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3 ANÁLISE DE SINAIS NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
 
3.1 Introdução 
Para existir um mapeamento entre fenômenos analisados nos domínios do tempo e da 
frequência, o comportamento da grandeza no domínio do tempo deve ser periódico, ou seja, repetir-
se em intervalos iguais a T, sendo T o período de tempo que contém um ciclo do sinal de frequência f. 
Com isso se estabelece a regra básica de mapeamento entre os dois domínios: f =1/T. 
Um ponto importante é identificar em quais condições se torna mais conveniente analisar um 
sinal no domínio da frequência. 
Sabemos que no domínio do tempo precisa-se definir explicitamente a função e os parâmetros 
que a caracterizam, por exemplo: 
 
 
 
Figura 3.1 Representação de senóide no domínio do tempo. 
 
A própria função temporal contem os três parâmetros característicos (A, f,  ), sendo: 
 
A = amplitude 
 
 
 
 
 
 
 
φ = 2π.ΔT/T = ângulo correspondente ao atraso inicial ΔT 
 
No caso de sinal composto de k frequências, são 3k parâmetros além da função analítica (no 
caso a função seno) para caracterizar a sucessão de valores no domínio do tempo. 
 
3.2 Representação no Domínio da Frequência 
 No domínio da frequência esse mesmo sinal é representado apenas pelos seus parâmetros, 
ficando subentendida a função temporal (senoidal) escolhida como referência na decomposição: 
 
 
 
Uma vez que a função periódica de referência já está implícita no domínio da frequência, a 
caracterização do sinal decomposto em termos dessa referência necessita apenas dos parâmetros 
resultantes da decomposição. 
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Amplitude
f
0
Fase

f
0
A
 
Figura 3.2 Representação de senóide no domínio da frequência. 
 
Nem todas as funções definidas no domínio do tempo apresentam período. Por exemplo, a 
função: 
 
 
será periódica apenas se a relação entre as frequências angulares for um número racional: 
 
 
 
 
 
 
 
 para m e n inteiros. 
 
 Desta forma, a função seguinte não é periódica, embora esteja descrita no domínio do tempo e 
seja composta por dois sinais periódicos. 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 Forma de onda não periódica. 
 
 
13.3 Representação de Sinais Periódicos 
 Jean B. J. Fourier publicou um estudo em 1822 no qual mostrava que um sinal periódico pode 
ser expresso como série de senos e cossenos. Por exemplo, a função temporal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
produz uma onda dente de serra, com valor de pico π/2. Por outro lado a função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
produz uma onda quadrada de amplitude unitária. 
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a) b) 
Figura 3.4 a) Soma dos primeiros cinco termos da série da onda dente de serra. 
b) Soma dos primeiros cinco termos da série de uma onda quadrada. 
 
A função correspondente a uma onda triangular é dada por; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 Primeiros 3 termos da série da onda triangular. 
 
 Os três exemplos mostram algumas propriedades gerais importantes da denominada Série de 
Fourier ou, como é também chamada, série harmônica (pois as componentes possuem frequências 
múltiplas inteiras da fundamental): 
1 - As séries são formadas por múltiplos inteiros da frequência fundamental . As 
frequências múltiplas são chamadas harmônicas (fh = h.f1, h = 2,3,4...). 
2 - Se a função é par [f(t) = f(-t)], a série contém apenas termos em cosseno, como em f2(t); se a 
função for ímpar [f(t) = -f(-t)], contém apenas termos em seno, como em f1(t) e f3(t). 
3 - Se a função apresentar simetria de meia onda )]()([
2
Ttftf  então a série não contém 
harmônicas pares, como em f2(t) e f3(t). 
4 – Se, no tempo, a função periódica contiver descontinuidades, aparece o efeito Gibbs nos pontos 
de derivada infinita, devido à impossibilidade de reproduzir esse efeito pela soma de termos 
finitos em frequência. 
 
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3.4 Como aplicar a Análise de Fourier 
 As propriedades anteriores ajudam a simplificar a análise qualitativa, porém é necessário um 
procedimento para decompor a função em sua série harmônica. A série de Fourier é uma 
decomposição do sinal periódico com período T em um somatório de funções cosseno e seno do tipo: 
 
 
 
 
 
 sendo 
 
 
 (3.1) 
 
 A análise de sinais periódicos pela série de Fourier no domínio da frequência resume-se a 
determinar os valores dos coeficientes A e B da série, uma vez que se conhece o período T da função 
de referência. Sabendo que as funções cosseno e seno são ortogonais, a decomposição de Fourier 
pode ser vista como uma operação de projeção em base de sinais ortogonais como na figura 3.6: 
f1
fe
c12.f2 f2
fe
 
Figura 3.6 Decomposição ortogonal do sinal f1. 
 
 C12 é a medida da projeção ortogonal da função f1 sobre a função f2. Reparar que f2 funciona 
como a referência para projeção e fe como a variável ortogonal. Para determinar C12 sobre um 
intervalo de tempo [ta, tb] pode-se utilizar a técnica de erro quadrático médio mínimo para a função 
de erro fe , dada pela relação vetorial: 
 
 f1 (t)= fe (t)+ C12. f2 (t) ou fe (t)= f1 (t)- C12. f2 (t) 
 
O erro quadrático médio no intervalo [a,b] é dado por: 
 
 
 
 
 
 
C12 corresponde ao mínimo dessa função e será encontrado impondo: 
 
 
 . 
Por essa técnica chega-se à relação seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se f1(t) e f2(t) forem ortogonais, a projeção resulta nula (C12 = 0). 
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 Por analogia, podem-se encontrar os coeficientes da série de Fourier. Para isso basta impor 
certas condições a f1(t) e f2(t): 
a) Na série de Fourier o argumento das funções é ωt (ângulo variável ao invés de tempo 
variável); 
b) Por ser a função periódica basta integrar f1e f2 sobre um período (-π, π); 
c) Como f2 funciona como referência de projeção pode-se atribuir condições particulares a essa 
função como, por exemplo: 
 
Se f2(ωt) =1, resulta como valor não nulo da série apenas A0 (nos demais termos a média é zero): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 valor médio no período. 
 
Se f2(ωt) = cos(h1t), resulta não nulo apenas o coeficiente da série contendo cos(hω1t): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E se f2(ωt) = sen(h1t), resulta não nulo apenas o coeficientes contendo sen(hω1t): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cada coeficiente Ah e Bh pode ser interpretado como sendo o dobro do valor médio da função 
f(ωt), ponderado pela respectiva base harmônica. Notar que os coeficientes (das funções seno ou 
cosseno) serão números reais, podendo ser positivos ou negativos. Uma vez obtidos os coeficientes, 
pode-se dispor o espectro na forma seguinte, referente à onda dente de serra anterior: 
 
 
1 
-1/2 
1/3 
-1/4 
1/5 
f1 
2f1 
3f1 5f1 
4f1 
f 
A 
 
 
Figura 3.7 Espectro de amplitude da onda dente de serra. 
 
Os coeficientes negativos correspondem a componentes harmônicas com fase inicial 180. 
 
3.5 Representação da Sériede Fourier na Forma Exponencial Complexa 
 Existem vantagens para a manipulação algébrica em usar a representação da série de Fourier 
pela correspondente série exponencial complexa, ao invés de usar funções seno e cosseno: 
 
 
 
 
 ,...2,1,0 h (3.2) 
 
onde: ah = coeficiente complexo 
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Notar que para h = 0 resulta o termo médio (CC) e para h = 1 resulta a onda fundamental da série 
de Fourier. Isso pode ser constatado impondo-se as condições de simetria par e ímpar para todo h: 
 se a h = a -h resulta termo cosseno 
 se a.h = -a -h resulta termo seno 
 
Para verificar, basta fazer as somas correspondentes aos termos pares e ímpares de cada harmônica h. 
Resultarão somas do tipo: 
 simetria par: 
 
 
 
 e simetria ímpar: 
 
 
 
Dessa combinação resulta, por sua vez, a famosa fórmula de Euler: 
 
e 
j t 
= cost + j.sent 13.3) 
 
que mostra a equivalência da representação de uma variável complexa na forma polar ou retangular. 
Uma vez que h pode assumir valores positivos e negativos, diz-se que essa série é bilateral. 
 
Se tomarmos a forma senoidal básica: 
 
 
e colocarmos na forma polar e usando a relação de Euler, podemos decompor a onda da seguinte 
maneira: 
 
 
 
 
 
 
Esta é a série de Fourier elementar, onde os coeficientes em cos(ωt) e sen(ωt) valem respectivamente: 
 A1= A.sen(φ) 
 B1= A.cos(φ) 
 
e que correspondem às amplitudes das componentes da série, cujas ondas somadas resultam na forma 
dada inicialmente. 
 
Figura 3. 8 Decomposição de senóide atrasada de ângulo ∅ nas componentes de Fourier. 
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3.5.1 Série Exponencial Complexa Unilateral 
 Pode-se rearranjar a soma bilateral (3.2) na forma de série exponencial unilateral: 
 
 
 
 (3.4) 
 
 Para sinais reais, a condição de simetria complexa tem que ser satisfeita, ou seja, 

  hh aa 
1
, 
devido ao teorema de Parseval (a energia deve se manter tanto no domínio do tempo como no da 
frequência). Portanto: 
 
 
 (3.5) 
 
Assumindo ainda que cada coeficiente complexo é formado pelas partes real e imaginária na forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de modo que a equação (3.5) pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
que é a própria série de Fourier de cossenos e senos formulada inicialmente. Portanto, as três formas 
de representação da série de Fourier: 
 série de senos e cossenos; 
 série exponencial complexa bilateral; 
 série exponencial complexa unilateral, 
 
são equivalentes e intercambiáveis. Com os coeficientes de uma série pode-se determinar os 
coeficientes da outra. 
 
3.6. Da Série de Fourier à Transformada de Fourier 
 Como se viu, existe uma relação direta entre a forma exponencial complexa e a forma em 
termos de senos e cossenos da série de Fourier. Devido à relação entre os coeficientes das duas 
formas, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para h=0 tem-se ah + a-h = A0. Para h >0 pode-se obter os coeficientes complexos ah a partir dos 
coeficientes reais Ah e Bh: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
resultando: 
 
 
 
 
 
 
 
 
e, pela equação de Euler, tem-se a forma exponencial: 
 
1
 O símbolo * indica o valor complexo conjugado (possui a mesma parte real e a parte imaginária tem o sinal trocado). 
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 ,...2,1,0 h 
 
Notar que é um operador de rotação com velocidade angular hω1 e cuja amplitude é 
1. O coeficiente ah somente será não nulo se a função f(t) contiver componentes em hω1, pois nesse 
caso o produto da função com o operador gera o valor não nulo como média por período. Portanto, 
cada coeficiente ah corresponde ao valor médio da função ponderada pelo operador que gira com 
velocidade h1, a qual define a periodicidade harmônica. Essa imagem lembra o nosso conhecido 
fasor, só que girando nas frequências harmônicas. 
 
3.6.1 Análise de um Sinal com Especial Interesse: O Trem de Pulsos Unitário 
f(x)
x=1tx=0  2
T1
1
-
2/k
 
Figura 3.9 Trem de pulsos unitários. 
 
 Esse sinal é importante para se chegar à Transformada de Fourier. Por conveniência, tome-se 
o sinal com período 
 
 
, o pulso com amplitude 1 e duração 
 
 
. Notar que k inteiro pode 
ser interpretado como uma frequência múltipla de 1, uma vez que t é a k-ésima fração de T1. 
Como o pulso dentro do período (–π e +π), vale 1 apenas no intervalo –π/k e + π/k, os 
coeficientes da série complexa de Fourier são dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 para x = 1t e h = 0, 1, 2... 
resultando para: 
 h=0 → 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e para h0 → 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o trem de pulsos pode ser escrito como sendo a série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 para x = 1t e h=0, 1, 2.... 
onde os coeficientes valem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
A função 
 
 
 
 
 
 
 
 é chamada função sinc(.) e, para argumento contínuo, apresenta a seguinte 
forma: 
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Figura 3.10 Função sinc(.). 
 
 Essa função define a envoltória para os valores dos coeficientes ah do trem de pulsos. No caso 
do trem de pulsos dado, verifica-se que os coeficientes são definidos para as abcissas da função sinc 
apenas para valores específicos ou discretos, dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 pois h=0, 1, 2, 3.... 
 
 Pode-se visualizar o que ocorre com os coeficientes ah se os representarmos para dois casos, 
por exemplo, k=3 e k=5: 
 
Figura 3.11 Coeficientes ah do trem de pulsos para k=3. 
 
 
Figura 3.12 Coeficientes ah do trem de pulsos para k=5. 
 
Quanto menor a duração do pulso (maior k), mais os coeficientes se aproximam e diminuem 
de amplitude. Se, ao invés de reduzir a duração, aumentar o período entre pulsos (T1 ), tem-se, no 
limite, um “trem de pulsos” com período infinito, ou seja, apenas um pulso na origem. Com isso, a 
frequência fundamental 
 
 
 tende a zero, e os componentes se aproximam tanto que formam 
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um espectro contínuo com amplitudes infinitesimais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como ah tende a zero, enquanto T1 tende a infinito, o produto ah.T1 tende a um valor finito e hω1 
tende à variável contínua ω . 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função contínua é chamada Transformada ou Integral de Fourier. 
 
 
 
 
 (3.6) 
 
A função inversa é obtida da série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ↓ ↓ ↓ (3.7) 
 ah 1/T1 ω1 
 
Notar os limites usados para essas associações deoperações contínuas e discretas: 
 T1  2π/ω1 
 h1   
1  d 
   
 
 Assim, a Transformada de Fourier (TF) consegue mapear sinais aperiódicos (período infinito) 
para o domínio da frequência, resultando um espectro contínuo através da Integral de Fourier: 
 
Transformada direta t → ω 
 
 
 
 
Transformada inversa ω → t 
 
 
 
 
 
 
 
 Repare que nas duas transformações o operador girante vira em sentidos contrários. 
 
 
3.6.2 Exemplos de aplicação: 
 
a) Transformada de Fourier de um trem de pulsos´. 
 Obter a TF da onda retangular com período 
 
 
 : 
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-
A
T1 t 
Figura 3.13 Trem de pulsos de amplitude A e duração 2τ. 
 
Os coeficientes da TF são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (média do período) 
 
e o termo genérico, de ordem h, vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
portanto, multiplicando numerador e denominador por : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse coeficiente se anula cada vez que o argumento do seno se torna múltiplo de , ou seja, quando
 
 
 
 . 
Para n=1 temos 
2
1Th  representa o inverso do ciclo de trabalho. 
 
 
Figura 3.14 Coeficientes da Transformada de Fourier da onda retangular da fig. 3.13. 
 
Portanto, para a onda retangular periódica resulta um espectro discreto, cuja resolução é dada por 
 
 
 
 
. 
 
Notar que a duração do pulso (2) define a largura da faixa de frequências (primeiro 
cruzamento da função sinc por zero). 
 
 
 
 
 
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b) Transformada de Fourier do pulso isolado: 
 
-
A
t
 
 
Figura 3.15 Pulso isolado e respectivo espectro contínuo. 
 
Neste caso, como T1   , recorre-se ao limite finito de (ah.T1) representado pela 
transformada de Fourier e o pulso é expresso pela série da função inversa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde ah .T1 = e, portanto, dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
para h=0 resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Notar que para o pulso isolado o espectro é uma função contínua de  na forma da 
função sinc(.). 
A duração do pulso (2) continua definindo a largura da faixa de frequência do lóbulo 
principal. 
No caso do pulso ser estreito, o espectro se alarga na proporção inversa da duração do pulso 
(2), enquanto que a amplitude diminui. 
 
-
A
t
 
 
Figura 3.16 Pulso isolado estreito e seu espectro contínuo. 
 
No caso de pulso largo, acontece o oposto, o espectro se estreita e aumenta amplitude em 
torno da origem: 
τA 
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-
A
t
 
Figura 3.17 Pulso isolado largo e seu espectro contínuo. 
 
Continuando essa expansão da duração do pulso, pode-se, no limite, considerar o degrau 
como um pulso de duração infinita, daí o seu espectro se concentrar em um impulso na origem. 
 
0  
Figura 3.18 Espectro do degrau. 
 
A questão pendente, que será respondida na sequência é: quanto vale a amplitude da “vareta” 
do espectro do degrau? 
 
3.7 Da Transformada de Fourier à Transformada de Laplace 
 Para existir a TF é preciso que no intervalo -  t   a integral seja finita, ou seja: 
 
 
 
 
Como e
-j t
 tem magnitude 1, uma condição suficiente é que: 
 
 
 
 Porém, essa condição não é satisfeita por várias funções de interesse prático, como as funções 
seno, cosseno, degrau as quais, a rigor, não possuem Transformadas de Fourier. No entanto, 
limitando as funções periódicas entre -T e +T e depois fazendo T  pode-se obter a transformada. 
Para o degrau u(t), pode-se utilizar outro processo, que é supor decaimento exponencial (e
-.t
 ) do 
degrau, e fazer o valor da atenuação tender a zero ( 0) após calcular a transformada. 
1
e-
t
t0 
Figura 3.19 Função atenuação do degrau. 
 
A Transformada de Fourier da função atenuação do degrau será designada por G(): 
 
 

 
j
1
e.e
)j(
1
dt.e.e)(G 0
tjt
0
tjt







 ( >0) 
 
Para obter o espectro do degrau não basta zerar , pois em =0 ocorre uma singularidade. 
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Levantando a singularidade, vê-se que para =0, resulta: 

1
)0(G  e, para >>0, resulta: 


j
1
)(G  . Ou seja, o espectro é contínuo e decrescente. A fase inicial é zero e atrasa até -90. 
 
1
t0


G( )
G( )
Degrau unitário
1/
-90
 
Figura 3.20 Transformada de Fourier do degrau unitário com amortecimento σ. 
 
 
3.7.1 A Transformada de Laplace 
 Incorporando-se a técnica de atenuação à Transformada de Fourier, chega-se à Transformada 
de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Designando s = σ+jω resulta a transformada de Laplace: 
 
 
 
 (3.8) 
 
 A integral agora tem que começar em t=0 uma vez que para t<0 a atenuação vira ampliação e 
portanto a integral se torna divergente. Isso, na prática, não costuma ser um problema, pois quase 
todos os processos reais admitem um instante inicial (t=0) para sua análise. 
 
3.7.2 Comparação da Transformada de Laplace e de Fourier 
Uma vez que: 
 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
percebe-se que, enquanto Fourier expande f(t) em um conjunto infinito de exponenciais tipo e
j..t
, que 
dão origem a senos e cossenos sobre todo o intervalo - < t < , Laplace expande f(t) em um 
conjunto infinito de exponenciais complexas tipo e
s.t
, que dão origem não apenas a senos e cossenos, 
como também a exponenciais crescentes e decrescentes, e combinações deles, resultando modos 
oscilatórios decrescentes (amortecidos) e crescentes (instáveis). 
 Essa é uma importante generalização, mas que só se aplica para t  0. Essa transformação 
atende a grande parte dos sinais físicos e por isso encontrou grande aplicação na área de controle 
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moderno. Neste caso, convertendo cada sinal para o domínio da frequência pela transformada de 
Laplace, descobre-se que a função de transferência descreve a relação entrada-saída dos dispositivos 
que intervêm no processo. 
 Sistemas complicados podem ser analisados através das relações matemáticas no domínio da 
frequência, gerando funções complexas H(s) que podem ser decompostas em pólos e zeros que são as 
raízes dos polinômios do denominador e numerador de H(s). Os pólos e zeros podem ser usados para 
caracterizar o comportamento dinâmico do sistema sob diferentes condições de excitação e controle. 
Porém esse assunto foge ao escopo deste texto. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] R.E.Scott. "Power Linear Circuits, Part 2 – Frequency Domain Analysis" Addison-Wesley Publishing 
Company, 1967. 
[2] W. Pereira, O. K. Tanaka. "Elementos de Estatística". Ed. McGraw Hill do Brasil, São Paulo, 1984. 
[3] Paul A. Lynn. "An Introduction to the Analysis and Processing of Signals". Publ. SAMS Macmillan Press 
Ltd, Londres , 2a. ed. 1982. 
[4] Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, Ian T. Young. "Signals and Systems". Prentice-Hall Intern. Ed. 
1983. 
 
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Apêndice: Exemplos de uso do MathCad para análise de Fourier 
 
Ondas periódicas e aperiódicas
t 0 .001 3
s1 t( ) 2 cos 15 t( ) 5 sin 20 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
10
5
0
5
10
s1 t( )
t
O máximo divisorcomum entre as frequências de cada onda períodica é 5, logo o período é:
To
5
2 






1





 s1 0( ) 2
s1 To( ) 2
To 1.257
Seja outra forma de onda:
s2 t( ) 2 cos 15 t( ) 1 cos 10  t 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
4
2
0
2
4
s2 t( )
t
Embora cada sinal, individualmente, seja periódico, como as frequencia não estão em uma 
relação RACIONAL, ou seja, NÃO SÃO MÚLTIPLAS inteiras de um fator comum, a onda 
resultante não é periódica 
 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 17 
Coeficientes da série de Fourier para a onda s1(t)
w1 2

To

Ao
1
To
To
2
To
2
ts1 t( )




d
Ao 0
n 1 10
An
2
To
To
2
To
2
ts1 t( ) cos n w1( ) t[ ]




d
Bn
2
To
To
2
To
2
ts1 t( ) sin n w1 t( )




d
An
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
 Bn
0
-1.502·10 -15
0
5
-1.034·10 -15
0
0
-1.612·10 -15
4.736·10 -15
0

 
Devido ao batimento entre as 
frequências de 15 e 20 rd/s, que 
resulta em um comportamento em 5 
rd/s, a análise identifica uma 
“fundamental” nula em 5 rd/s. 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 18 
Outra forma de onda
s1 t( ) sign cos 15 t( )( )
1
2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
s1 t( )
t
w1 15 To 2

w1

To 0.419
Ao
1
To
To
2
To
2
ts1 t( )




d
Ao 0.5
n 1 10
An
2
To
To
2
To
2
ts1 t( ) cos n w1( ) t[ ]




d
An
1.273
0
-0.424
0
0.255
0
-0.182
0
0.141
0
 Bn
2
To
To
2
To
2
ts1 t( ) sin n w1 t( )




d
Bn
0
0
0
0
0
0
0
0
0

 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 19 
Reconstrução do sinal: 
x t( ) Ao A1 cos w1 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
0
2
x t( )
t
x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A3 cos 3 w1 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
0
2
x t( )
t
x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A3 cos 3 w1 t( ) A5cos 5 w1 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
0
2
x t( )
t
x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A3 cos 3 w1 t( ) A5cos 5 w1 t( ) A7 cos 7 w1 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
0
1
2
x t( )
t 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 20 
E 2Outra forma de onda
s1 t( ) E cos w1 t( ) 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
s1 t( )
t
To
 2
w1
 To 0.419
Termo geral, para n par:
Ao
1
To
To
2
To
2
ts1 t( )




d
Ao 1.273 An
4 1( )
n
2

1 n
2
  
E
n
n 1 10
An
2
To
To
2
To
2
ts1 t( ) cos n w1( ) t[ ]




d
An
0
0.849
0
-0.17
0
0.073
0
-0.04
0
0.026
 Bn
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Bn
2
To
To
2
To
2
ts1 t( ) sin n w1 t( )




d
 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 21 
Reconstrução do sinal 
x t( ) Ao A1 cos w1 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1.27
1.272
1.274
1.276
x t( )
t
x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A2 cos 2 w1 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
x t( )
t
x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A2 cos 2 w1 t( ) A4cos 4 w1 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
x t( )
t
x t( ) Ao A1 cos w1 t( ) A2 cos 2 w1 t( ) A4cos 4 w1 t( ) A6 cos 6 w1 t( )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
1
2
3
x t( )
t 
 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 22 
Análise de Trem de Pulsos 
Pulso de largura variável
t 0 0.0001 1
w1 2  5
s1 t( )
sign cos 2  5 t  0.9  1
2
 To 2

w1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
s1 t( )
t
To 0.2
n 1 30
Ao
1
To
To
2
To
2
ts1 t( )




d
An
2
To
To
2
To
2
ts1 t( ) cos n w1( ) t[ ]




d
Ao 0.144
An
0.277
0.251
0.209
0.156
0.099
0.045
-1.419·10 -3
-0.036
-0.056
-0.063
-0.057
-0.04
-0.02
1.419·10 -3
0.02
0.032

Bn
2
To
To
2
To
2
ts1 t( ) sin n w1 t( )




d
Bn
0
0
0
0
0
0
0
0
0

 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 23 
 
Reconstrução do sinal 
x t( ) Ao A1 cos w1 t( )
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
0
0.5
x t( )
t
x t( ) Ao
1
5
n
An cos n w1 t( ) Bn sin n w1 t( ) 


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0
1
2
x t( )
t
x t( ) Ao
1
30
n
An cos n w1 t( ) Bn sin n w1 t( ) 


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
0
0.5
1
1.5
x t( )
t 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 24 
Análise dos coeficientes 
n 0 40
an
1
To
To
2
To
2
ts1 t( ) e
i n w1 t




d
an
0.144
0.139
0.125
0.104
0.077
0.049
0.022
-7.097·10 -4
-0.018
-0.028
-0.032
-0.028
-0.02
-9.981·10 -3
7.097·10 -4
9.842·10 -3
0.016
0.019
0.017
0.013
6.26·10 -3
-7.096·10 -4
-6.91·10 -3
-0.011
-0.013
-0.012
-9.115·10 -3
-4.468·10 -3
7.095·10 -4
5.393·10 -3
8.722·10 -3

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0.05
0
0.05
0.1
0.15
an
n
 
Avaliação da Qualidade da Energia Elétrica S.M.Deckmann e J.A.Pomilio 
DSE – FEEC - UNICAMP 25 
Em direção ao impulso isolado e seu espectro contínuo e constante: 
 
t 0 0.0001 0.2
w1 2  5
s1 t( )
sign cos 2  5 t  0.995  1
2
 To 2

w1

0 0.05 0.1 0.15 0.2
0
0.5
1
s1 t( )
t
an
1
To
To
2
To
2
ts1 t( ) e
i n w1 t




d To 0.2
an
0.032
0.032
0.032
0.031
0.031
0.031
0.03
0.029
0.029
0.028
0.027
0.026
0.025
0.024
0.022
0.021

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
0.05
0
0.05
an
n