Estatística 03

Prévia do material em texto

Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) -
Pós-Edital
Autor:
Guilherme Neves
Aula 03
18 de Novembro de 2020
 
 
1 
 
Sumário 
1. Moda ....................................................................................................................................................... 3 
1.1. Moda para Dados Não-Agrupados ................................................................................................. 4 
Moda para Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe ............................................................................ 5 
1.2. Moda de Pearson ............................................................................................................................. 7 
1.3. Moda Bruta .................................................................................................................................... 11 
1.4. Moda de Czuber ............................................................................................................................ 13 
1.5. Moda de King ................................................................................................................................ 18 
1.6. Propriedades da Moda .................................................................................................................. 19 
Apêndice – Moda para distribuições com amplitudes não constantes ........................................................ 20 
Lista das Questões de Concursos sem Comentários .................................................................................... 25 
Gabarito sem comentário ............................................................................................................................. 39 
Lista de Questões de Concursos com Comentários ..................................................................................... 40 
Considerações Finais .................................................................................................................................... 84 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
2 
 
Para tirar dúvidas e ter acesso a dicas e conteúdos gratuitos, acesse minhas redes 
sociais: 
Instagram - @profguilhermeneves 
https://www.instagram.com/profguilhermeneves 
 
Canal do YouTube – Prof. Guilherme Neves 
https://youtu.be/gqab047D9l4 
 
E-mail: profguilhermeneves@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
3 
 
1. MODA 
 
Nesta aula, vamos estudar outra importante medida de tendência central. 
Foi Karl Pearson quem introduziu em Estatística pela primeira vez, no século XIX, o conceito de 
moda, talvez baseado no próprio significado da palavra. 
A moda é definida como sendo aquele valor ou valores que ocorrem com maior frequência em 
um rol. 
Baseado neste contexto, um conjunto de valores pode apresentar mais de uma moda. Nesse 
caso, dizemos ser plurimodal (ou polimodal), caso contrário, será unimodal (apenas uma moda), 
ou ainda, amodal (quando todos os valores das variáveis em estudo apresentarem uma mesma 
frequência). 
 
(FCC 2018/Prefeitura de Macapá) 
A medida de tendência central que representa o valor com maior frequência na distribuição 
normal de uma amostra probabilística é a 
(A) média amostral. 
(B) variância. 
(C) amplitude total. 
(D) mediana. 
(E) moda amostral. 
Comentário 
Conforme acabamos de estudar, o valor com maior frequência é a moda. 
Gabarito: E 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
4 
 
 
1.1. Moda para Dados Não-Agrupados 
 
Para a identificação da moda em um conjunto ordenado de valores não agrupados em classe, 
basta verificar, no conjunto, aquele valor que aparece com maior frequência. 
Exemplos: 
𝑋! = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 10} – Conjunto Amodal, pois todos os valores possuem a mesma frequência. 
𝑋" = {2, 4, 6, 10, 10, 10, 13} – Conjunto Unimodal (𝑀# = 10) 
𝑋$ = {2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 10, 13} – Conjunto Bimodal (𝑀#! = 2 e 𝑀#" = 4). 
Ah, Guilherme. Isso é muito fácil. Jamais uma coisa tão ridícula apareceria na minha prova. 
Rss... 
Veja o que caiu na prova da Polícia Federal (CESPE 2018). 
 
 
(CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 
dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o item. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
5 
 
A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg. 
Comentário 
Observe que o número 22 aparece 2 vezes (frequência = 2) enquanto todos os outros números 
aparecem apenas uma vez (frequência = 1). 
Portanto, a moda é igual a 22. 
Observe que os números (1, 2, 3, 4, 5) não são frequências. Esses números representam o 1º dia, 
2º dia, e assim por diante. 
Gabarito: Certo 
 
Moda para Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe 
 
Quando os dados estiverem dispostos em uma tabela com frequências, não agrupados em 
classes, a localização da moda é imediata, bastando para isso, verificar na tabela, qual o valor 
associado à maior frequência. 
Estatura (m) Frequência 
1,60 3 
1,62 8 
1,64 12 
1,70 20 
1,73 10 
1,80 7 
1,83 3 
1,88 1 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
6 
 
 
Na tabela acima, a maior frequência (20) está associada à altura 1,70. Portanto, 
 
𝑴𝒐 = 𝟏, 𝟕𝟎 
Ah, Guilherme. Isso é muito fácil. Jamais uma coisa tão ridícula apareceria na minha prova. 
Rss... 
Veja o que caiu na prova do IFF (CESPE 2018). 
 
 
 
(CESPE 2018/IFF) 
A distribuição das notas dos 20 alunos de uma sala de aula na prova de Matemática está 
mostrada na tabela a seguir. 
 
Nessa situação, a moda dessas notas é igual a 
a) 6,0. 
b) 6,5. 
c) 7,0. 
d) 7,5. 
e) 8,0. 
Comentário 
A maior frequência é 7. A nota associada à maior frequência é 8,0. Portanto, 𝑴𝒐 = 𝟖, 𝟎. 
Gabarito: E 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
7 
 
1.2. Moda de Pearson 
Karl Pearson observou uma relação empírica para o cálculo da moda. 
 
𝑴𝒐 = 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙 
 
Na fórmula acima, 𝑴𝒅 é a mediana e 𝒙 é a média. 
 
Vale a pena informar que esse assunto não é frequente em provas de concursos. 
 
 
A fórmula de Pearson para o cálculo da moda será utilizada apenas quando o 
problema pedir expressamente a “moda de Pearson”. 
 
 
 
 
(FCC 2014/TRT 16ª Região) 
 
A tabela de frequências absolutas abaixo corresponde aos salários dos funcionários de uma 
empresa pública em março de 2014. 
 
 
Utilizando o método da interpolação linear, encontra-se que a mediana (Md) dos salários destes 
funcionários é igual a R$ 5.260,00. O valor da média aritmética (Me) dos salários é calculado 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
8 
 
considerando que todos os valores, incluídos num certo intervalo de classe, são coincidentes 
com o ponto médio deste intervalo. O valor correspondente da moda (Mo) dos salários, 
utilizando a relação de Pearson (𝑴𝒐 = 𝟑 ×𝑴𝒅 − 𝟐 ×𝑴𝒆), em reais, é igual a 
(A) 5.540,00. 
(B) 5.580,00. 
(C) 5.680,00. 
(D) 5.640,00. 
(E) 5.600,00. 
Comentário 
 
Para calcular a mediana, precisamos da coluna das frequências acumuladas. 
Classes de Salários (R$) Frequências Absolutas 𝒇𝒂𝒄 
1.500 – 2.500 10 10 
2.500 – 3.500 18 28 
3.500 – 4.500 34 62 
4.500 – 5.500 X 62 + X 
5.500– 6.500 66 128 + X 
6.500 – 7.500 22 150 + X 
Total Y 
 
O enunciado já informou que a mediana é R$ 5.260,00, ou seja, pertence à 4ª classe. 
 
 
 
Com isso, podemos determinar os elementos para jogar na fórmula da mediana. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
9 
 
 
𝒇𝒊 = 𝑿 
 
𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕 = 𝟔𝟐 
 
𝒍𝒊 = 𝟒. 𝟓𝟎𝟎 
 
𝒉 = 𝟓. 𝟓𝟎𝟎 − 𝟒. 𝟓𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 
 
Vamos agora aplicar a fórmula da mediana e igualar o resultado a R$ 5.260,00. 
 
𝒍𝒊 + E
𝒏
𝟐 − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕
𝒇𝒊
G ∙ 𝒉 = 𝟓. 𝟐𝟔𝟎 
 
𝟒. 𝟓𝟎𝟎 + E
𝟏𝟓𝟎 + 𝑿
𝟐 − 𝟔𝟐
𝑿 G ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟓. 𝟐𝟔𝟎 
 
E
𝟏𝟓𝟎 + 𝑿
𝟐 − 𝟔𝟐
𝑿 G ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟓. 𝟐𝟔𝟎 − 𝟒. 𝟓𝟎𝟎 
 
E
𝟏𝟓𝟎 + 𝑿
𝟐 − 𝟔𝟐
𝑿 G ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟕𝟔𝟎 
 
𝟏𝟓𝟎 + 𝑿
𝟐 − 𝟔𝟐
𝑿 = 𝟎, 𝟕𝟔 
 
𝟏𝟓𝟎 + 𝑿
𝟐 − 𝟔𝟐 = 𝟎, 𝟕𝟔𝑿 
 
Vamos multiplicar todos os termos por 2. 
 
𝟏𝟓𝟎 + 𝑿 − 𝟏𝟐𝟒 = 𝟏, 𝟓𝟐𝑿 
 
𝟐𝟔 = 𝟎, 𝟓𝟐𝑿 
 
𝑿 = 𝟓𝟎 
 
Agora podemos calcular a média. Vamos calcular os pontos médios. 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
10 
 
Classes de Salários (R$) Frequências Absolutas 𝑋- 
1.500 – 2.500 10 2.000 
2.500 – 3.500 18 3.000 
3.500 – 4.500 34 4.000 
4.500 – 5.500 50 5.000 
5.500 – 6.500 66 6.000 
6.500 – 7.500 22 7.000 
Total 200 
 
Para calcular a média, vamos multiplicar cada ponto médio pela sua respectiva frequência, somar 
todos os resultados e dividir por 200, que é o total de observações. 
 
Classes de Salários (R$) Frequências Absolutas 𝑋- 𝑿𝒊 ∙ 𝑓𝒊 
1.500 – 2.500 10 2.000 20.000 
2.500 – 3.500 18 3.000 54.000 
3.500 – 4.500 34 4.000 136.000 
4.500 – 5.500 50 5.000 250.000 
5.500 – 6.500 66 6.000 396.000 
6.500 – 7.500 22 7.000 154.000 
Total 200 1.010.000 
 
Portanto, 
 
𝑴𝒆 =
𝟏. 𝟎𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎 = 𝟓. 𝟎𝟓𝟎 
 
Agora é só aplicar a fórmula da moda de Pearson. 
 
𝑴𝒐 = 𝟑 ×𝑴𝒅 − 𝟐 ×𝑴𝒆 
 
𝑴𝒐 = 𝟑 × 𝟓. 𝟐𝟔𝟎 − 𝟐 × 𝟓. 𝟎𝟓𝟎 
 
𝑴𝒐 = 𝟓. 𝟔𝟖𝟎 
Gabarito: C 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
11 
 
1.3. Moda Bruta 
 
Quando os dados estão agrupados em classe, a moda bruta é o ponto médio da classe modal, 
ou seja, da classe que possui a maior frequência. 
 
Esse assunto é MUITO RARO em provas de concursos. 
 
 
(IBFC 2012/INEP) 
 
Os “pesos” de vinte atletas estão distribuídos de acordo com a tabela abaixo: 
 
 
Considerando a distribuição acima, assinale a alternativa que apresenta respectivamente os 
valores da média e da moda bruta. 
 
a) 75kg e 65 kg. 
 
b) 69kg e 55kg. 
 
c) 80kg e 55kg. 
 
d) 69kg e 60kg. 
 
e) 75kg e 60kg. 
 
Comentário 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
12 
 
A classe modal é a primeira, pois é a que possui a maior frequência (10). A moda bruta 
corresponde ao ponto médio da primeira classe. 
 
𝑴𝒐 =
𝟓𝟓 + 𝟔𝟓
𝟐 = 𝟔𝟎 
Vamos agora calcular a média. Para tanto, precisamos dos pontos médios das classes. 
 
Pesos (kg) 𝒇𝒊	 𝑋- 	 
55 – 65 10 60 
65 – 75 4 70 
75 – 85 4 80 
85 – 95 2 90 
Total 20 
 
Agora, devemos multiplicar cada ponto médio pela sua respectiva frequência. Vamos também 
somar todos os resultados. 
 
Pesos (kg) 𝒇𝒊	 𝑋- 	 𝑿𝒊 ∙ 𝑓𝒊 
55 – 65 10 60 60 x 10 = 600 
65 – 75 4 70 70 x 4 = 280 
75 – 85 4 80 80 x 4 = 320 
85 – 95 2 90 90 x 2 = 180 
Total 20 1.380 
 
Portanto, 
	𝑿	 =
𝟏. 𝟑𝟖𝟎
𝟐𝟎 = 𝟔𝟗 
Gabarito: D 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
13 
 
1.4. Moda de Czuber 
 
Esta é a parte mais cobrada do assunto “moda”. 
 
A fórmula de Czuber é um método proposto por Emanuel Czuber para o cálculo da moda para 
dados agrupados em intervalos de classe. 
 
Imagine que as notas dos alunos de uma classe de Matemática foram resumidas na seguinte 
tabela. 
 
Notas 𝒇𝒊 
0 – 2 27 
2 – 4 16 
4 – 6 34 
6 – 8 17 
8 – 10 16 
 
É importante notar que PERDEMOS INFORMAÇÕES quando os dados são dispostos em uma 
tabela como essa. Não sabemos as notas exatas de cada um dos alunos. 
 
Assim, quando calculamos a média utilizando o ponto médio de cada classe, por exemplo, 
estamos na verdade dando um chute (um palpite) para o valor da média. Como não sabemos os 
valores exatos, simplesmente chutamos que todos os valores coincidem com o ponto médio. 
 
Para o cálculo da moda, também precisamos dar “chutes”. 
 
O primeiro chute é em relação à classe modal. Nós simplesmente chutamos que a moda 
pertence à classe de maior frequência. Entretanto, isso pode não corresponder à realidade. 
 
Basta imaginar, por exemplo, na tabela acima, que 27 pessoas tiraram nota 1, 20 pessoas tiraram 
nota 5 e 14 pessoas tiraram nota 5,5. Nessa situação, a moda seria 1. 
 
Mas vamos lá. Como não temos acesso aos dados originais que geraram a tabela, temos que 
chutar mesmo. E o chute que damos é que a moda pertence à classe de maior frequência. Ok? 
 
Assim, o nosso chute é que a moda é um número entre 4 e 6, pois esta é a classe de maior 
frequência. 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
14 
 
Czuber diz que a moda divide o intervalo da classe modal em distâncias proporcionais às 
diferenças entre a frequência da classe modal com a frequência das classes adjacentes. 
Deixe-me traduzir. É como se houvesse uma briga entre a frequência da classe anterior e a 
frequência da classe posterior. Quem for maior, ganha. 
 
Se as duas frequências (anterior e posterior) fossem iguais, a moda ficaria exatamente no meio 
(ponto médio): 5. 
Como a frequência posterior é um pouquinho maior, a moda será um pouco maior que 5. 
A fórmula de Czuber nos dá o valor exato (de acordo com esse critério). 
Para calcular a moda de Czuber, precisamos calcular as diferenças entre a frequência da classe 
modal e as frequências das classes adjacentes (anterior e posterior). 
Vamos chamar de Δ! a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe 
anterior. 
Δ! = 𝑓. − 𝑓/01 
 
Δ! = 34 − 16 = 18 
 
Vamos chamar de Δ" a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe 
posterior. 
Δ" = 𝑓. − 𝑓2#31 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
15 
 
Δ" = 34 − 17 = 17 
 
A moda de Czuber é dada por: 
𝑀# = 𝑙- + O
Δ!
Δ! + Δ"
P ∙ ℎ 
Alguns livros escrevem essa fórmula assim: 
𝑀# = 𝑙- + R
𝑓. − 𝑓/01
(𝑓. − 𝑓/01) + S𝑓. − 𝑓2#31T
U ∙ ℎ 
 
Alguns livros ainda escrevem de outra forma: 
𝑀# = 𝑙- + R
𝑓. − 𝑓/01
2𝑓. − S𝑓/01 + 𝑓2#31T
U ∙ ℎ 
Eu prefiro memorizar com Δ. 
No nosso exemplo, a moda fica: 
𝑀# = 𝑙-⏟
4
+ W
Δ!X
!5
Δ!Y
!5
+ Δ"Y
!6
Z ∙ ℎ⏟
"
 
 
𝑀# = 4 + O
18
18 + 17P ∙ 2 
 
𝑀# ≅ 5,0285 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
16 
 
 
Se a classe modal for a primeira ou a última, basta fazer 𝑓/01 = 0 (se for a 
primeira) ou 𝑓2#31 = 0 (se for a última). 
 
 
(ESAF 2004/ANEEL) 
A questão diz respeito à distribuição de frequências seguinte associada ao atributo de interesse 
X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Assinale a opção que dá a moda no conceito de Czuber. 
a) 5 
b) 4 
c) 8 
d) 10 
e) 15 
Comentário 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
17 
 
A maior frequência é 120. Portanto, a classe modal é a primeira. Dessa forma, vamos considerar 
que 𝒇𝒂𝒏𝒕 = 𝟎. 
Dessa forma, 
𝚫𝟏 = 𝟏𝟐𝟎 − 𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 e 𝚫𝟐 = 𝟏𝟐𝟎 − 𝟗𝟎 = 𝟑𝟎 
Além disso, 𝒍𝒊 = 𝟎 e 𝒉 = 𝟏𝟎 − 𝟎 = 𝟏𝟎. 
Agora vamos aplicar a fórmula de Czuber. 
𝑴𝒐 = 𝒍𝒊 + O
𝚫𝟏
𝚫𝟏 + 𝚫𝟐
P ∙ 𝒉 
 
𝑴𝒐 =𝟎 + O
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟐𝟎 + 𝟑𝟎P ∙ 𝟏𝟎 
 
𝑴𝒐 = 𝟖 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
18 
 
1.5. Moda de King 
 
O método proposto por King é parecido com o método de Czuber. A diferença é que a moda de 
King não leva em consideração o valor da frequência da classe modal no cálculo da moda: 
levamos em consideração apenas as frequências das classes adjacentes. 
Eis a fórmula de King para o cálculo da moda. 
𝑀# = 𝑙- + R
𝑓2#31
𝑓/01 + 𝑓2#31
U ∙ ℎ 
Voltemos ao exemplo anterior. 
Notas 𝒇𝒊 
0 – 2 27 
2 – 4 16 
4 – 6 34 
6 – 8 17 
8 – 10 16 
A classe modal é a classe 4 – 6, pois essa é a classe que possui a maior frequência. 
 
No nosso exemplo, 𝒇𝒂𝒏𝒕 = 𝟏𝟔 e 𝒇𝒑𝒐𝒔𝒕 = 𝟏𝟕. A moda de King vale: 
 
𝑴𝒐 = 𝟒 + O
𝟏𝟕
𝟏𝟔 + 𝟏𝟕P ∙ 𝟐 
 
𝑴𝒐 ≅ 𝟓, 𝟎𝟑𝟎𝟑 
 
 
Se a classe modal for a primeira ou a última, basta fazer 𝑓/01 = 0 (se for a 
primeira) ou 𝑓2#31 = 0 (se for a última). 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
19 
 
 
As fórmulas da moda de Czuber e King só podem ser aplicadas se as amplitudes de todas 
as classes forem iguais. Se as amplitudes das classes não forem todas iguais, uma alteração 
nas fórmulas é necessária. Entretanto, vamos ignorar esses casos, pois não são cobrados há 
mais de 10 anos. Colocarei um apêndice nesta aula com este tópico. 
 
 
1.6. Propriedades da Moda 
 
A moda possui apenas duas propriedades, que são bem parecidas com as propriedades da 
média e da mediana. 
 
i) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma variável, a moda 
do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante. 
ii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c, a 
moda do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 
 
Assim, se todos os números de um conjunto forem multiplicados por 5, a moda será multiplicada 
por 5, por exemplo. 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
20 
 
APÊNDICE – MODA PARA DISTRIBUIÇÕES COM AMPLITUDES NÃO 
CONSTANTES 
Para utilizar as fórmulas de Czuber e King, as amplitudes das classes devem ser todas iguais. 
Caso isso não ocorra, precisamos fazer uma pequena adaptação às fórmulas. Por quê? 
Observe a tabela a seguir com as notas de alguns alunos em uma prova de Matemática. 
Notas Frequência 
0 – 4 20 
4 – 6 10 
6 – 7 10 
7 - 10 18 
Observe que a maior frequência é a da primeira classe (20). Entretanto, não é plausível supor que 
a classe modal seja a primeira, pois a primeira classe abrange notas que variam de 0 a 4 
enquanto a terceira classe abrange apenas notas de 6 a 7. 
Dessa forma, não podemos escolher a classe modal olhando apenas a frequência quando a 
distribuição possuir classes com amplitudes diferentes. 
É aí que entra o conceito da densidade de frequência (d). 
A densidade de frequência é o quociente entre a frequência da classe e a sua amplitude. 
Observe: 
Notas Frequência 𝒉 𝒅 =
𝒇
𝒉
 
0 – 4 20 4 – 0 = 4 
20
4 = 5 
4 – 6 10 6 – 4 = 2 
10
2 = 5 
6 – 7 10 7 – 6 = 1 
10
1 = 10 
7 - 10 18 10 – 7 = 3 
18
3 = 6 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
21 
 
Assim, a classe modal é a terceira, que possui a maior densidade de frequência. Para calcular a 
moda de Czuber ou King, basta substituir as frequências pelas respectivas densidades de 
frequências. 
No nosso exemplo, Δ! = 10 − 5 = 5 e Δ" = 10 − 6 = 4. 
Portanto, 
𝑀#;<=>?@A = 𝑙- + O
Δ!
Δ! + Δ"
P ∙ ℎ 
 
𝑀#;<=>?@A = 6 + O
5
5 + 4P ∙ 1 
 
𝑀#;<=>?@A ≅ 6,55 
No caso da moda de King, temos: 
𝑀#;B-0C = 𝑙- + R
𝑑D&'()
𝑑D*+) + 𝑑D&'()
U ∙ ℎ 
 
𝑀#;B-0C = 6 + O
6
5 + 6P ∙ 1 
 
𝑀#;B-0C ≅ 6,54 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
22 
 
 
(CESPE 2004/Polícia Federal) 
 
De acordo com um levantamento estatístico, a média das idades de um grupo de presidiários é 
igual a 31 anos de idade. Nesse levantamento, os presidiários foram classificados como A ou B, 
dependendo da sua condição psicossocial. Constatou-se que a média das idades dos 
presidiários classificados como A é menor que a média das idades dos presidiários classificados 
como B. A tabela acima apresenta algumas medidas estatísticas obtidas por meio desse 
levantamento. 
 
A partir das informações acima, julgue o item que se segue. 
A moda das idades dos presidiários classificados como A, segundo a fórmula de Czuber, está 
entre 25,5 e 26 anos de idade. 
Comentário 
Vamos olhar apenas a classificação A. 
O valor mínimo é 20 e o primeiro quartil é 25. Portanto, 25% das observações estão entre 20 e 
25. 
O primeiro quartil é 25 e a mediana é 27,5. Portanto, 25% das observações estão entre 25 e 27,5. 
A mediana é 27,5 e o terceiro quartil é 32,5. Portanto, 25% das observações estão entre 27,5 e 
32,5. 
O terceiro quartil é 32,5 e o valor máximo é 50. Portanto, 25% das observações estão entre 32,5 
e 50. 
Vamos resumir em uma distribuição de frequências. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
23 
 
Classes Frequências (%) 
20 – 25 25 
25 – 27,5 25 
27,5 – 32,5 25 
32,5 – 50 25 
As amplitudes não são todas iguais. Para decidir a classe modal, devemos calcular as densidades 
de frequência, ou seja, o quociente entre cada frequência e a respectiva amplitude. 
Classes Frequências (%) Amplitude (h) 𝒅 =
𝒇
𝒉
 
20 – 25 25 25 – 20 = 5 
25
5 = 5 
25 – 27,5 25 27,5 – 25 = 2,5 
25
2,5 = 10 
27,5 – 32,5 25 32,5 – 27,5 = 5 
25
5 = 5 
32,5 – 50 25 50 – 32,5 = 17,5 
25
17,5 ≅ 1,42 
A maior densidade de frequência é a da segunda classe. Portanto, a moda está no intervalo (25; 
27,5). 
Observe que as densidades de frequência das classes adjacentes (anterior e posterior) são iguais 
a 5. É como se a “briga” entre as classes adjacentes tivesse empatado. Quando isso ocorre, a 
média de Czuber (e a de King) coincide com o ponto médio da classe, ou seja, é igual à moda 
bruta. 
𝑀#;<=>?@A =
25 + 27,5
2 = 26,25 
Vamos fazer o cálculo só para treinar. 
Δ! = 10 − 5 = 5 
Δ" = 10 − 5 = 5 
Vamos aplicar a fórmula de Czuber. 
𝑀#;<=>?@A = 𝑙- + O
Δ!
Δ! + Δ"
P ∙ ℎ 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
24 
 
 
𝑀#;<=>?@A = 25 + O
5
5 + 5P ∙ 2,5 
 
𝑀#;<=>?@A = 26,25 
A questão diz que a moda de Czuber está entre 25,5 e 26. 
Gabarito: Errado 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
25 
 
 
LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
1. (FCC 2019/SEFAZ-BA) 
Os números de autos de infração lavrados pelos agentes de um setor de um órgão público, 
durante 10 meses, foram registrados mensalmente conforme a tabela abaixo. 
Mês I II III IV V VI VII VIII IX X Total 
Número 
de Autos 
7 5 4 6 6 5 5 7 6 5 56 
Verifica-se que, nesse período, o valor da soma da média aritmética (número de autos por mês) 
com a mediana é igual ao valor da moda multiplicado por 
a) 2,12. 
b) 2,52. 
c) 2,22. 
d) 2,42. 
e) 2,32. 
 
 
 
2. (FCC 2019/SEFAZ-BA) 
Considere a distribuição dos salários, em R$ 1.000,00, dos funcionários lotados em uma 
repartição pública, representada abaixo pela tabela de frequências relativas acumuladas, sendo 
𝒌 a frequência relativa acumulada do 4º intervalo de classe. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
26 
 
Classes de Salários Frequência relativa acumulada (%) 
1 – 3 5 
3 – 5 15 
5 – 7 40 
7 – 9 𝑘 
9 – 11 100 
Sabe-se que a média aritmética (Me)foi calculada considerando que todos os valores incluídos 
num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo, que a 
mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) foi obtida 
pela relação de Pearson, ou seja, 𝑴𝒐 = 𝟑𝑴𝒅 − 𝟐𝑴𝒆. Dado que 𝑴𝒆 = 𝟕. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎, então 𝑴𝒐 é igual 
a 
a) R$ 8.100,00 
b) R$ 7.400,00 
c) R$ 7.350,00 
d) R$ 8.500,00 
e) R$ 7.700,00 
3. (FCC 2019/ISS-Manaus) 
Conforme um levantamento realizado em um órgão público e analisando a distribuição dos 
salários, em R$ 1.000,00, de todos os seus funcionários, obteve-se a tabela de frequências 
absolutas abaixo, com k sendo um número inteiro positivo. 
 
Considere que a média aritmética (Me) foi calculada considerando que todos os valores incluídos 
num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo, que a 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
27 
 
mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) foi obtida 
pela relação de Pearson, ou seja, Mo ��3 Md −�2 Me. O valor encontrado para Mo, em R$ 
1.000,00, foi igual a 
(A) 1,82 k. 
(B) 1,76 k. 
(C) 1,70 k. 
(D) 1,64 k. 
(E) 1,60 k. 
 
4. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
A empresa Sigma apresenta pela tabela abaixo a distribuição dos salários registrados de seus 
100 empregados em reais. 
 
Não foram fornecidos os números de empregados que ganham R$ 10.000,00 e R$ 15.000,00 
(denotados na tabela por x e y, respectivamente), mas sabe-se que a média aritmética dos 
salários é igual a R$ 8.400,00. O valor da soma da respectiva moda e da respectiva mediana 
desses salários é, em reais, igual a 
(A) 600y. 
(B) 625y. 
(C) 1.000y. 
(D) 750y. 
(E) 500y. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
28 
 
5. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Com o objetivo de analisar a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa, 
verificou-se que 10 empregados ganham, cada um, R$ 15.000,00; 20 ganham, cada um, R$ 
2.500,00; 25 ganham, cada um, R$ 12.000,00; 60 ganham, cada um, R$ 5.000,00 e os restantes 
ganham, cada um, R$ 8.000,00. Sabendo-se que a mediana dos salários apresentou um valor 
igual a R$ 6.500,00, obtém-se que o valor da média aritmética supera o da moda em 
(A) R$ 2.750.00. 
(B) R$ 3.250,00. 
(C) R$ 3.000,00. 
(D) R$ 2.250,00. 
(E) R$ 2.500,00. 
 
6. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Durante 40 dias, foi registrado o número de pessoas atendidas por dia em um guichê de uma 
repartição. A tabela abaixo apresentou os dados observados sendo que não foram fornecidas as 
quantidades de dias em que foram atendidas uma pessoa por dia e duas pessoas por dia, 
indicadas na tabela por 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐, respectivamente. 
 
Sabendo-se que a mediana correspondente foi igual 1,5, tem-se que a soma da moda e da 
média aritmética (número de pessoas atendidas por dia) foi igual a 
a) 3,00. 
b) 2,80. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
29 
 
c) 3,45. 
d) 3,20. 
e) 2,95. 
 
7. (FCC 2018/ALESE) 
Em um grupo de pessoas encontramos as seguintes idades: 20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 45, 
41, 52, 18, 41. A mediana e a moda são, respectivamente, 
a) 36 e 45. 
b) 40 e 41. 
c) 41 e 20. 
d) 42 e 39. 
e) 39 e 42. 
 
8. (FCC 2018/SEDU-ES) 
As notas dos dez alunos de uma sala foram: 1, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 10. A diferença entre a moda 
e a mediana dessas notas é 
a) 1,5. 
b) 2,5. 
c) 0,5. 
d) 2,0. 
e) 1,0. 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
30 
 
9. (FCC 2018/ISS-São Luís) 
Um levantamento foi realizado com 40 instituições financeiras, localizadas em uma região, com 
relação às taxas mensais de juros aplicadas para financiamento de veículos. Verificou-se que 
cinco instituições aplicam a taxa de 0,80% ao mês, duas aplicam a taxa de 1,20% ao mês, oito 
aplicam a taxa de 1,25% ao mês, x aplicam a taxa de 1,12% ao mês e y aplicam a taxa de 0,96% 
ao mês. Se a média aritmética destas taxas foi igual a 1,05%, então a soma da mediana e a moda 
correspondentes foi de 
a) 2,00% 
b) 2,24% 
c) 2,08% 
d) 2,16% 
e) 1,92% 
 
10. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
Analisando a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa em número de salários 
mínimos (SM), obteve-se o histograma de frequências absolutas abaixo com os intervalos de 
classe fechados à esquerda e abertos à direita. Considere que: 
I. Me é a média aritmética dos salários, calculada levando em conta que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. 
II. Md é a mediana dos salários, calculada por meio do método da interpolação linear. 
III. Mo é a moda dos salários, calculada com a utilização da fórmula de King*. 
∗ 𝑴𝒐 = 𝑳 + 𝒇
∗∗
𝒇∗F𝒇∗∗
× 𝒉, em que L é o limite inferior da classe modal (classe em que se verifica, no 
caso, a maior frequência), 𝒇∗ é a frequência da classe anterior à classe modal, 𝒇∗∗ é a frequência 
da classe posterior à classe modal e h é a amplitude do intervalo de classe correspondente. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
31 
 
 
O valor de (Me + Md + Mo) é, em SM, igual a 
a) 18,6 
b) 19,7 
c) 19,2 
d) 18,7 
e) 18,5 
 
11. (CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 
dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o item. 
A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg. 
 
12. (CESPE 2018/IFF) 
A distribuição das notas dos 20 alunos de uma sala de aula na prova de Matemática está 
mostrada na tabela a seguir. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
32 
 
 
Nessa situação, a moda dessas notas é igual a 
a) 6,0. 
b) 6,5. 
c) 7,0. 
d) 7,5. 
e) 8,0. 
 
13. (CESPE 2018/IPHAN) 
Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir 
dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
A moda é o valor que apresenta a maior frequência da variável entre os valores observados. 
 
14. (CESPE 2016/TCE-PA) 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
A moda da variável X é igual a 2. 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
33 
 
15. (CESPE 2015/DEPEN) 
 
Considerando os dados da tabela mostrada, que apresenta a distribuição populacional da 
quantidade diária de incidentes (N) em determinada penitenciária, julgue o item que se segue. 
A moda da distribuição de N é igual a 4, pois esse valor representa a maior quantidade diária de 
incidentes que pode ser registrada nessa penitenciária. 
 
16. (CESPE 2014/ANTAQ) 
 
A tabela acima apresenta os resultados de uma pesquisa de satisfação realizada em uma 
amostra de usuários dos serviços de transporte fluvial prestados por uma empresa. Com base 
nessas informações e na tabela, julgue o próximo item. 
A moda da série de notas obtidas pela empresa é 3. 
 
17. (CESPE 2012/TCE-ES) 
Em pesquisa realizada para se estimar o salário médio dos empregados de uma empresa, 
selecionou-se, aleatoriamente, uma amostra de nove empregadosentre todos os empregados 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
34 
 
da empresa. Os dados de tempo de serviço, em anos, e salário, em quantidade de salários 
mínimos, dos indivíduos dessa amostra estão dispostos na tabela abaixo. 
 
A partir dos dados da tabela, julgue o item seguinte. 
Excluindo-se da amostra um empregado qualquer, nem o menor salário nem a moda amostral 
sofreriam alterações com relação aos valores observados na amostra completa. 
 
18. (CESPE 2012/PRF) 
 
A tabela acima mostra a distribuição da quantidade Q de pessoas transportadas, incluindo o 
condutor, por veículo de passeio circulando em determinado município, obtida como resultado 
de uma pesquisa feita nesse município para se avaliar o sistema de transporte local. Nessa 
tabela, P representa a porcentagem dos veículos de passeio circulando no município que 
transportam Q pessoas, para Q = 1, ..., 5. Com base nessas informações, julgue o seguinte item. 
 
Como a moda da distribuição descrita representa a maior frequência observada, seu valor é igual 
a 50%. 
 
19. (CESPE 2010/MPU) 
Uma pesquisa sobre obesidade resultou na seguinte distribuição da massa corporal para um 
grupo de 100 pessoas. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
35 
 
 
Julgue o item subsequente. 
A moda dessa distribuição é igual a 65. 
 
20. (CESPE 2004/ANATEL) 
 
A tabela acima mostra os números mensais de reclamações (N) feitas por usuários de telefonia 
fixa, registradas em uma central de atendimento, entre os meses de fevereiro a novembro de 
2003. Considerando esses dados, julgue o item que se segue. 
A moda dos números mensais de reclamações registradas é igual a 100. 
 
21. (FGV 2018/ALE-RO) 
Sejam x, y e z, respectivamente, a média, a mediana e a moda dos sete valores 9, 10, 6, 5, 20, 9 
e 4. 
É correto concluir que 
a) x < y < z . 
b) x < y = z 
c) x = y < z 
d) y < z = x 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
36 
 
e) x = y = z 
 
22. (IAUPE 2018/CBM-PE) 
Em uma corporação, o sargento mediu a altura de 50 soldados e construiu a seguinte 
distribuição de frequências: 
 
É CORRETO afirmar que a Moda das alturas é igual a 
a) 166 
b) 170 
c) 174 
d) 190 
e) 50 
 
23. (IAUPE 2018/PM-PE Oficial) 
A tabela seguinte mostra a distribuição dos salários de uma corporação. 
 
O salário modal vale, em mil, 
a) R$ 9 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
37 
 
b) R$ 9,5 
c) R$ 10 
d) 10,5 
e) 12 
 
24. (VUNESP 2016/Prefeitura de Sertãozinho) 
Considere a tabela construída a partir de um estudo com o objetivo de conhecer a forma e o 
local de refeições diárias dos trabalhadores de uma empresa. 
 
Quanto a essa tabela, com resultados surpreendentemente semelhantes, ao se analisarem as 
medidas de tendência central, é correto afirmar que a distribuição 
a) é unimodal. 
b) é polimodal. 
c) tem a moda igual a 40. 
d) é amodal. 
e) tem a moda igual a 160. 
 
25. (ESAF 2009/AFRFB) 
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso 
preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
38 
 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 
24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
 
26. (FUNDATEC 2009/SEFAZ-RS) 
A tabela a seguir representa a distribuição de frequências da idade de uma amostra de 
moradores de um asilo. Utilize para resolver a questão. 
 
O valor da moda pelo método de King é: 
a) 72,8. 
b) 76,6. 
c) 80,0. 
d) 76,0. 
e) 19,0. 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
39 
 
GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. C 
02. A 
03. A 
04. B 
05. D 
06. C 
07. B 
08. A 
09. A 
10. C 
11. Certo 
12. E 
13. Certo 
14. Errado 
15. Errado 
16. Certo 
17. Certo 
18. Errado 
19. Errado 
20. Errado 
21. E 
22. B 
23. D 
24. D 
25. E 
26. B 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
40 
 
LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS 
 
 
1. (FCC 2019/SEFAZ-BA) 
Os números de autos de infração lavrados pelos agentes de um setor de um órgão público, 
durante 10 meses, foram registrados mensalmente conforme a tabela abaixo. 
Mês I II III IV V VI VII VIII IX X Total 
Número 
de Autos 
7 5 4 6 6 5 5 7 6 5 56 
Verifica-se que, nesse período, o valor da soma da média aritmética (número de autos por mês) 
com a mediana é igual ao valor da moda multiplicado por 
a) 2,12. 
b) 2,52. 
c) 2,22. 
d) 2,42. 
e) 2,32. 
Comentário 
O problema já forneceu a soma dos valores, que é 56. Como são 10 números, então a média é 
igual a 
𝑥 =
56
10 = 5,6 
A moda é o termo que tem maior frequência, ou seja, é o termo que mais aparece. O termo que 
mais aparece é 5. Logo, 
𝑀# = 5 
Para determinar a mediana, precisamos colocar os termos em ordem crescente. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
41 
 
4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 
Como são 10 termos (número par de termos), então a mediana será a média dos dois termos 
centrais. Os termos centrais são os termos de ordem 0
"
= !H
"
= 5 e o seguinte a ele, ou seja, o 
termo de ordem 6 (a mediana será a média entre o quinto e o sexto termo). 
4, 5, 5, 5, 	5, 6g
1@AI#3
J@01A/-3
, 6, 6, 7, 7 
𝑀K =
5 + 6
2 = 5,5 
A soma da média aritmética com a mediana é igual a: 
5,6 + 5,5 = 11,1 
Vamos dividir esse número pela moda. 
11,1
𝑀#
=
11,1
5 = 2,22 
Logo, 
11,1 = 2,22 × 𝑀# 
Gabarito: C 
 
2. (FCC 2019/SEFAZ-BA) 
Considere a distribuição dos salários, em R$ 1.000,00, dos funcionários lotados em uma 
repartição pública, representada abaixo pela tabela de frequências relativas acumuladas, sendo 
𝒌 a frequência relativa acumulada do 4º intervalo de classe. 
Classes de Salários Frequência relativa acumulada (%) 
1 – 3 5 
3 – 5 15 
5 – 7 40 
7 – 9 𝑘 
9 – 11 100 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
42 
 
Sabe-se que a média aritmética (Me) foi calculada considerando que todos os valores incluídos 
num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo, que a 
mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) foi obtida 
pela relação de Pearson, ou seja, 𝑴𝒐 = 𝟑𝑴𝒅 − 𝟐𝑴𝒆. Dado que 𝑴𝒆 = 𝟕. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎, então 𝑴𝒐 é igual 
a 
a) R$ 8.100,00 
b) R$ 7.400,00 
c) R$ 7.350,00 
d) R$ 8.500,00 
e) R$ 7.700,00 
Comentário 
Sem perda de generalidade, vamos supor que 𝑛 = 100. 
Vamos construir a coluna das frequências absolutas. Para tanto, basta subtrair uma frequência 
acumulada de uma classe da frequência acumulada da classe anterior a ela. 
Suponha que a frequência absoluta da quarta classe seja igual a 𝑓. 
Classes de Salários Frequência relativa acumulada (%) 𝒇𝒊 
1 – 3 5 5 
3 – 5 15 15 – 5 = 10 
5 – 7 40 40 – 15 = 25 
7 – 9 𝑘 𝑓 
9 – 11 100 
 
O total de observações é 100. Até a quarta classe, já temos 5 + 10 + 25 + 𝑓 = 40 + 𝑓. Assim, a 
frequência absoluta da última classe é igual a 100 − (40 + 𝑓) = 60 − 𝑓. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
43Classes de Salários Frequência relativa acumulada (%) 𝒇𝒊 
1 – 3 5 5 
3 – 5 15 10 
5 – 7 40 25 
7 – 9 𝑘 𝑓 
9 – 11 100 60 − 𝑓 
Para calcular a média, devemos multiplicar cada ponto médio pelas respectivas frequências. 
Classes de 
Salários 
Frequência relativa 
acumulada (%) 𝒇𝒊 𝒙𝒊	 𝒙𝒊𝒇𝒊	 
1 – 3 5 5 2 10 
3 – 5 15 10 4 40 
5 – 7 40 25 6 150 
7 – 9 𝑘 𝑓 8 8𝑓 
9 – 11 100 60 − 𝑓 10 600 − 10𝑓 
O enunciado informou que a média é igual a 7.200. Como estamos trabalhando em milhares, 
então vamos considerar que a média é igual a 7,2. 
A média é a 
10 + 40 + 150 + 8𝑓 + 600 − 10𝑓
100 = 7,2 
 
800 − 2𝑓
100 = 7,2 
 
800 − 2𝑓 = 720 
 
2𝑓 = 80 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
44 
 
 
𝑓 = 40 
Assim, a frequência absoluta da quarta classe é 𝑓 = 40 e a frequência da última classe é 60 −
40 = 20. 
Classes de 
Salários 
Frequência relativa 
acumulada (%) 𝒇𝒊 
1 – 3 5 5 
3 – 5 15 10 
5 – 7 40 25 
7 – 9 80 40 
9 – 11 100 20 
Vamos calcular a mediana. Para tanto, precisamos obter 𝑛/2. 
𝑛
2 =
100
2 = 50 
Para descobrir a classe mediana, precisamos procurar a primeira frequência acumulada que é 
maior do que n/2 = 50. 
Assim, a classe mediana é a quarta classe. Vamos aplicar a fórmula da mediana. 
𝑀K = 𝑙- + E
𝑛
2 − 𝑓𝑎𝑐/01
𝑓-
G ∙ ℎ 
 
𝑀K = 7 +
50 − 40
40 ∙ 2 
 
𝑀K = 7,5 
Como a tabela foi dada em milhares, então 𝑀K = 𝑅$	7.500,00. 
Vamos calcular a moda de Pearson. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
45 
 
𝑀# = 3𝑀K − 2𝑀@ 
 
𝑀# = 3 × 7.500 − 2 × 7.200 
 
𝑀# = 8.100 
Gabarito: A 
 
3. (FCC 2019/ISS-Manaus) 
Conforme um levantamento realizado em um órgão público e analisando a distribuição dos 
salários, em R$ 1.000,00, de todos os seus funcionários, obteve-se a tabela de frequências 
absolutas abaixo, com k sendo um número inteiro positivo. 
 
Considere que a média aritmética (Me) foi calculada considerando que todos os valores incluídos 
num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo, que a 
mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) foi obtida 
pela relação de Pearson, ou seja, Mo ��3 Md −�2 Me. O valor encontrado para Mo, em R$ 
1.000,00, foi igual a 
(A) 1,82 k. 
(B) 1,76 k. 
(C) 1,70 k. 
(D) 1,64 k. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
46 
 
(E) 1,60 k. 
Comentário 
A soma das frequências é igual a 40k. 
2𝑘 + 20 + 50 + 80 + 8𝑘 = 40𝑘 
 
10𝑘 + 150 = 40𝑘 
 
30𝑘 = 150 
 
𝑘 = 5 
Vamos calcular a média. Primeiro vamos determinar os pontos médios de cada classe. Em 
seguida, vamos multiplicar cada ponto médio pela sua respectiva frequência. 
𝒙𝒊 (Ponto Médio) 𝒇𝒊 (frequência) 𝒙𝒊𝒇𝒊 
3 10 3 × 10 = 30 
5 20 5 × 20 = 100 
7 50 7 × 50 = 350 
9 80 9 × 80 = 720 
11 40 11 × 40 = 440 
Total 200 1.640 
Logo, a média é igual a: 
𝑀𝑒 =
1.640
200 = 8,2 
 
Vamos agora determinar a mediana. Para tanto, precisamos da coluna da frequência acumulada. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
47 
 
𝑪𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆𝒔 𝒇𝒊 (frequência) 𝒇𝒂𝒄 
2 – 4 10 10 
4 – 6 20 30 
6 – 8 50 80 
8 – 10 80 160 
10 – 12 40 200 
Total 200 
O valor de 0
"
 é: 
𝑛
2 =
200
2 = 100 
 
A primeira frequência acumulada que ultrapassou o valor de 100 foi a 160. Logo, a classe que 
contém a mediana é 8 < 𝑠 ≤ 10. 
Vamos aplicar a fórmula da mediana. 
𝑀K = 𝑙- + E
𝑛
2 − 𝑓/J*+)
𝑓-
G ∙ ℎ 
 
𝑀K = 8 + O
100 − 80
80 P ∙ 2 
 
𝑀K = 8,5 
Assim, o valor da moda de Pearson é: 
𝑀# = 3𝑀K − 2𝑀@ 
 
𝑀# = 3 × 8,5 − 2 × 8,2 
 
𝑀# = 9,1 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
48 
 
Queremos escrever esse valor em função de 𝑘. 
𝑀#
𝑘 =
9,1
5 = 1,82 
 
Logo, 
𝑀# = 1,82𝑘 
A resposta é a alternativa A. 
Apenas por curiosidade, vamos calcular a mediana sem a fórmula (utilizando interpolação linear 
diretamente). 
Sabemos que a mediana está na classe 8 < 𝑠 ≤ 10. 
Vamos montar uma regra de três relacionando a amplitude e a frequência da classe. 
A classe 8 < 𝑠 ≤ 10 tem amplitude ℎ = 2 e uma frequência igual a 80. 
Da primeira até a terceira classe, temos 10 + 20 + 50 = 80 elementos. Para chegar ao 100º 
elemento (metade da frequência total), precisamos de mais 20 elementos na quarta classe. 
Amplitude Frequência 
2 80 
x 20 
 
80𝑥 = 2 ∙ 20 
 
80𝑥 = 40 
 
𝑥 = 0,5 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
49 
 
A quarta classe vai de 8 até 10, mas precisamos apenas de uma amplitude igual a 0,5 para 
chegar até a mediana. Logo, a mediana é 8 + 0,5 = 8,5. 
Gabarito: A 
 
4. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
A empresa Sigma apresenta pela tabela abaixo a distribuição dos salários registrados de seus 
100 empregados em reais. 
 
Não foram fornecidos os números de empregados que ganham R$ 10.000,00 e R$ 15.000,00 
(denotados na tabela por x e y, respectivamente), mas sabe-se que a média aritmética dos 
salários é igual a R$ 8.400,00. O valor da soma da respectiva moda e da respectiva mediana 
desses salários é, em reais, igual a 
(A) 600y. 
(B) 625y. 
(C) 1.000y. 
(D) 750y. 
(E) 500y. 
Comentário 
O total de empregados é igual a 100. Portanto, a soma das frequências (número de empregados) 
é igual a 100. 
0 + 10 + 40 + 𝑥 + 𝑦 = 100 
 
50 + 𝑥 + 𝑦 = 100 
𝑥 + 𝑦 = 50 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
50 
 
Ademais, sabemos que a média aritmética dos salários é igual a R$ 8.400,00. 
Para calcular a média, devemos multiplicar cada salário pela respectiva frequência, somar todos 
os resultados, e dividir por 100, que é o total de funcionários. 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 = 8.400 
 
2.000 ∙ 0 + 4.000 ∙ 10 + 5.000 ∙ 40 + 10.000 ∙ 𝑥 + 15.000 ∙ 𝑦
100 = 8.400 
 
0 + 40.000 + 200.000 + 10.000𝑥 + 15.000𝑦
100 = 8.400 
Vamos dividir todas as parcelas do numerador por 100. 
400 + 2.000 + 100𝑥 + 150𝑦 = 8.400 
 
2.400 + 100𝑥 + 150𝑦 = 8.400 
 
100𝑥 + 150𝑦 = 6.000 
Temos um sistema de equações lineares. 
x𝑥 + 𝑦 = 50																					100𝑥 + 150𝑦 = 6.000 
 
Existem muitas maneiras para resolver esse sistema. Vamos multiplicar a primeira equação por 
(−100) para cancelar a incógnita 𝑥. 
x−100𝑥 − 100𝑦 = −5.000100𝑥 + 150𝑦 = 6.000 
Somando as duas equações, temos: 
−100𝑦 + 150𝑦 = −5.000 + 6.000 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
51 
 
50𝑦 = 1.000 
 
𝑦 = 20 
Como 𝑥 + 𝑦 = 50, temos: 
𝑥 + 20 = 50 
 
𝑥 = 30 
 
Vamos substituir esses valores na tabela. 
Salários (R$) 2.000 4.000 5.000 10.000 15.000 Total 
Número de Empregados 0 10 40 30 20 100 
 
A moda é o termo que possui a maior frequência. Facilmente percebemos que o termo com 
maior frequência é o número 5.000. 
𝑀𝑜 = 5.000 
 
Vamos agora calcular a mediana. O número de termos é par (100). Portanto, a mediana será a 
média aritmética dos dois termos centrais. 
Como são 100 termos, os termos centrais são os termos de posição 0
"
 e 0
"
+ 1. 
Assim, os termos centrais são os termos de posição: 
100
2 = 50				𝑒					
100
2 + 1 = 51 
A tabela indica que o número 4.000 apareceu 10 vezes, que o número 5.000 apareceu 40 vezes, 
e assim por diante. 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
52 
 
(4.000, 4.000,…4.000{||||||}||||||~
!H	1@AI#3
, 5.000, 5.000, 5.000,… , 5.000{||||||||}||||||||~
4H	1@AI#3
, 10.000,… , 10.000{|||||}|||||~
$H	1@AI#3
, 15.000,… , 15.000{|||||}|||||~
"H	1@AI#3
) 
 
Assim, o termode posição 50 é 5.000 e o termo de posição 51 é o número 10.000 (termos 
centrais). 
(4.000, 4.000,… , 4.000, 5.000, 5.000,… , 5.000, 10.000{|||}|||~
M@AI#3	J@01A/-3
, … , 10.000, 15.000,… , 15.000) 
A mediana é a média dos termos centrais. 
𝑀𝑑 =
5.000 + 10.000
2 = 7.500 
Portanto, a soma da moda com a mediana é: 
𝑀𝑜 +𝑀𝑑 = 
 
= 5.000 + 7.500 
 
= 12.500 
Vamos calcular os valores indicados nas alternativas. 
a) 600𝑦 = 600 × 20 = 12.000 
b) 625𝑦 = 625 × 20 = 12.500 
Opa, já encontramos a resposta. 
Poderíamos também ter dividido a resposta 12.500 por y para marcar o gabarito mais rápido. 
Gabarito: B 
 
5. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Com o objetivo de analisar a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa, 
verificou-se que 10 empregados ganham, cada um, R$ 15.000,00; 20 ganham, cada um, R$ 
2.500,00; 25 ganham, cada um, R$ 12.000,00; 60 ganham, cada um, R$ 5.000,00 e os restantes 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
53 
 
ganham, cada um, R$ 8.000,00. Sabendo-se que a mediana dos salários apresentou um valor 
igual a R$ 6.500,00, obtém-se que o valor da média aritmética supera o da moda em 
(A) R$ 2.750.00. 
(B) R$ 3.250,00. 
(C) R$ 3.000,00. 
(D) R$ 2.250,00. 
(E) R$ 2.500,00. 
Comentário 
Observe a distribuição dos salários dos empregados (já vou dispor em ordem crescente). 
Salários Frequência 
2.500 20 
5.000 60 
8.000 𝑓 
12.000 25 
15.000 10 
Total 115 + 𝑓 
 O total de empregados é 115 + 𝑓, que corresponde ao somatório das frequências. 
Quando o número de termos é ímpar, a mediana é exatamente o termo que fica no meio, ou 
seja, o termo de posição 0F!
"
. 
Quando o número de termos é par, a mediana é a média aritmética dos termos centrais, ou seja, 
a média aritmética entre os termos de posição 0
"
 e 0
"
+ 1. 
O enunciado nos disse que a mediana é igual a 6.500. Como nenhum funcionário ganha 
exatamente R$ 6.500,00, concluímos que a mediana será a média aritmética entre os dois termos 
centrais (o número de pessoas é par). 
Observe que a média entre 5.000 e 8.000 é 6.500: 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
54 
 
5.000 + 8.000
2 = 6.500 
Portanto, os dois termos centrais são 5.000 e 8.000. 
Concluímos que o último 5.000 corresponde ao termo de posição 0
"
 e o primeiro 8.000 
corresponde ao termo de ordem 0
"
+ 1. 
Ora, o último 5.000 é o termo de posição 80. Basta perceber que o número 2.500 aparece 20 
vezes e o número 5.000 aparece 60 vezes. 
Portanto, 
𝑛
2 = 80 
 
𝑛 = 2 × 80 
 
𝑛 = 160 
O total de pessoas é 160. Logo, 
115 + 𝑓 = 160 
 
𝑓 = 45 
Concluímos que 45 pessoas recebem 8 mil reais. 
Queremos calcular o valor da média aritmética e da moda. 
Para tanto, vamos reconstruir a tabela com o valor de 𝑓, que estava faltando. 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
55 
 
Salários Frequência 
2.500 20 
5.000 60 
8.000 45 
12.000 25 
15.000 10 
Total 160 
A moda é o termo de maior frequência. Portanto, 
𝑀𝑜 = 5.000 
Vamos agora calcular a média aritmética. Para tanto, devemos multiplicar cada salário pela sua 
respectiva média, somar os resultados e dividir por 160, que é o total de pessoas. 
Salários Frequência Salário x Frequência 
2.500 20 2.500 x 20 = 50.000 
5.000 60 5.000 x 60 = 300.000 
8.000 45 8.000 x 45 = 360.000 
12.000 25 12.000 x 25 = 300.000 
15.000 10 15.000 x 10 = 150.000 
Total 160 1.160.000 
Portanto, a média vale: 
	𝑥	��� =
1.160.000
160 = 7.250 
A questão pede a diferença entre a média e a moda (o quanto a média supera a moda). 
	𝑥	��� − 𝑀𝑜 = 7.250 − 5.000 
= 2.250 
Gabarito: D 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
56 
 
 
6. (FCC 2019/Prefeitura do Recife) 
Durante 40 dias, foi registrado o número de pessoas atendidas por dia em um guichê de uma 
repartição. A tabela abaixo apresentou os dados observados sendo que não foram fornecidas as 
quantidades de dias em que foram atendidas uma pessoa por dia e duas pessoas por dia, 
indicadas na tabela por 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐, respectivamente. 
 
Sabendo-se que a mediana correspondente foi igual 1,5, tem-se que a soma da moda e da 
média aritmética (número de pessoas atendidas por dia) foi igual a 
a) 3,00. 
b) 2,80. 
c) 3,45. 
d) 3,20. 
e) 2,95. 
Comentário 
A soma das frequências é 40. 
9 + 𝑞! + 𝑞" + 5 + 1 = 40 
𝑞! + 𝑞" = 25 
A questão informou que a mediana é 1,5. Isso só é possível se os termos centrais (20º e 21º) 
forem 1 e 2, pois !F"
"
= 1,5. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
57 
 
Para que o 20º termo seja 1 e o 21º termo seja 2, devemos ter 𝑞! = 11, pois 9 + 11 = 20 
(frequência da primeira classe + frequência da segunda classe). 
Como 𝑞! = 11, então: 
𝑞! + 𝑞" = 25 
 
11 + 𝑞" = 25 
 
𝑞" = 14 
Vamos reescrever a tabela. 
Número de pessoas atendidas (𝒙𝒊) Quantidade de dias (𝒇𝒊) 
0 9 
1 11 
2 14 
3 5 
4 1 
Total 40 
A moda é o termo de maior frequência. Como a maior frequência é 14, então a moda é 2. 
𝑀# = 2 
 
Vamos agora calcular a média. Vamos multiplicar cada valor 𝑥- pela sua respectiva frequência e 
somar os resultados. Em seguida, é só dividir o total por 40. 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
58 
 
Número de pessoas atendidas 
(𝒙𝒊) 
Quantidade de dias (𝒇𝒊) 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 
0 9 0 x 9 = 0 
1 11 1 x 11 = 11 
2 14 2 x 14 = 28 
3 5 3 x 5 = 15 
4 1 4 x 1 = 4 
Total 40 58 
Portanto, 
	𝑥	 =
58
40 = 1,45 
A soma da moda com a média é: 
𝑀# + 	𝑥	 = 2 + 1,45 = 3,45 
Gabarito: C 
 
7. (FCC 2018/ALESE) 
Em um grupo de pessoas encontramos as seguintes idades: 20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 45, 
41, 52, 18, 41. A mediana e a moda são, respectivamente, 
a) 36 e 45. 
b) 40 e 41. 
c) 41 e 20. 
d) 42 e 39. 
e) 39 e 42. 
Comentário 
Vamos organizar os dados em ordem crescente para facilitar a nossa vida. 
18, 20, 20, 25, 30, 36, 39, 41, 41, 41, 45, 47, 50, 52 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
59 
 
Vamos começar pela moda, que é mais fácil. A moda é o termo que possui maior frequência, ou 
seja, que aparece mais vezes. 
O número mais frequente é o 41. Portanto, 
𝑀# = 41 
 
Com isso já podemos marcar a resposta na alternativa B. 
Quando o número de termos 𝑛 é ímpar, a mediana é o termo central, ou seja, é o termo de 
posição 0F!
"
. 
Quando o número de termos 𝑛 é par, temos dois termos centrais: o termo de posição 0
"
 e o 
próximo. A mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais. 
No nosso caso, temos 14 números. Como 14 é par, então a mediana será a média aritmética 
entre os dois termos centrais: o sétimo e o oitavo. 
O sétimo termo é 39 e o oitavo termo é 41. Portanto, 
𝑀K =
39 + 41
2 = 40 
Gabarito: B 
 
8. (FCC 2018/SEDU-ES) 
As notas dos dez alunos de uma sala foram: 1, 2, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 10. A diferença entre a moda 
e a mediana dessas notas é 
a) 1,5. 
b) 2,5. 
c) 0,5. 
d) 2,0. 
e) 1,0. 
Comentário 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
60 
 
A moda é o termo que mais aparece. O termo que mais aparece é 8. 
𝑀# = 8 
Os termos já estão em ordem crescente. Como são 10 alunos, a mediana vai ser a média entre os 
dois termos centrais (5º e 6º termos). 
𝑀K =
6 + 7
2 = 6,5 
A diferença entre a moda e a mediana é: 
𝑀# −𝑀K = 8 − 6,5 = 1,5 
Gabarito: A 
 
9. (FCC 2018/ISS-São Luís) 
Um levantamento foi realizado com 40 instituições financeiras, localizadas em uma região, com 
relação às taxas mensaisde juros aplicadas para financiamento de veículos. Verificou-se que 
cinco instituições aplicam a taxa de 0,80% ao mês, duas aplicam a taxa de 1,20% ao mês, oito 
aplicam a taxa de 1,25% ao mês, x aplicam a taxa de 1,12% ao mês e y aplicam a taxa de 0,96% 
ao mês. Se a média aritmética destas taxas foi igual a 1,05%, então a soma da mediana e a moda 
correspondentes foi de 
a) 2,00% 
b) 2,24% 
c) 2,08% 
d) 2,16% 
e) 1,92% 
Comentário 
Vamos organizar os dados em uma tabela. Já vamos colocar os termos em ordem crescente. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
61 
 
Taxa (%) 𝒇𝒊 
0,8 5 
0,96 𝑦 
1,12 𝑥 
1,20 2 
1,25 8 
A média aritmética dessas taxas foi de 1,05%. 
Para calcular a média, devemos multiplicar cada taxa pela sua respectiva frequência e somar 
todos os resultados. Em seguida, devemos dividir pelo total de observações, que é 40. 
Taxa (%) 𝒇𝒊 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊 
0,8 5 0,8 x 5 = 4 
0,96 𝑦 0,96 ∙ 𝑦 
1,12 𝑥 1,12 ∙ 𝑥 
1,20 2 1,20 x 2 = 2,40 
1,25 8 1,25 x 8 = 10 
Total 40 16,4 + 0,96𝑦 + 1,12𝑥 
A média é 1,05%. Como eu desprezei o símbolo % na tabela, vamos igualar a média a 1,05. 
16,4 + 0,96𝑦 + 1,12𝑥
40 = 1,05 
 
16,4 + 0,96𝑦 + 1,12𝑥 = 40 × 1,05 
 
16,4 + 0,96𝑦 + 1,12𝑥 = 42 
 
0,96𝑦 + 1,12𝑥 = 25,6								𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜	𝐼 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
62 
 
A soma das frequências é 40. 
5 + 𝑦 + 𝑥 + 2 + 8 = 40 
 
𝑦 + 𝑥 = 25 
 
𝑦 = 25 − 𝑥 
Vamos substituir 𝑦 por 25 − 𝑥 na equação I. 
0,96𝑦 + 1,12𝑥 = 25,6 
 
0,96 ∙ (25 − 𝑥) + 1,12𝑥 = 25,6 
 
24 − 0,96𝑥 + 1,12𝑥 = 25,6 
 
0,16𝑥 = 1,6 
 
𝑥 = 10 
 
Como 𝑦 + 𝑥 = 25, então: 
𝑦 + 10 = 25 
 
𝑦 = 15 
Vamos reescrever a tabela. 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
63 
 
Taxa 𝒇𝒊 
0,8% 5 
0,96% 15 
1,12% 10 
1,20% 2 
1,25% 8 
A moda é o termo de maior frequência. Como a maior frequência é 15, então a moda é 0,96%. 
𝑀# = 0,96% 
Como são 40 termos, então a mediana será a média dos dois termos centrais (20º e 21º). 
Como há 5 termos na primeira linha e 15 termos na segunda linha, concluímos que o vigésimo 
termo é 0,96%. 
O 21º termo estará na próxima linha: 1,12%. 
Portanto, 
𝑀K =
0,96% + 1,12%
2 = 1,04% 
A soma da mediana e a moda é: 
𝑀K +𝑀# = 0,96% + 1,04% = 2% 
Gabarito: A 
 
10. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
Analisando a distribuição dos salários dos empregados de uma empresa em número de salários 
mínimos (SM), obteve-se o histograma de frequências absolutas abaixo com os intervalos de 
classe fechados à esquerda e abertos à direita. Considere que: 
I. Me é a média aritmética dos salários, calculada levando em conta que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. 
II. Md é a mediana dos salários, calculada por meio do método da interpolação linear. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
64 
 
III. Mo é a moda dos salários, calculada com a utilização da fórmula de King*. 
∗ 𝑴𝒐 = 𝑳 + 𝒇
∗∗
𝒇∗F𝒇∗∗
× 𝒉, em que L é o limite inferior da classe modal (classe em que se verifica, no 
caso, a maior frequência), 𝒇∗ é a frequência da classe anterior à classe modal, 𝒇∗∗ é a frequência 
da classe posterior à classe modal e h é a amplitude do intervalo de classe correspondente. 
 
O valor de (Me + Md + Mo) é, em SM, igual a 
a) 18,6 
b) 19,7 
c) 19,2 
d) 18,7 
e) 18,5 
Comentário 
Vamos construir uma tabelinha com os dados do gráfico. 
Classe 𝒇𝒊 
1 − 3 5 
3 − 5 10 
5 − 7 20 
7 − 9 15 
9 − 11 10 
Para calcular a média aritmética, precisamos calcular os pontos médios das classes. 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
65 
 
Classe 𝒇𝒊 𝒙𝒊 
1 − 3 5 2 
3 − 5 10 4 
5 − 7 20 6 
7 − 9 15 8 
9 − 11 10 10 
Agora devemos multiplicar cada ponto médio pela sua respectiva frequência. Em seguida, vamos 
somar os resultados obtidos e dividir pela frequência total. 
Classe 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝒙𝒊 ∙ 𝒇𝒊	 
1 − 3 5 2 5 x 2 = 10 
3 − 5 10 4 10 x 4 = 40 
5 − 7 20 6 20 x 6 = 120 
7 − 9 15 8 15 x 8 = 120 
9 − 11 10 10 10 x 10 = 100 
Total 60 390 
 
Portanto, 
𝑀@ =
390
60 = 6,5 
 
Vamos agora calcular a mediana. Para tanto, precisamos obter a coluna com as frequências 
acumuladas. 
É muito simples. Primeiro, repetimos a frequência da primeira classe. Depois é só ir somando 
com a frequência da classe seguinte. Observe: 
Classe 𝒇𝒊 𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 
1 − 3 5 5 
3 − 5 10 5 + 10 = 15 
5 − 7 20 15 + 20 = 35 
7 − 9 15 35 + 15 = 50 
9 − 11 10 50 + 10 = 60 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
66 
 
Obviamente, você faria essas contas de cabeça. Vamos deixar a tabela um pouco mais limpa 
como se você tivesse feito essas somas de cabeça. 
Classe 𝒇𝒊 𝒇𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 
1 − 3 5 5 
3 − 5 10 15 
5 − 7 20 35 
7 − 9 15 50 
9 − 11 10 60 
No cálculo da mediana em uma distribuição de frequência não teremos a preocupação de 
determinarmos se o número de elementos é par ou ímpar. 
Os passos básicos para determinar a mediana de uma distribuição serão: 
• Descobrir a classe mediana. 
• Aplicar a fórmula da mediana para distribuição de frequências. 
Para determinarmos a classe mediana, deveremos calcular o valor 0
"
. No nosso exemplo, 0
"
= QH
"
=
30. 
Em seguida comparamos esse valor com os valores da frequência absoluta acumulada crescente. 
Procuraremos a classe cuja frequência acumulada seja maior ou igual ao valor de 0
"
= 30. 
A primeira frequência acumulada que é maior do que ou igual a 30 é 35. Portanto, a classe 
mediana é 5 − 7. 
Em outras palavras, a mediana é um número entre 5 e 7. 
Eis a fórmula para o cálculo da mediana. 
𝑀K = 𝑙-0D + �
𝑛
2 − 𝑓/01
𝑓-
� × ℎ 
Nesta fórmula: 
• 𝑙-0D é o limite inferior da classe mediana, ou seja, 𝑙-0D = 5. 
• 𝑓/01 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana, ou seja, 𝑓/01 = 15. 
• 𝑓- é a frequência absoluta da classe mediana, ou seja, 𝑓- = 20. 
• ℎ é a amplitude da classe mediana, ou seja, ℎ = 7 − 5 = 2. 
Logo, 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
67 
 
𝑀K = 5 + �
30 − 15
20 � × 2 = 6,5 
Finalmente, vamos calcular a moda de King. 
A classe modal é aquela que possui a maior frequência absoluta simples. Como a maior 
frequência simples é 20, então a classe modal é 5 − 7. 
O próprio enunciado ensinou a calcular a moda de King. 
∗ 𝑀𝑜 = 𝐿 + D
∗∗
D∗FD∗∗
× ℎ, em que L é o limite inferior da classe modal (classe em que se verifica, no 
caso, a maior frequência), 𝑓∗ é a frequência da classe anterior à classe modal, 𝑓∗∗ é a frequência 
da classe posterior à classe modal e h é a amplitude do intervalo de classe correspondente. 
 
• 𝐿 = 5 
• 𝑓∗ = 10 
• 𝑓∗∗ = 15 
• ℎ = 7 − 5 = 2 
 
Agora é só aplicar a fórmula. 
𝑀𝑜 = 𝐿 +
𝑓∗∗
𝑓∗ + 𝑓∗∗ × ℎ 
Na nossa teoria, eu usei índices para indicar a frequência das classes adjacentes. 
 
𝑀# = 𝑙- + R
𝑓2#31
𝑓/01 + 𝑓2#31
U ∙ ℎ 
 
𝑀𝑜 = 5 +
15
10 + 15 × 2 
 
𝑀𝑜 = 5 +
30
25 = 6,2 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
68 
 
Agora podemos marcar a resposta da questão. 
 
𝑀@ +𝑀K +𝑀# = 6,5 + 6,5 + 6,2 = 19,2 
 
Com isso, a resposta está na alternativa C. 
 
A questão não pediu, mas vamos calcular a moda de Czuber para treinar. 
Classe 𝒇𝒊 
1 − 3 5 
3 − 5 10 
5 − 7 20 
7 − 9 15 
9 − 11 10 
 
𝑀R- = 𝑙-0D +
Δ!
Δ! + Δ"
× ℎ 
Onde: 
• 𝑙-0D é o limite inferior da classe moda, ou seja 𝑙-0D = 5. 
• Δ! é a diferença entre a frequência da classe modal (maior frequência) e a frequênciaanterior a ela, ou seja, Δ! = 20 − 10 = 10. 
• Δ" é a diferença entre a frequência da classe modal (maior frequência) e a frequência 
posterior a ela, ou seja, Δ" = 20 − 15 = 5. 
• ℎ é a amplitude da classe modal, ou seja, ℎ = 7 − 5 = 2. 
 
Portanto, a moda de Czuber é: 
𝑀R- = 5 +
10
10 + 5 × 2 ≅ 6,33 
Gabarito: C 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
69 
 
 
 
11. (CESPE 2018/Polícia Federal) 
 
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade X, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 
dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o item. 
A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg. 
Comentário 
Observe que o número 22 aparece 2 vezes (frequência = 2) enquanto todos os outros números 
aparecem apenas uma vez (frequência = 1). 
Portanto, a moda é igual a 22. 
Observe que os números (1, 2, 3, 4, 5) não são frequências. Esses números representam o 1º dia, 
2º dia, e assim por diante. 
Gabarito: Certo 
 
12. (CESPE 2018/IFF) 
A distribuição das notas dos 20 alunos de uma sala de aula na prova de Matemática está 
mostrada na tabela a seguir. 
 
Nessa situação, a moda dessas notas é igual a 
a) 6,0. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
70 
 
b) 6,5. 
c) 7,0. 
d) 7,5. 
e) 8,0. 
Comentário 
A maior frequência é 7. A nota associada à maior frequência é 8,0. Portanto, 𝑀# = 8,0. 
Gabarito: E 
 
13. (CESPE 2018/IPHAN) 
Define-se estatística descritiva como a etapa inicial da análise utilizada para descrever e resumir 
dados. Em relação às medidas descritivas, julgue o item a seguir. 
A moda é o valor que apresenta a maior frequência da variável entre os valores observados. 
Comentário 
Questão bem direta. É a própria definição da moda. 
Gabarito: Certo 
 
14. (CESPE 2016/TCE-PA) 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
71 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
A moda da variável X é igual a 2. 
Comentário 
A moda é o valor que apresenta a maior frequência. Na tabela acima, a maior frequência é 0,3 = 
30%. 
Observe que dois valores apresentam essa frequência máxima. Portanto, trata-se de um conjunto 
bimodal: 𝑀#! = 0 e 𝑀#" = 4. 
A moda não é igual a 2. 
Gabarito: Errado 
 
15. (CESPE 2015/DEPEN) 
 
Considerando os dados da tabela mostrada, que apresenta a distribuição populacional da 
quantidade diária de incidentes (N) em determinada penitenciária, julgue o item que se segue. 
A moda da distribuição de N é igual a 4, pois esse valor representa a maior quantidade diária de 
incidentes que pode ser registrada nessa penitenciária. 
Comentário 
A moda é o termo que possui a maior frequência. A maior frequência é 0,5. Portanto, a moda é 
igual a 2. 
Gabarito: Errado 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
72 
 
 
16. (CESPE 2014/ANTAQ) 
 
A tabela acima apresenta os resultados de uma pesquisa de satisfação realizada em uma 
amostra de usuários dos serviços de transporte fluvial prestados por uma empresa. Com base 
nessas informações e na tabela, julgue o próximo item. 
A moda da série de notas obtidas pela empresa é 3. 
Comentário 
A maior frequência é 50. O número associado a essa frequência máxima é 3. Portanto, a moda é 
3. 
Não confunda moda, que é o termo que possui a maior frequência, com o maior termo. 
Gabarito: Certo 
 
17. (CESPE 2012/TCE-ES) 
Em pesquisa realizada para se estimar o salário médio dos empregados de uma empresa, 
selecionou-se, aleatoriamente, uma amostra de nove empregados entre todos os empregados 
da empresa. Os dados de tempo de serviço, em anos, e salário, em quantidade de salários 
mínimos, dos indivíduos dessa amostra estão dispostos na tabela abaixo. 
 
A partir dos dados da tabela, julgue o item seguinte. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
73 
 
Excluindo-se da amostra um empregado qualquer, nem o menor salário nem a moda amostral 
sofreriam alterações com relação aos valores observados na amostra completa. 
Comentário 
O menor salário é de 5 salários mínimos. Há duas pessoas que ganham esse menor salário. Se um 
deles for excluído, o menor salário da amostra continuará sendo 5 salários mínimos. 
Não ficou claro se a questão se refere à moda amostral dos tempos de serviço ou dos salários. 
A moda dos salários é 6. Há 4 funcionários que ganham 6 salários mínimos. Se um deles for 
excluído, sobraram 3 funcionários ganhando 6 salários mínimos e a moda não será alterada. 
Se estivermos falando do tempo de serviço, há 4 funcionários que trabalham há 2 anos. Se um 
deles for excluído, sobrarão 3 funcionários trabalhando há 2 anos e a moda não será alterada. 
Gabarito: Certo 
 
18. (CESPE 2012/PRF) 
 
A tabela acima mostra a distribuição da quantidade Q de pessoas transportadas, incluindo o 
condutor, por veículo de passeio circulando em determinado município, obtida como resultado 
de uma pesquisa feita nesse município para se avaliar o sistema de transporte local. Nessa 
tabela, P representa a porcentagem dos veículos de passeio circulando no município que 
transportam Q pessoas, para Q = 1, ..., 5. Com base nessas informações, julgue o seguinte item. 
 
Como a moda da distribuição descrita representa a maior frequência observada, seu valor é igual 
a 50%. 
Comentário 
A maior frequência observada é 50%. O termo associado a essa frequência é 1. Portanto, a moda 
é igual a 1. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
74 
 
Não confunda a moda com a frequência da moda. 
Gabarito: Errado 
 
19. (CESPE 2010/MPU) 
Uma pesquisa sobre obesidade resultou na seguinte distribuição da massa corporal para um 
grupo de 100 pessoas. 
 
Julgue o item subsequente. 
A moda dessa distribuição é igual a 65. 
Comentário 
Quando precisamos calcular a moda em uma distribuição de frequências, devemos escolher um 
dos métodos. 
A maior frequência é 30. Portanto, a classe modal é [60,70). 
Pelo método da moda bruta, a moda é o ponto médio da classe modal. 
𝑀#;SA>1/ =
60 + 70
2 = 65 
Como a frequência anterior à classe modal é diferente da frequência posterior à classe modal, as 
modas de Czuber e King não coincidirão com a moda bruta. Portanto, não podemos afirmar que 
a moda é igual a 65, pois o valor da moda será diferente de 65 se forem adotados outros 
métodos. 
Portanto, o item está errado. 
Vamos calcular esses valores apenas para treinar. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
75 
 
𝑀#;B-0C = 𝑙- + R
𝑓2#31
𝑓/01 + 𝑓2#31
U ∙ ℎ 
 
𝑀#;B-0C = 60 + O
25
20 + 25P ∙ 10 
 
𝑀#;B-0C ≅ 65,55 
Para calcular a moda de Czuber, precisamos calcular Δ! = 𝑓. − 𝑓/01 e Δ" = 𝑓. − 𝑓2#31. 
Δ! = 30 − 20 = 10 
Δ" = 30 − 25 = 5 
Agora podemos aplicar a fórmula de Czuber. 
𝑀#;<=>?@A = 𝑙- + O
Δ!
Δ! + Δ"
P ∙ ℎ 
 
𝑀#;<=>?@A = 60 + O
10
10 + 5P ∙ 10 
 
𝑀#;<=>?@A ≅ 66,67 
É importante frisar que, em outras ocasiões, o CESPE destacou o método a ser utilizado para o 
cálculo da moda. 
Gabarito: Errado 
 
20. (CESPE 2004/ANATEL) 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
76 
 
A tabela acima mostra os números mensais de reclamações (N) feitas porusuários de telefonia 
fixa, registradas em uma central de atendimento, entre os meses de fevereiro a novembro de 
2003. Considerando esses dados, julgue o item que se segue. 
A moda dos números mensais de reclamações registradas é igual a 100. 
Comentário 
O número que mais aparece é 50. Portanto, 𝑀# = 50. 
Gabarito: Errado 
 
21. (FGV 2018/ALE-RO) 
Sejam x, y e z, respectivamente, a média, a mediana e a moda dos sete valores 9, 10, 6, 5, 20, 9 
e 4. 
É correto concluir que 
a) x < y < z . 
b) x < y = z 
c) x = y < z 
d) y < z = x 
e) x = y = z 
Comentário 
Para calcular a média, devemos somar os termos e dividir pela quantidade de termos. 
𝑥 =
9 + 10 + 6 + 5 + 20 + 9 + 4
7 
 
𝑥 =
63
7 = 9 
Para calcular a mediana, devemos dispor os termos em ordem crescente. 
4, 5, 6, 9, 9, 10, 20 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
77 
 
Como são 7 termos, a mediana será o termo do meio, que é o termo de posição 0F!
"
= 6F!
"
= 4. 
O quarto termo é 9. Portanto, 
𝑦 = 9 
A moda é o termo que mais aparece. O termo que mais aparece é 9. 
𝑧 = 9 
Portanto, 
𝑥 = 𝑦 = 𝑧 
Gabarito: E 
 
22. (IAUPE 2018/CBM-PE) 
Em uma corporação, o sargento mediu a altura de 50 soldados e construiu a seguinte 
distribuição de frequências: 
 
É CORRETO afirmar que a Moda das alturas é igual a 
a) 166 
b) 170 
c) 174 
d) 190 
e) 50 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
78 
 
Comentário 
Todas as amplitudes são iguais a 8. A maior frequência é 24. Portanto, a classe modal é a 
terceira. 
Assim, a moda é um número entre 166 e 174. 
Com isso, excluímos as alternativas A, C, D e E. Ficamos com a alternativa B. 
A alternativa B corresponde à moda bruta, que é o ponto médio do intervalo. 
𝑀#;?A>1/ =
166 + 174
2 = 170 
É claro que você não poderia marcar outra alternativa a não ser 170. 
Por outro lado, a meu ver, essa questão deveria ser anulada, pois não foi especificado qual 
método devemos usar para calcular a moda. Se usássemos a moda de Czuber ou de King, 
teríamos um resultado diferente de 170. 
Gabarito: B 
 
23. (IAUPE 2018/PM-PE Oficial) 
A tabela seguinte mostra a distribuição dos salários de uma corporação. 
 
O salário modal vale, em mil, 
a) R$ 9 
b) R$ 9,5 
c) R$ 10 
d) 10,5 
e) 12 
Comentário 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
79 
 
Todas as amplitudes são iguais a 3. 
A maior frequência é 20. Portanto, a classe modal é a terceira que vai de 9 a 12. 
O gabarito da banca corresponde à moda bruta. 
𝑀# =
9 + 12
2 = 10,5 
Entretanto, por outro lado, a meu ver, essa questão deveria ser anulada, pois não foi especificado 
qual método devemos usar para calcular a moda. Se usássemos a moda de Czuber ou de King, 
teríamos um resultado diferente de 10,5. 
Vamos calcular a moda de Czuber. Note que Δ! = 20 − 18 = 2 e Δ" = 20 − 10 = 10. 
𝑀R- = 𝑙-0D +
Δ!
Δ! + Δ"
× ℎ 
 
𝑀R- = 9 +
2
2 + 10 × 3 
 
𝑀R- = 9,5 
Utilizando a moda de Czuber, a resposta seria a alternativa B. 
Como a banca não especificou qual moda deveria ser calculada, a questão deveria ter sido 
anulada. 
Gabarito: D (deveria ser anulada) 
 
24. (VUNESP 2016/Prefeitura de Sertãozinho) 
Considere a tabela construída a partir de um estudo com o objetivo de conhecer a forma e o 
local de refeições diárias dos trabalhadores de uma empresa. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
80 
 
 
Quanto a essa tabela, com resultados surpreendentemente semelhantes, ao se analisarem as 
medidas de tendência central, é correto afirmar que a distribuição 
a) é unimodal. 
b) é polimodal. 
c) tem a moda igual a 40. 
d) é amodal. 
e) tem a moda igual a 160. 
Comentário 
Já podemos descartar as alternativas C e E, pois nessa questão não estamos trabalhando com 
variáveis numéricas. A moda, se existir, poderá ser “restaurante da empresa (bandeja)”, 
“restaurante da empresa (marmita própria)”, “restaurante externo à empresa” ou “própria 
residência”. 
Vimos que um conjunto é amodal quando todos os valores das variáveis em estudo apresentarem 
uma mesma frequência. É justamente o que ocorre nessa situação. Não existe moda e estamos 
diante de uma distribuição amodal. 
Gabarito: D 
 
25. (ESAF 2009/AFRFB) 
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso 
preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 
24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
81 
 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
Comentário 
A saída é resolver a questão utilizando as medidas mais fáceis de calcular. 
A moda é o valor (ou valores) que possui maior frequência, ou seja, que aparece mais vezes. 
O termo que mais aparece é 27. 
𝑀# = 27 
Outra medida fácil de calcular é a mediana (trabalhosa, mas fácil). 
Para calcular a mediana, precisamos colocar os termos em ordem crescente, mas não precisamos 
escrever todos. 
São 37 termos. Como o número de termos é ímpar, a mediana será o termo de ordem 0F!
"
. 
Portanto, a mediana será o termo de ordem: 
37 + 1
2 =
38
2 = 19 
Assim, basta escrever os termos em ordem crescente e parar no 19º. 
 
𝟐𝟑, 𝟐𝟑, 𝟐𝟒, 𝟐𝟒, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓, 𝟐𝟓, 𝟐𝟓, 𝟐𝟓, 𝟐𝟔, 𝟐𝟔, 𝟐𝟔, 𝟐𝟔, 𝟐𝟔, 𝟐𝟕, 𝟐𝟕, 𝟐𝟕, 𝟐𝟕, 	𝟐𝟕Y
𝟏𝟗º	𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐
 
 
𝑀K = 27 
Gabarito: E 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
82 
 
 
26. (FUNDATEC 2009/SEFAZ-RS) 
A tabela a seguir representa a distribuição de frequências da idade de uma amostra de 
moradores de um asilo. Utilize para resolver a questão. 
 
O valor da moda pelo método de King é: 
a) 72,8. 
b) 76,6. 
c) 80,0. 
d) 76,0. 
e) 19,0. 
Comentário 
Pelo método de King, a moda está contida na segunda classe, pois é a classe de maior 
frequência. 
Eis a fórmula de King: 
𝑀# = 𝑙- + R
𝑓2#31
𝑓/01 + 𝑓2#31
U ∙ ℎ 
O limite inferior da classe modal é 𝑙- = 74. Todas as classes tem amplitude ℎ = 4. 
Além disso, temos que a frequência da classe anterior à classe modal é 𝑓/01 = 7 e a frequência da 
classe posterior à classe modal é 𝑓2#31 = 13. Logo, 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
83 
 
𝑀# = 74 + O
13
7 + 13P ∙ 4 
 
𝑀# = 76,6 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
 
 
84 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
Guilherme Neves
Aula 03
Estatística p/ PC-PA (Investigador) - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br