Lista de exercícios Geometria Analítica

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Olá pessoas, como vão? A seguir farei alguns dos exercício mais comuns em uma lista de Geometria Analítica e espero que estas resoluções sejam úteis.

Exercício 1

Sendo ABCDEFGH o paralelogramo abaixo, expresse os seguintes vetores em função de AB(\u2192), AC(\u2192) e AF(\u2192):

a ) BF ( \u2192 )

É visível que a soma de BA(\u2192) + AF(\u2192) gerará BF(\u2192).

Para obtermos BA(\u2192) precisamos inverter o sentido de AB(\u2192) , com isto temos: -AB(\u2192) + AF(\u2192) = BF(\u2192).

b) AG(\u2192)

Para AG(\u2192) temos: AC(\u2192) + CG(\u2192) = AG(\u2192)

Precisamos destrinchar CG(\u2192) , então CG(\u2192) por sua vez pode ser escrito como BF(\u2192) pois BF(\u2192) é equivalente a CG(\u2192) .

No fim temos: AC(\u2192) - AB(\u2192) + AF(\u2192) = AG(\u2192)

c)AE(\u2192)

AE(\u2192) é igual a BF(\u2192) tanto quanto CG(\u2192) e DH(\u2192) por possuírem mesmo módulo, direção e sentido.

Logo podemos escrever AE(\u2192) como escrevemos BF(\u2192): AE(\u2192) = AF(\u2192) - AB(\u2192)

d)BG(\u2192)

BG(\u2192) pode ser escrito como uma soma do vetor BC(\u2192) com o vetor CG(\u2192) , ambos vetores precisam ser trabalhados até chegarmos a uma função de AB(\u2192 ) AC(\u2192) e AF(\u2192) .

BG(\u2192) = BC(\u2192) + CG(\u2192) . Já sabemos que CG(\u2192) nada mais é que o vetor BF(\u2192) (já estamos carecas de saber), agora o grande esquema é encontrar o vetor BC(\u2192).

BC(\u2192) por sua vez pode ser escrito perfeitamente como a subtração do vetor AB(\u2192) e AC(\u2192). Sendo assim: BC(\u2192) = AC(\u2192) - AB(\u2192)

Substituindo tudo na equação principal: BG(\u2192) = AC(\u2192) - AB(\u2192) + AF(\u2192) - AB(\u2192)

e)AG(\u2192)

AG(\u2192) = AC(\u2192) + CG(\u2192). ==> AG(\u2192) = AC(\u2192) + AF(\u2192) - AB(\u2192) . (Não preciso nem explicar o porquê, né??!)

f)AB(\u2192) + FG(\u2192)

AB(\u2192) já está em função de AB(\u2192) , então sorte a nossa! AGORA, USANDO O TRUQUE DA IGUALDADE DE VETORES: FG(\u2192) é igual à BC(\u2192) .

AB(\u2192) + FG(\u2192) = AB(\u2192) + AC(\u2192) - AB(\u2192)

g)2AD(\u2192) - FG(\u2192) - BH(\u2192) + GH(\u2192)

Esse aí já tá apelando :(

Se olharmos bem para AD(\u2192) e FG(\u2192) nós podemos perceber que são a mesma coisa, então podemos entender a subtração de 2AD(\u2192) - FG(\u2192) como 2AD(\u2192) - AD(\u2192) e reduzimos a soma à AD(\u2192) - BH(\u2192) + GH(\u2192). Vamos partir daí.

Vamos por partes

AD(\u2192) = BC(\u2192) = - AB(\u2192) + AC(\u2192)

-BH(\u2192) = HB(\u2192) = HD(\u2192) + DA(\u2192) + AB(\u2192) . Veja que há diversas maneiras de realizar esta soma para chegar em HB(\u2192) , mas eu optei pela soma que já inclui direto um dos três vetores principais( AB(\u2192) ) e por consequência nos dá menos trabalho. GH(\u2192) = -AB(\u2192)

Com isso temos a soma desse modo: -AB(\u2192) + AC(\u2192) + HD(\u2192) +DA(\u2192) + AB(\u2192) - AB(\u2192) .

Para evitar a fadiga, nós usamos um truque escondido visto apenas por aquelas almas treinadas no passei direto.

Pensa comigo, se ( - AB(\u2192) + AC(\u2192) ) é igual à AD(\u2192) e nós temos DA(\u2192) na soma, que é igual à - AD(\u2192) , nós podemos cortar um pedação da soma e ficamos com apenas: HD(\u2192) + AB(\u2192) - AB(\u2192). AB(\u2192) - AB(\u2192 ) é igual à nada, obviamente.

Temos então, senhoras e senhores, apenas HD(\u2192) .

HD(\u2192) = FB(\u2192) = -AF(\u2192) + AB(\u2192 ). Tcharaaam!!

Exercício 2

Dado um triângulo \u2206ABC, sejam M, N, P os pontos médios dos segmentos AB, BC e CA respectivamente. Exprima os vetores BP(\u2192) , AN(\u2192) e CM(\u2192) em função dos vetores AB(\u2192) e AC(\u2192).

Vamos começar desenhando o triângulo, ou só imagine ele mesmo que já vai servir.

Começando por BP(\u2192) nós poderíamos escrever como BC(\u2192) + CP(\u2192) , mas isso seria contra produtivo, porque teríamos que destrinchar dois termos. Agora, fazendo essa soma como - AB(\u2192) + AP , nós só precisamos encontrar AP(\u2192) .

P por ser ponto médio de AC(\u2192) , sabemos que AP(\u2192) = \ufeff 1 2 \frac{1}{2} 2 1 \u200b \ufeff AC( \u2192) .

Então BP(\u2192) = -AB(\u2192) + \ufeff 1 2 \frac{1}{2} 2 1 \u200b \ufeff AC( \u2192) .

AN(\u2192) = AC(\u2192) + BN(\u2192) . BN(\u2192) = \ufeff 1 2 \frac{1}{2} 2 1 \u200b \ufeff BC( \u2192), BC(\u2192) por sua vez pode ser escrito como a subtração AC(\u2192) - AB(\u2192) .

Então AN(\u2192) = AC(\u2192) + \ufeff 1 2 \frac{1}{2} 2 1 \u200b \ufeff (AC( \u2192 ) - AB( \u2192)) .

CM(\u2192) = CA(\u2192) + AM(\u2192) = -AC(\u2192) + \ufeff 1 2 \frac{1}{2} 2 1 \u200b \ufeff AB( \u2192)

Exercício 3

Dado um quadrilátero ABCD, tal que AD(\u2192) = 5u, BC(\u2192) = 3u e tal que AB(\u2192) = v .

a) determine o lado CD(\u2192) e as diagonais BD(\u2192) e CA(\u2192) em função de u e v

--------> CD(\u2192) = -BC(\u2192) - AB(\u2192) + AD(\u2192) = -3u - v + 5u

--------> BA(\u2192) = -AB(\u2192) + AD(\u2192) = - v + 5u

--------> CA(\u2192) = - BC(\u2192) - AB(\u2192) = -3u - v

b) ABCD é um trapézio?

Um trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos. Basta provar que há dois lados paralelos.

Um vetor i é paralelo a um vetor j caso haja um número x tal que i =xj.

Se olharmos para AD(\u2192) e para BC(\u2192), percebemos que ambos são formados pelo mesmo vetor( u ) porém multiplicados por diferentes escalares. Logo são logicamente paralelos

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