semelhança de triangulos

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Matemática 
 
Semelhança de Triângulos 
 
Exercícios 
 
1. A sombra de um poste vertical, projetada pelo Sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo 
instante, a sombra de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. A altura do poste é: 
a) 6 m 
b) 7,2 m 
c) 12 m 
d) 20 m 
e) 72 m 
 
 
2. A figura abaixo tem as seguintes características: 
- o ângulo E é reto; 
- o segmento de reta AE é paralelo ao segmento BD; 
- os segmentos AE, BD e DE, medem, respectivamente, 5, 4 e 3. 
 
 
O segmento AC, em unidades de comprimento, mede 
a) 8. 
b) 12. 
c) 13. 
d) √61. 
e) 5√10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
3. Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de 
um rio, cuja largura é constante e igual a 2,5 km, e a distâncias de 2,5 km e de 5 km, respectivamente, 
de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de 
economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, 
perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e 
disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo 
em linha pontilhada: 
 
Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK' = 18km. Calcule a que 
distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, 
o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento 
mínimo. 
 
 
4. Às 10h15 min de uma manhã ensolarada, as sombras de um edifício e de um poste de 8 metros de 
altura foram medidas ao mesmo tempo. Foram encontrados 30 metros e 12 metros, respectivamente, 
conforme a ilustração abaixo. 
 
De acordo com as informações acima, a altura h do prédio é de: 
a) 12 metros. 
b) 18 metros. 
c) 16 metros. 
d) 14 metros. 
e) 20 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
5. Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos, respectivamente, de AB e AC, de forma 
que AD = 4, DB = 8, DE = x, BC = y, e se DE||BC, então: 
 
a) y = x + 8 
b) y = x + 4 
c) y = 3x 
d) y = 2x 
 
 
6. Em um dia ensolarado, às 10h da manhã, um edifício de 40 metros de altura produz uma sombra de 
18 metros. Nesse mesmo instante, uma pessoa de 1,70 metros de altura, situada ao lado desse 
edifício, produz uma sombra de 
a) 1,20 metro. 
b) 3,77 metros. 
c) 26,47 centímetros. 
d) 76,5 centímetros. 
e) 94 centímetros. 
 
 
7. A sombra de uma torre mede, 4,2 metros de comprimento. Na mesma hora, a sombra de um poste de 
3 metros de altura é de 12 centímetros de comprimento. Qual é a altura da torre? 
a) 95 m. 
b) 100 m. 
c) 105 m. 
d) 110 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
8. Determine o valor de x no triângulo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Na figura a seguir, os ângulos C = E =100o . Os ângulos B = D =50o , BC = 2 cm, AB = 4 cm, DE = 6 cm e 
AE = 9 cm 
Calcule AC = x e AD = y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. O soldado Ryan reside no 13º andar de um prédio de 15 andares. Sabe-se a distância entre o piso do 
andar onde mora o soldado Ryan e o piso térreo é de 39 m. Uma pessoa com altura de 1,8 m na parada 
ao lado desse edifício projeta uma sombra de 30 cm. Neste mesmo instante, a sombra projetada pelo 
edifício onde mora o soldado Ryan é igual a: 
a) 7 m 
b) 8 m 
c) 9 m 
d) 10 m 
e) 11 m 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
Gabarito 
 
1. D 
x 12 
1 0,6 
Multiplicando em cruz, temos: 
0,6x=12 
x=12/0,6 
x=20 
20m 
 
2. E 
Desde que os triângulos ACE e BCD são semelhantes por AA, vem 
CD/CE = BD/AE 
CD/ (CD+3) = 4/5 
CD = 12 
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ACE, encontramos 
AC² = AE² + CE² 
AC² = 5² + 15² 
AC = 5 √10 
 
3. DK = 12 km 
Considere a figura. 
 
O trajeto ACDB tem comprimento mínimo quando B, D e H são colineares. Com efeito, se D' é um ponto 
da reta DK e C' é o pé da perpendicular baixada de D' sobre a reta HK', então, pela Desigualdade Triangular, 
BD' + D'H + BD' + AC' > BD + DH = BH. 
Portanto, como os triângulos BDK e DHC são semelhantes por AA, segue-se que: 
DK/CH = BK/CD 
DK/ (18-DK) = 5/2,5 
DK = 12 km 
 
4. E 
Para obter a altura, basta aplicar a semelhança de triângulos, e neste caso, temos a seguinte relação: 
ℎ
30
=
8
12
 
h = 20 metros. 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
5. C 
Sendo DE||BC, tem-se que os triângulos ABC e ADE são semelhantes por AA. Portanto, segue que 
𝐴𝐷
𝐴𝐵
=
𝐷𝐸
𝐵𝐶
 
4
12
=
𝑥
𝑦
 
y = 3x 
 
6. D 
 
 
Considerando que x é a medida da sombra da pessoa, podemos escrever que: 
40 1,70
40x 30,6 x 0,765 m
18 x
=  =  = 
 
Portanto, a medida da sombra da pessoa será: 
x 0,765 m 76,5 cm= = 
 
7. C 
Por semelhança de triângulos: 
ℎ
4,2
=
3
0,12
 
h = 105 m. 
 
8. A razão é entre os triângulos ABC e AMN, logo: 
𝑥
30
=
8
10
 
10x =240 
x = 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
9. Os triângulos ABC e ADE são semelhantes nas seguintes proporções: 
9
𝑥
=
6
2
 
6x = 18 
x = 3 
 
𝑦
4
=
6
2
 
2y = 24 
y = 12 
 
 
10. B 
Temos que Ryan mora no 13º andar e que a distância do seu piso até o piso térreo é de 39 metros. 
Considerando que cada andar é da mesma altura, temos 12 andares mais o térreo, ou seja, 13 
pavimentos. 
Se são 39 metros, e 13 pavimentos, cada pavimento mede 3 metros de altura. Somando-se as alturas 
dos andares 13, 14 e 15, temos que o edifício mede 48 metros. 
Sabendo que o sol forma o mesmo angulo com o prédio e com a pessoa, podemos calcular usando 
semelhança de triângulos.