Experimento Fisica2 -Metodo dos Minimos Quadrados MMQ

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Universidade Federal da Bahia 
Instituto de Física 
Departamento de Física Geral 
FISD41– Física Experimental II 
Turma:T02 Data: 14/03/2021 
Aluna: Adrielle Nascimento Brito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos dos Mínimos Quadrados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Sem usar régua, determine a área (A) e o raio (R) de cada círculo 
 
Áreas dos Círculos: 
Área 1 = π.r² Área 2 = π.r² Área 3 = π.r² 
A1 = π.10² A2 = π.20² A3 = π.15² 
A1 = 314.159mm² A2 = 1.256,637mm² A3 = 706.858mm² 
 
Área 4 = π.r² Área 5 = π.r² 
A4 = π.17,5² A5 = π. 8,5² 
A4 = 962.113mm² A5 = 226.980mm² 
 
Como a utilização do Método dos Mínimos Quadrados, faremos o ajuste de uma reta. 
A partir do conjunto de pontos (R e A) que desejamos ajustar: 
De acordo com as equações (a) e (b) devemos calcular as somas de R𝑖, A𝑖, R𝑖 .A𝑖, R𝑖² A𝑖² 
 
 Círculo 1 Círculo 2 Círculo 3 Círculo 4 Círculo 5 Σ 
R𝑖 10 20 15 17.5 8.5 Σ𝑖n R𝑖= 71 
A𝑖 314.159 1.256,637 706,858 962.113 226,980 Σ𝑖nA𝑖= 
3.468,747 
 
R𝑖 .A𝑖 3.141,59 25.132,74 10.632,87 16.836,98 1.929,33 Σ𝑖n R𝑖.A𝑖 = 
57.673,508 
R𝑖² 100,00 400,00 225,00 306,250 72,250 Σ𝑖n R𝑖² = 
1.103,500 
A𝑖² 98.695,88 1.579.136,55 502.479,66 925.661,42 
 
51.519,92 Σ𝑖n A𝑖²= 
3.157.493,43 
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Os melhores valores para a e b (e portanto a melhor reta). Para n = 5 
a = [Σ𝑖n R𝑖] . [Σ𝑖nA𝑖] – n [Σ𝑖n R𝑖.A𝑖] 
 _______________________________________ = 88,32 
 [Σ𝑖n R𝑖]² - n [Σ𝑖n R𝑖²] 
 
b = [Σ𝑖n R𝑖.A𝑖]. [Σ𝑖n R𝑖] – [Σ𝑖n R𝑖²].[ Σ𝑖nA𝑖] 
 _______________________________________________ = - 560,45 
 [Σ𝑖n R𝑖]² - n[Σ𝑖n R𝑖²] 
 
Logo, pelas eqs. de a e b , teremos: 
a = 88,32 
 b = - 560,45 
y = 88,32x – 560,45 Função Potência. 
 
 
 
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Ajuste de dados pelo método dos mínimos quadrados aplicando as transformações 
logarítmicas 
às grandezas A e R 
 
 
Obtendo os valores dos coeficientes a e b, a partir das equações a seguir: 
 
a = [Σ𝑖n R𝑖] . [Σ𝑖nA𝑖] – n [Σ𝑖n R𝑖.A𝑖] 
 _______________________________________ = 2,0 
 
 [Σ𝑖n R𝑖]² - n [Σ𝑖n R𝑖²] 
 
b = [Σ𝑖n R𝑖.A𝑖]. [Σ𝑖n R𝑖] – [Σ𝑖n R𝑖²].[ Σ𝑖nA𝑖] 
 _______________________________________________ = 0,49 
 
 [Σ𝑖n R𝑖]² - n[Σ𝑖n R𝑖²] 
Logo, pelas eqs. de a e b , teremos: 
a = 2.0080x 
b = 0.4878 
y=2.0080x+0.4878 
 Por que não é indicado aplicar as expressões (11) e (12) da Apostila MMQ do IF UFBA, 
obtidas pelo Método dos Mínimos Quadrados, diretamente às grandezas A e R? 
Pois o MMQ, se trata de uma técnica que permite obter bons resultados no ajuste de curvas, ou 
seja, indicará os melhores pontos para obtenção da equação da reta (melhor reta), além de 
representar um determinado conjunto de pontos, cuja relação entre eles é linear. Tendo em 
vista que a área (A) e o raio (R) apresentam uma a relação de potência, a área do círculo é um 
valor numérico diretamente proporcional ao quadrado do raio e à constante π. Logo, deve-se 
primeiramente linearizar esse conjunto de dados como foi realizado anteriormente. 
 Círculo 1 Círculo 2 Círculo 3 Círculo 4 Círculo 5 Σ 
𝐿𝑜𝑔R𝑖 1 1,30 1,18 1,24 0,93 Σ𝑖n R𝑖= 5,65 
𝐿𝑜𝑔A𝑖 2.497 3,099 2,849 2,983 2,356 Σ𝑖nA𝑖= 13,78 
𝐿𝑜𝑔R𝑖 𝐿𝑜𝑔A𝑖 2.497 4,028 3,361 3,699 2,19 Σ𝑖n R𝑖.A𝑖= 15,78 
(𝐿𝑜𝑔R𝑖) ² 1 1,69 1,39 1,58 0,86 Σ𝑖n R𝑖²= 6,52 
(𝐿𝑜𝑔A𝑖) ² 6.235 9,603 8,116 8,898 5,551 Σ𝑖nA𝑖²= 38,403 
https://ava.ufba.br/mod/url/view.php?id=468283
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A expressão encontrada no item 4 é a que você esperava? Se os valores das constantes 
não foram exatamente aqueles esperados, como você justifica? 
Sim, pois os resultados teóricos obtidos indicam a relação entre A e R, respectivamente área e 
o Raio, demonstrando uma relação de potência. Os valores obtidos apresentam um grau de 
incerteza, visto o experimento não foi realizado num laboratório e sem a utilização de 
instrumentos que possibilita uma precisão maior.