Estatística Bivariada

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Estatística
Amostras bivariadas
Reta de mínimos quadrados
O essencial
Dadas duas variáveis estatísticas quantitativas 𝑥 e 𝑦 em determinada 
população e uma amostra 𝐴 de dimensão 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 dessa população 
cujos elementos estão numerados de 1 a 𝑛, designa-se por amostra 
bivariada das variáveis estatísticas 𝒙 e 𝒚, ou simplesmente 
amostra de dados bivariados (quantitativos), a sequência 
𝒙𝟏, 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 , … , 𝒙𝒏, 𝒚𝒏 , que se representa por (𝑥, 𝑦)
~
e tem
dimensão 𝑛.
Amostra de dados bivariados
Fixado um referencial ortogonal num plano, um 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 e uma amostra 
de dados bivariados (𝑥, 𝑦)
~
= 𝑥1, 𝑦1 , 𝑥2, 𝑦2 , … , 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 , o conjunto 
dos pontos 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 , … , 𝑃𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) designa-se por nuvem 
de pontos.
Nuvem de pontos (diagrama de dispersão)
Dada uma amostra de dados bivariados, a variável considerada 
dependente designa-se por variável resposta e a variável 
independente por variável explicativa.
Variável explicativa e variável resposta
Fixado um referencial ortonormado de um plano e dados um número 
natural 𝑛, uma sequência de pontos 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 , … , 𝑃𝑛 𝑥𝑛, 𝑦𝑛
desse plano e uma reta 𝑡 de equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅, a quantidade 
𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏, representa-se por 𝑒𝑖 e designa-se por desvio vertical do 
ponto 𝑃𝑖(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) em relação à reta 𝒕.
Desvios verticais
Fixado um referencial ortogonal de um plano e dados um número 
natural 𝑛, uma sequência 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 , … , 𝑃𝑛 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 de 
pontos desse plano e uma reta 𝑡 de equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅, 
as condições 
 
𝑖=1
𝑛
𝑒𝑖 = 0 e 𝑦 − 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0, onde 𝑥 =
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛
e 𝑦 =
 𝑖=1
𝑛 𝑦𝑖
𝑛
são equivalentes.
Isto é, a soma de desvios verticais dos pontos 𝑃𝑖(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) em relação 
à reta 𝑡 é nula se, e somente se, o ponto de coordenadas ( 𝑥, 𝑦)
pertencer à reta 𝑡.
Propriedade
Fixado um referencial ortonormado num plano, 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, uma 
sequência de pontos 𝑃1 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2, 𝑦2 , … , 𝑃𝑛 𝑥𝑛, 𝑦𝑛 não 
pertencentes a uma mesma reta vertical, e uma reta 𝑡 de equação 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 e 𝑏 = 𝑦 − 𝑎 𝑥, a função definida em 𝐼𝑅 pela 
expressão 𝑓 𝑎 = 𝑖=1
𝑛 𝑒𝑖
2 = 𝑖=1
𝑛 𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏
2 atinge um mínimo
absoluto no ponto 𝑎 =
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑛 𝑥 𝑦
𝑆𝑆𝑥
.
A reta 𝑡, com declive 𝑎 e ordenada na origem 𝑏, assim determinados, 
designa-se por reta dos mínimos quadrados da sequência de 
pontos.
Reta dos mínimos quadrados
Dado um número natural 𝑛 e uma amostra de dados bivariados
quantitativos 𝑥, 𝑦 ,
~
designa-se por coeficiente de correlação 
linear, e representa-se por 𝑟, o quociente:
𝒓 =
 𝒊=𝟏
𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 (𝒚𝒊 − 𝒚)
𝑺𝑺𝒙𝑺𝑺𝒚
Coeficiente de correlação linear
Dado um número natural 𝑛 e uma amostra de dados bivariados
quantitativos 𝑥, 𝑦 ,
~
sendo 𝑟 o coeficiente de correlação linear e 𝑎 o 
declive da reta dos mínimos quadrados, tem-se: 
𝒓 = 𝒂
𝑺𝑺𝒙
𝑺𝑺𝒚
Propriedade
O coeficiente de correlação, 𝑟, é tal que 𝑟 ≤ 1, assumindo o valor 1 
unicamente nos casos em que os pontos 𝑃𝑖 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 pertencem 
à mesma reta.
A associação linear entre as variáveis estatísticas é positiva se 𝑟 > 0, 
negativa se 𝑟 < 0 e é tão mais forte quanto mais próximo de 1 estiver 
𝑟 .
Associação linear
positiva forte
Associação linear
negativa forte
Variáveis 
independentes