Exercicios de Espaço amostral e probabilidade

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Instituto de Matemática - INMA/UFMS
Primeira Lista de Probabilidade e Estat́ıstica - Engenharia Civil
1. Descrever o espaço amostral (S) a cada um dos experimentos a seguir:
(1) Lançam-se dois dados honestos e observam-se os números nas faces voltadas
para cima;
(2) Cada uma das três peças usinadas é classificada como acima da especificação
(a) e abaixo da especificação (b) padrão para a peça;
(3) Chamadas são repetidamente feitas em uma linha telefônica ocupada até que
uma conexão seja alcançada;
Resposta:
S1 = {(1, 1); (1, 2); ...; (6, 6)}.
S2 = {(a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (b, a, a); (b, b, a); (b, a, b); (a, b, b); (b, b, b)}.
Sejam c =conectada e b =ocupada, logo S3 = {c; bc; bbc; bbbc; bbbbc; ...}.
2. Descrever o espaço amostral (S) e eventos associados a cada um dos experimentos
a seguir:
E1: Lançar uma moeda três vezes, sucessivamente, e anotar a sequência de caras
(c) e coroas (k).
A1: Sair pelo menos duas caras.
E2: Numa linha de produção conta-se o número de peças defeituosas num peŕıodo
de 1 hora.
A2: Obter menos de 3 defeituosas.
E3: Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até queimarem.
A3: O tempo de vida da lâmpada é inferior a 30 horas.
E4: Um fabricante produz um determinado artigo. Da linha de produção são reti-
rados 3 artigos e cada um é classificado como bom (b) ou defeituoso (d).
A4: Pelo menos dois artigos são bons.
Respostas:
S1 = {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c); (k, k, c); (k, c, k); (c, k, k); (k, k, k)}.
A1 = {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c)}.
S2 = {0; 1; 2; 3; ....;N.}, em que N é o número máximo de peças defeituosas.
A2 = {0; 1; 2}.
S3 = {t ∈ <; t > 0}.
S3 = {t ∈ <; 0 < t < 30}.
S4 = {(b, b, b); (b, b, d); (b, d, b); (d, b, b); (b, d, d); (d, b, d); (d, d, b); (d, d, d)}.
A4 = {(b, b, b); (b, b, d); (b, d, b); (d, b, b)}.
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3. Quatro estudantes de Engenharia Civil da UFMS são selecionados aleatoriamente
em uma aula de Probabilidade e Estat́ıstica. Liste os elementos do espaço amos-
tral S1 usando a letra m para representar estudantes do sexo masculino e f para
feminino. Defina um segundo espaço amostral S2, onde os elementos representam o
número de estudantes do sexo feminino selecionados.
Respostas:
S1 = (mmmm); (mmmf); (mmfm); (mfmm); (fmmm); (mmff); (mfmf)
(mffm); (fmfm); (ffmm); (fmmf); (mfff); (fmff); (ffmf); (fffm); (ffff).
S2 = {0, 1, 2, 3, 4}.
4. Sejam A, B e C três eventos quaisquer. Estabeleça uma expressão para os eventos
abaixo:
(a) A e B ocorrem;
(b) A ou B ocorrem;
(c) B ocorre, mas A não ocorre;
(d) A não ocorre;
(e) não ocorre A e não ocorre B;
(f) A e B ocorrem, mas C não corre;
(g) somente A ocorre, mas B e C não ocorrem.
Respostas:
(a)A ∩B; (b)A ∪B; (c)B ∩ A; (d)A;
(e)A ∩B; (f)A ∩B ∩ C; (g) A ∩B ∩ C.
5. Uma balança digital é usada para fornecer pesos em gramas (considerando só números
inteiros não-negativos).
(a) Qual o espaço amostral para esse experimento? Sejam A o evento em que um
peso excede 11 gramas; B o evento em que um peso é menor que ou igual a 15
gramas e C o evento em que um peso é maior que ou igual a 8 gramas e menor que
12 gramas. Descreva os seguintes eventos:
(b)A ∪B; (c)A ∩B; (d)A; (e)A ∪B ∪ C; (f)A ∪ C;
(g)A ∩B ∩ C; (h)B ∩ C; (i)A ∪ (B ∩ C).
Respostas:
(a)S = {0; 1; 2; 3; ....}; (b)A ∪ B = {0; 1; 2; 3; ....}; (c)A ∩ B = {12; 13; 14; 15};
(d)A = {0; 1; 2; ...; 11}; (e)A ∪ B ∪ C = {0; 1; 2; 3; ....}; (f)A ∪ C = {0; 1; 2; 3; ...; 7};
(g)A ∩B ∩ C = φ; (h)B ∩ C = φ; (i)A ∪ (B ∩ C) = {8; 9; 10; 11; ....}.
6. Três componentes estão conectados para formar um sistema conforme exibido na
figura a seguir. Como os componentes no subsistema 2-3 estão conectados em para-
lelo, esse subsistema funcionará se ao menos um dos dois componentes individuais
funcionar. Para que todo o sistema funcione, o componente 1 deve funcionar, bem
como o sistema 2-3.
Figura 1: Sistema dos componentes.
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O experimento consiste em determinar a condição de cada componente (sucesso
[S] para um componente que funciona bem e falha [F] para o componente que não
funciona).
(a) Que resultados estão contidos no evento A para que exatamente dois dos três
componentes funcionem?
(b) Que resultados estão contidos no evento B para que ao menos dois componentes
funcionem?
Respostas:
(a)A = {SSF ;SFS;FSS}; (b)B = {SSF ;SFS;FSS;SSS}.
7. Dados P (A) = 1/2; P (B) = 3/8 e P (A ∩B) = 1/8. Calcule:
(a) P (A ∪B); (b) P (A ∩B); (c) P (A ∪B)
(d) P (A ∩B); (e) P (A ∩B).
Respostas:
(a)0.75; (b)0.25; (c)0.875; (d)0.375. (e)0.25.
8. Suponha que P (A|B) = 0.4 e P (B) = 0.5. Calcule P (A ∩B).
Resposta: P (A ∩B) = 0.3.
9. Uma associação de indústrias transformadoras de resinas plásticas é composta de
20 empresas que produzem sacos plásticos (S), 10 que produzem garrafas (G), 8 que
produzem utenśılios domésticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Ao
escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que:
(a) seja uma indústria que produza sacos plásticos ou utenśılios domésticos;
(b) seja uma indústria produtora de sacos plásticos ou brinquedos;
(c) não seja uma indústria que produza garrafas.
Respostas:
(a)28/40; (b)22/40; (c) 30/40.
10. Uma sala de aula de Engenharia consiste em 25 estudantes de Engenharia de
Produção, 10 de Computação, 10 de Elétrica e 8 de Engenharia Civil. Se uma
pessoa é selecionada aleatoriamente pelo professor para responder a uma pergunta,
determine a probabilidade de que o estudante escolhido seja:
(a)um estudante de Engenharia de Produção;
(b)um estudante de Engenharia Civil ou Elétrica.
Respostas: (a) 25/53; (b) 18/53.
11. Um aluno vai se formar em Engenharia Civil no final do semestre. Depois de ser
entrevistado por duas empresas de construção civil, ele avalia que a probabilidade
de conseguir uma oferta da empresa A é de 0.8 e da empresa B é de 0.6. Se, por
outro lado, ele crê que a probabilidade de conseguir uma oferta das duas empresas
é de 0.5, qual é a probabilidade de que ele consiga uma oferta de pelo menos uma
das empresas?
Resposta: 0.9.
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12. Certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperra-
mento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha que
o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro
vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de
que a falta seja devida a cada uma dessas circunstâncias?
Respostas: 8/13, 4/13 e 1/13.
13. Uma urna U1 contem 5 bolas brancas e 2 pretas; outra urna U2 contem 3 bolas
brancas e 6 bolas pretas; e outra urna U3 contem 4 bolas brancas e 4 bolas pretas.
Tira-se uma bola de cada urna. Calcular a probabilidade de que saiam uma bola
branca e duas bolas pretas? Resposta: 8/21.
14. Certo motor de um Peneirador elétrico tem duas lâmpadas que podem estar ace-
sas ou apagadas, tendo sido observadas as seguintes probabilidades apresentada no
quadro adiante. O quadro mostra por exemplo, que ambas as lâmpadas estavam
simultaneamente apagadas 30% do tempo.
Lâmpada 1 Lâmpada 2
Acesa Apagada
Acesa 0.15 0.45
Apagada 0.10 0.30
Pergunta-se:
(a) O fato da lâmpada 1 acesa é independente da lâmpada 2 acesa? Justifique sua
resposta.
(b) O fato da lâmpada 2 apagada é independente da lâmpada 2 acesa? Justifique
sua resposta.
Respostas:
(a)Sim; (b)Não.
15. Uma associação de indústrias transformadoras de resinas plásticas é composta de
20 empresas que produzem sacos plásticos (S), 10 que produzem garrafas (G), 8 que
produzem utenśılios domésticos (U) e 2 que se encarregam de brinquedos (B). Ao
escolhermos uma empresa ao acaso, achar a probabilidade de que:
(a) seja uma indústria que produza sacos plásticos ou utenśılios domésticos;
(b) seja uma indústria produtora de sacos plásticos ou brinquedos;
(c) não seja uma indústria que produza garrafas.
Respostas:
(a)28/40; (b)22/40; (c)30/40.
16. Amostras de emissões de três fornecedores são classificadoscom relação a satisfazer
as especificações de qualidade do ar. Os resultados de 100 amostras são resumidos
a seguir:
Fornecedor Conforme
Sim Não
I 22 8
II 25 5
III 30 10
4
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor I e B o evento em
que uma amostra atenda as especificações. Se uma amostra aleatória for selecionada
ao acaso, determine as seguintes probabilidades:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A); (d)P (A ∪B); (e)P (A ∩B); (f)P (A ∪B).
Respostas:
(a)0.3; (b)0.77; (c)0.7; (d)0.22; (e)0.85; (f)0.92.
17. Discos de plástico de policabornato, provenientes de um fornecedor, são analisados
com relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados de 100 discos estão
resumidos a seguir:
Resistência a arranhões Resistência a choque
Alta Baixa
Alta 70 9
Baixa 16 5
(a) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua resistência
a arranhões ser alta e de sua resistência a choque ser alta?
(b) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua resistência
a arranhões ser alta ou de sua resistência a choque ser alta?
(c) Considere o evento em que um disco tenha alta resistência a arranhões e o evento
em que um disco tenha alta resistência a choque. Esses dois eventos são mutuamente
excludentes (exclusivos)?
Respostas:
(a)0.70; (b)0.95; (c)Não.
18. As análise de eixos para um compressor está resumida de acordo com as especi-
ficações:
Atende aos requerimentos de acabamento da superf́ıcie Atende aos requerimentos de aspecto arrendondado
Sim Não
Sim 345 5
Não 12 8
(a) Se o eixo for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de o eixo atender
aos requerimentos da superf́ıcie?
(b) Qual é a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de
acabamento da superf́ıcie ou aos requerimentos de aspecto arredondado?
(c) Qual é a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de aca-
bamento da superf́ıcie ou não atender aos requerimentos de aspecto arredondado?
(d) Qual é a probabilidade de o eixo relacionado atender tanto aos requerimentos
de acabamento da superf́ıcie como ao de aspecto arredondado?
Respostas:
(a)350/370; (b)362/370; (c)358/370; (d)345/370.
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Resistência a arranhões Resistência a choque
Alta Baixa
Alta 70 9
Baixa 16 5
19. Discos de plástico de policabornato, provenientes de um fornecedor, são analisados
com relação à resistência a arranhões e a choque. Os resultados de 100 discos estão
resumidos acima:
Seja A o evento em que um disco tenha alta resistência a choque e B o evento em que
um disco tenha alta resistência a arranhões. Determine as seguintes probabilidades:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A|B); (d)P (B|A).
Respostas:
(a)0.86; (b)0.79; (c)0.8861; (d)0.8140.
20. Amostras de uma peça de alumı́nio fundido são classificadas com base no acaba-
mento (em micropolegadas) da superf́ıcie e nas medidas de comprimento. Os resul-
tados de 100 peças são resumidos a seguir:
Resistência a arranhões Resistência a choque
Alta Baixa
Alta 70 9
Baixa 16 5
Seja A o evento em que um disco tenha excelente acabamento na superf́ıcie e B o
evento em que um disco tenha excelente comprimento. Determine:
(a)P(A); (b)P(B); (c)P (A|B); (d)P (B|A).
Respostas:
(a)0.82; (b)0.90; (c)0.889; (d)0.9757.
21. A tabela a seguir resume a análise de amostras de aço galvanizado em relação ao
peso de recobrimento e à rugosidade da superf́ıcie:
Rugosidade da superf́ıcie Peso do revestimento
Alta Baixa
Alta 12 16
Baixa 88 34
(a) Se o peso de recobrimento de uma amostra for elevado, qual será a probabilidade
de a rugosidade da superf́ıcie ser elevada?
(b) Se a rugosidade da superf́ıcie de uma amostra for elevada, qual será a probabi-
lidade de o peso de recobrimento de uma amostra ser elevado?
(c) Se a rugosidade da superf́ıcie de uma amostra for baixa, qual será a probabilidade
de o peso de recobrimento de uma amostra ser baixo?
Respostas:
(a)12/100; (b)12/28; (c)34/122.
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22. Numa faculdade 30% dos homens e 20% das mulheres estudam Engenharia Civil.
Além disso, 45% dos estudantes são mulheres. Se um estudante selecionado aleatori-
amente está estudando Engenharia Civil, qual a probabilidade de que este estudante
seja mulher?
Resposta: 0.3529.
23. A probabilidade é 1% de que um conector elétrico, que seja mantindo seco, falhe
durante o peŕıodo de garantia de um Compactador. Se o conector for molhado, a
probabilidade de falha durante o peŕıodo de garantia será de 5%. Se 90% dos conec-
tores forem mantidos secos e 10% forem mantidos molhados, qual será a proporção
de conectores que falhará durante o peŕıodo de garantia?
Resposta: 0.014.
24. A aspereza nas bordas de produtos de papel cortado aumenta à medida que as
lâminas de uma faca vão sendo gastas. Somente 1% dos produtos cortados com
novas lâminas tem bordas ásperas, 3% dos produtos cortados com novas lâminas
mediante afiadas exibem rugosidade e 5% dos produtos cortados com novas lâminas
gastas exibem rugosidade. Se 25% das lâminas na fabricação de papel forem novas,
60% forem mediante afiadas e 15% forem gastas, qual será a proporção dos produtos
que exibem uma aspereza nas bordas?
Resposta: 0.028.
25. Se P (A|B) = 0.3; P(B)=0.8 e P(A)=0.3. Os eventos A e B são independentes?
Resposta: Sim.
26. Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação a satisfazer
as especificações de qualidade do ar. Os resultados de 100 amostras são resumidos
a seguir:
Fornecedor Conforme
Sim Não
I 22 8
II 25 5
III 30 10
27. O circuito a seguir opera se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda
para a direita. A probabilidade de cada aparelho funcionar é mostrada. Suponha
que a probabilidade de um dispositivo ser funcional não dependa de se ou não os
outros dispositivos são funcionais. Qual será a probailidade de o circuito operar?
Resposta: 0.9702245.
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do fornecedor I e B o evento
em que uma amostra atenda as especificações.
(a)Os eventos A e B são independentes?
(b)Determine P (B|A)
Respostas:
7
(a)Não; (b)0.733.
28. Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionará in-
dependentemente, quando qualquer coisa indesejável ocorrer. Se cada alarme tem
probabilidade 0.9 de trabalhar eficientemente, qual é a probabilidade de se ouvir o
alarme quando necessário? Resposta: 0.999.
29. Suponha que todos os componentes da figura a seguir tenham a mesma confiabi-
lidade (probabilidade de funcionar) p e funcionem independentemente, obtenha a
confiabilidade do sistema. Resposta: p + 2p2 - 2p3 - p4 + p5.
30. Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para uma empresa de construção
Civil. Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena chance de subes-
timação ou superestimação das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o
comportamento do equipamento produzido em cada fábrica:
Fábrica I Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.01 0.98 0.01
Fábrica II Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.005 0.98 0.015
Fábrica III Subestima Exata Superestima
Probabilidade 0.00 0.99 0.01
As fábricas I, II, III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos uti-
lizados. Escolhemos, ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade
de:
(a) Haver superestimação de medidas.
(b) Sabendo que as medidas dão exatas, ter sido fabricado em III.
(c) Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas.
Respostas:
(a)0.012; (b)0.503 (c)0.199;
31. Uma companhia produz circuitos integrados para uma serra portátil em três fábricas,
I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e III produzem
30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por
estas fábricas não funcione são 0.01, 0.04 e 0.03, respectivamente. Escolhido um
circuito da produção conjunta das três fábricas, Qual a probabilidade de o mesmo
não funcionar?Resposta: 0.025.
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32. Considere a situação do problema anterior, mas suponha agora que um circuito é
escolhido ao acaso e seja defeituoso. Determinar qual a probabilidade de ele ter sido
fabricado por I. Resposta: 0.16.
33. Uma empresa de construção civil produz uma grande variedade de produtos usando
quatro diferentes processos; a mão de obra dispońıvel é suficiente somente para que
apenas um processo seja executado num dado instante. O gerente desta empresa
sabe que a descarga de uma poluição perigosa no rio que passa em volta da mesma,
depende do processo que está em operação. As probabilidades de ocorrer poluição
perigosa para os vários processos, denotando por F uma descarga de poluição pe-
rigosa, são: P(F|A) =0.40; P(F|B) = 0.05; P(F|C) = 0.30; P(F|D) = 0.10. Todos
os outros produtos da empresa são considerados inofensivos. Em um determinado
mês sabe-se que em 20%, 40%, 30% e 10% do tempo respectivamente usam-se os
processos A, B, C e D. Deseja-se saber qual a probabilidade de não termos uma
descarga de poluição perigosa no determinado mês? Resposta: 0.7999.
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