1ª aula de matemática - Explicação de conteúdos

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MATEMÁTICA
Professor cristiano Beraldo
Matemática – 6 ano C
Números
Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal:
-Conjunto dos números naturais
-Sistemas de numeração dos diferentes povos
-Sistema de numeração decimal Indo-Arábico
Composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal
-Leitura, escrita e ordenação de números racionais em sua representação decimal
-Operações com números naturais: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação
-Divisão euclidiana
Múltiplos e divisores de um número natural
Números primos e compostos Construções de fluxogramas
-Critérios de divisibilidade
-Números primos e compostos
-Mínimo Múltiplo Comum entre pelo menos dois números naturais
-Máximo Divisor Comum
-Resolução de problemas com as ideias de
múltiplo e divisor
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
Álgebra
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
Propriedades da igualdade
Noção de equivalência
Geometria
Plano cartesiano: coordenadas cartesianas (1°
quadrante) e representação de deslocamentos no plano cartesiano:
- Plano cartesiano
- Coordenadas cartesianas (1° quadrante)
- Representação e localização de objetos no
plano
Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados:
Plano cartesiano
Pares ordenados
Localização e movimentação de pontos no
primeiro quadrante do plano cartesiano
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
Grandezas e Medidas
Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas: reconhecimento da
congruência dos ângulos e da proporcionalidade dos lados correspondentes:
- Características dos polígonos
- Congruência de ângulos
- Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas
Ângulos: noção, usos e medida
Tipos de ângulos
Classificação de ângulos
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
Primeira Aula de Matemática
(EF06MA01-A) Ler, escrever, comparar, compor, aproximar, decompor e ordenar números naturais de qualquer ordem de grandeza, cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. 
(EF06MA02-A) Identificar os diferentes sistemas de numeração, Egípcios, Babilônico, Romano, Maia, INDO-ARÁBICO, POR MEIO DA HISTÕRIA DA MATEMÁTICA.
(EF06MA02-b) Conhecer e compreender, comparar e diferenciar o uso dos diferentes sistemas de numeração, egípcio, babilônico, romano, maia, bem como as suas respectivas regras de composição.
(EF06MA02-c) reconhecer o sistema de numeração decimal, indo-arábico, a partir da história do número, relacionando com as necessidades humanas.
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
 Sistema de numeração egípcio
Objetivo: reconhecer que a matemática é fruto do desenvolvimento humano a partir do estudo dos diferentes sistemas de numeração de algumas civilizações.
O rio Nilo teve uma grande influência na civilização egípcia, pois era uma região rodeada de desertos, com clima quente e seco. A região próxima ao rio Nilo recebia água do rio durante todo o ano, e no período de chuvas, o rio transbordava, inundando as terras. Quando a enchente passava, ficavam as camadas de limo fertilizante, favorecendo a agricultura. Os egípcios utilizavam a água para irrigar as plantações. Provavelmente com as dificuldades que enfrentam com as questões da terra, tenha favorecido o desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos. Por volta de 3000a.C., os egípcios criaram um sistema de numeração, utilizando os seguintes símbolos: Cada símbolo representa um número. 
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
28/02/2021
O desenvolvimento da escrita no Antigo Egito serviu para o conhecimento e a própria sustentação de variadas facetas dessa antiga civilização. Não se restringindo à invenção de um único sistema gráfico, os egípcios foram responsáveis pela existência de três modos diferentes de escrita: a demótica, compreendida por grande parte da população e utilizada para a realização de negócios; a hieroglífica, empregada nas escritas sagradas e na parede dos túmulos; e o hierática, uma versão simplificada do sistema anterior.
Estabelecendo um interessante contraste com diversas sociedades contemporâneas, a escrita não era uma habilidade acessível para qualquer egípcio. Para o desenvolvimento dessa tarefa, os escribas serviam como profissionais especializados que obtinham tal conhecimento nas escolas mantidas pelo próprio poder real. O interesse do Estado em propagar esse tipo de conhecimento é justificado pelo importante papel desempenhado pelos escribas no controle dos recursos reais.
28/02/2021
Não tendo somente essa destinação econômica e política, a escrita egípcia também possibilitou a elaboração de uma literatura própria daquela civilização. Nos textos encontrados, podemos observar o desenvolvimento de textos variados que poderiam falar sobre importantes questões religiosas, indo até a produção de sátiras do cotidiano. Entre as principais produções literárias, destacamos o “Livro dos Mortos” e a “Sátira das Profissões”.
A natureza restrita ao mundo da leitura e escrita egípcia acabou fazendo com que os escribas formassem uma única classe social dentro da sociedade egípcia. A necessidade de desenvolvimento do comércio, o registro das ações do faraó, a gravação dos escritos sagrados e o controle dos gastos e obras estatais acabavam rendendo uma remuneração significativa para os escribas. Geralmente recebiam frutas, cereais, carnes e a prestação de outros serviços enquanto forma de pagamento.
Há pouco mais de 180 anos foi que a escrita hieroglífica foi finalmente desvendada pelos pesquisadores. Durante o século XIX, em meio às invasões de Napoleão ao Egito, uma equipe de cientistas franceses passou a juntar várias peças arqueológicas repletas daqueles símbolos até então misteriosos. Em 1821, Jean Champollion iniciou a resolução dos diferentes sistemas de escrita egípcios por meio de estudos desenvolvidos em uma lápide de basalto negra conhecida como “Pedra Roseta”.
Por Rainer Sousa
Mestre em História
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
28/02/2021
28/02/2021
28/02/2021
 SISTEMA DE NUMERAÇÃO BABILÔNICO
Objetivo: explorar o sistema babilônio para compreender como utilizavam somente dois símbolos para registrar os números.
Esse sistema é interessante, pois era inédito para a época por ser posicional e bastante complicado, pois o cravo ora podia representar a unidade ora o número de grupos de 60.
Na localização atual do Iraque, há 2000 a.C. era a Mesopotâmia, viviam vários grupos, que travavam constantes guerras pelo domínio da região, eram chamados de babilônios. Os símbolos numéricos eram gravados em tábuas de argila, e para manter sua durabilidade, eram cozidas após os registros serem gravados. A base de contagem era a 60 e utilizavam apenas dois símbolos para representação dos números e não utilizavam nenhum para o zero.
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
28/02/2021
28/02/2021
 SISTEMA DE NUMERAÇÃO BABILÔNICO
Objetivo: explorar o sistema babilônio para compreender como utilizavam somente dois símbolos para registrar os números.
Esse sistema é interessante, pois era inédito para a época por ser posicional e bastante complicado, pois o cravo ora podia representar a unidade ora o número de grupos de 60.
Na localização atual do Iraque, há 2000 a.C. era a Mesopotâmia, viviam vários grupos, que travavam constantes guerras pelo domínio da região, eram chamados de babilônios. Os símbolos numéricos eram gravados em tábuas de argila, e para manter sua durabilidade, eram cozidas após os registros serem gravados. A base de contagem era a 60 e utilizavam apenas dois símbolos para representação dos números e não utilizavam nenhum para o zero.
Professor Cristiano Beraldo
28/02/2021
28/02/2021
Pré-romanos e Roma antiga
Embora os numerais romanos tenham chegado a ser representados por letras do alfabeto latino, foram antes símbolos independentes. Os Etruscos, antecessores dos romanos na península, usavam diversos símbolos diferentes,dentre os quais, por exemplo, ⋔ e ⊕. Usavam também os atuais símbolos I,V, X, L, C, e M. Desses todos somente I e X eram letras de seu alfabeto.
28/02/2021
Hipóteses sobre a origem da numeração romana Marcas de contagem
Por essa hipótese, a prévia numeração Etrusco-Romana em verdade se derivaria dos entalhes (traços retilíneos) das marcas de contagem em varetas, as quais continuaram a ser usadas por pastores Italianos e Dálmatas até o século XIX. Observe-se que os quatro primeiros símbolos da numeração Romana, I, V, X, L são formados por traços retos, podendo até o C ser feito por três traços. Assim, I não descende da letra I mas de um traço transversal entalhado numa vareta. 
28/02/2021
A cada cinco entalhes vinha um corte duplo (um V) e a cada dez entalhes havia um corte em cruz (como um X). Havia entalhes duplos como, por exemplo, ⋀, ⋁, ⋋, ⋌, etc.). Isso produziu um sistema parcialmente posicional: O número Oito numa vara de contagem era representado por 8 entalhes retos, sendo IIIIΛIII ou oito traços (sem o Λ) lado a lado. Isso pode ser simplificado para ΛIII (ou VIII), uma vez que o Λ implica quatro traços antes dele. Assim, dezoito seria o oitavo entalhe depois do primeiro dez, o qual seria abreviado como X, assim sendo XΛIII. De modo similar, o número quatro numa vara era um entalhe reto antes do Λ (V), sendo escrito como IIII ou IΛ (IV). O sistema não era nem aditivo nem subtrativo nessa concepção, mas Ordinal. Com os traços sendo representados por escrita, tem-se a fácil identificação com as letras romanas I, V e X.
28/02/2021
As quantias V ou X sobre a vara implicariam num entalhe adicional, foi o caso de 50 escrito de forma variada como N, И, K, Ψ, U, U, ⋔, etc., mas possivelmente o uso mais frequente foi o “pé de galinha” (ᗐ) com um “I” sobre um “V” . Essa forma do 50 foi “achatada” para ⊥ (um T invertido) ao tempo de Augusto, simplificando-se logo para L. De modo similar, 100 já foi simbolizado de várias formas com traços Ж, ⋉, ⋈, H, ou qualquer outro dos símbolos para 50 com um traço adicional. A forma Ж (X mais I) veio a predominar. Essa já foi também escrita como >I< ou mesmo ƆIC, essa última abreviada como Ɔ ou C, com C vindo a dominar como uma letra do latim "centum".
As centenas para V ou X eram marcadas com algo adicional. Desse modo 500 seria formado por um Ɔ sobreposto a um ⋌ ou ⊢, se tornando um Ð ou um D, já ao tempo de Augusto, com influência da letra D, mais tarde identificado com essa letra. 
28/02/2021
Numa origem alternativa, "mil" era (I ou mesmo CIƆ ou CꟾƆ); daí, a metade de mil, quinhentos, ficou sendo a metade direita do símbolo, ou seja I) ou IƆ ou ꟾƆ, o que pode ter sido convertido para D. Essa, ao menos, foi a etimologia dada a ele depois.
O número 1000 era um X dentro de um quadrado ou um círculo (Ⓧ ou ⊕), que durante a era de Augusto foi parcialmente identificado como a letra grega Φ (phi). Com o tempo, esse símbolo foi mudado para Ψ e também ↀ. Esse último depois evoluiu para ∞, depois ⋈ e finalmente para M, sob influência do Latim “mil”.
28/02/2021
Sinais com as mãos
Alfred Hooper sugeriu uma alternativa para a origem da numeração romana para pequenas quantidades. Hooper defende que os dígitos têm relação com a mão e seus dedos usadas para contagem. Por exemplo, os números I, II, III, IIII correspondem aos números de dedos mostrados para alguém. V representa a mão aberta com quatro dedos juntos e o polegar separado. Os números de 6 a 10 são representadas pelas duas mãos como se segue (mão esquerda, mão direitas): 6 (V, I), 7(V,II), 8(V,III), 9(V,IIII), 10(V,V) e o X resulta tanto pelo cruzamento dos polegares, ou pelas duas mãos juntas em cruz.
Símbolos "metade“
Uma terceira hipótese sobre a origem das derivações diz que as quantias básicas eram I, X, C e Φ (ou ⊕) e que as quantidades intermediárias se derivaram pela tomada de metade desses. A metade de X é V, a metade de C é L e a metade de Φ/⊕ é D.
28/02/2021
Zero
Os romanos desconheciam o zero, introduzido posteriormente pelos árabes, de forma que não existia nenhuma forma de representação deste valor pelo fato de terem apenas como base o início do numeral o 1.
28/02/2021
28/02/2021
Sistemas de numeração Indo-Arábico
Os hindus, que viviam no vale do Rio Indo, onde hoje é o Paquistão, conseguiram desenvolver um sistema de numeração que reunia as diferentes características dos antigos sistemas.
Tratava-se de um sistema posicional decimal. Posicional porque um mesmo símbolo representava valores diferentes dependendo da posição ocupada, e decimal porque era utilizado um agrupamento de dez símbolos.
Esse sistema posicional decimal, criado pelos hindus, corresponde ao nosso atual sistema de numeração, já estudado por você nas séries anteriores. Por terem sido os árabes os responsáveis pela divulgação desse sistema. Ele ficou conhecido como sistema de numeração indo-arábico. Os dez símbolos, utilizados para representar os números, denominam-se algarismos indo-arábicos. São eles:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Veja, na Figura 3.4, “Sistema de numeração Indo-Arábico”, as principais mudanças ocorridas nos símbolos indo-arábicos, ao longo do tempo. 
Figura 3.4. Sistema de numeração Indo-Arábico
	Observe que, inicialmente, os hindus não utilizavam o zero. A criação de um símbolo para o nada, ou seja, o zero, foi uma das grandes invenções dos hindus.
28/02/2021
O CÁLCULO DOS SÉCULOS
Aprenda a realizar o cálculo dos séculos e não se confunda mais com a periodização do tempo feita pelos historiadores.
Você já deve ter pensado o quanto é confuso saber em que século se localiza determinado ano. O ano de 1789 faz parte do século XVII ou do século XVIII? O século XXI se iniciou no ano 2000 ou em 2001? Há um cálculo fácil de ser feito para localizar os anos em seus respectivos séculos. É o que mostraremos nas linhas abaixo.
O motivo disso tudo é que os historiadores necessitam de trabalhar com períodos de tempo mais longos que os utilizados pelas pessoas em seu cotidiano. No dia a dia, usamos muito mais os dias, semanas, meses e anos que os séculos ou os milênios. Para estudar história é necessário dividir o tempo em séculos ou milênios, já que a história humana tem mais de 5 mil anos!
28/02/2021
Vamos ao cálculo:
	A primeira coisa que precisamos saber é que para indicar os séculos os historiadores geralmente utilizam os algarismos romanos (X, II, V etc.), e não os algarismos arábicos (1, 10, 357 etc.). Dessa forma, o século 12 d.C. é representado como século XII d.C.
	Se a data que estiver sendo examinada terminar com dois zeros, o século então corresponde ao(s) primeiro(s) algarismo(s) que estiver à esquerda desse número. Exemplos:
Ano 300 a.C.: O ano 300 a.C. está inserido no século III a.C., já que cortando os dois zeros, 300, resta o número 3.
Ano 1700 d.C.: O ano 1700 d.C. está inserido no século XVII d.C., já que cortando os dois zeros, 1700, resta o número 17.
Ano 2000 d.C.: O ano 2000 d.C. está inserido no século XX d.C., já que cortando os dois zeros, 2000, resta o número 20.
28/02/2021
	Mas quando o número não termina em dois zeros é só eliminar a unidade e a dezena que o compõe, somando o(s) algarismo(s) restante(s) ao número 1. Exemplos:
Ano 1450 a.C.: O ano 1450 a.C. está inserido no século XV a.C., já que eliminando a unidade e a dezena, 1450, e somando o resto com 1, teremos 14+1=15.
Ano 736 d.C.: O ano 736 d.C. está inserido no século VIII d.C., já que eliminando a unidade e a dezena, 736, e somando o resto com 1, teremos 7+1=8.
Ano 1895 d.C.: O ano 1895 d.C. está inserido no século XIX d.C., já que eliminando a unidade e a dezena, 1895, e somando o resto com 1, teremos 18+1=19.
Ano 2001 d.C.: O ano 2001 d.C. está inserido no século XXI d.C., já que eliminando a unidade e a dezena, 2001, e somando o resto com 1, teremos 20+1=21.
	Isso ocorre porque não contamos o ano zero em nosso calendário, iniciando a datação a partir do ano 1. Dessa forma, o século I d.C. só se completou no ano 100 d.C., e não no ano 99 d.C. O século XX d.C. se encerrou em31 de dezembro de 2000 d.C., e não em 31 de dezembro de 1999 d.C.
	Para finalizar, as siglas a.C. e d.C. significam, respectivamente, antes de Cristo e depois de Cristo, pois o calendário que utilizamos, o calendário cristão, tem como divisão o ano de nascimento de Jesus Cristo.
Introdução ao Sistema de Numeração Decimal
O sistema de numeração decimal que usamos é um sistema decimal, pois contamos em grupos de 10. A palavra decimal tem origem na palavra latina, que significa 10. Ele foi inventado pelos Hindus, aperfeiçoados e levado para a Europa pelo Árabes. Daí o nome Indo-Arábico. Além disso, ele serve para contar objetos.
Neste sistema os números são representados por um agrupamento de símbolos que chamamos de algarismos ou dígitos.
Esse sistema de numeração apresenta algumas características:
Utiliza apenas os algarismos indo-arábicos (0 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 ) para representar qualquer quantidade.
Introdução ao Sistema de Numeração Decimal
10 unidades = 1 dezena = 10
10 dezenas = 1 centena = 100
10 centenas = 1 unidade de milhar = 1000
Outra característica é que ele segue o princípio do valor posicional dos algarismos, isto é, cada algarismo tem um valor de acordo com aposição que ele ocupa na representação do numeral.
Temos, então, o seguinte quadro posicional (ou ordens):
	4ª ordem	3ª ordem	2ª ordem	1ª ordem
	Unidade de milhar	Centena de unidades	Dezena de unidades	unidades
Introdução ao Sistema de Numeração Decimal
Observe:
Neste número: 632
O algarismo 2 representa 2 unidades e vale 2 (1ª ordem);
O algarismo 3 representa 3 dezenas, ou seja, 3 grupos de 10 unidades e vale 30 (2ª ordem);
O algarismo 6 representa 6 centenas, ou seja, 6 grupos de 100 unidades e vale 600 (3ª ordem)
Ou seja, 600 + 30 + 2 é igual a 632, que lemos seiscentos e trinta e dois.
28/02/2021
(EF06MA02-F) Compor e decompor números naturais e números racionais em sua representação decimal.
(EF06MA02-G) Ler, escrever e ordenar números racionais na forma decimal com compreensão das principais características do sistema de numeração decimal, utilizando, como recursos, a composição e decomposição e a reta numérica.
Conjunto dos números naturais
Conjunto dos números naturais
	Todo dia, nós realizamos alguma atividade ou vemos alguma coisa que tem a ver com os números. Quase sempre nem refletimos sobre a presença deles em nossa vida, mas eles estão por toda parte. Vamos pensar no nosso dia a dia, de ontem para hoje. Quantas vezes você se envolveu com os números? Pense em momentos e situações em que usou números. 
	Se pensarmos no passado do homem, será que sempre houve essa dependência dos números? Tempos atrás as pessoas não tinham telefone em casa, nem celular, não havia automóveis nas ruas, poucas casas tinham números e o comércio não era tão forte como é hoje. Quanto mais voltamos no tempo, vemos que os números não eram tão necessários como são hoje. Mas desde quando os números existem? Quando, como e por quê foram criados?
28/02/2021
A história dos números se mistura com a história do ser humano
	Para entender a origem dos números, temos que relacioná-la com a história da humanidade. Há cerca de 50 mil anos, as pessoas viviam em grupos pequenos, alimentavam-se da caça e de frutos e raízes que coletavam na natureza. Para se proteger do tempo, dos inimigos e dos animais, moravam em cavernas. Não existia comércio nem dinheiro; os homens não plantavam, não criavam animais e nem construíam casas. 
	Mas, com o passar do tempo, essa forma de vida foi mudando, porque o homem deixou de ser apenas caçador e coletor de alimentos para se tornar criador de animais e agricultor. Assim, passou a capturar animais para domesticá-los e mantê-los como reserva de alimentos e a cultivar plantações. A agricultura e a criação de animais trouxeram várias mudanças para a vida do homem. Passou a se organizar e viver em grupos, o que exigia reserva de alimentos para a população em crescimento. Apareceu o sentimento de propriedade (de animais, da terra e de seus produtos) e o homem começou a desenvolver um comércio simples, baseado num sistema de trocas. No começo, para fazer as contas, o homem usava os dedos, pedras, nós em corda e marcas em osso.
28/02/2021
Cada ovelha uma pedra
	Para que pudesse controlar o rebanho e tivesse certeza de que nenhuma ovelha tinha fugido ou sido comida por algum bicho selvagem, os pastores primitivos usavam pedras. Para cada ovelha que saía para pastar, o pastor separava uma pedra. Depois, colocava as pedras todas em um saquinho. No final do dia, conforme as ovelhas iam voltando para o cercado, ele ia retirando as pedras correspondentes para cada ovelha que voltava. O problema era quando as ovelhas paravam de chegar e sobrava alguma pedra! Era sinal que o pior podia ter acontecido!
28/02/2021
Curiosidade
A palavra cálculo no latim, língua dos antigos romanos, significa pedra. Pelo que estudamos da história dos números, fica clara a ligação de contagem com pedras.
28/02/2021
28/02/2021
	Dessa forma, relacionando coisas com outras coisas, uma a uma (cada ovelha com uma pedra, como vimos no exemplo), o ser humano começou a desenvolver a ideia de número. O corpo humano teve papel muito importante nesse processo, porque se passou a relacionar a contagem com os dedos da mão: cinco dedos podiam equivaler a cinco peixes; os dedos das duas mãos juntos podiam representar dez animais e assim por diante. Por isso, a ligação entre dedos e números está presente até hoje na palavra dígito, que veio do latim digitus = dedo (BRANCO, s.d). 
	Os números também são usados nos cálculos que fazem parte de nosso dia a dia. Muitas das coisas inventadas pelo homem dependem de cálculos matemáticos (IMENES; LELLIS, 1999). A começar pela mesa ou a carteira sobre as quais comemos ou estudamos, que foram primeiramente desenhadas com base em contas. Não escapam dos cálculos o prato, a garrafa, a geladeira, a televisão, o tablet e outros objetos e aparelhos. Quando você anda na rua e observa as casas, os postes, as calçadas, é possível negar a presença da matemática no nosso dia a dia? 
Senso Numérico
A gata e seus quatro gatinhos. Será que os animais sabem contar?
28/02/2021
28/02/2021
 Uma gata possuía quatro filhotes. Certa vez a mamãe gata percebeu que estava faltando um gatinho. Mas como? Será que ela aprendeu a contar? 
 Na verdade, os gatos não são capazes de contar. Porém, eles, assim como outros animais, percebem a diferença em uma quantidade pequena. Por isso, se a gata tivesse muitos gatinhos, ela não notaria que um tinha sumido. 
 Essa capacidade de perceber diferenças em quantidades pequenas tem o nome de senso numérico. Nós, seres humanos, também possuímos o senso numérico, mas também desenvolvemos a contagem. No início, a humanidade também só conhecia os números até três ou quatro. Mesmo hoje em dia, ainda há povos que só dominam números muito pequenos, como é o caso dos pigmeus da África e dos índios botocudos do Brasil (BIGODE, 2000).
28/02/2021
 Em Matemática, o tipo de ligação que vimos antes, para cada ovelha uma pedra, chama-se correspondência um a um, que é, então, ligar cada objeto de um grupo a um objeto de outro grupo. A correspondência um a um foi uma das etapas importantes para o aparecimento da ideia de número: alguma coisa em comum havia entre o saquinho ou monte de pedras e o grupo de ovelhas: quando se nota que a quantidade de pedras correspondia precisamente à quantidade de animais, esses dois conjuntos tinham uma característica em comum: o número de ovelhas ou pedras. Desse modo, as ovelhas ou as pedras são elementos concretos, mas a ideia de número é abstrata (IFRAH, 2005).
A ideia de número 
Curiosidade
Fazendo o corvo perder a conta (e a vida)
28/02/2021
28/02/2021
 Em plena Idade Média, um senhor feudal resolveu matar um corvo que tinha feito ninho em uma das torres de seu castelo e estava sujando tudo por ali, além da fama de ave agourenta que tinha. Por inúmeras vezes tentou surpreender opássaro, mas não conseguia: quando o homem chegava perto, o corvo saía voando do ninho, e ficava observando do alto de uma árvore ao longe. Só voltava para a torre quando não havia ninguém. Outra vez, o senhor decidiu usar um truque: mandou dois homens entrarem na torre, mas um tinha que ficar lá dentro e o outro sair. A ave não se deixou enganar e só regressou quando o segundo homem saiu também. A armadilha foi repetida nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sem resultado. Por último, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto preparava a arma à espera do corvo. Dessa vez, o pássaro perdeu a conta e a vida.
28/02/2021
 As espécies de animais possuem uma noção de quantidade numérica bem pequena. No homem também não é muito diferente, porque, mesmo na nossa espécie, o sentido visual direto do número quase nunca passa do número quatro. Mas o ser humano aprendeu a criar “truques” para ajudar seu sentido de número, como a comparação, o agrupamento ou a própria ação de contar. (CIVITA, 1968).
Conclusão: 
28/02/2021
 Vimos que o senso numérico é uma capacidade que os seres humanos e alguns animais possuem de perceber pequenas quantidades. Num rápido olhar, quase sempre podemos diferenciar um conjunto com cinco balas de outro com seis, mas não conseguimos perceber na hora a diferença entre quinze e dezesseis balas. Nesse caso, precisamos contar. 
Outro exemplo da limitação do senso numérico: 
A ideia de número não depende de contagem
 Mesmo sem precisar contar, podemos ter uma ideia clara e lógica de número. Por exemplo, numa sala de cinema, onde temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem recorrer à contagem, podemos saber se esses dois conjuntos têm ou não o mesmo número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. 
 Isso porque, se cada cadeira está ocupada e ninguém está de pé, sabemos que os dois conjuntos têm igual número. Por outro lado, se todas as poltronas estão ocupadas e tem gente de pé na sala, sabemos sem contar que existem mais pessoas do que cadeiras. Isso se torna possível devido ao procedimento da matemática que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Significa atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro conjunto, ou seja, no caso do cinema, atribuímos cada pessoa a uma cadeira (CIVITA, 1968).
28/02/2021
28/02/2021
Não bastava contar, era necessário registrar 
 Um outro problema apareceu. A correspondência dos objetos com os dedos das mãos, por exemplo, permitia saber a quantidade de objetos, apenas no momento, mas como guardar essa informação? A limitação da memória podia fazer esquecer quantos dedos haviam sido levantados. O uso das pedrinhas possibilitava manter a informação por algum tempo, mas esse método também não dava segurança. O registro das quantidades era um problema que exigia uma solução (IFRAH, 2005). 
Valia de tudo para registrar os números 
 Talhos em pedaços de pau, pedaços de barro e ossos com marcas e cordas com nós. Em museus de todo o mundo, existem vários objetos com marcas, pertencentes a tempos antigos. Há também marcas pintadas ou talhadas em paredes de cavernas. Isso parece confirmar a necessidade sentida pelo homem de registrar as coisas que contava. Para fazer esse registro, ele usava também a correspondência um a um, sobre a qual já comentamos, ou seja, uma marca para cada objeto ou animal (IFRAH, 2005).
28/02/2021
Contagem de grandes quantidades e a estratégia de agrupamento 
 Quando temos que contar um montão de coisas, procuramos juntar as unidades em montes ou em grupo, pois isso facilita a contagem. Quando lidamos com dúzias, é isso que fazemos, estamos agrupando de 12 em 12. Em muitas situações, esses agrupamentos são necessários e facilitam a vida. Podemos observar, por exemplo, como são embaladas muitas coisas que compramos. Os fabricantes juntam um certo número de unidades do produto em cada embalagem: os tubinhos de gomas vêm com o mesmo número, as caixas de fósforos costumam vir com o mesmo número de palitos, etc.
 Você já viu, por exemplo, um pacote grande de fósforos ? Um pacote grande vem com 20 maços, cada maço com 10 caixas e cada caixa com 40 palitos de fósforo. 
A essa altura, uma pergunta: Em relação ao pacote de fósforos, faça a conta e responda: 
Quantos fósforos tem um maço com 10 caixas de fósforos ?
Quantos fósforos tem um pacote grande ?
Mas esse processo de agrupar para facilitar a contagem não aconteceu de um dia para o outro. Muito provavelmente, o homem usou as mãos e os pés quando pensou em agrupar os elementos, juntando as coisas de cinco em cinco, de dez em dez, vinte em vinte, procurando equivalência com os dedos das mãos e dos pés (IFRAH, 2005).
Por que juntar de dez em dez?
28/02/2021
28/02/2021
 
 A ação de agrupar ou reagrupar de 10 em 10 é uma das características do sistema de numeração que utilizamos. Pelo fato de ter base 10, é chamado de sistema de numeração decimal. 
 
 Quando reagrupamos dez grupos de dez, temos as centenas; os grupos de dez são chamados de dezenas, e os objetos soltos, de unidades. 
 A tática de juntar de 10 em 10, observada em vários sistemas de numeração (a exemplo do egípcio, do romano e do chinês), sem dúvida tem a ver com a utilização dos dedos para contagens. Foi usando os dez dedos das mãos que o homem aprendeu a contar, coisa que fazemos isso até hoje... 
 Porém, o homem não se satisfez só com suas mãos. Desenvolveu alguns instrumentos para ajudá-lo nas contas. Entre os mais conhecidos, está o ábaco, que por sua eficiência e simplicidade, é usado até os dias de hoje (MAIA; GONÇALEZ, s.d). 
ATIVIDADE
 Faça uma pesquisa sobre o funcionamento do ábaco.
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Curiosidade
Até hoje na índia e no Egito, é usado o método de contar com as mãos, usando as falanges dos dedos. O polegar aponta para as 3 falanges dos outros 4 dedos, dando para contar até 12. Alguns estudiosos acham que isso pode ser a origem da contagem das dúzias que ainda usamos e também na divisão do dia em dois períodos de 12 horas (MAIA; GONÇALEZ, s.d.).
ATIVIDADE
 Em que outras situações, temos a presença da contagem por dúzias?
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Conceito de Números Naturais
28/02/2021
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 Começando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade, temos os chamados números naturais: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11... 
 Os números naturais formam um conjunto numérico chamado de conjunto dos números naturais, que se indica pela letra N: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} 
 Os números naturais são usados, por exemplo, para contar e como códigos de identificação (placas, números de documentos, etc.) Quando tiramos o 0 do conjunto N, temos o chamado conjunto dos números naturais não-nulos, indicados por N*: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} 
 Todo número natural tem um sucessor, ou seja, outro que vem depois dele. Exemplo: 
O sucessor de 0 é 0 + 1 = 1 
O sucessor de 1 é 1 + 1 = 2 
O sucessor de 33 é 33 + 1 = 34
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 Como vemos, o sucessor de um número natural é obtido somando-se uma unidade ao número.
 Zero é o menor dos números naturais e não é sucessor de nenhum outro número natural. 
 Então, com exceção do zero, todo número natural tem um antecessor (um que vem antes). Exemplos: 
O antecessor de 1 é 1 – 1 = 0 
O antecessor de 2 é 2 – 1 = 1 
O antecessor de 20 é 20 – 1 = 19 
 Assim, o antecessor de um número natural diferente de zero é obtido, diminuindo-se uma unidade do número. 
 Começando do 1, qualquer número natural é maior que todos os números que vêm antes dele e é menor que todos os números que o seguem: 
 O sinal > significa “maior que” e < significa “menor que”. 
Exemplos: 
4 > 3, 4 > 2, 4 > 1, 4 > 0 e 4 < 5, 4 < 6, 4 < 7 e 4 < 8 
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Como vimos nosso sistema de numeração é muito prático. Vamos brincar mais um pouco com os números naturais,fazendo as atividades a seguir. 
Para saber mais: 
Faça uma pesquisa sobre a história dos números indo-arábicos, procurando informações sobre como assumiram a forma atual e por que os usamos hoje em dia.
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Operações com números naturais
Na história do homem, a função mais básica dos números tem sido fazer contagens simples. Mas com o tempo, surgiu a necessidade de operar com esses números, ou seja, fazer cálculos no dia a dia, em situações do tipo:
 - Juntar duas ou mais quantidade (adição); 
 - Tirar uma quantidade de outra (subtração); 
 - Juntar várias vezes a mesma quantidade (multiplicação); 
 - Repartir uma quantidade em duas, três, quatro ou mais partes iguais (divisa).
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A Reta Numérica e os 
Números Naturais
	Para visualizar melhor sequência dos números naturais, vamos representa-la em uma linha reta que chamaremos de Reta Numérica.
Escolhemos um ponto para representar o zero.
Caminhando para a direita, a partir do zero, e considerando sempre a mesma distância, marcamos os pontos correspondentes aos números naturais, 1, 2, 3, 4 e assim por diante.
	Você já sabe comparar números naturais e dizer quando um é maior (>), igual (=) ou menor (<) que outro. A reta numérica permite visualizar facilmente essa comparação.
	Dados dois números, o maior número é o que estiver representado à direita do outro na reta numérica.
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	Veja os exemplos:
	4 > 2 (lemos: quatro é maios que dois)	1 > 0 (lemos: um é maior que zero)
	2 < 7 (lemos: dois é menor que sete) 5 = 5 (lemos: cinco é igual a cinco)
Observe:
	Quais são os números naturais menores que 7?
	
	Quais são os números naturais maiores que 7?
	Quantos números naturais há de 3 até 7?
	Quantos números naturais há entre 3 e 7?
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Agora vamos fazer exercícios	
Lista de Exercícios postada no WhatsApp 
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São os números que estão entre os números inteiros, a expressão racional vem do latim ratio que refere-se à ideia divisão ou de razão entre dois números. 
Os números racionais são representações que podem ser fracionárias ou decimais. 
Q= Números racionais
Números Racionais 
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Você sabe o que frações e números decimais têm em comum?
Por exemplo, o que tem em comum entre e 0,1?
Ambas representam um décimo de um todo.
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Para representarmos um número decimal na reta numerada, temos que encontrar entre quais números inteiros ele se encontra. Para tanto, seguimos os seguintes passos:
	1º Passo: Localizar entre quais inteiros se encontra. 
		O número 1,15 está entre um e dois.
	2º Passo: Sabendo entre quais inteiros o número 1,15 está, agora é localizar entre quais décimos se encontra, lembrando que uma unidade tem dez décimos.
 
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	3º Passo: Por último, localizar os centésimos que corresponde ao número 1,15.