Desenho Geométrico

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA 
 
2007 
LICENCIATURA EM 
MATEMÁTICA 
DESENHO GEOMÉTRICO 
Alberto Luiz Fernandes Queiroga 
Cláudio Barros Vitor 
Rozendo Antônio Conte Queiroz 
 
Desenho geométrico 
2007 
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SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO AO DESENHO GEOMÉTRICO ................................ 3 
MATERIAL UTILIZADO NO DESENHO GEOMÉTRICO ............................................................... 3 
ENTES FUNDAMENTAIS ................................................................................................................. 5 
OPERAÇÕES COM SEGMENTOS E ÂNGULOS .......................................................................... 7 
CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS E RETAS ....................................13 
USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RÉGUA PARA CONSTRUÇÃO DE ÂNGULOS E 
RETAS. ............................................................................................................................................. 13 
Bissetriz de ângulo. ..................................................................................................................... 13 
Bissetriz de um ângulo inacessível. .......................................................................................... 14 
Construindo ângulos ................................................................................................................... 15 
Esquadros e construção de retas. ............................................................................................. 17 
Retas paralelas ............................................................................................................................ 18 
DIVISÃO DE SEGMENTOS E SEGUIMENTOS PROPORCIONAIS
 ...........................................................................................................26 
Razão entre dois segmentos ..................................................................................................... 26 
Segmentos proporcionais ........................................................................................................... 26 
Teorema de Tales. ...................................................................................................................... 27 
DIVIDIR UM SEGMENTO EM PARTES PROPORCIONAIS A 𝟐 𝟒 E 𝟑. ......................................................... 34 
QUARTA PROPORCIONAL.................................................................................................................... 35 
TERCEIRA PROPORCIONAL. ................................................................................................................ 36 
MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA ............................................................................. 38 
DIVISÃO HAEMÔNICA E SEGMENTO ÁUREO .......................................................................... 43 
DIVISÃO ÁUREA ............................................................................................................................. 48 
FIGURA DA GEOMETRIA PLANA ..................................................57 
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM DUAS PARTES IGUAIS (PELO ÂNGULO CENTRAL) 57 
PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS .................................................................. 62 
QUADRILATEROS .......................................................................................................................... 74 
CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS ....................................................................................... 76 
CONSTRUÇÃO DE TRAPÉZIOS ............................................................................................................ 83 
LOSANGOS E PARALELOGRAMOS ........................................................................................... 91 
POLÍGONOS E POLIEDROS ...........................................................99 
CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS INSCRITO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA. .......... 108 
POLIEDROS .................................................................................................................................. 117 
CONSTRUINDO UM POLIEDRO ................................................................................................ 125 
 
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3 
 
INTRODUÇÃO AO DESENHO GEOMÉTRICO 
MATERIAL UTILIZADO NO DESENHO GEOMÉTRICO 
 
 O lápis 
 
 
Em desenho geométrico, utilizaremos lápis com grafite HB para os traçados de 
letras, com entornos e esboços. 
Para seu desenho ter as linhas bem definidas, mantenha o grafite sempre bem 
apontado, em forma cônica, usando para isso um pedaço de lixa. 
 A lapiseira 
 
 
Você pode também utilizar as praticas lapiseiras com grafites 0.5𝑚𝑚, pois tem 
grossura ideal para desenho geométrico. 
 A borracha 
 
 
Use borracha macia para não deixar marcas no caderno. 
Para limpa-la, esfregue-a em um papel qualquer. 
A borracha não deve ser lavada 
 
 A régua 
 
 
Há réguas de vários comprimentos. Use uma de material acrílico transparente, 
graduada em centímetros e milímetros, que tenha um corte transversal 
chanfrado para facilitar a leitura. 
 
 
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 Os esquadros 
 
 
 
 
Esquadro de 45º e de 60º 
Devem ser de material acrílico e transparente. 
São utilizados para traçados de paralelas e de perpendiculares e para 
construção de ângulos. 
 
 O transferidor 
 
 
 
 
De material acrílico transparente em forma de um semicírculo, graduado de 
0º 𝑎 180º, é usado para medir e construir ângulos. 
 
 O compasso 
 
 
 
É o instrumento usado para traçados de arcos de circunferência, transporte de 
medidas e construções de ângulos. 
 
 
 
 
 
 
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ENTES FUNDAMENTAIS 
 
Na construção de uma teoria geométrica, tomam-se, inicialmente certos 
conceitos aos quais se acrescentam postulados e definições a fim de, então, 
deduzir teoremas e propriedades. 
Tais conceitos podem ser primitivos ou convencionados. Os conceitos 
primitivos constituem-se num apelo a nossa intuição. 
Assim, são entes fundamentais da geometria: ponto, reta e plano. 
 
 O ponto 
A ideia do ponto é primitiva. Não se define. O ponto não tem dimensão e fica 
determinado pelo encontro de duas linhas retas ou curva. Indicamos o ponto 
utilizando letras maiúsculas do alfabeto latino. 
 
 
 
 A reta 
Da mesma forma que o ponto, não tem definição. A ideia de linha reta é a de 
um ponto que se move numa direção. Indicamos a reta utilizando letras 
maiúsculas do alfabeto latino. 
 
 
 A semi-reta 
 
 
Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas partes distintas chamadas 
semirretas. Esse ponto recebe o nome de origem. 
 
 
 
 
 
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 O segmento de reta 
É o conjunto formado por dois pontos tomados sobre uma reta e todos os 
pontos da reta compreendidos entre os dois. A reta a qual pertence o segmento 
chama-se reta suporte do segmento. 
 
 
 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ : É o segmento da reta 𝑟 
𝑨 e 𝑩: São os extremos 
𝒓: é reta suporte do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
Segmentos que pertencem a mesma reta chamam-se colineares 
Segmentos que possuem uma extremidade em comum chamam-se 
consecutivos. 
 
 O plano 
A noção intuitiva de plano apoia-se na ideia de superfícies como a de um 
quadro ou de uma parede. 
O plano é uma figura ideal. A partir da ideia que dele fazemos, deve-se 
entende-lo como formado por infinitos pontos. Ele é aberto e infinito. 
A identificação do plano é dada por letras maiúsculas do alfabeto grego: 𝜶, 𝜷, 
𝜹, 𝝋, 𝝍 etc. 
 
 
 
 
 
 
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7 
 
 
OPERAÇÕES COM SEGMENTOS E ÂNGULOS 
 
 Transporte de segmentos 
 
O transporte gráfico de segmentos consiste em construir um segmento 
congruente ao seguimento dado. 
Assim, dado o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , para transportá-lode modo que tenha por 
extremidade 𝑴 e esteja na reta 𝒓, faz-se ponta-seca do compasso em 𝑴 e 
abertura 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , descrevendo-se um arco de circunferência, obtendo-se 𝑵, assim 
obtém-se 𝑴𝑵̅̅ ̅̅ ̅ ≡ 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 𝑴𝑵 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ≡ 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
 
 Adição de segmentos 
A soma gráfica de seguimentos é obtida pelo transporte sucessivo dos 
seguimentos dos dados. 
 
 
 
 
 
 𝑴𝑵̅̅ ̅̅ ̅̅ ≡ 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑵𝑷̅̅̅̅̅ ≡ 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ 
𝑴𝑷̅̅ ̅̅ ̅ é o segmento-soma. 
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 Subtração de segmentos 
Transportam-se os segmentos dados para uma reta suporte 𝒓, com centro em 
𝑷. 
 
 
 
 
 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ ≡ 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑷𝑹̅̅ ̅̅ ≡ 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ 
 𝑸𝑹̅̅ ̅̅ é o segmento – diferença. 
 
Definição 
Ângulo é a figura plana formada por duas semirretas de mesma origem. 
A origem comum chama-se vértice, e as semirretas chamam-se lados. 
A medida usual do ângulo é o grau, e o instrumento usado para medi-lo é o 
transferidor. 
Ângulos de mesma medida dizem-se congruentes. 
Indica-se ângulo ou utilizando-se letras do alfabeto grego �̂�, �̂�, �̂� ou por três 
letras maiúsculas do alfabeto latino, indicando a letra do meio o vértice do 
ângulo e as outras duas os lados. 
 
 
 
 
 
 
 Ângulo �̂� ou ângulo 𝑹�̂�𝑸. 
 
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9 
 
Para obter a medida aproximada de um ângulo traçado em papel, utilizamos 
um instrumento denominado transferidor, que contém um segmento de reta 
em sua base e um semi-círculo na parte superior marcado com unidades de 0 
a 180. Alguns transferidores possuem escala de 0 a 180, marcada em ambos 
os sentidos do arco para a medida do ângulo sem muito esforço. 
 
Para medir um ângulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no vértice do 
ângulo, alinhe o segmento da reta 𝑶𝑨̅̅ ̅̅ ou (𝑶𝑬̅̅ ̅̅ ) com um dos lados do ângulo, e 
o outro lado do ângulo determinará a medida do ângulo como mostra a figura a 
seguir; 
 
 
 
 
 
O ângulo 𝑨�̅�𝑪 mede 𝟕𝟎 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠. Na figura anterior, podemos ler diretamente 
as medidas dos seguintes ângulos: 
 
𝒎(𝑨�̅�𝑩)= 27º 𝒎(𝑨�̅�𝑪)=70º 𝒎(𝑨�̂�D)=120º 𝒎(𝑨�̅�𝑬)=180º 
𝒎(𝑬�̅�𝑩)=153º 𝑚(𝐸𝑂𝐶)̂ =110º 𝑚(𝐸�̂�𝐷)=60º 𝑚(𝐸�̂�𝐴)=180º 
 
 Transporte gráfico de ângulos 
 Passo-a-passo 
1. Faz-se o transporte de um arco, de raio qualquer, com centro no vértice 
do ângulo dado para origem de uma semirreta. 
 
 
 
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2. Ponta-seca do compasso 𝑹 e abertura do arco igual a 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ , determinamos 
𝑺 e o ângulo �̂� ≡ �̂�. 
 
 Adição gráfica de ângulos 
Transportam-se os ângulos �̂� e �̂� de modo que fiquem adjacentes. Ou seja, 
adicionem-se os arcos do mesmo raio, qualquer, de medida �̂� e �̂�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Subtração gráfica de ângulos 
Dados os ângulos �̂� e �̂�, transportamos para uma semirreta de origem 𝑷, 
determinando o ângulo diferença. 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Dados os seguimentos de medidas 𝒂, 𝒃 e 𝒄, obtenha o segmento de medida 
𝟐𝒂 + 𝒃 + 𝒄 
 
 
 
 
 
 
 
2. Obtenha sobre uma reta 𝒓, o segmento cuja medida corresponde ao 
perímetro das figuras dadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Dados os segmentos de medidas 𝒂, 𝒃 𝑒 𝒄, obtenha segmentos de 
medidas (𝒃 − 𝒂) + (𝒄 − 𝒃). 
 
 
 
 
4. Sabendo que 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟓𝟓 𝒎𝒎, 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟑𝟕 𝒎𝒎 e 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ = 𝟒𝟎 𝒎𝒎, 
desenhe o segmento de medida 𝟐𝑨𝑩̅̅ ̅̅ − 𝟏𝟎(𝑬𝑭̅̅ ̅̅ − 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ ) 
 
 
5. A partir de 𝑶′𝑨′̅̅ ̅̅ ̅̅ , dado graficamente abaixo transporte 𝑨�̂�𝑩 e 𝑨�̂�𝑪, em 
cada caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS E RETAS 
 
 USO DO ESQUADRO, COMPASSO E RÉGUA PARA CONSTRUÇÃO DE 
ÂNGULOS E RETAS. 
 
Bissetriz de ângulo. 
É a semi-reta que, partindo do vértice do ângulo, divide-o em dois ângulos 
congruentes. 
Determine a bissetriz do ângulo dado 
 
 
 
 
 
 
 Passo-a-passo 
1. Ponta-seca em 𝑶 e abertura qualquer, descrevemos o arco 𝑨�̂�. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Ponta-seca em 𝑨 e depois em 𝑩 e uma abertura maior do que a metade 
do arco 𝑨�̂�, determinamos o ponto 𝑪 
 
 
 
 
 
 
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3. A Semirreta 𝑶𝑪̅̅ ̅̅ é a bissetriz do ângulo 𝑨Ô𝑩. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bissetriz de um ângulo inacessível. 
Determinar a bissetriz do ângulo formado pelas retas 𝒓 e 𝒔 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passos a passo 
1. Traçamos uma reta 𝒕 qualquer determinando os pontos 𝑨 e 𝑩. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Determinamos as bissetrizes dos ângulos formados, encontrando os 
pontos 𝑪 e 𝑫. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A reta que passa por 𝑨 e 𝑩 é a bissetriz procurada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construindo ângulos 
Ângulo de 60º 
 
 Passo a passo 
1. Determinamos uma semirreta de origem 𝑶. 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
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2. Ponta-seca em 𝑶 e uma abertura qualquer, determinamos na semirreta o 
ponto 𝑨. 
 
 
 
 
 
3. Ponta-seca em 𝑨 e raio 𝑶𝑨̅̅ ̅̅ , encontramos 𝑩. 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑨Ô𝑩 = 𝟔𝟎º 
 
 Ângulo de 90º 
 
 Passo a passo 
1. Determinamos uma semirreta de origem 𝑶 
 
 
 
 
2. Prolongamos a semirreta e traçamos um ângulo 𝑨Ô𝑩. 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
 
3. Encontramos a bissetriz do ângulo 𝑨Ô𝑩 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑨Ô𝑪 = 𝟗𝟎º 
 
 Ângulo 135º 
 
 Passo a passo 
1. Utilizando o processo anterior, determinamos o ângulo reto 𝑨Ô𝑪. 
 
 
𝑩Ô𝑫 = 𝟒𝟓º, logo 𝑫Ô𝑨 = 𝟏𝟑𝟓º (suplementares) 
 
Esquadros e construção de retas. 
Os esquadros são usados para traçar linhas paralelas e linhas perpendiculares. 
Para determinação desses traços, utilizamos os esquadros em conjunto, 
ficando um sempre fixo, enquanto o outro se desloca, apoiado nele. 
 
 
 
 
 
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Retas paralelas 
 
Passo a passo 
1. Faça a borda maior do esquadro 𝟒𝟓º coincidir com a reta dada. 
 
 
 
 
 
2. Encoste a borda maior do esquadro de 𝟔𝟎º no esquadro de 𝟒𝟓º. 
 
 
 
 
 
 
3. Segure o esquadro de 60º, movimento o de 45º e trace as linhas 
paralelas. 
 
 
 
 
 
 
 Retas perpendiculares 
 
 Passo a passo 
 
1. Faça a borda maior do esquadro de 45º coincidir com a reta dada. 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
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19 
 
2. Encoste a borda maior do esquadro de 60º no esquadro de 45º 
 
 
 
 
 
 
3. Mude a posição do esquadro de 45º conforme a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Segue esquadro 60º, movimente o de 45º até o ponto 𝑷 e trace a 
perpendicular. 
 
 
 
 
 
 
 
 Compasso e régua 
 Perpendicular a uma reta 
 Dada a reta 𝒓 e um ponto 𝑷, onde 𝑷 ∉ 𝒓. 
 
 
 
 
 
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Passo a passo 
 
1. Com a ponta-seca do compasso em 𝑷 e uma abertura maior que a 
distância de 𝑷 a 𝒓, traçamos um arco de circunferência que intercepta a 
reta em 𝑨 e 𝑩. 
 
 
 
 
 
2. Agora com a ponta-seca em 𝑨 e uma abertura maior que a semi-
distância 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , traçamos um arco e repetimos o processo, com a mesma 
abertura, em 𝑩, determinamos o ponto 𝑸. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Traçamos a reta 𝒔, passando por 𝑷 e 𝑸, que é a reta perpendicular a 
reta 𝒓 . 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: a reta 𝒔 é a mediatriz do seguimento 𝑨𝑩.̅̅ ̅̅ ̅ 
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Dada a reta 𝒓 e um ponto 𝑷, onde 𝑷 ∈ 𝒓. 
 
 
 
 
Passo a passo 
1. Com a ponta seca do compasso em 𝑷 e uma abertura qualquer, 
traçamos uma semicircunferência que intercepta a reta 𝒓 em 𝑨 e 𝑩. 
 
 
 
 
 
2. Agora com a ponta-seca em 𝑨 e uma abertura maior que a semi-
distância𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , traçamos um arco e repetimos o processo, com a mesma 
abertura, em 𝑩. Determina-se assim, o ponto 𝑸. 
 
 
 
 
 
 
3. Traçamos a reta 𝒔, passando por 𝑷 e 𝑸, que é a reta perpendicular a 𝒓 
procurada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
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Dada a semirreta 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , determinar a perpendicular passando por 𝑶. 
 
 
 
Passo a passo 
1. Ponta-seca do compasso em 𝑶 e uma abertura qualquer, traçamos um arco 
de semicircunferência. 
 
 
 
 
2. Com a ponta-seca em 𝑷 e a mesma abertura, determinamos sobre a 
semicircunferência o ponto 𝑸. 
 
 
 
 
 
 
3. Repetimos o processo em 𝑸, determinando 𝑹, depois em 𝑹 determinando 
𝑺. 
 
 
 
 
 
4. Temos 𝑶𝑺⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
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23 
 
 
 Paralela a uma reta. 
Dada a reta 𝒓 e um ponto 𝑷, onde 𝑷 ∉ 𝒓, determina a reta 𝒔 // 𝒓 onde 𝑷 ∈ 
𝒔. 
 
 
 
 
 Passo a passo 
 
1. Ponta-seca do compasso em 𝑷 e uma abertura maior do que a distância a 
reta 𝒓, traçamos um arco, determinando em 𝒓, traçamos um arco, 
determinamos em 𝒓 o ponto 𝑂. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Ponta-seca do compasso em 𝑶 e a mesma abertura, traçamos um arco, 
passando por 𝑃, determinando em 𝒓 o ponto 𝑸. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Ponta-seca do compasso em 𝑶 e abertura igual a 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ , traçamos um arco 
determinando ponto 𝑹. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. A reta que passa por 𝑷 e 𝑹 é a reta 𝑠 paralela a reta dada. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Dada a reta 𝒓 e o ponto 𝑷, tal que 𝑷 ∉ 𝒓, determine as retas 𝒔 (paralela) 
e 𝒕 (perpendicular), passando por 𝑷. Utilize o jogo de esquadros para traçar 
as retas 𝒔 e 𝒕. 
 
 
 
2. Resolva o exercício anterior utilizando o compasso. 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
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3. Trace 𝒎, pelo ponto 𝐴, tal que 𝒎 ⊥ 𝒓. Trace 𝑛 pelo 𝐵, tal que 𝒏 ⊥ 𝒔. 
Chame {𝑷} = 𝒎 ∩ 𝒏. Pelo ponto 𝑷 trace 𝒎´//𝒓 e 𝑛´//𝒔. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Trace a reta 𝒕, tangente a circunferência dada tal que 𝒕//𝒓. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26 
 
DIVISÃO DE SEGMENTOS E SEGUIMENTOS PROPORCIONAIS 
 
Razão entre dois segmentos 
 
Consideremos os segmentos consecutivos da figura seguinte: 
 
 
 
 
Temos: 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 1 𝑚𝑚 , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 2 𝑚𝑚, 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 3 𝑚𝑚, 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = 4 𝑚𝑚, etc. 
A razão entre dois seguimentos é a razão entre as medidas desses 
seguimentos em uma mesma unidade. 
Temos, na figura acima , por exemplo: 
 
1. 
𝐴𝐶
𝐵𝐸
=
2
3
 
 
2. 
𝐴𝐸
𝐴𝐶
=
4
2
 ou 
𝐴𝐸
𝐴𝐶
= 2 
 
3. 
𝐷𝐸
𝐴𝐷
=
1
3
 
 
Segmentos proporcionais 
 
Sabemos que a proporção é uma igualdade entre duas razões. 
 
Exemplo: 
3
5
= 
15
25
 ,
2
7
= 
4
14
,
8
7
= 
24
14
, etc. 
 
 
Desenho geométrico 
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27 
 
Consideremos, agora, quatro segmentos, 𝑨𝑩, 𝑪𝑫,𝑬𝑭 e 𝑮𝑯, nessa ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dizemos , então, que quatro segmentos , na ordem, são proporcionais quando 
a razão de suas medidas (mesma unidade) forma uma proporção. 
 
Teorema de Tales. 
 
Um feixe de retas paralelas determina em duas retas transversais segmentos 
correspondentes proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
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Na figura, temos: 
 
𝑷𝑸
𝑸𝑹
=
𝟑𝒂
𝟐𝒂
=
𝟑
𝟐
𝒆 
𝑷𝑺
𝑺𝑻
=
𝟑𝒃
𝟐𝒃
=
𝟑
𝟐
 , 𝒍𝒐𝒈𝒐, 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ , 𝑸𝑹̅̅ ̅̅ , 𝑷𝑺̅̅ ̅̅ 𝒆 𝑺𝑻̅̅̅̅ , nessa ordem são 
proporcionais. 
 
Aplicando o Teorema de Tales 
Dividir um segmento em n partes e medidas iguais. 
Dividir um segmento AB em três partes de medidas iguais 
 
 
 
 
 
 Passo a passo 
1. Por uma das extremidades, traçamos uma semirreta qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Ponta-seca em 𝑨 e uma abertura qualquer, traçamos três segmentos 
consecutivos e congruentes sobre a semirreta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
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29 
 
3. Unimos o ponto 3 á extremidade 𝑩, obtendo-se o segmento 𝑩𝟑.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
4. Traçamos por 𝟐 e 𝟏 paralelas a 𝑩𝟑̅̅ ̅̅ , determinando sobre 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ três 
segmentos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividir um segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ em sete partes de medidas iguais. 
1. Por uma das extremidades, traçamos uma semirreta qualquer. 
 
 
 
 
 
 
2. Ponta-seca em 𝑨 e uma abertura qualquer traçamos sete segmentos 
consecutivos e congruentes sobre a semirreta. 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
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30 
 
3. Unimos o ponto 7 a extremidade 𝑩, obtendo o seguimento 𝑩𝟕.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Traçamos por 6,5,4,3,2 e 1 paralelas a 𝑩𝟕̅̅ ̅̅ , determinando sobre 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , sete 
segmentos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dividir um segmento numa razão dada 
Determinar 𝑴, sobre 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ tal que 
𝑨𝑴̅̅ ̅̅ ̅
𝑴𝑩̅̅ ̅̅ ̅
=
3
2
 
 
 Passo a passo 
1. Por uma das extremidades, traçamos uma semirreta qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
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31 
 
2. Ponta-seca em 𝑨 e uma abertura qualquer, traçamos cinco (3 + 2 da razão 
dada) segmentos consecutivos e congruentes sobrea semirreta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Unimos o ponto 5 a extremidade 𝑩, obtendo o segmento 𝑩𝟓̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Traçamos em 3, para obtermos 
3
2
, uma paralela 𝑩𝟓̅̅ ̅̅ , determinando sobre 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ o ponto 𝑴. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim; 
𝐴𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑀𝐵̅̅ ̅̅ ̅
 =
3
2
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
32 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
1. Divida o segmento dado em oito partes de medidas iguais 
 
 
 
 
2. Divida o segmento em treze partes de medidas iguais 
 
 
 
 
3. Divida os segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟑𝒄𝒎, 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟓𝒄𝒎 e 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ = 𝟐𝒄𝒎, trace a 
circunferência com centro em 𝑨 e raio igual a sétima parte do segmento-
soma 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ + 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ + 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
4. Divida o perímetro do triângulo 𝑨𝑩𝑪, em seis partes iguais. 
 
 
 
 
 
 
5. Determine o quadro de lado igual a 
2
3
 do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
33 
 
6. Trace um segmento 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ =8,5 e determine o ponto 𝑹 que divide 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ na razão 
de 
2
3
 
 
 
 
7. Encontre os pontos 𝑴 e 𝑵 que dividem o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ nas razões 
2
4
 e 
2
5
 
respectivamente. 
 
 
 
 
8. Dado o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , determine dois segmentos 𝑨𝑿 ̅̅ ̅̅ ̅e 𝑿𝑩̅̅ ̅̅ , de modo que 
𝐴𝑋̅̅ ̅̅
𝑋𝐵̅̅ ̅̅
=
3
5
. 
 
 
 
9. Dado 𝒂, divida-o por 3 e, em seguida, destaque o seguimento 
𝟐𝒂
𝟑
. 
 
 
 
 
10. Dado o triângulo 𝑨𝑩𝑪 com 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ já dividido em 5 partes de medidas iguais, 
divida 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ e 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ também em 5 partes de medidas iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
34 
 
Dividir um segmento em partes proporcionais a 𝟐, 𝟒 e 𝟑. 
 
 Passo a passo: 
1. Por uma das extremidades traçamos uma semirreta qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Ponta-seca em 𝑨 e uma abertura qualquer, traçamos novos (𝟐 + 𝟒 + 𝟑), 
segmentos consecutivos e congruentes sobre a mesma semirreta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Unimos o ponto 9 à extremidade, obtendo o segmento 𝑩𝟗.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
35 
 
4. Traçamos em 2 e depois em 5 uma paralela a 𝑩𝟗,̅̅ ̅̅ ̅ determinando sobre 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
os pontos 𝑴 e 𝑵 dividindo o segmento dado em partes proporcionais a 2, 4 
e 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim; 
𝐴𝑀̅̅ ̅̅ ̅
𝑀𝐵̅̅ ̅̅ ̅
= 
2
7
 =
𝑀𝐵̅̅ ̅̅ ̅
𝑁𝐵̅̅̅̅̅
=
7
3
,
𝐴𝑁̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
=
6
9
=
2
3
 etc. 
 
 
Quarta proporcional 
 
Dados três segmentos de medidas 𝑎, 𝑏 e 𝑐, denomina-se a quarta proporcional 
desses segmentos um segmento de medida 𝑥, tal que: 
 
 
 
 
Determinar a quarta proporcional aos segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝒂,𝑩𝑪̅̅ ̅̅ = 𝒃 e 
𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 𝒄, nessaordem. 
 
 Passo a passo 
1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑪.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑥
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
36 
 
2. Traçamos pela extremidade 𝑨 uma semirreta 𝒔 e marcamos o segmento 
𝑨𝑫 ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝒄. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Traçamos o segmento 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ e por ele traçamos uma paralela passando por 
𝑪, determinando na semirreta 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ o ponto 𝑿. O segmento 𝑫𝑿̅̅̅̅̅ é a quarta 
proporcional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Terceira proporcional. 
 
Dados dois seguimentos de medidas 𝒂 e 𝒃, denomina-se terceira proporcional 
desses segmentos um segmento de medida 𝒙, tal que: 
 
 
 
Determinar a terceira proporcional aos segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝒂 e 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ = 𝒃. 
 
 
 
 
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑥
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
37 
 
Passo a passo 
 
1. Sobre uma reta r marcamos os segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
2. Por 𝑨, traçamos uma semirreta 𝒔 qualquer, ponta-seca do compasso em 𝑨 
abertura igual a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , determinamos em 𝒔 o segmento 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Unimos os ponto 𝑩 e 𝑫, obtendo o segmento 𝑩𝑫̅̅̅̅̅. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Traçamos por 𝑪 uma reta paralela a 𝑩𝑫̅̅̅̅̅, determinando em 𝒔 o ponto 𝑬. 
Desenho geométrico 
2007 
7 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O segmento 𝐷𝐸 é a terceira 
proporcional procurada. 
 
MÉDIA PROPORCIONAL OU GEOMÉTRICA 
 
Dados dois segmentos de medidas 𝒂 e 𝒃, denomina-se média geométrica ou 
proporcional desses segmentos um segmento 𝒙, tal que: 
 
𝑎
𝑥
=
𝑥
𝑏
 𝑜𝑢 𝑥2 = 𝑎. 𝑏 𝑜𝑢 𝑥 = √𝑎. 𝑏 
 
Aplicação: 
 Determinar a média geométrica dos segmentos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ ̅ dados: 
 
 
 
 
 
 Passo a passo 
 
1. Sobre uma reta 𝒓 qualquer, marcamos os dois segmentos. 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
39 
 
2. Determinamos 𝑴 ponto médio de 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
3. Ponta-seca em 𝑴 e medida 𝑨𝑴̅̅ ̅̅ ̅, traçamos uma circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
4. Por 𝑩 traçamos uma perpendicular a reta 𝒓, determinando na 
semicircunferência o ponto 𝐷. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O segmento 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ é a média geométrica dos segmentos dados. 
 Outra forma de encontrar a média geométrica 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
40 
 
1. Sobre uma reta 𝒓 qualquer, marcamos o segmento 𝑨𝑩.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
2. A partir do ponto 𝑨 e para direita, marcamos o segmento 𝑨𝑪.̅̅ ̅̅̅ 
 
 
 
 
 
3. Determinar o ponto 𝑴 (ponto médio do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Ponta-seca em 𝑴 e uma abertura 𝑨𝑴̅̅ ̅̅ ̅, traçamos uma semicircunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
41 
 
5. Traçamos por 𝑪, uma perpendicular a 𝒓, determinando na 
semicircunferência o ponto 𝑫. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O segmento 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ é a média geométrica procurada. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Marque os pontos 𝑴 e 𝑵, no segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ dado, de modo que 
 
𝑨𝑴
𝟐
̅̅̅̅
 = 
𝑴𝑵
𝟓
̅̅ ̅̅
= 
𝑵𝑩
𝟒
̅̅ ̅
. 
 
 
 
 
 
2. Construa um triângulo 𝑨𝑩𝑪 cujo perímetro seja igual a 10,5 𝑐𝑚 e seus lados 
sejam proporcionais aos segmentos que medem 2,5 𝑐𝑚; 3,5 𝑐𝑚 e 5 𝑐𝑚. 
 
3. Construa a quarta proporcional entre os segmentos 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
42 
 
4. Dados três segmentos de medidas 𝒂, 𝒃 e 𝒄, obtenha, nessa ordem, um 
segmento 𝒙, de modo que 
𝑎
𝑏
 = 
𝑐
𝑥
. 
 
 
 
 
 
 
5. Dados dois segmentos de medidas 𝒂 = 5 𝑐𝑚, 𝒃 = 3.5 𝑐𝑚 obtenha uma 
terceira proporcional de medida 𝒙, de modo que 
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑥
. 
 
6. Construa a terceira proporcional entre os segmentos dados. 
 
 
 
 
 
7. Construa a quarta proporcional entre os segmentos 𝒎,𝒏 e 𝒑: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Determine graficamente a média geométrica dos segmentos que medem 
𝒂 = 4𝑐𝑚, 𝒃 = 3𝑐𝑚. 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
43 
 
 
9. Dados os segmentos 𝒂 e 𝒃, determine graficamente a média geométrica 
entre eles. 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTO ÁUREO 
 
Média aritmética: 
𝑎−𝑏
𝑏−𝑐
= 1 ⇒ 𝑏 =
𝑎+𝑐
2
 
 
Média geométrica: 
𝑎−𝑏
𝑏−𝑐 
=
𝑎
𝑏
 ⇒ 𝑏2 = 𝑎. 𝑐 
 
Média harmônica: 
𝑎−𝑏
𝑏−𝑐
=
𝑎
𝑐
⇒ 𝑏 = 
2.𝑎.𝑐
𝑎+𝑐
 
 
DIVISÃO HARMÔNICA E SEGMENTO ÁUREO 
Razão de seção 
Chama-se razão de seção de um ponto num segmento a razão das distâncias 
dos pontos aos extremos do segmento. Quando o ponto é interior ao 
segmento, as duas partes por ele determinadas chamam-se segmentos 
aditivos; quando o ponto é exterior, as duas partes denominam-se segmentos 
subtrativos. Em ambos os casos, o ponto estará á esquerda do ponto médio do 
segmento se a razão de seção for própria, isto é, menor que a unidade; o ponto 
estará a direita do ponto médio do segmento se a razão da seção for 
imprópria, isto é, maior que a unidade. 
Dado o segmento 𝐴𝐵 e seu ponto médio. 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
44 
 
 
Tomando os pontos 𝑴 e 𝑵 á esquerda do ponto médio, como indicado na 
figura, determinaremos as seguintes razões. 
 
 
 
 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅
𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅
< 1 𝑒 
𝐴𝑁̅̅ ̅̅
𝑁𝐵̅̅ ̅̅
 < 1 (𝑟𝑎𝑧õ𝑒𝑠 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑎𝑠) 
 
Tomando os pontos 𝑴 e 𝑵 à direita do ponto médio, como indicado na figura, 
determinaremos as seguintes razões. 
 
 
 
 
𝐴𝑀̅̅̅̅̅
𝑀𝐵̅̅ ̅̅̅
> 1 𝑒 
𝐴𝑁̅̅ ̅̅
𝑁𝐵̅̅ ̅̅
> 1 ( 𝑟𝑎𝑧õ𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑎𝑠) 
 
Dado um segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , dividi-lo harmonicamente numa razão dada. 
 
 
 
 Na razão 
3
4
. 
 
Passo a passo 
1. Efetuamos a divisão do segmento na razão determinada. 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
45 
 
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
𝑃𝐵
=
3
2
 
 
2. Por 𝑩 traçamos uma paralela à semi-reta 𝑨𝟓̅̅ ̅̅ e com ponta-seca em 𝑩 e raio 
𝑨𝟏̅̅ ̅̅ , determinamos 6 e 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. A interseção entre 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝟑𝟕⃗⃗⃗⃗ ⃗, o ponto 𝑸, é o conjugado harmônico de 𝑷. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os pontos 𝑨,𝑷,𝑩 e 𝑸 formam uma divisão harmônica. 
 
Dados um segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e o conjugado harmônico interno 𝑴 obter o 
outro. 
 
 
 
 
Passo a passo 
Desenho geométrico 
2007 
7 
46 
 
1. Ponta-seca em 𝑨 e raio 𝑨𝑴̅̅ ̅̅ ̅ e ponta seca em 𝑩 e raio 𝑩𝑴̅̅ ̅̅ ̅ determinamos 
dois arcos; 
 
 
 
 
 
 
 
2. Por 𝐴 traçamos uma semi-reta que intercepta um dos dois semi-arcos em 1. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Por 𝑩 traçamos uma semi-reta paralela à 𝑨𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗ encontrando 2. 
 
 
 
 
 
 
 
4. A intercepção entre 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝟏𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ é o conjugado harmônico de 𝑴. 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
47 
 
 
Dados um segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e conjugado harmônico externo 𝑴 obter o outro. 
 
Passo a passo 
1. Ponta-seca em 𝑨 e raio 𝑨𝑵̅̅ ̅̅ e ponta-seca em 𝑩 e raio 𝑩𝑵̅̅̅̅̅, determinamos 
dois arcos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Por 𝑨 traçamos uma semirreta que intercepta um dss semi-arcos em 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Por 𝑩 traçamos uma semi-reta paralela a 𝑨𝟏⃗⃗⃗⃗ ⃗, encontrando 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
48 
 
4. A interseção entre 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝟏𝟐⃗⃗⃗⃗ ⃗ é o conjugado harmônico de 𝑵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIVISÃO ÁUREA 
Segmento áureo 
Sejam 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ um segmento 𝑷 um ponto pertencente a reta-suporte desse 
segmento. 
 
𝑷 é interior 
 
 
 
𝑷 é exterior 
 
 
 
Diz-se que um segmento esta dividido por ponto na razão áurea quando uma 
das partes por ele determinada é a média geométrica entre o segmento e a 
outra parte. 
𝑨𝑷̅̅ ̅̅ 𝟐 = 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ 
 
O segmento 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ é o chamado áureo de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
Desenho geométrico 
2007 
7 
49 
 
Determinação algébrica do segmento áureo. 
 
1º caso: 𝑷 é interior a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 
 
 
Por definição temos: 
𝑨𝑷̅̅ ̅̅ 𝟐 = 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ ⇒ 𝑥2 = 𝑎. (𝑎 − 𝑥) ⇒ 𝑥2 + 𝑎𝑥 − 𝑎2 = 0 cujas raízes são 
 𝑥 =
𝑎 ± √𝑎2 +4𝑎22
⇒
𝑎±𝑎√5
2
 𝑥 =
𝑎
2
 (√5 + 1) ⇒ 𝑥 ≅ 1,618 , destacarmos a 
raiz negativa. 
 
2º caso: 𝑷 é exterior a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
Por definição temos: 
 
𝑨𝑷̅̅ ̅̅ 𝟐 = 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ ⇒ 𝑥2 = 𝑎. (𝑎 + 𝑥) ⇒ 𝑥2 − 𝑎𝑥 − 𝑎2 = 0 cujas raízes são: 
𝑥 =
𝑎 ± √𝑎2 +4𝑎2
2
⇒ 𝑥 =
𝑎±𝑎√5
2
 𝑥 =
𝑎
2
 (√5 + 1) ⇒ 𝑥 ≅ 1,618 destacamos a 
raiz negativa. 
 
A razão entre cada segmento áureo e o segmento a que ele se refere é um 
número de ouro 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
50 
 
 
 
 
 
 
𝜑1 =
𝐴𝑃̅̅ ̅̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
≅
0,618𝑎
𝑎
 ⇒ 𝜑1 ≅ 0,618 e 𝜑2 =
𝐴𝑃′̅̅ ̅̅ ̅
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
≅
0,618𝑎
𝑎
 ⇒ 𝜑2 ≅ 1,618 
 
Resolução gráfica 
Dividir o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ em média e extrema razão 
 
 
 
 
Passo a passo 
1. Por 𝑩 traçamos uma perpendicular a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
2. Ponta-seca em 𝑩 e raio 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅
𝟐
, encontramos na perpendicular o ponto 𝑶. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
51 
 
3. Traçamos a circunferência de centro 𝑶 e o raio 𝑶𝑩̅̅̅̅̅, e os pontos 𝑪 e 𝑫 
(interseção da semi-reta 𝑨𝑶̅̅ ̅̅ com a circunferência) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Ponta-seca em 𝑨 e raio 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e depois 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ . Determinamos sobre o segmento 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ os pontos 𝑷 e 𝑷’, 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑨𝑷̅̅ ̅̅ = 0,618. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐴𝑃′̅̅ ̅̅ ̅ = 1,618 . 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
 
 Construção do retângulo áureo 
Dado o quadrado 𝑨𝑩𝑪𝑫 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
52 
 
Passo a passo 
 
1. Determinamos o ponto médio de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
2. Ponta-seca em 𝑴 e raio 𝑴𝑪̅̅ ̅̅ ̅ determinamos na semirreta 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ponto 𝑬. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Passando por 𝑬, traçamos uma semirreta vertical a 𝑨𝑬⃗⃗⃗⃗ ⃗, cuja interseção 
com 𝑫𝑪̅̅ ̅̅ ̅ é o ponto 𝑭. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O retângulo 𝑨𝑭𝑫𝑪 é uma retângulo áureo. 
Desenho geométrico 
2007 
7 
53 
 
Arco capaz 
Dado um segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e um ângulo 𝒌, pergunta-se: qual é o lugar geométrico 
de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados 
passam pelos pontos 𝑨 e 𝑩 sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo 𝒌? 
Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz. 
 
Construção de arco capaz 
1. Traçar um segmento de reta 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
2. Pelo ponto 𝑨, trace uma reta 𝒕 formando com o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ um ângulo 
congruente a 𝑲. 
 
 
 
 
 
 
3. Traçar uma reta 𝒑 perpendicular à reta 𝒕 passando pelo ponto 𝑨. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
54 
 
4. Determinar o ponto médio 𝑴 do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e traçar a reta mediatriz 𝒎 ao 
segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Obter o ponto 𝑶 que é a reta 𝒑 e a mediatriz 𝒎. Ponta-seca no ponto 𝑶 e 
abertura 𝑨𝑶̅̅ ̅̅ , traçar o arco de circunferência localizado acima do segmento 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O arco que aparece acima no gráfico é o arco capaz. 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Divida, harmonicamente, o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ nas razões dadas. 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
55 
 
a) 
1
3
 
 
b) 
2
5
 
 
c) 
3
2
 
 
2. Dado o segmento, obtenha o conjugado harmônico externo de 𝑷. 
 
 
 
 
3. Dado o segmento, obtenha o conjugado harmônico interno de 𝑸. 
 
 
 
 
4. Divida o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ em média e extrema razão (seção áurea). 
 
 
 
5. Divida o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ em média e extrema razão (seção áurea) 
 
 
 
 
 
 
 
6. Construa o arco capaz de um ângulo de 30º. Conhecendo o seguimento 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
56 
 
 
7. O segmento 𝑹𝑺̅̅ ̅̅ mede 3,8𝑐𝑚 e 𝜶 forma ele um ângulo de 60º. Trace o arco 
capaz correspondente. 
 
8. Determine os pontos da reta 𝑟 que veem o segmento 𝑷𝑸̅̅ ̅̅ sob um ângulo 
de 35º. 
 
 
 
 
9. São dados o segmento 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ , a reta 𝑿 e um ângulo de 40º. Determine os 
pontos da reta 𝒙 que veem o segmento 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ sob o mesmo ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Construa o arco capaz a um segmento de 0,5 𝑐𝑚 sob um ângulo de 45º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
57 
 
FIGURA DA GEOMETRIA PLANA 
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM DUAS PARTES IGUAIS (PELO 
ÂNGULO CENTRAL) 
 
1. Divisão de circunferencia em duas partes iguais. 360º/2 =180º 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Divisão de circunferencia em quatro partes iguais. 360º/3 =120º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Divisão de circunferencia em cinco partes iguais. 360º/4 = 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
58 
 
 
4. Divisão de circunferencia em cinco partes iguais 360º/5 = 72º 
 
 
 
5. Divisão de circunferencia em seis partes iguais. 360º/6 = 60° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Divisão de circunferencia em sete partes iguais. 360°/7 = 51º 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
59 
 
7. Divisão de circunferência em oito partes iguais 360°/8 = 45° 
 
 
 
8. Divisão de circunferência em nove partes iguais. 360°/9 = 40° 
 
 
 
 
9. Divisão de circunferância em 10 partes iguais. 360°/ 10 = 36° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
60 
 
10. Divisão de circunferência em doze partes iguais. 360° /12 = 18° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Dividir a pizza em seis partes iguais. 
 
 
 
 
2. No aro da bicicleta de Paulo, faltam alguns raios para que possa pedalar 
entregando pães.Complete os raios faltantes. 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
61 
 
3. A aranha esta encontrando dificuldades para armar sua teia, pois faltam fios 
importantes que saem do centro e passam pelas bordas dos polígonos. 
 
 
 
4. Complete o desenho da roda dentada de acordo com a sua metade pronta. 
 
 
 
 
 
 
 
5. Construa um polìgono estrelado reglar inscrito de nove pontas (eneágono 
estrelado), ligando seus vértices em intervalos de três em três. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
62 
 
PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS 
 
1. Construir um triângulo equilatero de lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟑 𝒄𝒎 , usando somente a 
régua e o par de esquadros: 
 
1. 1º passo: 
Traçar o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟑 𝒄𝒎 
 
 
 
b) 2º passo: 
Posicione os esquadros de forma a obter a partir de 𝑨 e 𝑩 ângulos de 60º 
cruzando-se o ponto 𝑪 ( vértice oposto à 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ) 
 
 
 
 
2. Construir um triângulo equilatero de lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 3 𝑐𝑚 utilizando régua e 
compasso. 
 
a) 1º passo: 
Traçar lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 3 𝑐𝑚 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
63 
 
a) 2º passo: 
Abrir o compasso com a distância 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e colocar sua ponta seca em 𝑨, traçando 
um arco a partir de 𝑩. Com a ponta seca em 𝑩 e a mesma abertura,traçar um 
arco a partir de 𝑨, encontrando, assim, o ponto 𝐶 podendo então, ligar os 
pontos e definir o triângulo desejado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Construir um triângulo equilatero inscrito sendo dada a circunferência do 
raio = 1,25 𝑐𝑚. 
 
 
a) 1º passo: 
 Traçar a circunferência e o seu diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2º passo: 
Com a ponta seca do compasso em um das extremidades de diâmetro e 
abertura igual ao raio, traçar um arco cruzando a circunferência duas vezes 
definindo assim, os dois pontos (vértices) que geram o triângulo. 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Finalmente, ligam-se os pontos e defini-se o triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Construir um triângulo isósceles dado lado menor (base) 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚 e sua 
altura 𝑴𝑪̅̅ ̅̅ ̅ = 3,2 𝑐𝑚. 
 
a) 1º passo: 
Traçar lado base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
65 
 
b) 2º passo: 
Pelo ponto médio de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , levantar uma perpendicular e nela marcar a altura 
𝑴𝑪̅̅ ̅̅ ̅. 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Ligaros pontos 𝑨𝑩𝑪 do triângulo isósceles. 
 
 
 
5. Construir um triângulo isósceles dado lado (base) 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 3 𝑐𝑚 e um 
triângulo 𝜶 = 70° adjacente a base. 
 
a) 1º passo: 
b) 
Traçar base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
66 
 
c) 2º passo: 
Traçar o ângulo 𝜶 a patir de 𝑨, estendendo o traçado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 3º passo: 
Repetir a operação a partir de 𝑩 obtendo-se o ponto 𝑪, pelo encontro dos 
ângulos levantados, ligando os três pontos do triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Construir um triângulo retângulo isósceles inscrito à circunferência dada. 
 
a) 1º passo: 
Traçar a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
67 
 
b) 2º passo: 
Traçar pelo centro da circunferência o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ igual ao diâmetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Pelo centro da circunferência, levantar uma perpendicular igual ao raio na 
circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 4º passo: 
Finalmente, ligar os pontos 𝑨 e 𝑩 com o ponto 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
68 
 
7. Construir um triângulo retângulo dados os lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4,4 𝑐𝑚 𝑒 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 1,8 𝑐𝑚. 
 
a) 1º passo: 
Traçar o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
b) 2º passo: 
Traçar a perpendicular à extremidade 𝑨 
 
 
 
c) 3º passo: 
Ligar os pontos 𝑨,𝑩 e 𝑪, definindo o triângulo pedido. 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
69 
 
8. Construir um triângulo escaleno dados os lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟓 𝒄𝒎,𝑩𝑪̅̅ ̅̅ =
𝟐, 𝟕 𝒄𝒎 𝒆 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟐 𝒄𝒎. 
 
a) 1º passo: 
Traçar o lado base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚 
 
 
 
b) 2º passo: 
Abrir o compasso com a distância igual a 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e com a ponta seca em 
𝐵 traçando um arco. 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Abrir o compasso com a distância 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ , colocando a ponta seca em 𝑨 e 
traçandoum arco que cruzeo arco 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ definindo o ponto 𝑪. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
70 
 
d) 4º passo: 
Ligar os pontos dos vértices 𝑨,𝑩 e 𝑪 
 
 
 
 
 
 
9. Construir um triângulo escaleno dado o lado base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚 e dois ângulos 
adjacentes a 𝑨 e 𝑩 com ângulos 𝜶 = 45° 𝑒 60° respectivamente. 
 
a) 1º passo: 
 
 
 
 
 
b) 2º passo: 
A partir de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , levantar o ângulo de 45º pela extremidade 𝑨. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
71 
 
c) 3º passo: 
Levantar o ângulo de 60º pela extremidade 𝑩, cruzando a reta do ângulo de 45° 
no ponto 𝑪. 
 
 
 
 
 
 
 
10. Construir um triângulo equilatero de lado = 3 𝑐𝑚, circunscrevê-lo e 
inscrevê-lo. 
 
a) 1º passo: 
Construir o triângulo por um dos processos já vistos. 
 
 
 
 
 
 
b) 2º passo: 
Traçar as três alturas que também são as bissestrizes do triângulo. O 
cruzamento dessas alturas determinará o centro inscritível e circunscritível do 
triângulo. 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
72 
 
c) 3º passo: 
Com a ponta seca do compasso no ponto 𝟎 (centro) e abertura a qualquer um 
dos vértices, circunscrever o triângulo por fora. 
 
 
d) 4º passo: 
Ainda com a ponta-seca no centro, reduzir a abertura do compasso 𝟎𝑴̅̅̅̅ ̅ e 
inscrever o triângulo. 
 
 
 
 
 
 
Observe que, nesse caso os lados do triângulo são tangentes à circunferência. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Dado o triângulo retângulo isósceles circunscrevê-lo. 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
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73 
 
2. Desenhar um triângulo escaleno, dados os lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟒 𝒄𝒎,𝑩𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟑 𝒄𝒎 e 
𝑪𝑨̅̅ ̅̅ = 𝟐 𝒄𝒎, 
 
3. Desenhar um triângulo dada a base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟒 𝒄𝒎 e dois ângulos adjacentes à 
base 𝜶 = 𝟒𝟓° 𝒆 𝜷 = 𝟔𝟎°. 
 
4. Desenhar um triângulo retângulo dado o lado maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟒 𝒄𝒎, a 
hipotenusa = 4,5 𝑐𝑚 
 
5. Dada a circunferência, circunscreva um triângulo retângulo sabendo que 
seu lado maior corresponde ao diâmetro. 
 
6. Desenhar um triângulo dada a base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟓, 𝟓 𝒄𝒎 𝒆 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟑, 𝟓 𝒄𝒎 e um 
ângulo adjacente à base a aprtir de 𝐴 igual 𝜶 = 60°. 
 
7. Dividir com um traço o triângulo retângulo isósceles abaixo para obter 
outros dois triângulos retângulos isósceles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Construir um triângulo equilatero circunscrito de lado de lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟓 𝒄𝒎 
 
9. Construir um triângulo retângulo isósceles dado o lado base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟑 𝒄𝒎 e 
sua altura 𝑴𝑪̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟓 𝒄𝒎 
 
10. Construir um triângulo escaleno de lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟔 𝒄𝒎,𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟒 𝒄𝒎 𝒆 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ =
𝟓𝒄𝒎. 
Desenho geométrico 
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74 
 
 
11. Dado o triângulo retângulo isósceles, circunscreva-o. 
 
 
 
 
 
 
QUADRILATEROS 
 
Definição: 
Os polígonos que possuem quatro lados, com formas que apresentam aspecto 
de rigidez, conservadorismo e estabilidade – no caso dos quadrados, 
retângulos e trapézios. 
São figuras poligonais fechadas, que limitam uma área do espaço. 
Podem ser côncavos ou convexos. 
 
 
a) Quadriláteros paralelogrâmicos. 
Quadriláteros que possuem lados opostos paralelos entre sí. Pertencem a este 
grupo: o quadrado, o retângulo, o losango e o paralelogramo 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
75 
 
 
 
b) Trapézios 
Quadriláteros que possuem dois lados paralelos entre si chamados de bases 
(maior ou menor). Os lados não-paralelos são chamados de transversais. A 
distância entre os lados paralelos é chamado de altura (𝒉). 
 
 
 
 
Podem ser divididas em: retâgulo, isósceles e escaleno. 
 
 
c) Trapezóides 
Quadrilateros que não apresentam paralelismo entre os lados. 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
76 
 
 
CONSTRUÇÃO DE QUADRILÁTEROS 
 
1. Construir um quadrado (regular) dado o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 2,7 𝑐𝑚. 
 
a) 1º passo: 
Traçar uma linha horizontal indefinida e nela marcar a distância 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
b) 2º passo: 
Pelos pontos 𝑨 e 𝑩, levantam-se duas perpendiculares. 
 
 
c) 3º passo: 
Com centro em 𝑨 e raio 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , corta-se a perpendicular que sobe 𝑨 no ponto 𝑫. 
Com o mesmo raio e com centro em 𝑩, corta-se a perpendicular qe sobe de 𝑩 
no ponto 𝑪, ligando-se os pontos 𝑪 e 𝑫, obtendo-se, assim, o quadrado 
pedido. 
 
Desenho geométrico 
2007 
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77 
 
 
2. Construir um quadrado (regular), dadas suas diagonais. 
 
 
 
 
 
a) 1º passo: 
Traçar as duas diagonais prolongadas, cruzando o ponto 0 (centro). 
 
 
 
 
 
 
b) 2º passo: 
Com a ponta-seca do compasso em 𝟎 e abertura qualquer, traça-se uma 
circunferência, determinando quatro pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Ligam-se os pontos na ordem 𝑨,𝑩 e 𝑪, que são os lados do quadrado. 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
78 
 
 
 
 
 
 
3. Construir um retângulos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4,8 𝑐𝑚 𝑒 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚. 
 
a) 1º passo: 
Traçar uma linha suporte horizontal e, sobre ela, traçar o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4,8 𝑐𝑚. 
 
 
b) 2 º passo: 
Pela extremidade 𝑨, levanta-se uma perpendicular, marcando sobre esta o 
lado 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚 
 
c) 3º passo: 
Traçar uma paralela ao lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ partindo por 𝑫. 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
79 
 
 
d) 4º passo: 
Levantar uma perpendicular a partir de 𝑩, obtendo o quarto vértice 𝑪 e o 
retângulo pedido. 
 
 
 
 
 
4. Construir um quadrado conhecendo-se a diagonal 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 3,3 𝑐𝑚 
 
a) 1º passo: 
Traçar uma linha suporte horizontal, marcando o segmento retílineo 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
b) 2º passo: 
Traçar uma pependicular cortando o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ao meio ( centro 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Marcar, com medidad do raio 𝑨𝑶̅̅ ̅̅ as distâncias 𝑶𝑪̅̅ ̅̅ para cima e 𝑶𝑫̅̅ ̅̅̅ para baixo. 
Unindo-se os pontos 𝑨, 𝑩, 𝑪 e 𝑫 teremos o quadrado pedido 
Desenho geométrico 
2007 
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80 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Construir um retângulo dado o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚 e sua diagonal 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 6,5 𝑐𝑚. 
 
a) 1º passo: 
Traçar uma linha suporte horizontal, marcandosobre ela a distância 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
b) 2º passo: 
Levantar duas perpendiculares ao segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , pelas extremidades 𝑨 e 𝑩. 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Com centro em qualquer de suas extremidades, no caso 𝑨, e com raio igual ao 
comprimento 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ da diagonal, descreve-se um arco de círculo que cortará a 
outra perpendicular no ponto 𝑪. 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
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81 
 
 
d) 4º passo: 
Traçar uma paralela 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ passando pelo ponto 𝑪, determinando, assim, o quarto 
vétice 𝑫 do retângulo pedido, ligando agora os vértices. 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Construir um quadrado circunscrito, conhecendo-se suas diagonais e seu 
raio = 3 𝑐𝑚. 
 
2. Utilizando quatro triângulos retângulos isósceles, construir dois 
quadraddos: um externo e um interno. 
 
3. Dadas os ares de paralelas perpendiculares entre si, construa a cruz que 
simboliza a saúde no mundo inteiro. 
 
 
 
 
 
4. Que objeto surgirá a partir desta figura composta de retângulos? 
Escreva ou desenhe. 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
82 
 
 
5. Construir um retângulo, dado o triângulo 𝑨𝑩𝑪 abaixo, sabendo que o 
ponto 𝐶 é cruzamento das diagonais do retângulo pedido. 
 
 
 
 
 
6. A construtora “JOÃO DE BARRO”, possui um terreno numa área valorizada, 
mais totalmente fora de esquadro ou alinhamento, dificultando sua venda. Faça a 
divisão do terreno e vea quantos lotes e 1 𝑐𝑚 𝑥 2 𝑐𝑚 ( no desenho abaixo), 
podemos conseguir. 
 
 
 
7. Dado o cubo abaixo, como é o desenho dele aberto (planificado), usando 
medidas reais do cubo: largura, altura e comprimento? 
 
 
8. A partir do retângulo 𝑨𝑩𝑪 e uma diagoal desenhe dois outros retângulos, 
sendo que o retâgulo interno temlado menor igual a 1 𝑐𝑚, e o maior tem 
diagonal igual a 7 𝑐𝑚. 
Desenho geométrico 
2007 
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83 
 
 
 
 
9. A figura abaixo contém diversas formas: planas e tridimessionais que se 
relacionam entre sí, Cite quais formas podemos encontrar nessa figura. 
 
 
 
10. Construa dois quadrados sendo um interno e o outro externo, utilizando 
quatro trapézios isósceles 
 
 
 TRAPÉZIOS 
Construção de Trapézios 
1. Construir um trapézio isósceles conhecendo-se o lado maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚, a 
base menor 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚 e sua altura = 3,3𝑐𝑚. 
 
 
 
a) 1º passo: 
 
Desenho geométrico 
2007 
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84 
 
Traçar uma reta suporte e marcar a medida 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , e em seguida marcar a 
metade de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ (ponto médio). 
 
b) 2º passo: 
Levantar uma perpendicular a a partir de 𝑴. 
 
 
 
 
 
 
c) 2º passo: 
Marcar a altura do trapézio 𝑴𝑵̅̅ ̅̅ ̅ e traçar uma reta paralela a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ passando por 
𝑵. 
 
 
 
 
d) 4º passo: 
Marcar sobre esta reta paralela a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ mdida 𝐶𝐷, sendo que a metade desta 
medida 𝑴𝑪̅̅ ̅̅ ̅ esta para a esquerda e 𝑴𝑫̅̅ ̅̅ ̅ para a direita. Unindo-se os pontos 
𝑨,𝑩, 𝑪 e 𝑫, obtendo-se o trapézio pedido. 
 
 
 
 
 
2. Construir um trapézio isósceles conhecendo-se a base maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ =
 𝟒, 𝟖 𝒄𝒎,sua altura = 2,8 𝑐𝑚 e o ângulo adjacente à base maior é 𝜶 = 60°. 
Desenho geométrico 
2007 
7 
85 
 
 
a) 1º passo: 
Traçar uma reta suporte e nela marcar a medida 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . Em seguida , marque a 
altura, traçando-se uma paralela 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
 
 
 
b) 2° passo: 
Construir um ângulo 𝛼 com origem em 𝑨 e depois com origem em 𝑩. Os 
ângulos levantados cortarão a altura em 𝑪 e 𝑫, definindo assim, o lado menor e 
o trapézio ( del lados 𝑨,𝑩, 𝑪 e 𝑫) pedido. 
 
 
 
3. Construir um trapézio retângulo conhecendo-se a base maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4,8 𝑐𝑚, 
o lado 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 3,5 𝑐𝑚 e sua altura = 2 𝑐𝑚. 
 
a) 1º passo: 
Traçar uma reta suporte e nela marcar a medida 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚. 
 
 
 
 
b) 2º passo: 
Desenho geométrico 
2007 
7 
86 
 
Traçar a altura a partir do ponto 𝑨 da base maior, marcando-se a medida dada, 
obtendo-se assim o ponto 𝑪. 
 
 
 
c) 3º passo: 
Traçar uma reta paralela a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ passando pelo ponto 𝑪. 
 
 
d) 4° passo: 
Medir então, sobre a paralela traçada o cumprimento da base 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ , 
unindo-se 𝑨 , 𝑩, 𝑪 𝒆 𝑫 respectivamente, teremos o trapézio pedido. 
 
 
 
4. Construir um trapézio escaleno sendo a base maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4,8 𝑐𝑚 a base 
menor 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 1,5 𝑐𝑚, o lado 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 2,7 𝑐𝑚 e o ângulo adjacente à base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ a 
partir de 𝑨, sendo 𝜶 = 70°. 
 
 
a) 1° passo: 
Desenho geométrico 
2007 
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87 
 
Traçar uma reta suporte e nela marcar a medida 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
b) 2° passo: 
Medir e traçar o ângulo 𝛼 sobre a base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ com origem 𝑨. 
 
 
c) 3° passo: 
Marcar e medir 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ sobre o âgulo levantado e pelo ponto 𝑪, traçar uma paralela 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
d) 4° passo: 
Medir então, sobre a paralela traçada o comprimento da base menor 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ , 
unindo-se então 𝑨,𝑩, 𝑪 e 𝑫 respectivamente, teremos o trapézio pedido. 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
88 
 
5. Construir uma trapezóide dada a base maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4,85 𝑐𝑚 e sua base 
menor 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚, o lado 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 3 𝑐𝑚 o lado 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ = 2,9 𝑐𝑚 e um ângulo 
= 70° adjacente a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ com origem em 𝑨. 
 
a) 1° passo: 
Traçar uma reta suporte e nela marcar a distância 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
b) 2° passo: 
Medir e traçar o ângulo sobre 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ com centro em 𝑨. 
 
 
 
 
 
 
c) 3° passo: 
Marcar a medida 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ sobre o lado do ângulo levantado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
89 
 
d) 4° passo: 
Com centro em 𝑪 e abertura 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟑 𝒄𝒎 (feita com compasso), faz-se um arco 
aleatório. 
 
 
e) 5º passo: 
Com centro em 𝑩 e abertura d compasso medida 𝑩𝑫̅̅̅̅̅, faz-se outro arco 
cortando o arco anterior originando o ponto 𝑫. Une-se então, os pontos 𝑨, 𝑩,𝑪 
e 𝑫 para obter o trapézio pedido. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Construir um trapézio isósceles, dada a sua base maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚 e sua 
altura 𝒉 = 4 𝑐𝑚 e um ângulo de 80° adjacente a base à base 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
2. Dado o triângulo equillátero 𝑨 𝑩 𝑪 , construir um trapezóide, sendo o lado 
𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚 e o lado 𝑩𝑬̅̅ ̅̅ = 3 𝑐𝑚. 
 
3. Construir e identificar o trapézio conhecendo-se o lado 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 4,5 𝑐𝑚, suas 
diagonais 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 6,8 𝑐𝑚 e 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ = 7,7 𝑐𝑚 com altura 𝒉 = 4,4 𝑐𝑚. 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
90 
 
4. Construir um trapézio retângulo, dada a sua base maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 6𝑐𝑚, a base 
menor 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚 e sua altura 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 3 𝑐𝑚. 
 
5. Construir um trapézio retângulo, dada a sua base maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚 e o 
ponto médio dessa base ( metade 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). 
 
6. Descreva as características de um trapézio quanto: 
 
Aos lados: 
Aos ângulos: 
 
7. Dada a circunferência abaixo, construir um trapézio isósceles, sabendo-se 
que a sua base maior é o diâmetro da circunferência e seus quatro pontos ( 
𝑨,𝑩, 𝑪 e 𝑫) tocam essa circunferência. 
 
 
 
8. Determine o perímetro do trapézio dado sobre a linha abaixo.. 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
91 
 
9. Abaixo, temos um quadrado e uma de suas diagonais. Com apenas um 
traço, divida o qaudrado em dois trapézios retângulos. 
 
 
 
10. Construir um trapézio isósceles, dada a base maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚 e base 
menor 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚 e sua altura = 4 𝑐𝑚. 
 
LOSANGOS E PARALELOGRAMOS 
 
Diferenciam-se dos quadriláteros retangulares pela sua inclinação ou 
angulação, proporcionada pelas suas diagonais de tamanho, transmitindo 
sensação de desequilíbrio e, ao mesmo tempo, dinamismo, parecendo estar 
em movimento ou deslocamento. 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
92 
 
Aplicações: 
CONSTRUÇÃO DE PARALELOGRAMOS 
 
1. Construir um losango dados os lados um lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 2,7 𝑐𝑚 e um ângulo 
𝜶 = 60°. 
 
a) 1° passo: 
Traçar uma reta suporte e, sobre esta marcar o segmento retilíneo 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , queé o 
lado dado. 
 
 
b) 2º passo: 
Marcar-se o ângulo a partir do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , tendo como origem a 
extremidade 𝐴, prolongando-se o outro lado do ângulo. 
 
 
c) 3º passo: 
Com centro em A e abertura igual a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , levanta-se um arco, cruzando o lado 
do ângulo levantado. 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
93 
 
d) 4° passo: 
Traçar a partir de 𝑩, um segmento paralelo a 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ (prolongado). Da mesma 
forma traçar uma reta paralela a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , passando por 𝐶 e definindo o último ponto 
que é 𝑫. Unindo os pontos 𝑨,𝑩, 𝑪 , 𝑫 e 𝑨 teremos o losango desejado. 
 
 
2. Construir um losango, dadas as duas diagonais, sendo a diagonal maior 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚 e a diagonal menor 𝑪𝑫 =̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 2,5 𝑐𝑚. 
 
a) 1° passo: 
Traçar as duas diagonais perpendiculares entre sí (prolongadas) que se 
cruzam em seus meios (origem). 
 
b) 2º passo: 
Marcar, a partir do cruzamento das diagonais (O), a metade da medida AB, 
sendo 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚e 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚 ( diagonal maior). 
 
 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Desenho geométrico 
2007 
7 
94 
 
Dessa vez marcar a partir de 𝑂 a metade da medida 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ , sendo 𝑶𝑪̅̅ ̅̅ = 0,8 𝑐𝑚 e 
𝑶𝑫̅̅̅̅̅ = 0,8 𝑐𝑚 diagonal menor. Obtido os quatro pontos , liga-se e obtém-se o 
losango pedido. 
 
 
 
 
 
 
3. Construir um losango sabendo-se o seu lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 2,7 𝑐𝑚. ( usar compasso 
e régua). 
 
a) 1º passo: 
Traçar uma reta suporte e nela marcar o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
b) 2º passo: 
 Com centro em 𝑨 e abertura 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , traça-se um arco acima de 𝑩. 
 
 
 
 
 
 
c) 3º passo: 
Desenho geométrico 
2007 
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95 
 
Com centro em 𝑩 e mesma abertura 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ , traça-se um arco que cruzará o arco 
anterior definindo o ponto 𝑪. 
 
 
d) 4 º passo: 
Com centro em 𝑪 e abertura (mesma) 𝑪𝑩̅̅ ̅̅ traça-se um arco cruzando o arco 𝑩𝑨̅̅ ̅̅ 
e definindo o ponto 𝑫, Unindo-se os pontos 𝑨,𝑩,𝑫 e 𝑪, temos o losango 
desejado. 
 
 
 
 
4. Construir um paralelogramo dado lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4,8 𝑐𝑚, o lado 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 2,2 𝑐𝑚 e 
o ângulo adjacente 𝑨𝑩, 𝛼 = 45°. 
 
a) 1° passo: 
Traça-se uma reta suporte e marca-se a mesma medida 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
 
b) 2° passo: 
Desenho geométrico 
2007 
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96 
 
Constrói-se o ângulo 𝛼 sobre o segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ com origem em 𝑨. 
 
 
c) 3° passo: 
Traça-se sobre o lado do ângulo 𝜶 levantando a medida 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ . 
 
 
d) 4 º passo: 
Traça-se uma reta paralelaao lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ passando por C e outra ao lado 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ , 
passando por 𝑩, definindo o ponto 𝑫. Unem-se os pontos com traço forte e 
ontém-se o paralelogramo pedido. 
 
 
5. Construir um paralelogramo, dados os lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4,8 𝑐𝑚, um ângulo 
𝜶 = 45° adjacente ao lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e sua altura = 1,4𝑐𝑚. 
 
a) 1º passo: 
Traçar uma reta suporte e marcar a medidad 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
b) 2° passo: 
Desenho geométrico 
2007 
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97 
 
Constrói-se o ângulo e a partir do segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ com centro 𝐴, alongando-se o 
lado do ângulo aberto. 
 
 
c) 3° passo: 
Repete-se a mesma operação para a construção do ângulo, tendo a 
extremidade 𝐵 como centro. 
 
 
d) 4° passo: 
Traça-se a altura perpendicular ao segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . Em seguida constrói-se uma 
paralela a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ cruzando os ângulos levantados nos pontos 𝑪 e 𝑫, onde 𝑨,𝑩, 𝑪 e 
𝑫 formam o paralelogramo. 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Desenhar um losango, dado o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚 
 
2. Desenhar um losango, dadas as diagonais 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚 𝑒 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ = 3𝑐𝑚 
Desenho geométrico 
2007 
7 
98 
 
 
3. Desenhar um paralelogramo, dado o dado maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚 e o lado manor 
𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 2,5 𝑐𝑚 e o ângulo adjacente à 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 45°. 
 
4. Construir um paralelogramo, dado o lado maior 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚, um ângulo 
adjacente à base 𝜶 = 60° e sua altura = 2 𝑐𝑚 
 
5. Dada a circunferência e sua divisão, construa três losangos para obter uma 
figura a saber. 
 
 
6. Divida o hexágono regular com dois losangos para obter um cubo. 
 
 
7. Complete o desenho com um losango. 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
99 
 
POLÍGONOS E POLIEDROS 
 
1. Classificando os poligonos ( com mais de cinco lados) 
Polígonos regulares e irregulares 
 
a) São formas inscritase circunscritas por circunferência. Possui ângulos 
externos também iguais, sendo que a soma dos ângulos internos é igual a 
360° 
 
b) Polígonos não-regulares – Possuem lados com tamanhos diferentes e 
ângulos internos e externos diferentes, sendo que a soma dos ângulos 
internos é também de 360°. 
 
 
 
1. Polígonos inscritos e circunscritos. 
 
a) Polígonos inscritos – Os vértices do poligono estão sobre a 
circunferência. 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
100 
 
b) Polígonos convexos e côncavos – Os lados do polígono são tangentes à 
circunferência. 
 
 
 
2. Polígonos convexos e côncavos. 
 
a) Polígonos convexos – São polígonos que que não possuem vértices 
reentrantes, ou seja, todas as diagonais estão na região interna. 
 
 
 
b) Polígonos côncavos – São polígonos que possuem ângulos reentrantes, 
ou seja, vértices em direção ao interior do polígono. 
 
 
Observação: 
A tendência de um polígono, á medida que aumenta o seu número de lados, é 
de se aproximar de forma de uma circunferência. 
Desenho geométrico 
2007 
7 
101 
 
 
 
Construção de Polígonos Regulares em função do lado. 
 
1. Construir um pentágono regular, conhecendo – se o seu lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 1,6 𝑐𝑚 
 
1. 1° passo: 
Traçar lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e com centro em 𝑨 e raio 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , construir uma circunferência. 
 
 
2. 2º passo: 
Com centro em 𝑩 mesmo raio, traça-se outra circunferência, cortando-se os 
pontos 𝑷 e 𝑶, pelos quais passam uma linha prolongada 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
102 
 
3. passo: 
Com centro em 𝑶 e raio 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , traça-se a última circunferência, que vai cortar o 
segmento 𝑶𝑷̅̅ ̅̅ no ponto 𝑮 e as duas circunferências já traçadas no ponto 1 e 2. 
 
4º passo: 
Une-se o ponto 1 ao ponto 𝑮 e prolonga-se a linha assim obtida até a 
circunferência do centro 𝑨. Une-se depois o ponto 2 ao ponto 𝑮 e prolonga-se 
também esta reta até que ela corte a circunferência do centro 𝑩. 
 
5º passo: 
As duas linhas traçadas determinarão, no encontro com as duas 
circunferências, os pontos 𝑪 e 𝑫 que unidos respectivamente a 𝑨 e a 𝑩, 
definindo mais dois lados sendo, 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑫̅̅̅̅̅. 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
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103 
 
6º passo: 
Com centro em 𝑪 e raio 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , traça-se um arco 𝑿 e , em seguida , com o 
mesmo raio e centro em 𝑫, descreve-se o arco 𝒀, cortando o arco 𝑿 no ponto 
𝑬. Unindo-se o ponto 𝑬 ao ponto 𝑪 e a 𝑫, teremos os dois lados restantes 𝑬𝑪̅̅ ̅̅ e 
𝑬𝑫̅̅ ̅̅ do pentágono pedido. 
 
 
 
2. Construir um héxagono regular conhecendo-se o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 1,6 𝑐𝑚 
 
1º passo: 
Traça-se o lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e com centro em 𝑨 e raio 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , descreve-se o arco 2.Com 
centro em 𝑩 e mesmo raio, traça-se o arco 1 que cortará o primeiro arco em 𝑂. 
 
 
2° passo: 
Com centro em 𝑶 e raio 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , traça-se uma circunferência. 
 
Desenho geométrico 
2007 
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104 
 
3º passo: 
Com a distância 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e centro em 𝐵 marca-se sobre a circunferência o ponto 𝐶, 
utilizando-se o ponto seguinte como centro, até marcar o sexto ponto 
héxagono, no caso 𝑭. 
 
 
4º passo: 
Finalmente, ligam-se os pontos 𝑨,𝑩, 𝑪 𝑫, 𝑬, 𝑭 , 𝑨, nessa ordem, para obter o 
héxagono regular pedido. 
 
 
 
3. Construir um heptágono regular conhecendo-se o seu lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟐 𝒄𝒎 
 
1º passo: 
Marca-se sobre uma linha suporte horizontal a distância 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , igual ao lado 
conhecido, e em seguida a distância 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ igual a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ na mesma linha. 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
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105 
 
2° passo: 
Admitindo-se o segmento𝑨𝑪̅̅ ̅̅ como base de triângulo equilatero, constroe-se 
esta figura de vértices 𝑨, 𝑪 e 𝑫. 
 
 
 
3º passo: 
Lavanta-se uma perpendicular pelo ponto 𝐁 que é o meio da base 𝐀𝐂̅̅ ̅̅ , em 
seguida traça-se outra perpendicular, desssa vez pelo ponto médio do lado 𝐂𝐃̅̅ ̅̅ , 
cortando a altura 𝐁𝐃̅̅ ̅̅ no ponto 𝑶. 
 
4º passo: 
Com centro em 𝑶 e raio 𝐎𝐀̅̅ ̅̅ , trace uma circunferência que circunscreverá o 
triângulo. 
 
Desenho geométrico 
2007 
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106 
 
5° passo: 
Com centro em 𝑨 e distância 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ masca-se sobre a circunferência o ponto 𝟏, 
onde 𝐀𝟏̅̅ ̅̅ é o primeiro lado da figura. 
 
 
 
6º passo: 
Marca-se a distância 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ sobre a circunferêcia para obter os lados da figura 
pelos pontos 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝐀 que unidos formarão o heptágono pedido. 
 
4. Construir um octógono conhecendo-se o seu lado 𝐀𝐁.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
1º passo: 
Traça-se uma reta suporte sobre esta marca-se a medida do lado, 
levantando-se em seguida duas perpendiculares a este lado a partir de 𝐴 e de 
𝐵. 
 
Desenho geométrico 
2007 
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107 
 
 
2º passo: 
Traçam-se as duas bissetrizes destes dois ângulos retos, uma origem em 𝑨 e 
outra com origem em 𝑩. 
 
 
3º passo: 
Marca-se sobre a reta do ângulo de origem 𝑨 medida 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ , e sobre a reta do 
ângulo de origem 𝑩 a medida 𝑩𝑫̅̅̅̅̅. 
 
 
4° passo: 
Levantam-se pelos pontos 𝑪 e 𝑫 duas perpendiculares à reta suporte 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , nas 
quais marcam-se as distâncias 𝑪𝑬̅̅ ̅̅ e 𝑫𝑭,̅̅ ̅̅ ̅ respectivamente iguais a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . 
 
5º passo: 
Com centro em 𝑬 e raio 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , corta-se a perpendiculares que passa por 𝑨 no 
ponto 𝑮; com o mesmo raio e centro em 𝑭, corta-se agora a perpendicular a 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ 
que parte de 𝑩 no ponto 𝑯. Ligando-se agora os pontos 𝑨, 𝑩,𝑪,𝑫, 𝑭,𝑯, 𝑮 , 𝑪, 𝑬 e 
𝑨 teremos o octógono pedido. 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
108 
 
 
 
CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS INSCRITO EM FUNÇÃO DA 
CIRCUNFERÊNCIA. 
 
1. Dividir a circunferência em três partes iguais e construir um triângulo 
equilatero circunscrito. 
 
1º passo: 
Traça-se um diâmetro horizontal 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ da circunferência e levanta-se uma 
perpendicular pelo meio (𝑴) do raio 𝑨𝑶̅̅ ̅̅ . Esta linha vai cortar a circunferência 
nos pontos 𝑪 e 𝑫. 
 
 
2º passo: 
 Os pontos 𝑩, 𝑪 e 𝑫 são os três lados do triângulo inscrito. 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
109 
 
2. Dividir a cirunferência de raio 𝑨𝑶̅̅ ̅̅ ̅ = 1,2 𝑐𝑚 em quatro e oito partes iguais, ou 
então construir um quadrado e um octógono inscritos. 
 
1º passo: 
Traçam-se , inicialmente, os diâmetros 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑪𝑫 ̅̅ ̅̅ ̅perpendiculareas, dividinco a 
circunferência em quatro partes iguais. 
 
 
2º passo: 
Traça-se uma circunferência com o centro em 𝑶 e abertura 𝑶𝑨̅̅ ̅̅ , que vai tocar 
os diâmetros nos pontos 𝑨.𝑩. 𝑪 e 𝑫. 
 
 
3º passo: 
A ligação dos pontos 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ , 𝑫𝑩̅̅̅̅̅, 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ e 𝑪𝑨̅̅ ̅̅ determina quadro inscrito. 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
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110 
 
4º passo: 
Traça-se uma perpendicular pelo meio dos lados 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑫̅̅̅̅̅, cortando a 
circunferência nos pontos 𝑬 e 𝑭, obtendo-se mais dois pontos da figura. 
 
5º passo: 
Desta vez, traça-se uma perpendicular pelo meio dos lados 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ , obtendo-
se sobre a circunferência os pontos 𝑮 e 𝑯, que são os últimos pontos da figura 
circunscrita. 
 
6º passo: 
Ligando-se respectivamente, os pontos 𝑨,𝑮,𝑫, 𝑭,𝑩,𝑯, 𝑪, 𝑬, 𝑨, teremos 
um octógono inscrito. 
 
Desenho geométrico 
2007 
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111 
 
3. Construir um pentàgono inscrito conhecendo-se a circunferência. 
 
1º passo: 
Traçam-se, em primeiro lugar, os dois diâmetros perpendiculares da 
circunferência, sendo estes 𝑨𝑩 ̅̅ ̅̅ ̅e 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ 
 
 
 
2º passo: 
Divide-se o raio 𝑶𝑪̅̅ ̅̅ ao meio, determinando o ponto 𝑿. Com raio 𝑿𝑨̅̅ ̅̅ ̅, descreve-
se um arco que vai cortar o diâmetro 𝑫𝑶̅̅̅̅̅ (horizontal) no ponto 𝑷. 
 
 
3º passo: 
Agora, com o centro em 𝑨 e raio 𝑨𝑷̅̅ ̅̅ , traça-se outro arco, que vai determinar na 
circunferência o ponto 𝑬, que único com 𝑨 dará o lado do pentágono 
circunscrito. 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
112 
 
 
4º passo: 
Finalmente, com o centro em 𝑬 e medida constante 𝑨𝑬̅̅ ̅̅ , marcam-se sobre a 
circunferência os pontos 𝑬, 𝑭, 𝑮,𝑯, 𝑨 restantes que ligados definirão o 
pentágono regular inscrito. 
 
 
4. Construir um hexágono regular conhecendo-se a circunferência de diâmetro 
𝑨𝑩.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
1º passo: 
Traça-se uma reta suporte horizontal na qual marca-se o diâmetro 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e seu 
centro 𝑶. 
 
2º passo: 
Traça-se a circunferência e com centro em 𝑨 e raio 𝑨𝑶̅̅ ̅̅ , descreve-se um arco 
de circunferência que cortará a circunferência duas vezes obtendo-se os 
pontos 𝑪 e 𝑫 onde 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ ou 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ já é o lado do pentágono circunscrito. 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
113 
 
 
3º passo: 
Agora, com o centro em 𝑩 e raio 𝑩𝑶̅̅̅̅̅, descreve-se um outro arco de 
circunferência que cortará a circunferência nos pontos 𝑬 e 𝑭. Unido-se os 
pontos 𝑨, 𝑪, 𝑬,𝑩, 𝑭, 𝑫, obtem-se o hexágono regular inscrito. 
 
 
5. Construir um héptagono regular circunscrito, conhecendo-se o diâmetro da 
circunferência 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 3,4 𝑐𝑚 
 
1º passo: 
Traçar o diâmetro 𝐴B horizontal e sua circunferência pelo meio de 𝑨𝑩.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
2º passo: 
Com centro em 𝑨 raio 𝑨𝑶̅̅ ̅̅ , traça-se um arco do círculo que cortará a 
circunferência nos pontos 1 e 3. 
 
 
Desenho geométrico 
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114 
 
 
3º passo: 
Unindo-se os pontos 𝟏𝟑̅̅̅̅ , teremos uma reta perpendicular que cortará o 
diâmetro 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ̅ no ponto 2. O segmento 𝟏𝟐̅̅̅̅ é o lado do héptagono. 
 
4º passo: 
Com centro em 1 e medida 𝟏𝟐̅̅̅̅ , traça-se um arco que cortará a circunferência 
no ponto A, repetindo-se, então, ao longo da circunferência até o ponto 1. 
Unem-se os pontos 𝟏, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖 e 9 para obter o héptagono regular inscrito. 
 
 
6. Construir um noneágno regular circunscrito conhecendo-se o diâmetro 
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 3,4 𝑐𝑚 da circunferência. 
 
1. Traça-se o diâmetro 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e pelo seu meio O (centro) constrói-se a 
circunferência de raio 𝑨𝑶.̅̅ ̅̅ ̅ 
 
Desenho geométrico 
2007 
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115 
 
2º passo: 
Levanta-se uma perpendicular ao raio 𝑶𝑩̅̅̅̅̅ pelo ponto 𝑪, cortando a 
circunferência no ponto 𝑮. 
 
 
3º passo: 
Com centro em 𝑪 e raio 𝑶𝑩̅̅̅̅̅, descreve-se um arco que cortará a perpendicular 
traçada no ponto 𝑫. 
 
4º passo: 
Com centro em 𝑫 e mesmo raio 𝑶𝑩̅̅̅̅̅, corta-se o arco que parte de 𝑫 no ponto 
𝑬. 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
116 
 
 
5º passo: 
Liga-se agora 𝑬 a 𝑶. Essa linha corta a circunferência no ponto 𝑭, que ligado a 
𝐺, determina o segmento retilíneo que é dado do eneágono. Com cobertura 𝑭𝑮̅̅ ̅̅ 
marcam-se sobre circunferência os nove lados ( 𝑭, 𝑮,𝑯, 𝑰, 𝑱, 𝑳,𝑴 𝒆 𝑵) do 
eneágono pedido. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Construir um pentágono regular de raio 𝑶𝑨̅̅ ̅̅ = 𝟑 𝒄𝒎 peladivisão da 
circunferência. 
 
 
3. Construir um octógono regular inscrito, dados a e os dois diâmetros abaixo. 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
117 
 
4. Construir um decágono (10 lados) regular circunscrito, dado o petágono 
regular. 
 
 
5. Construir um octógono regular circunscrito, dadas as retas paralelas abaixo. 
 
POLIEDROS 
 
Diz-se poliedro todo sólido limitado por polígonos planos. Os polígonos são são 
colocados lado a alado, não coplanares, definindo um trecho fechado no 
espaço. 
A palavra edro vem da palavra hedra, que em grego quer dizer “face”. 
No espaço, o pequeno não é pouco, nem o grande é muito. É a forma, e não a 
dumensão que define o espaço; “ Um jarro se faz com massa palpável do 
envoltório externo; mais é o espaço vaziodo seu interior que o faz útil”. 
O movimento no espaço tem três liberdades: 
Em uma direção – A LINHA 
Emduas direções – O PLANO 
Em três direções – O VOLUME (tridimessional: assim é oespaço). 
 
Um poliedro ocupa três dimensões no espaço: largura, altura e comprimento. 
Veja então como é o poliedro. 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
118 
 
 
 
Onde: 
 
a) Vértice é o ponto onde três ou mais arestas se encontram. 
b) Aresta é a linha do encontro de duas faces do poliedro. 
c) Faces são figuras poligonais planas. 
 
Os poliedros podem ser classificados de acordo com a forma, com o número 
de lados e os ângulos formando faces, sendo: 
 
a) Poliedros regulares ou platônicos. 
b) Poliedros semi-regulares. 
c) Poliedros irregulares. 
d) Poliedros côncavos e convexos. 
 
Polideros Platônicos 
Entre os antigos gregos, os poliedros foram chamados de corpos cósmicos ou 
sólidos platônicos, devido à maneira pela qual Platão utilizou para explicar os 
fenômenos ciêntificos relativos ao universo. 
Em 388 a.C.;Platão foi a Sicília visitar o amigo Arquitas e provavelmente, por 
intermédio deste tomou conhecimento dos cinco poliedros regulares. 
Desenho geométrico 
2007 
7 
119 
 
 
 
 
a) Poliedros platônicos ou regulares – São os que possuem lados iguais, sendo 
estes: 
 
1. Tetraedro regular – É o menor de todos os poliedros. É formado por quatro 
triângulos equilateros que equivalem a uma pirâmide de base triangular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
120 
 
2. Hexaedro regular ( 6 lados) – É formado por seis quadrados regulares e 
tem a forma de um cubo. 
 
 
 
3. Octaedro regular – É formado por oito triângulos equilateros iguais e 
equivale a duas pirâmides coladas pela base ou a um balão junino. 
 
 
4. Dodecaedro regular – É formado por dez pentágonos e sua forma se 
aproxima de uma esfera. 
 
 
 
5. Ocosaedro regular – É formado por vine triângulos equiláteros e tem forma 
de uma pedra lapidada. 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
121 
 
Durante muitos séculos, quatro desses poliedros foram associados aos qautro 
elementos que os gregos acreditavam formar o universo terra, fogo. ar e água. 
Essa associação era representada por um esquema do tipo: 
 
 
 
O quinto poliedro, o dodecaedro, foi considerado por Platão como símbolo do 
universo. No entanto foi Euclides, em sua principal obra , Os elementos, que 
deu um tratamento mais rigoroso aos estudos desses poliedros. 
 
a) Poliedro semi-regulares – São poliedros formados por dois diferentes tipos 
de polígonos. 
 
 
 
b) Poliedros irregulares – São os poliedros formados por diferentes 
polígonos. 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
122 
 
c) Poliedros côncavos e convexos – Poliedros convexos compreedem as 
formas que não possuem ângulos entre os lados maior que 180°. 
 
 
 
Poliedros côncavos possuem como particularidade e formação de lados 
internos ao poliedro, formando furos, rebaixos, etc. 
 
 
 
ÂNGULOS POLIÉDRICOS 
 
Os poliedros são corpos geométrciso em que os ângulis são traçados de forma 
a permitir que os lados criem entre sí um vértice em forma de bico. E 
paraconstruir um bico são necessários,no mínimo, três polígonos. 
Se traçarmos, numa folha de papel (plano), polígonos iguais formando num 
vértice comum um ângulo final de 360°, torna-se impossível que esses lados 
formem um bico, que é o ângulo políedrico; vejamos: 
Seis triângulos equilateros iguais. 
 
 
 
 
 
Desenho geométrico 
2007 
7 
123 
 
Quatro quadrados regulares; 
 
 
 
Três héptagonos regulares ou qualquer outro polígono regular; 
 
Vamos fazer? 
Agora, vamos aprender como surge um ângulo poliédrico. 
Para começar, vale lembrar que o ângulo poliédrico é formado pela união ou 
pelo encontro de pelo menos três lados. 
 
1° passo: 
Uma folha de papel sem pautas. 
 
2° passo: 
Traçamos três quadradod regulares de lado 5 cm. 
 
 
 
 
 
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3º passo: 
Cortamos a figurra pelo perímetro, sem dividir os quadrados. 
 
 
4º passo: 
Marcamos e dobramos as arestas HE e HC ( tracejado) 
 
 
AS propriedades dos poliedros regulares (platônicos) 
 
Os poliedros são classificados segundo suas propriedades, algumas delas 
sendo numéricas, como segue abaixo: 
 
 N° de 
faces 
+ Nº de 
vértices 
– Nº de 
arestas 
= 2 
Tetraedro 4 + 4 _ 6 = 2 
Hexaedro 6 + 8 _ 12 = 2 
Octoedro 8 + 6 _ 12 = 2 
Dodecaedro 12 + 20 _ 30 = 2 
Icosaedro 20 + 12 _ 30 = 2 
 
 
Observação : 
 Não só os políedros regulares possuem a sua propriedades mais todos os 
poliedros convexos! 
 
 
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CONSTRUINDO UM POLIEDRO 
Inicialmente, é importante saber qual tipo de poliedro que se quer construir. 
 
Para começar, serão necessários raticamente os mesmos instrumentos 
utilizados no traçado de figuras poligonais, acrescentando desta vez um 
marcador para dobras e cola ou adesivo transparente. 
O marcador pode ser a ponta da lapiseira, uma lâmina cega, a ponta de uma 
esferográfica seca etc., que não corte ou separe os lados do poliedro. 
 
 
POLIEDROS E SUAS FAZES DE CONSTRUÇÃO 
RECOMENDAÇÕES E INSTRUÇÕES 
a) Pegue uma folha de papel ou cartolina, não muito flexível, que seja 
suficiente para planificar ou traçar o poliedro, pregando-a sobre a mesa. 
 
 
b) Faça o traçado do poliedro desejado. 
 
c) Faça todas as marcações antes de cortar a figura planificada. É importante 
diferenciar as linhas de dobras das linhas de cortes. Vejamos: 
Desenho geométrico 
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126 
 
 
 
d) Antes de cortar as figuras, vamos traçar “abas” para que, ao motar o 
poliedro, possamos fixá-lo com mais segurança e facilidade, melhorando sua 
aparência. Lembre-se, então, de que os lados com abas devem ser marcados 
para dobras e não para cortes. 
 
 
 
e) Finalmente, cortamos a figura pelo seu perímetro. 
 
 
 
 
f) Ao debras a figura e as abas, veja que os próprios lados vão-se deslocando 
para suas posições finais. O último lado fechará o poliedro por meio da aba. 
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O traçado planificado 
1. O tetraedro – quarto triângulo equilateros regulares. 
 
 
 
2. O héxagono – seis quadrados. 
 
 
3. O octaedro – oito triângulos equilateros regulares. 
 
 
4. O dodecaedro – dez pentágonos regulares. 
 
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5. O isocaedro – vinte triângulos equiláteros regulares. 
 
 
 
 
Obrigado! 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
[1] CÂNDIDO, Suzana L., Formas num mundo de formas. 1. Ed- São Paulo: 
Editora Moderna, 1997. 
[2] CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. São Paulo: Ao livro 
Técnico, 1958. 
[3] IMENES, Luiz Márcio. Geometria dos mosaicos. São Paulo: Editora 
Scipione, 2000. 
[4] JORGE, Sonia. Desenho Geométrico – Ideias e imagens. 1. Ed- São 
Paulo: Editora Saraiva, 1998.